Conhecimentos específicos p/ Professor de Matemática DF

Aula 00
Conhecimentos Específicos de Matemática p/ SEDF (Professor: Matemática)
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
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CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS DE MATEMÁTICA P/ SEDF
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1
AULA 00 (demonstrativa)
SUMÁRIO PÁGINA
1. Apresentação 01
2. Edital e cronograma do curso 04
3. Resolução de questões 09
4. Questões apresentadas na aula 49
5. Gabarito 65
1. APRESENTAÇÃO
Seja bem-vindo a este curso de CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
DE MATEMÁTICA, desenvolvido auxiliar na sua preparação para o
concurso de Professor da Secretaria de Educação do Distrito
Federal. Vamos seguir à risca o conteúdo do último edital. Neste material
você terá:
- curso completo em vídeo, formado por cerca de 12 horas de
gravações onde explico todos os tópicos exigidos no edital e resolvo
alguns exercícios para você começar a se familiarizar com os temas;
- curso escrito completo (em PDF), formado por 15 aulas onde
também explico todo o conteúdo teórico do edital, além de apresentar
cerca de 500 questões resolvidas e comentadas sobre todos os
assuntos trabalhados;
- fórum de dúvidas, onde você pode entrar em contato direto conosco.
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Vale dizer que este curso é concebido para ser o seu único
material de estudos, isto é, você não precisará adquirir livros ou outros
materiais para tratar da minha disciplina. A ideia é que você consiga
economizar bastante tempo, pois abordaremos todos os tópicos
exigidos no último edital da SEDF e nada além disso, e você poderá
estudar conforme a sua disponibilidade de tempo, em qualquer ambiente
onde você tenha acesso a um computador, tablet ou celular, e evitará a
perda de tempo gerada pelo trânsito das grandes cidades. Isso é
importante para todos os candidatos, mas é especialmente relevante
para aqueles que trabalham e estudam, como era o meu caso quando
estudei para a Receita Federal.
Você nunca estudou as minhas disciplinas para concursos
públicos? Não tem problema, este curso também te atende. Isto porque
você estará adquirindo um material bastante completo, onde você poderá
trabalhar cada assunto em vídeos e também em aulas escritas, e resolver
uma grande quantidade de exercícios, sempre podendo consultar as
minhas resoluções e tirar dúvidas através do fórum. Assim, é
plenamente possível que, mesmo sem ter estudado este conteúdo
anteriormente, você consiga um ótimo desempenho na sua prova.
Obviamente, se você se encontra nesta situação, será preciso investir um
tempo maior, dedicar-se bastante ao conteúdo do nosso curso.
O fato do curso ser formado por vídeos e PDFs tem mais uma
vantagem: isto permite que você vá alternando entre essas duas
formas de estudo, tornando um pouco mais agradável essa dura
jornada de preparação. Quando você estiver cansado de ler, mas ainda
quiser continuar estudando, é simples: assista algumas aulas em vídeo!
Ou resolva uma bateria de questões!
Sou Engenheiro Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de
Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos no mercado de aviação, sendo
que, no período final, tive que conciliar com o estudo para o concurso da
Receita Federal. Fui aprovado para os cargos de Auditor-Fiscal e Analista-
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Tributário. Sou professor aqui no Estratégia Concursos desde o primeiro
ano do site (2011), e tive o privilégio de realizar mais de 300 cursos
online até o momento, o que me permitiu ganhar bastante familiaridade
com o seu estilo e verificar na prática a sua efetividade. Neste período, vi
vários de nossos alunos sendo aprovados nos cargos que almejavam.
Também contaremos com a colaboração do professor Hugo Lima
neste curso. Veja a apresentação dele abaixo:
Olá! Meu nome é Hugo Lima e sou Engenheiro Mecânico-
Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por
5 anos e meio na Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo
que, no período final, também tive que conciliar o trabalho com o estudo
para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de Auditor-
Fiscal em 2012.
Aqui no Estratégia nós sempre solicitamos que os alunos avaliem os
nossos cursos. Procuro sempre acompanhar as críticas, para estar sempre
aperfeiçoando os materiais. Felizmente venho conseguindo obter índices
de aprovação bastante elevados acima de 95%, muitas vezes chegando
a 100%. Espero que você também aprove o nosso material!
Quer tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso? Deixo abaixo
meus contatos:
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Periscope, onde
transmito vídeos gratuitos ao vivo com dicas adicionais para seu estudo:
www.periscope.tv/arthurrrl, ou simplesmente busque @ARTHURRRL no
aplicativo.
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2. CRONOGRAMA DO CURSO
Veja abaixo os tópicos de matemática cobrados no último concurso:
1. Conjuntos: noções de conjunto; operações; subconjuntos; conjunto
das partes de um conjunto; relação. 2. Números naturais e inteiros:
divisibilidade, fatoração, MDC, MMC e congruências. 3. Números
racionais: razões e proporções. 4. Números reais: representação de
números por pontos na reta, representação decimal, potenciação e
radiciação, percentagens, regras de três simples e composta. 5. Números
complexos: conceituação, operações, forma trigonométrica, potências e
raízes. 6. Álgebra. 6.1. Equações algébricas: equações de 1° e de 2º
graus e equações redutíveis ao 2° grau. 6.2. Matrizes: tipos de matrizes,
operações, determinantes, matriz inversa. 6.3. Sistemas de equações
lineares: resolução de sistemas lineares por escalonamento, regra de
Cramer e teorema de Rouché-Capelli. 6.4. Polinômios: propriedades,
operações, fatoração, raízes, teorema fundamental da álgebra;
inequações de 1° e de 2° graus. 7. Combinatória e probabilidade. 7.1.
Cálculo combinatório: arranjo, permutação e combinações. 7.2. Números
binomiais, binômio de Newton e suas propriedades. 7.3. Probabilidade de
um evento. 7.4. Interseção e união de eventos. 7.5. Probabilidade
condicional. 7.6. Lei binomial da probabilidade. 8. Geometria. 8.1.
Geometria plana: elementos primitivos, semi-retas, semiplanos,
segmentos e ângulo. 8.1.1. Retas perpendiculares e retas paralelas.
8.1.2. Triângulos. 8.1.3. Quadriláteros. 8.1.4. Circunferência. 8.1.5.
Segmentos proporcionais. 8.1.6. Semelhança de polígonos. 8.1.7.
Relações métricas em triângulos, círculos e polígonos regulares. 8.1.8.
Áreas de polígonos, de círculos e de figuras circulares. 8.2. Geometria no
espaço. 8.2.1. Perpendicularidade e paralelismo de retas e planos. 8.2.2.
Noções sobre triedros. 8.2.3. Poliedros. 8.2.4. Área e volume dos
prismas, cones, pirâmides e respectivos troncos. 8.2.5. Esferas e
cilindros: áreas e volumes. 8.3. Geometria analítica. 8.3.1. Coordenadas
cartesianas no plano. 8.3.2. Distância entre dois pontos. 8.3.3. Estudo
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analítico da reta, da circunferência, da elipse, da parábola e da hipérbole,
translação e rotação de eixos. 8.4. Trigonometria. 8.4.1. Ângulos e arcos
trigonométricos. 8.4.2. Identidades trigonométricas para adição,
subtração, multiplicação e divisão de arcos. 8.4.3. Fórmulas
trigonométricas para a transformação de somas em produtos. 8.4.4.
Equações trigonométricas. 8.4.5. Aplicações da trigonometria ao cálculo
de elementos de um triângulo. 9. Funções. 9.1. Conceito de função:
domínio, imagem e gráficos. 9.2. Composição de funções, funções
inversas, funções polinomiais, função modular, função exponencial,
função logarítmica, funções trigonométricas e suas inversas. 10. Limites:
propriedades, limites laterais, limites infinitos e no infinito. 11.
Continuidade: funções contínuas e suas propriedades, teoremas do valor
intermediário e dos valores extremos. 12. Derivada: conceito, reta
tangente e reta normal ao gráfico de uma função, funções deriváveis,
regras de derivação, regra da cadeia, derivada da função inversa,
teoremas de Rolle e do valor médio, derivadas de ordem superior, valores
de máximo e mínimo relativos e absolutos de funções, comportamento
