Raciocínio Quantitativo para ANPAD

Aula 00
Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
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RACIOCÍNIO QUANTITATIVO P/
TESTE ANPAD
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1
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AULA 00 (demonstrativa)
SUMÁRIO PÁGINA
1. Apresentação 01
2. Edital e cronograma do curso 04
3. Resolução de questões 07
4. Questões apresentadas na aula 28
5. Gabarito 36
1. APRESENTAÇÃO
Seja bem-vindo a este curso de RACIOCÍNIO QUANTITATIVO
desenvolvido auxiliar na sua preparação para o próximo TESTE DA
ANPAD. Vamos seguir à risca o conteúdo exigido no Teste. Neste
material você terá:
- curso completo em vídeo, formado por cerca de 20 horas de
gravações onde explico todos os tópicos exigidos no edital e resolvo
alguns exercícios para você começar a se familiarizar com os temas;
- curso escrito completo (em PDF), formado por 17 aulas onde
também explico todo o conteúdo teórico do edital, além de apresentar
cerca de 600 questões resolvidas e comentadas sobre todos os
assuntos trabalhados;
- fórum de dúvidas, onde você pode entrar em contato direto conosco.
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Vale dizer que este curso é concebido para ser o seu único
material de estudos, isto é, você não precisará adquirir livros ou outros
materiais para tratar da minha disciplina. A ideia é que você consiga
economizar bastante tempo, pois abordaremos todos os tópicos
exigidos no Teste da ANPAD e nada além disso, e você poderá estudar
conforme a sua disponibilidade de tempo, em qualquer ambiente onde
você tenha acesso a um computador, tablet ou celular, e evitará a perda
de tempo gerada pelo trânsito das grandes cidades. Isso é importante
para todos os candidatos, mas é especialmente relevante para
aqueles que trabalham e estudam.
Já faz tempo que você não estuda Raciocínio Quantitativo? Não tem
problema, este curso também te atende perfeitamente. Isto porque você
estará adquirindo um material bastante completo, onde você poderá
trabalhar cada assunto em vídeos e também em aulas escritas, e resolver
uma grande quantidade de exercícios, sempre podendo consultar as
minhas resoluções e tirar dúvidas através do fórum. Assim, é plenamente
possível que, mesmo tendo dificuldade em Matemática e estando há
algum tempo sem estudar esses temas, você consiga um ótimo
desempenho no Teste da ANPAD. Obviamente, se você se encontra nesta
situação, será preciso investir um tempo maior e dedicar-se bastante ao
conteúdo do nosso curso.
O fato do curso ser formado por vídeos e PDFs tem mais uma
vantagem: isto permite que você vá alternando entre essas duas
formas de estudo, tornando um pouco mais agradável essa dura
jornada de preparação. Quando você estiver cansado de ler, mas ainda
quiser continuar estudando, é simples: assista algumas aulas em vídeo!
Ou resolva uma bateria de questões!
Caso você não me conheça, eu sou Engenheiro Aeronáutico formado
pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Sou professor há quase
10 anos, tendo lecionado tanto para cursos pré-vestibular como para
concursos públicos que exigem Matemática. Como engenheiro, trabalhei
por 5 anos no mercado da aviação, quando então decidi migrar para o
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serviço público, sendo atualmente Auditor-Fiscal da Receita Federal. Aqui
no Estratégia eu já tive o privilégio de ministrar mais de 250 cursos online
de Matemática e outros assuntos correlatos, o que me permitiu ganhar
bastante familiaridade com este tipo de ensino, que no meu ponto de
vista possui muitas vantagens em relação ao estudo em um cursinho
presencial tradicional. Também contaremos com a colaboração do
professor Hugo Lima neste curso. Veja a apresentação dele abaixo:
Olá! Meu nome é Hugo Lima e sou Engenheiro Mecânico-
Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por
5 anos e meio na Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo
que, no período final, também tive que conciliar o trabalho com o estudo
para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de Auditor-
Fiscal em 2012, cargo que exerço atualmente.
Sempre solicitamos que nossos alunos avaliem os nossos cursos.
Procuro sempre acompanhar as críticas, para estar sempre aperfeiçoando
os materiais. Felizmente venho conseguindo obter índices de aprovação
bastante elevados acima de 95%, muitas vezes chegando a 100%.
Farei o que for possível para que você também aprove o nosso trabalho!
Quer tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso? Deixo abaixo
meus contatos:
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Periscope, onde
transmito vídeos gratuitos ao vivo com dicas adicionais para seu estudo:
www.periscope.tv/arthurrrl, ou simplesmente busque @ARTHURRRL no
aplicativo.
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2. CRONOGRAMA DO CURSO
Veja abaixo os tópicos de Raciocínio Quantitativo cobrados no
Teste:
1. CONJUNTOS, SUBCONJUNTOS E OPERAÇÕES BÁSICAS DE CONJUNTO
Conjuntos finitos e infinitos. Igualdade. Conjunto vazio. Subconjunto.
Subconjunto próprio. Conjunto universal. Conjuntos disjuntos. Operações:
união, interseção, diferença e complemento. Conjunto das partes.
Números de elementos de um conjunto.
2. CONJUNTOS DE NÚMEROS E DESIGUALDADE
Números: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Operações
desigualdades. Valor absoluto. Intervalos.
