Solucoeselon

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Solucoeselon

  1. 1. Solu¸oes dos exerc´ c˜ ıcios de An´lise do livro An´lise real a a volume 1 de Elon Lages Lima. ‡ Rodrigo Carlos Silva de Lima Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡ 8 de dezembro de 2011
  2. 2. 1
  3. 3. Sum´rio a1 Solu¸oes-An´lise Real Volume 1 (Elon fino) c˜ a 5 1.1 Nota¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 6 1.2 Cap´ ıtulo 1-Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 N´meros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 6 1.2.2 Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Conjuntos enumer´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 a 1.3 Cap´ ıtulo 2-N´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 u 1.3.1 R ´ um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 e 1.3.2 R ´ um corpo ordenado e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 R ´ um corpo ordenado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 e 1.4 Cap´ ıtulo 3-Sequˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 e 1.4.1 Limite de uma sequˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 e 1.4.2 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4.3 Opera¸˜es com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 co 1.4.4 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.5 Cap´ ıtulo 4-S´ries num´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 e e 1.5.1 S´ries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 e 1.5.2 S´ries absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 e 1.5.3 Teste de convergˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 e 1.5.4 Comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.6 Cap´ ıtulo 5-Algumas no¸˜es topol´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 co o 1.6.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.6.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2
  4. 4. ´SUMARIO 3 1.6.3 Pontos de acumula¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 ca 1.6.4 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.6.5 O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.7 Cap´ ıtulo 6-Limite de fun¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 c˜ 1.7.1 Defini¸˜o e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ca 1.7.2 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.7.3 Limites no infinito, limites infinitos, etc. . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.8 Cap´ ıtulo 7-Fun¸˜es cont´ co ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.8.1 Defini¸˜o e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 ca 1.8.2 Fun¸oes cont´ c˜ ınuas num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1.8.3 Fun¸oes cont´ c˜ ınuas em conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . 95 1.8.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1.9 Cap´ ıtulo 8-Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.9.1 A no¸˜o de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 ca 1.9.2 Regras operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1.9.3 Derivada e crescimento local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1.9.4 Fun¸oes deriv´veis num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 c˜ a 1.10 Cap´ ıtulo 9-F´rmula de Taylor e aplica¸˜es da Derivada . . . . . . . . . . . 120 o co 1.10.1 F´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 o 1.10.2 Fun¸oes cˆncavas e convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 c˜ o 1.10.3 Aproxima¸˜es sucessivas e m´todo de Newton . . . . . . . . . . . . 132 co e 1.11 Cap´ ıtulo 10-A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1.11.1 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1.11.2 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1.11.3 Condi¸oes suficientes de integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 146 c˜ 1.12 Cap´ ıtulo 11-C´lculo com integrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 a 1.12.1 Os teoremas cl´ssicos do c´lculo integral. . . . . . . . . . . . . . . . 150 a a 1.12.2 A integral como limite de somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . 152 1.12.3 Logaritmos e exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 1.12.4 Integrais impr´prias o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 1.13 Cap´ ıtulo 12-Sequˆncias e s´rie de fun¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 e e c˜ 1.13.1 Convergˆncia simples e convergˆncia uniforme . . . . . . . . . . . . 168 e e 1.13.2 Propriedades da convergˆncia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 172 e
  5. 5. ´SUMARIO 4 1.14 Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
  6. 6. Cap´ ıtulo 1Solu¸˜es-An´lise Real Volume 1 co a(Elon fino) Este texto ainda n˜o se encontra na sua vers˜o final, sendo, por enquanto, cons- a atitu´ apenas de anota¸˜es informais. Sugest˜es para melhoria do texto, corre¸oes da ıdo co o c˜parte matem´tica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email arodrigo.uff.math@gmail.com. Se houver alguma solu¸˜o errada, se quiser contribuir com uma solu¸ao diferente ou ca c˜ajudar com uma solu¸˜o que n˜o consta no texto, tamb´m pe¸o que ajude enviando a ca a e csolu¸˜o ou sugest˜o para o email acima, colocarei no texto o nome da pessoa que tenha ca aajudado com alguma solu¸˜o. Espero que esse texto possa ajudar alguns alunos que caestudam an´lise pelo livro do Elon. a Os exerc´ ıcios que possuem dicas no final do livro s˜o feitos, em geral, seguindo essas di- acas, por´m em alguns casos resolvemos um problema mais geral e tirando o exerc´ como e ıciocorol´rio direto de outra proposi¸ao, outras vezes damos solu¸oes diferentes. Tentamos a c˜ c˜detalhar essas solu¸oes tornando claras passagens que poderiam ser obscuras. c˜ Os enunciados das quest˜es s˜o escritos no texto ,na maioria das vezes alterados, o apor´m tomamos o cuidado de manter a essˆncia de cada quest˜o. e e a A exposi¸ao do texto segue a linha Teorema-Demonstra¸ao. c˜ c˜ 5
  7. 7. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 61.1 Nota¸˜es co X Denotamos (xn ) uma sequˆncia (x1 , x2 , · · · ). Uma n upla (x1 , x2 , · · · , xn ) podemos e denotar como (xk )n . 1 X O conjunto de valores de aderˆncia de uma sequˆncia (xn ) iremos denotar como e e A[xn ]. X Usaremos a abrevia¸˜o P BO para princ´ ca ıpio da boa ordena¸ao. c˜ X Denotamos f (x + 1) − f (x) = ∆f (x). xn+1 X Usamos nota¸˜o Qxn = ca . xn X Para simbolizar a k-´sima derivada da fun¸ao f , usamos os s´ e c˜ ımbolos Dk ou f (k) . X Se a sequˆncia (xn ) converge para a, podemos usar as nota¸oes lim xn = a ou e c˜ xn → a.1.2 Cap´ ıtulo 1-Conjuntos finitos e infinitos1.2.1 N´ meros naturais uQuest˜o 1 a) aPropriedade 1. Mostrar que ∑ n n(n + 1) k= . k=1 2 Demonstra¸˜o. Por indu¸˜o sobre n. Para n = 1 a igualdade vale pois ca ca ∑ 1 1(2) k=1= . k=1 2Supondo a validade para n ∑ n n(n + 1) k= k=1 2vamos provar para n + 1 ∑ n+1 (n + 1)(n + 2) k= . k=1 2
