1. Capítulo 6
Sistemas de Filas de Espera
Uma fila de espera ocorre sempre que a demanda por um serviço excede
num dado instante a capacidade do sistema para prover o serviço. Um sistema de fila de
espera é um conceito mais geral do que simplesmente pessoas aguardando em fila para
receberem atendimento em um estabelecimento de prestação de serviços. Podemos citar
alguns exemplos de sistemas de filas de espera, como a seguir: atendimento de chamadas
telefônicas de uma companhia, o sistema de atendimento ao consumidor (normalmente
designado pela sigla SAC), processos esperando em fila pela execução numa rede de
computadores e aviões que chegam e solicitam permissão para aterragem num aeroporto,
dentre outros.
Em análises de sistemas de filas de espera normalmente desejamos obter
informações objetivas sobre a capacidade de serviço que deve ser disponibilizada aos usuários
e os custos operacionais envolvidos desde a espera até o atendimento. Se por um lado a
capacidade de serviço for insuficiente, tempos de espera excessivos podem implicar em custos
adicionais por perdas de consumidores e ociosidade da parte de quem espera, enquanto que,
por outro lado, oferecer muita capacidade de serviço requer investimentos e pode levar
ociosidade ao sistema de atendimento. A teoria de filas de espera trabalha, portanto, com
objetivos conflitantes. Dado um modelo, a principal motivação para seu estudo está na busca
de soluções que representem um ponto de equilíbrio entre os conflitos.
Há um grande número de modelos matemáticos de filas de espera que
permite descrever diferentes situações observadas na prática. Existem modelos elementares
para descrever sistemas de filas com um único atendente em que o número máximo de
consumidores permitido no sistema é ilimitado, assim como também aqueles sistemas que são
tão complexos que se mostram mais adequados para serem resolvidos através de simulação
computacional ao invés da utilização de modelos analíticos.
Normalmente, quando estudamos sistemas de filas procuramos respostas
sob a forma de medidas objetivas que sejam capazes de orientar o projetista do sistema. As
grandezas mais comuns são:

2. 202
– o tempo médio que um usuário aguarda pelo atendimento;
– o grau de ociosidade do sistema de atendimento;
– o número médio de usuários no sistema;
– o número médio de usuários na fila.
Uma característica normalmente exibida pelos sistemas de filas mais
complexos é a incerteza dos dados de entrada. Por exemplo, na maioria dos sistemas de filas,
não é possível precisar exatamente em que instante um usuário irá acessar o sistema e nem
tampouco quanto tempo vai durar o seu atendimento. Um sistema desse tipo é dito de
natureza estocástica e o seu funcionamento é descrito como um processo estocástico.
Com o objetivo de descrever os principais modelos analíticos de sistemas de
filas de espera, vamos apresentar a seguir uma notação universalmente aceita: a notação de
Kendall-Lee. Também serão apresentados elementos básicos de sistemas de filas.
6.1 Elementos Básicos de Sistemas de Filas e Notação de Kendall-Lee
Em qualquer sistema de filas podemos identificar os seguintes elementos:
– a fila propriamente dita, que é caracterizada essencialmente por aqueles indivíduos que não
são atendidos assim que chegam e podem esperar pelo serviço;
– o servidor que tem a função de prover o serviço ao usuário, que pode ou não seguir uma
sistemática de atendimento, identificando-se aí o atendente e o mecanismo de serviço;
– a fonte de usuários do sistema de filas.
A Figura 6.1 ilustra os elementos básicos de um sistema de filas de espera.
Figura 6.1: Elementos básicos de um sistema de filas.
Fonte de
usuários
Fila Servidor
consumidores consumidores
servidos