3. EXPRESSÕES E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Expressão algébrica. Fatoração. Produtos notáveis. Equações e
inequações de 1º e 2º graus. Equações com mais de uma variável.
Sistema de equações. Equação irracional.
4. SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Sequência numérica. Progressão aritmética. Progressão geométrica. Série
geométrica infinita.
5. TRIGONOMETRIA, LOGARITMO E EXPONENCIAL
Propriedades trigonométricas, logarítmica e exponencial. Identidades
trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas, logarítmicas e
exponenciais.
6. FUNÇÕES
Definição, representação gráfica, domínio e imagem. Operações de
funções. Função Constante. Função linear. Função polinomial. Função
Composta. Funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais.
7. ANÁLISE COMBINATÓRIA
Princípio de contagem. Arranjos. Permutações. Combinações. Anagramas.
Permutações com repetição. Número de permutações com repetições.
8. MATRIZES E DETERMINANTES
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Matrizes: definição, tipos e representação, igualdade, adição, subtração e
produto de matrizes. Produto de escalar por matriz. Matriz transposta.
Matriz inversa. Determinantes: definição, cálculo de determinantes de 2ª
e de 3ª ordens. Propriedades.
9. GEOMETRIA
Polígonos, circunferência e círculo: perímetro e área. Sólidos geométricos:
área e volume.
10. GEOMETRIA ANALÍTICA
Distância entre dois pontos. Reta: coeficiente angular, paralelismo,
perpendicularismo, interseção de retas, equações geral e reduzida da
reta.
11. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
Distribuição de Frequência. Medidas de Posição: Média Aritmética Simples
e Ponderada, Média Geométrica, Média Harmônica, Quartis, Decis,
Percentis, Moda e Mediana. Medidas de Dispersão, Assimetria e Curtose:
Amplitude Total, Intervalo SemiInterquartílico, Desvio Médio e Variância,
Desvio Padrão, Coeficiente de Variação. Probabilidades Conceitos Básicos:
Experimento Aleatório, Espaço Amostral, Evento. Cálculo de
Probabilidades: Eventos Certos, Evento Impossível, Eventos Mutuamente
Exclusivos, Evento Complementar. Probabilidade Condicional. Regra do
Produto. Regra do Produto para Eventos Independentes.
12. MATEMÁTICA FINANCEIRA
Razões. Proporções. Regra de três. Porcentagem. Juros simples e
compostos. Equivalência de taxas, taxas nominais, efetivas e reais.
Equivalência de capitais. Séries de pagamentos uniformes e variáveis.
Depreciação. Sistemas de amortização de empréstimos. Correção
monetária.
Nosso curso será dividido em 17 aulas escritas, além desta aula
demonstrativa, acompanhadas pelos vídeos sobre os mesmos assuntos.
Segue abaixo a relação de aulas e as datas limite de publicação. Vale
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dizer que nós sempre procuramos publicar as aulas com o máximo de
antecedência possível.
Data Aula
01/07 Aula 00 - demonstrativa (pdf + vídeo)
04/07 Aula 01 Tópicos de matemática básica para nivelamento da
turma. (pdf + vídeo)
08/07 Aula 02 Conjuntos de números. (pdf + vídeo)
12/07 Aula 03 - Razões e proporções. Porcentagem. (pdf + vídeo)
16/07 Aula 04 Conjuntos, subconjuntos e operações básicas de
conjunto (pdf + vídeo)
20/07 Aula 05 Sequências e séries. (pdf + vídeo)
24/07 Aula 06 Análise combinatória. (pdf + vídeo)
28/07 Aula 07 Probabilidades. (pdf + vídeo)
02/08 Aula 08 Matrizes e determinantes. (pdf + vídeo)
06/08 Aula 09 Expressões e equações algébricas. (pdf + vídeo)
10/08
Aula 10 Funções. Logaritmo e exponencial. Desigualdades. (pdf
+ vídeo)
14/08 Aula 11 - Geometria e trigonometria. (pdf + vídeo)
18/08 Aula 12 - Estatística. (pdf + vídeo)
22/08 Aula 13 Juros simples. (pdf + vídeo)
26/08 Aula 14 Juros compostos. (pdf + vídeo)
30/08
Aula 15 Sistemas de amortização de empréstimos. Correção
monetária. (pdf + vídeo)
02/09 Aula 16 Séries de pagamentos. (pdf + vídeo)
03/09 Aula 17 Resumo teórico (somente pdf)
Sem mais, vamos a uma demonstração do curso.
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3. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES
Nesta aula demonstrativa vamos resolver juntos algumas questões
dos Teste ANPAD anteriores. O objetivo é que você tenha uma ideia do
estilo de cobrança daquele Teste. É natural que você sinta alguma
dificuldade em resolver as questões neste momento, afinal ainda
não passamos pelos tópicos teóricos correspondentes. Ao longo das aulas
voltaremos a essas questões nos momentos oportunos, isto é, após
estudar a respectiva teoria. Aproveite esta aula para avaliar o nível de
cobrança esperado para a sua prova e, claro, a minha forma de lecionar.
Vamos começar?