  8. 8. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 7 Por defini¸˜o de somat´rio temos ca o ∑ n+1 ∑ n n(n + 1) n (n + 1)(n + 2) k = (n + 1) + k = (n + 1) + = (n + 1)(1 + ) = k=1 k=1 2 2 2onde usamos a hip´tese da indu¸ao o c˜ .Quest˜o 1 b) aPropriedade 2. Mostrar que ∑ n (2k − 1) = n2 . k=1 Demonstra¸˜o. Por indu¸˜o sobre n. Para n = 1 temos ca ca ∑ 1 (2k − 1) = 2.1 − 1 = 1 = 12 . k=1supondo a validade para n, ∑ n (2k − 1) = n2 k=1vamos provar para n + 1 ∑ n+1 (2k − 1) = (n + 1)2 . k=1Usando a defini¸ao de somat´rio e hip´tese da indu¸˜o tem-se c˜ o o ca ∑ n+1 ∑ n (2k − 1) = (2k − 1) + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 . k=1 k=1Quest˜o 2 aPropriedade 3 (Axioma de Eudoxius). Dados m e n naturais com n > m ent˜o existe aq ∈ N tal que qm ≤ n < (q + 1)m. Demonstra¸˜o. Seja A = {x.m | xm > n, x ∈ N }, tal conjunto ´ n˜o vazio pois ca e a(n + 1).m > n, pelo P BO ele possui um menor elemento. Sabemos tamb´m que m n˜o e apertence a esse conjunto, ent˜o x > 1, x sempre ´ sucessor de algum n´mero natural , a e uent˜o podemos tomar o elemento m´ a ınimo de A da forma (q + 1)m. Tem-se (q + 1) > q
  9. 9. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 8logo (q + 1).m > q.m, assim q.m n˜o pode pertencer ao conjunto A, pois iria contrariar ao P BO, logo por tricotomia vale q.m ≤ n e q.m ≤ n < (q + 1).m.Propriedade 4 (Divis˜o Euclidiana). Dados n > m, ent˜o existe q tal que n = q.m ou a aqm + r = n com r < m. Demonstra¸˜o. ca Pelo axioma de Eudoxius existe q tal que q.m ≤ n < (q + 1).m. da´ q.m = n ou ıq.m < n, se a primeira vale a demonstra¸ao termina, se vale a segunda existe r ∈ N tal c˜que q.m + r = n. Agora analisamos as possibilidades para r, se r = m, q.m + m = n,m(q + 1) = n que ´ absurdo. Se r > m ent˜o q.m + r = n > q.m + m = m(q + 1) que e atamb´m ´ absurdo, como n˜o vale r ≥ m ent˜o por tricotomia vale r < m e e a a .Quest˜o 3 aPropriedade 5. Seja A ̸= ∅ subconjunto de N , com propriedade n, m ∈ A ⇔ m, m + n ∈ Aent˜o existe t ∈ N tal que A = {tn | n ∈ N }. a Demonstra¸˜o. A ´ n˜o vazio, ent˜o ele possui um elemento m´ ca e a a ınimo t. Primeirovamos mostrar que B = {tn | n ∈ N } ⊂ A. t ∈ A, supondo tn ∈ A vamos mostrar quet(n + 1) ∈ A. A propriedade vale pois t(n + 1) = tn + t a adi¸˜o ´ fechada em A. Ent˜o ca e aos m´ltiplos de t pertencem ao conjunto A. u Agora dado um elemento m ∈ A, tomamos a divis˜o euclidiana de m por t, da´ existe a ıq ∈ N tal que m = q.t ou ∃r ∈ N tal que m = q.t + r. Se vale para todo m a primeirapossibilidade ent˜o A ⊂ B implicando A = B. Vamos mostrar que a segunda n˜o ocorre. a aSe m ∈ A ´ da forma qt + r, como qt ∈ A segue que r ∈ A, mas vale r < t o que econtraria a minimalidade de t, ent˜o essa possibilidade n˜o pode acontecer e vale sempre a am = q.t .Quest˜o 4 aPropriedade 6. N˜o existe x ∈ N tal que n < x < n + 1. a
  10. 10. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 9 Essa propriedade nos mostra que todo n´mero natural diferente de 1 ´ sucessor de u ealgum outro n´mero. u Demonstra¸˜o. Suponha que exista x nas condi¸˜es dadas, ent˜o x = n + p com p ca co anatural, p n˜o pode ser 1 e tamb´m n˜o pode ser p > 1, pois de 1 < p somando n, segue a e ax < n + 1 < n + p chegar´ ıamos em n + p < n + p que ´ falsa, resta ent˜o a possibilidade e ade p < 1 que n˜o acontece pois 1 ´ o menor elemento de N . a eQuest˜o 5 aPropriedade 7. Provar o princ´ ıpio da boa ordena¸ao por meio do axioma de indu¸ao. c˜ c˜ Demonstra¸˜o. ca Seja B um conjunto que satisfa¸a as condi¸˜es do axioma de indu¸ao, 1 ∈ B e ∀k ∈ B, c co c˜k + 1 ∈ B, vamos provar que B = N. Suponha por absurdo que B ̸= N , definimosA = N B, tal conjunto ´ n˜o vazio ent˜o possui um elemento m´ e a a ınimo, tal elemento n˜o apode ser 1 pois 1 ∈ B, ent˜o esse elemento ´ sucessor de algum n´mero natural e podemos a e udenotar tal elemento como t + 1 , isso implica que t ∈ B e por indu¸˜o t + 1 ∈ B que ´ ca eum absurdo .1.2.2 Conjuntos finitosQuest˜o 1 a) aPropriedade 8. Se B ´ finito e A ⊂ B ent˜o |A| ≤ |B|. (nota¸ao |A| ´ o n´mero de e a c˜ e uelemento de A e A B significa que A ´ subconjunto pr´prio de B, isto ´ A ⊂ B e e o eA ̸= B). Demonstra¸˜o. Faremos o caso de B = In . Como A ´ subconjunto de um conjunto ca efinito ent˜o ele ´ finito, seja ent˜o |A| = m, supondo por absurdo que m > n vale In a e a Ime de A ⊂ In Im segue que A Im , isto ´, A ´ subconjunto pr´prio de Im , por´m como e e o e|A| = m, existe bije¸˜o entre Im e A, absurdo! pois n˜o pode existir bije¸ao entre um ca a c˜conjunto finito e sua parte pr´pria. o
  11. 11. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 10Quest˜o 1 b) aPropriedade 9. Se A e B s˜o finitos e disjuntos com |A| = n e |B| = m ent˜o A ∪ B ´ a a efinito com |A ∪ B| = m + n. Demonstra¸˜o. Existem bije¸oes f : In → A, g : Im → B. Definimos h : Im+n → ca c˜A ∪ B como h(x) = f (x) se 1 ≤ x ≤ n e h(x) = g(x − n) se 1 + n ≤ x ≤ m + n(1 ≤ x − n ≤ m), como h ´ bije¸ao segue o resultado. e c˜Propriedade 10. Se A e B s˜o conjuntos finitos n˜o necessariamente disjuntos vale a a arela¸˜o ca |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Demonstra¸˜o. Escrevemos A como a uni˜o disjunta A = (A B) ∪ (A ∩ B), da´ ca a ı|A| − |A ∩ B| = |A B| agora escrevemos A ∪ B = (A B) ∪ B, uni˜o disjunta logo a |A ∪ B| = |A B| + |B|usando a primeira express˜o segue que a |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.Quest˜o 1 c) aPropriedade 11. Sejam (A1 , A2 , · · · , An ) = (Ak )n (nota¸ao) conjunto finitos dois a dois 1 c˜ ∪ n ∑n ∑ndisjuntos, onde |Ak | = mk ent˜o | a Ak | = |Ak | = mk . k=1 k=1 k=1 Demonstra¸˜o. Indu¸˜o sobre n. ca caPropriedade 12. Se A e B s˜o finitos e disjuntos com |A| = m e |B| = n ent˜o A × B a a´ finito com |A × B| = m.n.e ∪ n Demonstra¸˜o. Podemos escrever A × B = ca Ak onde Ak = A × {Bk } com |Ak | = k=1m, logo ∪ n ∑ n |A × B| = | Ak | = |Ak | = m.n. k=1 k=1
  12. 12. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 11Quest˜o 2 aPropriedade 13. Seja |A| = n ent˜o |P (A)| = 2n . a Demonstra¸˜o. Por indu¸ao sobre n, se n = 1, ent˜o A = {a1 } possui dois subcon- ca c˜ ajuntos que s˜o ∅ e {α1 }. Suponha que qualquer conjunto qualquer B com n elementos atenha |P (B)| = 2n , vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos implica|P (C)| = 2n+1 . Tomamos um elemento a ∈ C, C {a} possui 2n subconjuntos (porhip´tese da indu¸ao), sk de k = 1 at´ k = 2n , que tamb´m s˜o subconjuntos de C, por´m o c˜ e e a epodemos formar mais 2n subconjuntos de C com a uni˜o do elemento {a}, logo no total atemos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois n˜o temos anenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.Quest˜o 3 a ∏ n ∏ n ∏ nPropriedade 14. Sejam (Ak )n com |Ak | = mk ent˜o | 1 a Ak | = |Ak | = mk . k=1 k=1 k=1 Demonstra¸˜o. Por indu¸˜o sobre n. ca caPropriedade 15. Se |A| = m e |B| = n ent˜o |F (A; B)| = nm . a Demonstra¸˜o.[1] Faremos o caso em que A = Im . As fun¸˜es de F (Im ; B) s˜o m ca co auplas, sendo que em cada coordenada existem n possibilidades de elementos ∏ m F (Im ; B) = B k=1da´ ı ∏ m ∏ m |F (Im ; B)| = | B| = |B| = nm . k=1 k=1 No caso geral mostramos que existe uma bije¸˜o entre F (Im ; B) e F (A; B) logo tais caconjuntos possuem a mesma quantidade de elementos. Demonstra¸˜o.[2] Por indu¸ao sobre m. Para m = 1. A = {a1 } e B = {b1 , · · · , bn }, ca c˜temos n fun¸˜es fk (a1 ) = bk , ∀k ∈ In . Suponha a validade para um conjunto A′ qualquer cocom m elementos, vamos provar para A com |A| = m+1. Tomamos a ∈ A, da´ A{a} = A′ ıpossui m elementos, logo |F (A′ , B)| = nm , podemos estender cada ft′ : A′ → B paraf : A → B de n maneiras diferentes, tomando f (a) = bk , k ∈ In , logo temos no totalnnm = nm+1 fun¸˜es co .
