Soluções do livro Análise Real

Solu¸oes dos exerc´
c˜ ıcios de An´lise do livro An´lise real
a a
volume 1 de Elon Lages Lima.

‡
Rodrigo Carlos Silva de Lima
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uﬀ.math@gmail.com
‡

8 de dezembro de 2011

Sum´rio
a

1 Solu¸oes-An´lise Real Volume 1 (Elon fino)
c˜ a 5
1.1 Nota¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co 6
1.2 Cap´
ıtulo 1-Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 N´meros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 6
1.2.2 Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Conjuntos enumer´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
a
1.3 Cap´
ıtulo 2-N´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
u
1.3.1 R ´ um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
e
1.3.2 R ´ um corpo ordenado
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 R ´ um corpo ordenado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
e
1.4 Cap´
ıtulo 3-Sequˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
e
1.4.1 Limite de uma sequˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
e
1.4.2 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3 Opera¸˜es com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
co
1.4.4 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5 Cap´
ıtulo 4-S´ries num´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
e e
1.5.1 S´ries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
e
1.5.2 S´ries absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
e
1.5.3 Teste de convergˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
e
1.5.4 Comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.6 Cap´
ıtulo 5-Algumas no¸˜es topol´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
co o
1.6.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.6.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2

´
SUMARIO 3

1.6.3 Pontos de acumula¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
ca
1.6.4 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.6.5 O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.7 Cap´
ıtulo 6-Limite de fun¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
c˜
1.7.1 Defini¸õ e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
ca
1.7.2 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.7.3 Limites no infinito, limites infinitos, etc. . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.8 Cap´
ıtulo 7-Fun¸˜es cont´
co ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.8.1 Defini¸õ e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
ca
1.8.2 Fun¸oes cont´
c˜ ınuas num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.8.3 Fun¸oes cont´
c˜ ınuas em conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . 95
1.8.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.9 Cap´
ıtulo 8-Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.9.1 A no¸õ de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
ca
1.9.2 Regras operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.9.3 Derivada e crescimento local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.9.4 Fun¸oes deriv´veis num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
c˜ a
1.10 Cap´
ıtulo 9-F´rmula de Taylor e aplica¸˜es da Derivada . . . . . . . . . . . 120
o co
1.10.1 F´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
o
1.10.2 Fun¸oes cˆncavas e convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
c˜ o
1.10.3 Aproxima¸˜es sucessivas e m´todo de Newton . . . . . . . . . . . . 132
co e
1.11 Cap´
ıtulo 10-A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.11.1 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.11.2 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.11.3 Condi¸oes suficientes de integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 146
c˜
1.12 Cap´
ıtulo 11-C´lculo com integrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
a
1.12.1 Os teoremas cl´ssicos do c´lculo integral. . . . . . . . . . . . . . . . 150
a a
1.12.2 A integral como limite de somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . 152
1.12.3 Logaritmos e exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1.12.4 Integrais impr´prias
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
1.13 Cap´
ıtulo 12-Sequˆncias e s´rie de fun¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
e e c˜
1.13.1 Convergˆncia simples e convergˆncia uniforme . . . . . . . . . . . . 168
e e
1.13.2 Propriedades da convergˆncia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 172
e

´
SUMARIO 4

1.14 Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Cap´
ıtulo 1

Solu¸˜es-An´lise Real Volume 1
co a
(Elon fino)

Este texto ainda nõ se encontra na sua versõ final, sendo, por enquanto, cons-
a a
titu´ apenas de anota¸˜es informais. Sugest˜es para melhoria do texto, corre¸oes da
ıdo co o c˜
parte matem´tica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email
a
rodrigo.uff.math@gmail.com.
Se houver alguma solu¸õ errada, se quiser contribuir com uma solu¸ao diferente ou
ca c˜
ajudar com uma solu¸õ que nõ consta no texto, tamb´m pe¸o que ajude enviando a
ca a e c
solu¸õ ou sugestõ para o email acima, colocarei no texto o nome da pessoa que tenha
ca a
ajudado com alguma solu¸õ. Espero que esse texto possa ajudar alguns alunos que
ca
estudam an´lise pelo livro do Elon.
a
Os exerc´
ıcios que possuem dicas no final do livro sõ feitos, em geral, seguindo essas di-
a
cas, por´m em alguns casos resolvemos um problema mais geral e tirando o exerc´ como
e ıcio
corol´rio direto de outra proposi¸ao, outras vezes damos solu¸oes diferentes. Tentamos
a c˜ c˜
detalhar essas solu¸oes tornando claras passagens que poderiam ser obscuras.
c˜
Os enunciados das quest˜es sõ escritos no texto ,na maioria das vezes alterados,
o a
por´m tomamos o cuidado de manter a essˆncia de cada questõ.
e e a
A exposi¸ao do texto segue a linha Teorema-Demonstra¸ao.
c˜ c˜

5

CAP´ ¸˜ ´
ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 6

1.1 Nota¸˜es
co
X Denotamos (xn ) uma sequˆncia (x1 , x2 , · · · ). Uma n upla (x1 , x2 , · · · , xn ) podemos
e
denotar como (xk )n .
1

X O conjunto de valores de aderˆncia de uma sequˆncia (xn ) iremos denotar como
e e
A[xn ].

X Usaremos a abrevia¸õ P BO para princ´
ca ıpio da boa ordena¸ao.
c˜

X Denotamos f (x + 1) − f (x) = ∆f (x).
xn+1
X Usamos nota¸õ Qxn =
ca .
xn
X Para simbolizar a k-´sima derivada da fun¸ao f , usamos os s´
e c˜ ımbolos Dk ou f (k) .

X Se a sequˆncia (xn ) converge para a, podemos usar as nota¸oes lim xn = a ou
e c˜
xn → a.

1.2 Cap´
ıtulo 1-Conjuntos finitos e infinitos

1.2.1 N´ meros naturais
u

Questõ 1 a)
a

Propriedade 1. Mostrar que
∑
n
n(n + 1)
k= .
k=1
2

Demonstra¸õ. Por indu¸õ sobre n. Para n = 1 a igualdade vale pois
ca ca

∑
1
1(2)
k=1= .
k=1
2

Supondo a validade para n
∑
n
n(n + 1)
k=
k=1
2
vamos provar para n + 1
∑
n+1
(n + 1)(n + 2)
k= .
k=1
2

CAP´ ¸˜ ´

Por defini¸õ de somat´rio temos
ca o

∑
n+1 ∑
n
n(n + 1) n (n + 1)(n + 2)
k = (n + 1) + k = (n + 1) + = (n + 1)(1 + ) =
k=1 k=1
2 2 2

onde usamos a hip´tese da indu¸ao
o c˜ .

Questõ 1 b)
a

∑
n
(2k − 1) = n2 .
k=1

Demonstra¸õ. Por indu¸õ sobre n. Para n = 1 temos
ca ca

∑
1
(2k − 1) = 2.1 − 1 = 1 = 12 .
k=1

supondo a validade para n,
∑
n
(2k − 1) = n2
k=1

vamos provar para n + 1
∑
n+1
(2k − 1) = (n + 1)2 .
k=1

Usando a defini¸ao de somat´rio e hip´tese da indu¸õ tem-se
c˜ o o ca

∑
n+1 ∑
n
(2k − 1) = (2k − 1) + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .
k=1 k=1

Questõ 2
a

Propriedade 3 (Axioma de Eudoxius). Dados m e n naturais com n > m entõ existe
a
q ∈ N tal que
qm ≤ n < (q + 1)m.

Demonstra¸õ. Seja A = {x.m | xm > n, x ∈ N }, tal conjunto ´ nõ vazio pois
ca e a
(n + 1).m > n, pelo P BO ele possui um menor elemento. Sabemos tamb´m que m nõ
e a
pertence a esse conjunto, entõ x > 1, x sempre ´ sucessor de algum n´mero natural ,
a e u
entõ podemos tomar o elemento m´
a ınimo de A da forma (q + 1)m. Tem-se (q + 1) > q

CAP´ ¸˜ ´

logo (q + 1).m > q.m, assim q.m nõ pode pertencer ao conjunto A, pois iria contrariar
a
o P BO, logo por tricotomia vale q.m ≤ n e

q.m ≤ n < (q + 1).m.

Propriedade 4 (Divisõ Euclidiana). Dados n > m, entõ existe q tal que n = q.m ou
a a
qm + r = n com r < m.

Demonstra¸õ.
ca
Pelo axioma de Eudoxius existe q tal que q.m ≤ n < (q + 1).m. da´ q.m = n ou
ı
q.m < n, se a primeira vale a demonstra¸ao termina, se vale a segunda existe r ∈ N tal
c˜
que q.m + r = n. Agora analisamos as possibilidades para r, se r = m, q.m + m = n,
m(q + 1) = n que ´ absurdo. Se r > m entõ q.m + r = n > q.m + m = m(q + 1) que
e a
tamb´m ´ absurdo, como nõ vale r ≥ m entõ por tricotomia vale r < m
e e a a .

