Lições tomo i - vol. i - 28 mar 2013 com remissivo revisto
1.
2. LIÇÕES
DE
CÁLCULO
POLIÁDICO
TOMO I - ÁLGEBRA
VOLUME I
por
Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri
Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto
Furnas Centrais Elétricas SA
Centro Tecnológico de Engenharia Civil – DCT.C
Goiânia (GO) – Brasil
2008
4. III
À minha amada esposa, principal vítima da minha paixão descomedida,
Leila Maria;
e aos nossos resignados filhos (e meus netos),
Heloísa (Eiki, Kaito, Naoki), Renê, Elysio (Lucas e Paula), Marisa (João
Antônio e João Luis), Fabiano, Carolina (Eduarda), Galileo, Carla e Viviane,
com algum remorso pelos sacrifícios impostos.
À
ESCOLA DE MINAS DE OURO PRETO ...
onde, em 1876, floresceu a engenharia mineral nas Minas Gerais e no Brasil;
outrora a mais brilhante estrela na flâmula nacional da minha imaginação;
cujo "Anexo", saudoso, foi o credor do meu despertar consciente pela ciência;
cuja severa e eficaz filosofia de ensino, herdada da escola francesa de Gorceix e sustentada
pela vontade de D. Pedro II, desvanecendo-se paulatinamente, sucumbiu ingenuamente aos
93 anos.
Ao entusiasta, dinâmico e companheiro incomparável,
Prof. Dr. Walter José von Krüger (in memorian)
com admiração, respeito e gratidão pelo apoio incondicional na empreitada desse meu
trabalho idealista.
5. IV
GRATIDÃO
Ao meu ex-professor e amigo Dr. Antônio Moreira Calaes (in memorian), Professor
Emérito da UFOP, pelo incentivo e pela ajuda financeira no desenvolvimento desta
primeira fase do Projeto Poliádico, iniciado em abril de 1992. Ao Prof. Dr. Jerzy Tadeuz
Sielawa (ITA, INPE, EFEI), pelas oportunidades que tivemos para troca de opiniões e
informações relativas às aplicações do Cálculo Diádico. Aos professores do Departamento
de Geologia da UFOP: Dr. Antônio Gomes de Araújo, Dr. Fernando Flecha de Alkimim e
Dr. Issamu Endo pelo apoio concedido quando do início dos trabalhos de edição desse texto
(durante o ano de 1992) através do Laboratório de Computação Científica desse
Departamento. Aos meus colaboradores diretos nos primórdios dessa edição, universitário
Elysio G. Ruggeri e Eng. Renê G. Ruggeri, pelas inúmeras ajudas concedidas.
Aos empresários, presidentes e/ou diretores que, sem exigirem retorno ou
contrapartida para as suas empresas, simplesmente doaram o essencial em prol do ensino da
engenharia e da geração de conhecimento científico ... para o bem comum. Por tanta
generosidade e para que sejam sempre lembradas, deixo aqui registrados os nomes das
seguintes empresas: SAMITRI - Sociedade Anônima de Minerações Trindade, SAMARCO
Mineração S. A., MBR - Minerações Brasileiras Reunidas S. A., Mineração MORRO
VELHO S. A., CBMM - Companhia Brasileira de Mineração e Metalurgia, CST - Cia.
Siderúrgica de Tubarão, MAGNESITA S. A., ACESITA - Aços Especiais Itabira S. A.,
Grupo PARANAPANEMA e USIMINAS – Usinas Siderúrgicas de Minas Gerais S. A..
À FUNDAÇÃO GORCEIX - interveniente neste trabalho entre os anos 1992 e 2000
- na pessoa do seu Conselheiro-Diretor e ex-professor catedrático da antiga ESCOLA DE
MINAS de OURO PRETO, Dr. Walter José von Krüger.
Ao CENTRO TECNOLÓGICO DE ENGENHARIA CIVIL de FURNAS
CENTRAIS ELÉTRICAS S.A. pela acolhida generosa à minha causa (desde março de
2001), por ter propiciado a continuidade da redação desta obra (que se desenvolve desde
abril de 1992), por ter aberto espaço para pesquisas experimentais em seus conceituados
laboratórios e por procurar viabilizar aplicações de matérias deste Tomo I ao campo prático
da engenharia.
Goiânia, novembro de 2008.
E. Ruggeri
6. V
APRESENTAÇÃO
O Autor desta obra magnífica e pioneira em termos dos avanços da Matemática
Aplicada, - o Engenheiro e Ex-Professor Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri - foi distinto
ex-aluno e proficiente auxiliar meu nas múltiplas atividades da Cátedra de que fui titular -
Geometria Analítica e disciplinas afins (Cálculo Vetorial - Cálculo Matricial - Geometria
Descritiva - Geometria Projetiva e Nomografia); e ainda, quando Estudante, nos idos de
1970, colaborou destacadamente na organização e instalação do C.P.D. da Escola de Minas
de Ouro Preto, iniciativa de minha autoria.
Mas prestou, também, eficiente e valiosa colaboração naquela mesma Escola (onde
havia se formado recentemente), nas atividades pertinentes de outras Cátedras, v. g. Física,
Resistência dos Materiais, Teoria de Estruturas etc.
Entretanto, seus pesados encargos familiares e injustos embaraços burocráticos
(estes mais onerosos com a criação da UFOP) tornaram impraticável, lamentavelmente, sua
permanência no quadro de docentes da Escola de Minas de Ouro Preto. Eis que, então, o
autor torna-se um engenheiro da construção pesada e desempenha esta função por vários
anos. Alem de construtor de estradas de rodagem e metrôs, foi, em especial, um construtor
de barragens; intitulava-se, parece-me que com certo orgulho, um "barrageiro".
A atual publicação desta obra, de tão importante valia técno-científica, é fiel
testemunho do quanto poderia o seu ilustre Autor ter proporcionado à renomada E.M.O.P.,
em termos do enriquecimento didático-científico de suas atividades.
Ademais há que se ressaltar a clareza, metodicidade e objetividade com que o Autor
soube ater-se na relação dos tópicos pertinentes dessa obra.
Obra tão meritória, oxalá produza frutos ubérrimos na Literatura Científica
Brasileira.
E ao seu autor uma consagração, ainda que tardia! ...
Belo Horizonte (MG), agosto de 2005.
Antônio Moreira Calaes
Professor Emérito
Universidade Federal de Ouro Preto
7. VI
PREFÁCIO
Algum filósofo já disse que toda matemática que explica não é integralmente
verdadeira, pois tem um fundo de inverdade. Portanto, essa nossa matemática pode ser
profana, embora pareça que, tendo-a como ponto de partida, comecemos a perceber
intuitivamente, mas ainda bem de longe e um pouco difusamente, alguns aspectos do
sublime maravilhoso, do inexplicável. Tão profana deve ser essa nossa matemática que,
com ela, somos suficientemente francos para nos declarar, de forma algo arrogante e pouco
habilidosa, um cientista empírico-analista. Essa postura é, talvez, uma condição necessária
para a conquista da ciência, podendo ter, eventualmente, algum valor num prelúdio a
alguma sapiência.
Estas "Lições" tenta atender as necessidades da ciência dos fatos; deve, pois, agradar
a maioria dos leitores que, como nós, estão comprometidos com o entendimento de fatos
concretos. Do ponto de vista didático, tudo aqui foi escrito com a finalidade de satisfazer
aos interessados e aplicados alunos dos cursos de graduação em Engenharia, Física e
Matemática (Aplicada).
Preferimos correr o risco de, eventualmente, levar à exaustão o leitor mais exigente e
mais preparado. Despreocupamo-nos, com efeito, com a extravagância da síntese, com a
compacidade do texto, com a violência do rigor lógico, tão apreciados pelos matemáticos,
mas que desalentam os noviços por não permitirem em geral o entendimento fácil e rápido.
Porfiamos o entendimento de conceitos eventualmente banais; conclamamos o leitor,
repetidas vezes, em benefício da inteligibilidade fácil do texto, à revisão de conceitos
emitidos a poucas e a muitas páginas atrás. Esmiuçamos. Isto talvez justifique certa
prolixidade do texto, mas esperamos não levar o leitor ao enfado.
A matéria é desenvolvida com o objetivo de atender à Física básica (a relativista e a
quântica excluídas),
da qual consideramos fazer parte a Geometria (de Euclides). Pois se o leitor observar que,
nesta Física, todas as grandezas conhecidas, sem exceção, são grandezas inerentes a P
direções, com P (finito) = 0, 1, 2, ..., - isso é, a nenhuma direção (P = 0), caso das grandezas
escalares; a uma direção (P = 1), caso das grandezas vetoriais; a pares de direções (P = 2),
caso das grandezas tensoriais de ordem 2 etc. - verá inicialmente que a entidade matemática
aqui criada e denominada "poliádico", inerente a várias direções (caso em que ela se dirá
de "valência P"), tem a missão específica de expressar matematicamente uma feição da
natureza. Se com essas entidades, das mais diferentes valências, definirmos adequadamente
certas operações (montando assim uma álgebra, tema desse tomo), o leitor concluirá que
realmente atingimos o objetivo pretendido.
Restará, apenas, discutir as vantagens dessas concepções (em grande maioria,
devidas a Gibbs) em relação às portentosas matemáticas ora existentes (Cálculo Tensorial e
Álgebra Linear) utilizadas eficazmente com a mesma finalidade à custa de generalidade e
aridez exacerbadas.