das funções, testes das derivadas primeira e segunda, aplicações da
derivada. 13. Integral: definida e indefinida, teorema fundamental do
cálculo, técnicas de integração, áreas de regiões planas, comprimento de
arco, áreas de superfícies de revolução, volumes de sólidos de revolução.
14. Questões relacionadas ao processo de ensino-aprendizagem de
Matemática.
Nosso curso será dividido em 15 aulas escritas, além desta aula
demonstrativa, acompanhadas pelos vídeos sobre os mesmos assuntos.
Segue abaixo a relação de aulas e as datas limite de publicação. Vale
dizer que nós sempre procuramos publicar as aulas com o máximo de
antecedência possível.
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Data Aula
10/06 Aula 00 - demonstrativa (pdf + vídeo)
18/06 Aula 01 - Números naturais e inteiros: divisibilidade, fatoração,
MDC, MMC e congruências. Números racionais. Números reais:
representação de números por pontos na reta, representação
decimal, potenciação e radiciação. Números complexos:
conceituação, operações, forma trigonométrica, potências e
raízes. (pdf + vídeo)
26/06 Aula 02 - Razões e proporções. Percentagens, regras de três
simples e composta. (pdf + vídeo)
04/07 Aula 03 - Conjuntos: noções de conjunto; operações;
subconjuntos; conjunto das partes de um conjunto; relação. (pdf
+ vídeo)
12/07 Aula 04 - Álgebra. Equações algébricas: equações de 1° e de 2º
graus e equações redutíveis ao 2° grau. (pdf + vídeo)
20/07 Aula 05 - Combinatória. Cálculo combinatório: arranjo,
permutação e combinações. Números binomiais, binômio de
Newton e suas propriedades. (pdf + vídeo)
28/07
Aula 06 - Probabilidade. Probabilidade de um evento. Interseção
e união de eventos. Probabilidade condicional. Lei binomial da
probabilidade. (pdf + vídeo)
06/08
Aula 07 - Geometria. Geometria plana: elementos primitivos,
semi-retas, semiplanos, segmentos e ângulo. Retas
perpendiculares e retas paralelas. Triângulos. Quadriláteros.
Circunferência. Segmentos proporcionais. Semelhança de
polígonos. Relações métricas em triângulos, círculos e polígonos
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regulares. Áreas de polígonos, de círculos e de figuras circulares.
(pdf + vídeo)
14/08
Aula 08 - Geometria no espaço. Noções sobre triedros. Poliedros.
Área e volume dos prismas, cones, pirâmides e respectivos
troncos. Esferas e cilindros: áreas e volumes. (pdf + vídeo)
22/08
Aula 09 - Funções. Conceito de função: domínio, imagem e
gráficos. Composição de funções, funções inversas, funções
polinomiais, função modular, função exponencial, função
logarítmica e suas inversas. Polinômios: propriedades, operações,
fatoração, raízes, teorema fundamental da álgebra; inequações
de 1° e de 2° graus. (pdf + vídeo)
30/08
Aula 10 - Geometria analítica. Perpendicularidade e paralelismo
de retas e planos. Coordenadas cartesianas no plano. Distância
entre dois pontos. Estudo analítico da reta, da circunferência, da
elipse, da parábola e da hipérbole, translação e rotação de eixos.
(pdf + vídeo)
08/09
Aula 11 - Matrizes: tipos de matrizes, operações, determinantes,
matriz inversa. Sistemas de equações lineares: resolução de
sistemas lineares por escalonamento, regra de Cramer e teorema
de Rouché-Capelli. (pdf + vídeo)
16/09
Aula 12 - Trigonometria. Ângulos e arcos trigonométricos.
Identidades trigonométricas para adição, subtração, multiplicação
e divisão de arcos. Fórmulas trigonométricas para a
transformação de somas em produtos. Equações trigonométricas.
Aplicações da trigonometria ao cálculo de elementos de um
triângulo. Funções trigonométricas. (pdf + vídeo)
28/09
Aula 13 - Limites: propriedades, limites laterais, limites infinitos e
no infinito. Continuidade: funções contínuas e suas propriedades,
teoremas do valor intermediário e dos valores extremos.
Derivada: conceito, reta tangente e reta normal ao gráfico de
uma função, funções deriváveis, regras de derivação, regra da
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cadeia, derivada da função inversa, teoremas de Rolle e do valor
médio, derivadas de ordem superior, valores de máximo e
mínimo relativos e absolutos de funções, comportamento das
funções, testes das derivadas primeira e segunda, aplicações da
derivada. Integral: definida e indefinida, teorema fundamental do
cálculo, técnicas de integração, áreas de regiões planas,
comprimento de arco, áreas de superfícies de revolução, volumes
de sólidos de revolução. Questões relacionadas ao processo de
ensino-aprendizagem de Matemática. (pdf + vídeo)
02/10 Aula 14 Bateria de questões (somente pdf)
10/10 Aula 15 Resumo teórico (somente pdf)
Sem mais, vamos a uma demonstração do curso.
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3. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES
Nesta aula demonstrativa vamos resolver juntos algumas questões
do IBFC, do CESPE e também de outras bancas. O último certame para a
SEDF foi feito pelo IBFC. No entanto, sabemos que o próximo será feito
pelo CESPE, mesma banca que fez o concurso de 2008 (penúltimo). Logo,
achamos importante ver questões dessa prova para nos familiarizarmos
com o estilo de cobrança da banca. É natural que você sinta alguma
dificuldade em resolver as questões neste momento, afinal ainda
não passamos pelos tópicos teóricos correspondentes. Ao longo das aulas
voltaremos a essas questões nos momentos oportunos, isto é, após
estudar a respectiva teoria. Aproveite esta aula para avaliar a minha
forma de lecionar. Vamos começar?
1. CESPE SEPLAG/DF 2008) Um estudante quer saber o quanto ele
caminha de sua casa até a escola que freqüenta. O bairro da cidade onde
fica a sua casa e a sua escola é divido em quarteirões, quadrados que
medem 500 m de lado. Com o objetivo de medir tal percurso, é possível
considerar esse bairro em um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais xOy, em que o centro O = (0, 0) desse sistema corresponde à
casa do estudante. Para isso, como unidade de medida, adota-se o
comprimento dos lados dos quarteirões desconsiderado a largura das ruas
que, ao formarem os contornos dos quarteirões, são paralelas ou
perpendiculares aos eixos coordenados. A direção Norte-Sul corresponde
ao eixo das ordenadas (com orientação de Sul para Norte), e a direção
Leste-Oeste, ao eixo das abscissas (com orientação de Oeste para Leste).
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Assim, considerando esse sistema de coordenadas, a escola fica no
vértice superior esquerdo do quarteirão que encontra-se a dois
quarteirões a Oeste e três quarteirões ao Norte da casa do menino.
Com base nas informações apresentadas, julgue os itens
seguintes.
I) Nesse sistema, a escola situa-se no ponto de coordenadas (2, 3).
II) Caso caminhe em linha reta de sua casa até a escola, a distância
percorrida será inferior a 2.000 m.
III) O coeficiente angular da reta que passa pela casa e pela escola é
igual a 1,5.
IV) A reta que passa pela escola e é perpendicular à que contém a casa
do menino e a escola, tem coeficiente linear igual a 4/3.
RESOLUÇÃO:
Errado. Veja na Figura abaixo que a escola se situa no ponto (-2,3):
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Correto. A distância entre a escola e a casa é dada por:
d2 = (xc xe)2 + (yc ye)2
d2 = (0 (-2))2 + (0 3)2
d2 = 4 + 9 = 13
d = 3,6
Como cada unidade no plano cartesiano equivale a 500 metros, a
distância é de 3,6 x 500 = 1802 metros.
igual a 1,5.
Errado. A reta passa pelos pontos (-2,3) e (0,0). Podemos dizer que sua
equação é y = (-3/2)x = -1,5x. Logo, o coeficiente angular é -1,5.
Errado. Se a reta é perpendicular à reta que pela pela casa e pela escola,
então o coeficiente angular dela é inverso e oposto ao daquela, ou seja, é
2/3. Como a reta passa pela escola, temos:
y = ax + b
y = 2/3x + b
3 = (2/3)(-2) + b
b = 13/3
RESPOSTA: E C E E
2. CESPE SEPLAG/DF 2008) Para o cultivo de flores em suas
terras, um agricultor reservou um terreno plano que, em um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais xOy, é semelhante à região
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delimitada pelos gráficos das funções , y= x-1 e pela reta x
=1, para x 1.
Julgue os itens a seguir, com relação a essa região.
I) Os gráficos das funções mencionadas acima interceptam-se em pontos