1. ANPAD 2016) A figura mostra, à esquerda, a imagem promocional
da adega que Carlos ganhou de aniversário. A adega possui dois
compartimentos, um superior e outro inferior. No compartimento
superior. Com capacidade máxima de 6 garrafas, são estocados apenas
vinhos brancos. No compartimento inferior, com capacidade máxima de 9
garrafas, são estocados apenas vinhos tintos.00000000000
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A figura mostra também, à direita, uma representação da visão frontal da
adega. Nessa representação, estão destacados os locais onde as garrafas
são inseridas, sempre deitadas e com a rolha voltada para a porta. Carlos
possui apenas 3 garrafas de vinho branco e apenas 4 garrafas de vinho
tinto, todas diferentes, e irá guarda-las nos compartimentos adequados
de sua adega, que, inicialmente, estão vazios.
Obedecendo às restrições de armazenagem de cada compartimento, de
quantos modos diferentes Carlos poderá distribuir as suas 7 garrafas de
vinho por entre os 15 locais disponíveis de sua adega?
RESOLUÇÃO:
Como as garrafas de vinho são diferentes, a ordem é relevante, alterando
o resultado. Dessa forma, termos um caso de permutação.
Vinho branco: para guardar 3 garrafas em 6 possíveis posições, temos 6
opções para a primeira garrafa, 5 para a segunda e 4 para a terceira, ou
seja, 6 x 5 x 4, que pode ser escrito como 5 x 4 x 3 x 2.
Vinho tinto: para guardar 4 garrafas em 9 possíveis posições, temos 9
opções para a primeira garrafa, 8 para a segunda, 7 para a terceira e 6
para a quarta, ou seja, 9 x 8 x 7 x 6.
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Assim, ao todo, temos 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 9! modos diferentes
de distribuir as 7 garrafas de vinho por entre os 15 locais disponíveis na
adega.
RESPOSTA: B
2. ANPAD 2016) Seja P um polígono regular de 10 lados. Seja T o
conjunto de todos os seus triângulos cujos vértices estão sobre os lados
de P e tais que dois de seus vértices são vértices consecutivos de P.
Em um triângulo arbitrário do conjunto T, o maior ângulo interno pode
medir, no máximo,
A) 162º.
B) 144º.
C) 72º.
D) 48º.
E) 36º.
RESOLUÇÃO:
A Figura a seguir mostra um polígono regular de 10 lados, que se
chama decágono. Ele é composto por 10 triângulos isósceles. Cada um
desses triângulos tem um ângulo dado por 360º / 10 = 36º. Já os outros
dois ângulos de cada triângulo, que têm medidas iguais, são de (180º -
36º)/2 = 72º.
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O enunciado pede que formemos triângulos cujos vértices estão
sobre o lado desse decágono. Várias são as possibilidades disso ocorrer.
No entanto, ele nos pede o triângulo com o maior ângulo interno, e quer
saber o valor desse ângulo. O triângulo que satisfaz esses requisitos é
mostrado na Figura. Ele tem como base o segmento em vermelho e os
outros dois lados coincidem com lados do decágono. Veja que o maior
ângulo interno desse triângulo, coincide com o ângulo entre dois lados
consecutivos do decágono, que por sua vez é igual à soma de dois
ângulos da base de triângulos isósceles consecutivos que compõem o
decágono. Portanto, esse ângulo interno de maior medida mede 72º +
72º = 144º.
RESPOSTA: B
3. ANPAD 2016) Considere a seguinte equação algébrica
2
2
18 81
0
8 9
x x
x x
. Essa equação
A) não possui raízes reais.
B) possui três raízes reais.
C) possui apenas duas raízes reais e distintas.
D) possui apenas uma raiz real, cuja multiplicidade é igual a 1.
E) possui apenas uma raiz real, cuja multiplicidade é igual a 2.
RESOLUÇÃO:
No denominador da fração não podemos ter zero. Vejamos para que
valores de x a equação de segundo grau do denominador pode zerar.
-x² +8x + 9 = 0
x² - 8x 9 = 0
= b² - 4ac
= 64 4(-9)
= 64 + 36 = 100
x1 = 9
x2 = -1
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Portanto, x não pode assumir os valores 9 e -1.
Resolvendo a equação como um todo, temos que se uma fração é
igual a zero, só pode ser porque o seu numerador é zero. Assim, temos:
x² - 18x + 81 = 0
- 4ac
324 4(81)
324 - 324 = 0
x = (18)/2
x = 9
Portanto, a equação possui como raízes apenas o valor x = 9, com
multiplicidade 2, visto que 0. No entanto, havíamos concluído
anteriormente que x não pode assumir o valor 9. Portanto, essa equação
não possui raízes reais.
RESPOSTA: A
4. ANPAD 2016) Sejam A e B conjuntos tais que A possui um total de
15 elementos e B possui um total de 16 elementos. Sejam P(A) e P(B) os
conjuntos das partes dos conjuntos A e B, respectivamente. Sabe-se que
o conjunto P(A) P(B) possui um total de 1024 elementos.
O número total de elementos do conjunto A B é igual a:
A) 41
B) 31
C) 21
D) 16
E) 10
RESOLUÇÃO:
O conjunto das partes de A nada mais é do que o conjunto cujos
elementos são todos os subconjuntos de A. Podemos dizer que se A tem x
elementos, o conjunto das partes de A tem 2x
elementos. O conjunto P(A)
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P(B) tem 1024 = 210
elementos. Isso nos diz que o conjunto A B tem
10 elementos.
