1. O documento apresenta os conceitos de sucessão e progressão matemática.
2. São definidos os tipos de sucessões de acordo com limites, monotonia e convergência.
3. Também são explicados os tipos de progressões aritmética e geométrica com suas fórmulas.
1. 1
Universidade Católica de Moçambique
Instituto de Educação à Distância
Exercícios Práticos
Nome: Luis Mário Cuania, Código No 708220380
Curso: Licenciatura em Administração Publica
Disciplina: Matemática A. Administração Publica
Ano de Frequência: 1º Ano
Pemba, Outubro, 2022
2. 2
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Categorias Indicadores Padrões
Classificação
Pontuação
máxima
Nota
do
tutor
Subtotal
Estrutura
Aspectos
organizacionais
Capa 0.5
Índice 0.5
Introdução 0.5
Discussão 0.5
Conclusão 0.5
Bibliografia 0.5
Conteúdo
Introdução
Contextualização
(Indicação clara do
problema)
1.0
Descrição dos
objectivos
1.0
Metodologia
adequada ao
objecto do
trabalho
2.0
Análise e
discussão
Articulação e
domínio do
discurso
académico
(expressão escrita
cuidada, coerência
/ coesão textual)
2.0
Revisão
bibliográfica
nacional e
internacionais
relevantes na área
de estudo
2.
Exploração dos
dados
2.0
Conclusão
Contributos
teóricos práticos
2.0
Aspectos
gerais
Formatação
Paginação, tipo e
tamanho de letra,
paragrafo,
espaçamento
entre linhas
1.0
Referências
Bibliográficas
Normas APA 6ª
edição em
citações e
bibliografia
Rigor e coerência
das
citações/referênci
as bibliográficas
4.0
3. 3
Folha para recomendações de melhoria: A ser preenchida pelo tutor
_____________________________________________________________________________
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4. 4
Exercicios Praticos
Sucessões
Segundo Ávila (1999), Sucessão é uma sequência de números que obedece a uma
determinada lei de formação a qual chamamos de termo geral da sucessão.
Exemplo de sucessão
an = (1,2,3,4,5…)
bn = (3,6,9,12,15…)
vn = (20,15,10,5,0,-5…)
𝑈𝑛 = (
1
2
;
1
4
;
1
8
;
1
10
… . . )
Em geral uma sucessão é dada na forma an = (a1, a2, a3, a4 …)
Onde:
a1 é o primeiro termo (termo de ordem 1)
a2 é o primeiro termo (termo de ordem 2)
a3 é o terceiro termo (termo de ordem 3)
a4 é o quarto termo (termo de ordem 4)
an é o enésimo termo (termo de ordem n)
Ávila (1999),Termo geral de uma sucessão é uma expressão que nos permite conhecer
qualquer um dos termo conhecendo a ordem do termo.
Exemplo de termo geral
an = (1,2,3,4,5…) o termo geral é an= n
bn = (3,6,9,12,15…) o termo geral é bn= 3n
vn = (20,15,10,5,0,-5…) o termo geral é Vn=-5n +20
Un = (1,4,9,16…) o termo geral é Un= n²
Ministério da Educação e Desenvolvimento Humano - MEDH(s/d), a sucessão pode ser
Classificada em:
5. 5
Quanto ao limite;
Quanto a monotonia;
Quanto a convergência.
Sucessão limitada
Uma sucessão diz-se limitada se todos termos da sucessão estão compreendidos em
determinado intervalo a e b finito ou seja na sucessão temos um majorante (o maior
termo) e um minorante (o menor termo).(Ávila, 1999).
Exemplo;
an = (4,2,0,-2)
“Note; que a sucessão tem um inicio e um fim” (começa no 4 e termina no -2; o
majorante é o maior termo da sucessão; o majorante é na sucessão é 4; o minorante é o
menor termo da sucessão; o minorante é na sucessão é -2).
