O documento descreve a importância dos Elementos de Euclides para a geometria, especificamente seu uso do método axiomático e como isso influenciou o desenvolvimento posterior da matemática e da ciência. O documento também discute como o quinto postulado de Euclides levou ao desenvolvimento da geometria não-euclidiana.

1. A Importância dos Elementos de
Euclides para a Geometria
Alunos: Jessé Pereira
Lia Daris
Lohro Couto

2. A GEOMETRIA ANTES DE EUCLIDES
A geometria nasceu no Egito antigo como ciência empírica, um
conjunto de métodos de mensuração necessários para reconstituir os
limites das propriedades em seguida às inundações anuais do Nilo.
Os gregos viram que os conhecimentos geométricos não poderiam
depender da experiência ou da evidência sensorial, pois uma e outra
nunca nos permitiriam entrar em contato com pontos, retas e planos,
meras abstrações. Esses conhecimentos dependeriam de
demonstrações. Sabiam, porém, que era impossível demonstrar
tudo, pois isso provocaria uma regressão ao infinito, com cada
afirmação sendo sempre remetida a afirmações anteriores. Para
evitar isso, era preciso buscar o que Aristóteles chamou de primeiros
princípios, que, sendo evidentes, dispensariam as provas. A partir
dessa âncora, a lógica nos conduziria a conhecimentos válidos,
constituindo-se assim uma ciência demonstrativa.

3. A matemática grega pré-euclidiana apresenta um
desenvolvimento rápido, inspirado e acrítico (depois de Tales
de Mileto); em seguida, um estágio de crítica e de dúvidas e,
finalmente, uma disposição e polimento cuidadosos das
várias partes.
Coube a Euclides realizar o ideal de sistematizar os
conhecimentos que outros povos haviam adquirido de forma
desordenada através do tempo, dar ordem a lógica a esses
conhecimentos, estudando a fundo as propriedades das
figuras geométricas, as áreas e os volumes.

4. A OBRA E SEU DIFERENCIAL
Elaborada por Euclides, a obra é considerada um marco,
conhecida por seus sucessores como “elementador”, Foi
composto em 300 A.C. aproximadamente e foi copiado
repetidas vezes inserindo erros e variações inevitáveis, e
alguns editores, notadamente Teon de Alexandria no fim do
quarto século, tentaram melhorar o original.
A obra possui 13 volumes, é pioneira no modelo axiomático, ou
seja, os axiomas ou postulados e os teoremas que antes eram
expostos sem a necessidade de demonstração e agrupados ao
acaso, nesta obra, seguem uma ordem lógica perfeita onde
cada teorema gerado é fruto dos axiomas ou postulados e os
teoremas que vieram antes dele, seguindo uma demonstração
rigorosa.
Vale salientar que embora o uso do modelo axiomático seja
utilizado nessa obra, Euclides em alguns momentos e de forma
involuntária, não se utiliza das demonstrações para afirmar
seus postulados e definições, além disso, admitiu resultados
intuitivos, sem demonstração.

5. OS ELEMENTOS
A grosso modo, podemos sintetizar assim o conteúdo dos treze livros:
 Livro I: Definições, axiomas e postulados; os três casos de congruência
de triângulo; teoria das paralelas; relações entre áreas de
paralelogramos, triângulos e quadrados. A proposição quarenta e sete
(penúltima) é o conhecidíssimo Teorema de Pitágoras. Acredita-se que
a maioria do conteúdo deste Livro é devido aos pitagóricos.
 Livro II: Trata o que usualmente se designa por álgebra geométrica ou
geometria das áreas. Num total de 14 proposições.
 Livro III: Consiste em trinta e nove proposições contendo muitos dos
teoremas conhecidos sobre ângulos, círculos, cordas, secantes e
tangentes.

6.  Livro IV: Construção de alguns polígonos regulares, bem como a sua
inscrição e circunscrição num círculo.
 Livro V: Teoria das Proporções de Eudoxo.
 Livro VI: Aplicação dos resultados do Livro V à geometria plana.
 Livros VII, VIII e IX: Livros consagrados à Teoria de Números.
 Livro X: Versa sobre as grandezas irracionais. É o Livro mais extenso
deste conjunto de treze Livros.
 Livros XI, XII e XIII: Sobre geometria tridimensional