Questõ 3
a

Propriedade 5. Seja A ̸= ∅ subconjunto de N , com propriedade

n, m ∈ A ⇔ m, m + n ∈ A

entõ existe t ∈ N tal que A = {tn | n ∈ N }.
a

Demonstra¸õ. A ´ nõ vazio, entõ ele possui um elemento m´
ca e a a ınimo t. Primeiro
vamos mostrar que B = {tn | n ∈ N } ⊂ A. t ∈ A, supondo tn ∈ A vamos mostrar que
t(n + 1) ∈ A. A propriedade vale pois t(n + 1) = tn + t a adi¸õ ´ fechada em A. Entõ
ca e a
os m´ltiplos de t pertencem ao conjunto A.
u
Agora dado um elemento m ∈ A, tomamos a divisõ euclidiana de m por t, da´ existe
a ı
q ∈ N tal que m = q.t ou ∃r ∈ N tal que m = q.t + r. Se vale para todo m a primeira
possibilidade entõ A ⊂ B implicando A = B. Vamos mostrar que a segunda nõ ocorre.
a a
Se m ∈ A ´ da forma qt + r, como qt ∈ A segue que r ∈ A, mas vale r < t o que
e
contraria a minimalidade de t, entõ essa possibilidade nõ pode acontecer e vale sempre
a a
m = q.t .

Questõ 4
a

Propriedade 6. Nõ existe x ∈ N tal que n < x < n + 1.
a

CAP´ ¸˜ ´

Essa propriedade nos mostra que todo n´mero natural diferente de 1 ´ sucessor de
u e
algum outro n´mero.
u

Demonstra¸õ. Suponha que exista x nas condi¸˜es dadas, entõ x = n + p com p
ca co a
natural, p nõ pode ser 1 e tamb´m nõ pode ser p > 1, pois de 1 < p somando n, segue
a e a
x < n + 1 < n + p chegar´
ıamos em n + p < n + p que ´ falsa, resta entõ a possibilidade
e a
de p < 1 que nõ acontece pois 1 ´ o menor elemento de N .
a e

Questõ 5
a

Propriedade 7. Provar o princ´
ıpio da boa ordena¸ao por meio do axioma de indu¸ao.
c˜ c˜

Demonstra¸õ.
ca
Seja B um conjunto que satisfa¸a as condi¸˜es do axioma de indu¸ao, 1 ∈ B e ∀k ∈ B,
c co c˜
k + 1 ∈ B, vamos provar que B = N. Suponha por absurdo que B ̸= N , definimos
A = N B, tal conjunto ´ nõ vazio entõ possui um elemento m´
e a a ınimo, tal elemento nõ
a
pode ser 1 pois 1 ∈ B, entõ esse elemento ´ sucessor de algum n´mero natural e podemos
a e u
denotar tal elemento como t + 1 , isso implica que t ∈ B e por indu¸õ t + 1 ∈ B que ´
ca e
um absurdo .

1.2.2 Conjuntos finitos

Questõ 1 a)
a

Propriedade 8. Se B ´ finito e A ⊂ B entõ |A| ≤ |B|. (nota¸ao |A| ´ o n´mero de
e a c˜ e u
elemento de A e A B significa que A ´ subconjunto pr´prio de B, isto ´ A ⊂ B e
e o e
A ̸= B).

Demonstra¸õ. Faremos o caso de B = In . Como A ´ subconjunto de um conjunto
ca e
finito entõ ele ´ finito, seja entõ |A| = m, supondo por absurdo que m > n vale In
a e a Im
e de A ⊂ In Im segue que A Im , isto ´, A ´ subconjunto pr´prio de Im , por´m como
e e o e
|A| = m, existe bije¸õ entre Im e A, absurdo! pois nõ pode existir bije¸ao entre um
ca a c˜
conjunto finito e sua parte pr´pria.
o

CAP´ ¸˜ ´

Questõ 1 b)
a

Propriedade 9. Se A e B sõ finitos e disjuntos com |A| = n e |B| = m entõ A ∪ B ´
a a e
finito com |A ∪ B| = m + n.

Demonstra¸õ. Existem bije¸oes f : In → A, g : Im → B. Definimos h : Im+n →
ca c˜
A ∪ B como h(x) = f (x) se 1 ≤ x ≤ n e h(x) = g(x − n) se 1 + n ≤ x ≤ m + n
(1 ≤ x − n ≤ m), como h ´ bije¸ao segue o resultado.
e c˜

Propriedade 10. Se A e B sõ conjuntos finitos nõ necessariamente disjuntos vale a
a a
rela¸õ
ca
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Demonstra¸õ. Escrevemos A como a uniõ disjunta A = (A B) ∪ (A ∩ B), da´
ca a ı
|A| − |A ∩ B| = |A B| agora escrevemos A ∪ B = (A B) ∪ B, uniõ disjunta logo
a

|A ∪ B| = |A B| + |B|

usando a primeira expressõ segue que
a

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Questõ 1 c)
a

Propriedade 11. Sejam (A1 , A2 , · · · , An ) = (Ak )n (nota¸ao) conjunto finitos dois a dois
1 c˜
∪
n ∑n ∑n
disjuntos, onde |Ak | = mk entõ |
a Ak | = |Ak | = mk .
k=1 k=1 k=1

Demonstra¸õ. Indu¸õ sobre n.
ca ca

Propriedade 12. Se A e B sõ finitos e disjuntos com |A| = m e |B| = n entõ A × B
a a
´ finito com |A × B| = m.n.
e
∪
n
Demonstra¸õ. Podemos escrever A × B =
ca Ak onde Ak = A × {Bk } com |Ak | =
k=1
m, logo
∪
n ∑
n
|A × B| = | Ak | = |Ak | = m.n.
k=1 k=1

CAP´ ¸˜ ´

Questõ 2
a

Propriedade 13. Seja |A| = n entõ |P (A)| = 2n .
a

Demonstra¸õ. Por indu¸ao sobre n, se n = 1, entõ A = {a1 } possui dois subcon-
ca c˜ a
juntos que sõ ∅ e {α1 }. Suponha que qualquer conjunto qualquer B com n elementos
a
tenha |P (B)| = 2n , vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos implica
|P (C)| = 2n+1 . Tomamos um elemento a ∈ C, C {a} possui 2n subconjuntos (por
hip´tese da indu¸ao), sk de k = 1 at´ k = 2n , que tamb´m sõ subconjuntos de C, por´m
o c˜ e e a e
podemos formar mais 2n subconjuntos de C com a uniõ do elemento {a}, logo no total
a
temos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois nõ temos
a
nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.

Questõ 3
a
∏
n ∏
n ∏
n
Propriedade 14. Sejam (Ak )n com |Ak | = mk entõ |
1 a Ak | = |Ak | = mk .
k=1 k=1 k=1

Demonstra¸õ. Por indu¸õ sobre n.
ca ca

Propriedade 15. Se |A| = m e |B| = n entõ |F (A; B)| = nm .
a

Demonstra¸õ.[1] Faremos o caso em que A = Im . As fun¸˜es de F (Im ; B) sõ m
ca co a
uplas, sendo que em cada coordenada existem n possibilidades de elementos
∏
m
F (Im ; B) = B
k=1

da´
ı
∏
m ∏
m
|F (Im ; B)| = | B| = |B| = nm .
k=1 k=1

No caso geral mostramos que existe uma bije¸õ entre F (Im ; B) e F (A; B) logo tais
ca
conjuntos possuem a mesma quantidade de elementos.
Demonstra¸õ.[2] Por indu¸ao sobre m. Para m = 1. A = {a1 } e B = {b1 , · · · , bn },
ca c˜
temos n fun¸˜es fk (a1 ) = bk , ∀k ∈ In . Suponha a validade para um conjunto A′ qualquer
co
com m elementos, vamos provar para A com |A| = m+1. Tomamos a ∈ A, da´ A{a} = A′
ı
possui m elementos, logo |F (A′ , B)| = nm , podemos estender cada ft′ : A′ → B para
f : A → B de n maneiras diferentes, tomando f (a) = bk , k ∈ In , logo temos no total
nnm = nm+1 fun¸˜es
co .

