Licoes calculo-poliadico-tomo-1

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Licoes calculo-poliadico-tomo-1

  1. 1. Poliádicos - RuggeriLIÇÕESDECÁLCULOPOLIÁDICOTOMO I - ÁLGEBRAVOLUME IporElysio Roberto Figueiredo RuggeriEngenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro PretoFurnas Centrais Elétricas SACentro Tecnológico de Engenharia Civil – DCT.CGoiânia (GO) – Brasil2008
  2. 2. II© 2008 - Elysio R. F. RuggeriProjeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. RuggeriEditoração eletrônica: Elysio R. F. RuggeriCapa: Luciano Dalmiglio e Elysio R. F. RuggeriDados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte em cadapágina da reprodução.Contato com o autor:elysio.ruggeri@gmail.comRuggeri, Elysio Roberto Figueiredo.Lições de cálculo poliádico : tomo I, volume I, álgebra /Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed.do Autor, 2008.XX, 444 p.ISBN 978-85-907001-0-41. Análise tensorial. 2. Leis físicas lineares.3. Matemática aplicada. I. Título.CDU 514.742
  3. 3. IIIPoliádicos - RuggeriÀ minha amada esposa, principal vítima da minha paixão descomedida,Leila Maria;e aos nossos resignados filhos (e meus netos),Heloísa (Eiki, Kaito, Naoki), Renê, Elysio (Lucas e Paula), Marisa (JoãoAntônio e João Luis), Fabiano, Carolina (Eduarda), Galileo, Carla e Viviane,com algum remorso pelos sacrifícios impostos.ÀESCOLA DE MINAS DE OURO PRETO ...onde, em 1876, floresceu a engenharia mineral nas Minas Gerais e no Brasil;outrora a mais brilhante estrela na flâmula nacional da minha imaginação;cujo "Anexo", saudoso, foi o credor do meu despertar consciente pela ciência;cuja severa e eficaz filosofia de ensino, herdada da escola francesa de Gorceix e sustentadapela vontade de D. Pedro II, desvanecendo-se paulatinamente, sucumbiu ingenuamente aos93 anos.Ao entusiasta, dinâmico e companheiro incomparável,Prof. Dr. Walter José von Krüger (in memorian)com admiração, respeito e gratidão pelo apoio incondicional na empreitada desse meutrabalho idealista.
  4. 4. IVGRATIDÃOAo meu ex-professor e amigo Dr. Antônio Moreira Calaes (in memorian), ProfessorEmérito da UFOP, pelo incentivo e pela ajuda financeira no desenvolvimento destaprimeira fase do Projeto Poliádico, iniciado em abril de 1992. Ao Prof. Dr. Jerzy TadeuzSielawa (ITA, INPE, EFEI), pelas oportunidades que tivemos para troca de opiniões einformações relativas às aplicações do Cálculo Diádico. Aos professores do Departamentode Geologia da UFOP: Dr. Antônio Gomes de Araújo, Dr. Fernando Flecha de Alkimim eDr. Issamu Endo pelo apoio concedido quando do início dos trabalhos de edição desse texto(durante o ano de 1992) através do Laboratório de Computação Científica desseDepartamento. Aos meus colaboradores diretos nos primórdios dessa edição, universitárioElysio G. Ruggeri e Eng. Renê G. Ruggeri, pelas inúmeras ajudas concedidas.Aos empresários, presidentes e/ou diretores que, sem exigirem retorno oucontrapartida para as suas empresas, simplesmente doaram o essencial em prol do ensino daengenharia e da geração de conhecimento científico ... para o bem comum. Por tantagenerosidade e para que sejam sempre lembradas, deixo aqui registrados os nomes dasseguintes empresas: SAMITRI - Sociedade Anônima de Minerações Trindade, SAMARCOMineração S. A., MBR - Minerações Brasileiras Reunidas S. A., Mineração MORROVELHO S. A., CBMM - Companhia Brasileira de Mineração e Metalurgia, CST - Cia.Siderúrgica de Tubarão, MAGNESITA S. A., ACESITA - Aços Especiais Itabira S. A.,Grupo PARANAPANEMA e USIMINAS – Usinas Siderúrgicas de Minas Gerais S. A..À FUNDAÇÃO GORCEIX - interveniente neste trabalho entre os anos 1992 e 2000- na pessoa do seu Conselheiro-Diretor e ex-professor catedrático da antiga ESCOLA DEMINAS de OURO PRETO, Dr. Walter José von Krüger.Ao CENTRO TECNOLÓGICO DE ENGENHARIA CIVIL de FURNASCENTRAIS ELÉTRICAS S.A. pela acolhida generosa à minha causa (desde março de2001), por ter propiciado a continuidade da redação desta obra (que se desenvolve desdeabril de 1992), por ter aberto espaço para pesquisas experimentais em seus conceituadoslaboratórios e por procurar viabilizar aplicações de matérias deste Tomo I ao campo práticoda engenharia.Goiânia, novembro de 2008.E. Ruggeri
  5. 5. VPoliádicos - RuggeriAPRESENTAÇÃOO Autor desta obra magnífica e pioneira em termos dos avanços da MatemáticaAplicada, - o Engenheiro e Ex-Professor Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri - foi distintoex-aluno e proficiente auxiliar meu nas múltiplas atividades da Cátedra de que fui titular -Geometria Analítica e disciplinas afins (Cálculo Vetorial - Cálculo Matricial - GeometriaDescritiva - Geometria Projetiva e Nomografia); e ainda, quando Estudante, nos idos de1970, colaborou destacadamente na organização e instalação do C.P.D. da Escola de Minasde Ouro Preto, iniciativa de minha autoria.Mas prestou, também, eficiente e valiosa colaboração naquela mesma Escola (ondehavia se formado recentemente), nas atividades pertinentes de outras Cátedras, v. g. Física,Resistência dos Materiais, Teoria de Estruturas etc.Entretanto, seus pesados encargos familiares e injustos embaraços burocráticos(estes mais onerosos com a criação da UFOP) tornaram impraticável, lamentavelmente, suapermanência no quadro de docentes da Escola de Minas de Ouro Preto. Eis que, então, oautor torna-se um engenheiro da construção pesada e desempenha esta função por váriosanos. Alem de construtor de estradas de rodagem e metrôs, foi, em especial, um construtorde barragens; intitulava-se, parece-me que com certo orgulho, um "barrageiro".A atual publicação desta obra, de tão importante valia técno-científica, é fieltestemunho do quanto poderia o seu ilustre Autor ter proporcionado à renomada E.M.O.P.,em termos do enriquecimento didático-científico de suas atividades.Ademais há que se ressaltar a clareza, metodicidade e objetividade com que o Autorsoube ater-se na relação dos tópicos pertinentes dessa obra.Obra tão meritória, oxalá produza frutos ubérrimos na Literatura CientíficaBrasileira.E ao seu autor uma consagração, ainda que tardia! ...Belo Horizonte (MG), agosto de 2005.Antônio Moreira CalaesProfessor EméritoUniversidade Federal de Ouro Preto
  6. 6. VIPREFÁCIOAlgum filósofo já disse que toda matemática que explica não é integralmenteverdadeira, pois tem um fundo de inverdade. Portanto, essa nossa matemática pode serprofana, embora pareça que, tendo-a como ponto de partida, comecemos a perceberintuitivamente, mas ainda bem de longe e um pouco difusamente, alguns aspectos dosublime maravilhoso, do inexplicável. Tão profana deve ser essa nossa matemática que,com ela, somos suficientemente francos para nos declarar, de forma algo arrogante e poucohabilidosa, um cientista empírico-analista. Essa postura é, talvez, uma condição necessáriapara a conquista da ciência, podendo ter, eventualmente, algum valor num prelúdio aalguma sapiência.Estas "Lições" tenta atender as necessidades da ciência dos fatos; deve, pois, agradara maioria dos leitores que, como nós, estão comprometidos com o entendimento de fatosconcretos. Do ponto de vista didático, tudo aqui foi escrito com a finalidade de satisfazeraos interessados e aplicados alunos dos cursos de graduação em Engenharia, Física eMatemática (Aplicada).Preferimos correr o risco de, eventualmente, levar à exaustão o leitor mais exigente emais preparado. Despreocupamo-nos, com efeito, com a extravagância da síntese, com acompacidade do texto, com a violência do rigor lógico, tão apreciados pelos matemáticos,mas que desalentam os noviços por não permitirem em geral o entendimento fácil e rápido.Porfiamos o entendimento de conceitos eventualmente banais; conclamamos o leitor,repetidas vezes, em benefício da inteligibilidade fácil do texto, à revisão de conceitosemitidos a poucas e a muitas páginas atrás. Esmiuçamos. Isto talvez justifique certaprolixidade do texto, mas esperamos não levar o leitor ao enfado.A matéria é desenvolvida com o objetivo de atender à Física básica (a relativista e aquântica excluídas),da qual consideramos fazer parte a Geometria (de Euclides). Pois se o leitor observar que,nesta Física, todas as grandezas conhecidas, sem exceção, são grandezas inerentes a Pdireções, com P (finito) = 0, 1, 2, ..., - isso é, a nenhuma direção (P = 0), caso das grandezasescalares; a uma direção (P = 1), caso das grandezas vetoriais; a pares de direções (P = 2),caso das grandezas tensoriais de ordem 2 etc. - verá inicialmente que a entidade matemáticaaqui criada e denominada "poliádico", inerente a várias direções (caso em que ela se diráde "valência P"), tem a missão específica de expressar matematicamente uma feição danatureza. Se com essas entidades, das mais diferentes valências, definirmos adequadamentecertas operações (montando assim uma álgebra, tema desse tomo), o leitor concluirá querealmente atingimos o objetivo pretendido.Restará, apenas, discutir as vantagens dessas concepções (em grande maioria,devidas a Gibbs) em relação às portentosas matemáticas ora existentes (Cálculo Tensorial eÁlgebra Linear) utilizadas eficazmente com a mesma finalidade à custa de generalidade earidez exacerbadas.