de abscissas x = -1 e x = 2.
II) A área do terreno onde será feito o plantio de flores é inferior a 1
unidade de área.
III) Considere o triângulo em que seus vértices A, B e C estejam sobre os
lados do terreno onde será feito o plantio de flores: o vértice A está sobre
o eixo Ox, o vértice B está sobre a parábola e sobre a reta
y=x-1, e o vértice C está sobre a parábola e sobre a reta
x=1. Nesse caso, perímetro do triângulo ABC é superior a 3 unidades de
comprimento.
RESOLUÇÃO:
Vamos substituir 1y x em
1
( 3)
2
y x x :
2
2
1
1 ( 3)
2
2 2 3
2 0
x x x
x x x
x x
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1
2
1 4( 2) 9
1 3
2
2
1
x
x
x
unidade de área.
Veja abaixo a região delimitada pelas três funções:
Fica fácil visualizar que a área da figura delimitada pelas funções é
inferior a 1 unidade de área, que seria o correspondente à área de um
comprimento.
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O perímetro do triângulo será dado por 1 + 1 + 2 , visto que
temos dois catetos de comprimento unitário e a hipotenusa coincide com
a diagonal do quadrado de lado 1. Assim, podemos afirmar que o
perímetro do triângulo ABC é superior a 3 unidades de comprimento.
RESPOSTA: C C C
3. CESPE SEPLAG/DF 2008)
O presidente de um clube esportivo apresentou à diretoria o gráfico
ilustrado acima, que relaciona gastos efetuados no terceiro trimestre do
ano. Questionado acerca do valor correspondente a pagamento de
empregados, que parecia pequeno, o presidente informou que esse valor
não incluía encargos sociais como fundo de garantia, imposto de renda,
INSS etc., que, em conjunto, aumentariam o valor apresentado em 35%.
Com referência à situação descrita, julgue os próximos itens.
I) Se, no segundo trimestre, as despesas foram 10% inferiores às do
primeiro trimestre, e, no terceiro trimestre, 10% superiores às do
segundo, então as despesas do terceiro trimestre são iguais às do
primeiro.
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II) Incluindo-se os encargos sociais ao pagamento de empregados,
verifica-se que esse total ainda é inferior à despesa com serviços de
manutenção.
III) Utilizando-se um gráfico de pizza equivalente ao gráfico de barras
apresentado pelo presidente, vê-se que a área correspondente a compras
para o bar é igual a um quarto da área do gráfico todo.
RESOLUÇÃO:
primeiro.
Vamos chamar de x as despesas do primeiro trimestre. No segundo
trimestre, as despesas foram 10% inferiores às do primeiro trimestre,
logo, foram de 0,9x. No terceiro trimestre, as despesas foram 10%
superiores às do segundo, logo, foram de 1,1 . 0,9x = 0,99x. As despesas
do terceiro trimestre são diferentes daquelas do primeiro.
manutenção.
Pagamento de empregados = 5000
Pagamento de empregados com encargos sociais = 5000 + 35%x5000
Pagamento de empregados com encargos sociais = 6750 reais.
Despesa com serviços de manutenção: 6800 reais.
Pagamento de empregados com encargos sociais < Despesa com serviços
de manutenção
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Primeiro precisamos encontrar a qual valor corresponde a pizza inteira, ou
seja, o 100%. Para isso, somamos todos os valores das componentes do
gráfico, obtendo: 9000 + 7900 + 7300 + 6800 + 5000 = 36000.
A área correspondente a compras para o bar é igual a 9000/36000 = 25%
= um quarto da área do gráfico todo.
RESPOSTA: E C C
4. CESPE SEPLAG/DF 2008) Considere os polinômios p(x) = x3 -
5x2 + 6x e d(x) = x - 3, e seja q(x) o quociente da divisão de p(x) por
d(x), cujo resto é representado por r(x).
Nesse caso, é correto afirmar que
I) p(x) não é divisível por d(x), isto é, para algum valor de x tem-se que
r 0.
II) o produto das raízes de p(x) é igual a 6.
III) o valor de p(x) em x = 3 é igual a r(3).
RESOLUÇÃO:
r 0.
x3 - 5x2 + 6x |x-3
-(x3 - 3x2) x2 - 2x
-2x2 + 6x
-(-2x2+6x)
0
O resto r=0. Item errado.
Veja que p(x) = x3 - 5x2 + 6x não possui nenhum termo
independente de x, logo, x=0 é uma de suas raízes. Portanto, o produto
das raízes é necessariamente zero. Item errado.
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p(x) = x3 - 5x2 + 6x
p(3) = 27 -5(9) + 6(3)
p(3) = 27 45 + 18 = 0
Sabemos também que r=0 para qualquer valor de x. Logo, o item é
correto.
RESPOSTA: E E C
5. CESPE SEPLAG/DF 2008) Na compra de duas maçãs e três
mangas, uma pessoa pagou R$ 3,60. Outra pessoa comprou três maçãs e
duas mangas e pagou R$ 3,40. Sabendo-se que o preço unitário de cada
fruta foi o mesmo em cada compra, o problema de se determinar o valor
unitário de cada fruta pode ser expresso por meio de um sistema
composto de duas equações lineares e duas incógnitas, que também pode
ser escrito na forma matricial: AX = B, em que A = é a matriz das
incógnitas e B = é a matriz dos termos independentes.
Com relação a essas informações, julgue os itens seguintes.
I) O preço de 4 mangas foi igual a R$ 2,40.
II) No caso, a inversa da matriz A é a matriz
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III) Para obter o preço unitário de cada fruta, é suficiente multiplicar a
inversa da matriz A à esquerda da matriz B.
IV) O problema de se determinar o preço unitário de cada fruta se
resumiu em resolver o seguinte sistema de equações lineares:
RESOLUÇÃO:
2 3 3,60
3 2 3,40
2 3 3,60
3 2 3,40
3,6 3 / 2
maça
manga
maça manga
maça manga
maça manga
x
x
x x
x x
x x
3
3,6 3 2 3,4
2
3 3,6 3 4 6,8
10,8 5 6,8
0,8
0,6
manga manga
manga manga
manga
manga
maça
x x
x x
x
x
x
Portanto, 4 mangas são 3,20 reais. Item errado.
Vamos multiplicar a matriz A ela matriz dada para ver se obtemos a
matriz identidade:
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2 3 2 3 2 3
2 3( ) 3 2( )
2 3 5 5 5 5 5 5
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2( ) 3( ) 2
5 5 5 5 5 5
2 3
2 3 1 05 5
3 2 3 2 0 1
5 5
Portanto, item errado.
inversa da matriz A à esquerda da matriz B.
AX = B
Multiplicando os dois lados da igualdade pela inversa de A, temos:
A-1AX = A-1B
IX = A-1B
X = A-1B
Item correto.
Item correto. Foi o que fizemos no item I.
RESPOSTA: E E C C
6. CESPE SEPLAG/DF 2008) Considerando os ângulos e , em
graus, tais que + = 90º, e e > 0º, julgue os itens
subseqüentes.
I)
1
cos
sen
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II) Nas condições apresentadas, tg sempre existe.
III) Se e são ângulos internos de um triângulo, então esse triângulo
é retângulo.
RESOLUÇÃO:
I)
1
cos
sen
1
cos
cos 1
cos(90 ) 1
(cos90cos 90 ) 1
sen
sen
sen
sen sen sen
2
1
1
1
sen sen
sen
sen
Como 0< <90º, chegamos a um absurdo, visto que teria que ser
90º ou 270º para satisfazer a condição de 1sen . Item errado.
Como 0< <90º então podemos dizer que tg sempre existe. A tangente
somente não existiria caso pudesse assumir o valor de 90º . Item
correto.
é retângulo.
Como + = 90º o terceiro ângulo do triângulo necessariamente é de
90º. Item correto.
RESPOSTA: E C C
7. CESPE SEPLAG/DF 2008) Dois colegas decidiram comprar um
par de rádios-comunicadores para poderem se comunicar quando um
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deles estivesse em casa e outro na escola. Para isso, precisaram saber
qual o raio de alcance dos rádios a serem comprados. Sabendo que as
distâncias de suas casas à escola são iguais, observaram que, colocando a
casa de um deles na origem de um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais xOy, a escola estaria no ponto de coordenadas (40, 30).
Observaram também que era possível determinar uma circunferência cujo
centro estivesse localizado na escola e que passava por cada uma das
casas.
Com relação a essa situação, julgue os próximos itens.
I) O rádio precisa ter alcance mínimo de 50 m.
A distância da escola (centro da circunferência) até a origem é igual ao
raio e pode ser encontrada através da fórmula da distância entre dois
pontos:
r2 = (40 0)2 + (30 0)2
r = 50 m
Item correto.
II) A equação da circunferência mencionada é (x - 40)2 + (y - 30)2 = 702.
III) O coeficiente angular da reta tangente à circunferência mencionada,
no ponto de coordenadas (0, 0) é igual a - .
RESOLUÇÃO:
Este item foi anulado pela banca. No entanto, vamos resolvê-lo. A
distância da escola (centro da circunferência) até a origem é igual ao raio
e pode ser encontrada através da fórmula da distância entre dois pontos:
r2 = (40 0)2 + (30 0)2
r = 50 m
Item correto.
00000000000
00000000000 - DEMO