CAP´ ¸˜ ´

Questõ 4
a

Propriedade 16. Se A ̸= ∅ ⊂ N ´ limitado superiormente entõ A possui m´ximo.
e a a

Demonstra¸õ. Seja B = {n ∈ N | n > x, ∀x ∈ A.} , B ´ um conjunto nõ vazio de
ca e a
n´meros naturais, logo pelo princ´
u ıpio da boa ordena¸ao B possui um elemento m´
c˜ ınimo,
tal elemento nõ pode ser o n´mero 1 entõ ele ´ sucessor de algum n´mero natural, que
a u a e u
denotaremos por t + 1, logo t tem que satisfazer uma das propriedades, existe y ∈ A tal
que t < y ou existe y ∈ A tal que t = y . A primeira op¸õ nõ pode valer pois ter´
ca a ıamos
t < y < t + 1 que ´ absurdo . Vamos mostrar que tal y realmente ´ o m´ximo do conjunto.
e e a
Seja z ̸= y elemento de A, entõ z < y, pois se t = y < z, entõ t < z < t + 1 que ´
a a e
absurdo.

Propriedade 17. Um conjunto A ̸= ∅ , A ⊂ N ´ finito sse ´ limitado.
e e

1.2.3 Conjuntos infinitos

Questõ 1 a)
a

Propriedade 18. Se A ´ infinito e f : A → B ´ injetiva entõ B ´ infinito.
e e a e

Demonstra¸õ. f : A → f (A) ´ bije¸ao e f (A) ⊂ B ´ infinito, logo B ´ infinito , B
ca e c˜ e e
nõ pode ser finito, pois todo subconjunto de um conjunto finito ´ finito. f (A) nõ pode
a e a
ser finito, pois se fosse A estaria em bije¸õ com um conjunto finito logo seria finito.
ca

Questõ 1 b)
a

Propriedade 19. Se B ´ infinito e f : A → B ´ sobrejetiva entõ A ´ infinito.
e e a e

Demonstra¸õ. Dado y ∈ B escolhemos x ∈ A tal que f (x) = y e com isso definimos
ca
a fun¸õ g : B → A tal que g(y) = x, g ´ injetiva entõ pelo resultado anterior segue que
ca e a
A ´ infinito.
e

Questõ 2
a

Propriedade 20. Se A ´ infinito entõ existe fun¸ao injetiva f : N → A.
e a c˜

CAP´ ¸˜ ´

Demonstra¸õ. Podemos definir f indutivamente. Tomamos inicialmente x1 ∈ A e
ca
∪
n
definimos f (1) = x1 e para n ∈ N escolhemos xn+1 ∈ A {xk } definido f (n+1) = xn+1 .
k=1
∪
n
A {xk } nunca ´ vazio pois A ´ infinito. f ´ injetora pois tomando m > n tem-se
e e e
k=1
∪
m−1 ∪
m−1
f (n) ∈ {xk } e f (m) ∈ A {xk }.
k=1 k=1

Corol´rio 1. Existe fun¸ao injetiva de um conjunto finito B num conjunto infinito A.
a c˜

Propriedade 21. Sendo A infinito e B finito existe fun¸õ sobrejetiva g : A → B.
ca

Demonstra¸õ. Existe fun¸õ injetiva f : B → A, logo f : B → f (B) ⊂ A ´
ca ca e
bije¸õ, possuindo inversa g −1 : f (B) → B. Considere a fun¸ao f : A → B definida como
ca c˜
f (x) = g −1 (x) se x ∈ f (B) e f (x) = x1 ∈ B se x ∈ f (B), f ´ fun¸ao sobrejetiva.
/ e c˜

Questõ 3
a

Propriedade 22. Existem infinitos n´meros primos.
u

Demonstra¸õ. Suponha que existam (pk )n ,n primos, vamos mostrar que existe
ca 1

mais um primo distinto dos anteriores . Considere
∏
n
s=( pk ) +1
k=1
=a

se esse n´mero ´ primo a demonstra¸õ termina, se nõ, ele ´ composto e ir´ existir um
u e ca a e a
n´mero primo p tal que p|s, tal p nõ pode ser nenhum dos pk dados pois se pk |s entõ
u a a
pk |(s − a) = 1 que ´ absurdo, assim ele possui um fator primo p ̸= pk .
e
Uma maneira de denotar tal fato ´ escrever
e

lim π(n) = ∞.

Exemplo 1. O produto de primos consecutivos adicionados de 1 nõ sõ sempre primos
a a

2 + 1 = 3 ´ primo
e

2.3 + 1 = 7 ´ primo
e

CAP´ ¸˜ ´

2.3.5 + 1 = 31 ´ primo
e

2.3.5.7 + 1 = 211 ´ primo
e

2.3.5.7.11 + 1 = 2311 ´ primo
e

2.3.5.7.11.13 + 1 = 30031 = 509.59 nõ ´ primo
a e

2.3.5.7.11.13.17 + 1 = 510511 = 19.97.277 nõ ´ primo
a e

Questõ 4
a

Exemplo 2. Dar exemplo de uma sequˆncia (Ak ) decrescente de conjuntos infinitos cuja
e
interseçõ seja vazia.
ca
Considere os conjuntos definidos como Ak = {n ∈ N | n > k}, cada um desses con-
juntos ´ infinito e vale Ak ⊂ Ak+1 , por´m nõ existe elemento que perten¸a ao interseçõ
e e a c ca
∩
∞
Ak
k=1

se houvesse algum t que pertencesse a interseçao entõ tal t deveria ser elemento de todo
c˜ a
Ak , por´m isso nõ acontece, pois existe k tal que k > t, da´ todos elementos de Ak sõ
e a ı a
maiores que t.

1.2.4 Conjuntos enumer´veis
a

Questõ 1
a

Exemplo 3. f : N × N → N definida como f (m + 1, n) = 2m (2n − 1) e f (1, n) = 2n − 1 ´
e
uma bije¸õ. Dado um n´mero natural n qualquer, podemos escrever esse n´mero como
ca u u
produto dos seus fatores primos
∏
n ∏
n
n= pαk = 2α1 .
k pαk
k
k=1 k=2

como os primos maiores que 2 sõ ´
a ımpares e o produto de ´
ımpares ´ um n´mero ´
e u ımpar
entõ n = 2m (2n − 1). Agora vamos mostrar que a fun¸ao ´ injetora seja f (m, n) = f (p, q)
a c˜ e

2m (2n − 1) = 2p (2q − 1)

CAP´ ¸˜ ´

se m ̸= p os n´meros serõ diferentes pela unicidade de fatora¸õ (2s − 1 nõ possui
u a ca a
fatores 2 pois sempre ´ ´
e ımpar), entõ devemos ter m = p, da´ segue que n = q e termina
a ı
a demonstra¸ao.
c˜

Questõ 2
a

Exemplo 4. Existe g : N → N sobrejetiva tal que g −1 (n) ´ infinito para cada n ∈ N .
e
Seja f : N → N definida como f (n) = k se n ´ da forma n = pαk onde pk ´ o k-´simo
e k e e
n´mero primo e f (n) = n caso contr´rio, f ´ sobrejetiva e existem infinitos n ∈ N tais
u a e
que f (n) = k para cada k natural.

Questõ 3
a
∪
∞
Exemplo 5. Exprimir N = Nk onde os conjuntos sõ infinitos e dois a dois disjuntos.
a
k=1
∪
∞
Tome Nk+1 = {pαk , αk
k ∈ N onde pk o k-´simo primo} e N1 = N
e Nk , cada um
k=2
deles ´ infinito, sõ disjuntos e sua uniõ d´ N .
e a a a

Questõ 4
a

Propriedade 23. Pn = {A ⊂ N | |A| = n} ´ enumer´vel.
e a

Demonstra¸õ. Definimos a fun¸õ f : Pn → N n da seguinte maneira: Dado A =
ca ca
{x1 < x2 < · · · < xn }, f (A) = (x1 , · · · , xn ). Tal fun¸õ ´ injetiva pois dados A = {xk , k ∈
ca e
In } e B = {yk , k ∈ In } nõ pode valer xk = yk para todo k, pois se nõ os conjuntos
a a
seriam iguais.

Corol´rio 2. o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N ´ enumer´vel pois
a e a
∪
∞
Pf = Pk
k=1

´ uniõ enumer´vel de conjuntos enumer´veis.
e a a a

CAP´ ¸˜ ´

Questõ 5
a

Daremos duas demonstra¸oes para essa questõ uma mais direta outra um pouco mais
c˜ a
longa.