7. O 5º POSTULADO DE EUCLIDES
O quinto postulado do livro I, é mais famoso dos postulados de Euclides
e aquele que tem dado mais dores de cabeça aos matemáticos.
Equivalente ao “axioma das paralelas”, de acordo com o qual, por um
ponto exterior a uma reta, apenas passa uma outra reta paralela à
dada, desde cedo que este postulado foi objeto de polêmica por não
possuir o mesmo grau de “evidência” que os restantes.
Já na antigüidade vários matemáticos acreditavam que ele pudesse ser
demonstrado com base nos outros postulados e tentaram fazer tal
demonstração. Essas tentativas foram retomadas nos tempos
modernos, então por volta de 1830 já havia sérias suspeitas de que o
postulado das paralelas não pudesse ser demonstrado a partir dos
outros. Suspeitava-se que ele fosse independente dos outros quatro, e
que se pudesse desenvolver uma geometria a partir de negações do
postulado das paralelas, ao lado dos outros postulados de Euclides.

8. Foi necessário esperar até ao século XIX para que Karl Friedrich
Gauss, Janos Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich Lobachevski
conseguissem demonstrar que se trata efectivamente de um
axioma, necessário e independente dos outros. Supuseram que o
postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros
axiomas:
 Por um ponto exterior a uma recta, podemos traçar uma infinidade de
paralelas a esta recta (geometria deLobachevski);
 Por um ponto exterior a uma recta não podemos traçar nenhuma
paralela a esta recta (geometria de Riemann).
Todos se deram então conta de que, substituindo o axioma das
paralelas, era possível construir duas geometrias diferentes da
geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduziam a
nenhuma contradição.

9. Apesar de serem dificilmente concebíveis, estas duas novas
geometrias foram a pouco e pouco reconhecidas como alternativas
legítimas. Chegou-se mesmo a demonstrar que, se qualquer das duas
pudesse apresentar alguma contradição, a própria geometria euclidiana
seria também contraditória. Desde então, encontramo-nos perante três
sistemas geométricos diferentes:
 A geometria euclidiana, por vezes também chamada parabólica;
 A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica;
 A geometria do Riemann, também chamada elíptica ou esférica.
As duas últimas recebem o nome de geometrias não euclidianas. Estas
novas geometrias permitiram às ciências exatas do século XX uma
série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade
de Einstein (1879 - 1955). O que permitiu provar que essas teorias, ao
contrário do que muitos afirmavam, tinham realmente aplicações
práticas.

10. INFLUENCIADOS POR EUCLIDES
A obra de Euclides também influenciou cientistas posteriores a ele,
Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Galileu Galilei e Sir Isaac
Newton. Os matemáticos e filósofos: Bertrand Russel, Alfred North
Whitehead e Baruch Spinoza, tentaram criar seus próprios
“elementos” fundamentais de suas respectivas disciplinas, adotando
as estruturas dedutivas axiomáticas introduzidas pela obra de
Euclides.

11. CONCLUSÃO
Podemos evidenciar também que Euclides compilou todo conhecimento
geométrico existente em sua época de uma forma axiomática, lógica e
até didática. Utilizou-se de conhecimentos pré-existentes já
demonstrados adequando-os a uma linha lógica de pensamentos
matemáticos, mas também demonstrou vários teoremas visando uma
maior consistência lógica. Com efeito, hoje, não apresentam a
geometria como um mero agrupamento de dados desconexos, mas
antes como um sistema lógico.
De fato, o trabalho executado por Euclides nos apresenta uma visão
Platônica e Aristotélica. Ele era mais Platônico quando formulava
proposições cujos encadeamentos mentais eram suficientes para
evidenciar a verdade e era mais Aristotélico quando, por necessidade
ou por sistema, construía diagramas que tornavam a verdade (mais)
acessível.

12. Outra consequência dos Elementos de Euclides foi, devido ao 5º
postulado, a Geometria Não-Euclidiana, que é dividida em duas:
Geometria de Lobachevski (a hiperbólica) e -Geometria de Riemann
(a elíptica ou esférica).
Nos deixando assim nos tempos atuais diante de três tipos de
Geometrias:
 A geometria euclidiana, por vezes também chamada parabólica;
 A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica;
 A geometria do Riemann, também chamada elíptica ou esférica

13. BIBLIOGRAFIA
 www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/euclides.html
 www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/elementoseuclid
es.htm
 www.ime.unicamp.br/~eliane/ma241/trabalhos/euclides.pdf
 www.prof2000.pt/users/amma/af18/t1/t1.htm
 www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/v
eiculos_de_comunicacao/RPM/RPM45/RPM45_01.PDF
 http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/postulado
euclides.htm