3. 203
A fonte de usuários do sistema de filas é composta pelos consumidores
potenciais do serviço oferecido pelo sistema. Uma característica da fonte de usuários é o seu
tamanho. Por exemplo, o escritório de uma seguradora de veículos oferece atendimento aos
seus segurados numa cidade. O número de usuários que demandam pelos serviços oferecidos
pelo escritório é um subconjunto pequeno da população da cidade. Não devemos confundir o
tamanho da fonte de usuários com a capacidade do sistema de fila. A capacidade do sistema
está associada ao máximo número de usuários que o sistema pode comportar num dado
período de seu funcionamento. Numa modelagem simplificada, geralmente supomos que a
fonte e a capacidade do sistema são ilimitadas e a razão para isto é que as expressões resultam
mais simples e conduzem a cálculos mais fáceis. Todavia, podemos ter um modelo em que a
capacidade do sistema é limitada e a fonte de usuários, mesmo não sendo infinita, mas por ter
um tamanho muito grande é suposta infinita. Neste último caso, as expressões serão mais
complexas que na abordagem simplificada.
O comportamento estatístico dos consumidores para acessarem o sistema de
filas pode ser descrito por uma distribuição de probabilidades empírica que pode ser
representada por um modelo analítico conhecido de probabilidade. O modelo de Poisson é
comumente usado para descrever a forma como os consumidores são gerados pela fonte e,
para definir completamente essa distribuição, é necessário ter apenas a taxa média de
chegadas.
Um aspecto importante associado à fila é a ordem com que os usuários são
selecionados para o atendimento. Isto é referido como disciplina da fila. Por exemplo, o
critério adotado pode ser ‘primeiro a chegar, primeiro a ser atendido’, ou alguma outra ordem.
O tempo transcorrido desde o começo do atendimento até a sua conclusão
para um consumidor que está recebendo o serviço é o tempo de serviço. Para descrever o
atendimento, devemos especificar uma distribuição de probabilidade para os tempos de
serviço. A distribuição mais comumente especificada para tempos de serviço é a distribuição
exponencial.
Diante do exposto, percebemos que pode haver uma grande variedade de
combinações de características de sistemas de filas, sendo que cada uma dessas combinações
implicará num modelo diferente. Daí surge a notação atribuída a Kendall e a Lee. O uso desta
notação tem a finalidade de descrever os sistemas de filas de espera de modo claro e objetivo.

4. 204
A notação de Kendall-Lee consiste de rótulos dispostos em forma
seqüencial como mostra o exemplo ilustrado na Figura 6.2, de modo que cada rótulo possui
um significado.
M / M / s : FIFO / C / K
Distribuição
dos tempos
entre
chegadas
Distribuição
dos tempos de
serviço
Número de
servidores
Disciplina
da fila
Número
máximo de
consumidores
no sistema
Tamanho
da fonte
de
usuários
Figura 6.2: Um exemplo de notação de Kendall-Lee.
O primeiro campo descreve o processo de chegada e o segundo campo o
modelo estatístico do atendimento. As letras mais usadas são as seguintes: M , D , E e G .
M no primeiro campo significa que o processo de chegada é do tipo Poisson e os tempos
entre chegadas têm distribuição exponencial. M no segundo campo quer dizer que o
atendimento segue o modelo de Poisson e os tempos de atendimento obedecem a distribuição
exponencial. A letra M é uma alusão ao termo ‘markoviano’ implicando em distribuição
exponencial para tempos de serviço e tempos entre chegadas, de acordo com o que está
demonstrado na seção 5.4 que trata de processos de Markov de tempo contínuo. As demais
letras significam: D é determinístico, G é uma distribuição genérica e E é a distribuição de
Erlang. Quanto ao símbolo G , um sistema de filas, por exemplo, do tipo 1//GM , tem
distribuição exponencial dos tempos entre chegadas, os tempos de atendimento possuem
distribuição genérica, o sistema possui um atendente, a disciplina da fila é FIFO (first-in-first-
out), a capacidade do sistema é infinita e a fonte de usuários é ilimitada. Se o modelo de filas
tem distribuição genérica, as grandezas de desempenho do sistema ficam em função da
esperança matemática, )(SE . Neste caso, os tempos de serviço são genericamente
distribuídos de acordo com uma variável aleatória genérica, S .
A disciplina da fila, além de FIFO, pode ser LIFO, que significa ‘último a
chegar, primeiro a ser atendido’, ou PRI, se para o atendimento é observada alguma
prioridade.
Na próxima seção trataremos dos principais conceitos e parâmetros de
sistemas de filas. Posteriormente, obteremos expressões analíticas de cálculo de desempenho
de sistemas de filas iniciando o estudo pelo modelo mais simples, que é o 1// MM .