  7. 7. VIIPoliádicos - RuggeriO leitor certamente está familiarizado com o Cálculo Vetorial estudado nos cursosde graduação em Engenharia, pois esse cálculo é básico para o estudo da MecânicaRacional e do Eletromagnetismo. Possivelmente experimentou certo desconforto - umaquebra de harmonia no desenvolvimento matemático da teoria - com a introdução do tensorde inércia (de ordem 2) no estudo da dinâmica do corpo rígido uma vez que os seusconhecimentos não iam alem dos vetores (tensores de ordem 1). Pelo mesmo motivo, omesmo desconforto pode ter sido experimentado com a introdução dos tensores de tensão(de ordem 2), de deformação (de ordem 2) e o das constantes elásticas (de ordem 4) nasrelações tensão/deformação estudadas na Teoria da Elasticidade; ou, até, quando daintrodução do tensor viscoso das tensões na Mecânica dos Fluidos.O leitor eventualmente replicará as questões colocadas, mas sucumbirãoirremediavelmente os seus argumentos, pois tudo depende da complexidade do problemaque se propõe estudar num curso de Engenharia. Afinal, os problemas de engenharia vãodesde o levantamento de uma simples parede de tijolos até a complexa análise dodesempenho (funcional, seguro, econômico, estético e ambiental) dos mais variadosmateriais (sólidos ou fluidos, naturais ou artificiais) componentes dos mais diferenteselementos dos engenhos, das artes e da própria natureza. O Cálculo Poliádico estabelececertamente um suporte adequado, na medida necessária, para atender às necessidades dosestudiosos dos problemas gradualmente complexos em engenharia. Com outros termos,afirmamos seguramente queo Cálculo Poliádico, bem dosado, faz-se necessário nos cursos de graduação emEngenharia, apenas porque a heurística é uma propriedade da alma do engenheiro.Montamos essa obra procurando auto-suficiência de conteúdo e manutenção deuniformidade de procedimentos, nomenclatura e notação. Procuramos sempre darcontinuidade na exposição, do particular para o geral, criando, assim, uma estruturaorganizada em todos os níveis de necessidade, de forma que cada novo assunto lançadotivesse como pré-requisito a familiaridade com assuntos expostos anteriormente. Isso exigiuincluir nessa obra tudo o que fosse essencial do Cálculo Vetorial clássico.No Cap. I- VETORES - estendemos o conceito clássico de sistema de vetoresrecíprocos (do espaço tridimensional) ao conjunto dos vetores de direção comum (de umespaço unidimensional) e de plano comum (de um espaço bidimensional). Abordando oassunto seqüencialmente (sempre do particular para o geral), tivemos a surpresa de terconseguido uma exposição estruturalmente original, de ter encontrado uma nova deduçãoda fórmula do duplo produto vetorial (§ 03.03) e a dedução de identidades (§ 05.02 e §05.03) que generalizam as clássicas de Fibonacci e Lagrange (da Álgebra Superior).Notável, ainda, é a relação entre os sistemas de vetores recíprocos e os grupos ortocêntricosde pontos (§ 03.02 e § 03.03). Dificilmente tudo isso teria sido revelado sem a força dosvetores recíprocos.Estruturamos grande parte do Cap. II - DIÁDICOS - (até ao § 09) suportados pelossistemas de vetores recíprocos; dai em diante criamos os espaços diádicos (de até 9dimensões), as bases diádicas e os sistemas de diádicos recíprocos, perseguindoinsistentemente certa "linha melódica" promissora em generalizações (no Cap. IV dovolume II). Algumas fórmulas e alguns diádicos, não referidos por Gibbs e seus seguidores,
  8. 8. VIIIsão aqui apresentados pela primeira vez; desempenharão um importante papel no capítuloseguinte. A dupla multiplicação pontuada de diádicos sugeriu a introdução de uma novaoperação com matrizes (§09.11), ampliada mais à frente (no §06.02 do Cap. IV do volumeII) para atender aos novos avanços. Por igual motivo foi necessário criar também novasoperações com os diádicos de um espaço diádico (§’s 11 a 13), algo isomórficas de algumasoperações com os vetores, bem como ampliar adequadamente o conceito de permutador(§14).Exceto pelo fato de termos que atender necessidades matemáticas de ordensestrutural e lógica, não nos consideramos satisfeitos com a utilidade prática dos assuntostratados no final desse capítulo II (§ 10 em diante). Pensemos fisicamente por um instante.É certamente trivial para o leitor que qualquer força dada ao acaso possa ser umacombinação linear de (não mais que) três outras forças independentes, escolhidasarbitrariamente (já que estas formariam uma base de referência de forças). Então, amatemática desenvolvida no final deste capítulo sugere, intuitivamente, que deva ser válidaa seguinte proposição: qualquer tensão, dada ao acaso (dentre todas as tensões suportadaspor um corpo físico), deve ser uma combinação linear de nove outras tensões independentes(na verdade, seis, por questão de simetria) escolhidas arbitrariamente (desde que estasformassem uma base de referência de tensões). Mas isto possivelmente não é trivial para oleitor; além disso, contrariamente ao caso das forças, ele pode nem sequer conhecer autilidade prática da proposição. Mas não julga o leitor, por outro lado, que essa questão, noseu aspecto físico mais geral, merece ser judiciosamente respondida? Não acha também, deimediato, que esses conceitos podem ser estendidos - até com certa facilidade - para asdemais grandezas (de outras ordens) existentes na Física? Não será isso ... prático, útil?A criação (algébrica) do espaço diádico e a introdução dos conceitos de norma,módulo e ângulo de diádicos sugeriram associar a esse espaço “idéias geométricasprimárias” sobre as quais se pudesse erigir uma autêntica geometria euclidiana de até novedimensões, como uma extensão da geometria de três dimensões. Isto foi esboçado nos §’s10.03 a 10.05 e §11.02. No §15 estudamos as projeções no espaço diádico e no § 16esboçamos uma ligeira introdução à Geometria Analítica desse espaço. A partir disso ficaestabelecida uma Geometria Euclidiana N-dimensional para ser usada na física dosproblemas envolvendo grandezas diádicas (ou tensoriais de ordem dois); na Teoria daElasticidade, por exemplo.No Cap. III - GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR - apresentamosuma definição de tensor de ordem 2 (§02), preparando uma generalização a ser feita nocapítulo seguinte (Cap. IV do volume II). Buscamos, com mudança de bases, sistemasconvenientes (de bases vetoriais recíprocas) de representação de um diádico e de estudo deuma transformação linear (TL); estudamos, então, os elementos característicos dos diádicos(§03). Isto nos leva às reduções canônicas dos diádicos (§04) e a uma descrição das TLspor essas reduções (§05). Percorrendo essa trilha natural, o diádico de rotação (que rege aclássica transformação geométrica das figuras por rotação) aparece vinculado e como umcaso particular de uma rotação mais geral denominada elíptica, esta regida por um diádicocíclico. Assim, alguns teoremas clássicos relativos a produto de rotações circulares tornam-se corolários de teoremas mais gerais relativos a produtos de rotações elípticas (§06.03).Por esse capítulo, sempre apoiados numa interpretação geométrica, entendemos, ainda, ter"quebrado o tabu das bases ortonormadas". De fato, mostramos, em definitivo, de umaforma simples e elegante, que a análise dos problemas físicos em bases quaisquer apresenta
  9. 9. IXPoliádicos - Ruggerio mesmo grau de facilidade (ou de dificuldade) que em relação a qualquer outra baseparticular. Visto também, por outro lado (§04 e §05,I), que as bases ortonormadas nemsempre simplificam cálculos, nem sempre são convenientes e nem sempre são necessárias,concluímos que a adoção rotineira de bases quaisquer é a forma mais elegante, a maislógica, e, principalmente, a mais segura de tratar os problemas (físicos ou geométricos).Isto, entretanto, não implica que as bases ortonormadas devam sempre ser rejeitadas;apenas que sejam utilizadas quando naturalmente necessárias. Com efeito, é o quecomprovamos no estudo das rotações circulares (§06), no estudo da redução normal e dadecomposição polar de um diádico completo (§07), de extrema utilidade em mecânica demateriais. O leitor arguto certamente já terá pensado em estender esses conceitos aospoliádicos em geral (assunto do Cap. IV do volume II) mas, certamente, tal como nós,estará interessado na sua utilidade prática. Parece-nos que, ainda por um bom tempo,deveremos insistir em estudos para responder a essas colocações.A utilidade desta matéria é inquestionável. As aplicações serão expostas futuramenteem volume a parte, acompanhadas de um resumo dos conceitos, operações e principaisfórmulas. Algumas aplicações aqui expostas, dispensáveis numa primeira leitura, foramdispostas entre o sinal ⇒ onde começam e o sinal ⇐ onde terminam.Os que estiverem acostumados ao cálculo tensorial perceberão as diferenças deestilo e certamente não hesitarão em migrar para o estilo simples e elegante do poliádico,especialmente porque neste não se apela necessariamente para qualquer sistema dereferência. Os métodos poliádicos são estritamente geométricos.Para o cientista empírico-analista esta nova abordagem pode gerar certo fascínio porquestões ainda não abordadas classicamente, como pequenos mistérios. Na pior dashipóteses buscaremos um maior e melhor entendimento de “problemas já colocados” dentroda Física Linear (e da Geometria) de que, em geral, nos valemos em Física Aplicada eEngenharia. Mas poderemos dar, também, um passo interessante em direção à formulaçãoda Física Não Linear do futuro cujas leis poderão ser certamente expressas de uma formaelegante e compacta pelos métodos poliádicos do presente, generalíssimos, abundantes e degenerosa simplicidade matemática frente a tanta complexidade física.Complexidade física é a regra em muitas das ciências das quais se valem osengenheiros, dentre outras: a Geologia Estrutural, a Geofísica, a Mecânica dos MeiosPorosos, o Cálculo das Estruturas, a Mecânica das Rochas e dos Solos, a Física dosCristais, a Ciência dos Materiais, o Eletromagnetismo etc., cujas bases vêm sendomagistralmente unificadas, desde a segunda metade do século XX, na Física dos MeiosContínuos. Disciplina desconhecida, o Cálculo Poliádico desponta como uma das mais úteise simples ferramentas de trabalho na Física Aplicada e na Engenharia. Idealizado por Gibbspor volta de 1890, é um cálculo mais geral, tão geometrizado quanto o Cálculo Vetorialclássico que, parece, foi adaptado à Física, entre 1870 e 1900, por Gibbs e Heaviside, dasobras de Hamilton e Grassman1. É, ainda, esse Cálculo Poliádico menos abstrato e bemmenos algebrizado que o seu parente um pouco mais jovem, o Cálculo Tensorial (de Ricci e1 Segundo Crowe, M. J., A History of Vector Analysis, Dover, 1967: 1) - Grassmann, H. G., DieAusdehnungslehere, Berlin, 1844; 2) – Hamilton, W. R., Lectures on Quaternions, 1848 (os quaterniuos foramdescobertos em 1843).