Sucessão ilimitada
Uma sucessão diz-se ilimitada se os termos da sucessão são infinitos. Uma sucessão
ilimitada só tem majorante ou minorante e nunca majorante e minorante, (Ávila, 1999).
an = (1,2,3,4,5…)
“Note; que a sucessão tem um inicio mais não tem fim” (Começa no 1 e não termina; 1
é o minorante na sucessão).
Sucessão crescente
Uma sucessão diz-se crescente quando na medida em que a ordem aumenta os termos
também vão crescendo.
U(n+1) >Un
U(n+1)– Un>0
Exemplos
sn = (13,16,19,21,35…)
Sucessão decrescente
6. 6
Uma sucessão é decrescente quando na medida em que a ordem aumenta os termos vão
decrescendo.
U(n+1)<Un
U(n+1)– Un>0
Exemplos:
fn = (40,36,33,21,15…)
xn = (-1,-7,-11,-21 …)
Sucessão não crescente
Uma sucessão diz-se não crescente quando na medida que a ordem aumenta os termos
não crescem
U(n+1)≤ Un
U(n+1)– Un≤0
Exemplos:
on = (12,12,7,5,5,3…)
yn = (11,7,4,2…)
Nota; toda sucessão decrescente é não crescente mais nem toda sucessão não crescente é
decrescente
Sucessão não decrescente
Uma sucessão diz-se não decrescente quando na medida em que a ordem aumenta os
termos não decrescem
U(n+1)≥ Un
U(n+1)– Un≥0
Exemplo
ln = (5,7,9,9,11…)
7. 7
en = (1,6,11,16…)
Nota; toda sucessão crescente é não decrescente mais nem toda sucessão não
decrescente é crescente
Sucessão constante
Uma sucessão diz-se constante quando os termos da sucessão são constante. (Ávila,
1999).
U1= U2=U3=U4=Un
Exemplo:
qn = (6,6,6,6,6…)
Sucessão convergente
Uma sucessão é convergente se converge para um valor k ou seja o seu limite é um
valor numérico
Exemplo:
𝑈𝑛 = (
1
3
;
1
9
;
1
27
;
1
81
… . ) Converge para 0
𝑉
𝑛 =
7𝑛3+2𝑛
2𝑛3+3
Converge para
7
2
pois lim
𝑛→∞
7𝑛3+2𝑛
2𝑛3+3
=
7
2
Sucessão divergente
Uma sucessão é divergente se ela não for convergente converge ou seja o não tem
limite.(MEDH, s/d).
Exemplo
dn = (12,9,7,5,3…)
𝑔𝑛 =
5𝑛2
− 8
4𝑛 + 9
8. 8
Segundo Vuma (s/d), o termo “progressão” remete a um desenvolvimento gradual de
um processo ou uma sucessão. Em matemática, dizemos que esta sucessão é uma
sequência. Podemos exemplificar algumas sequências conhecidas:
Sequência das eleições para presidente a partir de 1994: (1994, 1998, 2002,
2006, 2010, 2014, 2018);
Sequência das edições copa do mundo a partir de 1990: (1990, 1994, ..., 2014,
2018);
Sequência dos números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)
Note que em todos os exemplos acima, as sequências são definidas por uma ordem em
seus elementos (também chamados de termos). Definimos o tamanho de uma sequência
pelo número de termos que ela possui, o que nos traz a possibilidade de que ela seja
infinita ou finita.
Segundo Dante (2011), na Matemática, caracterizamos a progressão como uma série
numérica de quantidades, ou seja, que ocorre de forma sucessiva, uma após a outra. Ela
sempre é estabelecida por uma lei de formação, que é uma fórmula matemática.
Existem dois tipos de progressão, a aritmética e a geométrica.