  13. 13. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 12Quest˜o 4 aPropriedade 16. Se A ̸= ∅ ⊂ N ´ limitado superiormente ent˜o A possui m´ximo. e a a Demonstra¸˜o. Seja B = {n ∈ N | n > x, ∀x ∈ A.} , B ´ um conjunto n˜o vazio de ca e an´meros naturais, logo pelo princ´ u ıpio da boa ordena¸ao B possui um elemento m´ c˜ ınimo,tal elemento n˜o pode ser o n´mero 1 ent˜o ele ´ sucessor de algum n´mero natural, que a u a e udenotaremos por t + 1, logo t tem que satisfazer uma das propriedades, existe y ∈ A talque t < y ou existe y ∈ A tal que t = y . A primeira op¸˜o n˜o pode valer pois ter´ ca a ıamost < y < t + 1 que ´ absurdo . Vamos mostrar que tal y realmente ´ o m´ximo do conjunto. e e aSeja z ̸= y elemento de A, ent˜o z < y, pois se t = y < z, ent˜o t < z < t + 1 que ´ a a eabsurdo.Propriedade 17. Um conjunto A ̸= ∅ , A ⊂ N ´ finito sse ´ limitado. e e1.2.3 Conjuntos infinitosQuest˜o 1 a) aPropriedade 18. Se A ´ infinito e f : A → B ´ injetiva ent˜o B ´ infinito. e e a e Demonstra¸˜o. f : A → f (A) ´ bije¸ao e f (A) ⊂ B ´ infinito, logo B ´ infinito , B ca e c˜ e en˜o pode ser finito, pois todo subconjunto de um conjunto finito ´ finito. f (A) n˜o pode a e aser finito, pois se fosse A estaria em bije¸˜o com um conjunto finito logo seria finito. caQuest˜o 1 b) aPropriedade 19. Se B ´ infinito e f : A → B ´ sobrejetiva ent˜o A ´ infinito. e e a e Demonstra¸˜o. Dado y ∈ B escolhemos x ∈ A tal que f (x) = y e com isso definimos caa fun¸˜o g : B → A tal que g(y) = x, g ´ injetiva ent˜o pelo resultado anterior segue que ca e aA ´ infinito. eQuest˜o 2 aPropriedade 20. Se A ´ infinito ent˜o existe fun¸ao injetiva f : N → A. e a c˜
  14. 14. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 13 Demonstra¸˜o. Podemos definir f indutivamente. Tomamos inicialmente x1 ∈ A e ca ∪ ndefinimos f (1) = x1 e para n ∈ N escolhemos xn+1 ∈ A {xk } definido f (n+1) = xn+1 . k=1 ∪ nA {xk } nunca ´ vazio pois A ´ infinito. f ´ injetora pois tomando m > n tem-se e e e k=1 ∪ m−1 ∪ m−1f (n) ∈ {xk } e f (m) ∈ A {xk }. k=1 k=1Corol´rio 1. Existe fun¸ao injetiva de um conjunto finito B num conjunto infinito A. a c˜Propriedade 21. Sendo A infinito e B finito existe fun¸˜o sobrejetiva g : A → B. ca Demonstra¸˜o. Existe fun¸˜o injetiva f : B → A, logo f : B → f (B) ⊂ A ´ ca ca ebije¸˜o, possuindo inversa g −1 : f (B) → B. Considere a fun¸ao f : A → B definida como ca c˜f (x) = g −1 (x) se x ∈ f (B) e f (x) = x1 ∈ B se x ∈ f (B), f ´ fun¸ao sobrejetiva. / e c˜Quest˜o 3 aPropriedade 22. Existem infinitos n´meros primos. u Demonstra¸˜o. Suponha que existam (pk )n ,n primos, vamos mostrar que existe ca 1mais um primo distinto dos anteriores . Considere ∏ n s=( pk ) +1 k=1 =ase esse n´mero ´ primo a demonstra¸˜o termina, se n˜o, ele ´ composto e ir´ existir um u e ca a e an´mero primo p tal que p|s, tal p n˜o pode ser nenhum dos pk dados pois se pk |s ent˜o u a apk |(s − a) = 1 que ´ absurdo, assim ele possui um fator primo p ̸= pk . e Uma maneira de denotar tal fato ´ escrever e lim π(n) = ∞.Exemplo 1. O produto de primos consecutivos adicionados de 1 n˜o s˜o sempre primos a a 2 + 1 = 3 ´ primo e 2.3 + 1 = 7 ´ primo e
  15. 15. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 14 2.3.5 + 1 = 31 ´ primo e 2.3.5.7 + 1 = 211 ´ primo e 2.3.5.7.11 + 1 = 2311 ´ primo e 2.3.5.7.11.13 + 1 = 30031 = 509.59 n˜o ´ primo a e 2.3.5.7.11.13.17 + 1 = 510511 = 19.97.277 n˜o ´ primo a eQuest˜o 4 aExemplo 2. Dar exemplo de uma sequˆncia (Ak ) decrescente de conjuntos infinitos cuja eintersec¸˜o seja vazia. ca Considere os conjuntos definidos como Ak = {n ∈ N | n > k}, cada um desses con-juntos ´ infinito e vale Ak ⊂ Ak+1 , por´m n˜o existe elemento que perten¸a ao intersec¸˜o e e a c ca ∩ ∞ Ak k=1se houvesse algum t que pertencesse a intersec¸ao ent˜o tal t deveria ser elemento de todo c˜ aAk , por´m isso n˜o acontece, pois existe k tal que k > t, da´ todos elementos de Ak s˜o e a ı amaiores que t.1.2.4 Conjuntos enumer´veis aQuest˜o 1 aExemplo 3. f : N × N → N definida como f (m + 1, n) = 2m (2n − 1) e f (1, n) = 2n − 1 ´ euma bije¸˜o. Dado um n´mero natural n qualquer, podemos escrever esse n´mero como ca u uproduto dos seus fatores primos ∏ n ∏ n n= pαk = 2α1 . k pαk k k=1 k=2como os primos maiores que 2 s˜o ´ a ımpares e o produto de ´ ımpares ´ um n´mero ´ e u ımparent˜o n = 2m (2n − 1). Agora vamos mostrar que a fun¸ao ´ injetora seja f (m, n) = f (p, q) a c˜ e 2m (2n − 1) = 2p (2q − 1)
  16. 16. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 15se m ̸= p os n´meros ser˜o diferentes pela unicidade de fatora¸˜o (2s − 1 n˜o possui u a ca afatores 2 pois sempre ´ ´ e ımpar), ent˜o devemos ter m = p, da´ segue que n = q e termina a ıa demonstra¸ao. c˜Quest˜o 2 aExemplo 4. Existe g : N → N sobrejetiva tal que g −1 (n) ´ infinito para cada n ∈ N . e Seja f : N → N definida como f (n) = k se n ´ da forma n = pαk onde pk ´ o k-´simo e k e en´mero primo e f (n) = n caso contr´rio, f ´ sobrejetiva e existem infinitos n ∈ N tais u a eque f (n) = k para cada k natural.Quest˜o 3 a ∪ ∞Exemplo 5. Exprimir N = Nk onde os conjuntos s˜o infinitos e dois a dois disjuntos. a k=1 ∪ ∞ Tome Nk+1 = {pαk , αk k ∈ N onde pk o k-´simo primo} e N1 = N e Nk , cada um k=2deles ´ infinito, s˜o disjuntos e sua uni˜o d´ N . e a a aQuest˜o 4 aPropriedade 23. Pn = {A ⊂ N | |A| = n} ´ enumer´vel. e a Demonstra¸˜o. Definimos a fun¸˜o f : Pn → N n da seguinte maneira: Dado A = ca ca{x1 < x2 < · · · < xn }, f (A) = (x1 , · · · , xn ). Tal fun¸˜o ´ injetiva pois dados A = {xk , k ∈ ca eIn } e B = {yk , k ∈ In } n˜o pode valer xk = yk para todo k, pois se n˜o os conjuntos a aseriam iguais.Corol´rio 2. o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N ´ enumer´vel pois a e a ∪ ∞ Pf = Pk k=1´ uni˜o enumer´vel de conjuntos enumer´veis.e a a a