Item errado. Conforme calculado no item I, o raio é 50. Assim, a equação
da circunferência é: (x - 40)2 + (y - 30)2 = 502
Vamos primeiramente descobrir o coeficiente angular da reta que passa
sobre a origem e sobre o centro da circunferência, na direção do raio
mostrado em verde na figura abaixo:
y =ax + b
b = 0
30 = a(40)
a = 3/4
Logo, o coeficiente angular da reta perpendicular a essa é o inverso
e oposto do anteriormente calculado, ou seja, -4/3. Item correto.
RESPOSTA: C E C
8. CESPE SEPLAG/DF 2008) Para produzir mensalmente x
unidades de determinado produto, uma fábrica tem um custo de 100
00000000000
00000000000 - DEMO

+ reais. O produto é vendido por R$ 1.000,00 a unidade. Nessa
situação, julgue os itens seguintes.
I) O lucro obtido pela fábrica ao produzir e vender x unidades do produto
é expresso por L(x) = - x2 + 10.000x - 1.000.
II) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, o gráfico
da função lucro é uma parábola com concavidade voltada para cima.
III) Para obter, mensalmente, o maior lucro possível, a fábrica deve
produzir e vender 5.000 unidades do produto.
RESOLUÇÃO:
Podemos definir o lucro L(x) da seguinte forma:
L(x) = receita de vendas custo
L(x) = 1.000x (100 + x2/10)
L(x) = -x2/10 + 1000x 100
Item errado.
O coeficiente que multiplica x2 é negativo, logo a parábola possui
concavidade voltada para baixo. Item errado.
O x do vértice é dado por xv = -b/2a = -1000/2(-1/10) = 5000. Item
correto.
RESPOSTA: E E C
00000000000
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9. IBFC SEAP/DF 2013) Dentre as alternativas abaixo a única
incorreta é:
a) Dois ângulos consecutivos são adjacentes.
b) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
c) A medida do ângulo que excede o seu complemento em 34° é de 62°.
d) Se os pontos A,B,C,D, nessa ordem, estão dispostos numa mesma
reta e os segmentos AC e BD são congruentes, então AB e CD são
congruentes e os segmentos BC e AD têm o mesmo ponto médio.
RESOLUÇÃO:
Dois ângulos consecutivos somente serão adjacentes se não possuírem
pontos internos em comum.
Sim, para que dois segmentos sejam adjacentes é necessário que eles
sejam consecutivos e colineares.
Vamos chamar o ângulo de x. O seu complemento é 90 x. Assim,
temos:
x (90 x) = 34
x 90 + x = 34
2x = 124
x = 62º
d) Se os pontos A,B,C,D, nessa ordem, estão dispostos numa mesma
Veja a Figura abaixo:
00000000000
00000000000 - DEMO

AC e BD são congruentes
AB e CD são congruentes
BC e AD têm o mesmo ponto médio M
Item correto.
RESPOSTA: A
10. IBFC SEAP/DF 2013 adaptada) Sabe-se que:
I. Em qualquer trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados
não-paralelos é chamado de base média, e sua medida pode ser calculada
pela relação: MN = (AB + CD)/ 2
II. O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do
terceiro lado.
No trapézio da figura tem-se AB = m e CD = n, a medida de GH em
função de m e n é:
a) (m + n) / 4
b) (m n) /4
c) (2m - 2n)/3
d) (m n) / 2
RESOLUÇÃO:
00000000000
00000000000 - DEMO

Reveja a Figura do enunciado:
MN é a base média do trapézio. Repare no triângulo ABD e o compare
com o triângulo MHD. Os dois são semelhantes. Possuem os mesmos
ângulos e sabemos também que M é o ponto médio do segmento AD.
Portanto, podemos dizer que H também é ponto médio do segmento BD.
Dessa forma, o comprimento MH é dado por AB/2 = m/2.
Raciocinando de forma análoga para os triângulos DCA e MGA, concluímos
que eles são semelhantes, G é ponto médio de AC, e MG = CD/2 = n/2.
Sabemos também que GH = MH MG. Logo, GH = m/2 n/2 = (m-n)/2.
RESPOSTA: D
11. IBFC SEAP/DF 2013 - adaptada) A professora da 5ª série
entregou a cada um de seus alunos uma folha contendo uma tabela com
todos os números naturais de 2 a 80, em ordem crescente, e algumas
instruções de um jogo: Instruções: Marque o primeiro número da tabela e
elimine todos os seus múltiplos, volte ao início da lista e marque o
primeiro número não eliminado e elimine todos os seus múltiplos, faça
isso até que todos os números sejam marcados ou eliminados.
Após todos terminarem, a professora fez algumas perguntas e as
respostas de 4 alunos foram:
Ana: se escolhermos quaisquer dois dos números não eliminados eles
serão primos entre si.
Beto: o mmc entre quaisquer dois dos números não eliminados é o
produto entre eles.
00000000000
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Carlos: o quadragésimo número eliminado é o número 57.
Dolores: o mdc entre qualquer número eliminado e o décimo número não
eliminado é igual a 1.
Dentre as respostas dos 4 alunos acima, pode-se dizer que estão corretas
as respostas de:
a) todos.
b) somente dois deles.
c) somente três deles.
d) somente um deles.
RESOLUÇÃO:
Repare que ao seguirmos as instruções do jogo temos: o primeiro número
da tabela é 2; marcamos ele e eliminamos todos os seus múltiplos, ou
seja, eliminamos todos os números pares, exceto o 2. Marcamos o
próximo número não eliminado, que é 3. Eliminamos todos os múltiplos
de 3. O próximo número não eliminado depois do 3 é o 5, visto que o 4
foi eliminado. Eliminamos todos os múltiplos de 5. O próximo numero não
eliminado depois de 5 é 7, visto que o 6 foi eliminado. Eliminamos todos
os múltiplos de 7. O próximo número não eliminado depois de 7 é 11,
visto que o 8, 9 e 10 foram eliminados. Eliminamos todos os múltiplos de
11. E assim por diante!
Desta forma, os números não eliminados ficam sendo os números primos
existentes entre 2 e 80. Vamos analisar o que cada aluno afirmou:
Correto, pelo motivo exposto anteriormente.
produto entre eles.
Correto. O MMC entre dois números primos é o produto deles.
00000000000
00000000000 - DEMO

Errado. Repare que ao eliminarmos os múltiplos de 2 eliminaremos 39
números. O próximo número a ser eliminado, o quadragésimo, será o
primeiro múltiplo de 3 não eliminado, que é 9.
Os números primos de 2 a 80 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79. Assim, o décimo número não
eliminado é 29. O número 58 foi eliminado. No entanto, o mdc entre ele e
o décimo número não eliminado é o próprio 29, e não 1 como afirmou
Dolores.
RESPOSTA: B
12. IBFC SEAP/DF 2013) Com relação à função afim f(x) = ax + b,
a única alternativa incorreta é:
a) A função linear é um caso particular da função afim.
), de
c) 0, ela indica uma proporcionalidade direta entre as
variáveis x e y.
d) A constante real a, não-nula, é a taxa de variação da função, sendo a
mesma para qualquer que seja o intervalo considerado.
RESOLUÇÃO:
Correto. A função afim é do tipo f(x) = ax + b. Quando temos b = 0,
temos uma função linear, dada, portanto, por f(x) = ax.
), de
Veja a demonstração abaixo:
f(x + x) = a(x + x) + b = ax + a x + b = f(x) + a x = f(x) +
00000000000
00000000000 - DEMO