8. VII
O leitor certamente está familiarizado com o Cálculo Vetorial estudado nos cursos
de graduação em Engenharia, pois esse cálculo é básico para o estudo da Mecânica
Racional e do Eletromagnetismo. Possivelmente experimentou certo desconforto - uma
quebra de harmonia no desenvolvimento matemático da teoria - com a introdução do tensor
de inércia (de ordem 2) no estudo da dinâmica do corpo rígido uma vez que os seus
conhecimentos não iam alem dos vetores (tensores de ordem 1). Pelo mesmo motivo, o
mesmo desconforto pode ter sido experimentado com a introdução dos tensores de tensão
(de ordem 2), de deformação (de ordem 2) e o das constantes elásticas (de ordem 4) nas
relações tensão/deformação estudadas na Teoria da Elasticidade; ou, até, quando da
introdução do tensor viscoso das tensões na Mecânica dos Fluidos.
O leitor eventualmente replicará as questões colocadas, mas sucumbirão
irremediavelmente os seus argumentos, pois tudo depende da complexidade do problema
que se propõe estudar num curso de Engenharia. Afinal, os problemas de engenharia vão
desde o levantamento de uma simples parede de tijolos até a complexa análise do
desempenho (funcional, seguro, econômico, estético e ambiental) dos mais variados
materiais (sólidos ou fluidos, naturais ou artificiais) componentes dos mais diferentes
elementos dos engenhos, das artes e da própria natureza. O Cálculo Poliádico estabelece
certamente um suporte adequado, na medida necessária, para atender às necessidades dos
estudiosos dos problemas gradualmente complexos em engenharia. Com outros termos,
afirmamos seguramente que
o Cálculo Poliádico, bem dosado, faz-se necessário nos cursos de graduação em
Engenharia, apenas porque a heurística é uma propriedade da alma do engenheiro.
Montamos essa obra procurando auto-suficiência de conteúdo e manutenção de
uniformidade de procedimentos, nomenclatura e notação. Procuramos sempre dar
continuidade na exposição, do particular para o geral, criando, assim, uma estrutura
organizada em todos os níveis de necessidade, de forma que cada novo assunto lançado
tivesse como pré-requisito a familiaridade com assuntos expostos anteriormente. Isso exigiu
incluir nessa obra tudo o que fosse essencial do Cálculo Vetorial clássico.
No Cap. I- VETORES - estendemos o conceito clássico de sistema de vetores
recíprocos (do espaço tridimensional) ao conjunto dos vetores de direção comum (de um
espaço unidimensional) e de plano comum (de um espaço bidimensional). Abordando o
assunto seqüencialmente (sempre do particular para o geral), tivemos a surpresa de ter
conseguido uma exposição estruturalmente original, de ter encontrado uma nova dedução
da fórmula do duplo produto vetorial (§ 03.03) e a dedução de identidades (§ 05.02 e §
05.03) que generalizam as clássicas de Fibonacci e Lagrange (da Álgebra Superior).
Notável, ainda, é a relação entre os sistemas de vetores recíprocos e os grupos ortocêntricos
de pontos (§ 03.02 e § 03.03). Dificilmente tudo isso teria sido revelado sem a força dos
vetores recíprocos.
Estruturamos grande parte do Cap. II - DIÁDICOS - (até ao § 09) suportados pelos
sistemas de vetores recíprocos; dai em diante criamos os espaços diádicos (de até 9
dimensões), as bases diádicas e os sistemas de diádicos recíprocos, perseguindo
insistentemente certa "linha melódica" promissora em generalizações (no Cap. IV do
volume II). Algumas fórmulas e alguns diádicos, não referidos por Gibbs e seus seguidores,
9. VIII
são aqui apresentados pela primeira vez; desempenharão um importante papel no capítulo
seguinte. A dupla multiplicação pontuada de diádicos sugeriu a introdução de uma nova
operação com matrizes (§09.11), ampliada mais à frente (no §06.02 do Cap. IV do volume
II) para atender aos novos avanços. Por igual motivo foi necessário criar também novas
operações com os diádicos de um espaço diádico (§’s 11 a 13), algo isomórficas de algumas
operações com os vetores, bem como ampliar adequadamente o conceito de permutador
(§14).
Exceto pelo fato de termos que atender necessidades matemáticas de ordens
estrutural e lógica, não nos consideramos satisfeitos com a utilidade prática dos assuntos
tratados no final desse capítulo II (§ 10 em diante). Pensemos fisicamente por um instante.
É certamente trivial para o leitor que qualquer força dada ao acaso possa ser uma
combinação linear de (não mais que) três outras forças independentes, escolhidas
arbitrariamente (já que estas formariam uma base de referência de forças). Então, a
matemática desenvolvida no final deste capítulo sugere, intuitivamente, que deva ser válida
a seguinte proposição: qualquer tensão, dada ao acaso (dentre todas as tensões suportadas
por um corpo físico), deve ser uma combinação linear de nove outras tensões independentes
(na verdade, seis, por questão de simetria) escolhidas arbitrariamente (desde que estas
formassem uma base de referência de tensões). Mas isto possivelmente não é trivial para o
leitor; além disso, contrariamente ao caso das forças, ele pode nem sequer conhecer a
utilidade prática da proposição. Mas não julga o leitor, por outro lado, que essa questão, no
seu aspecto físico mais geral, merece ser judiciosamente respondida? Não acha também, de
imediato, que esses conceitos podem ser estendidos - até com certa facilidade - para as
demais grandezas (de outras ordens) existentes na Física? Não será isso ... prático, útil?
A criação (algébrica) do espaço diádico e a introdução dos conceitos de norma,
módulo e ângulo de diádicos sugeriram associar a esse espaço “idéias geométricas
primárias” sobre as quais se pudesse erigir uma autêntica geometria euclidiana de até nove
dimensões, como uma extensão da geometria de três dimensões. Isto foi esboçado nos §’s
10.03 a 10.05 e §11.02. No §15 estudamos as projeções no espaço diádico e no § 16
esboçamos uma ligeira introdução à Geometria Analítica desse espaço. A partir disso fica
estabelecida uma Geometria Euclidiana N-dimensional para ser usada na física dos
problemas envolvendo grandezas diádicas (ou tensoriais de ordem dois); na Teoria da
Elasticidade, por exemplo.
No Cap. III - GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR - apresentamos
uma definição de tensor de ordem 2 (§02), preparando uma generalização a ser feita no
capítulo seguinte (Cap. IV do volume II). Buscamos, com mudança de bases, sistemas
convenientes (de bases vetoriais recíprocas) de representação de um diádico e de estudo de
uma transformação linear (TL); estudamos, então, os elementos característicos dos diádicos
(§03). Isto nos leva às reduções canônicas dos diádicos (§04) e a uma descrição das TL's
por essas reduções (§05). Percorrendo essa trilha natural, o diádico de rotação (que rege a
clássica transformação geométrica das figuras por rotação) aparece vinculado e como um
caso particular de uma rotação mais geral denominada elíptica, esta regida por um diádico
cíclico. Assim, alguns teoremas clássicos relativos a produto de rotações circulares tornam-
se corolários de teoremas mais gerais relativos a produtos de rotações elípticas (§06.03).
Por esse capítulo, sempre apoiados numa interpretação geométrica, entendemos, ainda, ter
"quebrado o tabu das bases ortonormadas". De fato, mostramos, em definitivo, de uma
forma simples e elegante, que a análise dos problemas físicos em bases quaisquer apresenta
10. IX
o mesmo grau de facilidade (ou de dificuldade) que em relação a qualquer outra base
particular. Visto também, por outro lado (§04 e §05,I), que as bases ortonormadas nem
sempre simplificam cálculos, nem sempre são convenientes e nem sempre são necessárias,
concluímos que a adoção rotineira de bases quaisquer é a forma mais elegante, a mais
lógica, e, principalmente, a mais segura de tratar os problemas (físicos ou geométricos).
Isto, entretanto, não implica que as bases ortonormadas devam sempre ser rejeitadas;
apenas que sejam utilizadas quando naturalmente necessárias. Com efeito, é o que
comprovamos no estudo das rotações circulares (§06), no estudo da redução normal e da
decomposição polar de um diádico completo (§07), de extrema utilidade em mecânica de
materiais. O leitor arguto certamente já terá pensado em estender esses conceitos aos
poliádicos em geral (assunto do Cap. IV do volume II) mas, certamente, tal como nós,
estará interessado na sua utilidade prática. Parece-nos que, ainda por um bom tempo,
deveremos insistir em estudos para responder a essas colocações.
A utilidade desta matéria é inquestionável. As aplicações serão expostas futuramente
em volume a parte, acompanhadas de um resumo dos conceitos, operações e principais
fórmulas. Algumas aplicações aqui expostas, dispensáveis numa primeira leitura, foram
dispostas entre o sinal onde começam e o sinal onde terminam.
Os que estiverem acostumados ao cálculo tensorial perceberão as diferenças de
estilo e certamente não hesitarão em migrar para o estilo simples e elegante do poliádico,
especialmente porque neste não se apela necessariamente para qualquer sistema de
referência. Os métodos poliádicos são estritamente geométricos.
Para o cientista empírico-analista esta nova abordagem pode gerar certo fascínio por
questões ainda não abordadas classicamente, como pequenos mistérios. Na pior das
hipóteses buscaremos um maior e melhor entendimento de “problemas já colocados” dentro
da Física Linear (e da Geometria) de que, em geral, nos valemos em Física Aplicada e
Engenharia. Mas poderemos dar, também, um passo interessante em direção à formulação
da Física Não Linear do futuro cujas leis poderão ser certamente expressas de uma forma
elegante e compacta pelos métodos poliádicos do presente, generalíssimos, abundantes e de
generosa simplicidade matemática frente a tanta complexidade física.