Propriedade 24. O conjunto X das sequˆncias (xn ) tais que dado n, xn = 0 ou xn = 1
e
´ nõ enumer´vel.
e a a

Demonstra¸õ.
ca
Vamos supor por absurdo que tal conjunto seja enumer´vel com a enumera¸ao s : N →
a c˜
X , tal que dado v natural associamos a sequˆncia sv = (xv (n) ). Podemos entõ tomar
e a
o elemento y = (yn ), definido da seguinte maneira: yn ̸= xn (n) , podemos tomar yn dessa
maneira pois se para n fixo vale xn (n) = 0 escolhemos yn = 1, se xn (n) = 1 escolhemos
yn = 0, da´ tem-se que y ̸= sv para todo v natural, logo y nõ pertence a enumera¸õ, o
ı a ca
que ´ absurdo. Logo a sequˆncia ´ nõ enumer´vel.
e e e a a

Propriedade 25. P (N ) ´ nõ enumer´vel.
e a a

Demonstra¸õ. Definimos a fun¸õ f : X → P (N ) (onde X ´ o conjunto de
ca ca e
sequˆncias de elementos 0 ou1 ) da seguinte maneira para cada sequˆncia (xk ), defini-
e e
mos f (xk ) = V = {k | xk ̸= 0}. Tal fun¸ao ´ bije¸õ pois dadas duas sequˆncias distintas
c˜ e ca e
(xk ) e (yk ) entõ existe k tal que xk ̸= yk , sem perda de generalidade, yk = 0 entõ
a a
k ∈ f (yk ) e k ∈ f (xk ) logo as imagens sõ distintas. A fun¸ao tamb´m ´ sobrejetiva pois
/ a c˜ e e
dado um subconjunto V ⊂ N a ele est´ associado a sequˆncia (xk ) onde xk = 0 se k ∈ V
a e /
e xk = 1 se k ∈ V .
Como tal fun¸õ ´ bije¸ao e X ´ nõ enumer´vel, segue que P (N ) tamb´m ´ nõ
ca e c˜ e a a e e a
enumer´vel.
a

Teorema 1 (Cantor). Sejam A um conjunto arbitr´rio e B um conjunto contendo pelo
a
menos dois elementos, entõ nenhuma fun¸ao f : A → F (A, B) ´ sobrejetiva.
a c˜ e

Demonstra¸õ. A fun¸ao f : A → F (A, B) associa a um elemento de x de A a
ca c˜
um elemento y de F (A, B), que por sua vez ´ uma fun¸ao de A em B, y : A → B, que
e c˜
denotaremos por fx = y. Para mostrar que f nõ ´ sobrejetiva, temos que mostrar que
a e
existe z em F (A, B) tal que para nenhum x ∈ A vale fx = z.
Definiremos z : A → B da seguinte maneira, para todo x ∈ A fixo temos que fx (x) ´
e
um elemento de B, como B possui no m´
ınimo dois elementos, entõ associamos z(x) a um
a

CAP´ ¸˜ ´

elemento diferente de fx (x), assim as fun¸oes(imagens da fun¸õ) z e fx sõ distintas para
c˜ ca a
todo x (pois diferem em um elemento) , logo f : A → F (A, B) nõ pode ser sobrejetiva.
a

Propriedade 26. Existe bije¸ao entre P (A) e F (A, {0, 1}). Os elementos de P (A) sõ
c˜ a
subconjuntos de A.

Demonstra¸õ. Seja a fun¸õ C : P (A) → F (A, {0, 1}), chamada de fun¸õ ca-
ca ca ca
ıstica, definida como: Dado V ∈ P (A), CV deve ser uma fun¸ao de A em {0, 1},
racter´ c˜
definimos entõ CV (x) = 1 se x ∈ V e CV (x) = 0 se x ∈ V .
a /
Tal fun¸ao ´ injetiva, pois sejam V ̸= H elementos de P (A) entõ CV ´ diferente de
c˜ e a e
CH , pois existe, por exemplo, x1 ∈ H tal que x1 ∈ V e x1 ∈ A e vale CV (x1 ) = 0 e
/
CH (x1 ) = 1, logo as fun¸oes sõ distintas.
c˜ a
A fun¸õ ´ sobrejetiva, pois dado um elemento y de F (A, {0, 1}), ele deve ser uma
ca e
fun¸õ de A em {0, 1}, entõ existe um subconjunto V que cont´m todos x ∈ A tal que
ca a e
y(x) = 1 e para todo x ∈ L = A V tem-se y(x) = 0, tal fun¸ao ´ a mesma que CV . Logo
c˜ e
a fun¸ao ´ bijetora.
c˜ e

Corol´rio 3. Nõ existe bije¸õ entre os conjuntos A e P (A), pois nõ existe fun¸ao
a a ca a c˜
sobrejetiva entre A e F (A, (0, 1)) essa ultima que est´ em bije¸ao com P (A). Em especial
´ a c˜
nõ existe bije¸õ entre N e P (N ).
a ca

Questõ 6
a

Propriedade 27. Sejam B enumer´vel e f : A → B tal que ∀y ∈ B, f −1 (y) ´ enumer´vel,
a e a
entõ A ´ enumer´vel.
a e a

Demonstra¸õ.
ca

∪
A= f −1 (y)
y∈B

entõ A ´ uniõ enumer´vel de conjuntos enumer´veis, da´ A ´ enumer´vel.
a e a a a ı e a

CAP´ ¸˜ ´

1.3 Cap´
ıtulo 2-N´ meros reais
u

1.3.1 R ´ um corpo
e

Questõ 1 a)
a

Propriedade 28 (Unicidade do elemento neutro da adi¸ao). Se x + θ = x para algum
c˜
x ∈ R entõ θ = 0.
a

Demonstra¸õ. Vale que x + θ = x + 0, logo pela lei do corte segue θ = 0.
ca

Questõ 1 b)
a

Propriedade 29 (Unicidade do elemento neutro da multiplica¸ao). Se x.u = x para todo
c˜
x ∈ R entõ u = 1.
a

Demonstra¸õ. Tomamos x ̸= 0 ele possui inverso x−1 multiplicando por x−1 de
ca
ambos lados segue que u = 1.

Questõ 1 c)
a

Propriedade 30. Se x + y = 0 entõ y = −x.
a

Demonstra¸õ. Adicionamos −x em ambos lados.
ca

Questõ 1 d)
a

Propriedade 31. Se x.y = 1 entõ y = x−1 .
a

Demonstra¸õ. Como x.y = 1 entõ nenhum dos n´meros ´ nulo, logo ambos
ca a u e
possuem inverso, multiplicamos em ambos lados por x−1 de onde segue o resultado.

Questõ 2
a

Propriedade 32.
(bd)−1 = b−1 .d−1 .

CAP´ ¸˜ ´

Demonstra¸õ.
ca
(bd)−1 .bd = 1

b−1 .d−1 .b.d = 1

logo (bd)−1 = b−1 .d−1 . por unicidade de inverso .

Propriedade 33.
a c ac
. = .
b d bd
Demonstra¸õ.
ca
a c ac
. = a.b−1 .c.d−1 = ac.b−1 .d−1 = ac.(bd)−1 = .
b d bd

Propriedade 34.
a c a+c
+ = .
d d d
Demonstra¸õ.
ca
a c a+c
+ = d−1 a + d−1 c = d−1 (a + c) =
d d d
por distributividade do produto em rela¸ao a soma.
c˜

Propriedade 35.
a c ad + bc
+ = .
b d bd
Demonstra¸õ.
ca
a c ad cb ad cb ad + bc
+ = + = + = .
b d bd db bd db bd

Questõ 3
a

Propriedade 36. (x−1 )−1 = x.

Demonstra¸õ. Pois x.x−1 = 1, logo x ´ o inverso de x−1 , isto ´ x = (x−1 )−1 .
ca e e

Corol´rio 4.
a
( )−1
a b
=
b a
pois
( )−1
a b
= (ab−1 )−1 = a−1 b = .
b a

CAP´ ¸˜ ´

Questõ 4
a

∑
n
1 − xn+1
xk =
k=0
1−x

para x ̸= 1.

Demonstra¸õ. Usamos a soma telesc´pica
ca o
∑
n
xk+1 − xk = xn+1 − 1
k=0

como xk+1 − xk = xk (x − 1) entõ
a

∑
n
xn+1 − 1 1 − xn+1
xk = = .
k=0
x−1 1−x

1.3.2 R ´ um corpo ordenado
e

Questõ 1
a

Vamos dar algumas demonstra¸oes da desigualdade triangular e tirar a questõ como
c˜ a
corol´rio.
a

Propriedade 38. Sejam 0 ≤ x e 0 ≤ y. Se x2 ≤ y 2 entõ x ≤ y.
a

Demonstra¸õ.
ca
Vale (x − y)(x + y) ≤ 0
como 0 ≤= x + y deve valer (x − y) ≤ 0 da´ x ≤ y .
ı

Propriedade 39 (Desigualdade triangular).

|a + b| ≤ |a| + |b|

para quaisquer a e b reais.

Demonstra¸õ.
ca
a.b ≤ |ab| = |a||b|

CAP´ ¸˜ ´

multiplicando por 2 e somando a2 + b2 em ambos lados

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ≤ a2 + 2|a||b| + b2 = |a|2 + 2|a||b| + |b|2 = (|a| + |b|)2

logo (|a + b|)2 ≤ (|a| + |b|)2 de onde segue usando a propriedade anterior

|a + b| ≤ |a| + |b|.