Concluimos que f(x + x) = f(x) + , ou seja, a cada variação de x
corresponde uma variação em y de forma que
variações são diretamente proporcionais.
c) 0, ela indica uma proporcionalidade direta entre as
variáveis x e y.
É exatamente o contrário. Quando b=0 aí sim temos uma
proporcionalidade direta entre as variáveis x e y, pois ficamos com y =
ax.
intervalo considerado, seu valor
será sempre o mesmo.
RESPOSTA: C
13. IBFC SEAP/DF 2013) A função C(t) = 300. 7mt, representa o
crescimento de uma cultura de bactérias, C é o número de bactérias no
instante t, sendo t dado em horas. O início se dá no instante t = 0. O total
de bactérias, após 6 horas, sendo que após 180 minutos o total de
bactérias foi de 14.700, é:
a) 102800
b) 720300
c) 102900
d) 274400
RESOLUÇÃO:
Primeiro vamos encontrar o valor de m. Sabendo que em 180
minutos (3 horas) o total de bactérias foi de 14.700, temos:
14700 = 300.7mt
7mt = 14700/300
7mt = 49
7mt = 72
mt = 2
00000000000
00000000000 - DEMO

m = 2/t = 2/3
Agora, retornamos a fórmula inicial e utilizamos o tempo de 6
horas:
C(t) = 300. 72/3t
C(6) = 300. 72x6/3
C(6) = 300. 74 = 720.300
RESPOSTA: B
14. IBFC SEAP/DF 2013) Supondo que o valor de uma máquina
sofra uma desvalorização de 14% ao ano, a expressão que representa o
tempo t em que o valor da máquina se reduzirá a um quarto do valor
inicial é:
a)
b)
c)
d)
RESOLUÇÃO:
No início, a máquina possuía um valor V0. Após determinado tempo
t, a máquina passou a valer V(t) = V0 x (1-0,14)t = V0 x 0,86t. Queremos
determinar o instante em que V(t) = 0,25 x V0. Assim, temos:
0,25 x V0 = V0 x 0,86t
0,25 = 0,86 t
Aplicando-se log dos dois lados da igualdade, temos:
00000000000
00000000000 - DEMO

log 0,25 = log 0,86t
log 0,25 = t x log 0,86
t = log 0,25 / log 0,86
RESPOSTA: D
15. IBFC SEAP/DF 2013) Utilizando o software GeoGebra conforme
desenho abaixo seleciona-se o ícone destacado e digita-se,
respectivamente, conforme dados destacados, os pontos: A(-3,5) e B(-
2,7).
Pode-se afirmar que:
a) a medida do diâmetro do círculo é igual a 10 unidades.
b) a equação da circunferência cujo raio e centro são o mesmo do
círculo é x2 + y2 + 6x -10y + 9 = 0.
c) uma das definições da figura intersecção de um cone
circular reto e um plano paralelo à geratriz do cone" .
RESOLUÇÃO:
-se com as informações A(-3,5) e B(-
2,7). Assim, concluímos que o círculo tem centro em (-3,5) e que um de
seus pontos é (-2, 7).
00000000000
00000000000 - DEMO

A distância do centro ao ponto é o raio, que pode ser encontrado
pela fórmula da distância entre dois pontos:
r2 = (-3-(-2))2 + (5-7)2
r2 = 1 + 4 = 5
A equação circunferência fica sendo:
(x+3)2 + (y-5)2 = 5
x2 + 6x + 9 + y2 -10y + 25 = 5
x2 + y2 + 6x -10y + 29 = 0
A área do círculo é dada por A = 2 = 3,14 x 5 = 15,7 unidades de
área.
RESPOSTA: D
16. FCC TRT/16ª 2014) Dois nadadores partem ao mesmo tempo
de extremos opostos de uma piscina retilínea de 90 metros. Ambos
nadadores nadam com velocidades constantes, um deles percorrendo 2
metros por cada segundo, e o outro percorrendo 3 metros por cada
segundo. Supondo que os nadadores não perdem nem ganham tempo ao
fazerem as viradas nos extremos da piscina, o segundo encontro dos dois
nadadores na piscina ocorrerá após t segundos da partida dos nadadores.
Nas condições dadas, t é igual a
(A) 36.
(B) 54.
(C) 58.
(D) 56.
(E) 48.
RESOLUÇÃO:
Cada nadador parte de um extremo, e nada 90m até a outra
extremidade. Ao longo dessa primeira passagem, há o primeiro encontro
entre eles. Então cada nadador volta no sentido oposto, e aí ocorre o
segundo encontro. Portanto, a soma das distâncias percorridas por cada
um deles, na segunda piscina, é de 90m.
00000000000
00000000000 - DEMO

Se nessa segunda passagem o nadador mais rápido nadou D
metros, o mais lento nadou 90 D metros.
Assim, no total, o nadador mais rápido nadou 90 + D metros, e o
mais lento nadou 90 + (90 D) = 180 D metros. Como eles gastaram o
mesmo tempo, podemos fazer uma proporção entre as distâncias
percorridas e a velocidade com que cada um nada. Essas duas grandezas,
são diretamente proporcionais, portanto:
Distância Velocidade
90 + D ------------------ 3 metros por segundo
180 D ---------------- 2 metros por segundo
Fazendo a multiplicação cruzada, temos:
2 x (90 + D) = 3 x (180 D)
180 + 2D = 540 3D
D = 72 metros
Assim, o nadador mais rápido nadou 90 + D = 90 + 72 = 162
metros até o segundo encontro. O tempo gasto foi:
3 metros -------------- 1 segundo
162 metros ------------ t segundos
3t = 162
t = 54 segundos
Resposta: B
17. FCC TRT/16ª 2014) André pensou que realizaria uma tarefa em
20 dias, porém, levou 20 dias a mais porque trabalhou 3 horas a menos
por dia. Se a produtividade de André por hora se manteve sempre a
mesma durante a realização da tarefa, o número de horas diárias que
André dedicou à realização da tarefa foi igual a
(A) 6.
(B) 5.
00000000000
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(C) 5,5.
(D) 3,5.
(E) 3.
RESOLUÇÃO:
Como ele gastou H 3 horas por dia, ele levou 40 dias para fazer o
trabalho. Ou seja:
Dias Horas por dia
20 H
40 H 3
Quanto MAIS horas por dia forem trabalhadas, MENOS dias são
necessários. As grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo
uma das colunas:
Dias Horas por dia
40 H
20 H 3
Montando a proporção:
40 / 20 = H / (H 3)
2 = H / (H 3)
2H 6 = H
H = 6 horas por dia
Como André gastou 3 horas a menos por dia, ele trabalhou 6 3 =
3 horas por dia apenas.
Resposta: E
00000000000
00000000000 - DEMO

18. VUNESP TCE/SP 2015) Em um terreno retangular, cuja medida
do perímetro é igual a P, a razão entre as medidas de comprimento (C) e
largura (L), nessa ordem, é
5
2
. Desse modo, é correto afirmar que
(A) P = 2 C.
(B) P = 5 L.
(C) P = 3 C.
(D) P = 7 L.
(E) P = 5 C.
RESOLUÇÃO:
A razão entre comprimento e largura é:
C / L = 5 / 2
C = 5L / 2
O perímetro P é:
P = 2xlargura + 2xcomprimento
P = 2L + 2C
P = 2L + 2x5L/2
P = 2L + 5L
P = 7L
RESPOSTA: D
19. CESGRANRIO IBG 2014) Três herdeiros, Arnaldo, Bruno e
Paulo, dividiram um terreno quadrado de 42 metros de lado em três
terrenos retangulares de áreas iguais. A figura abaixo mostra a divisão e
a parte que coube a cada um.
O perímetro, em metros, do terreno retangular destinado a Bruno é
00000000000
00000000000 - DEMO

a) 588
b) 105
c) 147
d) 112
e) 126
RESOLUÇÃO:
Veja a figura abaixo, onde marquei algumas dimensões:
Como as áreas são iguais, então:
Área de Bruno = Área de Paulo
42 x L = (42 L) x 21
2 x L = (42 L)
2 x L + L = 42
3L = 42
L = 14m
O perímetro da área de Bruno é:
P = 42 + 14 + 42 + 14 = 112 metros
RESPOSTA: D
20. VUNESP TCE/SP 2015) Procurando encontrar o tom exato da
cor solicitada pelo cliente, um pintor preparou uma mistura de três tintas,
A, B e C. Usou certa lata como medida e misturou, em um balde,
3
5
de
lata de tinta A,
2
3
de lata de tinta B e
4
3
de lata de tinta C. Da mistura
00000000000
00000000000 - DEMO

