Funções de Escoamento Isentrópico

Unidade 3
1
Fundamentos de PropulsãoAeroespacial
TEORIA DE BOCAIS E RELAÇÕES
TERMODINÂMICAS

Unidade 3
2
O Foguete Ideal
❑ As equações descrevem um fluxo quase-unidimensional, isto é, uma
idealização e simplificação das equações completas bi e tridimensionais.
❑ Em propulsão química de foguetes o desempenho real medido é,
geralmente, entre 1% e 6% abaixo do valor ideal calculado.
❑ Ao projetar novos foguetes tornou-se prática aceita a utilização de
parâmetros de foguetes ideais.

Unidade 3
3
Condições para um Foguete Ideal
1. Substância de trabalho homogênea;
2. Sem fases condensadas ou sólidas;
3. Os gases obedecem à “Lei dos gases perfeitos”
4. Escoamento adiabático;
5. Desconsidera-se atrito;
6. Fluxo de propelente é contínuo (sem ondas de choque);
7. Escoamento unidimensional e em regime permanente;
8. Propriedades dos gases constantes em qualquer seção transversal;
9. Escoamento congelado;
10. Os propelentes armazenados estão à temperatura ambiente. Propelentes
criogênicos estão em seus pontos de ebulição

Unidade 3
4
Condições para um Foguete Ideal
❑ Para foguetes líquidos, a teoria
idealizada admite um sistema de
injeção no qual o combustível e o
oxidante são perfeitamente
misturados, resultando em uma
substância de trabalho
homogênea.
❑ Para foguetes sólidos, o
propelente deve ter constituição
homogênea e uniforme, e a
taxa de queima deve ser
constante.

Unidade 3
5
Bocal Supersônico de um Motor Foguete
Bocal de um motor foguete

Unidade 3
6

Unidade 3
7

Unidade 3
8

Unidade 3
9
❑ Ônibus Espacial.

Unidade 3
10
❑ Booster do Ônibus Espacial.

Unidade 3
11
O Número de Mach
❑ O número de Mach é um parâmetro
adimensional definido como a razão
entre a velocidade do escoamento, v,
e a velocidade do som nesse
escoamento, a, dado por,
=
v
M
a
❑ Para M < 0,3, a variação máxima de massa específica é inferior a 5%.
Assim, os escoamentos de gases com M < 0,3 podem ser tratados como
incompressíveis.
=
a kRT
❑ A velocidade do som é a distância
percorrida por uma onda sonora em
uma unidade de tempo,

Unidade 3
12
O Número de Mach
❑ Escoamentos Subsônicos: M  1
❑ Escoamentos Sônicos: M = 1
❑ Escoamentos Supersônicos: M  1
❑ Escoamentos Transônicos: 0,9  M  1,2
❑ Escoamentos Hipersônicos: M  5

Unidade 3
13
Equação de Estado (Gás Perfeito)

=
P RT
0
R
R
M
=
R0 = 8,3145 kJ/kmol-K
❑ Para Ar (R = 287 J/kg-K) erra em menos de 1 % para T = [140 – 298] K e
P = [1 – 30] atm.
 =
P RT =
PV mRT = 0
PV nR T

Unidade 3
14
Relações Termodinâmicas em Bocais
❑ A entalpia de uma substância,
P
h u

= +
h u P
= +
❑ A razão de calores específicos,
P
C
k
C
= P
C C R

− =
1
P
kR
C
k
=
−
1
R
C
k
 =
−

Unidade 3
15
= + = constante
2
0
2
v
h h
❑ A entalpia de estagnação por unidade de massa h0 é constante,
( ) ( )
− = − = −
2 2
1
2
x y y x P x y
h h v v c T T
❑ A conservação da energia para um escoamento isentrópico entre duas
seções x e y,

=  =
x y
Av
m m m
❑ O princípio de conservação da massa de um escoamento em regime
permanente, com apenas uma entrada e uma saída,

Unidade 3
16


−
−
   
= =
   
 
 
 
1
1
k
k
k
y
x x
y y x
T P
T P
❑ Para um escoamento isentrópico, entre os pontos x e y,
❑ Durante a expansão do bocal isentrópico, a pressão cai substancialmente,
a temperatura absoluta cai um pouco menos e o volume específico
aumenta.

Unidade 3
17
Propriedades de Estagnação Isentrópica
( )
1
2
0 1
1
2
k k
P k
M
P
−
−
 
= +
 
 
2
0 1
1
2
T k
M
T
−
 
= +
 
 
( )
1 1
2
0 1
1
2
k
k
M


−
−
 
= +
 
 
EQUAÇÕES QUE
CARACTERIZAM A
ESTAGNAÇÃO ISENTRÓPICA
Pressão de
Estagnação
Massa específica
de Estagnação
Temperatura de
Estagnação
Número
de Mach
Estagnação é caracterizado por velocidade zero.
Estado de estagnação: Ponto do campo de escoamento caracterizado pela
pressão de estagnação, P0, pela temperatura de estagnação, T0, e pela
velocidade zero.

Unidade 3
18
Propriedades de Estagnação Isentrópica
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Razões
de
Propriedades
Número de Mach, M
P/P0
T/T0
/0
A/A*