Demonstra¸õ.[2] Valem as desigualdades
ca

−|a| ≤ a ≤ |a|, −|b| ≤ b ≤ |b|

somando ambas
−(|b| + |a|) ≤ a + b ≤ |b| + |a|

que equivale `
a
|a + b| ≤ |a| + |b|.

Demonstra¸õ.[3] Sabemos que vale sempre x ≤ |x| e y ≤ |y| entõ x + y ≤ |x| + |y|,
ca a
da´ se 0 ≤ x + y temos
ı
|x + y| = x + y ≤ |x| + |y|.

Vale tamb´m que −x ≤ |x| e y ≤ |y| entõ se x + y < 0 segue |x + y| = −(x + y) ≤
e a
|x| + |y|. Em qualquer dos casos temos |x + y| ≤ |x| + |y|.

Corol´rio 5. Na desigualdade triangular
a

|a + b| ≤ |a| + |b|

tomando a = x − y , b = y − z segue

|x − z| ≤ |x − y| + |y − z|

Questõ 2
a

Propriedade 40.
||a| − |b|| ≤ |a − b|.

CAP´ ¸˜ ´

Demonstra¸õ. Pela desigualdade triangular temos que
ca

|a| ≤ |a − b| + |b| logo |a| − |b| ≤ |a − b|

tem-se tamb´m que
e
( )
|b| ≤ |a − b| + |a| ⇒ |b| − |a| = − |a| − |b| ≤ |a − b| ⇒ −|a − b| ≤ |a| − |b|

juntando as duas desigualdades

−|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|

que implica
||a| − |b|| ≤ |a − b|.

Questõ 3
a

Propriedade 41. Dados x, y ∈ R, se x2 + y 2 = 0 entõ x = y = 0.
a

Demonstra¸õ. Suponha que x ̸= 0, entõ x2 > 0 e y 2 ≥ 0 de onde segue que
ca a
x2 +y 2 > 0 , absurdo entõ deve valer x2 = 0 ⇒ x = 0 logo temos tamb´m y 2 = 0 ⇒ y = 0,
a e
portanto x = y = 0.

Questõ 4
a

Exemplo 6. Mostre que

x2
(1 + x) ≥ 1 + nx + n(n − 1)
n
2

para n natural e x ≥ 0. Vamos chamar

x2
C(n, x) = 1 + nx + n(n − 1) .
2

Por indu¸õ sobre n, para n = 1
ca

x2
(1 + x) ≥ 1 + 1.x + 1(1 − 1) =1+x
2

logo vale a igualdade. Considere agora a validade da hip´tese
o

x2
(1 + x)n ≥ 1 + nx + n(n − 1)
2

CAP´ ¸˜ ´

vamos mostrar que vale
( ) ( )
x2 n+1 n+1 2 n(n − 1)x2
(1+x) n+1
≥ 1+(n+1)x+(n+1)(n) = 1+ x+ x = 1+nx+ +x+nx2
2 1 2 2

(1 + x)n+1 ≥ C(n, x) + x + nx2

onde usamos a rela¸õ de Stiefel. Multiplicando a desigualdade da hip´tese da indu¸ao
ca o c˜
por 1 + x, nõ alteramos a desigualdade pois 1 + x ´ positivo, temos entõ
a e a

(1 + x)n+1 ≥ C(n, x)(1 + x) = C(n, x) + C(n, x)x

agora vamos mostrar que

C(n, x) + C(n, x)x ≥ C(n, x) + x + nx2

que ´ equivalente `
e a
C(n, x)x ≥ x + nx2

desigualdade v´lida se x = 0, agora se x > 0 equivale `
a a

C(n, x) ≥ 1 + nx

x2 x2
1 + nx + n(n − 1) ≥ 1 + nx ⇔ n(n − 1) ≥ 0
2 2
se n = 0 ou n = 1 ela se verifica, se n ̸= 0, 1 tamb´m pois temos x2 > 0.
e

Questõ 5
a

Exemplo 7. Para todo x ̸= 0 real, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.
Se x > −1 tomamos a desigualdade de bernoulli com 2n no expoente. Se x < −1 vale
1 + x < 0 por´m elevando a uma potˆncia par resulta num n´mero positivo, por outro
e e u
lado 2nx < −2n logo 1 + 2nx < 1 − 2n < 0 entõ (1 + x)2n ´ positivo e 1 + 2nx ´ negativo,
a e e
logo nesse caso vale (1 + x)2n > 1 + 2nx .

CAP´ ¸˜ ´

Questõ 6
a

Propriedade 42. |a − b| < ε ⇒ |a| < |b| + ε.

Demonstra¸õ. Partindo da desigualdade |a − b| < ε, somamos |b| a ambos lados
ca

|a − b| + |b| < ε + |b|

e usamos agora a desigualdade triangular

|a| ≤ |a − b| + |b| < ε + |b|

da´ segue
ı
|a| ≤ ε + |b|.

Questõ 7
a

Propriedade 43. Sejam (xk )n e (yk )n n´meros reais, entõ vale a desigualdade
1 1 u a
∑n ∑
n ∑
n
( xk yk ) ≤ ( (xk ) )( (yk )2 ).
2 2

k=1 k=1 k=1

∑
n
Demonstra¸õ. Dado f (x) =
ca (xk + xyk )2 , vale f (x) ≥ 0, sendo um polinˆmio de
o
k=1
grau 2 em x, expandindo vale tamb´m
e
∑
n ∑
n ∑
n ∑
n
(xk + xyk )2 = (xk )2 +x 2 (xk yk ) +x2 (yk )2
k=1 k=1 k=1 k=1
c b a

temos que ter o discriminante ∆ = b2 − 4ac ≤ 0 ⇒ b2 ≤ 4ac para que f (x) ≥ 0,

∑
n ∑
n ∑
n
4( (xk yk )) ≤ 4( (xk ) )( (yk )2 )
2 2

k=1 k=1 k=1

implicando finalmente que
∑n ∑
n ∑
n
( xk yk ) ≤ ( (xk ) )( (yk )2 ).
2 2

k=1 k=1 k=1

A igualdade vale sse cada valor xk + xyk = 0 para todo k ∈ N.

CAP´ ¸˜ ´

Questõ 8
a
ak
Propriedade 44. Sejam ∈ (α, β) e tk , bk > 0 para cada k ∈ In , entõ vale que
a
bk
∑
n
tk ak
k=1
∑n ∈ (α, β).
tk bk
k=1

Demonstra¸õ. Vale para cada k
ca
tk ak
α< <β
tk bk
como cada tk bk > 0, podemos multiplicar por tal termo em ambos lados sem alterar a
desigualdade, ficamos entõ com
a

αtk bk < tk ak < βtk bk
∑
n
, tomando a soma ,sabendo que a soma preserva desigualdades, da´ segue que
ı
k=1

∑
n ∑
n ∑
n
αtk bk < tk a k < β tk bk
k=1 k=1 k=1

logo
∑
n
tk a k
k=1
α< ∑n <β
tk bk
k=1
∑
n
tk ak
k=1
implicando que ∑n ∈ (α, β).
tk bk
k=1
∑
n
ak
k=1
Em especial tomando tk = 1 tem-se ∑n ∈ (α, β).
bk
k=1

1.3.3 R ´ um corpo ordenado completo
e

Questõ 1
a

Vamos primeiro demonstrar alguns resultados podem ser usados para resolver as
quest˜es.
o

CAP´ ¸˜ ´

Propriedade 45. Se A ´ limitado superiormente e B ⊂ A entõ sup(A) ≥ sup(B).
e a

Demonstra¸õ. Toda cota superior de A ´ cota superior de B, logo o sup(A) ´ cota
ca e e
superior de B, como sup(B) ´ a menor das cotas superiores de B segue que sup(A) ≥
e
sup(B).

Propriedade 46. Se A ´ limitado inferiormente e B ⊂ A entõ inf (A) ≤ inf (B).
e a

Demonstra¸õ. inf A ´ cota inferior de A, logo tamb´m ´ cota inferior de B, sendo
ca e e e
cota inferior de B vale inf A ≤ inf B, pois inf B ´ a maior cota inferior de B.
e
Sejam A, B ⊂ R, conjuntos limitados .

Propriedade 47. O conjunto A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B} tamb´m ´ limitado.
e e

Demonstra¸õ. Se A ´ limitado , existe t tal que |x| < t para todo x ∈ A e se B ´
ca e e
limitado existe u tal que |y| < u ∀y ∈ B. Somando as desigualdades e usando desigualdade
triangular segue |x| + |y| < u + t e |x + y| ≤ |x| + |y| < u + t logo o conjunto A + B ´
e
limitado.