preparada, reservou uma quantidade equivalente a duas latas (medida)
completamente cheias e usou totalmente o restante para pintar uma área
de 6,3 m², como teste. Desse modo, é correto afirmar que, aplicada de
forma idêntica à aplicada na área teste, cada lata (medida) dessa mistura
permite pintar uma área igual, em m², a
(A) 12,5.
(B) 11,8.
(C) 11,4.
(D) 10,8.
(E) 10,5.
RESOLUÇÃO:
Sendo L a capacidade da lata usada como medida, podemos dizer
que a mistura total teve volume:
Volume total = 3L/5 + 2L/3 + 4L/3
Volume total = 3L/5 + 6L/3
Volume total = 3L/5 + 2L
Volume total = 3L/5 + 10L/5
Volume total = 13L/5
Tirando 2 latas, ou seja, 2L, sobra:
13L/5 2L =
13L/5 10L/5 =
3L/5
Essa sobra foi capaz de pintar 6,3 metros quadrados. Assim,
podemos obter a área pintada com 1 lata (ou 1L) em uma regra de três
simples:
3L/5 6,3 metros quadrados
L A metros quadrados
(3L/5) x A = L x 6,3
(3/5) x A = 1 x 6,3
(3/5) x A = 6,3
A = 6,3 x 5 / 3
00000000000
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A = 10,5 metros quadrados
RESPOSTA: E
21. FUNIVERSA POLÍCIA CIENTÍFICA/GO 2015) Considerando
as notações: dm = decímetro, mm = milímetro, km = quilômetro, m =
metro; h = hora, min = minuto, L = litro, mL = mililitro, kg =
quilograma, mg = miligrama, assinale a alternativa correta.
a) 35,6 dm = 35.600 mm
b) 5,75 km = 57.500 m
c) 2 h e 35 min + 3 h e 47 min = 6 h e 12 min
d) 450 mL = 4,5 L
e) 3.750 mg = 3,75 g
RESOLUÇÃO:
Façamos as conversões:
a) 35,6 dm = 356cm = 3560mm (e não 35.600 mm)
b) 5,75 km = 57,5hm = 575dam = 5750m (e não 57.500 m)
c) 2 h e 35 min + 3 h e 47 min = 5h e 82min = 6h e 22 min (e não 6 h e
12 min)
d) 450 mL = 45cL = 4,5dL = 0,45L (e não 4,5 L)
e) 3.750 mg = 375cg = 37,5dg = 3,75 g (CORRETO)
RESPOSTA: E
22. CEPERJ SEPLAG/RJ 2013) Observe a equação do segundo
grau abaixo:
2 1
3
4 64
x
x
A diferença entre a maior raiz e a menor raiz vale:
A) 1/12
B) 1/8
C) 1/6
00000000000
00000000000 - DEMO

D) 1/4
E) 1/2
RESOLUÇÃO:
Para evitar trabalharmos com frações, podemos multiplicar todos os
membros da equação por 64, obtendo:
192x2 = 16x + 1
192x2 16x 1 = 0
Na fórmula de Báskara:
2
( 16) ( 16) 4.(192).( 1)
2.192
x
16 1024
2.192
x
16 32
2.192
x
8 16
192
x
x = 24/192 ou x = -8/192
A diferença entre as raízes é:
24/192 (-8/192) = 32/192 = 16/96 = 8/48 = 1/6
Resposta: C
23. CESGRANRIO CEFET/RJ 2014) Há um único número real, x0,
tal que:
00000000000
00000000000 - DEMO

O número x0 pertence ao intervalo real
a) ]- , -1[
b) ]-1, 0[
c) ]0, 1[
d) ]1, 2[
e) ]2, + [
RESOLUÇÃO:
Podemos desenhar um gráfico para as funções x2 e também 2x.
Para isso, basta primeiramente calcularmos alguns pontos dessas
funções, como você pode ver na tabela abaixo:
x x^2 2^x
-3 9 0,125
-2 4 0,25
-1 1 0,5
0 0 1
1 1 2
2 4 4
3 9 8
Feito isso, podemos esquematizar o gráfico, ligando alguns pontos:
Veja que essas curvas se aproximam no lado esquerdo do gráfico,
para valores de x entre -1 e 0, o que nos permite marcar a alternativa B.
RESPOSTA: B
00000000000
00000000000 - DEMO

24. CESGRANRIO CEFET/RJ 2014) Um quadrado, cujos lados
medem x centímetros, possui diagonal medindo D centímetros e área
medindo A centímetros quadrados. Sabe-se que 2D x e A = x2.
Escrevendo-se D em função de A, a relação entre tais grandezas é mais
adequadamente representada em
RESOLUÇÃO:
Temos as relações 2D x e A = x2. Podemos reescrever a última
assim:
x A
Substituindo x na primeira relação, ficamos com:
2D A
1/2
2.D A
Veja que essa relação é uma exponencial cujo expoente é
fracionário (1/2). Repare que esse gráfico deve ser uma curva crescente,
pois quanto maior for A, maior será o valor de D. Com essa
observação você já poderia eliminar as alternativas D e E, que
apresentam curvas decrescentes. A alternativa C, embora crescente, pode
00000000000
00000000000 - DEMO

ser facilmente eliminada, pois o gráfico em questão não é uma reta (o
gráfico em forma de reta representa funções lineares, ou de primeiro
grau).
Ficamos entre as alternativas A e B. Você pode testar o valor A = 3
na nossa fórmula, obtendo:
1/2
2.3D
1,41.1,73 2,43D
Veja que o valor obtido para A = 3 foi D = 2,43, o que deixa claro
que o gráfico correto é o da alternativa A. Na alternativa B, para A = 3
teríamos um valor bem superior para D, que inclusive nem aparece no
gráfico.
RESPOSTA: A
25. ESAF RECEITA FEDERAL 2014) A matriz quadrada A, definida
genericamente por A = aij, é dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x;
a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse
modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimétrica, os valores de
a21, a23, a31 e a33 deverão ser, respectivamente, iguais a:
a) 4; -2; -2; -2.
b) 4; -2; 2; -2.
c) 4; 2; -2; -2.
d) -4; -2; 2; -2.
e) -4; -2; -2; -2.
RESOLUÇÃO:
Desenhando a matriz do enunciado:
0 4 2
0 1
2 0
x z
y z
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00000000000 - DEMO