Complexidade física é a regra em muitas das ciências das quais se valem os
engenheiros, dentre outras: a Geologia Estrutural, a Geofísica, a Mecânica dos Meios
Porosos, o Cálculo das Estruturas, a Mecânica das Rochas e dos Solos, a Física dos
Cristais, a Ciência dos Materiais, o Eletromagnetismo etc., cujas bases vêm sendo
magistralmente unificadas, desde a segunda metade do século XX, na Física dos Meios
Contínuos. Disciplina desconhecida, o Cálculo Poliádico desponta como uma das mais úteis
e simples ferramentas de trabalho na Física Aplicada e na Engenharia. Idealizado por Gibbs
por volta de 1890, é um cálculo mais geral, tão geometrizado quanto o Cálculo Vetorial
clássico que, parece, foi adaptado à Física, entre 1870 e 1900, por Gibbs e Heaviside, das
obras de Hamilton e Grassman1. É, ainda, esse Cálculo Poliádico menos abstrato e bem
menos algebrizado que o seu parente um pouco mais jovem, o Cálculo Tensorial (de Ricci e
1 Segundo Crowe, M. J., A History of Vector Analysis, Dover, 1967: 1) - Grassmann, H. G., Die
Ausdehnungslehere, Berlin, 1844; 2) – Hamilton, W. R., Lectures on Quaternions, 1848 (os quaterniuos foram
descobertos em 1843).
11. X
Civita) que vem adquirindo as suas feições em partes específicas. O Cálculo Poliádico é o
Cálculo Tensorial exposto em bases geométricas, com estrutura própria e na medida certa
para a abordagem de problemas de engenharia.
... E isso basta para justificar a canonização de, pelo menos, os Elementos de
Cálculo Poliádico nos cursos de Engenharia ..., mas de engenharia de concepção e
desenvolvimento de engenhos, ... aquela engenharia pura, judiciosamente temperada com
economia, funcionalidade, segurança, ecologia e arte.
Goiânia (GO), outubro de 2008
E. R. F. Ruggeri
12. XI
CONVENÇÕES
NUMERAÇÕES DIVERSAS
Os capítulos, numerados seqüencialmente em romano, são compostos por parágrafos
e estes por subparágrafos numerados seqüencialmente em arábico (como §01, ou §03.01).
As páginas são numeradas seqüencialmente, em arábico, por capítulo.
As figuras são numeradas seqüencialmente dentro de cada parágrafo e de cada
capítulo. Assim, Fig. 02.03 significa a terceira figura dentro do § 02 do capítulo onde foi
feita essa referência (podendo existir figuras com o mesmo número em diversos capítulos).
A referência Fig. 02.03, III, feita em qualquer capítulo que não o III, é relativa à terceira
figura do § 02 do capítulo III.
As fórmulas são numeradas seqüencialmente, em arábico, dentro de cada parágrafo
ou subparágrafo, conforme as conveniências; esses números são dispostos entre parênteses.
Quando derivam diretamente de uma mesma fórmula (a matriz), são representadas com o
mesmo número desta, acompanhado de um subíndice; assim (021) é o número de uma
fórmula que deriva de (02), como pode ser encontrado no §02.04 do Cap. I.
Um conjunto de fórmulas pode ter um mesmo número (ver, por exemplo, as
fórmulas (09) do §02.02 do Cap. I). Como regra, imaginando-as numeradas mentalmente da
esquerda para a direita, ou de cima para baixo, na seqüência 1,2,..., a referência à fórmula
de ordem N do conjunto a que pertence será feita indicando o número N, como sub-índice,
à direita e externamente aos parênteses que envolvam o número do conjunto. Assim, a
citação (09)1 no texto é, apenas, uma referência à primeira fórmula do conjunto (09) e não
representará número de nenhuma fórmula especificamente; isso é, (09)1 e (091) têm
significados totalmente distintos.
CITAÇÕES E REFERÊNCIAS
Durante a leitura do texto o leitor será ajudado relativamente à localização de
conceitos, fórmulas, figuras etc. que estejam sendo referidas ou citadas; isto será feito com
a indicação entre parênteses, do parágrafo ou subparágrafo onde se encontre o referido
conceito, ou fórmula, ou assunto. Assim, por exemplo, ((02)3, § 03.02, II) representa: a
terceira fórmula do grupo de fórmulas (02), apresentada no segundo subparágrafo do § 03
do Cap. II. As referências, ou apelos, a fórmulas, conceitos etc. contidas dentro do capítulo
em que se faz a referência serão desprovidas da indicação do capítulo.
ABREVIATURAS
CNS - Condição necessária e suficiente (CsNsSs para o plural), pagina 15.
EN - Espaço vetorial euclidiano N dimensional, paginas 47, 59.
Teor. - Teorema, pagina 22.
Corol. - Corolário, pagina 23.
Propr. - Propriedade, pagina 19.
nsn - Não simultaneamente nulo, pagina 30.
Min - Mínimo, menor, pagina 419.
Med - Médio, pagina 419.
Max - Máximo, maior, pagina 419.
sen, cos, tg - linhas trigonométricas circulares, paginas 11, 14.
13. XII
SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS
SÍMBOLOS REPRESENTAÇÃO TOM PÁGINA
Xi, Yj, A, B,
Números, variáveis numéricas, funções de valor
numérico, coordenadas de pontos e de vetores.
Natural 3,11,20
A o Vetor nulo Negrito 3
L u, v, ei ,ei, Vetores (sem seta) Negrito 3,11,14,17
F ab, aiei Díade, diádicos em forma N-nomial Negrito 72,78
A ...,ˆˆ,ˆ jiv Vetor e díade unitários Negrito 3,86
B I Operador de Argand (ver rodapé da página 129) Natural 129
E M Diádico de Moreira Negrito 96
T I J K Z, , , Operadores diádicos especiais Negrito 129
O Pau( , ) Par de diádicos de Pauly Natural 142
{e*} Base vetorial definida pelos vetores e1, e2, e3 Negrito 47
L
A
T
I
N
O
A Diádicos em geral Negrito 73,109
L ), ), ... Planos: Natural 91
F Diádico unidade, poliádico unidade Negrito 86
A Diádico nulo Negrito 86
B (i,) Diádico de rotação (de eixo iˆ e ângulo ) Negrito 356
E Diádico de mudança de base Negrito 298
T Diádico ciclotônico Negrito 357
O i
j, i
j Deltas de Kronecker Natural 49
ij, ijk, ijk Alternadores, ou Permutadores Natural 50
G Diádico cisalhante Negrito 362,365
R kˆ Diádico de Argand Negrito 129
E
G {*} Base diádica definida por diádicos 1, 2, ... Negrito 224
O
14. XIII
SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS
(Símbolos especiais envolvendo ou não letras latinas e gregas)
Todos os índices e todos os sinais constantes desta tabela são representados ao natural
SÍMBOLO REPRESENTAÇÃO PÁGINA
. Multiplicação escalar ou pontuada 11
Multiplicação vetorial ou cruzada 14
: Dupla multiplicação escalar ou pontuada 134
Dupla multiplicação vetorial ou cruzada 134
.
Dupla multiplicação mista 134
. Dupla multiplicação mista 134
~
Adjunto (sobre-índice) 165
e * Símbolos que substituem . e . 134
Aproximadamente igual 322
Idêntico 70
[ ] Matriz 183
Det[A] Determinante da matriz A 229
| | Módulo, determinante 2,17
|| || Norma 158
{ } Base, matriz coluna 47,186
E, V Escalar e vetor do diádico 80
(x , y) Ângulo ou plano dos vetores x e y 12,15
(xyz), () Produto misto dos vetores x, y e z ou diádicos , e . 18,261
, , ,... Símbolos usuais da Teoria dos Conjuntos 7,23
A Texto B O texto é hipótese nos dois sentidos 24,30,40
|| , Paralelismo e perpendicularidade 15,12
Diádico cíclico 354
T
Transposto ou conjugado do diádico 76
Adjunto do diádico 165
-1
Inverso ou recíproco do diádico 166
P Principal do diádico 168
2 Segundo do diádico 167
3 Terceiro do diádico 82
Hom() Homológico do diádico 96
l(x) Função linear vetorial do vetor x 70
< ... > Produto cruzado dos diádicos , , ..., 248
( ... ) Produto misto dos diádicos , , ..., 261
Cn
p
Combinações de n objetos tomados p a p 223, 243
EN Espaço de vetores, de dimensão N (N=1, ou 2, ou 3) 47
2
EG Espaço de diádicos, de dimensão G (G N2
) 224
15. XIV
SUMÁRIO
GRATIDÃO .....................................................................................................................................................IV
APRESENTAÇÃO............................................................................................................................................ V
PREFÁCIO.......................................................................................................................................................VI
CONVENÇÕES................................................................................................................................................XI
SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS........................................................................................................XII
CAPÍTULO I
VETORES
§ 01 - VETOR..................................................................................................................................................... 1
§ 01.01 - Definição, notação.............................................................................................................. 1
§ 01.02 - Igualdade vetorial. .............................................................................................................. 3
§ 01.03 - Alguns tipos de vetores....................................................................................................... 3
§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores.................................................................... 3
§ 01.05 - O uso dos vetores em Física. .............................................................................................. 4
§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES............................................................................... 5
§ 02.01 - Adição de vetores. .............................................................................................................. 6
Soma de vetores. .............................................................................................................. 6
Propriedades da adição..................................................................................................... 7
§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real.............................................................................. 8
Produto de vetor por número real. .................................................................................... 8
Propriedades da multiplicação de vetor por número real.................................................. 8
§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória....................................................... 10
§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. .............................................................................. 11
Produto escalar............................................................................................................... 11
Propriedades da multiplicação escalar............................................................................ 11
Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores. ............................................ 13
§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. ............................................................................. 14
Produto Vetorial............................................................................................................. 14
Propriedades da multiplicação vetorial........................................................................... 14
Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores. ........................................... 16
Identidade de Lagrange. ................................................................................................. 17
§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores................................................................................... 18
Produto misto................................................................................................................. 18
Propriedades da multiplicação mista. ............................................................................. 18
Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais. ................................................. 20
§ 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS. ................................................................................. 21
§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos............................................................................................... 22
Inversão na reta. ............................................................................................................. 22
Construção gráfica de vetores recíprocos na reta............................................................ 22
O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta...................................... 23
Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta............................................................ 24
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares............................................................................................ 25
Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano. ................................................................ 25
Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano....................................................... 26
Grupo Ortocêntrico no plano.......................................................................................... 26
Propriedade fundamental de pares recíprocos. ............................................................... 27
Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares........................................................ 27
O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos.................................. 29
Vetores término colineares............................................................................................. 31
Varias formas de equação da reta (no plano).................................................................. 32
A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano)....................................... 33
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. .................................................................................... 34
Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço. ......................................................... 34
16. XV
Construção gráfica de sistemas recíprocos no espaço..................................................... 35
Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos........................................................... 36
Dupla multiplicação vetorial (no espaço). ...................................................................... 37
Generalização da identidade vetorial de Lagrange. ........................................................ 37
O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos.............................. 39
O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores. .................................................................. 41
Vetores término coplanares............................................................................................ 43
Várias formas de equação de um plano. ......................................................................... 44
A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço)..................................... 45
§ 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS............................................................................ 46
§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas............................................................................... 46
Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos............................................... 48
§ 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores. ............................................................................... 49
Similarmente comprovaríamos que................................................................................ 51
Produtos de Deltas de Kronecker. .................................................................................. 51
Produto de permutadores................................................................................................ 51
§ 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos........................................................... 52
§ 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de vetores recíprocos......................... 55
§ 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos........................................................................ 59
§ 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES.............................................................................................. 59
§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN.............................................................................. 59
§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante................................................. 62
§ 05.03 - Generalização de identidades clássicas............................................................................. 64
§ 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS. .......................................................... 67
BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................................. 68
CAPÍTULO II
DIÁDICOS
§ 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E DE VALOR VETOR........................ 69
§ 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. ...................................... 72
§ 02.01- Definições e notações. ....................................................................................................... 72
§ 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos paralelos.......................................... 73
§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. ................................................................... 73
Propriedades................................................................................................................... 74
§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L.. ............................................................................. 75
§ 02.05 - Transposição diádica. ....................................................................................................... 76
§ 02.06- Igualdade de diádicos. ....................................................................................................... 77
§ 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos. ......................................................................... 78
O motivo de um diádico................................................................................................. 79
Casos de igualdade......................................................................................................... 79