Propriedade 48 (Propriedade aditiva). Vale sup(A + B) = sup(A) + sup(B).

Demonstra¸õ. Como A, B sõ limitidados superiomente, temos sup A := a e
ca a
sup B := b, como vale a ≥ x e b ≥ y para todos x, y ∈ A, B respectivamente segue
que a + b ≥ x + y logo o conjunto A + B ´ limitado superiormente. Para todo e qualquer
e
ε > 0 existem x, y tais que
ε ε
a<x+ , b<y+
2 2
somando ambas desigualdades-segue-se que

a+b<x+y+ε

que mostra que a + b ´ a menor cota superior, logo o supremo, fica valendo entõ
e a

sup(A + B) = sup(A) + sup(B).

Propriedade 49. inf(A + B) = inf A + inf B

Demonstra¸õ. Sejam a = inf A e b = inf B entõ ∀x, y ∈ A, B tem-se a ≤ x, b ≤ y
ca a
de onde segue por adi¸ao a + b ≤ x + y, assim a + b ´ cota inferior de A + B. ∃x, y ∈ A, B
c˜ e
ε ε
tal que ∀ε > 0 vale x < a + e y < b + pois a e b sõ as maiores cotas inferiores,
a
2 2
somando os termos das desigualdades segue x + y < a + b + ε, que implica que a + b ´ a e
maior cota inferior logo o ´
ınfimo.

CAP´ ¸˜ ´

Seja uma fun¸ao limitada f : V → R.
c˜

Defini¸õ 1.
ca
sup f := sup f (V ) = sup{f (x) | x ∈ V }

Defini¸õ 2.
ca
inf f := inf f (V ) = inf{f (x) | x ∈ V }

Sejam f, g : V → R fun¸oes limitadas .
c˜

Propriedade 50.
sup(f + g) ≤ sup f + sup g

Demonstra¸õ.
ca
Sejam

A = {f (x) | x ∈ V }, B = {g(y) | y ∈ V }, C = {g(x) + f (x) | x ∈ V }

temos que C ⊂ A + B, pois basta tomar x = y nos conjuntos, logo

sup(A + B) ≥ sup(f + g)

sup(A) + sup(B) = sup f + sup g ≥ sup(f + g)

Propriedade 51.
inf(f + g) ≥ inf(f ) + inf(g).

Demonstra¸õ. De C ⊂ A + B segue tomando o ´
ca ınfimo

inf(A + B) = inf(A) + inf(B) = inf(f ) + inf(g) ≤ inf(C) = inf(f + g).

Exemplo 8. Sejam f, g : [0, 1] → R dadas por f (x) = x e g(x) = −x, vale sup f =
1, sup g = 0, f + g = 0 logo sup(f + g) = 0 vale entõ sup f + sup g = 1 > sup(f + g) = 0.
a
Vale ainda inf f = 0, inf g = −1, f + g = 0, inf (f + g) = 0 logo

inf f + inf g = −1 < inf(f + g) = 0.

CAP´ ¸˜ ´

Questõ 2
a

Defini¸õ 3. Sejam A e B conjuntos nõ vazios, definimos A.B = {x.y | x ∈ A, y ∈ B}.
ca a

Propriedade 52. Sejam A e B conjuntos limitados de n´meros positivos, entõ vale
u a
sup(A.B) = sup(A). sup(B).

Demonstra¸õ. Sejam a = sup(A) e b = sup(B) entõ valem x ≤ a e y ≤ b, ∀x ∈
ca a
t
A, y ∈ B da´ x.y ≤ a.b, logo a.b ´ cota superior de A.B. Tomando t < a.b segue que < b
ı e
a
t t t
logo existe y ∈ B tal que < y da´ < a logo existe x ∈ A tal que < x logo t < x.y
ı
a y y
entõ t nõ pode ser uma cota superior, implicando que a.b ´ o supremo do conjunto.
a a e

Propriedade 53. Sejam A e B conjuntos limitados de n´meros positivos, entõ vale
u a
inf(A.B) = inf(A). inf(B).

Demonstra¸õ. Sejam a = inf(A) e b = inf(B) entõ valem x ≥ a e y ≥ b, ∀x ∈
ca a
t
A, y ∈ B da´ x.y ≥ a.b, logo a.b ´ cota inferior de A.B. Tomando t > a.b segue que > b
ı e
a
t t t
logo existe y ∈ B tal que > y da´ > a logo existe x ∈ A tal que > x logo t < x.y
ı
a y y
entõ t nõ pode ser uma cota inferior, implicando que a.b ´ o inf´
a a e ımo do conjunto.

Propriedade 54. Sejam f, g : A → R+ limitadas superiormente, entõ
a

sup(f.g) ≤ sup(f ) sup(g).

Demonstra¸õ. Sejam C = {g(x).f (x) | x ∈ A} , B = {g(y). | y ∈ A} e A =
ca
{f (x) | x ∈ A} . Vale que C ⊂ A.B, da´
ı

sup(A.B) ≥ sup(C)

sup(A) sup(B) ≥ sup(C)

sup(f ) sup(g) ≥ sup(f.g).

Propriedade 55. Sejam f, g : A → R+ limitadas superiormente, entõ
a

inf(f.g) ≥ inf(f ) inf(g).

CAP´ ¸˜ ´

Demonstra¸õ. Sejam C = {g(x).f (x) | x ∈ A} , B = {g(y). | y ∈ A} e A =
ca
{f (x) | x ∈ A} . Vale que C ⊂ A.B, da´
ı

inf(A.B) ≤ inf(C)

inf(A) inf(B) ≤ inf(C)

inf(f ) inf(g) ≤ inf(f.g).

1
Exemplo 9. Sejam f, g : [1, 2] → R dadas por f (x) = x e g(x) = , vale sup f = 2,
x
sup g = 1 sup f. sup g = 2 e sup(f.g) = 1, pois f.g = 1 logo

sup f sup g > sup(f.g).

1 1
Da mesma maneira inf f = 1, inf g = vale inf f. inf g = e inf(f.g) = 1 portanto
2 2

inf f. inf g < inf(f.g).

Questõ 3
a

Propriedade 56. Seja f : A → R+ entõ inf(f 2 ) = (inf f )2 .
a

Demonstra¸õ. Seja a = inf f tem-se f (x) ≥ a ∀x da´ f (x)2 ≥ a2 entõ a2 ´ cota
ca ı a e
√
inferior de f 2 , e ´ a maior cota inferior pois se a2 < c entõ a < c logo existe x tal que
e a
√
a < f (x) < c e da´ a2 < f (x)2 < c logo a2 ´ a maior cota inferior inf(f 2 ) = inf(f )2 .
ı e

Questõ 4
a

Exemplo 10. X Sejam X = {x ∈ R+ | x2 < 2} e Y = {y ∈ R+ | y 2 > 2}. X ´
e
limitado superiormente por 2 pois se fosse x > 2 entõ x2 > 4 que ´ absurdo. Os
a e
conjuntos X e Y sõ disjuntos, pois x nõ pode satisfazer x2 < 2 e x2 > 2 . Dado
a a
y ∈ Y vale y > x pois se fosse y < x ter´
ıamos y 2 < x2 < 2 que ´ absurdo pois
e
y 2 > 4.

X X nõ possui elemento m´ximo. Seja x ∈ X entõ x2 < 2, 0 < 2 − x2 , vale tamb´m
a a a e
2−x 2
que 2x + 1 > 0, da´ 0 <
ı , podemos entõ tomar um racional r < 1 tal que
a
2x + 1

CAP´ ¸˜ ´

2 − x2
0<r< , e vale ainda x + r ∈ X, pois de r < 1 tem-se r2 < r e da rela¸õ
ca
2x + 1
r(2x + 1) < 2 − x2 implica

(x + r)2 = x2 + 2rx + r2 < x2 + 2rx + r = x2 + r(2x + 1) < x2 + 2 − x2 = 2

entõ (x + r)2 < 2.
a

X O conjunto Y nõ possui elemento m´
a ınimo. Como vale y > 0 e y 2 > 2, tem-se
y2 − 2
y 2 − 2 > 0 e 2y > 0, logo existe um racional r tal que 0 < r < , logo
2y
r2y < y 2 − 2, y 2 − 2ry > 2. Vale ainda que y − r ∈ Y pois

(y − r)2 = y 2 − 2ry + r2 > y 2 − 2ry > 2

logo vale (y − r)2 > 2. Vale tamb´m y − r > 0 pois de 2ry < y 2 − 2 segue
e
y 1
r < − < y, logo y − r > 0, logo y − r ∈ Y , perceba ainda que y − r < y entõ
a
2 y
o conjunto Y realmente nõ possui m´
a ınimo.