Unidade 3
19
Propriedades Críticas
( )
1
0 1
* 2
k k
P k
P
−
+
 
=  
 
( )
1
2
0 1
1
2
k k
P k
M
P
−
−
 
= +
 
 
2
0 1
1
2
T k
M
T
−
 
= +
 
 
( )
1 1
2
0 1
1
2
k
k
M


−
−
 
= +
 
 
0
2
* * *
1
k
v c kRT RT
k
= = =
+
0 1
* 2
T k
T
+
 
=  
 
( )
1 1
0 1
* 2
k
k


−
+
 
=  
 
Propriedades de
Estagnação Isentrópica
( )
1
2
* 2 1
1 1
k k
P k
M
P k k
−
−
 
= +
 
+ +
 
2
* 2 1
1 1
T k
M
T k k
−
 
= +
 
+ +
 
( ) ( )
1 2 1
2
1 2 1
* 1 1
k k
A k
M
A M k k
+ −
−
 
= +
 
+ +
 
( )
1 1
2
* 2 1
1 1
k
k
M
k k


−
−
 
= +
 
+ +
 
❑ As propriedades críticas ocorrem para M = 1

Unidade 3
20
Propriedades Isentrópicas
( )
1
2
1
1
2
k
k
k
P M
−
−
 
+ =
 
 
cte
( )
( )
( )
1
2 2 1
2 1
k
k
AM k M
+
−
 
+ − =
  cte
2
1
1
2
k
T M
−
 
+ =
 
 
cte
( )
1
1
2
1
1
2
k
k
M

−
−
 
+ =
 
 
cte
( ) ( )
1 1
2 2
1 1 2 2
1 1
1 1
2 2
k k
k k
k k
P M P M
− −
− −
   
+ = +
   
   
❑ Propriedades do Escoamento isentrópico em duas seções distintas.

Unidade 3
21
Massa molar média
=
=

1
n
i i
i
T
M n
M
n
❑ A massa molar média de uma mistura de gases

Unidade 3
22
Funções de Escoamento Isentrópico (Ar)
M P/P0 T/T0 /0 P/P* T/T* /* A/A*
0,00 1,00000 1,0000 1,0000 1,89293 1,2000 1,5774 0
0,10 0,99303 0,9980 0,9950 1,87974 1,1976 1,5696 5,82
0,20 0,97250 0,9921 0,9803 1,84087 1,1905 1,5463 2,96
0,30 0,93947 0,9823 0,9564 1,77835 1,1788 1,5086 2,04
0,40 0,89561 0,9690 0,9243 1,69533 1,1628 1,4580 1,59
0,50 0,84302 0,9524 0,8852 1,59578 1,1429 1,3963 1,34
0,60 0,78400 0,9328 0,8405 1,48406 1,1194 1,3258 1,19
0,70 0,72093 0,9107 0,7916 1,36467 1,0929 1,2487 1,09
0,80 0,65602 0,8865 0,7400 1,24180 1,0638 1,1673 1,04
0,90 0,59126 0,8606 0,6870 1,11921 1,0327 1,0838 1,01
1,00 0,52828 0,8333 0,6339 1,00000 1,0000 1,0000 1,00
1,10 0,46835 0,8052 0,5817 0,88656 0,9662 0,9176 1,01
1,20 0,41238 0,7764 0,5311 0,78060 0,9317 0,8378 1,03
1,30 0,36091 0,7474 0,4829 0,68318 0,8969 0,7618 1,07
1,40 0,31424 0,7184 0,4374 0,59484 0,8621 0,6900 1,11
1,50 0,27240 0,6897 0,3950 0,51564 0,8276 0,6231 1,18
1,60 0,23527 0,6614 0,3557 0,44535 0,7937 0,5611 1,25
1,70 0,20259 0,6337 0,3197 0,38350 0,7605 0,5043 1,34
1,80 0,17404 0,6068 0,2868 0,32945 0,7282 0,4524 1,44
1,90 0,14924 0,5807 0,2570 0,28250 0,6969 0,4054 1,56
2,00 0,12780 0,5556 0,2300 0,24192 0,6667 0,3629 1,69

Unidade 3
23
Velocidade de Exaustão
( )
= − + 2
2 1 2 1
2
v h h v
( )
−
 
 
 
= − +
 
−  
 
 
1
2
2
2 1 1
1
2
1
1
k k
P
k
v RT v
k P
( )
−
 
 
 
= − 
−  
 
 
1
0 0 2
2
1
2
1
1
k k
R T P
k
v
k M P
ou
( ) ( )
= −
2 0
max
2 1
v kRT k
 = 2
t
A
A
= =
1 0 C
T T T
❑ A velocidade de saída do bocal, v2
❑ Considerando a velocidade da câmara, v1, é significativamente pequena,
❑ O valor máximo teórico para a velocidade de saída do bocal, v2
❑ Razão de Expansão, 

0 0
v

Unidade 3
24
Escoamento Isentrópico − Bocal Convergente
P3
Pe
P0
T0
v0  0
Câmara de
Combustão
Garganta
1,0

0
P P
Atmosfera
(1)
M = 1
(2)
(3)
Me < 1
(4)
(5)
Me > 1
Escoamento

Unidade 3
25
Escoamento Isentrópico − Bocal Convergente
( )
−
 
 
 
+
 
1
3
0
2
1
1
k k
P
k P
❑ Condições para um bocal supersônico
( )
−
 
  
+
 
1
3
0
2
1
k k
P
P k
➢ Bocal Livre (Subsônico)
➢ Bocal Bloqueado (Supersônico)
=1
t
M
=
2 3
P P
❑ Escoamento máximo através de um dado bocal
( )
( ) ( )
+ − 
 
= +
 
   
 
1 2
1 2 1
0 0
2 1
k k
k
m k A P T
R
= (Para ar)
0,528

Unidade 3
26
Exercício
Exercícios Resolvidos
3.1
❑ Uma câmara de foguete ideal opera a nível do mar usando propelentes cujos
produtos de combustão têm uma razão de calores específicos k = 1,3.
Determine a pressão na câmara e a razão de expansão do bocal, , se o
número Mach da saída do bocal é de 2,4. O número Mach na entrada do bocal
pode ser considerado desprezível.