5. 205
6.2 Conceitos básicos e parâmetros de sistemas de filas
Conhecer a terminologia empregada nos estudos de sistemas de filas é o
primeiro passo no estudo dessa área da Pesquisa Operacional.
Definiremos a seguir alguns termos básicos sobre filas de espera.
Definição 6.1: (Cliente) Elemento que chega e requer atendimento. Os clientes podem ser
pessoas, máquinas, peças, torcedor que vai comprar ingressos, cartas que chegam e devem ser
entregues, carros estacionados, etc.
Alguns sinônimos são usados para o termo cliente, tais como consumidor e
usuário.
Definição 6.2: (Canal de atendimento) Processo ou pessoa que realiza o atendimento do
cliente. É comum usar o termo atendente para referir ao canal de atendimento. Como
exemplos podemos citar a impressora que executa as requisições de impressões numa rede de
computadores, o vendedor de ingressos, o carteiro, o estacionamento, etc.
Quanto à capacidade C do sistema e o número s de atendentes, os sistemas
de filas podem ser classificados como está ilustrado no esquema da Figura 6.3.
Figura 6.3: Um esquema com uma classificação de sistemas de filas.
Os usuários ou clientes chegam ao sistema a uma razão, que é determinada
pela quantidade de usuários dividida pelo intervalo de tempo de observação. Esta taxa é
Capacidade do
sistema, C
Modelos de
fila
Infinito Finito
Único ÚnicoMúltiplo Múltiplo
Número de
canais de
atendimento, s

6. 206
designada como taxa de chegada e é representada pela letra λ (leia-se “lâmbda”) e é
calculada conforme (6.1).
tempodeintervalo
chegamqueusuáriosdenúmero
=λ . (6.1)
A freqüência ou a velocidade com a qual os usuários são atendidos ou
recebem o serviço é denominada de taxa de atendimento. Esta taxa é representada pela letra
µ (“mi”) e é calculada pela expressão (6.2).
tempodeintervalo
atendidosusuáriosdenúmero
=µ . (6.2)
Para tornar mais claras as definições dos parâmetros λ e µ , vamos resolver
o seguinte exemplo.
Exemplo 6.1: Clientes chegam a um posto de atendimento e é observado que num intervalo de
tempo de 5 minutos chegam 6 clientes. Qual é a taxa de chegada, λ ? Se no atendimento, em
média, um usuário demanda 40 segundos, qual é a taxa de atendimento?
Aplicamos a expressão (6.1) para calcular λ e obtemos:
minutoclientes2,1
minutos5
clientes6
==λ .
Para determinarmos a taxa de atendimento, podemos usar o seguinte
raciocínio: se em média um atendimento é completado em 40 segundos, quantos clientes
serão atendidos num tempo igual a 1 minuto?
x→
→
60
140
atendidosclientestempo
16040 ×=× x →
2
3
40
60
==x .

7. 207
Portanto, a taxa de atendimento é minutoclientes2
3=µ .
Os problemas de filas de espera consistem em ajustar adequadamente a taxa
de atendimento do processo com a taxa de chegada do trabalho a ser feito. Do ponto de vista
do projetista, isto é feito através do correto dimensionamento do número de servidores do
sistema de filas. Para entendermos melhor os parâmetros λ e µ , suponha as seguintes
situações extremas para um sistema com um único atendente:
1. Um sistema de fila e atendimento possui uma taxa de chegada λ maior
que a taxa de atendimento µ ;
2. Um outro sistema raramente recebe clientes e quando um cliente
aparece este é atendido imediatamente. Neste caso, a taxa de chegada é
muito baixa e menor que a taxa de atendimento.
As situações imaginadas merecem alguns comentários. A primeira situação
não pode em princípio ser resolvida da forma como está: sendo µλ > não há sistema de
atendimento capaz de absorver esta demanda e a fila tende a crescer indefinidamente. Uma
solução possível é instalar mais guichês de atendimento e dessa forma adequar a taxa de
atendimento às condições da taxa de chegada (isto é, tornar µλ < ). Outra solução, embora
ruim para o cliente, mas aparentemente mais econômica, é limitar o número de clientes que
chegam ao sistema. Para o sistema que recebe poucos clientes e quando os recebe eles são
rapidamente atendidos, podemos supor que não haverá formação de fila. Este é, com certeza,
um sistema mal dimensionado. Neste caso, naturalmente algo deve ser feito no sentido de
adequar λ e µ .
O parâmetro λ é um dado de entrada muito importante nas análises de
sistemas de filas e, por esta razão, devemos discutir de forma mais aprofundada o seu
significado. Primeiramente vamos supor a chegada de, por exemplo, 5 usuários num sistema
de filas hipotético. Suponhamos também que foram anotados os instantes de chegada dos
usuários, denotados por it , com 5,4,3,2,1=i , medidos a partir do instante zero. Esses
tempos são marcados no eixo dos tempos, como ilustra a Figura 6.4.