X Existe sup X = a, vale a > 0, nõ pode ser a2 < 2 pois da´ a ∈ X, mas X nõ
a ı a
possui m´ximo. Se a2 > 2 entõ a ∈ Y , por´m Y nõ possui m´
a a e a ınimo o que implica
existir c ∈ Y tal que x < c < a∀X o que contradiz o fato de a ser a menor cota
superior (supremo). Sobre entõ a possibilidade de ser a2 = 2.
a

Questõ 5
a

Propriedade 57. O conjunto dos polinˆmios com coeficientes racionais ´ enumer´vel.
o e a

Demonstra¸õ. Seja Pn o conjunto dos polinˆmios com coeficientes racionais de grau
ca o
≤ n a fun¸ao f : Pn → Qn+1 tal que
c˜
∑n
P( ak xk ) = (ak )n
1
k=0

´ uma bije¸õ. Como Qn+1 ´ enumer´vel por ser produto cartesiano finito de conjuntos
e ca e a
enumer´veis, segue que Pn ´ enumer´vel.
a e a
Sendo A o conjunto dos polinˆmios de coeficientes racionais, vale que
o
∪
∞
A= Pk
k=1

CAP´ ¸˜ ´

portanto A ´ uniõ enumer´vel de conjuntos enumer´veis , sendo assim A ´ enumer´vel.
e a a a e a

Defini¸õ 4 (N´mero alg´brico). Um n´mero real (complexo) x ´ dito alg´brico quando
ca u e u e e
´ raiz de um polinˆmio com coeficientes inteiros.
e o

Propriedade 58. O conjunto dos n´meros alg´bricos ´ enumer´vel.
u e e a

Demonstra¸õ. Seja B o conjunto dos alg´bricos . Para cada alg´brico x escolhemos
ca e e
um polinˆmio Px tal que Px (x) = 0.
o
Definimos a fun¸õ f : B → A tal que F (x) = Px . Dado Px ∈ F (B), temos que o
ca
conjunto g −1 (Px ) dos valores x ∈ B tal que f (x) = Px ´ finito pois Px possui um n´mero
e u
=y
finito de ra´ e da´ tem-se
ızes ı
∪
B= g −1 (y)
y∈f (B)

logo B ´ uniõ enumer´vel de conjuntos enumer´veis ( no caso finitos), entõ B ´ enu-
e a a a a e
mer´vel.
a

Corol´rio 6. Existem n´meros reais que nõ sõ alg´bricos, pois se todos fossem alg´bricos
a u a a e e
R seria enumer´vel.
a

Defini¸õ 5 (N´meros transcendentes). Os n´meros reais que nõ sõ alg´bricos sõ
ca u u a a e a
ditos transcendentais

Questõ 6
a

Propriedade 59. Um conjunto I ⊂ R ´ um intervalo sse a′ < x < b′ com a′ , b′ ∈ I
e
implica x ∈ I.

Demonstra¸õ. Se I ´ um intervalo entõ ele satisfaz a propriedade descrita. Agora
ca e a
se a defini¸ao tomada de intervalo for: dados a′ , b′ elementos de I se para todo x tal que
c˜
a′ < x < b′ entõ x ∈ I, logo o conjunto I deve ser um dos nove tipos de intervalos.
a
Caso I seja limitado, inf I = a e sup I = b, se a < x < b, existem a′ , b′ tais que
a′ < x < b′ logo x ∈ I, isto ´, os elementos entre o supremo e o ´
e ınfimo do conjunto
pertencem ao intervalo. Vejamos os casos

X inf I = a, sup I = b sõ elementos de I, logo o intervalo ´ da forma [a, b].
a e

CAP´ ¸˜ ´

X a ∈ I, b ∈ I, o intervalo ´ do tipo (a, b].
/ e

X a ∈ I e b ∈ I, o intervalo ´ do tipo [a, b).
/ e

X a ∈ I e b ∈ I tem-se o intervalo (a, b). Com isso terminamos os tipos finitos de
/ /
intervalos.

Se I ´ limitado inferiormente por´m nõ superiormente.
e e a

X a ∈ I , gera o intervalo [a, ∞).

X a ∈ I, tem-se o intervalo (a, ∞).
/

Se I ´ limitado superiormente por´m nõ inferiormente.
e e a

X b ∈ I , gera o intervalo (−∞, b].

X b ∈ I, tem-se o intervalo (−∞, b).
/

O ultimo caso, I nõ ´ limitado
´ a e

I = (−∞, ∞)

1.4 Cap´
ıtulo 3-Sequˆncias
e

1.4.1 Limite de uma sequˆncia
e

Questõ 1
a

Propriedade 60. Uma sequˆncia peri´dica ´ convergente sse ´ constante.
e o e e

Demonstra¸õ. Considere as subsequˆncias da sequˆncia (xk ) que possui per´
ca e e ıodo p

(x1 , x1+p , x1+2p , · · · ) = (x1+kp )k∈N

(x2 , x2+p , x2+2p , · · · ) = (x2+kp )k∈N
.
.
.

(xp−1 , xp−1+p , xp−1+2p , · · · ) = (xp−1+kp )k∈N

cada sequˆncia dessas ´ constante e possui valor sempre igual ao seu primeiro termo pelo
e e
fato da sequˆncia ser peri´dica de per´
e o ıodo p, xn+p = xn . Se (xk ) converge entõ todas suas
a

CAP´ ¸˜ ´

subsequˆncias devem convergir para o mesmo valor, entõ deve valer x1 = x2 = · · · = xp−1
e a
e cada termo da sequˆncia (xk ) deve pertencer a uma dessas subsequˆncias, disso segue
e e
que (xk ) ´ constante.
e

Questõ 2
a

Propriedade 61. Se lim x2n = a lim x2n−1 = a entõ lim xn = a.
a

Demonstra¸õ. Sejam yn = x2n e zn = x2n−1 como temos lim yn = lim zn = a, para
ca
qualquer ε > 0 existem n0 e n1 tais que para n > n0 vale yn ∈ (a − ε, a + ε) e n > n1
vale zn ∈ (a − ε, a + ε), escolhendo n2 = max{n0 , n1 } temos simultaneamente zn , yn ∈
(a − ε, a + ε), x2n−1 , x2n ∈ (a − ε, a + ε), entõ para n > 2n2 − 1 temos xn ∈ (a − ε, a + ε)
a
logo vale lim xn = a.

Questõ 3
a

Propriedade 62. Se lim xn = a entõ lim |xn | = |a|.
a

Demonstra¸õ. Se lim xn = a entõ
ca a

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ |xn − a| < ε

por´m temos a desigualdade ||xn | − |a|| ≤ |xn − a| logo ||xn | − |a|| < ε e lim |xn | = |a|.
e

Questõ 4
a

Propriedade 63. Se uma sequˆncia mon´tona possui subsequˆncia limitada, entõ a
e o e a
sequˆncia ´ limitada.
e e

Demonstra¸õ. Suponha que (xn ) seja nõ-decrescente e possua uma subsequˆncia
ca a e
limitada, vamos mostrar que para todo n natural vale xn < M para algum M . Como a
subsequˆncia de (xn ) ´ limitada, entõ para todo n ∈ N existe n0 ∈ N tal que n0 > n e n0
e e a
e ındice da subsequˆncia limitada de (xn ) com isso tem-se xn ≤ xn0 e como a subsequˆncia
´´ e e
´ limitada, existe M tal que xn0 < M , da´ por transitividade xn < M , isso implica que
e ı
(xn ) ´ limitada superiormente e como a sequˆncia nõ-decrescente ´ limitada inferiormente
e e a e
entõ ela ´ limitada.
a e

CAP´ ¸˜ ´

Corol´rio 7. Se uma sequˆncia mon´tona possui subsequˆncia limitada entõ ela ´ con-
a e o e a e
vergente, pois a sequˆncia mon´tona ser´ limitada e toda sequˆncia mon´tona limitada ´
e o a e o e
convergente.