Segundo Dante (2011), na progressão aritmética (PA), cada termo a partir do segundo é
determinado pela soma do anterior por uma constante chamada de razão. Para
determinar os termos da sequência, aplica-se a seguinte fórmula:
an = a1 + (n – 1) . r
Onde:
an = n-ésimo termo da sequência
a1 = primeiro termo
n = posição do termo na sequência
r= razão
Ainda em relação a PA, temos a fórmula que fornece a soma dos n primeiro termos, que
é a seguinte:
9. 9
𝑆𝑛 = 𝑛. (
𝑎1 + 𝑎𝑛
2
)
Onde:
Sn = soma dos n primeiros termos de uma PA
n = posição do termo na sequência
a1 = primeiro termo da sequência
an = n-ésimo termo da sequência
Exemplo: Encontre o vigésimo termo da sequência (1, 3, 5, 7 . . .) e calcule a soma dos
20 primeiros termos.
Dados:
a1 = 1
r = 2 → Para descobrir r, observe a progressão. O próximo número é sempre o anterior
mais 2: 1 + 2 = 3; 3 + 2 = 5 …
n = 20
a20 = ?
Resolução:
an = a1 + (n – 1) . r
a20 = 1 + (20 – 1) . 2
a20 = 1 + (19) . 2
a20 = 1 + 38
a20 = 39
O vigésimo termo da sequência é o número 39.
𝑆𝑛 = 𝑛. (
𝑎1 + 𝑎𝑛
2
)
10. 10
𝑆20 = 20. (
1 + 39
2
)
𝑆20 = 20. (
40
2
)
𝑆20 = 20 . 20
𝑆20 = 400
A soma dos vinte primeiros termos da sequência é 400.
Segundo Dante (2011), Já a progressão geométrica (PG) pode ser entendida como
qualquer sequência de números em que, a partir do segundo termo, a sequência é dada
por meio da multiplicação do termo anterior pela razão. Veja a fórmula:
𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞𝑛−1
Onde:
an = n-ésimo termo da sequência
a1 = primeiro termo da sequência
q = razão
n = posição do termo da sequência
Nessa progressão, também temos a fórmula da soma dos n primeiros termos, que é dada
por:
𝑆𝑛 =
𝑎1 . (𝑞𝑛
− 1)
𝑞 − 1
Onde:
Sn = soma dos n primeiros termos de um PG
a1 = primeiro termo da sequência
q = razão
n = posição do termo na sequência
11. 11
Exemplo: Determine o sexto termo da progressão geométrica (2, 6, 18, 54...) e, em
seguida, calcule a soma dos seis primeiros termos.
Para resolver esse exercício, devemos calcular a razão (q). Para isso, efectue as divisões:
6
2
= 3 ;
18
6
= 3 ;
54
18
= 3 ;
Com isso, verificamos que a razão da PG é 3. Sabendo que a1 = 2 e n = 6, substitua os
valores na fórmula:
𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞𝑛−1
𝑎6 = 𝑎1 . 𝑞𝑛−1
𝑎6 = 2 . 36−1
𝑎6 = 2 . 35
𝑎6 = 2 . 243
𝑎6 = 486
O sexto termo da PG é o número 486. Vamos agora calcular a soma dos seis primeiros
termos da sequência.
𝑆𝑛 =
𝑎1 . (𝑞𝑛
− 1)
𝑞 − 1
𝑆𝑛 =
2 . (36
− 1)
3 − 1
𝑆𝑛 =
2 . (729 − 1)
3 − 1
𝑆𝑛 =
2 . (728)
2
𝑆𝑛 =
1 456
2
𝑆𝑛 = 728
A soma dos seis primeiros termos da progressão geométrica é igual a 728.
12. 12
Toda função é uma relação. Utilizando dois conjuntos A e B, a relação entre eles será
uma função se todos os elementos do primeiro conjunto estiver relacionado (ligado)
apenas com um elemento do segundo conjunto.(Vuma, s/d)
É uma função de IR em IR, ou seja, pertence ao conjunto dos números reais
f(x) = ax + b ou y= ax + b. (Vuma, s/d)
Onde a é o coeficiente de x e b é o termo constante.