Unidade 3
27
Exercício
3.2
❑ Um foguete opera ao nível do mar (Patm = 0,101325 MPa) com uma pressão na
câmara de 2,068 MPa, temperatura da câmara de 2222 K e um consumo de
propelente de 1 kg/s. (Admita k = 1,3; R = 345,7 J/kg.K). Calcule o empuxo e
o impulso específico ideal desse foguete. Calcule também A, , v, M, P e T na
garganta e na saída do bocal. Considere expansão ótima do bocal e admita
condições de estagnação na câmara. Faça gráficos mostrando a influência da
pressão sobre A, , v, M e T ao longo do bocal.
1
(Câmara)
t
(Garganta)
2
(Saída bocal)
A (m2) 6,350×10-4 2,067×10-3
 (kg/m3) 2,692 1,690 0,265
v (m/s) 0 931,847 1826,925
M 0 1 2,589
P (MPa) 2,068 1,129 0,101325
T (K) 2222 1932,174 1107,987

Unidade 3
28
Exercício
3.3
❑ Resultados experimentais indicam que os gases propulsores da reação de
gasolina líquida e oxigênio têm uma massa molar média de 23,2 kg/kmol e
uma razão de calores específicos de 1,22. Calcule o calor específico a pressão
constante e a volume constante, assumindo um gás perfeito.

Unidade 3
29
Exercício
3.4
❑ Um bocal expande um gás sob condições isentrópicas. Sua velocidade de
entrada na câmara ou bocal é igual a 70 m/s, e sua velocidade final é de 1500
m/s. Qual é a variação da entalpia do gás? Qual a porcentagem de erro
introduzida se a velocidade inicial for desprezada?

Unidade 3
30
Exercício
3.5
❑ Projete um bocal de foguete ideal que possa operar a 26 km de altitude e
tenha um empuxo de 5000 N, uma pressão e temperatura de câmara de
2,068 MPa e 2800 K, respectivamente. Considere que k = 1,30 e R = 355,4
J/kg.K. Determine a área da garganta, a área de saída, a velocidade da
garganta e a temperatura de saída dos gases nesse bocal. Admita condições
de estagnação na câmara de combustão e que a expansão dos gases é ótima
nessa altitude.

Unidade 3
31
Exercício
3.6
❑ As condições reais para um bocal com expansão ótima operando a nível do
mar são dadas por: k = 1,3; ṁP = 3,7 kg∕s; P1 = 2,1 MPa; T1 = 2585 K; M = 18
kg∕kmol. Calcule v2 e T2

Unidade 3
32
Exercício
3.7
❑ Nitrogênio (k = 1,38, massa molecular = 28 kg∕kmol) flui a um número de
Mach de 2,73 e 500 °C. Quais são suas velocidades local e de som?

Unidade 3
33
ESCOAMENTO NO BOCAL E
CONDIÇÕES NA GARGANTA

Unidade 3
34
1
A 2
A
t
A
Seção
Convergente
Seção
Divergente
  −
11 28
Ângulo de
contração
k=1,2
Razão de Expansão e Contração do Bocal
A área mínima do bocal é chamada de garganta é a razão entre a área de saída
do bocal e da garganta é chamada de razão de expansão da área do bocal.
( )
( )

+
−
 
+
= =  
+ −
 
 
1
2 1
2
2
2 2
1 1
2 1
k
k
t
A k
A M k M
Note que também existe a razão de contração da área do bocal, que ocorre
na seção convergente,
 = 1
C
t
A
A
  −
3 6
C
Para M = 4
c e
Ângulo de
expansão
k=1,4

Unidade 3
35
Razão de Pressões em um Bocal
−
 
=  
+
 
1
1
2
1
k
k
t
P
P k  −
1
0,53 0,57
t
P
P
k=1,4 k=1,2
No caso da pressão haverá uma redução de 43 à 47% durante a
passagem do fluido pelo bocal convergente.
1
P
t
P
Seção
Convergente
Perda de 43%
para k = 1,2
Perda de 47%
para k = 1,4

Unidade 3
36
Razão de Temperaturas em um Bocal
=
+
1
2
1
t
T
T k
Já no caso da temperatura haverá uma redução menos significativa,
em torno de 8 à 17%
 −
1
0,83 0,91
t
T
T
k=1,4 k=1,2
1
T
t
T
Seção
Convergente
Perda de 8%
para k = 1,2
Perda de 17%
para k = 1,4

Unidade 3
37
Condição de Bloqueio em um Bocal
Esta condição ocorre quando a vazão de massa na garganta é a máxima,
nestas condições M = 1.
+
−
 
=  
+
 
1
1
,max 1
1
1 2
1
k
k
P t
m A P k
kRT k
Logo, a condição de escoamento sônico ou supersônico será alcançada
quando o bocal estiver bloqueado,
−
+
 
  
 
1
1
2
1
2
k
k
P k
P  −
1
2
1,75 1,89
P
P
Se consideramos um bocal com
expansão ótima onde P2 = P3  −
1 1,75 1,89 atm
P P
k=1,2 k=1,4
k=1,2 k=1,4

Unidade 3
38
Tipos de Bocais em Motores Foguete
Subsônico Sônico Supersônico
Velocidade na
garganta
vt vt  at vt = at vt = at
Velocidade na
saída
v2 v2  a2 v2 = vt v2  vt
Número de
Mach M M2  1 M2 = Mt = 1 M2  1
Razão de
pressão
P1P2
Formato
−
+
 
  
 
1
1
2
1
2
k
k
P k
P
−
+
 
=  
 
1
1
2
1
2
k
k
P k
P
−
+
 
  
 
1
1
2
1
2
k
k
P k
P

Unidade 3
39
Uso de Bocais Supersônicos
Bocais supersônicos são usados em motores foguetes pois alcançam
altas taxas de conversão de entalpia em energia cinética.
A razão, P1/P2, em todos os foguetes deve ser grande o suficientemente
para induzir um escoamento supersônico no bocal.
No entanto, se a pressão absoluta da câmara cair abaixo de 1,75*Patm
haverá escoamento subsônico na porção divergente
Essa condição ocorre por um período de tempo muito curto,
normalmente durante o início e o fim do funcionamento do foguete
A condição de bloqueio do bocal ocorre na garganta e não na seção
de saída

Unidade 3
40
Razão de Áreas em um Bocal
Para um bocal supersônico,

−
− −
−
 
 
   