Sabemos também que para dois conjuntos A e B vale a relação:
A B = A + B - A B
Substituindo o número de elementos de cada conjunto no lado
direto da igualdade acima, temos:
A B = 15 + 16 10 = 31 10 = 21 elementos
RESPOSTA: C
5. ANPAD 2016) A figura nos mostra um dado que foi colocado em
uma das casas de um tabuleiro.
No dado, a soma dos números presentes em qualquer par de faces
paralelas é sempre igual a 7. Estão indicados os números presentes nas
faces do dado que são diretamente observáveis segundo o ângulo de
visão oferecido pela figura.
O dado será movido e cumprirá todo o percurso do tabuleiro, avançando
da casa em que se encontra na figura até aquela marcada com um X. O
movimento do dado se dá, casa a casa, por meio de rotações de 90º em
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torno de arestas específicas ao sentido do movimento. Na figura, as
rotações e seus sentidos são representados, em cada trecho, pelas setas
no tabuleiro. É apresentada abaixo a vista lateral da movimentação do
dado de uma casa para a próxima.
Quando o dado alcançar a casa marcada com um X, qual será o número
que estará presente em sua face superior, que é paralela àquela que está
diretamente em contato com o tabuleiro?
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
RESOLUÇÃO:
Para resolver essa questão vamos nos basear sempre no número
que está na face superior do dado. Enquanto o dado avança pelo primeiro
lado do tabuleiro ele sofrerá seis rotações. Perceba que o número 2 e o
número 5 estão nas faces laterais do dado nesse primeiro momento. O
dado começa com o número 6 na face superior. À medida que se
movimenta, os números vão se alternar na face superior da seguinte
forma: 4, 1, 3, 6, 4, 1.
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próximos movimentos do dado, os números 3 e 4 estão nas faces laterais
do dado e este está com a face 1 voltada para, de forma que os números
presentes na face superior serão: 5, 6, 2, 1, 5, 6.
Neste momento, o dado está com a face 6 voltada para cima e
entrará no terceiro lado do tabuleiro, de forma que os números presentes
na face superior serão: 4, 1, 3, 6, 4, 1
Neste momento, o dado está com a face 1 voltada para cima e
entrará no último lado do tabuleiro, de forma que os números presentes
na face superior serão: 5, 6, 2, 1. Portanto, o dado termina com a face 1
voltada para cima.
RESPOSTA: E
6. ANPAD 2016) Considere a função f: R R, definida por f(x) = ax²
uma parábola no plano cartesiano, plano esse que representa o conjunto
R² = {(x,y)|x R e y R}.
Para todo a R*, o vértice de tal parábola pertence, necessariamente, à
reta do plano cartesiano definida pela equação
A) y = 8.
B) y = 2x + 8.
C) y = -2x + 8.
D) y = x + 8.
E) y = -x + 8.
RESOLUÇÃO:
O vértice da parábola é dado por xv = -b/2a = -2/2a = -1/a.
O enunciado definiu y = f(x). Para sabermos em que valor de
ordenada y estará o vértice, basta substituir na função f(x) o valor de x
correspondente ao vértice da parábola, ou seja, x = -1/a. Substituindo
em f(x) temos:
f(-1/a) = y = a (-1/a)² + 2(-1/a) + 8
y = 1/a + -2/a + 8 = -1/a + 8
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Chegamos, portanto, a y = -1/a + 8. No entanto, sabemos que -1/a
é o valor de x no vértice. Portanto, temos:
y = x + 8
RESPOSTA: D
7. ANPAD 2015) Um empréstimo de R$ 900,00 será pago em 6
prestações mensais, sendo a primeira delas paga um mês após o
empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo
Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da última
prestação será:
a) 142,72.
b) 148,36.
c) 150,00.
d) 156,00.
e) 162,00.
RESOLUÇÃO:
O SAC, como o próprio nome já diz, é um sistema de amortização
no qual o valor da amortização (A) embutido em cada prestação é
constante, sendo dada por:
VP
A
n
em que VP é o valor presente e n o número de intervalos de tempo.
No nosso caso, VP = 900 e n = 6 meses. Logo, o valor da
amortização é A = 900 / 6 = 150 reais.
O valor da parcela P é dado pela soma da amortização A com os
juros J. O juros é sempre pago sobre o saldo devedor SD. Veja a tabela
abaixo:
n SD A J P
1 900 150 36 186
2 150
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3 150
4 150
5 150
6 150
Repare que preenchemos a coluna n e a coluna da Amortização,
visto que ela é constante. O valor do juros é de 4% do Saldo Devedor, ou
seja 4% x 900 = 36. Assim, a parcela fica sendo A + J = 150 + 36 = 186.
A cada linha o Saldo Devedor é diminuído do valor da Amortização.
Portanto, em n=2 temos SD = 900 150 = 750.
n SD A J P
1 900 150 36 186
2 750 150
3 150
4 150
5 150
6 150
Daqui em diante temos duas formas de resolver o problema.