§ 02.08- Invariantes primários de um diádico.................................................................................. 80
O escalar e o vetor.......................................................................................................... 80
O terceiro. ...................................................................................................................... 82
§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto................................................................. 85
Diádico unidade. ............................................................................................................ 86
Diádicos opostos ............................................................................................................ 88
§ 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS..................................................................................... 89
§ 03.01 - Definições e propriedades gerais. ..................................................................................... 89
§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares...................................................................... 94
Propriedades................................................................................................................... 96
§ 03.03 - Diádicos de Moreira. ........................................................................................................ 96
Quadrângulo associado. ................................................................................................. 96
Quadrângulos transpostos............................................................................................... 98
§ 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS....................................................................................................................... 99
§ 04.01 - Definição e propriedades. ................................................................................................. 99
Propriedades................................................................................................................... 99
§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva......................................... 101
17. XVI
§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS. ............................................................................. 107
§ 05.01- Definição e propriedades. ................................................................................................ 107
Propriedades................................................................................................................. 107
§ 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro........................................................................ 110
Propriedades:................................................................................................................ 111
§ 05.03 - Terceiro e transposto de um produto............................................................................... 112
§ 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos................................................. 113
Exceções. ..................................................................................................................... 114
Produto nulo de diádicos não nulos.............................................................................. 117
§ 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR. ........................................................ 121
§ 06.01 - Definições e propriedades............................................................................................... 121
Propriedades................................................................................................................. 121
§ 06.02- Fórmulas notáveis............................................................................................................ 124
§ 06.03 - Escalar e vetor de r..................................................................................................... 125
§ 06.04 - Simetrias e anti-simetrias................................................................................................ 126
§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand............................................................ 127
Interpretação geométrica do diádico de Argand. .......................................................... 128
Potências do diádico de Argand. .................................................................................. 129
Generalizações. ............................................................................................................ 131
§ 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS............................................................................................................ 134
§ 07.01 - Definições e propriedades............................................................................................... 134
Propriedades................................................................................................................. 137
§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. ......................................................................................... 140
Duplo produto nulo de diádicos não nulos. .................................................................. 141
Diádicos de Pauly......................................................................................................... 142
Diádicos ortogonais...................................................................................................... 144
Diádicos paralelos. ....................................................................................................... 145
§ 07.03 - Invariância...................................................................................................................... 146
§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos......................................................................... 147
§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. ..................................... 153
§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos............................................................. 154
Dupla multiplicação mista de três diádicos. ................................................................. 155
Propriedades................................................................................................................. 156
§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos. .................................................... 158
§ 08 - SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL. ........................................................................ 165
§ 08.01 - Definições e principais propriedades. ............................................................................. 165
Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo).................................. 169
§ 08.02 - Invariância e invariantes................................................................................................. 171
§ 08.03 - Propriedades formais...................................................................................................... 171
§ 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo)....................................................... 176
Casos particulares......................................................................................................... 177
§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia................. 177
§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira.................................................................... 179
§ 09 - REDUÇÃO N2
-NOMIAL OU CARTESIANA. ................................................................................... 180
§ 09.01 - Definições....................................................................................................................... 180
§ 09.02 - Matriz associada a um diádico........................................................................................ 182
Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos .............................................................. 187
§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas ................................................... 187
Tábua de multiplicação de matrizes associadas a diádico............................................. 188
§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana.................................................................. 189
§ 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana......................................................................... 191
§ 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana............................................................. 191
Expressões matriciais de ......................................................................................... 192
Expressões matriciais de Ia e a.............................................................................. 192
§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). ........................................................... 193
Quádrica centrada......................................................................................................... 196
§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana........................................................................... 198
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.............................. 200
Propriedades Gerais...................................................................................................... 201
Caracterização dos diádicos lineares. ........................................................................... 202
18. XVII
Caracterização dos ortolineares:................................................................................... 203
Caracterização dos planares. ........................................................................................ 204
Caracterização dos uniplanares e dos unilineares ......................................................... 205
Caracterização dos ortoplanares. .................................................................................. 206
Os diádicos antitriangulares e sua caracterização......................................................... 207
§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares............................ 210
§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. ........................................................................ 215
§ 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS......................................................................................... 217
§ 10.01 - Espaço diádico................................................................................................................ 217
Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos...................................................... 218
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas............................... 223
Decomposição cartesiana de diádico em base diádica.................................................. 226
Diádico posicional........................................................................................................ 227
Bases diádicas recíprocas............................................................................................. 229
Constituição de bases. .................................................................................................. 231
Matrizes colunas associadas a diádicos (com um único índice).................................... 232
Bases no espaço diádico simétrico. .............................................................................. 233
Bases no espaço diádico anti-simétrico. ....................................................................... 235
Bases diádicas ortonormadas........................................................................................ 237
§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico............................................................. 238
Biflechas ...................................................................................................................... 238
Independência de pontos e bases.................................................................................. 239
União e interseção de espaços. ..................................................................................... 239
Graus de liberdade de um espaço diádico..................................................................... 241
§ 10.04 – Ordem no espaço diádico............................................................................................... 242
§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. ...................................................................................... 243
Direção e orientação..................................................................................................... 243
Pontos impróprios (ou no infinito). .............................................................................. 243
Extensão de conceitos. ................................................................................................. 244
O paralelotopo.............................................................................................................. 245
Multiplicações múltiplas com diádicos de um espaço G-dimensional.......................... 246
§ 11 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA. PERPENDICULARIDADES..................................... 246
§ 11.01 – Multiplicação cruzada múltipla...................................................................................... 246
Identidades notáveis..................................................................................................... 251
§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico............................................................................ 255
Ângulo de dois espaços................................................................................................ 256
Ortotopos...................................................................................................................... 256
§ 12 – DUPLA MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA DE G DIÁDICOS......................................... 256
§ 13 – MULTIPLICAÇÃO MÚLTIPLA MISTA DE G DIÁDICOS. ............................................................ 261
Propriedades................................................................................................................. 263
Produto misto de nove diádicos, dados em forma cartesiana........................................ 269
Produto misto de diádicos simétricos e anti-simétricos, dados em forma
cartesiana........................................................................................................ 270
§ 14 - PERMUTADOR A VÁRIOS ÍNDICES............................................................................................... 270
§ 15 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DIÁDICO. .............................................................................................. 275
Projeção qualquer......................................................................................................... 275
Projeção paralela.......................................................................................................... 276
§ 16 – NOTAS SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO DIÁDICO. ....................................... 277
§ 16.01 – Espaços opostos nos simplex. ........................................................................................ 278
§ 16.02 - Baricentros. .................................................................................................................... 279
Definições. ................................................................................................................... 279
Bimedianas e medianas. ............................................................................................... 280
§ 16.03 - Equações de espaços....................................................................................................... 282
Várias formas de equação de uma reta. ........................................................................ 282
Várias formas de equação de um plano. ....................................................................... 283
Várias formas de equação de um 3-espaço................................................................... 284
Várias formas de equação de um espaço qualquer........................................................ 286
§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica................................................................................. 287
§ 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas, superfícies................................ 288
BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 289
19. XVIII
CAPÍTULO III
GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
§ 01 - TL, PROPRIEDADES, APLICAÇÃO NUMÉRICA............................................................................ 291
§ 01.01 - Recordando conceitos e especificando uma TL. ............................................................. 291
§ 01.02 - Propriedades fundamentais............................................................................................. 292
§ 01.03 - Aplicação numérica........................................................................................................ 295
§ 02 - MUDANÇA DE BASE. TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE............................................ 299
§ 02.01 - Diádicos de mudança de base. ........................................................................................ 299
§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares..................................................... 300
Propriedades dos diádicos e das transformações similares. .......................................... 301
§ 02.03 - Matriz de mudança de base............................................................................................. 305
§ 02.04 - Transformações das coordenadas por uma mudança de base. Matrizes similares.