+
 
   
= = −
 
   
   
+ −
     
 
 
 
 
1
1 1 2
1
1
2 2 2
1 1
2 1
1
1 1
k
k k
k
t
A P P
k
A k P k P
Para operações em baixas altitudes, 0 − 10 km   −
3 25
− Pressão na câmara,
− Mistura de Propelentes,
− Limitações da fuselagem
Para operações em elevadas altitudes,  100 km
  −
40 200
  400
Em alguns casos

Unidade 3
41
Razão de Velocidades em um Bocal
Para um bocal supersônico,
−
 
 
+  
= − 
 
−  
 
 
1
2 2
1
1
1
1
k
k
t
v P
k
v k P
Para foguetes que operam em elevadas altitudes, não é possível obter
ganhos na velocidade de exaustão aumentando a razão de áreas, A2At, acima
de 1000

Unidade 3
42
ou
A Equação de Empuxo
O empuxo máximo para qualquer operação do bocal ocorre no vácuo,
quando P3 = 0
( )

= + −
2
2 3 2
t t
t
A v v
F P P A
( )
−
+
−
 
 
   
= − + −
 
   
− +
   
 
 
1
1
2
1
2
1 2 3 2
1
2 2
1
1 1
k
k
k
k
t
P
k
F A P P P A
k k P
( )
= + −
2 2 3 2
P
F m v P P A
ou
Para qualquer
Foguete
Para foguetes
Ideais
 
= + −
 
 
3
2 2
1
1 1
opt t
t
P
P A
F F P A
P P A

Unidade 3
43
Coeficiente de Empuxo
O Coeficiente de Empuxo é definido como o empuxo dividido pela
pressão da câmara, P1 e a área da garganta, At.
−
+
−
 
  −
   
= − +
 
   
− +
   
 
 
1
1
2
1
2 3
2 2
1 1
2 2
1
1 1
k
k
k
k
F
t
P P
P A
k
C
k k P P A
Para P1P3 definida, o Coeficiente de Empuxo alcança um valor máximo
quando P2 = P3. Também conhecido como Coeficiente de Empuxo Ótimo.
=
1
F
t
F
C
A P
ou
−
+
−
 
 
   
= − 
   
− +
   
 
 
1
1
2
1
2
,
1
2 2
1
1 1
k
k
k
k
F opt
P
k
C
k k P
CF pode ser encontrado por medidas experimentais: F, At e P1
 −
0,8 1,9
F
C

Unidade 3
44

Unidade 3
45
O Coeficiente de Empuxo mede os efeitos da pressão da câmara ou a
variação da altitude, em uma dada configuração de bocal.
O Coeficiente de Empuxo utiliza-se também para corrigir resultados do
empuxo obtidos a nível do mar e adaptá-los para condições de voo.
Quando P1P3 torna-se muito grande (por exemplo, durante a expansão
no vácuo), o coeficiente de empuxo aproxima-se de um máximo
assintótico.

Unidade 3
46
Velocidade Característica
A Velocidade Característica uma função das características do propelente
e do projeto da câmara de combustão.

= 1 t
P
P A
c
m
+
−
  
=  
+
 
1
1
1
1 2
1
k
k
c kRT
k k
c* pode ser encontrado por
medidas experimentais: , At e P1
Para qualquer
foguete
Para foguetes
ideais

= F P
F C m c
Neste caso o Empuxo pode ser expresso,
P
m

Unidade 3
47
Eficiência da Velocidade Característica
Usado para expressar o grau de desempenho da energia liberada pelo gás
em altas temperaturas e pressões na câmara.



= real
eff
c
c
c

 −
92 99,5 %
eff
c

Unidade 3
48
Coeficiente de Descarga
O Coeficiente de Descarga é o recíproco da velocidade característica,

=
1
D
C
c

Unidade 3
49
Influência da Variação de k
Em geral, quanto mais complexa for a molécula menor será o valor de k,
Gases Monoatômicos
Hélio, Argônio
Gases Diatômicos
H2, O2, N2
Gases Triatômicos
Amônia, CO2
1,67
k
1,4
k
 −
1,1 1,3
k
Isto também é verdade para moléculas em altas temperaturas

Unidade 3
50
Exercício
3.8
❑ Em bocais de foguetes a propulsão química é comum relacionar a razão de
contração, c, ao ângulo de contração, c, e a razão de expansão, , ao ângulo
de expansão, e. Para um bocal de diâmetros D1, D2 e Dt, mostre que o
comprimento total de um bocal de foguete, de formato cônico, pode ser
escrito como:
Sabe-se que a razão de contração pode variar de 3 a 6, dependendo da
estrutura e composição dos gases. Encontre a variação do ângulo de
contração para este foguete, se o comprimento da seção convergente do bocal
é 2 vezes o diâmetro da garganta.
 
 
 
− −
= +
 
 
1 2 1 2
1 1
2 tan tan
t c
c e
D
L

Unidade 3
51
Exercício
3.9
❑ Qual é a variação percentual de empuxo entre o nível do mar e a 26 km para
um foguete com uma pressão de câmara de 20 atm e uma razão de expansão
de área de 6? (Use k = 1,3).

Unidade 3
52
Exercício
3.10
❑ Dos dados apresentados no exercício 3.9 (P1 = 20 atm,  = 6, k = 1,3),
substitua a razão de expansão para 15. Compare o desempenho deste
foguete, em ambas altitudes, com esta nova razão de expansão, . Mostre
também, graficamente, a variação de CF com a altitude. Admita que não há
choques dentro do bocal.

Unidade 3
53
Exercício
3.11
❑ Os dados a seguir pertencem a um motor de foguete operando em condições
ótimas de bocal: massa molar média de 24 kg/kmol, pressão da câmara de
2,533 MPa, pressão externa de 0,09 MPa, temperatura da câmara de 2900 K,
área da garganta de 0,0005 m2, razão de calores específicos de 1,3.
Determine: (a) A velocidade na garganta; (b) O volume específico na
garganta; (c) A vazão de propelente e impulso específico; (d) Empuxo; (e)
Número de Mach na saída do bocal; (f) O coeficiente de empuxo.