Poderíamos preencher a tabela por inteiro, repetindo o processo descrito
acima. Ou, podemos ir direto para o que o exercício pede! Ele quer o
valor da última prestação. O valor dela será dado por A + J. A
amortização A é constante e seu valor é 150. Já o juros J é 4% do Saldo
Devedor em n = 6.
O Saldo Devedor diminui pelo valor da amortização a cada mês.
Assim, no último mês o valor do Saldo Devedor deve ser igual ao valor da
amortização, de forma que daquele momento em diante não tenhamos
mais Saldo Devedor. Assim, SD = 150 no sexto mês. Os juros ficam
sendo 4% x 150 = 6. A parcela fica sendo 150 + 6 = 156 reais.
n SD A J P
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1 900 150 36 186
2 750 150
3 150
4 150
5 150
6 150 150 6 156
RESPOSTA: D
8. ANPAD 2015) Um jogo consiste em sortear, sucessivamente, ao
acaso e sem repetição, os números do conjunto X = {1, 2, 3, 4, ..., 14,
15}. Cada jogador recebe uma única cartela com 6 números diferentes
desse mesmo conjunto. Duas cartelas podem ter números em comum.
Entretanto, não há duas cartelas com os mesmos 6 números. Vence
aquele que tiver todos os seus 6 números sorteados primeiro.
Qual a quantidade máxima de cartelas em que figuram os números 1 e 2,
mas não figura o número 15?
a) 220.
b) 495.
c) 715.
d) 1.365.
e) 1.716.
RESOLUÇÃO:
Repare que não podemos ter o número 15 na nossa cartela. Logo, é
como se a nossa cartela só pudesse ser formada a partir de 14 números
(de 1 a 14). Além disso, dos 6 números que cada cartela contém, 2 já
estão definidos (1 e 2 devem estar na cartela). Logo, só nos restam 4
números não preenchidos na cartela, os quais podem assumir os valores
{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Ou seja, entre esses 12 números
vamos escolher 4 para obter cada cartela. De quantas formas podemos
escolher 4 números num conjunto de 12? A ordem não é relevante. Uma
cartela que contenha os números 1,2,3,4,5,6 é a mesma da que contém
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os números 2,3,4,5,6,1. Portanto, temos uma combinação de 12 quatro a
quatro:
12,4
12,4
12,4
12,4
12 12!
4 4! (12 4)!
12!
4! 8!
12 11 10 9 8!
4! 8!
12 11 10 9
495
4 3 2 1
C
C
C
C
RESPOSTA: B
9. ANPAD 2015) Se a soma de dois números reais x e y é igual a 8,
qual é o menor valor possível para S = x2
+ y2
?
a) 16.
b) 18.
c) 32.
d) 48.
e) 64.
RESOLUÇÃO:
Veja que para termos x2
+ y2
sendo o menor valor possível,
devemos ter tanto em x quanto em y os menores valores em módulo
possíveis. Se x = y = 4 teremos x2
+ y2
= 42
+ 42
= 16 + 16 = 32.
Quaisquer outros valores que tentarmos seguindo as orientações do
enunciado resultam em um valor de S maior que 32.
RESPOSTA: C
10. ANPAD 2015) Joana tibita somente de três em três dias e Sérgio
tibita apenas aos sábados. Sabendo que é terça-feira e que Joana tibitou
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hoje, identifique quantas vezes, nos próximos 100 dias, os dois terão
tibitado no mesmo dia.
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
RESOLUÇÃO:
O que é tibitar não nos interessa para resolver a questão. O que
importa é que Joana tibita somente de três em três dias e Sérgio tibita
apenas aos sábados, ou seja, de sete em sete dias. 3 e 7 são números
primos e, portanto, o mínimo múltiplo comum entre eles é dado pelo
produto 3 x 7 = 21. Ou seja, suponha que Joana e Sérgio tenham tibitado
juntos algum dia. A partir daí, temos certeza que eles tibitaram juntos
novamente a cada 21 dias.
Hoje é terça-feira e Joana tibitou. Isso significa que três dias atrás,
ou seja, sábado passado, Joana também tibitou, coincidindo com Sérgio,
que só tibita aos sábados. Portanto, partindo de hoje, terça-feira,
primeiro dia, daqui 18 dias os dois tibitarão juntos novamente, ou seja,
no décimo nono dia. A partir daí é só ir somando 21 dias. A próxima
tibitada dos dois juntos será no dia 40. A seguinte, no dia 61. A seguinte,
no dia 82. A seguinte já extrapola o prazo de 100 dias. Portanto, nos
próximos 100 dias eles tibitarão juntos 4 vezes.
RESPOSTA: A
11. ANPAD 2015) Em uma penitenciária de segurança máxima, 96
presos pertencem à facção criminosa "Comando Azul" (CA), 72 presos
pertencem à facção "Segundo Comando" (SC) e 48 presos pertencem à
facção "Parceiros dos Parceiros" (PP). Todos os presos da penitenciária
pertencem a uma e apenas uma dessas três facções e, para evitar
conflitos, em cada cela só pode haver presos de uma delas. Se todas as
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celas abrigam o mesmo número de detentos, qual é o menor número
possível de celas nessa penitenciária?
a) 3.
b) 6.
c) 9.
d) 18
e) 24.