Uma matriz é antissimétrica quando os termos de um lado da
diagonal principal são o OPOSTO dos termos do outro lado da diagonal
principal. Se essa matriz é antissimétrica, então:
x = -(-4) = 4
y = -2
2z = -(1-z) z = -1
Portanto, ficamos com a matriz:
0 4 2
4 0 2
2 2 0
Resposta: C
26. FUNDATEC SEFAZ/RS 2014) O determinante da matriz
A) -32.
B) -26.
C) 14.
D) 16.
E) 28.
RESOLUÇÃO:
Vamos aproveitar essa questão para ver como calcular o
determinante de uma matriz 4x4. O primeiro passo é calcular os
COFATORES de cada termo de uma linha ou de uma coluna.
O cofator de um termo aij de uma matriz é simbolizado por Aij, e é
dado pela multiplicação de (-1)i+j pelo determinante da matriz formada
Calculando os cofatores dos termos da primeira coluna, com base
nesta definição, temos:
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1 1
11
3 1 0
( 1) det 3 2 1
1 1 4
A 1 x 34 = 34
2 1
21
2 1 0
( 1) det 3 2 1
1 1 4
A (-1) x 27 = -27
3 1
31
2 1 0
( 1) det 3 1 0
1 1 4
A 1 x (-4) = -4
4 1
41
2 1 0
( 1) det 3 1 0
3 2 1
A (-1) x (-1) = 1
O determinante da matriz A é dado pela soma das multiplicações
entre cada termo da coluna escolhida (no caso, a primeira coluna) e o seu
respectivo cofator. Portanto, o determinante da matriz é:
detA = a11 x A11 + a21 x A21 + a31 x A31 + a41 x A41
detA = 1 x 34 + 2 x (-27) + 2 x (-4) + 2 x 1
detA = -26
RESPOSTA: B
27. FGV MRE 2016) André, Beatriz e Carlos são adultos, Laura e
Júlio são crianças e todos vão viajar em um automóvel com 5 lugares,
sendo 2 na frente e 3 atrás. Dos adultos, somente Carlos não sabe dirigir.
As crianças viajarão atrás, mas Júlio faz questão de ficar em uma janela.
O número de maneiras diferentes pelas quais essas pessoas podem
ocupar os cinco lugares do automóvel é:
(A) 12;
(B) 16;
(C) 18;
(D) 20;
(E) 24.
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RESOLUÇÃO:
Temos 2 opções para o banco do motorista (André ou Beatriz),
sobrando 2 opções para o banco do carona (um dos adultos restantes,
Carlos e André ou Beatriz, conforme a escolha do motorista).
No banco de trás, temos 3 pessoas para distribuir (o adulto que
sobrou e 2 crianças). Temos 2 opções de lugar para Júlio (uma das
janelas), sobrando então 2 opções para o adulto restante e 1 opção para
a criança restante.
Multiplicando as possibilidades citadas ao longo desta resolução,
temos 2 x 2 x 2 x 2 x 1 = 16 formas de distribuir as pessoas.
Resposta: B
28. FGV TJ/PI 2015) As fotos dos 60 funcionários de certa seção da
prefeitura serão colocadas em um quadro retangular, arrumadas em
linhas e colunas. Sabe-se que o quadro deve ter pelo menos 3 linhas e
pelo menos 3 colunas.
O número de formatos diferentes (número de linhas e número de
colunas) que esse quadro poderá ter é:
(A) 5;
(B) 6;
(C) 7;
(D) 8;
(E) 10.
RESOLUÇÃO:
Para dispormos 60 fotos de forma a obter um retângulo de pelo
menos linhas e 3 colunas, teríamos as seguintes opções:
3 linhas e 20 colunas (3 x 20 = 60)
5 linhas e 12 colunas (5 x 12 =60)
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Assim, o número de formatos diferentes (número de linhas e
número de colunas) que esse quadro poderá ter é oito.
Resposta: D
29. FCC ASSEMBLEIA LEGISLATIVA DO PERNAMBUCO 2014)
Ordenando ao acaso todas as letras da palavra TRIBUNAL, o que inclui a
própria palavra TRIBUNAL, teremos 40320 palavras (palavras com ou
sem significado). Escolhendo ao acaso uma dessas palavras, a
probabilidade de que ela comece e termine por vogal é igual a
(A)
3
14
(B)
5
28
(C)
1
7
(D)
1
14
(E)
3
28
RESOLUÇÃO:
A palavra tribunal é composta por oito letras, sendo três vogais.
Como queremos apenas as palavras começadas e terminadas por vogal,
observe que temos apenas 3 possibilidades para a primeira letra, e com
isso nos sobram 2 possibilidades para a última letra. Sobram ainda outras
6 letras que podemos permutar nas posições restantes ficando com:
3 x (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) x 2 = 4320
Esse é o número de casos favoráveis. A probabilidade de obter um
desses casos, sabendo que o total de casos é igual a 40320, é dada por:
P = 4320 / 40320
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Simplificando a expressão, temos:
P = 216 / 2016
P = 54 / 504
P = 27 / 252
P = 3 / 28
RESPOSTA: E
Um dado não convencional tem 4 faces equiprováveis e numeradas de 1 à
4. A probabilidade de que a soma dos números obtidos em três
lançamentos desse dado seja maior do que 4 é igual a
A)
15
16
B)
1
16
C)
7
8
D)
3
4
E)
8
9
RESOLUÇÃO:
Temos quatro possibilidades de resultado no primeiro lançamento,
outras quatro possibilidades de resultados no segundo lançamento, e a
mesma coisa no terceiro lançamento, totalizando 4x4x4 = 64
possibilidades de resultados (embora naturalmente alguns sejam valores
repetidos).
A única forma de obter uma soma menor que 4 é pela sequência
de três lançamentos com resultado igual a 1, ou seja:
1 - 1 - 1, cuja soma é 3
Já para obter soma é igual a 4, temos as seguintes possibilidades:
2 - 1 - 1
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1 - 2 - 1
1 - 1 - 2
Portanto, do total de 64 sequências de lançamentos possíveis,
apenas 1 + 3 = 4 delas resultam em somas iguais ou inferiores a 4,
de modo que as outras 60 possibilidades levam a resultados maiore que
4. A probabilidade de obter uma delas é igual a:
P = 60 / 64
P = 15 / 16
RESPOSTA: A
Fim de aula!!! Nos vemos na Aula 01.
Abraço,
Prof. Arthur Lima
Periscope: @ARTHURRRL
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima
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1. CESPE SEPLAG/DF 2008) Um estudante quer saber o quanto ele
caminha de sua casa até a escola que frequenta. O bairro da cidade onde
fica a sua casa e a sua escola é divido em quarteirões, quadrados que
medem 500 m de lado. Com o objetivo de medir tal percurso, é possível
considerar esse bairro em um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais xOy, em que o centro O = (0, 0) desse sistema corresponde à
casa do estudante. Para isso, como unidade de medida, adota-se o
comprimento dos lados dos quarteirões desconsiderado a largura das ruas
que, ao formarem os contornos dos quarteirões, são paralelas ou
perpendiculares aos eixos coordenados. A direção Norte-Sul corresponde
ao eixo das ordenadas (com orientação de Sul para Norte), e a direção
Leste-Oeste, ao eixo das abscissas (com orientação de Oeste para Leste).
Assim, considerando esse sistema de coordenadas, a escola fica no
vértice superior esquerdo do quarteirão que encontra-se a dois
quarteirões a Oeste e três quarteirões ao Norte da casa do menino.
Com base nas informações apresentadas, julgue os itens seguintes.
igual a 1,5.
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2. CESPE SEPLAG/DF 2008) Para o cultivo de flores em suas
terras, um agricultor reservou um terreno plano que, em um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais xOy, é semelhante à região
delimitada pelos gráficos das funções , y= x-1 e pela reta x
=1, para x 1.
Julgue os itens a seguir, com relação a essa região.
unidade de área.
comprimento.
3. CESPE SEPLAG/DF 2008)
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O presidente de um clube esportivo apresentou à diretoria o gráfico
ilustrado acima, que relaciona gastos efetuados no terceiro trimestre do
ano. Questionado acerca do valor correspondente a pagamento de
empregados, que parecia pequeno, o presidente informou que esse valor
não incluía encargos sociais como fundo de garantia, imposto de renda,
INSS etc., que, em conjunto, aumentariam o valor apresentado em 35%.
Com referência à situação descrita, julgue os próximos itens.
primeiro.
manutenção.
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4. CESPE SEPLAG/DF 2008) Considere os polinômios p(x) = x3 -
5x2 + 6x e d(x) = x - 3, e seja q(x) o quociente da divisão de p(x) por
d(x), cujo resto é representado por r(x).
Nesse caso, é correto afirmar que:
r 0.
5. CESPE SEPLAG/DF 2008) Na compra de duas maçãs e três
mangas, uma pessoa pagou R$ 3,60. Outra pessoa comprou três maçãs e
duas mangas e pagou R$ 3,40. Sabendo-se que o preço unitário de cada
fruta foi o mesmo em cada compra, o problema de se determinar o valor
unitário de cada fruta pode ser expresso por meio de um sistema
composto de duas equações lineares e duas incógnitas, que também pode
ser escrito na forma matricial: AX = B, em que A = é a matriz das
incógnitas e B = é a matriz dos termos independentes.
Com relação a essas informações, julgue os itens seguintes.
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inversa da matriz A a esquerda da matriz B.
6. CESPE SEPLAG/DF 2008) Considerando os ângulos e , em
graus, tais que + = 90º, e e > 0º, julgue os itens
subsequentes.
I)
1
cos
sen
é retângulo.
7. CESPE SEPLAG/DF 2008) Dois colegas decidiram comprar um
par de rádios-comunicadores para poderem se comunicar quando um
deles estivesse em casa e outro na escola. Para isso, precisaram saber
qual o raio de alcance dos rádios a serem comprados. Sabendo que as
distâncias de suas casas à escola são iguais, observaram que, colocando a