  10. 10. XCivita) que vem adquirindo as suas feições em partes específicas. O Cálculo Poliádico é oCálculo Tensorial exposto em bases geométricas, com estrutura própria e na medida certapara a abordagem de problemas de engenharia.... E isso basta para justificar a canonização de, pelo menos, os Elementos deCálculo Poliádico nos cursos de Engenharia ..., mas de engenharia de concepção edesenvolvimento de engenhos, ... aquela engenharia pura, judiciosamente temperada comeconomia, funcionalidade, segurança, ecologia e arte.Goiânia (GO), outubro de 2008E. R. F. Ruggeri
  11. 11. XIPoliádicos - RuggeriCONVENÇÕESNUMERAÇÕES DIVERSASOs capítulos, numerados seqüencialmente em romano, são compostos por parágrafose estes por subparágrafos numerados seqüencialmente em arábico (como §01, ou §03.01).As páginas são numeradas seqüencialmente, em arábico, por capítulo.As figuras são numeradas seqüencialmente dentro de cada parágrafo e de cadacapítulo. Assim, Fig. 02.03 significa a terceira figura dentro do § 02 do capítulo onde foifeita essa referência (podendo existir figuras com o mesmo número em diversos capítulos).A referência Fig. 02.03, III, feita em qualquer capítulo que não o III, é relativa à terceirafigura do § 02 do capítulo III.As fórmulas são numeradas seqüencialmente, em arábico, dentro de cada parágrafoou subparágrafo, conforme as conveniências; esses números são dispostos entre parênteses.Quando derivam diretamente de uma mesma fórmula (a matriz), são representadas com omesmo número desta, acompanhado de um subíndice; assim (021) é o número de umafórmula que deriva de (02), como pode ser encontrado no §02.04 do Cap. I.Um conjunto de fórmulas pode ter um mesmo número (ver, por exemplo, asfórmulas (09) do §02.02 do Cap. I). Como regra, imaginando-as numeradas mentalmente daesquerda para a direita, ou de cima para baixo, na seqüência 1,2,..., a referência à fórmulade ordem N do conjunto a que pertence será feita indicando o número N, como sub-índice,à direita e externamente aos parênteses que envolvam o número do conjunto. Assim, acitação (09)1 no texto é, apenas, uma referência à primeira fórmula do conjunto (09) e nãorepresentará número de nenhuma fórmula especificamente; isso é, (09)1 e (091) têmsignificados totalmente distintos.CITAÇÕES E REFERÊNCIASDurante a leitura do texto o leitor será ajudado relativamente à localização deconceitos, fórmulas, figuras etc. que estejam sendo referidas ou citadas; isto será feito coma indicação entre parênteses, do parágrafo ou subparágrafo onde se encontre o referidoconceito, ou fórmula, ou assunto. Assim, por exemplo, ((02)3, § 03.02, II) representa: aterceira fórmula do grupo de fórmulas (02), apresentada no segundo subparágrafo do § 03do Cap. II. As referências, ou apelos, a fórmulas, conceitos etc. contidas dentro do capítuloem que se faz a referência serão desprovidas da indicação do capítulo.ABREVIATURASCNS - Condição necessária e suficiente (CsNsSs para o plural), pagina 15.EN - Espaço vetorial euclidiano N dimensional, paginas 47, 59.Teor. - Teorema, pagina 22.Corol. - Corolário, pagina 23.Propr. - Propriedade, pagina 19.nsn - Não simultaneamente nulo, pagina 30.Min - Mínimo, menor, pagina 419.Med - Médio, pagina 419.Max - Máximo, maior, pagina 419.sen, cos, tg - linhas trigonométricas circulares, paginas 11, 14.
  12. 12. XIISIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAISSÍMBOLOS REPRESENTAÇÃO TOM PÁGINAXi, Yj, A, B,Números, variáveis numéricas, funções de valornumérico, coordenadas de pontos e de vetores.Natural 3,11,20A o Vetor nulo Negrito 3L u, v, ei ,ei, Vetores (sem seta) Negrito 3,11,14,17F ab, aiei Díade, diádicos em forma N-nomial Negrito 72,78A ...,ˆˆ,ˆ jiv Vetor e díade unitários Negrito 3,86B I Operador de Argand (ver rodapé da página 129) Natural 129E M Diádico de Moreira Negrito 96T I J K Z, , , Operadores diádicos especiais Negrito 129O Pau( , ) Par de diádicos de Pauly Natural 142{e*} Base vetorial definida pelos vetores e1, e2, e3 Negrito 47LATINOA φφφφ,ψψψψ,αααα,ββββ,.. Diádicos em geral Negrito 73,109L α), β), ... Planos: α, β Natural 91F ΙΙΙΙ Diádico unidade, poliádico unidade Negrito 86A ΟΟΟΟ Diádico nulo Negrito 86B ΩΩΩΩ(i,ϕ) Diádico de rotação (de eixo iˆ e ângulo ϕ) Negrito 356E µµµµ Diádico de mudança de base Negrito 298T ΓΓΓΓ Diádico ciclotônico Negrito 357O δij, δij Deltas de Kronecker Natural 49εij, εijk, εijk Alternadores, ou Permutadores Natural 50G χχχχ Diádico cisalhante Negrito 362,365R kˆ×ΙΙΙΙ Diádico de Argand Negrito 129EG {εεεε*} Base diádica definida por diádicos εεεε1, εεεε2, ... Negrito 224O
  13. 13. XIIIPoliádicos - RuggeriSIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS(Símbolos especiais envolvendo ou não letras latinas e gregas)Todos os índices e todos os sinais constantes desta tabela são representados ao naturalSÍMBOLO REPRESENTAÇÃO PÁGINA. Multiplicação escalar ou pontuada 11× Multiplicação vetorial ou cruzada 14: Dupla multiplicação escalar ou pontuada 134×× Dupla multiplicação vetorial ou cruzada 134.× Dupla multiplicação mista 134×. Dupla multiplicação mista 134~ Adjunto (sobre-índice) 165° e * Símbolos que substituem . e × . 134≅ Aproximadamente igual 322≡ Idêntico 70[ ] Matriz 183Det[A] Determinante da matriz A 229| | Módulo, determinante 2,17|| || Norma 158{ } Base, matriz coluna 47,186φφφφE, φφφφV Escalar e vetor do diádico φφφφ 80(x , y) Ângulo ou plano dos vetores x e y 12,15(xyz), (ααααββββγγγγ) Produto misto dos vetores x, y e z ou diádicos αααα,ββββ e γγγγ. 18,261∀ ∃ ∈, , ,... Símbolos usuais da Teoria dos Conjuntos 7,23A ⇐ Texto ⇒ B O texto é hipótese nos dois sentidos 24,30,40|| , ⊥ Paralelismo e perpendicularidade 15,12©©©© Diádico cíclico 354φφφφTTransposto ou conjugado do diádico φφφφ 76φφφφ∼ Adjunto do diádico φφφφ 165φφφφ-1 Inverso ou recíproco do diádico φφφφ 166φφφφP Principal do diádico φφφφ 168φφφφ2 Segundo do diádico φφφφ 167φφφφ3 Terceiro do diádico φφφφ 82Hom(φφφφ) Homológico do diádico φφφφ 96l(x) Função linear vetorial do vetor x 70< αααα ββββ ... λλλλ > Produto cruzado dos diádicos αααα, ββββ, ..., λλλλ 248(αααα ββββ ... λλλλ) Produto misto dos diádicos αααα, ββββ, ..., λλλλ 261CnpCombinações de n objetos tomados p a p 223, 243EN Espaço de vetores, de dimensão N (N=1, ou 2, ou 3) 472EG Espaço de diádicos, de dimensão G (G ≤ N2) 224
  14. 14. XIVSUMÁRIOGRATIDÃO .....................................................................................................................................................IVAPRESENTAÇÃO............................................................................................................................................ VPREFÁCIO.......................................................................................................................................................VICONVENÇÕES................................................................................................................................................XISIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS........................................................................................................XIICAPÍTULO IVETORES§ 01 - VETOR..................................................................................................................................................... 1§ 01.01 - Definição, notação.............................................................................................................. 1§ 01.02 - Igualdade vetorial. .............................................................................................................. 3§ 01.03 - Alguns tipos de vetores....................................................................................................... 3§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores.................................................................... 3§ 01.05 - O uso dos vetores em Física. .............................................................................................. 4§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES............................................................................... 5§ 02.01 - Adição de vetores. .............................................................................................................. 6Soma de vetores. .............................................................................................................. 6Propriedades da adição..................................................................................................... 7§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real.............................................................................. 8Produto de vetor por número real..................................................................................... 8Propriedades da multiplicação de vetor por número real.................................................. 8§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória....................................................... 10§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. .............................................................................. 11Produto escalar............................................................................................................... 11Propriedades da multiplicação escalar............................................................................ 11Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores. ............................................ 13§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. ............................................................................. 14Produto Vetorial............................................................................................................. 14Propriedades da multiplicação vetorial........................................................................... 14Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores. ........................................... 16Identidade de Lagrange. ................................................................................................. 17§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores................................................................................... 18Produto misto................................................................................................................. 18Propriedades da multiplicação mista. ............................................................................. 18Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais.................................................. 20§ 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS. ................................................................................. 21§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos............................................................................................... 22Inversão na reta. ............................................................................................................. 22Construção gráfica de vetores recíprocos na reta............................................................ 22O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta...................................... 23Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta............................................................ 24§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares............................................................................................ 25Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano. ................................................................ 25Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano....................................................... 26Grupo Ortocêntrico no plano.......................................................................................... 26Propriedade fundamental de pares recíprocos. ............................................................... 27Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares........................................................ 27O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos.................................. 29Vetores término colineares............................................................................................. 31Varias formas de equação da reta (no plano).................................................................. 32A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano)....................................... 33§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. .................................................................................... 34Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço. ......................................................... 34
  15. 15. XVPoliádicos - RuggeriConstrução gráfica de sistemas recíprocos no espaço..................................................... 35Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos........................................................... 36Dupla multiplicação vetorial (no espaço). ...................................................................... 37Generalização da identidade vetorial de Lagrange. ........................................................ 37O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos.............................. 39O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores................................................................... 41Vetores término coplanares............................................................................................ 43Várias formas de equação de um plano. ......................................................................... 44A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço)..................................... 45§ 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS............................................................................ 46§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas............................................................................... 46Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos............................................... 48§ 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores................................................................................ 49Similarmente comprovaríamos que................................................................................ 51Produtos de Deltas de Kronecker. .................................................................................. 51Produto de permutadores................................................................................................ 51§ 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos........................................................... 52§ 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de vetores recíprocos......................... 55§ 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos........................................................................ 59§ 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES.............................................................................................. 59§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN.............................................................................. 59§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante................................................. 62§ 05.03 - Generalização de identidades clássicas............................................................................. 64§ 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS. .......................................................... 67BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................................. 68CAPÍTULO IIDIÁDICOS§ 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E DE VALOR VETOR........................ 69§ 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. ...................................... 72§ 02.01- Definições e notações. ....................................................................................................... 