Tensores clássicos.............................................................................................. 307
Transformação de coordenadas de vetores. .................................................................. 307
Transformação das coordenadas de diádicos................................................................ 308
§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos................................................................. 311
Diádicos com simetria externa em relação a um plano................................................. 312
Pesquisa de sistemas convenientes de representação.................................................... 314
§ 03 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE DIÁDICOS........................................................................ 314
§ 03.01 - Polinômio mínimo.......................................................................................................... 314
§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico................................................ 318
§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. .................................. 321
Diádicos com autovalores nulos................................................................................... 327
§ 03.04 - Outros exemplos numéricos............................................................................................ 330
§ 04 - FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS DIÁDICOS. ............................................................... 332
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC............................................... 332
§ 04.01,A - Autovalores imaginários............................................................................................. 332
Caso de diádicos uniplanares........................................................................................ 336
Caso de diádico anti-simétrico ..................................................................................... 336
Outras reduções............................................................................................................ 337
§ 04.01,B - Autovalores reais. Redução Tônica ou espectral. ........................................................ 338
Elementos característicos de diádicos simétricos. ........................................................ 340
Tônicos associados a uma homologia........................................................................... 343
§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C................................................ 344
Diádicos simétricos ...................................................................................................... 346
§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C.................................................... 347
§ 05 - DESCRIÇÃO DAS TL'S PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS............................................................ 349
§ 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis....................................................................... 350
§ 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis................................................................ 351
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*
+M(bb*
+cc*
)+N(cb*
-bc*
)...................................................... 352
Diádico cíclico. Rotação elíptica.................................................................................. 352
Diádico ciclotônico. ..................................................................................................... 358
Auto-similaridade dos ciclotônicos. ............................................................................. 359
§ 05.02,B - TL regida por: =Aaa*
+B(bb*
+cc*
)+Bcb*
................................................................. 362
Cisalhamento simples. Diádico cisalhante.................................................................... 362
§ 05.02,C - TL regida pelo : =ab*
+bc*
,........................................................................................ 365
§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos.................................................... 366
§ 06 – ROTAÇÕES (ELÍPTICAS E CIRCULARES). ................................................................................... 368
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. ............................................................ 368
Caracterização dos cíclicos e rotores............................................................................ 374
Generalização de conceitos clássicos. .......................................................................... 376
§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias....................................................................................... 378
§ 06.03 - Composição de rotações (elípticas e circulares).............................................................. 379
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.............................................. 379
Cíclicos e rotores biquadrantais.................................................................................... 379
Produto de biquadrantais.............................................................................................. 382
20. XIX
Biquadrantais cujo produto é um tônico de escalar -1. ................................................. 384
Expressão cartesiana para ......................................................................................... 385
Biquadrantais cujo produto é tônico de escalar +3. ...................................................... 387
Produto de biquadrantais em que o autovetor de cada fator é paralelo ao eixo
do outro.......................................................................................................... 388
Representação cartesiana de um cíclico produto de biquadrantais................................ 391
Fatoração de cíclicos e rotores...................................................................................... 393
Rotações (elípticas e circulares) de pequenos ângulos.................................................. 399
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. ....................................... 400
Raízes K-ésimas do diádico unidade............................................................................ 401
Potências de expoente inteiro de um cíclico................................................................. 402
Representação do cíclico em série de Mac Laurin........................................................ 404
Expressão do anti-simétrico A em função do cíclico.................................................... 406
Rotor, vetor semitangente e diádico anti-simétrico associados..................................... 407
Expressão de um rotor em função do vetor semi-tangente de rotação. ......................... 408
Diádico de rotação e diádico de Argand associados. .................................................... 408
§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. ........................................................ 411
§ 07 - REDUÇÃO NORMAL DO DIÁDICO COMPLETO. DECOMPOSIÇÃO POLAR............................ 413
§ 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições............................................................................... 413
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. ........................................................................... 415
§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura....................................................................................... 427
Diádico reto e deformação de um corpo....................................................................... 428
§ 07.04 - Decomposição polar. ...................................................................................................... 429
§ 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos............................................. 432
APÊNDICE..................................................................................................................................................... 435
BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 440
VOLUME II (deste Tomo I)
Capítulo IV - Poliádicos
Capítulo V - Poliádicos complexos
TOMO II
Capítulo VI - Análise Poliádica
Capítulo VII - Campos de poliádicos
23. Poliádicos - Ruggeri
CAPÍTULO I
VETORES
§ 01 - VETOR.
§ 01.01 - Definição, notação.
A reta da Geometria pode ser percorrida em dois sentidos pelo seu ponto corrente.
Um desses sentidos, arbitrariamente escolhido, é denominado sentido positivo; o outro,
sentido negativo. Diz-se, então, quando se fixa esse sentido, que se orientou a reta; esta
passa, assim, a denominar-se eixo ou reta orientada.
Dados dois pontos A e B de um eixo, o conjunto dos pontos A e B, e dos infinitos
pontos compreendidos entre A e B denomina-se segmento orientado AB e representa-se
por AB; A e B denominam-se, respectivamente, a origem e a extremidade do segmento
orientado; e o sentido de A para B, o seu sentido.
Os pontos, de um modo geral, são determinados sobre os eixos pelos segmentos
orientados que cada um define com um ponto fixo O, arbitrariamente escolhido sobre o
mesmo e fixado, por convenção, como origem desses segmentos. Com a introdução da
origem, o eixo fica dividido em dois semi-eixos: um positivo e um negativo, cujos sentidos
são concordantes, respectivamente, com os sentidos positivo e negativo do eixo (Fig.
01.01)2.
Postula-se, como fez Descartes, a existência de uma correspondência biunívoca entre
as distâncias da origem a pontos do semi-eixo positivo e do negativo, respectivamente, com
os conjuntos dos números reais, positivos e negativos. A distância, positiva ou negativa, de
um ponto qualquer A à origem O é denominada abscissa do ponto; e o segmento OA
segmento-posição; diz-se, assim, que o ponto é dado, analiticamente, por sua abscissa; ou,
geometricamente, por seu segmento-posição. Escreve-se: OA = A e lê-se: a abscissa do
ponto A é A (A um número real, positivo ou negativo, não acompanhado de nenhuma
unidade de medida).
Na prática, visualizamos questões conceituais através de gráficos e figuras. Para
construí-los a primeira providência é a fixação de uma escala. Escolhemos, arbitrariamente,
2Veja o critério de numeração das figuras dentro da seção "Convenções".
24. 2
Poliádicos - Ruggeri
um segmento orientado OU com origem coincidente com a origem O dos semi-eixos de um
eixo (Fig. 01.02), com a extremidade U sobre o semi-eixo positivo e com a abscissa U
fixada, por convenção, como 1. Qualquer outro ponto, A, a ser concretizado sobre o eixo,
com uma abscissa dada A, deve ser marcado de forma a que OA =A OU , assinalando-se A
sobre o semi-eixo positivo se A>0; ou sobre o semi-eixo negativo se A<0. O segmento OU
é denominado unidade de medida de segmentos; a abscissa A é dita, também, a medida
algébrica de OA em relação a OU .
Consideremos, agora, dois pontos, A e B, de um eixo e o segmento orientado AB
por eles definido. A medida algébrica do segmento orientado AB é o número real puro
(não acompanhado de nenhuma unidade de medida) obtido como a diferença entre as
abscissas de sua extremidade e sua origem, nessa ordem, multiplicado por OU ; escreve-se,
então:
OU)AB(AB , (01)3,
independentemente da origem O, para qualquer unidade de medida. Resulta logo que se AB
tem sentido coincidente com o do eixo, sua medida algébrica é um número real positivo,
pois B>A; se não, esta medida é número negativo. O número real positivo puro,
representado por |B-A| OU , denomina-se o módulo do segmento orientado AB. Logo (01)
pode ser escrita na forma
OU|AB|AB , (02),
onde o sinal é positivo ou negativo conforme o sentido do segmento orientado seja
concordante ou não com o do eixo.
Ora, em Geometria Euclidiana, um feixe de retas paralelas tem em comum a mesma
direção; e qualquer reta do feixe pode ser uma representante do mesmo numa
concretização. Então, orientar uma reta é operação equivalente a orientar uma direção; e
toda proposição válida para segmentos orientados de uma reta orientada de um feixe, é
válida, igualmente, para as demais retas do feixe.
Diz-se que dois segmentos orientados são eqüipolentes se têm a mesma direção
(pertencem a um mesmo feixe) e a mesma medida algébrica (isso é, o mesmo sentido e o
mesmo módulo). Os segmentos orientados eqüipolentes (de um mesmo feixe de retas
paralelas) denominam-se vetores livres (do feixe); a diferentes feixes estão associados,
então, diferentes vetores livres.
3 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções".
25. § 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores. 3
Poliádicos - Ruggeri
Aos vetores livres estendem-se todas as definições relativas aos segmentos
orientados que lhes correspondem: origem, extremidade, sentido, direção, módulo etc.
O vetor é representado pelo par de letras relativas à sua origem e à sua extremidade,
nessa ordem, encimadas por uma pequena flecha: AB , por exemplo. É também
representado, com muita freqüência, por letra minúscula do alfabeto latino encimada por
flecha. Em Mecânica é comum o uso da notação de Grassmann: ABAB , justificando-se
esta notação com a introdução da operação de adição de um vetor AB com um ponto A,
cujo resultado (a soma) é o ponto B. Desse ponto de vista, o ponto A seria transportado pelo
vetor AB até o ponto B, o que justifica a nomenclatura: a palavra vetor provém da palavra
latina vehere que significa transportar.