Corol´rio 8. Em especial se uma sequˆncia mon´tona possui subsequˆncia convergente,
a e o e
entõ essa subsequˆncia ´ limitada e da´ a sequˆncia mon´tona ´ convergente.
a e e ı e o e

Questõ 5
a

Defini¸õ 6 (Valor de aderˆncia). Um n´mero real a ´ dito valor de aderˆncia de uma
ca e u e e
sequˆncia (xn ), quando existe uma subsequˆncia de (xn ) que converge para a. Simboliza-
e e
remos o conjunto dos valores de aderˆncia de uma sequˆncia por A[xn ].
e e

Corol´rio 9. Se uma sequˆncia ´ convergente entõ todas subsequˆncias convergem para
a e e a e
o mesmo limite que ´ o limite da sequˆncia, entõ se uma sequˆncia ´ convergente ela
e e a e e
possui apenas um valor de aderˆncia, isto ´, se lim xn = a entõ A[xn ] = {a} = {lim xn }.
e e a

Exemplo 11. Os racionais sõ densos na reta e sõ enumer´veis, entõ podemos tomar
a a a a
uma sequˆncia (xn ) que enumera os racionais, logo pra essa sequˆncia vale A[xn ] = R, pois
e e
tomando qualquer valor a ∈ R qualquer intervalo (a − ε, a + ε) para qualquer ε possui
infinitos racionais, elementos da sequˆncia, entõ podemos com esses infinitos valores
e a
tomar uma subsequˆncia de (xn ) que converge para a. Em especial os racionais em [0, 1]
e
sõ enumer´veis e densos logo tomando uma enumera¸ao (xn ) dos racionais nesse conjunto
a a c˜
temos A[xn ] = [0, 1].

Exemplo 12. A sequˆncia (1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, · · · ) que satisfaz x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3
e
ıodo 3, xn+3 = xn , tem A[xn ] = {1, 2, 3}.
sendo peri´dica de per´
o

Exemplo 13. Dar o exemplo de uma sequˆncia (xn ) que possua A[xn ] = N. Para que
e
isso aconte¸a ´ necess´rio que cada n´mero natural apare¸a infinitas vezes na sequˆncia.
c e a u c e
Definimos a sequˆncia (xn ) como xn = k se n ´ da forma pαk , onde pk ´ o k-´simo primo e
e e k e e
αk ∈ N , da´ existem infinitos valores de n tais que xn = k com isso geramos subsequˆncias
ı e

CAP´ ¸˜ ´

que convergem para um k qualquer dado, definimos tamb´m xn = 1 caso n nõ seja da
e a
forma pαk , apenas para completar a defini¸õ da sequˆncia.
k ca e

Questõ 6
a

Propriedade 64. a ∈ A[xn ] ⇔ ∀ ε > 0, ∀k ∈ N exista n > k tal que |xn − a| < ε.

Demonstra¸õ.
ca
⇒. Se a ´ valor de aderˆncia de (xn ), entõ ela possui uma subsequˆncia que converge
e e a e
para a, logo para qualquer ε > 0 e k ∈ N fixo, existe n ´
ındice da subsequˆncia tal que
e
n > k e |xn − a| < ε.
⇐ . Supondo que ∀ ε > 0, ∀k ∈ N exista n > k tal que |xn − a| < ε.
No primeiro passo tomamos ε = 1 e k = 1 da´ existe n1 > 1 tal que xn1 ∈ (a − 1, a + 1).
ı
1 1 1
Podemos tomar agora ε = e k = n1 entõ existe n2 > n1 tal que xn2 ∈ (a − , a + ),
a
2 2 2
1
na t + 1-´sima etapa tomamos ε =
e e k = nt da´ existe nt+1 > nt tal que xnt+1 ∈
ı
t+1
1 1
(a − ,a + ), logo constru´
ımos uma subsequˆncia (xnt ) tal que lim xnt = a.
e
t+1 t+1

Questõ 7
a

Corol´rio 10. Negamos a proposi¸ao anterior.
a c˜
a ∈ A[xn ] ⇔ ∃ ε > 0, ∃k ∈ N tal que para todo n > k implique |xn − a| ≥ ε.
/

1.4.2 Limites e desigualdades

Questõ 1
a

Propriedade 65. Se lim xn = a, lim yn = b e |xn − yn | ≥ ε para todo n, entõ |a − b| ≥ ε.
a

Demonstra¸õ. Suponha por absurdo que |a − b| < ε e |yn − xn | ≥ ε. Podemos
ca
=ε1
tomar n > n0 tal que |yn − b| < ε2 e |xn − a| < ε3 onde ε1 + ε2 + ε3 < ε, que pode ser
feito, pois basta tomar ε2 + ε3 < ε − ε1 logo
>0

|yn − xn | ≤ |yn − b| + |b − a| + |xn − a| < ε1 + ε2 + ε3 = ε

que contradiz |yn − xn | ≥ ε.

CAP´ ¸˜ ´

Questõ 2
a

Propriedade 66 (Permanˆncia de sinal ). Se lim xn = b com b > 0 entõ no m´ximo uma
e a a
quantidade finita de termos dessa sequˆncia pode nõ ser positiva, isto ´, existe n0 ∈ N
e a e
tal que para n > n0 vale xn > 0.

Demonstra¸õ. Como lim xn = b para todo ε > 0 existe n0 tal que para n > n0
ca
b b 2b − b b
temos |xn − b| < ε, xn ∈ (b − ε, b + ε) tomando ε = temos b − ε = b − = =
2 2 2 2
b 3b b 3b
e b+ε = b+ = logo existe n0 tal que para n > n0 tem-se xn ∈ ( , ) logo xn é
2 2 2 2
positivo.

Corol´rio 11. Sejam (xn ), (yn ) duas sequˆncias com lim xn = a e lim yn = b. Se b > a
a e
entõ existe n0 ∈ N tal que yn > xn para qualquer n > n0 . Considerando a sequˆncia
a e
(xn − yn ) ela tem limite lim xn − yn = b − a > 0 logo pela permanˆncia de sinal existe
e
n0 ∈ N tal que para n > n0 vale xn − yn > 0, xn > yn .

Questõ 3
a

Propriedade 67. Se uma sequˆncia limitada nõ ´ convergente entõ ela possui mais de
e a e a
um ponto de aderˆncia .
e

Demonstra¸õ.
ca
Como a sequˆncia (xn ) ´ limitada ela possui subsequˆncia (xnk ) convergente, conver-
e e e
gindo para uma valor a . Como a sequˆncia nõ ´ convergente, deve haver uma outra
e a e
subsequˆncia (xnt ) que nõ converge para a, da´ existem infinitos valores de nt tal que xnt
e a ı
nõ est´ no intervalo (a − ε, a + ε) para algum ε. Como (xnt ) ´ limitada entõ ela possui
a a e a
subsequˆncia convergente, que nõ pode convergir para a, converge entõ para um valor
e a a
b ̸= a e a proposi¸õ est´ demonstrada.
ca a

Questõ 4
a

Propriedade 68. Seja (xn ) uma sequˆncia limitada. (xn ) converge ⇔ possui um unico
e ´
valor de aderˆncia .
e

CAP´ ¸˜ ´

Demonstra¸õ. Se ela ´ convergente ela possui um unico valor de aderˆncia . Se ela
ca e ´ e
possui um unico valor de aderˆncia entõ ela converge, pois se nõ convergisse ela teria
´ e a a
mais de um valor de aderˆncia (contrapositiva e questõ anterior).
e a

Questõ 5
a

Exemplo 14. Quais sõ os valores de aderˆncia da sequˆncia (xn ) definida como x2n−1 =
a e e
1
n e x2n = ? Para que um ponto seja de aderˆncia ´ necess´rio que existam infinitos
e e a
n
termos arbitrariamente pr´ximos de tal ponto, no caso de tal sequˆncia o unico n´mero
o e ´ u
que satisfaz tal propriedade ´ o 0, al´m disso tal sequˆncia nõ ´ convergente pois nõ ´
e e e a e a e
limitada.

Questõ 6
a
√ a+b √
Propriedade 69. Sejam a, b > 0 ∈ R, x1 = ab, y1 = , xn+1 = xn .yn , yn+1 =
2
xn + yn
. Entõ (xn ) e (yn ) convergem para o mesmo limite.
a
2
Demonstra¸õ. Sabemos que yn ≥ xn pela desigualdade das m´dias, entõ
ca e a
√
xn .yn ≥ x2 ⇒
n xn .yn ≥ xn ⇒ xn+1 ≥ xn ,

entõ (xn ) ´ crescente . Da mesma maneira yn ´ decrescente pois de xn ≤ yn tem-se
a e e
(xn + yn )
xn + yn ≤ 2yn da´ yn+1 =
ı ≤ yn . Como vale x1 ≤ xn ≤ yn ≤ y1 para todo n,
2
conclu´
ımos que xn e yn sõ convergentes, por serem mon´tonas e limitadas .
a o

xn + yn
yn+1 =
2
tomando o limite
x+y
y= ⇒ x = y.
2

Defini¸õ 7 (M´dia aritm´tico-geom´trica). Dados dois n´meros reais positivos a e b o
ca e e e u
valor comum para o qual convergem as sequˆncias (xn ) e (yn ) definidas na propriedade
e
anterior se chama m´dia aritm´tico-geom´trica de a e b.
e e e

Soluções do livro Análise Real

Soluções do livro Análise Real

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (13)

Semelhante a Soluções do livro Análise Real

Semelhante a Soluções do livro Análise Real (20)

Último

Último (20)

Soluções do livro Análise Real