72§ 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos paralelos.......................................... 73§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. ................................................................... 73Propriedades................................................................................................................... 74§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L.. ............................................................................. 75§ 02.05 - Transposição diádica. ....................................................................................................... 76§ 02.06- Igualdade de diádicos. ....................................................................................................... 77§ 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos. ......................................................................... 78O motivo de um diádico................................................................................................. 79Casos de igualdade......................................................................................................... 79§ 02.08- Invariantes primários de um diádico.................................................................................. 80O escalar e o vetor.......................................................................................................... 80O terceiro. ...................................................................................................................... 82§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto................................................................. 85Diádico unidade. ............................................................................................................ 86Diádicos opostos ............................................................................................................ 88§ 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS..................................................................................... 89§ 03.01 - Definições e propriedades gerais. ..................................................................................... 89§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares...................................................................... 94Propriedades................................................................................................................... 96§ 03.03 - Diádicos de Moreira. ........................................................................................................ 96Quadrângulo associado. ................................................................................................. 96Quadrângulos transpostos............................................................................................... 98§ 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS....................................................................................................................... 99§ 04.01 - Definição e propriedades. ................................................................................................. 99Propriedades................................................................................................................... 99§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva......................................... 101
  16. 16. XVI§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS. ............................................................................. 107§ 05.01- Definição e propriedades. ................................................................................................ 107Propriedades................................................................................................................. 107§ 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro........................................................................ 110Propriedades:................................................................................................................ 111§ 05.03 - Terceiro e transposto de um produto............................................................................... 112§ 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos................................................. 113Exceções. ..................................................................................................................... 114Produto nulo de diádicos não nulos.............................................................................. 117§ 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR. ........................................................ 121§ 06.01 - Definições e propriedades............................................................................................... 121Propriedades................................................................................................................. 121§ 06.02- Fórmulas notáveis............................................................................................................ 124§ 06.03 - Escalar e vetor de φφφφ×r..................................................................................................... 125§ 06.04 - Simetrias e anti-simetrias................................................................................................ 126§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand............................................................ 127Interpretação geométrica do diádico de Argand. .......................................................... 128Potências do diádico de Argand. .................................................................................. 129Generalizações. ............................................................................................................ 131§ 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS............................................................................................................ 134§ 07.01 - Definições e propriedades............................................................................................... 134Propriedades................................................................................................................. 137§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. ......................................................................................... 140Duplo produto nulo de diádicos não nulos. .................................................................. 141Diádicos de Pauly......................................................................................................... 142Diádicos ortogonais...................................................................................................... 144Diádicos paralelos. ....................................................................................................... 145§ 07.03 - Invariância...................................................................................................................... 146§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos......................................................................... 147§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. ..................................... 153§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos............................................................. 154Dupla multiplicação mista de três diádicos. ................................................................. 155Propriedades................................................................................................................. 156§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos. .................................................... 158§ 08 - SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL. ........................................................................ 165§ 08.01 - Definições e principais propriedades. ............................................................................. 165Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo).................................. 169§ 08.02 - Invariância e invariantes................................................................................................. 171§ 08.03 - Propriedades formais...................................................................................................... 171§ 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo)....................................................... 176Casos particulares......................................................................................................... 177§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia................. 177§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira.................................................................... 179§ 09 - REDUÇÃO N2-NOMIAL OU CARTESIANA. ................................................................................... 180§ 09.01 - Definições....................................................................................................................... 180§ 09.02 - Matriz associada a um diádico........................................................................................ 182Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos .............................................................. 187§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas ................................................... 187Tábua de multiplicação de matrizes associadas a diádico............................................. 188§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana.................................................................. 189§ 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana......................................................................... 191§ 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana............................................................. 191Expressões matriciais de φφφφ.ψψψψ........................................................................................ 192Expressões matriciais de I×a e φφφφ×a.............................................................................. 192§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas)............................................................ 193Quádrica centrada......................................................................................................... 196§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana........................................................................... 198§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.............................. 200Propriedades Gerais...................................................................................................... 201Caracterização dos diádicos lineares. ........................................................................... 202
  17. 17. XVIIPoliádicos - RuggeriCaracterização dos ortolineares:................................................................................... 203Caracterização dos planares. ........................................................................................ 204Caracterização dos uniplanares e dos unilineares......................................................... 205Caracterização dos ortoplanares................................................................................... 206Os diádicos antitriangulares e sua caracterização......................................................... 207§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares............................ 210§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. ........................................................................ 215§ 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS......................................................................................... 217§ 10.01 - Espaço diádico................................................................................................................ 217Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos...................................................... 218§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas............................... 223Decomposição cartesiana de diádico em base diádica.................................................. 226Diádico posicional........................................................................................................ 227Bases diádicas recíprocas............................................................................................. 229Constituição de bases. .................................................................................................. 231Matrizes colunas associadas a diádicos (com um único índice).................................... 232Bases no espaço diádico simétrico. .............................................................................. 233Bases no espaço diádico anti-simétrico. ....................................................................... 235Bases diádicas ortonormadas........................................................................................ 237§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico............................................................. 238Biflechas ...................................................................................................................... 238Independência de pontos e bases.................................................................................. 239União e interseção de espaços. ..................................................................................... 239Graus de liberdade de um espaço diádico..................................................................... 241§ 10.04 – Ordem no espaço diádico............................................................................................... 242§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. ...................................................................................... 243Direção e orientação..................................................................................................... 243Pontos impróprios (ou no infinito). .............................................................................. 243Extensão de conceitos. ................................................................................................. 244O paralelotopo.............................................................................................................. 245Multiplicações múltiplas com diádicos de um espaço G-dimensional.......................... 246§ 11 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA. PERPENDICULARIDADES..................................... 246§ 11.01 – Multiplicação cruzada múltipla...................................................................................... 246Identidades notáveis..................................................................................................... 251§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico............................................................................ 255Ângulo de dois espaços................................................................................................ 256Ortotopos...................................................................................................................... 256§ 12 – DUPLA MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA DE G DIÁDICOS......................................... 256§ 13 – MULTIPLICAÇÃO MÚLTIPLA MISTA DE G DIÁDICOS. ............................................................ 261Propriedades................................................................................................................. 263Produto misto de nove diádicos, dados em forma cartesiana........................................ 269Produto misto de diádicos simétricos e anti-simétricos, dados em formacartesiana........................................................................................................ 270§ 14 - PERMUTADOR A VÁRIOS ÍNDICES............................................................................................... 270§ 15 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DIÁDICO. .............................................................................................. 275Projeção qualquer......................................................................................................... 275Projeção paralela.......................................................................................................... 276§ 16 – NOTAS SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO DIÁDICO. ....................................... 277§ 16.01 – Espaços opostos nos simplex. ........................................................................................ 278§ 16.02 - Baricentros. .................................................................................................................... 279Definições. ................................................................................................................... 279Bimedianas e medianas. ............................................................................................... 280§ 16.03 - Equações de espaços....................................................................................................... 282Várias formas de equação de uma reta. ........................................................................ 282Várias formas de equação de um plano. ....................................................................... 283Várias formas de equação de um 3-espaço................................................................... 284Várias formas de equação de um espaço qualquer........................................................ 286§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica................................................................................. 287§ 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas, superfícies................................ 288BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 289