  17. 17. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 16Quest˜o 5 a Daremos duas demonstra¸oes para essa quest˜o uma mais direta outra um pouco mais c˜ alonga.Propriedade 24. O conjunto X das sequˆncias (xn ) tais que dado n, xn = 0 ou xn = 1 e´ n˜o enumer´vel.e a a Demonstra¸˜o. ca Vamos supor por absurdo que tal conjunto seja enumer´vel com a enumera¸ao s : N → a c˜X , tal que dado v natural associamos a sequˆncia sv = (xv (n) ). Podemos ent˜o tomar e ao elemento y = (yn ), definido da seguinte maneira: yn ̸= xn (n) , podemos tomar yn dessamaneira pois se para n fixo vale xn (n) = 0 escolhemos yn = 1, se xn (n) = 1 escolhemosyn = 0, da´ tem-se que y ̸= sv para todo v natural, logo y n˜o pertence a enumera¸˜o, o ı a caque ´ absurdo. Logo a sequˆncia ´ n˜o enumer´vel. e e e a aPropriedade 25. P (N ) ´ n˜o enumer´vel. e a a Demonstra¸˜o. Definimos a fun¸˜o f : X → P (N ) (onde X ´ o conjunto de ca ca esequˆncias de elementos 0 ou1 ) da seguinte maneira para cada sequˆncia (xk ), defini- e emos f (xk ) = V = {k | xk ̸= 0}. Tal fun¸ao ´ bije¸˜o pois dadas duas sequˆncias distintas c˜ e ca e(xk ) e (yk ) ent˜o existe k tal que xk ̸= yk , sem perda de generalidade, yk = 0 ent˜o a ak ∈ f (yk ) e k ∈ f (xk ) logo as imagens s˜o distintas. A fun¸ao tamb´m ´ sobrejetiva pois / a c˜ e edado um subconjunto V ⊂ N a ele est´ associado a sequˆncia (xk ) onde xk = 0 se k ∈ V a e /e xk = 1 se k ∈ V . Como tal fun¸˜o ´ bije¸ao e X ´ n˜o enumer´vel, segue que P (N ) tamb´m ´ n˜o ca e c˜ e a a e e aenumer´vel. aTeorema 1 (Cantor). Sejam A um conjunto arbitr´rio e B um conjunto contendo pelo amenos dois elementos, ent˜o nenhuma fun¸ao f : A → F (A, B) ´ sobrejetiva. a c˜ e Demonstra¸˜o. A fun¸ao f : A → F (A, B) associa a um elemento de x de A a ca c˜um elemento y de F (A, B), que por sua vez ´ uma fun¸ao de A em B, y : A → B, que e c˜denotaremos por fx = y. Para mostrar que f n˜o ´ sobrejetiva, temos que mostrar que a eexiste z em F (A, B) tal que para nenhum x ∈ A vale fx = z. Definiremos z : A → B da seguinte maneira, para todo x ∈ A fixo temos que fx (x) ´ eum elemento de B, como B possui no m´ ınimo dois elementos, ent˜o associamos z(x) a um a
  18. 18. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 17elemento diferente de fx (x), assim as fun¸oes(imagens da fun¸˜o) z e fx s˜o distintas para c˜ ca atodo x (pois diferem em um elemento) , logo f : A → F (A, B) n˜o pode ser sobrejetiva. aPropriedade 26. Existe bije¸ao entre P (A) e F (A, {0, 1}). Os elementos de P (A) s˜o c˜ asubconjuntos de A. Demonstra¸˜o. Seja a fun¸˜o C : P (A) → F (A, {0, 1}), chamada de fun¸˜o ca- ca ca ca ıstica, definida como: Dado V ∈ P (A), CV deve ser uma fun¸ao de A em {0, 1},racter´ c˜definimos ent˜o CV (x) = 1 se x ∈ V e CV (x) = 0 se x ∈ V . a / Tal fun¸ao ´ injetiva, pois sejam V ̸= H elementos de P (A) ent˜o CV ´ diferente de c˜ e a eCH , pois existe, por exemplo, x1 ∈ H tal que x1 ∈ V e x1 ∈ A e vale CV (x1 ) = 0 e /CH (x1 ) = 1, logo as fun¸oes s˜o distintas. c˜ a A fun¸˜o ´ sobrejetiva, pois dado um elemento y de F (A, {0, 1}), ele deve ser uma ca efun¸˜o de A em {0, 1}, ent˜o existe um subconjunto V que cont´m todos x ∈ A tal que ca a ey(x) = 1 e para todo x ∈ L = A V tem-se y(x) = 0, tal fun¸ao ´ a mesma que CV . Logo c˜ ea fun¸ao ´ bijetora. c˜ eCorol´rio 3. N˜o existe bije¸˜o entre os conjuntos A e P (A), pois n˜o existe fun¸ao a a ca a c˜sobrejetiva entre A e F (A, (0, 1)) essa ultima que est´ em bije¸ao com P (A). Em especial ´ a c˜n˜o existe bije¸˜o entre N e P (N ). a caQuest˜o 6 aPropriedade 27. Sejam B enumer´vel e f : A → B tal que ∀y ∈ B, f −1 (y) ´ enumer´vel, a e aent˜o A ´ enumer´vel. a e a Demonstra¸˜o. ca ∪ A= f −1 (y) y∈Bent˜o A ´ uni˜o enumer´vel de conjuntos enumer´veis, da´ A ´ enumer´vel. a e a a a ı e a
  19. 19. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 181.3 Cap´ ıtulo 2-N´ meros reais u1.3.1 R ´ um corpo eQuest˜o 1 a) aPropriedade 28 (Unicidade do elemento neutro da adi¸ao). Se x + θ = x para algum c˜x ∈ R ent˜o θ = 0. a Demonstra¸˜o. Vale que x + θ = x + 0, logo pela lei do corte segue θ = 0. caQuest˜o 1 b) aPropriedade 29 (Unicidade do elemento neutro da multiplica¸ao). Se x.u = x para todo c˜x ∈ R ent˜o u = 1. a Demonstra¸˜o. Tomamos x ̸= 0 ele possui inverso x−1 multiplicando por x−1 de caambos lados segue que u = 1.Quest˜o 1 c) aPropriedade 30. Se x + y = 0 ent˜o y = −x. a Demonstra¸˜o. Adicionamos −x em ambos lados. caQuest˜o 1 d) aPropriedade 31. Se x.y = 1 ent˜o y = x−1 . a Demonstra¸˜o. Como x.y = 1 ent˜o nenhum dos n´meros ´ nulo, logo ambos ca a u epossuem inverso, multiplicamos em ambos lados por x−1 de onde segue o resultado.Quest˜o 2 aPropriedade 32. (bd)−1 = b−1 .d−1 .
  20. 20. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 19 Demonstra¸˜o. ca (bd)−1 .bd = 1 b−1 .d−1 .b.d = 1logo (bd)−1 = b−1 .d−1 . por unicidade de inverso .Propriedade 33. a c ac . = . b d bd Demonstra¸˜o. ca a c ac . = a.b−1 .c.d−1 = ac.b−1 .d−1 = ac.(bd)−1 = . b d bdPropriedade 34. a c a+c + = . d d d Demonstra¸˜o. ca a c a+c + = d−1 a + d−1 c = d−1 (a + c) = d d dpor distributividade do produto em rela¸ao a soma. c˜Propriedade 35. a c ad + bc + = . b d bd Demonstra¸˜o. ca a c ad cb ad cb ad + bc + = + = + = . b d bd db bd db bdQuest˜o 3 aPropriedade 36. (x−1 )−1 = x. Demonstra¸˜o. Pois x.x−1 = 1, logo x ´ o inverso de x−1 , isto ´ x = (x−1 )−1 . ca e eCorol´rio 4. a ( )−1 a b = b apois ( )−1 a b = (ab−1 )−1 = a−1 b = . b a
  21. 21. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 20Quest˜o 4 aPropriedade 37. Mostrar que ∑ n 1 − xn+1 xk = k=0 1−xpara x ̸= 1. Demonstra¸˜o. Usamos a soma telesc´pica ca o ∑ n xk+1 − xk = xn+1 − 1 k=0como xk+1 − xk = xk (x − 1) ent˜o a ∑ n xn+1 − 1 1 − xn+1 xk = = . k=0 x−1 1−x1.3.2 R ´ um corpo ordenado eQuest˜o 1 a Vamos dar algumas demonstra¸oes da desigualdade triangular e tirar a quest˜o como c˜ acorol´rio. aPropriedade 38. Sejam 0 ≤ x e 0 ≤ y. Se x2 ≤ y 2 ent˜o x ≤ y. a Demonstra¸˜o. ca Vale (x − y)(x + y) ≤ 0 como 0 ≤= x + y deve valer (x − y) ≤ 0 da´ x ≤ y . ıPropriedade 39 (Desigualdade triangular). |a + b| ≤ |a| + |b|para quaisquer a e b reais. Demonstra¸˜o. ca a.b ≤ |ab| = |a||b|
  22. 22. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 21multiplicando por 2 e somando a2 + b2 em ambos lados a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ≤ a2 + 2|a||b| + b2 = |a|2 + 2|a||b| + |b|2 = (|a| + |b|)2logo (|a + b|)2 ≤ (|a| + |b|)2 de onde segue usando a propriedade anterior |a + b| ≤ |a| + |b|. Demonstra¸˜o.[2] Valem as desigualdades ca −|a| ≤ a ≤ |a|, −|b| ≤ b ≤ |b|somando ambas −(|b| + |a|) ≤ a + b ≤ |b| + |a|que equivale ` a |a + b| ≤ |a| + |b|. Demonstra¸˜o.[3] Sabemos que vale sempre x ≤ |x| e y ≤ |y| ent˜o x + y ≤ |x| + |y|, ca ada´ se 0 ≤ x + y temos ı |x + y| = x + y ≤ |x| + |y|. Vale tamb´m que −x ≤ |x| e y ≤ |y| ent˜o se x + y < 0 segue |x + y| = −(x + y) ≤ e a|x| + |y|. Em qualquer dos casos temos |x + y| ≤ |x| + |y|.Corol´rio 5. Na desigualdade triangular a |a + b| ≤ |a| + |b|tomando a = x − y , b = y − z segue |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|Quest˜o 2 aPropriedade 40. ||a| − |b|| ≤ |a − b|.