RESOLUÇÃO:
Estamos buscando, na verdade, o máximo divisor comum entre 96,
72 e 48. Veja que o exercício nos pediu para dividir esses presos em celas
iguais, com o mesmo número de pessoas, sem misturar os integrantes de
cada facção, de forma a obter o menor número possível de celas.
O menor número possível de celas está associado ao maior número
possível de detentos por cela, ou seja, o máximo divisor comum entre 96,
72 e 48.
Fatorando 96, 72 e 48 temos:
Número Fator primo
96 2
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1 Logo, 96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 25
x 3
Número Fator primo
72 2
36 2
18 2
9 3
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3 3
1 Logo, 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23
x 32
Número Fator primo
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1 Logo, 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 24
x 3
O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de
menor expoente. Veja que os três números apresentam entre seus
fatores pelo menos o 23
e o 3.
A multiplicação dos fatores comuns de menor expoente entre 96, 72
e 48 são 23
x 3 = 8 x 3 = 24. Portanto, podemos ter no máximo 24
detentos por cela.
Ao todo temos: 96 + 72 + 48 = 216 detentos. Assim, o menor
número possível de celas nessa penitenciária é 216 / 24 = 9.
RESPOSTA: C
12. ANPAD 2015) Seja a uma constante real. Para que a parábola de
equação y = x2
ax +3 intersecte a reta de y = 3x 1 em apenas um
ponto, é necessário que
a) a = -7.
b) a = 1.
c) a (-7,1).
d) a (- ,-7) (1, ).
e) a {-7,1}.
RESOLUÇÃO:
Para que as duas funções se intersectem, é necessário que elas se
igualem naquele ponto, logo:
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x2
ax +3 = 3x 1
x2
ax +3 3x + 1 = 0
x2
ax 3x + 4 = 0
x2
x(a + 3) + 4 = 0
Aplicaremos agora os conhecimentos de equação de segundo grau,
mais precisamente sobre a fórmula de Báskara. Calculando o delta e
igualando a zero, fazemos com que a equação de segundo grau acima
tenha uma raiz dupla, de forma que as funções se interceptem em apenas
um ponto.
entendimento, subst
Logo:
Delta = b2
4.d.c
Delta = (-(a + 3))2
4.1.4
Delta = a2
+ 6a + 9 16 = 0
a2
+ 6a 7 = 0
Temos, novamente, uma equação de segundo grau. Para resolvê-la,
aplicamos Báskara novamente.
Delta = b2
4.d.c
Delta = 62
4.1.(-7)
Delta = 36 + 28
Delta = 64
a = (-
a = (-
a = (-6 ± 8)/2
a1 = (-6 + 8)/2 = 1
a2 = (-6 - 8)/2 = -7
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Portanto, concluímos que a {-7,1}. Note que havia também a resposta
a (-7,1). A banca considerou que os parênteses não indicam que as
extremidades do conjunto pertencem a ele.
RESPOSTA: E
13. ANPAD 2015) Após o pagamento do mês de julho, a dívida de
Eduardo no cartão de crédito era P de reais. Em agosto, ele pagou apenas
os juros da dívida, que eram de 2% ao mês sobre o saldo devedor. Em
setembro, Eduardo pagou dez vezes mais do que havia pagado no mês
anterior, ficando com uma dívida de R$ 820,00. Determine o valor de P.
a) R$ 875,00.
b) R$ 1.000,00.
c) R$ 1.020,00.
d) R$ 1.025,00.
e) R$ 1.045,00.
RESOLUÇÃO:
Eduardo iniciou o mês de agosto com uma dívida de P reais no
cartão de crédito. Em agosto, ele pagou apenas os juros da dívida, no
valor de 2% do saldo devedor P 0,02P. Ou seja, nada foi pago a título
de amortização. Portanto, Eduardo inicia o mês de setembro com uma
dívida também de P.
Em setembro, Eduardo pagou dez vezes mais do que havia pagado
no mês anterior, 10 x 0,02P = 0,2P, ficando com uma dívida de R$
820,00. Os juros novamente são de 2% ao mês. Logo, 0,02P novamente
serão pagos a título de juros no mês de setembro. Apenas a diferença
0,2P 0,02P = 0,18P corresponde ao total amortizado da dívida em
setembro.
Portanto, o saldo devedor no início do mês de setembro era P.
Durante o mês ele amortizou 0,18P e finalizou o mês com uma dívida de
820 reais. Logo:
P 0,18P = 820
0,82P = 820
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P = 1.000 reais
RESPOSTA: B
14. ANPAD 2015) Selma fez um empréstimo bancário no valor de R$
2.695,42 que será pago em 24 prestações mensais de R$ 300,00 cada. A
primeira dessas prestações será paga um mês após a contratação do
empréstimo.
A cada período de 1 mês, o saldo devedor é corrigido sendo submetido a
uma taxa de juros de 10%. O valor de cada prestação é dimensionado de
forma a cobrir os juros sobre o saldo devedor naquele mês e o excedente
amortiza o saldo devedor.
Em todas as etapas, os cálculos são feitos de modo que valores com mais
de duas casas decimais sejam arredondados para exatamente duas, por
aproximação.