8. 208
Figura 6.4: Instantes de chegada de usuários num sistema de filas marcados no eixo dos
tempos.
Identificamos na Figura 6.4 os tempos entre chegadas consecutivas, de
modo que para cada usuário é possível associar um único desses tempos. Neste exemplo,
associamos os tempos entre chegadas aos usuários na seguinte ordem:
1ºusuário: 011 −= tT
2ºusuário: 122 ttT −=
3ºusuário: 233 ttT −=
4ºusuário: 344 ttT −=
5ºusuário: 455 ttT −=
Os tempos entre chegadas são representados pela letra T para evitar
confusão de notação, conforme ilustra a Figura 6.5.
Figura 6.5: Tempos entre chegadas de usuários num sistema de filas marcados no eixo dos
tempos.
Se aplicarmos aos dados deste exemplo a expressão (6.1), calculamos o
parâmetro λ dividindo o número de usuários pelo intervalo de tempo,
tempodeintervalo
chegamqueusuáriosdenúmero
=λ
54321
5
TTTTT ++++
=→ λ .
1t 2t 3t 4t 5t0
1t 2t 3t 4t 5t0
1T 2T 3T 4T 5T

9. 209
Ora, partindo da análise da última expressão é imediata a constatação de que
a taxa de chegada λ é o inverso da média dos tempos entre chegadas.
Podemos expressar formalmente esta conclusão através da expressão (6.3),
onde TMC é o tempo médio entre chegadas (que é o mesmo que a média dos tempos entre
chegadas).
TMC
1
=λ . (6.3)
Uma expressão análoga à expressão (6.3) relaciona a taxa de atendimento µ
e a média dos tempos de serviço, TMS .
TMS
1
=µ . (6.4)
Diante do exposto, a segunda parte do Exemplo 6.1 poderia ser resolvida de
forma direta, ou seja, pela aplicação da expressão (6.4), assim,
→= segundos40TMS
40
1
=µ ,
que, ao ser convertida para atendimentos por minuto, assume o seguinte valor:
minutoclientes
2
3
40
60
==µ .
É interessante notar quanto aos parâmetros λ e µ , que o parâmetro λ em
geral não permite qualquer controle por parte do projetista do sistema de filas, uma vez que
este valor é determinado pela fonte de usuários. Já o parâmetro µ , embora fortemente
dependente da natureza e volume do serviço demandado pelo usuário, pode ser de algum
modo influenciado pelo projetista do sistema de filas, por exemplo, em função da sistemática
de atendimento e da habilidade do atendente para realizar o serviço.
Depois de levantados os dados λ e µ de um determinado sistema de filas
precisamos obter grandezas que representem medidas objetivas da situação operacional da fila