  23. 23. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 22 Demonstra¸˜o. Pela desigualdade triangular temos que ca |a| ≤ |a − b| + |b| logo |a| − |b| ≤ |a − b|tem-se tamb´m que e ( ) |b| ≤ |a − b| + |a| ⇒ |b| − |a| = − |a| − |b| ≤ |a − b| ⇒ −|a − b| ≤ |a| − |b|juntando as duas desigualdades −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|que implica ||a| − |b|| ≤ |a − b|.Quest˜o 3 aPropriedade 41. Dados x, y ∈ R, se x2 + y 2 = 0 ent˜o x = y = 0. a Demonstra¸˜o. Suponha que x ̸= 0, ent˜o x2 > 0 e y 2 ≥ 0 de onde segue que ca ax2 +y 2 > 0 , absurdo ent˜o deve valer x2 = 0 ⇒ x = 0 logo temos tamb´m y 2 = 0 ⇒ y = 0, a eportanto x = y = 0.Quest˜o 4 aExemplo 6. Mostre que x2 (1 + x) ≥ 1 + nx + n(n − 1) n 2para n natural e x ≥ 0. Vamos chamar x2 C(n, x) = 1 + nx + n(n − 1) . 2Por indu¸˜o sobre n, para n = 1 ca x2 (1 + x) ≥ 1 + 1.x + 1(1 − 1) =1+x 2logo vale a igualdade. Considere agora a validade da hip´tese o x2 (1 + x)n ≥ 1 + nx + n(n − 1) 2
  24. 24. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 23 vamos mostrar que vale ( ) ( ) x2 n+1 n+1 2 n(n − 1)x2(1+x) n+1 ≥ 1+(n+1)x+(n+1)(n) = 1+ x+ x = 1+nx+ +x+nx2 2 1 2 2 (1 + x)n+1 ≥ C(n, x) + x + nx2onde usamos a rela¸˜o de Stiefel. Multiplicando a desigualdade da hip´tese da indu¸ao ca o c˜por 1 + x, n˜o alteramos a desigualdade pois 1 + x ´ positivo, temos ent˜o a e a (1 + x)n+1 ≥ C(n, x)(1 + x) = C(n, x) + C(n, x)xagora vamos mostrar que C(n, x) + C(n, x)x ≥ C(n, x) + x + nx2que ´ equivalente ` e a C(n, x)x ≥ x + nx2desigualdade v´lida se x = 0, agora se x > 0 equivale ` a a C(n, x) ≥ 1 + nx x2 x2 1 + nx + n(n − 1) ≥ 1 + nx ⇔ n(n − 1) ≥ 0 2 2se n = 0 ou n = 1 ela se verifica, se n ̸= 0, 1 tamb´m pois temos x2 > 0. eQuest˜o 5 aExemplo 7. Para todo x ̸= 0 real, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx. Se x > −1 tomamos a desigualdade de bernoulli com 2n no expoente. Se x < −1 vale1 + x < 0 por´m elevando a uma potˆncia par resulta num n´mero positivo, por outro e e ulado 2nx < −2n logo 1 + 2nx < 1 − 2n < 0 ent˜o (1 + x)2n ´ positivo e 1 + 2nx ´ negativo, a e elogo nesse caso vale (1 + x)2n > 1 + 2nx .
  25. 25. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 24Quest˜o 6 aPropriedade 42. |a − b| < ε ⇒ |a| < |b| + ε. Demonstra¸˜o. Partindo da desigualdade |a − b| < ε, somamos |b| a ambos lados ca |a − b| + |b| < ε + |b|e usamos agora a desigualdade triangular |a| ≤ |a − b| + |b| < ε + |b|da´ segue ı |a| ≤ ε + |b|.Quest˜o 7 aPropriedade 43. Sejam (xk )n e (yk )n n´meros reais, ent˜o vale a desigualdade 1 1 u a ∑n ∑ n ∑ n ( xk yk ) ≤ ( (xk ) )( (yk )2 ). 2 2 k=1 k=1 k=1 ∑ n Demonstra¸˜o. Dado f (x) = ca (xk + xyk )2 , vale f (x) ≥ 0, sendo um polinˆmio de o k=1grau 2 em x, expandindo vale tamb´m e ∑ n ∑ n ∑ n ∑ n (xk + xyk )2 = (xk )2 +x 2 (xk yk ) +x2 (yk )2 k=1 k=1 k=1 k=1 c b atemos que ter o discriminante ∆ = b2 − 4ac ≤ 0 ⇒ b2 ≤ 4ac para que f (x) ≥ 0, ∑ n ∑ n ∑ n 4( (xk yk )) ≤ 4( (xk ) )( (yk )2 ) 2 2 k=1 k=1 k=1implicando finalmente que ∑n ∑ n ∑ n ( xk yk ) ≤ ( (xk ) )( (yk )2 ). 2 2 k=1 k=1 k=1 A igualdade vale sse cada valor xk + xyk = 0 para todo k ∈ N.
  26. 26. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 25Quest˜o 8 a akPropriedade 44. Sejam ∈ (α, β) e tk , bk > 0 para cada k ∈ In , ent˜o vale que a bk ∑ n tk ak k=1 ∑n ∈ (α, β). tk bk k=1 Demonstra¸˜o. Vale para cada k ca tk ak α< <β tk bkcomo cada tk bk > 0, podemos multiplicar por tal termo em ambos lados sem alterar adesigualdade, ficamos ent˜o com a αtk bk < tk ak < βtk bk ∑ n, tomando a soma ,sabendo que a soma preserva desigualdades, da´ segue que ı k=1 ∑ n ∑ n ∑ n αtk bk < tk a k < β tk bk k=1 k=1 k=1logo ∑ n tk a k k=1 α< ∑n <β tk bk k=1 ∑ n tk ak k=1implicando que ∑n ∈ (α, β). tk bk k=1 ∑ n ak k=1 Em especial tomando tk = 1 tem-se ∑n ∈ (α, β). bk k=11.3.3 R ´ um corpo ordenado completo eQuest˜o 1 a Vamos primeiro demonstrar alguns resultados podem ser usados para resolver asquest˜es. o
  27. 27. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 26Propriedade 45. Se A ´ limitado superiormente e B ⊂ A ent˜o sup(A) ≥ sup(B). e a Demonstra¸˜o. Toda cota superior de A ´ cota superior de B, logo o sup(A) ´ cota ca e esuperior de B, como sup(B) ´ a menor das cotas superiores de B segue que sup(A) ≥ esup(B).Propriedade 46. Se A ´ limitado inferiormente e B ⊂ A ent˜o inf (A) ≤ inf (B). e a Demonstra¸˜o. inf A ´ cota inferior de A, logo tamb´m ´ cota inferior de B, sendo ca e e ecota inferior de B vale inf A ≤ inf B, pois inf B ´ a maior cota inferior de B. e Sejam A, B ⊂ R, conjuntos limitados .Propriedade 47. O conjunto A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B} tamb´m ´ limitado. e e Demonstra¸˜o. Se A ´ limitado , existe t tal que |x| < t para todo x ∈ A e se B ´ ca e elimitado existe u tal que |y| < u ∀y ∈ B. Somando as desigualdades e usando desigualdadetriangular segue |x| + |y| < u + t e |x + y| ≤ |x| + |y| < u + t logo o conjunto A + B ´ elimitado.Propriedade 48 (Propriedade aditiva). Vale sup(A + B) = sup(A) + sup(B). Demonstra¸˜o. Como A, B s˜o limitidados superiomente, temos sup A := a e ca asup B := b, como vale a ≥ x e b ≥ y para todos x, y ∈ A, B respectivamente segueque a + b ≥ x + y logo o conjunto A + B ´ limitado superiormente. Para todo e qualquer eε > 0 existem x, y tais que ε ε a<x+ , b<y+ 2 2somando ambas desigualdades-segue-se que a+b<x+y+εque mostra que a + b ´ a menor cota superior, logo o supremo, fica valendo ent˜o e a sup(A + B) = sup(A) + sup(B).Propriedade 49. inf(A + B) = inf A + inf B Demonstra¸˜o. Sejam a = inf A e b = inf B ent˜o ∀x, y ∈ A, B tem-se a ≤ x, b ≤ y ca ade onde segue por adi¸ao a + b ≤ x + y, assim a + b ´ cota inferior de A + B. ∃x, y ∈ A, B c˜ e ε εtal que ∀ε > 0 vale x < a + e y < b + pois a e b s˜o as maiores cotas inferiores, a 2 2somando os termos das desigualdades segue x + y < a + b + ε, que implica que a + b ´ a emaior cota inferior logo o ´ ınfimo.