Regra: a e b são números reais e a≠0
A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b, onde a
e b são números reais e a é diferente de 0.
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de
formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números:
a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou
decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no
plano cartesiano. (Vuma, s/d)
Exemplos de funções do 1º grau
y = 4x + 2, a = 4 e b = 2
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9
y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10
Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerar y = 0.
De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta
o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função.
Vamos determinar a raiz das funções a seguir:
y = 4x + 2
y = 0
4x + 2 = 0
4x = –2
13. 13
x = –2/4
x = –1/2
A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2
+ bx + c , com a # 0.(Vuma,
s/d)
Exemplos:
f(x) = x2
- 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2
( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical.
Se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo;
Se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo;
O vértice da parábola é o ponto V(xv ,yv) onde:
xv = - b/2ª
yv = - D /4a , onde D = b2
- 4ac
A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as
raízes daequação ax2
+ bx + c = 0;
A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c);
O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.;
ymax = - D / 4a ( a < 0 );
ymin = - D /4a ( a > 0 );
Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 );
Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0);
Forma factorada: sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2
+ bx + c , então ela
pode ser escrita na forma factorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)
1. Seja (𝑈𝑛) a sucessão definida por:
15. 15
Sabe-se que U3 =
1
12
e que U18 = 4x U20. Determinando uma expressão do termo
geral de (𝑈𝑛) é:
U3 =
1
12
⇔ 𝑈1𝑥 𝑟2
=
1
12
U18 = 4x U20 ⇔ U1 x 𝑟17
= 4x U1 𝑥 𝑟19
. .
Resolvendo, determinamos o valor do primeiro termo e da razão da
progressão:
𝑈1𝑥 𝑟2
=
1
12
U1 x 𝑟17
= 4x U1 𝑥 𝑟19
.
𝑈1 =
1
12
÷ 𝑟2 𝟏
𝟏𝟐𝒓𝟐
x 𝑟17
= 4x
𝟏
𝟏𝟐𝒓𝟐
𝑥 𝑟19
.
𝑼𝟏 =
𝟏
𝟏𝟐𝒓𝟐 𝒓𝟐
= ±√
𝟏
𝟒
⇔ 𝒓 < 0
𝑈1 =
1
12
𝑥 (−
1
2
) 2𝑟 = −
1
2
⇔ 𝑈1 =
1
3
𝑟 = −
1
2
Assim, temos que a expressão do termo geral na forma 𝑎 𝑥 𝑏𝑛
, é:
𝑈𝑛 =
1
3
𝑥 (–
1
2
) 𝑛 − 1 =
1
3
𝑥 (–
1
2
) 𝑛 𝑥 (–
1
2
) − 1
𝑈𝑛 =
1
3
𝑥 (–
1
2
) 𝑛 𝑥 (−2)
𝑼𝒏 = −
𝟐
𝟑
𝒙 (–
𝟏
𝟐
) 𝒏
Dado o gráfico abaixo obtendo as funções representadas por r e s é:
Primeiro vamos determinar a função representada pela recta s:
16. 16
A rectas passa pelos pontos (2,7) e (5,-1). Podemosresolver o
determinante|
𝑥 𝑦 1
2 7 1
5 −1 1
| = 0e encontrar a equação geral da recta dada por8𝑥 + 3𝑦 −
37 = 0, e isolando y obtém-se𝒚 = −
𝟖
𝟑
𝒙 +
𝟑𝟕
𝟑
.Esta função, como mostra o seu
gráfico, é uma função decrescente, ou seja, à medida que x cresce o
ydecresce. A recta tem coeficiente angular negativo.