Unidade 3
54
Exercício
3.12
❑ Para um foguete ideal com velocidade característica = 1500 m/s, diâmetro de
garganta de 18 cm, coeficiente de empuxo de 1,38 e uma vazão de massa de
40 kg/s, calcule a pressão da câmara, o empuxo e o impulso específico.

Unidade 3
55
BOCAIS SUB-EXPANDIDOS E
SOBRE-EXPANDIDOS

Unidade 3
56
Principais Diferenças entre os Bocais
BOCAL
MUITO CURTO
BOCAL
ÓTIMO
BOCAL
MUITO LONGO
2
P
3
P
1
P
1
P
1
P
2
P
2
P
3
P
3
P

Unidade 3
57
Bocal Subexpandido
Um bocal sub-expandido descarrega o fluido a uma pressão de saída, P2,
maior que a pressão ambiente, P3

2 3
P P
Pressão de Saída Pressão Ambiente
A área de saída é
muito pequena para
uma expansão ideal
O BOCAL É
MUITO CURTO
2
P
3
P
1
P

Unidade 3
58
Bocal Subexpandido
2 3
P P


Unidade 3
59
Bocal Subexpandido
2 3
P P

2 3
P P


Unidade 3
60
Bocal Subexpandido do Foguete Saturno V
2 3
P P
 2 3
P P


Unidade 3
61
Teste Estático do M3K – UFABC (2017)
2 3
P P


Unidade 3
62
Bocal Sobreexpandido ou Superexpandido
Um bocal sobre-expandido descarrega o fluido a uma pressão de saída, P2,
menor que a pressão ambiente, P3
2 3
P P

Pressão de Saída Pressão Ambiente
A área de saída é
muito grande para
uma expansão ideal
O BOCAL É
MUITO LONGO
2
P
3
P
1
P

Unidade 3
63
2 3
P P


Unidade 3
64
2 3
P P


Unidade 3
66
Casos de Escoamento em Bocal Supersônico

P P
2 3
❑ Haverá expansão pelo bocal sem descontinuidades
❑ Ondas de expansão serão formadas na saída
(subexpansão)
❑ Expansão incompleta dentro do bocal. Diminuindo
CF e Is
PRIMEIRO CASO
MENORES
2
P
3
P
1
P

Unidade 3
67

P P
2 3
❑ A expansão ocorrerá até que P2 alcance um valor entre
10 a 40% de P3
❑ Para pressões de saída P2 levemente menores do que a
pressão externa P3, o escoamento continuará a se expandir
completamente pelo bocal;
LEVEMENTE
MENORES
SEGUNDO CASO
❑ Abaixo destas condições a expansão será ineficiente,
resultando em um CF e Is menores do que na expansão
ótima e, consequentemente, ondas de choque ocorrerão na
seção de saída do bocal.
 

 2
3 3
0
0,1 ,4
P P
P


2 3
0,1 P
P

Unidade 3
68
P P
2 3
❑ Nessas condições, o diâmetro do jato supersônico será menor
do que o diâmetro de saída do bocal
❑ Ocorrerá a separação do escoamento dentro da seção
divergente do bocal;
MUITO
MENOR
TERCEIRO CASO
❑ Se o fluxo é constante e uniforme, a separação será
axial e simétrica.
2
P
3
P
1
P

Unidade 3
69
❑ O ponto de separação desloca-se à jusante, conforme diminui
a pressão externa
❑ A localização axial do plano de separação do jato depende
da pressão local e da rugosidade da parede do bocal;
MUITO
MENOR
TERCEIRO CASO
❑ Na saída do bocal, o escoamento na região central
permanece supersônico, mas é rodeado por uma região de
escoamento subsônico com formato anular.
2
P
3
P
1
P
P P
2 3

Unidade 3
70

P P
2 1
❑ Essa condição ocorre normalmente em bocais de foguete
por um curto período de tempo, no período denominado
transiente.
❑ A razão de pressão é menor do que a razão de pressão
crítica e o escoamento subsônico prevalece em todo o
bocal
MUITO
PRÓXIMO
QUARTO CASO
2
1 1
t
P
P
P P
 ESCOAMENTO
SUBSÔNICO

Unidade 3
71
Plano de Separação e Descolamento de Jato
❑ O método para estimar a pressão no local do plano de separação, dentro da
seção divergente de um bocal supersônico, tem sido geralmente empírico.
❑ A direção do empuxo não é comumente alterada pela separação.
❑ No período transiente (partida e parada), a separação deste escoamento
pode não ser axissimétrica, e podem ocorrer forças transientes nas
paredes do bocal.
❑ Alguns autores mostram que a magnitude e a direção das forças laterais
transientes podem mudar rápida e inesperadamente. Assim, as forças
laterais resultantes podem ser grandes causando falhas na estrutura do bocal.

Unidade 3
73
Comportamento dos gases de exaustão
Durante o voo A nível do mar em testes
estáticos
Estágio A2/At h (km) Is (s) h (km) Is (s)
1° Estágio
(Booster)
6
Bocal com escoamento
cheio, leve subexpansão
0 267
Bocal com escoamento
cheio
0 267
2° Estágio 10
Subexpansão
24 312
Super-expansão, leve
contração
0 254
3° Estágio 40
Subexpansão
100 334
Separação de fluxo,
causado pela super-
expansão
0 245

Unidade 3
74
Influência da Geometria da Câmara
Se a câmara tiver uma seção transversal maior do que quatro vezes a área da
garganta (A1At  4), a velocidade v1 da câmara pode ser desprezada
1
4
t
A
A
 1 0
v 
No entanto, as limitações de espaço e peso do veículo exigem cada vez
câmaras menores para motores de foguete.
Os gases na câmara se expandem conforme o calor é gerado na reação e a
expansão desses gases dentro da câmara também causará uma queda da
pressão e uma perda adicional de energia.
Essa perda será máxima quando o diâmetro da câmara for igual ao diâmetro
da garganta, o que significa que o bocal não possui uma seção convergente.
Isso também é conhecido como motor de foguete sem garganta.