  28. 28. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 27 Seja uma fun¸ao limitada f : V → R. c˜Defini¸˜o 1. ca sup f := sup f (V ) = sup{f (x) | x ∈ V }Defini¸˜o 2. ca inf f := inf f (V ) = inf{f (x) | x ∈ V } Sejam f, g : V → R fun¸oes limitadas . c˜Propriedade 50. sup(f + g) ≤ sup f + sup g Demonstra¸˜o. ca Sejam A = {f (x) | x ∈ V }, B = {g(y) | y ∈ V }, C = {g(x) + f (x) | x ∈ V }temos que C ⊂ A + B, pois basta tomar x = y nos conjuntos, logo sup(A + B) ≥ sup(f + g) sup(A) + sup(B) = sup f + sup g ≥ sup(f + g)Propriedade 51. inf(f + g) ≥ inf(f ) + inf(g). Demonstra¸˜o. De C ⊂ A + B segue tomando o ´ ca ınfimo inf(A + B) = inf(A) + inf(B) = inf(f ) + inf(g) ≤ inf(C) = inf(f + g).Exemplo 8. Sejam f, g : [0, 1] → R dadas por f (x) = x e g(x) = −x, vale sup f =1, sup g = 0, f + g = 0 logo sup(f + g) = 0 vale ent˜o sup f + sup g = 1 > sup(f + g) = 0. a Vale ainda inf f = 0, inf g = −1, f + g = 0, inf (f + g) = 0 logo inf f + inf g = −1 < inf(f + g) = 0.
  29. 29. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 28Quest˜o 2 aDefini¸˜o 3. Sejam A e B conjuntos n˜o vazios, definimos A.B = {x.y | x ∈ A, y ∈ B}. ca aPropriedade 52. Sejam A e B conjuntos limitados de n´meros positivos, ent˜o vale u asup(A.B) = sup(A). sup(B). Demonstra¸˜o. Sejam a = sup(A) e b = sup(B) ent˜o valem x ≤ a e y ≤ b, ∀x ∈ ca a tA, y ∈ B da´ x.y ≤ a.b, logo a.b ´ cota superior de A.B. Tomando t < a.b segue que < b ı e a t t tlogo existe y ∈ B tal que < y da´ < a logo existe x ∈ A tal que < x logo t < x.y ı a y yent˜o t n˜o pode ser uma cota superior, implicando que a.b ´ o supremo do conjunto. a a ePropriedade 53. Sejam A e B conjuntos limitados de n´meros positivos, ent˜o vale u ainf(A.B) = inf(A). inf(B). Demonstra¸˜o. Sejam a = inf(A) e b = inf(B) ent˜o valem x ≥ a e y ≥ b, ∀x ∈ ca a tA, y ∈ B da´ x.y ≥ a.b, logo a.b ´ cota inferior de A.B. Tomando t > a.b segue que > b ı e a t t tlogo existe y ∈ B tal que > y da´ > a logo existe x ∈ A tal que > x logo t < x.y ı a y yent˜o t n˜o pode ser uma cota inferior, implicando que a.b ´ o inf´ a a e ımo do conjunto.Propriedade 54. Sejam f, g : A → R+ limitadas superiormente, ent˜o a sup(f.g) ≤ sup(f ) sup(g). Demonstra¸˜o. Sejam C = {g(x).f (x) | x ∈ A} , B = {g(y). | y ∈ A} e A = ca{f (x) | x ∈ A} . Vale que C ⊂ A.B, da´ ı sup(A.B) ≥ sup(C) sup(A) sup(B) ≥ sup(C) sup(f ) sup(g) ≥ sup(f.g).Propriedade 55. Sejam f, g : A → R+ limitadas superiormente, ent˜o a inf(f.g) ≥ inf(f ) inf(g).
  30. 30. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 29 Demonstra¸˜o. Sejam C = {g(x).f (x) | x ∈ A} , B = {g(y). | y ∈ A} e A = ca{f (x) | x ∈ A} . Vale que C ⊂ A.B, da´ ı inf(A.B) ≤ inf(C) inf(A) inf(B) ≤ inf(C) inf(f ) inf(g) ≤ inf(f.g). 1Exemplo 9. Sejam f, g : [1, 2] → R dadas por f (x) = x e g(x) = , vale sup f = 2, xsup g = 1 sup f. sup g = 2 e sup(f.g) = 1, pois f.g = 1 logo sup f sup g > sup(f.g). 1 1 Da mesma maneira inf f = 1, inf g = vale inf f. inf g = e inf(f.g) = 1 portanto 2 2 inf f. inf g < inf(f.g).Quest˜o 3 aPropriedade 56. Seja f : A → R+ ent˜o inf(f 2 ) = (inf f )2 . a Demonstra¸˜o. Seja a = inf f tem-se f (x) ≥ a ∀x da´ f (x)2 ≥ a2 ent˜o a2 ´ cota ca ı a e √inferior de f 2 , e ´ a maior cota inferior pois se a2 < c ent˜o a < c logo existe x tal que e a √a < f (x) < c e da´ a2 < f (x)2 < c logo a2 ´ a maior cota inferior inf(f 2 ) = inf(f )2 . ı eQuest˜o 4 aExemplo 10. X Sejam X = {x ∈ R+ | x2 < 2} e Y = {y ∈ R+ | y 2 > 2}. X ´ e limitado superiormente por 2 pois se fosse x > 2 ent˜o x2 > 4 que ´ absurdo. Os a e conjuntos X e Y s˜o disjuntos, pois x n˜o pode satisfazer x2 < 2 e x2 > 2 . Dado a a y ∈ Y vale y > x pois se fosse y < x ter´ ıamos y 2 < x2 < 2 que ´ absurdo pois e y 2 > 4. X X n˜o possui elemento m´ximo. Seja x ∈ X ent˜o x2 < 2, 0 < 2 − x2 , vale tamb´m a a a e 2−x 2 que 2x + 1 > 0, da´ 0 < ı , podemos ent˜o tomar um racional r < 1 tal que a 2x + 1
  31. 31. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 30 2 − x2 0<r< , e vale ainda x + r ∈ X, pois de r < 1 tem-se r2 < r e da rela¸˜o ca 2x + 1 r(2x + 1) < 2 − x2 implica (x + r)2 = x2 + 2rx + r2 < x2 + 2rx + r = x2 + r(2x + 1) < x2 + 2 − x2 = 2 ent˜o (x + r)2 < 2. a X O conjunto Y n˜o possui elemento m´ a ınimo. Como vale y > 0 e y 2 > 2, tem-se y2 − 2 y 2 − 2 > 0 e 2y > 0, logo existe um racional r tal que 0 < r < , logo 2y r2y < y 2 − 2, y 2 − 2ry > 2. Vale ainda que y − r ∈ Y pois (y − r)2 = y 2 − 2ry + r2 > y 2 − 2ry > 2 logo vale (y − r)2 > 2. Vale tamb´m y − r > 0 pois de 2ry < y 2 − 2 segue e y 1 r < − < y, logo y − r > 0, logo y − r ∈ Y , perceba ainda que y − r < y ent˜o a 2 y o conjunto Y realmente n˜o possui m´ a ınimo. X Existe sup X = a, vale a > 0, n˜o pode ser a2 < 2 pois da´ a ∈ X, mas X n˜o a ı a possui m´ximo. Se a2 > 2 ent˜o a ∈ Y , por´m Y n˜o possui m´ a a e a ınimo o que implica existir c ∈ Y tal que x < c < a∀X o que contradiz o fato de a ser a menor cota superior (supremo). Sobre ent˜o a possibilidade de ser a2 = 2. aQuest˜o 5 aPropriedade 57. O conjunto dos polinˆmios com coeficientes racionais ´ enumer´vel. o e a Demonstra¸˜o. Seja Pn o conjunto dos polinˆmios com coeficientes racionais de grau ca o≤ n a fun¸ao f : Pn → Qn+1 tal que c˜ ∑n P( ak xk ) = (ak )n 1 k=0´ uma bije¸˜o. Como Qn+1 ´ enumer´vel por ser produto cartesiano finito de conjuntose ca e aenumer´veis, segue que Pn ´ enumer´vel. a e a Sendo A o conjunto dos polinˆmios de coeficientes racionais, vale que o ∪ ∞ A= Pk k=1