Doravante os números reais e os pontos serão denotados, na maioria das vezes, pelas
letras latinas maiúsculas, eventualmente indexadas: A1, A1
, B2
, etc. Os vetores serão
denotados pelas letras latinas minúsculas em negrito, sem a clássica seta; e seus módulos,
por estas mesmas letras dispostas entre duas barras verticais: |u|, |v| etc.
§ 01.02 - Igualdade vetorial.
Diz-se que dois vetores u e v são iguais ou eqüipolentes e escreve-se: u=v (ler: u
igual a v), quando são eqüipolentes a um mesmo segmento orientado de um mesmo feixe;
isso é, quando têm um mesmo módulo, uma mesma direção e um mesmo sentido.
§ 01.03 - Alguns tipos de vetores.
Dois vetores são ditos paralelos ou colineares quando têm a mesma direção. Assim
dois vetores iguais são sempre paralelos. Dois vetores u e v são ditos opostos quando,
paralelos, têm o mesmo módulo e sentidos opostos; escreve-se u v v u ou . Vetores
coplanares são aqueles paralelos a um mesmo plano; dois vetores são, pois, sempre
coplanares.
Vetor nulo é o vetor de módulo zero; escreve-se u=o e lê-se: o vetor u é igual a zero.
Graficamente o vetor nulo tem a sua origem coincidente com a sua extremidade. Por
convenção, o vetor nulo faz um ângulo qualquer com qualquer vetor, com qualquer plano e
seu sentido é qualquer.
Vetor unitário é o vetor de módulo igual a um; é utilizado geralmente para
especificar uma direção e representado por uma letra encimada por um acento circunflexo:
v .
§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores.
Para sintetizar um pouco o desenvolvimento da teoria dos vetores, e por reconhecer
a sua origem geométrica, estenderemos aos mesmos os conceitos de perpendicularidade,
projeção etc., como em Geometria Elementar. Deve ser observado, entretanto, que não é
necessário lançar mão de toda a Geometria para se fazer a teoria dos vetores. Pelo contrário,
basta o estabelecimento dos conceitos mais elementares de Geometria, como os de:
ângulos, retas perpendiculares e paralelas, figuras planas de segunda categoria (linhas
quebradas, polígonos, teoremas fundamentais da geometria do triângulo, do quadrilátero, da
circunferência) para estarmos prontos para utilizar os vetores no desenvolvimento dessa
mesma Geometria. A rigor, entretanto, pretendendo-se aplicar conceitos vetoriais à
Geometria, é necessário estabelecer um encadeamento lógico dedutivo de conceitos e
26. § 01.05 - O uso dos vetores em Física. 4
Poliádicos - Ruggeri
propriedades. Com efeito, pois, do contrário, correr-se-ia um sério risco de deduzir
propriedades a partir de outras ainda não demonstradas ou, até, de deduzir uma propriedade
a partir de outras cujas validades dependem necessariamente da primeira.
Deve ser considerado, também, que a Matemática sempre requer concisão, precisão
e economia de pensamento; isso é, não é de índole matemática a utilização de um "aparato
pesado" para a dedução de resultados que poderiam ser obtidos com "aparatos leves". Por
exemplo, como demonstrar que as mediatrizes de um triângulo têm ponto comum, de um
modo mais simples que o da Geometria Elementar? Por outro lado, montando-se um
aparato com o objetivo de estudar questões mais avançadas, nada impede que, de passagem,
se possam deduzir propriedades elementares. Assim, por exemplo, poderíamos resolver o
problema proposto das mediatrizes do triângulo pela Geometria Analítica; solução esta que
não é tão simples quanto a da Geometria Elementar, mas que também é independente dos
métodos elementares.
Finalmente, deve ser considerado que o Cálculo Vetorial é formulado hoje
praticamente nos mesmos moldes como GIBBS o formulou há pouco mais de 100 anos [1]4
com vistas à sua utilização na carente Física-Matemática da sua época e com vistas à sua
utilização em Geometria. As necessidades da Física-Matemática, por outro lado, parecem
ter forçado um estudo mais vetorial da Geometria Diferencial onde, indubitavelmente, os
métodos vetoriais são expressivos.
Em resumo: parece-nos que o uso metódico da Álgebra Vetorial em Geometria
Elementar requer desta Álgebra uma estruturação diferente da clássica, mais adequada à
finalidade visada. Seguiremos, aproximadamente, a apresentação clássica porque não nos
interessa aqui um desenvolvimento específico para a Geometria Elementar.
§ 01.05 - O uso dos vetores em Física.
4 Veja também os clássicos "Scientific Papers" de Gibbs.
A Física é desenvolvida sobre o conceito de grandeza, ou seja, de entidades que
participam dos fenômenos físicos e que são mensuráveis. Medições são necessárias para
atender necessidades práticas relacionadas com os conceitos de maior, menor, muito,
pouco, alto, baixo, forte, fraco etc., conceitos que exigem, logicamente, uma referência.
Criam-se, então, as unidades de medidas como o metro, o quilograma força, o segundo etc..
O desenvolvimento da Física através do tempo mostrou a necessidade de se
expressarem matematicamente as suas grandezas. Em vista das diferentes naturezas destas,
criaram-se diferentes entidades matemáticas para representá-las. Assim, as grandezas
denominadas escalares são representadas simplesmente por um número real acompanhado
de uma unidade de medida (escala); são exemplos: uma distância, uma temperatura etc.
Outras grandezas, inerentes a uma direção e um sentido sobre esta, puderam ser
representadas por vetores e foram denominadas grandezas vetoriais; são exemplos: força,
velocidade, aceleração etc. Existem outras grandezas, inerentes a mais de uma direção, que
serão apresentadas mais à frente.
Vejamos como foi possível a representação das grandezas vetoriais pelos vetores.
Ora, sendo a grandeza vetorial inerente a uma direção podemos imaginar um vetor
cuja direção seja paralela à direção da grandeza e com um sentido arbitrado. Façamos,
agora, corresponder a intensidade dessa grandeza, acompanhada da sua unidade de medida,
com o módulo do vetor a definir. Se, finalmente, associamos a esse conjunto o sinal + ou -
conforme o sentido da grandeza coincida ou não com o sentido arbitrado para o vetor,
27. § 02 - Operações fundamentais com vetores. 5
Poliádicos - Ruggeri
poderemos dizer que essa entidade abstrata, o vetor, assim definido, representa aquela
grandeza. Interessando a construção de um gráfico basta escolher uma escala. Assim,
quando se diz, em Física: "seja f a força que atua sobre o corpo...", todas as considerações
geométricas e físicas feitas neste § 01 ficam subentendidas, para felicidade do leitor. Nos
parágrafos seguintes definiremos operações com os vetores destacando, quando
conveniente, o seu significado em Física.
O conceito de igualdade de vetores (§ 01.02)5 é exclusivamente algébrico-
geométrico e não físico, isso é, se um vetor representa uma força e um outro vetor uma
velocidade, não faz sentido analisar a igualdade desses vetores porque essas grandezas são
de naturezas diferentes. De outra forma, diríamos: dois vetores podem ser paralelos, ter os
mesmos módulos e os mesmos sentidos e não fazer sentido a sua igualdade porque
representam grandezas diferentes. Os tipos de vetores já criados (§ 01.03) têm também
correspondência na Física na forma dos conceitos físicos: velocidades opostas, forças
paralelas, força nula, velocidade unitária etc. Analogamente, os conceitos geométricos
estendidos aos vetores (§ 01.04) são também assimiláveis em Física; falamos, pois, em
forças que fazem certo ângulo, vetor velocidade tangente à trajetória etc. Esse é o modo
mais simples de contemplar-se o uso dos vetores em Física.
5O leitor será ajudado na leitura deste livro com a indicação, entre parênteses, do parágrafo onde se encontra o
conceito ou o assunto em referência.
O entendimento de certos fenômenos físicos, algo complexos, por outro lado, exigiu
a criação de entidades matemáticas bem mais complexas que, numa situação limite - isso é,
numa particular condição - representassem também os vetores elementares. No espaço
físico em que ocorrem tais fenômenos, figuras geométricas como segmentos de reta,
porções de plano, poliedros, por exemplo, só existem nas "vizinhanças de um ponto". Isto
significa, em outros termos, que os vetores só existem no espaço vizinho (nas
proximidades) de um ponto. Mas o que será essa "vizinhança", nesse espaço eventualmente
estranho? Por acaso, nesse espaço, as retas e os planos se empenam quando um pouco
distantes desse ponto? Por acaso, nesse espaço, o critério de medida de distâncias muda de
um ponto para um outro "um pouco afastado"? Neste capítulo o leitor encontrará não mais
que uma teoria elementar dos vetores, montada de um ponto de vista superior, respigada de
pistas para uma generalização futura de operações e conceitos de utilidade prática em
Física.
§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES.
São sobejamente conhecidas as utilidades geométricas e físicas ordinárias dessas
operações (veja a bibliografia). Interessa registrá-las aqui, como referência, para facilitar o
desenvolvimento dos capítulos seguintes e tornar a obra auto-suficiente.
Suporemos em relação a tudo o que será desenvolvido a seguir, que os módulos de
dois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmento
unidade (de medida de distâncias) comum aos respectivos eixos (| xˆ |=1 e | yˆ |=1). Não
obstante, estaremos interessados em conseguir resultados com segmentos quaisquer de
comparação (ex e ey); passo a passo conseguiremos esse intento.
28. § 02.01 - Adição de vetores.. 6
Poliádicos - Ruggeri
§ 02.01 - Adição de vetores.
Soma de vetores.
Dados dois vetores u e v, chama-se soma de u com v, e representa-se por u+v (ler: u
mais v), o vetor s tal que, dispostos u e v consecutivamente nessa ordem no espaço, a sua
origem seja a origem de u e a sua extremidade a extremidade de v. Escreve-se: s=u+v,
lendo-se: s é igual a u mais v.