  18. 18. XVIIICAPÍTULO IIIGEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR§ 01 - TL, PROPRIEDADES, APLICAÇÃO NUMÉRICA............................................................................ 291§ 01.01 - Recordando conceitos e especificando uma TL. ............................................................. 291§ 01.02 - Propriedades fundamentais............................................................................................. 292§ 01.03 - Aplicação numérica........................................................................................................ 295§ 02 - MUDANÇA DE BASE. TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE............................................ 299§ 02.01 - Diádicos de mudança de base. ........................................................................................ 299§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares..................................................... 300Propriedades dos diádicos e das transformações similares. .......................................... 301§ 02.03 - Matriz de mudança de base............................................................................................. 305§ 02.04 - Transformações das coordenadas por uma mudança de base. Matrizes similares.Tensores clássicos.............................................................................................. 307Transformação de coordenadas de vetores. .................................................................. 307Transformação das coordenadas de diádicos................................................................ 308§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos................................................................. 311Diádicos com simetria externa em relação a um plano................................................. 312Pesquisa de sistemas convenientes de representação.................................................... 314§ 03 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE DIÁDICOS........................................................................ 314§ 03.01 - Polinômio mínimo.......................................................................................................... 314§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico................................................ 318§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. .................................. 321Diádicos com autovalores nulos................................................................................... 327§ 03.04 - Outros exemplos numéricos............................................................................................ 330§ 04 - FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS DIÁDICOS. ............................................................... 332§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C............................................... 332§ 04.01,A - Autovalores imaginários............................................................................................. 332Caso de diádicos uniplanares........................................................................................ 336Caso de diádico anti-simétrico ..................................................................................... 336Outras reduções............................................................................................................ 337§ 04.01,B - Autovalores reais. Redução Tônica ou espectral......................................................... 338Elementos característicos de diádicos simétricos. ........................................................ 340Tônicos associados a uma homologia........................................................................... 343§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠≠≠≠B = C................................................ 344Diádicos simétricos ...................................................................................................... 346§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C.................................................... 347§ 05 - DESCRIÇÃO DAS TLS PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS............................................................ 349§ 05.01 - TLs regidas por diádicos diagonalizáveis....................................................................... 350§ 05.02 - TLs regidas por diádicos não diagonalizáveis................................................................ 351§ 05.02,A - TL regida por: ΓΓΓΓ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*)...................................................... 352Diádico cíclico. Rotação elíptica.................................................................................. 352Diádico ciclotônico. ..................................................................................................... 358Auto-similaridade dos ciclotônicos. ............................................................................. 359§ 05.02,B - TL regida por: φφφφ=Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb*................................................................. 362Cisalhamento simples. Diádico cisalhante.................................................................... 362§ 05.02,C - TL regida pelo : φφφφ=ab*+bc*,........................................................................................ 365§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos.................................................... 366§ 06 – ROTAÇÕES (ELÍPTICAS E CIRCULARES). ................................................................................... 368§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. ............................................................ 368Caracterização dos cíclicos e rotores............................................................................ 374Generalização de conceitos clássicos. .......................................................................... 376§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias....................................................................................... 378§ 06.03 - Composição de rotações (elípticas e circulares).............................................................. 379§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.............................................. 379Cíclicos e rotores biquadrantais.................................................................................... 379Produto de biquadrantais.............................................................................................. 382
  19. 19. XIXPoliádicos - RuggeriBiquadrantais cujo produto é um tônico de escalar -1. ................................................. 384Expressão cartesiana para ΠΠΠΠ......................................................................................... 385Biquadrantais cujo produto é tônico de escalar +3. ...................................................... 387Produto de biquadrantais em que o autovetor de cada fator é paralelo ao eixodo outro.......................................................................................................... 388Representação cartesiana de um cíclico produto de biquadrantais................................ 391Fatoração de cíclicos e rotores...................................................................................... 393Rotações (elípticas e circulares) de pequenos ângulos.................................................. 399§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. ....................................... 400Raízes K-ésimas do diádico unidade............................................................................ 401Potências de expoente inteiro de um cíclico................................................................. 402Representação do cíclico em série de Mac Laurin........................................................ 404Expressão do anti-simétrico A em função do cíclico.................................................... 406Rotor, vetor semitangente e diádico anti-simétrico associados..................................... 407Expressão de um rotor em função do vetor semi-tangente de rotação. ......................... 408Diádico de rotação e diádico de Argand associados. .................................................... 408§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos......................................................... 411§ 07 - REDUÇÃO NORMAL DO DIÁDICO COMPLETO. DECOMPOSIÇÃO POLAR............................ 413§ 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições............................................................................... 413§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. ........................................................................... 415§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura....................................................................................... 427Diádico reto e deformação de um corpo....................................................................... 428§ 07.04 - Decomposição polar. ...................................................................................................... 429§ 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos............................................. 432APÊNDICE..................................................................................................................................................... 435BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 440VOLUME II (deste Tomo I)Capítulo IV - PoliádicosCapítulo V - Poliádicos complexosTOMO IICapítulo VI - Análise PoliádicaCapítulo VII - Campos de poliádicos
  20. 20. XX
  21. 21. Poliádicos - RuggeriCAPÍTULO IVETORES§ 01 - VETOR.§ 01.01 - Definição, notação.A reta da Geometria pode ser percorrida em dois sentidos pelo seu ponto corrente.Um desses sentidos, arbitrariamente escolhido, é denominado sentido positivo; o outro,sentido negativo. Diz-se, então, quando se fixa esse sentido, que se orientou a reta; estapassa, assim, a denominar-se eixo ou reta orientada.Dados dois pontos A e B de um eixo, o conjunto dos pontos A e B, e dos infinitospontos compreendidos entre A e B denomina-se segmento orientado AB e representa-sepor AB; A e B denominam-se, respectivamente, a origem e a extremidade do segmentoorientado; e o sentido de A para B, o seu sentido.Os pontos, de um modo geral, são determinados sobre os eixos pelos segmentosorientados que cada um define com um ponto fixo O, arbitrariamente escolhido sobre omesmo e fixado, por convenção, como origem desses segmentos. Com a introdução daorigem, o eixo fica dividido em dois semi-eixos: um positivo e um negativo, cujos sentidossão concordantes, respectivamente, com os sentidos positivo e negativo do eixo (Fig.01.01)2.Postula-se, como fez Descartes, a existência de uma correspondência biunívoca entreas distâncias da origem a pontos do semi-eixo positivo e do negativo, respectivamente, comos conjuntos dos números reais, positivos e negativos. A distância, positiva ou negativa, deum ponto qualquer A à origem O é denominada abscissa do ponto; e o segmento OAsegmento-posição; diz-se, assim, que o ponto é dado, analiticamente, por sua abscissa; ou,geometricamente, por seu segmento-posição. Escreve-se: OA = A e lê-se: a abscissa doponto A é A (A um número real, positivo ou negativo, não acompanhado de nenhumaunidade de medida).Na prática, visualizamos questões conceituais através de gráficos e figuras. Paraconstruí-los a primeira providência é a fixação de uma escala. Escolhemos, arbitrariamente,2Veja o critério de numeração das figuras dentro da seção "Convenções".
  22. 22. 2 § 01 - VetorI,§ 01.01um segmento orientado OU com origem coincidente com a origem O dos semi-eixos de umeixo (Fig. 01.02), com a extremidade U sobre o semi-eixo positivo e com a abscissa Ufixada, por convenção, como 1. Qualquer outro ponto, A, a ser concretizado sobre o eixo,com uma abscissa dada A, deve ser marcado de forma a que OA =A× OU , assinalando-se Asobre o semi-eixo positivo se A>0; ou sobre o semi-eixo negativo se A<0. O segmento OUé denominado unidade de medida de segmentos; a abscissa A é dita, também, a medidaalgébrica de OA em relação a OU .Consideremos, agora, dois pontos, A e B, de um eixo e o segmento orientado ABpor eles definido. A medida algébrica do segmento orientado AB é o número real puro(não acompanhado de nenhuma unidade de medida) obtido como a diferença entre asabscissas de sua extremidade e sua origem, nessa ordem, multiplicado por OU ; escreve-se,então:OU)AB(AB −= , (01)3,independentemente da origem O, para qualquer unidade de medida. Resulta logo que se ABtem sentido coincidente com o do eixo, sua medida algébrica é um número real positivo,pois B>A; se não, esta medida é número negativo. O número real positivo puro,representado por |B-A| OU , denomina-se o módulo do segmento orientado AB. Logo (01)pode ser escrita na formaOU|AB|AB −±= , (02),onde o sinal é positivo ou negativo conforme o sentido do segmento orientado sejaconcordante ou não com o do eixo.Ora, em Geometria Euclidiana, um feixe de retas paralelas tem em comum a mesmadireção; e qualquer reta do feixe pode ser uma representante do mesmo numaconcretização. Então, orientar uma reta é operação equivalente a orientar uma direção; etoda proposição válida para segmentos orientados de uma reta orientada de um feixe, éválida, igualmente, para as demais retas do feixe.Diz-se que dois segmentos orientados são eqüipolentes se têm a mesma direção(pertencem a um mesmo feixe) e a mesma medida algébrica (isso é, o mesmo sentido e omesmo módulo). Os segmentos orientados eqüipolentes (de um mesmo feixe de retasparalelas) denominam-se vetores livres (do feixe); a diferentes feixes estão associados,então, diferentes vetores livres.3 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções".