Unidade 3
75
Desvantagens de Câmaras Pequenas
Razão de área,
A1At
Pressão na
garganta
(%)
Redução do
Empuxo
(%)
Redução do
Impulso Específico
(%)
 100 0 0
3,5 99 1,5 0,31
2,0 96 5,0 0,55
1,0 81 19,5 1,34
Desvantagens no desempenho e perdas estimadas para câmaras de diâmetro
pequeno, para três razões de área de câmara.

Unidade 3
76
Exercício
3.14
❑ Para o foguete dado no exercício 3.2, calcule a velocidade de exaustão se a
área de saída for reduzida em 50%. Estimar as perdas na energia cinética e
no empuxo e expressá-las como uma porcentagem da energia cinética original
e do empuxo original. NOTA: Este foguete não está em expansão ótima.
Dados do Exercício 3.2
P3 = 0,101325 MPa
P1 = 2,068 MPa
T1 = 2222 K
ṁP = 1 kg/s
k = 1,3
R = 345,7 J/kg.K

Unidade 3
77
Exercício
3.15
❑ Qual seria a velocidade máxima se o bocal dado no exercício 3.2 for projetado
para expandir em vácuo? Se a razão de expansão for 10, qual seria a
velocidade de saída nestas condições?
Dados do Exercício 3.2
P3 = 0,101325 MPa
P1 = 2,068 MPa
T1 = 2222 K
ṁP = 1 kg/s
k = 1,3
R = 345,7 J/kg.K

Unidade 3
78
Exercício
3.16
❑ A construção de um bocal axissimétrico convencional com área variável tem
sido frequentemente considerado na operação de um foguete com razão de
expansão ótima em qualquer altitude. Devido às dificuldades de projeto, este
dispositivo mecânico nunca foi construído com sucesso. Supondo que tal
mecanismo possa eventualmente ser construído, qual teria que ser a razão de
área para: 0 km, 25 km e 50 km, se a pressão da câmara for de 20 atm?
Admita k = 1,2; At = 5 cm2; ṁP = 1 kg/s; T1 = 2200 K e R = 345,7 J/kg.K.
Esboce também um gráfico da razão de expansão com a altitude.

Unidade 3
79
Exercício
3.17
❑ Projete um bocal supersônico para operar a 10 km de altitude (em condições
ótimas) com uma razão de expansão de 8. Admita para os gases quentes, T1 =
3000 K, R = 378 J/kg.K e k = 1,3. Determine o número Mach na saída, a
velocidade de exaustão e a temperatura de saída bem como a pressão da
câmara. Se a pressão da câmara for duplicada, o que ocorre com o empuxo e
a velocidade de exaustão? Admita que não há variações nas propriedades do
gás. Que tão próxima da expansão ótima encontra-se este bocal, com a
pressão da câmara duplicada?

Unidade 3
80
CONFIGURAÇÃO DE BOCAIS

Unidade 3
81
Seção Convergente do Bocal
A seção convergente do bocal entre a câmara e a garganta não foi projetada
para alcançar alto desempenho
1
A
t
A
Seção
Convergente
Escoamento subsônico nesta seção pode ser facilmente alcançado com uma
pequena redução da pressão, logo, qualquer raio, ângulo do cone, contorno
da parede ou formato de entrada do bocal pode ser aceitável.

Unidade 3
82
Bocais a 90° do Eixo da Câmara
Em motores foguete de pequeno empuxo, o posicionamento do bocal a 90° do
eixo da câmara de combustão, não traz qualquer perda no desempenho.

Unidade 3
83
Bocais a 90° do Eixo da Câmara

Unidade 3
84
Contorno da Garganta do Bocal
O contorno da garganta tampouco é um fator muito crítico para o desempenho,
e qualquer raio ou outra curva é geralmente utilizada.
1
r
2
r
t
r
B
r
Câmara
L c
L e
L
A
r
e
c
SEÇÃO DIVERGENTE
CÔNICA
SEÇÃO CONVERGENTE
PARABÓLICA

Unidade 3
85
Seção Divergente do Bocal
A principal diferença nas configurações do bocal é encontrada na seção
divergente, onde ocorre o escoamento supersônico.
A superfície da parede deve ser suave e lisa para diminuir:
− Atrito,
− Absorção de calor radiação,
− Transferência de calor por convecção.
2
A
t
A
Seção
Divergente
Furos, bordas afiadas
ou protuberâncias
devem ser evitadas

Unidade 3
86
Formato dos Bocais
Um bocal cônico e dois
bocais com formato
parabólico (sino)
Os três últimos possuem um
corpo central dentro do
bocal e têm excelente
compensação de altitude
Não foram usados em
veículos de lançamento
espacial.
Cônico
(e = 15°)
Parabólico
Longo
Parabólico
Curto
Aerospike
longo
Aerospike curto
(truncado)
Expansão
- Deflexão
L
L
L
L
L
L
Câmara
anular

Unidade 3
87
Bocais Aerospike
Aerospike Longo Aerospike Curto

Unidade 3
88
Bocal Cônico
Bocal
Cônico
Semi-Ângulo, e = 15°
− Configuração de bocal mais antiga e mais simples
− Fabricação relativamente fácil,
− Usado em bocais de pequeno porte,
− Usa-se fator de correção teórico, , aplicado na
quantidade de movimento,
− Para foguetes ideais  = 1
( )
 
= +
1
1 cos
2
e
e

Unidade 3
89
Bocal Cônico − Fator de Correção 
Cone Divergente
Ângulo de expansão,e (°)
Fator de Correção,