10. 210
em regime estacionário. Tais grandezas são designadas como medidas de efetividade dos
sistemas de filas.
6.3 Medidas de efetividade dos sistemas de filas
As mais primitivas medidas de efetividade são as esperanças matemáticas da
variável aleatória tempo que os usuários permanecem na fila e da variável aleatória tempo que
os usuários permanecem no sistema.
Designamos os símbolos T , Q e S para representar as variáveis aleatórias
‘tempo no sistema’, ‘tempo na fila’ e ‘tempo de serviço’, respectivamente, para um
consumidor selecionado aleatoriamente. Os valores esperados dessas variáveis aleatórias são
)(TE , )(QE e )(SE , respectivamente, para T , Q e S .
O tempo de espera é o tempo gasto na fila antes de receber o serviço e, ao
término do período de espera, o consumidor é imediatamente atendido, é natural que o tempo
de permanência no sistema (sistema é entendido aqui como fila em conjunto com servidor)
seja calculado pela soma indicada na expressão (6.5).
)()()( SEQETE += . (6.5)
A esperança matemática do tempo de serviço, )(SE , é igual a µ
1 , uma que
esses tempos são exponencialmente distribuídos. Além disso, designamos )(QE por qW (que
vem do termo inglês waiting time in the queue) e )(TE pela letra W . A expressão (6.5) pode
então ser reescrita como mostrada a seguir.
µ
1+= qWW . (6.6)
É importante frisar que a expressão (6.6) é geral, ou seja, ela vale
independentemente do modelo de filas estudado e de suas características intrínsecas.
A medida de efetividade que se refere ao número médio de usuários no
sistema é designada como L (que vem do termo inglês length). Se n for o número de
usuários no sistema e nP a probabilidade de que existam n usuários no sistema, dado que a

11. 211
variável aleatória é discreta, a esperança matemática )(nE é trivialmente calculada pela
expressão (6.7).
==
∞
=0
)(
n
nnPLnE . (6.7)
O número médio de usuários na fila é designada por qL (do inglês, length of
the queue) e é definida como a esperança matemática, )( qnE , obtida pela expressão (6.8).
−==
∞
=sn
nqq PsnLnE )()( . (6.8)
As medidas de efetividade, W , qW , L e qL , formam uma espécie de figura
de mérito do desempenho de um sistema de filas, sendo que, a partir de seus valores, é
possível emitir um parecer consubstanciado sobre a condição operacional do sistema. Por
exemplo, a partir delas podemos ter um indicativo da necessidade ou não de ampliar o sistema
de atendimento ou de cortar custos.
Há relações matemáticas entre as medidas de efetividade de tempo e as
medidas de efetividade do número de usuários, que foram demonstradas por J. D.C. Little na
década de 70 do século XX.
6.3.1 Fórmula de Little
Para qualquer processo de filas em regime estacionário, a fórmula (6.9) é
válida.
WL λ= . (6.9)
Esta expressão é conhecida por fórmula de Little.
De maneira análoga, temos uma relação entre qL e qW .
qq WL λ= . (6.10)

12. 212
As expressões (6.6), (6.9) e (6.10) são extremamente importantes porque
relacionam as quatro quantidades fundamentais que são determinadas à medida que qualquer
uma delas é encontrada. Além disso, essas relações são genéricas, ou seja, são válidas para
todo tipo de modelo de sistemas de fila.
De posse dos conceitos básicos, das definições das medidas de efetividade e
das relações fundamentais, estamos prontos para desenvolver e estudar modelos de filas de
espera. Iniciaremos nosso estudo pelos modelos estocásticos de filas mais simples e depois
passaremos à análise de modelos mais complexos.
Iniciaremos na próxima seção o estudo dos sistemas de filas em que as
chegadas e os atendimentos ocorrem segundo o modelo estocástico de Poisson e os tempos
entre chegadas e os tempos de atendimento seguem a distribuição exponencial.
6.4 Sistemas de filas com chegadas e atendimentos do tipo ‘markoviano’
A fim de tornar didático o estudo que faremos a seguir, dividiremos esta
seção nos seguintes tópicos:
– sistemas de filas 1// MM , que têm apenas um atendente (ou seja, um servidor ou um canal
de atendimento) e capacidade infinita;
– sistemas de filas sMM // , que têm s atendentes e capacidade infinita;
– sistemas de filas CMM /1// , que têm um atendente e capacidade finita C ;
– sistemas de filas CsMM /// , que têm s atendentes e capacidade finita C .
Os dois últimos tópicos são designados como sistemas multicanal. Em todos
os tópicos que serão abordados a disciplina da fila (ou das filas) é FIFO e a fonte de usuários
possui um número ilimitado de usuários potenciais. Em um sistema com capacidade finitaC ,
se um usuário chegar e encontrar o sistema em sua capacidade máxima este usuário é
automaticamente descartado.
6.4.1 Sistemas de filas 1// MM
Seja )(tX o número de consumidores no sistema no instante t e
suponhamos que µλ < . Dado que o tempo entre chegadas e o tempo de atendimento são