A adição de dois vetores é a operação que tenha por fim determinar a sua soma.
Provemos que ela é unívoca. Disponhamos dois vetores quaisquer, u e v,
consecutivamente em ordens inversas, a partir de um ponto qualquer do espaço; sejam s e s'
os vetores somas em cada caso. Os triângulos formados por esses vetores, num caso e
noutro, são iguais, o que acarreta s = s' já que s e s' têm o mesmo módulo, a mesma direção
e o mesmo sentido.
Graficamente, o vetor s, co-inicial com dois vetores a somar, u e v, e cuja
extremidade seja a diagonal do paralelogramo construído sobre u e v, é o vetor soma de u
com v. Esse processo de obtenção do vetor soma costuma ser designado como "regra do
paralelogramo" (Fig. 02.01), sendo já conhecido dos gregos antigos para compor
velocidades e forças.
A adição se estende a vários vetores, bastando ordená-los e convencionar que a soma
de vários vetores é obtida somando o terceiro com a soma dos dois primeiros, e assim
sucessivamente. Escreve-se, então: s u v w [( ) ] ... .
A operação é sempre possível porque é sempre possível dispor consecutivamente
vetores diversos no espaço. A soma de vetores obtém-se como a "linha de fechamento"
da poligonal reversa cujos lados sejam os vetores parcela na soma a ser determinada,
conforme esquematizado na Fig. 02.02.
29. § 02.01 - Adição de vetores.. 7
Poliádicos - Ruggeri
Do ponto de vista físico a adição só tem sentido para vetores representantes de uma
mesma grandeza física (medidas com a mesma unidade de medida). Com efeito, faria
sentido somar força com velocidade?
Outra observação se faz necessária. Sempre que recorremos a uma representação
gráfica, supomos mentalmente que esta seja feita com certa escala (o segmento unidade é o
mesmo para os eixos orientados de todos os vetores envolvidos). Geralmente, entretanto,
essas figuras são feitas apenas para orientar e ordenar o raciocínio uma vez que a sua
correta construção poderia ser extremamente trabalhosa. Assim, por exemplo, o cálculo do
vetor soma de dois outros, dados os seus módulos, sentidos e ângulos de suas direções,
pode ser feito com muito mais simplicidade, rapidez e precisão com o uso da Trigonometria
e calculadoras de bolso, do que graficamente; supõe-se, obviamente, se esses vetores
representam grandezas, que as unidades de medida (de grandezas) que acompanham os seus
módulos sejam as mesmas.
Propriedades da adição.
1ª) - É operação associativa:
a b c, , : ( ) ( )a b c a b c , (01)6,
o que é evidente;
2ª) - É operação comutativa:
a b, : a b b a , (02),
o que também é evidente, pela definição de soma;
3ª) - Adição com o vetor zero:
a: a o a , (03).
Com efeito, pondo aMN tem-se, obviamente, pela definição: MNMN NN ; logo,
tem-se (03), pois, oNN . Observando-se, ainda, que MNMMMN e que, por (02),
MMNMMN , tem-se oMM . Resulta, então, que NN , MM , etc. são iguais ao vetor
nulo, isso é, o vetor nulo é único.
4ª) - Adição com vetores opostos:
a: a a o ( ) , (04).
Pondo-se aMN , resulta que o vetor NM é oposto a a, porque ambos têm o mesmo
módulo, a mesma direção e sentidos opostos. Logo: o NMMN , isso é, a a o ( ) .
6 Usaremos, oportunamente, a simbologia da teoria dos conjuntos (veja a lista de "Notações Gerais").
5ª) - Subtração de vetores:
Chama-se diferença de dois vetores u e v, nessa ordem, e se denota por u-v
(ler: u menos v), o vetor d tal, que
d u v u v ( ).
30. § 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. 8
Poliádicos - Ruggeri
A subtração é a operação que tem por fim determinar a diferença de vetores. Esta
operação, sempre possível e unívoca, é extensível a vários vetores. É operação inversa da
adição. Ademais:
a) u u u o: ;
b) graficamente, d u v obtém-se como a diagonal do paralelogramo construído
sobre os vetores co-iniciais u e v, a origem de d sendo a extremidade do subtraendo (Fig.
02.03).
§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real.
Produto de vetor por número real.
Chama-se produto de um vetor v por um número real M e se indica por Mv (que se
lê: M vezes v), o vetor u de mesma direção que v (logo, paralelo a v), mesmo sentido que v
se M>0 e sentido contrário se M<0, e cujo módulo valha |M||v|; escreve-se, então:
vu M .
A multiplicação de vetor por número real é a operação que tenha por fim
determinar o produto do vetor pelo número real7.
Propriedades da multiplicação de vetor por número real.
1ª) - É sempre possível e unívoca;
2ª) - O produto de qualquer vetor pelo número 1 é o próprio vetor:
1v v , (05),
o que é evidente;
3ª) - A multiplicação é associativa em relação a fatores numéricos,
A B AB( ) ( ) ,v v (06).
7 Gibbs deu a essa operação o nome de multiplicação escalar.
31. § 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. 9
Poliádicos - Ruggeri
Pondo Bv = w, tem-se: A(Bv) = Aw = r. Ora, r tem a mesma direção de v porque r e
v têm a mesma direção de w. O sentido de r é o mesmo de w se A>0, ou o sentido contrário
se A<0. Mas w tem o mesmo sentido de v se B>0, ou o sentido contrário, se B<0. Logo, r
terá o mesmo sentido de v se A e B forem de mesmo sinal e sentido contrário se A e B
forem de sinais contrários. O módulo de r vale |A||B||v|. O vetor do segundo membro de
(06) tem precisamente as mesmas características de r, isso é, tem a mesma direção que v, o
módulo |AB||v| = |A||B||v|, o mesmo sentido de r se A e B tem o mesmo sinal e sentido
contrário ao de r se A e B têm sinais contrários;
4ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de números:
( ...) ...,A B A B v v v (07).
Demonstraremos a propriedade por indução. Que a propriedade é válida para dois
números A e B é fácil provar, bastando considerar: 1) - que os vetores (A+B)v, Av e Bv
são paralelos quaisquer que sejam os sinais de A e B; 2) - que |Av+Bv| = |A+B||v|, donde a
igualdade dos módulos; 3) - que (A+B)|v| = A|v|+B|v|, donde a igualdade dos sinais dos
vetores (A+B)v e Av+Bv.
Suponhamos que a propriedade seja válida para N números, isso é,
( ) ... .A B ... N A B N v v v v Pondo A+B+...+N = X e somando Yv a ambos os
membros da igualdade anterior, temos: X Y A B N Yv v v v v v ... . Como, por
hipótese, a propriedade é válida para dois números reais, temos X Y X Yv v v ( ) , isso
é, ( ) ... ,A B ... N Y A B N Y v v v v v e a propriedade é válida para um número
qualquer de parcelas dentro dos parênteses;
5ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de vetores,
A A A( ...) ...,u v u v (08),
Dispondo-se consecutivamente os vetores u, v, ..., a partir de um ponto arbitrário, O,
(Fig. 02.04), obtém-se com o vetor s=u+v+... uma poligonal fechada, que será homotética,
de intensidade A, da poligonal (também fechada) formada pelos vetores Au, Av, ... e seu
vetor soma As, isso é, A A As u v ... . Logo, tem-se (08).
A multiplicação de vetor por número real segue as leis da multiplicação numérica,
valendo as seguintes fórmulas:
32. § 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. 10
Poliádicos - Ruggeri
A,B, , , ,...:a b v
A
A A ou
A A
.o o
.a o
a o a o
a a
,
,
,
( ) ,
0
0
( ) ,
( ) ,
( ) ,
A A
A A A
A B A B
a a
a b a b
a a a
||/ˆ vvv (09).
Demonstraremos apenas a fórmula (09)1
8. De (08) temos, para u = v = o, A(o+o) =
Ao+Ao. Considerando (03) com a = o, subtraindo Ao de ambos os membros dessa
igualdade e agrupando convenientemente no segundo membro, temos:
A A A A Ao o o o o ( ).
Considerando (04) e a definição de diferença de vetores, deduzimos: o o o A , donde,
novamente considerando (03), Ao=o.
8 Veja o critério de referência a uma fórmula de um conjunto de fórmulas na seção "Convenções".
•
Suponhamos que o vetor v representasse a grandeza física aceleração, expressa em
m/s2. Em vista de (09)8 escreveríamos: vvv ˆ)(m/s|| 2
. Essa expressão de v destaca,
através de v , a direção e o sentido (sobre esta) inerentes à grandeza; e através de
| |( / )v m s2
o seu módulo (sua intensidade) e unidade de medida. Na prática, geralmente,
omitimos a unidade de medida, deixando-a subentendida. Se, ainda, M estivesse
representando massa expressa em kg, então escreveríamos, aplicando (09)8 e (06):
| |( ) |( ),f f f a aunidade de M| kgm/ s 2
expressão que destaca, por f ou a , a direção e o sentido de f, e por M|a| (kgm/s2) a
intensidade e a unidade de medida de f (que é uma força). Repetimos: na prática, muitos
desses aspectos ficam subentendidos não devendo trazer confusão ao leitor.
§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória.
Sejam dados N vetores ei e N números reais Ai, i = 1, 2, ..., N. Com as operações
fundamentais estudadas nos parágrafos precedentes, está perfeitamente definido o vetor
N
N
2
2
1
1 A...AA eeea ;
diremos que a (eventualmente o vetor zero) é uma combinação linear dos vetores ei com
coeficientes Ai.