  32. 32. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 31portanto A ´ uni˜o enumer´vel de conjuntos enumer´veis , sendo assim A ´ enumer´vel. e a a a e aDefini¸˜o 4 (N´mero alg´brico). Um n´mero real (complexo) x ´ dito alg´brico quando ca u e u e e´ raiz de um polinˆmio com coeficientes inteiros.e oPropriedade 58. O conjunto dos n´meros alg´bricos ´ enumer´vel. u e e a Demonstra¸˜o. Seja B o conjunto dos alg´bricos . Para cada alg´brico x escolhemos ca e eum polinˆmio Px tal que Px (x) = 0. o Definimos a fun¸˜o f : B → A tal que F (x) = Px . Dado Px ∈ F (B), temos que o caconjunto g −1 (Px ) dos valores x ∈ B tal que f (x) = Px ´ finito pois Px possui um n´mero e u =yfinito de ra´ e da´ tem-se ızes ı ∪ B= g −1 (y) y∈f (B)logo B ´ uni˜o enumer´vel de conjuntos enumer´veis ( no caso finitos), ent˜o B ´ enu- e a a a a emer´vel. aCorol´rio 6. Existem n´meros reais que n˜o s˜o alg´bricos, pois se todos fossem alg´bricos a u a a e eR seria enumer´vel. aDefini¸˜o 5 (N´meros transcendentes). Os n´meros reais que n˜o s˜o alg´bricos s˜o ca u u a a e aditos transcendentaisQuest˜o 6 aPropriedade 59. Um conjunto I ⊂ R ´ um intervalo sse a′ < x < b′ com a′ , b′ ∈ I eimplica x ∈ I. Demonstra¸˜o. Se I ´ um intervalo ent˜o ele satisfaz a propriedade descrita. Agora ca e ase a defini¸ao tomada de intervalo for: dados a′ , b′ elementos de I se para todo x tal que c˜a′ < x < b′ ent˜o x ∈ I, logo o conjunto I deve ser um dos nove tipos de intervalos. a Caso I seja limitado, inf I = a e sup I = b, se a < x < b, existem a′ , b′ tais quea′ < x < b′ logo x ∈ I, isto ´, os elementos entre o supremo e o ´ e ınfimo do conjuntopertencem ao intervalo. Vejamos os casos X inf I = a, sup I = b s˜o elementos de I, logo o intervalo ´ da forma [a, b]. a e
  33. 33. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 32 X a ∈ I, b ∈ I, o intervalo ´ do tipo (a, b]. / e X a ∈ I e b ∈ I, o intervalo ´ do tipo [a, b). / e X a ∈ I e b ∈ I tem-se o intervalo (a, b). Com isso terminamos os tipos finitos de / / intervalos. Se I ´ limitado inferiormente por´m n˜o superiormente. e e a X a ∈ I , gera o intervalo [a, ∞). X a ∈ I, tem-se o intervalo (a, ∞). /Se I ´ limitado superiormente por´m n˜o inferiormente. e e a X b ∈ I , gera o intervalo (−∞, b]. X b ∈ I, tem-se o intervalo (−∞, b). / O ultimo caso, I n˜o ´ limitado ´ a e I = (−∞, ∞)1.4 Cap´ ıtulo 3-Sequˆncias e1.4.1 Limite de uma sequˆncia eQuest˜o 1 aPropriedade 60. Uma sequˆncia peri´dica ´ convergente sse ´ constante. e o e e Demonstra¸˜o. Considere as subsequˆncias da sequˆncia (xk ) que possui per´ ca e e ıodo p (x1 , x1+p , x1+2p , · · · ) = (x1+kp )k∈N (x2 , x2+p , x2+2p , · · · ) = (x2+kp )k∈N . . . (xp−1 , xp−1+p , xp−1+2p , · · · ) = (xp−1+kp )k∈Ncada sequˆncia dessas ´ constante e possui valor sempre igual ao seu primeiro termo pelo e efato da sequˆncia ser peri´dica de per´ e o ıodo p, xn+p = xn . Se (xk ) converge ent˜o todas suas a
  34. 34. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 33subsequˆncias devem convergir para o mesmo valor, ent˜o deve valer x1 = x2 = · · · = xp−1 e ae cada termo da sequˆncia (xk ) deve pertencer a uma dessas subsequˆncias, disso segue e eque (xk ) ´ constante. eQuest˜o 2 aPropriedade 61. Se lim x2n = a lim x2n−1 = a ent˜o lim xn = a. a Demonstra¸˜o. Sejam yn = x2n e zn = x2n−1 como temos lim yn = lim zn = a, para caqualquer ε > 0 existem n0 e n1 tais que para n > n0 vale yn ∈ (a − ε, a + ε) e n > n1vale zn ∈ (a − ε, a + ε), escolhendo n2 = max{n0 , n1 } temos simultaneamente zn , yn ∈(a − ε, a + ε), x2n−1 , x2n ∈ (a − ε, a + ε), ent˜o para n > 2n2 − 1 temos xn ∈ (a − ε, a + ε) alogo vale lim xn = a.Quest˜o 3 aPropriedade 62. Se lim xn = a ent˜o lim |xn | = |a|. a Demonstra¸˜o. Se lim xn = a ent˜o ca a ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ |xn − a| < εpor´m temos a desigualdade ||xn | − |a|| ≤ |xn − a| logo ||xn | − |a|| < ε e lim |xn | = |a|. eQuest˜o 4 aPropriedade 63. Se uma sequˆncia mon´tona possui subsequˆncia limitada, ent˜o a e o e asequˆncia ´ limitada. e e Demonstra¸˜o. Suponha que (xn ) seja n˜o-decrescente e possua uma subsequˆncia ca a elimitada, vamos mostrar que para todo n natural vale xn < M para algum M . Como asubsequˆncia de (xn ) ´ limitada, ent˜o para todo n ∈ N existe n0 ∈ N tal que n0 > n e n0 e e ae ındice da subsequˆncia limitada de (xn ) com isso tem-se xn ≤ xn0 e como a subsequˆncia´´ e e´ limitada, existe M tal que xn0 < M , da´ por transitividade xn < M , isso implica quee ı(xn ) ´ limitada superiormente e como a sequˆncia n˜o-decrescente ´ limitada inferiormente e e a eent˜o ela ´ limitada. a e
  35. 35. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 34Corol´rio 7. Se uma sequˆncia mon´tona possui subsequˆncia limitada ent˜o ela ´ con- a e o e a evergente, pois a sequˆncia mon´tona ser´ limitada e toda sequˆncia mon´tona limitada ´ e o a e o econvergente.Corol´rio 8. Em especial se uma sequˆncia mon´tona possui subsequˆncia convergente, a e o eent˜o essa subsequˆncia ´ limitada e da´ a sequˆncia mon´tona ´ convergente. a e e ı e o eQuest˜o 5 aDefini¸˜o 6 (Valor de aderˆncia). Um n´mero real a ´ dito valor de aderˆncia de uma ca e u e esequˆncia (xn ), quando existe uma subsequˆncia de (xn ) que converge para a. Simboliza- e eremos o conjunto dos valores de aderˆncia de uma sequˆncia por A[xn ]. e eCorol´rio 9. Se uma sequˆncia ´ convergente ent˜o todas subsequˆncias convergem para a e e a eo mesmo limite que ´ o limite da sequˆncia, ent˜o se uma sequˆncia ´ convergente ela e e a e epossui apenas um valor de aderˆncia, isto ´, se lim xn = a ent˜o A[xn ] = {a} = {lim xn }. e e aExemplo 11. Os racionais s˜o densos na reta e s˜o enumer´veis, ent˜o podemos tomar a a a auma sequˆncia (xn ) que enumera os racionais, logo pra essa sequˆncia vale A[xn ] = R, pois e etomando qualquer valor a ∈ R qualquer intervalo (a − ε, a + ε) para qualquer ε possuiinfinitos racionais, elementos da sequˆncia, ent˜o podemos com esses infinitos valores e atomar uma subsequˆncia de (xn ) que converge para a. Em especial os racionais em [0, 1] es˜o enumer´veis e densos logo tomando uma enumera¸ao (xn ) dos racionais nesse conjunto a a c˜temos A[xn ] = [0, 1].Exemplo 12. A sequˆncia (1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, · · · ) que satisfaz x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 e ıodo 3, xn+3 = xn , tem A[xn ] = {1, 2, 3}.sendo peri´dica de per´ oExemplo 13. Dar o exemplo de uma sequˆncia (xn ) que possua A[xn ] = N. Para que eisso aconte¸a ´ necess´rio que cada n´mero natural apare¸a infinitas vezes na sequˆncia. c e a u c eDefinimos a sequˆncia (xn ) como xn = k se n ´ da forma pαk , onde pk ´ o k-´simo primo e e e k e eαk ∈ N , da´ existem infinitos valores de n tais que xn = k com isso geramos subsequˆncias ı e