  23. 23. § 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores. 3Poliádicos - RuggeriAos vetores livres estendem-se todas as definições relativas aos segmentosorientados que lhes correspondem: origem, extremidade, sentido, direção, módulo etc.O vetor é representado pelo par de letras relativas à sua origem e à sua extremidade,nessa ordem, encimadas por uma pequena flecha: AB , por exemplo. É tambémrepresentado, com muita freqüência, por letra minúscula do alfabeto latino encimada porflecha. Em Mecânica é comum o uso da notação de Grassmann: ABAB −= , justificando-seesta notação com a introdução da operação de adição de um vetor AB com um ponto A,cujo resultado (a soma) é o ponto B. Desse ponto de vista, o ponto A seria transportado pelovetor AB até o ponto B, o que justifica a nomenclatura: a palavra vetor provém da palavralatina vehere que significa transportar.Doravante os números reais e os pontos serão denotados, na maioria das vezes, pelasletras latinas maiúsculas, eventualmente indexadas: A1, A1, B2, etc. Os vetores serãodenotados pelas letras latinas minúsculas em negrito, sem a clássica seta; e seus módulos,por estas mesmas letras dispostas entre duas barras verticais: |u|, |v| etc.§ 01.02 - Igualdade vetorial.Diz-se que dois vetores u e v são iguais ou eqüipolentes e escreve-se: u=v (ler: uigual a v), quando são eqüipolentes a um mesmo segmento orientado de um mesmo feixe;isso é, quando têm um mesmo módulo, uma mesma direção e um mesmo sentido.§ 01.03 - Alguns tipos de vetores.Dois vetores são ditos paralelos ou colineares quando têm a mesma direção. Assimdois vetores iguais são sempre paralelos. Dois vetores u e v são ditos opostos quando,paralelos, têm o mesmo módulo e sentidos opostos; escreve-se u v v u= − = −ou . Vetorescoplanares são aqueles paralelos a um mesmo plano; dois vetores são, pois, semprecoplanares.Vetor nulo é o vetor de módulo zero; escreve-se u=o e lê-se: o vetor u é igual a zero.Graficamente o vetor nulo tem a sua origem coincidente com a sua extremidade. Porconvenção, o vetor nulo faz um ângulo qualquer com qualquer vetor, com qualquer plano eseu sentido é qualquer.Vetor unitário é o vetor de módulo igual a um; é utilizado geralmente paraespecificar uma direção e representado por uma letra encimada por um acento circunflexo:$v.§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores.Para sintetizar um pouco o desenvolvimento da teoria dos vetores, e por reconhecera sua origem geométrica, estenderemos aos mesmos os conceitos de perpendicularidade,projeção etc., como em Geometria Elementar. Deve ser observado, entretanto, que não énecessário lançar mão de toda a Geometria para se fazer a teoria dos vetores. Pelo contrário,basta o estabelecimento dos conceitos mais elementares de Geometria, como os de:ângulos, retas perpendiculares e paralelas, figuras planas de segunda categoria (linhasquebradas, polígonos, teoremas fundamentais da geometria do triângulo, do quadrilátero, dacircunferência) para estarmos prontos para utilizar os vetores no desenvolvimento dessamesma Geometria. A rigor, entretanto, pretendendo-se aplicar conceitos vetoriais àGeometria, é necessário estabelecer um encadeamento lógico dedutivo de conceitos e
  24. 24. 4 § 01 - VetorI,§ 01.05propriedades. Com efeito, pois, do contrário, correr-se-ia um sério risco de deduzirpropriedades a partir de outras ainda não demonstradas ou, até, de deduzir uma propriedadea partir de outras cujas validades dependem necessariamente da primeira.Deve ser considerado, também, que a Matemática sempre requer concisão, precisãoe economia de pensamento; isso é, não é de índole matemática a utilização de um "aparatopesado" para a dedução de resultados que poderiam ser obtidos com "aparatos leves". Porexemplo, como demonstrar que as mediatrizes de um triângulo têm ponto comum, de ummodo mais simples que o da Geometria Elementar? Por outro lado, montando-se umaparato com o objetivo de estudar questões mais avançadas, nada impede que, de passagem,se possam deduzir propriedades elementares. Assim, por exemplo, poderíamos resolver oproblema proposto das mediatrizes do triângulo pela Geometria Analítica; solução esta quenão é tão simples quanto a da Geometria Elementar, mas que também é independente dosmétodos elementares.Finalmente, deve ser considerado que o Cálculo Vetorial é formulado hojepraticamente nos mesmos moldes como GIBBS o formulou há pouco mais de 100 anos [1]4com vistas à sua utilização na carente Física-Matemática da sua época e com vistas à suautilização em Geometria. As necessidades da Física-Matemática, por outro lado, parecemter forçado um estudo mais vetorial da Geometria Diferencial onde, indubitavelmente, osmétodos vetoriais são expressivos.Em resumo: parece-nos que o uso metódico da Álgebra Vetorial em GeometriaElementar requer desta Álgebra uma estruturação diferente da clássica, mais adequada àfinalidade visada. Seguiremos, aproximadamente, a apresentação clássica porque não nosinteressa aqui um desenvolvimento específico para a Geometria Elementar.§ 01.05 - O uso dos vetores em Física.4 Veja também os clássicos "Scientific Papers" de Gibbs.A Física é desenvolvida sobre o conceito de grandeza, ou seja, de entidades queparticipam dos fenômenos físicos e que são mensuráveis. Medições são necessárias paraatender necessidades práticas relacionadas com os conceitos de maior, menor, muito,pouco, alto, baixo, forte, fraco etc., conceitos que exigem, logicamente, uma referência.Criam-se, então, as unidades de medidas como o metro, o quilograma força, o segundo etc..O desenvolvimento da Física através do tempo mostrou a necessidade de seexpressarem matematicamente as suas grandezas. Em vista das diferentes naturezas destas,criaram-se diferentes entidades matemáticas para representá-las. Assim, as grandezasdenominadas escalares são representadas simplesmente por um número real acompanhadode uma unidade de medida (escala); são exemplos: uma distância, uma temperatura etc.Outras grandezas, inerentes a uma direção e um sentido sobre esta, puderam serrepresentadas por vetores e foram denominadas grandezas vetoriais; são exemplos: força,velocidade, aceleração etc. Existem outras grandezas, inerentes a mais de uma direção, queserão apresentadas mais à frente.Vejamos como foi possível a representação das grandezas vetoriais pelos vetores.Ora, sendo a grandeza vetorial inerente a uma direção podemos imaginar um vetorcuja direção seja paralela à direção da grandeza e com um sentido arbitrado. Façamos,agora, corresponder a intensidade dessa grandeza, acompanhada da sua unidade de medida,com o módulo do vetor a definir. Se, finalmente, associamos a esse conjunto o sinal + ou -conforme o sentido da grandeza coincida ou não com o sentido arbitrado para o vetor,
  25. 25. § 02 - Operações fundamentais com vetores. 5Poliádicos - Ruggeripoderemos dizer que essa entidade abstrata, o vetor, assim definido, representa aquelagrandeza. Interessando a construção de um gráfico basta escolher uma escala. Assim,quando se diz, em Física: "seja f a força que atua sobre o corpo...", todas as consideraçõesgeométricas e físicas feitas neste § 01 ficam subentendidas, para felicidade do leitor. Nosparágrafos seguintes definiremos operações com os vetores destacando, quandoconveniente, o seu significado em Física.O conceito de igualdade de vetores (§ 01.02)5 é exclusivamente algébrico-geométrico e não físico, isso é, se um vetor representa uma força e um outro vetor umavelocidade, não faz sentido analisar a igualdade desses vetores porque essas grandezas sãode naturezas diferentes. De outra forma, diríamos: dois vetores podem ser paralelos, ter osmesmos módulos e os mesmos sentidos e não fazer sentido a sua igualdade porquerepresentam grandezas diferentes. Os tipos de vetores já criados (§ 01.03) têm tambémcorrespondência na Física na forma dos conceitos físicos: velocidades opostas, forçasparalelas, força nula, velocidade unitária etc. Analogamente, os conceitos geométricosestendidos aos vetores (§ 01.04) são também assimiláveis em Física; falamos, pois, emforças que fazem certo ângulo, vetor velocidade tangente à trajetória etc. Esse é o modomais simples de contemplar-se o uso dos vetores em Física.5O leitor será ajudado na leitura deste livro com a indicação, entre parênteses, do parágrafo onde se encontra oconceito ou o assunto em referência.O entendimento de certos fenômenos físicos, algo complexos, por outro lado, exigiua criação de entidades matemáticas bem mais complexas que, numa situação limite - isso é,numa particular condição - representassem também os vetores elementares. No espaçofísico em que ocorrem tais fenômenos, figuras geométricas como segmentos de reta,porções de plano, poliedros, por exemplo, só existem nas "vizinhanças de um ponto". Istosignifica, em outros termos, que os vetores só existem no espaço vizinho (nasproximidades) de um ponto. Mas o que será essa "vizinhança", nesse espaço eventualmenteestranho? Por acaso, nesse espaço, as retas e os planos se empenam quando um poucodistantes desse ponto? Por acaso, nesse espaço, o critério de medida de distâncias muda deum ponto para um outro "um pouco afastado"? Neste capítulo o leitor encontrará não maisque uma teoria elementar dos vetores, montada de um ponto de vista superior, respigada depistas para uma generalização futura de operações e conceitos de utilidade prática emFísica.§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES.São sobejamente conhecidas as utilidades geométricas e físicas ordinárias dessasoperações (veja a bibliografia). Interessa registrá-las aqui, como referência, para facilitar odesenvolvimento dos capítulos seguintes e tornar a obra auto-suficiente.Suporemos em relação a tudo o que será desenvolvido a seguir, que os módulos dedois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmentounidade (de medida de distâncias) comum aos respectivos eixos (| xˆ |=1 e | yˆ |=1). Nãoobstante, estaremos interessados em conseguir resultados com segmentos quaisquer decomparação (ex e ey); passo a passo conseguiremos esse intento.