Perda
(%)
0 1,0000 0,000
2 0,9997 0,030
4 0,9988 0,120
6 0,9972 0,280
8 0,9951 0,490
10 0,9924 0,760
12 0,9890 1,100
14 0,9851 1,490
15 0,9830 1,700
16 0,9806 1,940
18 0,9755 2,450
20 0,9698 3,020
22 0,9636 3,640
24 0,9567 4,330

Unidade 3
90
Bocal Cônico − Fator de Correção 
1
2
2
2 1 1
1
2
1
1
k
k
P
k
v RT v
k P
−
 
 
 
= − +
 
 
−  
 
 
( )
2 2 3 2
P
F m v P P A
= + −
Observe que o fator de correção  só se
aplica ao termo de empuxo.
Cone Divergente
Ângulo de expansão,e (°)
Fator de Correção,

Perda
(%)
15 0,9830 1,700

Unidade 3
91
Bocal Cônico − Ângulo de Expansão, e
e
PEQUENO
Vantagem
− Quantidade de movimento é axial gerando Is elevado
Desvantagem
− Excesso de massa para o sistema de propulsão
− Maior complexidade do projeto
e
GRANDE
Vantagem
− Designs curtos e leves
Desvantagem
− Desempenho baixo
12° - 18°
e
IDEAL

Unidade 3
92
Bocal Parabólico (Formato de Sino)
É provavelmente o bocal mais comum
atualmente.
Parabólico
Longo
Parabólico
Curto
L
L

Unidade 3
93
A região divergente possui uma
seção de expansão com ângulos
variando entre 20° a 50°, logo
após a garganta do bocal
Seguido por uma queda gradual do
ângulo de contorno do bocal i, de
modo que na saída o ângulo de
divergência seja pequeno, geralmente
e <10°.

−
= 2
tan
t
cone
e
r r
L
1,5 t
r
0,4 t
r
Local de
Inflexão
T
E
 = 
8,5
e
 = 
11
e
 = 
30
i
t
r
Garganta
e = 15° Lcone (100%)

=
2 t
r r
L1 (60%) L2 (80%)
I

Unidade 3
94
A expansão no bocal parabólico
supersônico é mais eficiente do que
em um bocal cônico reto simples de
razão de área e comprimento
semelhantes, porque o contorno da
parede é projetado para minimizar
as perdas.
Nas últimas décadas, a maioria
dos bocais foi construída em
formato parabólico.

Unidade 3
95
A variação na direção do escoamento de um gás supersônico, em um bocal
com secção divergente, só pode ser alcançada através de ondas de expansão.
À medida que o gás passa pela garganta ele sofre uma série de ondas de
expansão, sem perda de energia.
Garganta
Me
Seção de
expansão
Seção de
alisamento

Unidade 3
96
Essas expansões ocorrem internamente no escoamento, entre a garganta e o
ponto de inflexão I.
O ângulo de contorno i alcança um valor máximo no ponto de inflexão. O
ângulo na saída e é pequeno, geralmente menor que 10°.
A diferença entre i e e
é chamado de Ângulo
de Retorno
1,5 t
r
0,4 t
r
Local de
Inflexão
T
E
i
t
r
Garganta
I
e

Unidade 3
97
Comprimento do Bocal
Parabólico, Ln
Porcentagem que
deseja-se reduzir, K
O comprimento de um bocal parabólico é geralmente uma fração do
comprimento de um bocal cônico padrão, com e = 15°
1,5 t
r 0,4 t
r
Local de
Inflexão
T
E
 = 
8,5
e
 = 
11
e
 = 
30
i
t
r
Garganta
e = 15° Lcone (100%)

=
2 t
r r
L1 (60%) L2 (80%)
I

−
= 2
tan
t
cone
e
r r
L
( )


−
=
1
tan
t
n
e
K r
L

Unidade 3
98
Variação do Ângulo de Contorno, i
Razão de expansão, 
60%
70%
80%
90%
100%
Comprimento
60%
70%
80%
90%
100%
Comprimento
i (°)
E
e
T
i
I
e (°)

Unidade 3
99
Fator de Correção (Bocal Parabólico)
Fator
de
correção
do
bocal
Percentual de comprimento de um bocal
cônico de e = 15°, com a mesma área em
forma de sino
Cônico
(e = 15°)
Parabólico
Longo
Parabólico
Curto
Bocal de sino
15° (100%)
Bocal
Cônico
L
L
L

Unidade 3
100
Razão de Expansão,  10 25 50
Cônico (Semi-ângulo, e = 15°)
Comprimento (100%)a 8,07 14,93 22,66
Fator de correção,  0,9829 0,9829 0,9829
Contorno parabólico (80%)
Comprimento a 6,45 11,94 18,12
Semi-ângulo aproximado no ponto de
inflexão e saída (°)
25/10 30/8 32/7,5
Contorno parabólico (60%)
Comprimento a 4,84 9,96 13,59
Semi-ângulo aproximado no ponto de
inflexão e saída (°)
32,5/17 36/14 39/18
Dados de vários bocais parabólicos
( )


−
=
1
tan
t
n
e
K r
L

Unidade 3
101
Fator
de
correção
do
bocal
Percentual de comprimento de um
bocal cônico de e = 15°, com a
mesma área em forma de sino
Bocal de sino
15° (100%)
Bocal
Cônico
Fator de Correção
Bocais parabólicos (75 a
85% de comprimento) são tão
eficientes quanto, ou
relativamente mais eficientes
do que bocais cônicos longos
de 15° (100% de
comprimento) com a mesma
razão de expansão.
O bocal parabólico ideal
(perda mínima) é extenso,
equivalente a um bocal
cônico de talvez 10° ou 12°

Unidade 3
102
Motores de Foguetes Sólidos
Ângulos de Inflexão, i 20 – 26°
Ângulos de Retorno, e 10 – 15°
Local de
Inflexão
T
E
i
I
e