  36. 36. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 35que convergem para um k qualquer dado, definimos tamb´m xn = 1 caso n n˜o seja da e aforma pαk , apenas para completar a defini¸˜o da sequˆncia. k ca eQuest˜o 6 aPropriedade 64. a ∈ A[xn ] ⇔ ∀ ε > 0, ∀k ∈ N exista n > k tal que |xn − a| < ε. Demonstra¸˜o. ca ⇒. Se a ´ valor de aderˆncia de (xn ), ent˜o ela possui uma subsequˆncia que converge e e a epara a, logo para qualquer ε > 0 e k ∈ N fixo, existe n ´ ındice da subsequˆncia tal que en > k e |xn − a| < ε. ⇐ . Supondo que ∀ ε > 0, ∀k ∈ N exista n > k tal que |xn − a| < ε. No primeiro passo tomamos ε = 1 e k = 1 da´ existe n1 > 1 tal que xn1 ∈ (a − 1, a + 1). ı 1 1 1Podemos tomar agora ε = e k = n1 ent˜o existe n2 > n1 tal que xn2 ∈ (a − , a + ), a 2 2 2 1na t + 1-´sima etapa tomamos ε = e e k = nt da´ existe nt+1 > nt tal que xnt+1 ∈ ı t+1 1 1(a − ,a + ), logo constru´ ımos uma subsequˆncia (xnt ) tal que lim xnt = a. e t+1 t+1Quest˜o 7 aCorol´rio 10. Negamos a proposi¸ao anterior. a c˜ a ∈ A[xn ] ⇔ ∃ ε > 0, ∃k ∈ N tal que para todo n > k implique |xn − a| ≥ ε. /1.4.2 Limites e desigualdadesQuest˜o 1 aPropriedade 65. Se lim xn = a, lim yn = b e |xn − yn | ≥ ε para todo n, ent˜o |a − b| ≥ ε. a Demonstra¸˜o. Suponha por absurdo que |a − b| < ε e |yn − xn | ≥ ε. Podemos ca =ε1tomar n > n0 tal que |yn − b| < ε2 e |xn − a| < ε3 onde ε1 + ε2 + ε3 < ε, que pode serfeito, pois basta tomar ε2 + ε3 < ε − ε1 logo >0 |yn − xn | ≤ |yn − b| + |b − a| + |xn − a| < ε1 + ε2 + ε3 = εque contradiz |yn − xn | ≥ ε.
  37. 37. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 36Quest˜o 2 aPropriedade 66 (Permanˆncia de sinal ). Se lim xn = b com b > 0 ent˜o no m´ximo uma e a aquantidade finita de termos dessa sequˆncia pode n˜o ser positiva, isto ´, existe n0 ∈ N e a etal que para n > n0 vale xn > 0. Demonstra¸˜o. Como lim xn = b para todo ε > 0 existe n0 tal que para n > n0 ca b b 2b − b btemos |xn − b| < ε, xn ∈ (b − ε, b + ε) tomando ε = temos b − ε = b − = = 2 2 2 2 b 3b b 3be b+ε = b+ = logo existe n0 tal que para n > n0 tem-se xn ∈ ( , ) logo xn ´e 2 2 2 2positivo.Corol´rio 11. Sejam (xn ), (yn ) duas sequˆncias com lim xn = a e lim yn = b. Se b > a a eent˜o existe n0 ∈ N tal que yn > xn para qualquer n > n0 . Considerando a sequˆncia a e(xn − yn ) ela tem limite lim xn − yn = b − a > 0 logo pela permanˆncia de sinal existe en0 ∈ N tal que para n > n0 vale xn − yn > 0, xn > yn .Quest˜o 3 aPropriedade 67. Se uma sequˆncia limitada n˜o ´ convergente ent˜o ela possui mais de e a e aum ponto de aderˆncia . e Demonstra¸˜o. ca Como a sequˆncia (xn ) ´ limitada ela possui subsequˆncia (xnk ) convergente, conver- e e egindo para uma valor a . Como a sequˆncia n˜o ´ convergente, deve haver uma outra e a esubsequˆncia (xnt ) que n˜o converge para a, da´ existem infinitos valores de nt tal que xnt e a ın˜o est´ no intervalo (a − ε, a + ε) para algum ε. Como (xnt ) ´ limitada ent˜o ela possui a a e asubsequˆncia convergente, que n˜o pode convergir para a, converge ent˜o para um valor e a ab ̸= a e a proposi¸˜o est´ demonstrada. ca aQuest˜o 4 aPropriedade 68. Seja (xn ) uma sequˆncia limitada. (xn ) converge ⇔ possui um unico e ´valor de aderˆncia . e
  38. 38. CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. SOLUCOES-ANALISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 37 Demonstra¸˜o. Se ela ´ convergente ela possui um unico valor de aderˆncia . Se ela ca e ´ epossui um unico valor de aderˆncia ent˜o ela converge, pois se n˜o convergisse ela teria ´ e a amais de um valor de aderˆncia (contrapositiva e quest˜o anterior). e aQuest˜o 5 aExemplo 14. Quais s˜o os valores de aderˆncia da sequˆncia (xn ) definida como x2n−1 = a e e 1n e x2n = ? Para que um ponto seja de aderˆncia ´ necess´rio que existam infinitos e e a ntermos arbitrariamente pr´ximos de tal ponto, no caso de tal sequˆncia o unico n´mero o e ´ uque satisfaz tal propriedade ´ o 0, al´m disso tal sequˆncia n˜o ´ convergente pois n˜o ´ e e e a e a elimitada.Quest˜o 6 a √ a+b √Propriedade 69. Sejam a, b > 0 ∈ R, x1 = ab, y1 = , xn+1 = xn .yn , yn+1 = 2xn + yn . Ent˜o (xn ) e (yn ) convergem para o mesmo limite. a 2 Demonstra¸˜o. Sabemos que yn ≥ xn pela desigualdade das m´dias, ent˜o ca e a √ xn .yn ≥ x2 ⇒ n xn .yn ≥ xn ⇒ xn+1 ≥ xn ,ent˜o (xn ) ´ crescente . Da mesma maneira yn ´ decrescente pois de xn ≤ yn tem-se a e e (xn + yn )xn + yn ≤ 2yn da´ yn+1 = ı ≤ yn . Como vale x1 ≤ xn ≤ yn ≤ y1 para todo n, 2conclu´ ımos que xn e yn s˜o convergentes, por serem mon´tonas e limitadas . a o xn + yn yn+1 = 2tomando o limite x+y y= ⇒ x = y. 2Defini¸˜o 7 (M´dia aritm´tico-geom´trica). Dados dois n´meros reais positivos a e b o ca e e e uvalor comum para o qual convergem as sequˆncias (xn ) e (yn ) definidas na propriedade eanterior se chama m´dia aritm´tico-geom´trica de a e b. e e e

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