O valor amortizado exclusivamente pelo pagamento da 2ª prestação foi
de
a) R$ 30,46.
b) R$ 32,70.
c) R$ 33,50.
d) R$ 35,10.
e) R$ 36,85.
RESOLUÇÃO:
A questão trata sobre o Sistema Francês de amortização, em que
todas as parcelas têm o mesmo valor. Do enunciado temos que o Valor
Presente (VP) é de R$ 2.695,42, n = 24 meses, a parcela P é de 300
reais.
Ao final do primeiro mês, o juros (J) será dado por:
J = 10% x 2.695,42 = 269,54 reais.
Assim, o valor da amortização no primeiro mês é de:
P = J + A
A = P J
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A = 300 269,54
A = 30,46 reais.
O saldo devedor pro segundo mês passa a ser de:
SD = 2.695,42 30,46 = 2664,96 reais.
Ao final do segundo mês, o juros (J) será dado por:
J = 10% x 2664,96 = 266,50 reais.
Assim, o valor da amortização no segundo mês é de:
P = J + A
A = P J
A = 300 266,50
A = 33,50 reais.
RESPOSTA: C
15. ANPAD 2015) Representado num sistema cartesiano, o gráfico de
uma função polinomial de segundo grau f:R R corresponde a uma
parábola que passa pelo ponto (3,-7) e que intersecta o eixo das
ordenadas em (0,-4).
Se a abscissa do vértice dessa parábola é 4, então o produto das raízes é
igual a:
a) 8.
b) 4.
c) -4.
d) -8.
e) -20.
RESOLUÇÃO:
Seja f(x) = ax2
+ bx + c a função polinomial, cujo gráfico é uma
parábola.
A abscissa do vértice de uma parábola é dada por:
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4
2
8
v
b
x
a
b a
A parábola intersecta o eixo das ordenadas em (0,-4). Logo:
f(x) = ax2
+ bx + c
-4 = c
A parábola passa pelo ponto (3,-7). Logo:
f(x) = ax2
+ bx + c
-7 = a32
+ b3 + c
-7 = 9a + 3b + c
-7 = 9a + 3(-8a) + c
-7 = 9a - 24a + c
-7 = -15a 4
15a = 3
a = 1/5
O produto das raízes é dado por c/a.
4
1
5
20
c
produto
a
produto
produto
RESPOSTA: E
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Fim de aula!!! Nos vemos na Aula 01.
Abraço,
Prof. Arthur Lima
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Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima
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1. ANPAD 2016) A figura mostra, à esquerda, a imagem promocional
da adega que Carlos ganhou de aniversário. A adega possui dois
compartimentos, um superior e outro inferior. No compartimento
superior. Com capacidade máxima de 6 garrafas, são estocados apenas
vinhos brancos. No compartimento inferior, com capacidade máxima de 9
garrafas, são estocados apenas vinhos tintos.
A figura mostra também, à direita, uma representação da visão frontal da
adega. Nessa representação, estão destacados os locais onde as garrafas
são inseridas, sempre deitadas e com a rolha voltada para a porta. Carlos
possui apenas 3 garrafas de vinho branco e apenas 4 garrafas de vinho
tinto, todas diferentes, e irá guarda-las nos compartimentos adequados
de sua adega, que, inicialmente, estão vazios.
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Obedecendo às restrições de armazenagem de cada compartimento, de
quantos modos diferentes Carlos poderá distribuir as suas 7 garrafas de
vinho por entre os 15 locais disponíveis de sua adega?
2. ANPAD 2016) Seja P um polígono regular de 10 lados. Seja T o
conjunto de todos os seus triângulos cujos vértices estão sobre os lados
de P e tais que dois de seus vértices são vértices consecutivos de P.
Em um triângulo arbitrário do conjunto T, o maior ângulo interno pode
medir, no máximo,
A) 162º.
B) 144º.
C) 72º.
D) 48º.
E) 36º.
3. ANPAD 2016) Considere a seguinte equação algébrica
2
2
18 81
0
8 9
x x
x x
. Essa equação
A) não possui raízes reais.
B) possui três raízes reais.
C) possui apenas duas raízes reais e distintas.
D) possui apenas uma raiz real, cuja multiplicidade é igual a 1.
E) possui apenas uma raiz real, cuja multiplicidade é igual a 2.
4. ANPAD 2016) Sejam A e B conjuntos tais que A possui um total de
15 elementos e B possui um total de 16 elementos. Sejam P(A) e P(B) os
conjuntos das partes dos conjuntos A e B, respectivamente. Sabe-se que
o conjunto P(A) P(B) possui um total de 1024 elementos.
O número total de elementos do conjunto A B é igual a:
A) 41
B) 31
C) 21
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D) 16
E) 10
5. ANPAD 2016) A figura nos mostra um dado que foi colocado em
uma das casas de um tabuleiro.
No dado, a soma dos números presentes em qualquer par de faces
paralelas é sempre igual a 7. Estão indicados os números presentes nas
faces do dado que são diretamente observáveis segundo o ângulo de
visão oferecido pela figura.