  26. 26. 6 § 02 - Operações fundamentais com vetores.I,§ 02.01§ 02.01 - Adição de vetores.Soma de vetores.Dados dois vetores u e v, chama-se soma de u com v, e representa-se por u+v (ler: umais v), o vetor s tal que, dispostos u e v consecutivamente nessa ordem no espaço, a suaorigem seja a origem de u e a sua extremidade a extremidade de v. Escreve-se: s=u+v,lendo-se: s é igual a u mais v.A adição de dois vetores é a operação que tenha por fim determinar a sua soma.Provemos que ela é unívoca. Disponhamos dois vetores quaisquer, u e v,consecutivamente em ordens inversas, a partir de um ponto qualquer do espaço; sejam s e sos vetores somas em cada caso. Os triângulos formados por esses vetores, num caso enoutro, são iguais, o que acarreta s = s já que s e s têm o mesmo módulo, a mesma direçãoe o mesmo sentido.Graficamente, o vetor s, co-inicial com dois vetores a somar, u e v, e cujaextremidade seja a diagonal do paralelogramo construído sobre u e v, é o vetor soma de ucom v. Esse processo de obtenção do vetor soma costuma ser designado como "regra doparalelogramo" (Fig. 02.01), sendo já conhecido dos gregos antigos para comporvelocidades e forças.A adição se estende a vários vetores, bastando ordená-los e convencionar que a somade vários vetores é obtida somando o terceiro com a soma dos dois primeiros, e assimsucessivamente. Escreve-se, então: s u v w= + + +[( ) ] ... .A operação é sempre possível porque é sempre possível dispor consecutivamentevetores diversos no espaço. A soma de vetores obtém-se como a "linha de fechamento"da poligonal reversa cujos lados sejam os vetores parcela na soma a ser determinada,conforme esquematizado na Fig. 02.02.
  27. 27. § 02.01 - Adição de vetores.. 7Poliádicos - RuggeriDo ponto de vista físico a adição só tem sentido para vetores representantes de umamesma grandeza física (medidas com a mesma unidade de medida). Com efeito, fariasentido somar força com velocidade?Outra observação se faz necessária. Sempre que recorremos a uma representaçãográfica, supomos mentalmente que esta seja feita com certa escala (o segmento unidade é omesmo para os eixos orientados de todos os vetores envolvidos). Geralmente, entretanto,essas figuras são feitas apenas para orientar e ordenar o raciocínio uma vez que a suacorreta construção poderia ser extremamente trabalhosa. Assim, por exemplo, o cálculo dovetor soma de dois outros, dados os seus módulos, sentidos e ângulos de suas direções,pode ser feito com muito mais simplicidade, rapidez e precisão com o uso da Trigonometriae calculadoras de bolso, do que graficamente; supõe-se, obviamente, se esses vetoresrepresentam grandezas, que as unidades de medida (de grandezas) que acompanham os seusmódulos sejam as mesmas.Propriedades da adição.1ª) - É operação associativa:∀a b c, , : ( ) ( )a b c a b c+ + = + + , (01)6,o que é evidente;2ª) - É operação comutativa:∀a b, : a b b a+ = + , (02),o que também é evidente, pela definição de soma;3ª) - Adição com o vetor zero:∀a: a o a+ = , (03).Com efeito, pondo aMN = tem-se, obviamente, pela definição: MNMN =+ NN ; logo,tem-se (03), pois, o=NN . Observando-se, ainda, que MNMMMN =+ e que, por (02),MMNMMN =+ , tem-se o=MM . Resulta, então, que NN , MM , etc. são iguais ao vetornulo, isso é, o vetor nulo é único.4ª) - Adição com vetores opostos:∀a: a a o+ − =( ) , (04).Pondo-se a=MN , resulta que o vetor NM é oposto a a, porque ambos têm o mesmomódulo, a mesma direção e sentidos opostos. Logo: o=+ NMMN , isso é, a a o+ − =( ) .6 Usaremos, oportunamente, a simbologia da teoria dos conjuntos (veja a lista de "Notações Gerais").5ª) - Subtração de vetores:Chama-se diferença de dois vetores u e v, nessa ordem, e se denota por u-v(ler: u menos v), o vetor d tal, qued u v u v= − = + −( ).
  28. 28. 8 § 02 - Operações fundamentais com vetores.I,§ 02.02A subtração é a operação que tem por fim determinar a diferença de vetores. Estaoperação, sempre possível e unívoca, é extensível a vários vetores. É operação inversa daadição. Ademais:a) ∀ − =u u u o: ;b) graficamente, d u v= − obtém-se como a diagonal do paralelogramo construídosobre os vetores co-iniciais u e v, a origem de d sendo a extremidade do subtraendo (Fig.02.03).§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real.Produto de vetor por número real.Chama-se produto de um vetor v por um número real M e se indica por Mv (que selê: M vezes v), o vetor u de mesma direção que v (logo, paralelo a v), mesmo sentido que vse M>0 e sentido contrário se M<0, e cujo módulo valha |M||v|; escreve-se, então:vu M= .A multiplicação de vetor por número real é a operação que tenha por fimdeterminar o produto do vetor pelo número real7.Propriedades da multiplicação de vetor por número real.1ª) - É sempre possível e unívoca;2ª) - O produto de qualquer vetor pelo número 1 é o próprio vetor:1v v= , (05),o que é evidente;3ª) - A multiplicação é associativa em relação a fatores numéricos,A B AB( ) ( ) ,v v= (06).7 Gibbs deu a essa operação o nome de multiplicação escalar.
  29. 29. § 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. 9Poliádicos - RuggeriPondo Bv = w, tem-se: A(Bv) = Aw = r. Ora, r tem a mesma direção de v porque r ev têm a mesma direção de w. O sentido de r é o mesmo de w se A>0, ou o sentido contráriose A<0. Mas w tem o mesmo sentido de v se B>0, ou o sentido contrário, se B<0. Logo, rterá o mesmo sentido de v se A e B forem de mesmo sinal e sentido contrário se A e Bforem de sinais contrários. O módulo de r vale |A||B||v|. O vetor do segundo membro de(06) tem precisamente as mesmas características de r, isso é, tem a mesma direção que v, omódulo |AB||v| = |A||B||v|, o mesmo sentido de r se A e B tem o mesmo sinal e sentidocontrário ao de r se A e B têm sinais contrários;4ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de números:( ...) ...,A B A B+ + = + +v v v (07).Demonstraremos a propriedade por indução. Que a propriedade é válida para doisnúmeros A e B é fácil provar, bastando considerar: 1°) - que os vetores (A+B)v, Av e Bvsão paralelos quaisquer que sejam os sinais de A e B; 2°) - que |Av+Bv| = |A+B||v|, donde aigualdade dos módulos; 3°) - que (A+B)|v| = A|v|+B|v|, donde a igualdade dos sinais dosvetores (A+B)v e Av+Bv.Suponhamos que a propriedade seja válida para N números, isso é,( ) ... .A B ... N A B N+ + + = + + +v v v v Pondo A+B+...+N = X e somando Yv a ambos osmembros da igualdade anterior, temos: X Y A B N Yv v v v v v+ = + + + +... . Como, porhipótese, a propriedade é válida para dois números reais, temos X Y X Yv v v+ = +( ) , issoé, ( ) ... ,A B ... N Y A B N Y+ + + + = + + + +v v v v v e a propriedade é válida para um númeroqualquer de parcelas dentro dos parênteses;5ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de vetores,A A A( ...) ...,u v u v+ + = + + (08),Dispondo-se consecutivamente os vetores u, v, ..., a partir de um ponto arbitrário, O,(Fig. 02.04), obtém-se com o vetor s=u+v+... uma poligonal fechada, que será homotética,de intensidade A, da poligonal (também fechada) formada pelos vetores Au, Av, ... e seuvetor soma As, isso é, A A As u v= + +... . Logo, tem-se (08).A multiplicação de vetor por número real segue as leis da multiplicação numérica,valendo as seguintes fórmulas:
  30. 30. 10 § 02 - Operações fundamentais com vetores.I,§ 02.03∀A,B, , , ,...:a b vAA A ouA A.o o.a oa o a oa a=== ⇒ = =− = −,,,( ) ,00( ) ,( ) ,( ) ,− = −− = −− = −A AA A AA B A Ba aa b a ba a a||/ˆ vvv = (09).Demonstraremos apenas a fórmula (09)18. De (08) temos, para u = v = o, A(o+o) =Ao+Ao. Considerando (03) com a = o, subtraindo Ao de ambos os membros dessaigualdade e agrupando convenientemente no segundo membro, temos:A A A A Ao o o o o− = + −( ).Considerando (04) e a definição de diferença de vetores, deduzimos: o o o= +A , donde,novamente considerando (03), Ao=o.8 Veja o critério de referência a uma fórmula de um conjunto de fórmulas na seção "Convenções".Suponhamos que o vetor v representasse a grandeza física aceleração, expressa emm/s2. Em vista de (09)8 escreveríamos: vvv ˆ)(m/s|| 2= . Essa expressão de v destaca,através de $v , a direção e o sentido (sobre esta) inerentes à grandeza; e através de| |( / )v m s2o seu módulo (sua intensidade) e unidade de medida. Na prática, geralmente,omitimos a unidade de medida, deixando-a subentendida. Se, ainda, M estivesserepresentando massa expressa em kg, então escreveríamos, aplicando (09)8 e (06):| |( )$ |( )$,f f f a aunidade de M| kgm / s= 2expressão que destaca, por $f ou $a , a direção e o sentido de f, e por M|a| (kgm/s2) aintensidade e a unidade de medida de f (que é uma força). Repetimos: na prática, muitosdesses aspectos ficam subentendidos não devendo trazer confusão ao leitor.§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória.Sejam dados N vetores ei e N números reais Ai, i = 1, 2, ..., N. Com as operaçõesfundamentais estudadas nos parágrafos precedentes, está perfeitamente definido o vetorNN2211 A...AA eeea +++= ;diremos que a (eventualmente o vetor zero) é uma combinação linear dos vetores ei comcoeficientes Ai.Para facilitar e sintetizar as deduções futuras com as combinações lineares vetoriaispodemos escrevê-las numa forma mais compacta com o estabelecimento da seguinteconvenção, denominada
  31. 31. § 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. 11Poliádicos - RuggeriConvenção Somatória:Toda expressão monômia, contendo índice(s) literal(is) repetido(s) em níveisdiferentes é equivalente à soma dos monômios que se obtêm da expressãofazendo o(s) referido(s) índice(s) variar(em) dentro do(s) seu(s) campo(s),previamente fixado(s).Objetivando simplicidade e elegância para as expressões matemáticas, os índices sãorepresentados geralmente por letras latinas minúsculas i, j, k, l etc. em tipos bem menoresdo que as latinas normais do texto, precisamente do mesmo tamanho dos números queindexam as letras na expressão indicada do vetor a. Assim, esta expressão pode ser posta naforma sintética e simples:a e= A (i = 1,2,..., N).ii ,Do ponto de vista físico, uma combinação linear de vetores apresenta umaparticularidade que deve ser observada: todas as suas parcelas devem representar,necessariamente, grandezas vetoriais da mesma espécie (com a mesma dimensão) que arepresentada pelo vetor a. Assim, se este representar uma força, os vetores A1e1, A2e2 etc.deverão também representar forças. Isto implica que os Ai sejam massas e os ei acelerações,ou, eventualmente, que A1 seja massa, e1 aceleração, A2 carga elétrica, e2 campo elétricoetc, para que A1e1, A2e2 etc. representem forças.§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores.Produto escalar.Chama-se produto escalar de dois vetores x e y, e representa-se por x.y (ler: xescalar y), o número realx. y x y x y=| || |cos( , ), (01)9.A multiplicação escalar de dois vetores é a operação que tem por fim determinar oproduto escalar desses vetores.Obviamente, se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de x.y será oproduto das dimensões de x e de y. Assim, por exemplo, se x representa uma força e y umdeslocamento, x.y representa trabalho.Propriedades da multiplicação escalar.1ª) - É uma operação sempre possível e unívoca;2ª) - (Interpretação Geométrica):O produto escalar de dois vetores é numericamente igual ao produto domódulo de um deles pela projeção ortogonal do outro sobre o suporte doprimeiro.9 Gibbs deu a esse produto o nome de "direct product" e, embora usasse a mesma notação, lia "x dot y ".
  32. 32. 12 § 02 - Operações fundamentais com vetores.I,§ 02.04Pois, com efeito, temos, de (01):yxyxyxx.y xproj||)],(cos|[||||| == , (021)10,onde projxy tem representação evidente, sendo um número real positivo, negativo ou nuloconforme (x,y), o ângulo dos vetores x e y, seja agudo, obtuso ou reto, respectivamente.Similarmente, poderíamos escrever:x. y y x x y y xy= =| |[| |cos( , )] | | ,proj (022).Resulta, logo:x. y x y= ⇔ ⊥0 , (03)11.Se x.y=0, de (021) e (022) concluímos: 1º)- que ao menos um dos vetores é o vetornulo, caso em que eles são ortogonais (o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor,inclusive a si próprio); 2º)- que é nula a projeção do outro vetor sobre o primeiro, isso é,esses vetores são ortogonais. A recíproca se demonstra analogamente.Se, porém, para todo y, x.y=0, então x=o, e reciprocamente:∀ = ⇔ =y x. y x o: ,0 (04).Com efeito, em (01) |y| e o ângulo (x,y) são quaisquer, o que acarreta |x|=0, isso é, x=o.3ª) - Para quaisquer vetores x e y, a operação é comutativa:∀ =x y x.y y.x, : , (05),o que é evidente por (01).4ª) - A operação é associativa em relação a fatores numéricos:∀ = =M M M M, , : ( ) ( ) ( ),x y x . y x. y x. y (06).Observando-se que, se o ângulo de x com y é A, o ângulo de Mx com y é A se M>0e π-A se M<0, tem-se, de (01):10 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções".11 O símbolo ⊥ representa ortogonalidade, conforme nossas "Notações Gerais".( ) | || |cos( , ) | || |cos( , ) ( ).M M M M Mx . y x y x y x y x y x. y= = =A validade do terceiro membro de (06) pode ser comprovada analogamente.5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:∀ + = +x y z x y . z x. z y. z, , : ( ) , (07).De (022) podemos escrever:w. z z wz=| |proj .
  33. 33. § 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. 13Poliádicos - RuggeriSe, nessa igualdade, o vetor w é substituído por uma soma de vetores, o número projzw sedistribui em relação a essa soma, porque, conforme a Geometria, a projeção do vetor somaé igual à soma algébrica das projeções dos vetores parcela, isso é,( ) | | ( ) | |( ),x y . z z x y z x yz z z+ = + = +proj proj projtendo-se, logo, (07).6ª) - Fazendo x=y em (01), temos o quadrado escalar ou norma do vetor x; araiz quadrada positiva da norma é, pois, o módulo do vetor x e escrevemos:x.x x x.x> =0, | | ; (x.x x o= ⇔ =0 ) (08).Exercício:a .x a xiiiicom i G | |= ⇐ ∀ = ⇒ =0 12 0, ,... .A dado conjunto {a1, a2, ..., aG} tal que, para certos xi, ai.xi=0, podemos fazercorresponder o conjunto {b1, b2, ..., bG} tal que para todo i, ai +bi =xi . Então( ) ( ) ( ) ( )a b .x x x xi ii G...+ = + + + =1222 2 0,porque, por hipótese, ai.xi=0 e bi.xi=0. Logo, | | | |x x1 2 ...= = =0 .A recíproca é de demonstração evidente.Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores.A multiplicação escalar segue as leis da multiplicação numérica, valendo asseguintes fórmulas:( ) ( )a b . x y a.x a. y b.x b. y+ + = + + +( ) ( ) ( )x y . x y x y x y x. y+ + = + = + +2 2 22( ) ( )x y . x y x y+ − = −2 2etc., (09).As demonstrações dessas fórmulas são simples, decorrendo imediatamente daspropriedades fundamentais.De uma forma mais abrangente poderíamos escrever, lembrando a convençãosomatória (§ 02.03):( ) ( ) ( ,2,..., ; ,2,..., ),A B A B i N j Miijji ji je . r e .r= = =1 1 (10),expressão cujo segundo membro apresenta NxM parcelas porque é um monômio com doisíndices repetidos.
  34. 34. 14 § 02 - Operações fundamentais com vetores.I,§ 02.05§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores.Produto Vetorial.Chama-se produto vetorial dos vetores x e y, e se indica por x×y (ler: x vec y), ovetor ortogonal ao plano definido por x e y, tal que |x×y| = |x||y|sen(x,y) e tal que o triedrodefinido pelos vetores x×y, x e y, nessa ordem, seja positivo (Fig. 02.05)12 .A multiplicação vetorial de dois vetores é a operação que tem por fim determinar oproduto vetorial desses vetores13.Se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de x×y será o produto dasdimensões de x e de y. Assim, se x é vetor posicional e y representar força, x×yrepresentará um momento (que tem a mesma dimensão de trabalho).Propriedades da multiplicação vetorial.1ª) - É operação sempre possível e unívoca.2ª) - (Interpretação geométrica):O módulo do produto vetorial de dois vetores é numericamente equivalente àárea do paralelogramo construído sobre esses vetores.Com efeito, pois se x e y são os vetores e se A é o ângulo formado por eles, então|y|senA é (numericamente) a altura H do paralelogramo que tem |x| por base (Fig. 02.06).12 Para se fixar o sentido de x× y usamos a regra do observador. Imagina-se um observador com os pés naorigem comum dos vetores e com o corpo disposto no sentido de x× y; se, estando esse observador voltado para ointerior do triedro x× y, x, y, ele enxergar x à sua direita e y à sua esquerda, o triedro será direto.13 Gibbs deu ao produto vetorial o nome de skew (ou cross) product, escrevia x y× e lia x cross y.

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