Unidade 3
103
Motores de Foguetes Líquidos
Ângulos de Inflexão, i 27 – 50°
Ângulos de Retorno, e 15 – 30°
Local de
Inflexão
T
E
i
I
e

Unidade 3
104
Bocais de Duas Etapas
Algumas modificações têm sido projetadas para um bocal parabólico,
permitindo a este uma compensação completa ou quase completa das perdas
ocorridas no desempenho devido à altitude, ou seja, eles alcançam
desempenho máximo em mais de uma única altitude.
O bocal extensível de duas etapas possui uma razão de expansão inicial
baixa para operações na superfície da Terra ou próximo a ela, e uma segunda
razão de expansão maior para melhorar o desempenho em altitudes elevadas.
Câmara
1° segmento
(Bocal Fixo)
2° segmento
(Bocal Móvel)

Unidade 3
105
Bocal Extensível (RL-10B-2)
Posição
Recolhida
Posição
Estendida

Unidade 3
106
Bocal de Inserção por Queda
O conceito de inserção por queda evita o movimento do mecanismo e
permite a vedação do gás, mas há o problema da temperatura de
estagnação nas juntas.
Isto requer um mecanismo de liberação confiável pois a inserção liberada
também cria detritos em altas velocidades.
Até o momento, há pouca experiência prática em testes reais.
Câmara
Inserção
Inserção descartável
(mecanismos para segurar, mover ou
liberar as inserções não são mostrados)

Unidade 3
107
Bocal de Duplo Sino
O conceito de bocal de duplo sino usa dois bocais parabólicos reduzidos e
combinados em um, com uma protuberância ou um ponto de inflexão entre
eles.
Durante a subida, ele funciona primeiro na razão de expansão menor, com
a separação de fluxo ocorrendo no ponto de inflexão.
Atualmente, há pouca experiência prática com este conceito.
Conforme a altitude aumenta o gás se expande e o escoamento alcança o
segundo bocal, preenchendo completamente a seção de saída e operando
assim com a maior razão de expansão, o que aumenta o desempenho
Saliência ou protuberância
no contorno
Bocal de Duplo Sino
(mecanismos para segurar, mover ou
liberar as inserções não são mostrados)
Saliência em
forma de anel

Unidade 3
108
Bocais com Contornos Aerodinâmicos
O bocal de ponta ou bocal aerospike (bocal de sino invertido) consiste
em uma câmara de formato toroidal seguido do bocal com formato anular
Contorno aerodinâmico do escoamento é delimitado pela interface entre o
gás quente e o ar ambiente.

Unidade 3
109
Bocal Aerospike
L
L
Câmara
anular
Aerospike longo Aerospike curto
Formato
Escoamento com
subexpansão em
altitude
Escoamento com
sobreexpansão a
nível do mar
Ondas de
expansão
Cauda das
ondas
Regiões de
recirculação
Limites
difusos Regiões de
recirculação

Unidade 3
110
Bocais Múltiplos
Se um bocal grande for substituído por um conjunto de bocais menores, em
um motor de foguete sólido (todos com o mesmo empuxo cumulativo), é
possível reduzir o comprimento do bocal.

Unidade 3
111
Fatores de Correção de Desempenho
Fator de Correção
de Empuxo  = real
F
ideal
F
F
Fator de Correção
de Descarga  = ,
,
P real
D
P ideal
m
m
Fator de Correção da
Velocidade de Exaustão



= F
v
D
(Normalmente entre 1 e 1,15)

Unidade 3
112
Exercício
3.18
❑ Um sistema de propulsão alemão projetado na Segunda Guerra Mundial tinha
um empuxo a nível do mar de 249,17 kN e uma pressão na câmara de 1,5
MPa. Se a pressão de saída era de 0,084 MPa e o diâmetro de saída de 740
mm, qual é o empuxo em 25000 m?

Unidade 3
113
Exercício
3.19
❑ Um foguete ideal possui as seguintes características: Pressão da câmara de
27,2 atm, pressão na saída do bocal de 20,68 kPa, razão de calores
específicos de 1,20, massa molar média de 21 kg/kmol, temperatura da
câmara de 2589 K. Determine a pressão crítica, a velocidade do gás na
garganta, a razão de expansão de área e a velocidade de saída do bocal.

Unidade 3
114
Exercício
3.20
❑ Para um foguete ideal com velocidade característica c* = 1220 m/s, uma
vazão de massa de 73 kg/s, coeficiente de empuxo de 1,5 e uma área de
garganta de 0,0248 m2. Calcule a velocidade efetiva de exaustão, o empuxo, a
pressão da câmara e o impulso específico.

Unidade 3
115
Exercício
3.22
❑ Assumindo que o fator de correção de empuxo é 0,985 e o fator de correção
de descarga é 1,05. Usando os dados do exercício 3.2, determine: (a) O
empuxo real; (b) A velocidade real de exaustão; (c) O impulso específico real;
(d) O fator de correção de velocidade.

Unidade 3
116
Exercício
3.24
❑ O estágio superior de uma unidade de propulsão para um veículo lançador não
atendeu às expectativas durante os testes a nível do mar. Esta unidade
consiste em uma câmara a 4,052 MPa alimentando com gases quentes um
bocal supersônico de razão de área  = 20. A pressão atmosférica local na
condição de projeto é 20 kPa. O propelente tem k = 1,2 e o diâmetro da
garganta do bocal é 9 cm. a) Calcule o empuxo na condição de projeto. b)
Calcule o empuxo a nível do mar. c) Explique o porquê do comportamento não
ideal observado no teste a nível do mar.

Unidade 3
117
Exercício
3.25
❑ Assumindo fluxo ideal em uma unidade de propulsão de foguete: a) Indique
todas as condições necessárias (realistas ou não) para: c* = c = v2; b) As
condições anteriores resultam em um empuxo ótimo para um dado P1P3?, c)
Para um veículo lançador projetado para operar em alguma altitude
intermediária da Terra, esboce (em valores absolutos ou relativos) como c*, c
e v2 variam com a altitude.

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