A outra forma de determinar a função (ou a equação da recta que a
representa) é usar a expressão y=ax+b, na qual substituímos os pontos(2,7)
e (5,-1) e resolvemos o sistema:
{
7 = 2𝑎 + 𝑏
−1 = 5𝑎 + 𝑏
⟹ {
−𝑏 = 2𝑎 − 7
________________
⟹ {
𝑏 = −2𝑎 + 7
_______________
{
−
−1 = 5𝑎 + (−2𝑎 + 7) ⟹ {
−
−1 = 5𝑎 − 2𝑎 + 7 ⟹ {
−
−1 = 3𝑎 + 7
⟹ {
−
−1 − 7 = 3𝑎 ⟹ {
−
−8 = 3𝑎 ⟹ {
−
−
8
3
= 𝑎 ⟹ {
−
𝑎 = −
8
3
⟹ {𝑏 = −2𝑥 (−
8
3
) + 7
−
⟹ {𝑏 =
16
3
+ 7
−
⟹ {
𝒃 =
𝟑𝟕
𝟑
𝒂 = −
𝟖
𝟑
De maneira semelhante determinamos a rectar que passa por (-1,1) e (6,3), cuja função
é dada por𝒚 = −
𝟐
𝟕
𝒙 +
𝟗
𝟕
.
Sendo uma função crescente, ou seja, à medida que x cresce o y também
cresce. A recta que representa a função tem coeficiente angular positivo (
𝟐
𝟕
)
e linear igual a
𝟗
𝟕
..
{
1 = −1𝑎 + 𝑏
3 = 6𝑎 + 𝑏
⟹ {
𝑎 = 𝑏 − 1
________________
⟹ {
−
3 = 6(𝑏 − 1) + 𝑏
17. 17
{
−
3 = 6𝑏 − 6 + 𝑏 ⟹ {
−
3 + 6 = 6𝑏 + 𝑏 ⟹ {
−
9 = 7𝑏 ⟹ {
−
9
7
= 𝑏 ⟹ {
−
𝑏 =
9
7
⟹ {𝑎 =
9
7
− 1
−
⟹ {𝑎 =
9 − 7
7
−
⟹ {
𝒂 =
𝟐
𝟕
𝒃 = −
𝟗
𝟕
Considerando a função de variável real 𝑓(𝑥) =
3𝑥+8
2
. O valor de 𝑓−1
(10) é:
Primeiro vamos calcular a função inversa de f(x)
Para calcularmos a função inversa 𝑓−1
(𝑥), primeiramente temos que trocar o x pelo y e,
depois, isolar o u. assim:
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 8
2
𝑓−1(𝑥) =
3𝑦 + 8
2
𝑥 =
3𝑦 + 8
2
2𝑥 = 3𝑦 + 8
2𝑥 − 8 = 3𝑦
3𝑦 = 2𝑥 − 8
𝒚 =
𝟐𝒙 − 𝟖
𝟑
Essa é a função inversa.
𝒇−𝟏
(𝒙) =
𝟐𝒙 − 𝟖
𝟑
Agora, basta substituirmos x por 10 nessa função.
𝑓−1
(𝑥) =
2𝑥 − 8
3
𝑓−1
(10) =
2.10 − 8
3
18. 18
𝑓−1
(10) =
20 − 8
3
𝑓−1
(10) =
12
3
𝒇−𝟏
(𝟏𝟎) = 𝟒
Oferta: P=0,3x+6 e Demanda: P=15-0,2x. Se o Governo tabelar o preço de venda em
9,00 MT por unidade, as unidades que ademanda excederá a oferta é:
Se P=9,00 e substituindo na equação da oferta P=0,3x+6
𝑃 = 0,3𝑥 + 6
9 = 0,3𝑥 + 6
9 − 6 = 0,3𝑥
3 = 0,3𝑥
3
0,3
= 𝑥
10 = 𝑥
𝑥 = 10
Se P=9,00 e substituindo na equação da demanda𝑃 = 15 − 0,2𝑥
9 = 15 − 0,2𝑥
9 − 15 = −0,2𝑥
−6 = −0,2𝑥
−6
−0,2
= 𝑥
30 = 𝑥
𝑥 = 30
Portanto 30 − 10 = 20