O dado será movido e cumprirá todo o percurso do tabuleiro, avançando
da casa em que se encontra na figura até aquela marcada com um X. O
movimento do dado se dá, casa a casa, por meio de rotações de 90º em
torno de arestas específicas ao sentido do movimento. Na figura, as
rotações e seus sentidos são representados, em cada trecho, pelas setas
no tabuleiro. É apresentada abaixo a vista lateral da movimentação do
dado de uma casa para a próxima.
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Quando o dado alcançar a casa marcada com um X, qual será o número
que estará presente em sua face superior, que é paralela àquela que está
diretamente em contato com o tabuleiro?
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
6. ANPAD 2016) Considere a função f: R R, definida por f(x) = ax²
uma parábola no plano cartesiano, plano esse que representa o conjunto
R² = {(x,y)|x R e y R}.
Para todo a R*, o vértice de tal parábola pertence, necessariamente, à
reta do plano cartesiano definida pela equação
A) y = 8.
B) y = 2x + 8.
C) y = -2x + 8.
D) y = x + 8.
E) y = -x + 8.
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7. ANPAD 2015) Um empréstimo de R$ 900,00 será pago em 6
prestações mensais, sendo a primeira delas paga um mês após o
empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo
Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da última
prestação será:
a) 142,72.
b) 148,36.
c) 150,00.
d) 156,00.
e) 162,00.
8. ANPAD 2015) Um jogo consiste em sortear, sucessivamente, ao
acaso e sem repetição, os números do conjunto X = {1, 2, 3,4, ..., 14,
15}. Cada jogador recebe uma única cartela com 6 números diferentes
desse mesmo conjunto. Duas cartelas podem ter números em comum.
Entretanto, não há duas cartelas com os mesmos 6 números. Vence
aquele que tiver todos os seus 6 números sorteados primeiro.
Qual a quantidade máxima de cartelas em que figuram os números 1 e 2,
mas não figura o número 15?
a) 220.
b) 495.
c) 715.
d) 1.365.
e) 1.716.
9. ANPAD 2015) Se a soma de dois números reais x e y é igual a 8,
qual é o menor valor possível para S = x2
+ y2
?
a) 16.
b) 18.
c) 32.
d) 48.
e) 64.
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10. ANPAD 2015) Joana tibita somente de três em três dias e Sérgio
tibita apenas aos sábados. Sabendo que é terça-feira e que Joana tibitou
hoje, identifique quantas vezes, nos próximos 100 dias, os dois terão
tibitado no mesmo dia.
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
11. ANPAD 2015) Em uma penitenciária de segurança máxima, 96
presos pertencem à facção criminosa "Comando Azul" (CA), 72 presos
pertencem à facção "Segundo Comando" (SC) e 48 presos pertencem à
facção "Parceiros dos Parceiros" (PP). Todos os presos da penitenciária
pertencem a uma e apenas uma dessas três facções e, para evitar
conflitos, em cada cela só pode haver presos de uma delas. Se todas as
celas abrigam o mesmo número de detentos, qual é o menor número
possível de celas nessa penitenciária?
a) 3.
b) 6.
c) 9.
d) 18
e) 24.
12. ANPAD 2015) Seja a uma constante real. Para que a parábola de
equação y = x2
ax +3 intersecte a reta de y = 3x 1 em apenas um
ponto, é necessário que
a) a = -7.
b) a = 1.
c) a (-7,1).
d) a (- ,-7) (1, ).
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e) a {-7,1}.
13. ANPAD 2015) Após o pagamento do mês de julho, a dívida de
Eduardo no cartão de crédito era P de reais. Em agosto, ele pagou apenas
os juros da dívida, que eram de 2% ao mês sobre o saldo devedor. Em
setembro, Eduardo pagou dez vezes mais do que havia pagado no mês
anterior, ficando com uma dívida de R$ 820,00. Determine o valor de P.
a) R$ 875,00.
b) R$ 1.000,00.
c) R$ 1.020,00.
d) R$ 1.025,00.
e) R$ 1.045,00.
14. ANPAD 2015) Selma fez um empréstimo bancário no valor de R$
2.695,42 que será pago em 24 prestações mensais de R$ 300,00 cada. A
primeira dessas prestações será paga um mês após a contratação do
empréstimo.
A cada período de 1 mês, o saldo devedor é corrigido sendo submetido a
uma taxa de juros de 10%. O valor de cada prestação é dimensionado de
forma a cobrir os juros sobre o saldo devedor naquele mês e o excedente
amortiza o saldo devedor.
Em todas as etapas, os cálculos são feitos de modo que valores com mais
de duas casas decimais sejam arredondados para exatamente duas, por
aproximação.
O valor amortizado exclusivamente pelo pagamento da 2ª prestação foi
de
a) R$ 30,46.
b) R$ 32,70.
c) R$ 33,50.
d) R$ 35,10.
e) R$ 36,85.
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15. ANPAD 2015) Representado num sistema cartesiano, o gráfico de
uma função polinomial de segundo grau f:R R corresponde a uma
parábola que passa pelo ponto (3,-7) e que intersecta o eixo das
ordenadas em (0,-4).
Se a abscissa do vértice dessa parábola é 4, então o produto das raízes é
igual a:
a) 8.
b) 4.
c) -4.
d) -8.
e) -20.
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01 B 02 B 03 A 04 C 05 E 06 D 07 D
08 B 09 C 10 A 11 C 12 E 13 B 14 C
15 E
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