Para facilitar e sintetizar as deduções futuras com as combinações lineares vetoriais
podemos escrevê-las numa forma mais compacta com o estabelecimento da seguinte
convenção, denominada
33. § 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. 11
Poliádicos - Ruggeri
Convenção Somatória:
Toda expressão monômia, contendo índice(s) literal(is) repetido(s) em níveis
diferentes é equivalente à soma dos monômios que se obtêm da expressão
fazendo o(s) referido(s) índice(s) variar(em) dentro do(s) seu(s) campo(s),
previamente fixado(s).
Objetivando simplicidade e elegância para as expressões matemáticas, os índices são
representados geralmente por letras latinas minúsculas i, j, k, l etc. em tipos bem menores
do que as latinas normais do texto, precisamente do mesmo tamanho dos números que
indexam as letras na expressão indicada do vetor a. Assim, esta expressão pode ser posta na
forma sintética e simples:
a e A (i =1,2,...,N).
i
i ,
Do ponto de vista físico, uma combinação linear de vetores apresenta uma
particularidade que deve ser observada: todas as suas parcelas devem representar,
necessariamente, grandezas vetoriais da mesma espécie (com a mesma dimensão) que a
representada pelo vetor a. Assim, se este representar uma força, os vetores A1e1, A2e2 etc.
deverão também representar forças. Isto implica que os Ai sejam massas e os ei acelerações,
ou, eventualmente, que A1 seja massa, e1 aceleração, A2 carga elétrica, e2 campo elétrico
etc, para que A1e1, A2e2 etc. representem forças.
§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores.
Produto escalar.
Chama-se produto escalar de dois vetores x e y, e representa-se por x.y (ler: x
escalar y), o número real
x.y x y x y| || |cos( , ), (01)9.
A multiplicação escalar de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o
produto escalar desses vetores.
Obviamente, se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de x.y será o
produto das dimensões de x e de y. Assim, por exemplo, se x representa uma força e y um
deslocamento, x.y representa trabalho.
Propriedades da multiplicação escalar.
1ª) - É uma operação sempre possível e unívoca;
2ª) - (Interpretação Geométrica):
O produto escalar de dois vetores é numericamente igual ao produto do
módulo de um deles pela projeção ortogonal do outro sobre o suporte do
primeiro.
9 Gibbs deu a esse produto o nome de "direct product" e, embora usasse a mesma notação, lia "x dot y ".
34. § 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. 12
Poliádicos - Ruggeri
Pois, com efeito, temos, de (01):
yxyxyxx.y xproj||)],(cos|[||||| , (021)10,
onde projxy tem representação evidente, sendo um número real positivo, negativo ou nulo
conforme (x,y), o ângulo dos vetores x e y, seja agudo, obtuso ou reto, respectivamente.
Similarmente, poderíamos escrever:
x.y y x x y y xy | |[| |cos( , )] | | ,proj (022).
Resulta, logo:
x.y x y 0 , (03)11.
Se x.y=0, de (021) e (022) concluímos: 1º)- que ao menos um dos vetores é o vetor
nulo, caso em que eles são ortogonais (o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor,
inclusive a si próprio); 2º)- que é nula a projeção do outro vetor sobre o primeiro, isso é,
esses vetores são ortogonais. A recíproca se demonstra analogamente.
Se, porém, para todo y, x.y=0, então x=o, e reciprocamente:
y x.y x o: ,0 (04).
Com efeito, em (01) |y| e o ângulo (x,y) são quaisquer, o que acarreta |x|=0, isso é, x=o.
3ª) - Para quaisquer vetores x e y, a operação é comutativa:
x y x.y y.x, : , (05),
o que é evidente por (01).
4ª) - A operação é associativa em relação a fatores numéricos:
M M M M, , : ( ) ( ) ( ),x y x .y x.y x. y (06).
Observando-se que, se o ângulo de x com y é A, o ângulo de Mx com y é A se M>0
e -A se M<0, tem-se, de (01):
10 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções".
11 O símbolo representa ortogonalidade, conforme nossas "Notações Gerais".
( ) | || |cos( , ) | || |cos( , ) ( ).M M M M Mx .y x y x y x y x y x.y
A validade do terceiro membro de (06) pode ser comprovada analogamente.
5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:
x y z x y .z x.z y.z, , : ( ) , (07).
De (022) podemos escrever:
w.z z wz| |proj .
35. § 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. 13
Poliádicos - Ruggeri
Se, nessa igualdade, o vetor w é substituído por uma soma de vetores, o número projzw se
distribui em relação a essa soma, porque, conforme a Geometria, a projeção do vetor soma
é igual à soma algébrica das projeções dos vetores parcela, isso é,
( ) | | ( ) | |( ),x y .z z x y z x yz z z proj proj proj
tendo-se, logo, (07).
6ª) - Fazendo x=y em (01), temos o quadrado escalar ou norma do vetor x; a
raiz quadrada positiva da norma é, pois, o módulo do vetor x e escrevemos:
x.x x x.x 0, | | ; (x.x x o 0 ) (08).
Exercício:
a .x a xi
i
i
icom i G | | 0 12 0, ,... .
A dado conjunto {a1, a2, ..., aG} tal que, para certos xi, ai.xi=0, podemos fazer
corresponder o conjunto {b1, b2, ..., bG} tal que para todo i, ai +bi =xi . Então
( ) ( ) ( ) ( )a b .x x x xi i
i G... 1
2
2
2 2 0,
porque, por hipótese, ai.xi=0 e bi.xi=0. Logo, | | | |x x1 2 ... 0 .
A recíproca é de demonstração evidente.
Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores.
A multiplicação escalar segue as leis da multiplicação numérica, valendo as
seguintes fórmulas:
( ) ( )a b . x y a.x a.y b.x b.y
( ) ( ) ( )x y . x y x y x y x. y
2 2 2
2
( ) ( )x y . x y x y
2 2
etc., (09).
As demonstrações dessas fórmulas são simples, decorrendo imediatamente das
propriedades fundamentais.
De uma forma mais abrangente poderíamos escrever, lembrando a convenção
somatória (§ 02.03):
( ) ( ) ( ,2,..., ; ,2,..., ),A B A B i N j M
i
i
j
j
i j
i je . r e .r 1 1 (10),
expressão cujo segundo membro apresenta NxM parcelas porque é um monômio com dois
índices repetidos.
36. § 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. 14
Poliádicos - Ruggeri
§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores.
Produto Vetorial.
Chama-se produto vetorial dos vetores x e y, e se indica por xy (ler: x vec y), o
vetor ortogonal ao plano definido por x e y, tal que |xy| = |x||y|sen(x,y) e tal que o triedro
definido pelos vetores xy, x e y, nessa ordem, seja positivo (Fig. 02.05)12 .
A multiplicação vetorial de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o
produto vetorial desses vetores13.
Se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de xy será o produto das
dimensões de x e de y. Assim, se x é vetor posicional e y representar força, xy
representará um momento (que tem a mesma dimensão de trabalho).
Propriedades da multiplicação vetorial.
1ª) - É operação sempre possível e unívoca.
2ª) - (Interpretação geométrica):
O módulo do produto vetorial de dois vetores é numericamente equivalente à
área do paralelogramo construído sobre esses vetores.
Com efeito, pois se x e y são os vetores e se A é o ângulo formado por eles, então
|y|senA é (numericamente) a altura H do paralelogramo que tem |x| por base (Fig. 02.06).
12 Para se fixar o sentido de x y usamos a regra do observador. Imagina-se um observador com os pés na
origem comum dos vetores e com o corpo disposto no sentido de x y; se, estando esse observador voltado para o
interior do triedro x y, x, y, ele enxergar x à sua direita e y à sua esquerda, o triedro será direto.
13 Gibbs deu ao produto vetorial o nome de skew (ou cross) product, escrevia x y e lia x cross y.
37. § 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. 15
Poliádicos - Ruggeri
Sendo:
sen(A)|||||| yxyx , resulta: H|||| xyx ,
isso é, o módulo do produto vetorial é numericamente igual à área do paralelogramo que
tem x e y por lados.
Em razão desta interpretação geométrica o produto vetorial é usado em muitas
situações, na Física notadamente, como um "vetor-área", ou como um "elemento
paralelogrâmico" de área.
Deduzimos, logo:
Uma CNS para que dois vetores sejam paralelos é que o seu produto vetorial
seja o vetor zero:
yxoyx || , (01)14.
Se x×y=o, a área do paralelogramo construído sobre x e y é nula. Então, os vetores x
e y são paralelos, um deles, ou ambos, podendo ser o vetor zero (o vetor zero é paralelo a
qualquer vetor). A recíproca é evidente. Se x || y (um deles ou ambos podendo ser o vetor
zero), o ângulo (x,y) é o ângulo nulo; então sen(x,y)=0 e o módulo de yx é zero, ou seja,
oyx .
É óbvio que:
oxxx : , (011).
3ª) - A operação é anticomutativa, isso é,
xyyx , (02).
Com efeito, os vetores yx e xy têm o mesmo módulo, são ambos
perpendiculares ao plano definido por x e y (têm, pois, a mesma direção), mas têm sentidos
opostos. Logo yx e xy são iguais.
4ª) - A operação é associativa em relação a fatores escalares:
)M()(M)(M:,M, yxyxyxyx , (03).
De fato, independentemente de ser M>0 ou M<0 as direções dos vetores de ambos
os membros de (03) são a da normal ao plano de x e y e seus módulos são obviamente
iguais (porque são iguais o seno de um ângulo e o seno do suplemento desse ângulo).
Quanto ao sentido dos vetores, deve-se observar que se M>0 os sentidos dos vetores
yx )(M , M( yx ) e )M( yx são os mesmos, obviamente; se M<0, o sentido de Mx se
inverte e o sentido de yx )(M é contrário ao de yx que, por sua vez, terá seu sentido
invertido quando for multiplicado por M<0. Analogamente raciocinaríamos em relação aos
vetores )M( yx e yx .
14 O símbolo || representa paralelismo, conforme nossas "Notações Gerais".