13. 213
variáveis aleatórias com distribuição exponencial, o processo cujo estado é caracterizado por
)(tX é um processo de Markov. Portanto, podemos desenvolver o estudo de sistemas de filas
1// MM com base nos procedimentos apresentados na seção 5.4.1.
Primeiramente procuraremos obter uma expressão para a probabilidade de
encontrar n usuários no sistema, que designaremos por nP . Os desenvolvimentos que serão
apresentados a seguir também podem ser encontrados na referência (NELSON, 1995).
Figura 6.6: Diagrama de transição de um sistema de filas do tipo 1// MM .
Processo de Markov como o que está ilustrado no diagrama da Figura 6.5 é
conhecido como processo de nascimento e morte.
Partindo da lei de formação da matriz de transição P ,
elemento da posição
ji
ji
≠
),( = taxa ijq (arco orientado de i para j ),
elemento da posição ),( jj = jq−1 ,
e analisando o diagrama da Figura 6.6, identificamos os seguintes elementos diferentes de
zero das posições de fora da diagonal:
λ=01p
µ=10p
...
λ=− nnp ,1
µ=−1,nnp
λ=+1,nnp
µ=+ nnp ,1
...
Nas posições da diagonal principal, obtemos os seguintes elementos:
λ=01q
10
µ=10q
λ=− nnq ,1
1−n
µ=−1,nnq
λ=+1,nnq
µ=+ nnq ,1
n 1+n

14. 214
λ−= 100p
)(111 µλ +−=p
...
)(11,1 µλ +−=−− nnp
)(1, µλ +−=nnp
)(11,1 µλ +−=++ nnp
...
Finalmente, o sistema de equações para a obtenção das probabilidades
estacionárias fica da seguinte forma:
vPv = ,
Pvvvvvvvvvv nnnnnn ][][ 11101110 +−+− = ,
sendo que as probabilidades limites, ,,,,,, 1110 +− nnn vvvvv , são as probabilidades dos
estados, ,,,,,, 1110 +− nnn PPPPP ,
PPPPPPPPPPP nnnnnn ][][ 11101110 +−+− = ,
onde, a matriz de transição P com um número infinito de estados é:
+−
+−
+−
+−
−
+
−=
+−
)(1000
)(100
0)(100
000)(1
0001
1
1
1
0
1110
µλµ
λµλµ
λµλ
µλµ
λλ
n
n
nP
nnn
.
A equação do estado 0 é a seguinte:
100 )1( PPP µλ +−= ,
que nos permite escrever 01 PP
µ
λ
= .
Para 1≥n , a −n ésima equação é dada por:

15. 215
11 )](1[ +− ++−+= nnnn PPPP µµλλ .
Partindo de 01 PP
µ
λ
= e da −n ésima equação para 1=n calculamos 2P :
0
2
2 PP =
µ
λ
.
Continuamos com este procedimento e obtemos a solução procurada, nP .
0PP
n
n =
µ
λ
para ,2,1=n , (6.11)
onde, nP é a probabilidade do estado n , ou seja, a probabilidade de encontrar exatamente
n usuários no sistema.
A expressão para cálculo de 0P é obtida usando o fato de que 1
0
=
∞
=n
nP :
=
∞
=0
0
1
n
n
P
µ
λ
. (6.12)
Considerando a condição 1<
µ
λ
estabelecida na seção 6.2, a série do
denominador de (6.12) converge para
µ
λ−1
1
. Conseqüentemente obtemos uma expressão
sucinta para a probabilidade do estado 0 .
µ
λ−= 10P . (6.13)
A probabilidade 0P é a probabilidade de encontrar o sistema ocioso.
Portanto, da análise da expressão (6.13), concluímos que µ
λ é a probabilidade de encontrar o
sistema ocupado. A razão µ
λ é simbolizada pela letra grega ρ (leia-se “ro”).
A expressão da probabilidade de n usuários no sistema, fica então da forma
indicada pela expressão (6.14).
)1( ρρ −= n
nP para ,2,1=n . (6.14)