casa de um deles na origem de um sistema de coordenadas cartesianas
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ortogonais xOy, a escola estaria no ponto de coordenadas (40, 30).
Observaram também que era possível determinar uma circunferência cujo
centro estivesse localizado na escola e que passava por cada uma das
casas.
Com relação a essa situação, julgue os próximos itens.
A distância da escola (centro da circunferência) até a origem é igual ao
raio e pode ser encontrada através da fórmula da distância entre dois
pontos:
r2 = (40 0)2 + (30 0)2
r = 50 m
Item correto.
8. CESPE SEPLAG/DF 2008) Para produzir mensalmente x
unidades de determinado produto, uma fábrica tem um custo de 100
+ reais. O produto é vendido por R$ 1.000,00 a unidade. Nessa
situação, julgue os itens seguintes.
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9. IBFC SEAP/DF 2013) Dentre as alternativas abaixo a única
incorreta é:
d) Se os pontos A, B, C, D, nessa ordem, estão dispostos numa mesma
10. IBFC SEAP/DF 2013 adaptada) Sabe-se que:
I. Em qualquer trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados
não-paralelos é chamado de base média, e sua medida pode ser calculada
pela relação: MN = (AB + CD) / 2
II. O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do
terceiro lado.
No trapézio da figura tem-se AB = m e CD = n, a medida de GH em
função de m e n é:
a) (m + n) / 4
b) (m n) /4
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c) (2m - 2n) /3
d) (m n) / 2
11. IBFC SEAP/DF 2013 - adaptada) A professora da 5ª série
entregou a cada um de seus alunos uma folha contendo uma tabela com
todos os números naturais de 2 a 80, em ordem crescente, e algumas
instruções de um jogo: Instruções: Marque o primeiro número da tabela e
elimine todos os seus múltiplos, volte ao início da lista e marque o
primeiro número não eliminado e elimine todos os seus múltiplos, faça
isso até que todos os números sejam marcados ou eliminados.
Após todos terminarem, a professora fez algumas perguntas e as
respostas de 4 alunos foram:
produto entre eles.
Dentre as respostas dos 4 alunos acima, pode-se dizer que estão corretas
as respostas de:
a) todos.
b) somente dois deles.
c) somente três deles.
d) somente um deles.
12. IBFC SEAP/DF 2013) Com relação à função afim f(x) = ax + b,
a única alternativa incorreta é:
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), de
.
c) Qu 0, ela indica uma proporcionalidade direta entre as
variáveis x e y.
13. IBFC SEAP/DF 2013) A função C(t) = 300. 7mt representa o
crescimento de uma cultura de bactérias, C é o número de bactérias no
instante t, sendo t dado em horas. O início se dá no instante t = 0. O total
de bactérias, após 6 horas, sendo que após 180 minutos o total de
bactérias foi de 14.700, é:
a) 102800
b) 720300
c) 102900
d) 274400
14. IBFC SEAP/DF 2013) Supondo que o valor de uma máquina
sofra uma desvalorização de 14% ao ano, a expressão que representa o
tempo t em que o valor da máquina se reduzirá a um quarto do valor
inicial é:
a)
b)
c)
d)
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15. IBFC SEAP/DF 2013) Utilizando o software GeoGebra conforme
desenho abaixo seleciona-se o ícone destacado e digita-se,
respectivamente, conforme dados destacados, os pontos: A (-3,5) e B(-
2,7).
Pode-se afirmar que:
a) a medida do diâmetro do círculo é igual a 10 unidades.
b) a equação da circunferência cujo raio e centro são o mesmo do
círculo é x2 + y2 + 6x -10y + 9 = 0.
circular reto e um plano paralelo à geratriz do cone
16. FCC TRT/16ª 2014) Dois nadadores partem ao mesmo tempo
de extremos opostos de uma piscina retilínea de 90 metros. Ambos
nadadores nadam com velocidades constantes, um deles percorrendo 2
metros por cada segundo, e o outro percorrendo 3 metros por cada
segundo. Supondo que os nadadores não perdem nem ganham tempo ao
fazerem as viradas nos extremos da piscina, o segundo encontro dos dois
nadadores na piscina ocorrerá após t segundos da partida dos nadadores.
Nas condições dadas, t é igual a
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(A) 36.
(B) 54.
(C) 58.
(D) 56.
(E) 48.
17. FCC TRT/16ª 2014) André pensou que realizaria uma tarefa em
20 dias, porém, levou 20 dias a mais porque trabalhou 3 horas a menos
por dia. Se a produtividade de André por hora se manteve sempre a
mesma durante a realização da tarefa, o número de horas diárias que
André dedicou à realização da tarefa foi igual a
(A) 6.
(B) 5.
(C) 5,5.
(D) 3,5.
(E) 3.
18. VUNESP TCE/SP 2015) Em um terreno retangular, cuja medida
do perímetro é igual a P, a razão entre as medidas de comprimento (C) e
largura (L), nessa ordem, é
5
2
. Desse modo, é correto afirmar que
(A) P = 2 C.
(B) P = 5 L.
(C) P = 3 C.
(D) P = 7 L.
(E) P = 5 C.
19. CESGRANRIO IBG 2014) Três herdeiros, Arnaldo, Bruno e
Paulo, dividiram um terreno quadrado de 42 metros de lado em três
terrenos retangulares de áreas iguais. A figura abaixo mostra a divisão e
a parte que coube a cada um.
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O perímetro, em metros, do terreno retangular destinado a Bruno é
a) 588
b) 105
c) 147
d) 112
e) 126
20. VUNESP TCE/SP 2015) Procurando encontrar o tom exato da
cor solicitada pelo cliente, um pintor preparou uma mistura de três tintas,
A, B e C. Usou certa lata como medida e misturou, em um balde,
3
5
de
lata de tinta A,
2
3
de lata de tinta B e
4
3
de lata de tinta C. Da mistura
preparada, reservou uma quantidade equivalente a duas latas (medida)
completamente cheias e usou totalmente o restante para pintar uma área
de 6,3 m², como teste. Desse modo, é correto afirmar que, aplicada de
forma idêntica à aplicada na área teste, cada lata (medida) dessa mistura
permite pintar uma área igual, em m², a
(A) 12,5.
(B) 11,8.
(C) 11,4.
(D) 10,8.
(E) 10,5.
21. FUNIVERSA POLÍCIA CIENTÍFICA/GO 2015) Considerando
as notações: dm = decímetro, mm = milímetro, km = quilômetro, m =
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metro; h = hora, min = minuto, L = litro, mL = mililitro, kg =
quilograma, mg = miligrama, assinale a alternativa correta.
a) 35,6 dm = 35.600 mm
b) 5,75 km = 57.500 m
c) 2 h e 35 min + 3 h e 47 min = 6 h e 12 min
d) 450 mL = 4,5 L
e) 3.750 mg = 3,75 g
22. CEPERJ SEPLAG/RJ 2013) Observe a equação do segundo
grau abaixo:
2 1
3
4 64
x
x
A diferença entre a maior raiz e a menor raiz vale:
A) 1/12
B) 1/8
C) 1/6
D) 1/4
E) 1/2
23. CESGRANRIO CEFET/RJ 2014) Há um único número real, x0,
tal que:
O número x0 pertence ao intervalo real
a) ]- , -1[
b) ]-1, 0[
c) ]0, 1[
d) ]1, 2[
e) ]2, + [
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24. CESGRANRIO CEFET/RJ 2014) Um quadrado, cujos lados
medem x centímetros, possui diagonal medindo D centímetros e área
medindo A centímetros quadrados. Sabe-se que 2D x e A = x2.
Escrevendo-se D em função de A, a relação entre tais grandezas é mais
adequadamente representada em
25. ESAF RECEITA FEDERAL 2014) A matriz quadrada A, definida
genericamente por A = aij, é dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x;
a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse
modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimétrica, os valores de
a21, a23, a31 e a33 deverão ser, respectivamente, iguais a:
a) 4; -2; -2; -2.
b) 4; -2; 2; -2.
c) 4; 2; -2; -2.
d) -4; -2; 2; -2.
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e) -4; -2; -2; -2.
26. FUNDATEC SEFAZ/RS 2014) O determinante da matriz
A) -32.
B) -26.
C) 14.
D) 16.
E) 28.
27. FGV MRE 2016) André, Beatriz e Carlos são adultos, Laura e
Júlio são crianças e todos vão viajar em um automóvel com 5 lugares,
sendo 2 na frente e 3 atrás. Dos adultos, somente Carlos não sabe dirigir.
As crianças viajarão atrás, mas Júlio faz questão de ficar em uma janela.
O número de maneiras diferentes pelas quais essas pessoas podem
ocupar os cinco lugares do automóvel é:
(A) 12;
(B) 16;
(C) 18;
(D) 20;
(E) 24.
28. FGV TJ/PI 2015) As fotos dos 60 funcionários de certa seção da
prefeitura serão colocadas em um quadro retangular, arrumadas em
linhas e colunas. Sabe-se que o quadro deve ter pelo menos 3 linhas e
pelo menos 3 colunas.
O número de formatos diferentes (número de linhas e número de
colunas) que esse quadro poderá ter é:
(A) 5;
(B) 6;
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(C) 7;
(D) 8;
(E) 10.
Ordenando ao acaso todas as letras da palavra TRIBUNAL, o que inclui a
própria palavra TRIBUNAL, teremos 40320 palavras (palavras com ou
sem significado). Escolhendo ao acaso uma dessas palavras, a
probabilidade de que ela comece e termine por vogal é igual a
(A)
3
14
(B)
5
28
(C)
1
7
(D)
1
14
(E)
3
28
Um dado não convencional tem 4 faces equiprováveis e numeradas de 1 à
4. A probabilidade de que a soma dos números obtidos em três
lançamentos desse dado seja maior do que 4 é igual a
A)
15
16
B)
1
16
C)
7
8
D)
3
4
E)
8
9
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01 ECEE 02 CCC 03 ECC 04 EEC 05 EECC 06 ECC 07 CEC
08 EEC 09 A 10 D 11 B 12 C 13 B 14 D
15 D 16 B 17 E 18 D 19 D 20 E 21 E
22 C 23 B 24 A 25 C 26 B 27 B 28 D
29 E 30 A
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