16. 216
Dessa forma, concluímos a determinação da probabilidade de encontrar n
usuários no sistema, conforme nos propusemos a fazer no início desta seção.
Cabe ressaltar aqui o significado do parâmetro ρ . Este parâmetro admite
algumas interpretações de grande utilidade nas análises, a saber:
– ρ é a proporção do tempo em que o sistema está ocupado ( 01 P−=ρ );
– ρ é a intensidade de tráfego ou o fator de utilização do sistema.
No contexto de aplicação de ρ como intensidade de tráfego, a unidade
usada é o erlangs, que é uma unidade usual em sistemas de filas em geral.
Vamos resolver um exemplo com o objetivo de tornar mais claros os
conceitos desenvolvidos.
Exemplo 6.2: Um pronto socorro médico presta serviços de atendimento a acidentados
durante as 24 horas do dia. Em média, num dia típico, 42 pacientes recorrem aleatoriamente
ao atendimento deste pronto socorro. Um paciente requer em média 25 minutos para receber
os primeiros socorros, serviço que é feito por uma única equipe de profissionais. Assuma que
o modelo é de uma fila 1// MM e efetue os seguintes cálculos:
(a) a taxa média de chegadas;
(b) a taxa média de atendimentos;
(c) a probabilidade de que, num intervalo de tempo de 1,5 horas, 2 pacientes cheguem ao
pronto socorro;
(d) a probabilidade de que um paciente selecionado aleatoriamente encontre o pronto socorro
desocupado;
(e) o percentual do tempo em que o pronto socorro está ocupado;
(f) se há somente uma sala de espera no pronto socorro, qual é a probabilidade de que
pacientes tenham de esperar no corredor pelo atendimento?
As taxas λ e µ são determinadas aplicando-se os procedimentos da seção
6.2.
horapacientes75,1
24
42
==λ ,
minutopacientes04,0
25
1
==µ horapacientes4,26004,0 =×=→ µ .

17. 217
Como o modelo de chegadas de pacientes é uma distribuição de Poisson
com taxa média igual a λ , e o intervalo de tempo é conhecido, vamos aplicar a fórmula
αα −
=∆ e
x
txP
x
!
),( , +∈ Zx ,
para horas5,1=∆t , 625,25,175,1 =×=α . Fazendo 2=x , temos a seguinte probabilidade:
625,2
2
!2
625,2
)5,1,2( −
= eP 2496,0)5,1,2( ≅→ P .
Portanto, em um intervalo de tempo de uma hora e meia, há uma
probabilidade de 24,96% de que cheguem dois pacientes no pronto socorro.
A probabilidade de um paciente encontrar o pronto socorro desocupado é
dada por 0P , que é a probabilidade do sistema vazio. Aplicamos então a fórmula (6.13).
2708,0
4,2
75,1
11 00 ≅−=→−= PP µ
λ .
O percentual do tempo em que o pronto socorro está ocupado é dado por ρ .
7292,0
4,2
75,1
≅=→= ρρ µ
λ .
Isto significa que cerca de 73% do tempo (no caso, 24 horas, implica em 17
horas e meia) o pronto socorro está ocupado.
O parâmetro ρ é também a intensidade de tráfego, que é expressa como
7292,0 erlangs.
Finalmente, se há apenas uma sala de espera e a sala comporta um paciente
e outro paciente está sob os cuidados da equipe, então se o número de pacientes no sistema for
superior a dois teremos pacientes no corredor do pronto socorro. Portanto, precisamos
calcular a probabilidade de encontrar mais de dois pacientes no sistema.
)(1 2102 PPPPn ++−=> .

18. 218
Basta aplicar a fórmula (6.14), )1( ρρ −= n
nP para 2,1=n .
)1440,01975,02708,0(12 ++−=>nP 3877,02 =→ >nP .
Partiremos agora para a determinação das medidas de efetividade do modelo
de filas 1// MM .
Número esperado de usuários no sistema, L :
Recorremos à expressão (6.7) que define L e também à expressão (6.14).
−=→−=
∞
=
∞
= 00
)1()1(
n
n
n
n
nLnL ρρρρ .
A somatória é identificada como uma conhecida série convergente uma vez
que 1<ρ . Conseqüentemente, o número esperado de usuários no sistema, L , é dado pela
expressão (6.15).
ρ
ρ
−
=
1
L . (6.15)
Usamos a fórmula de Little (6.9) e obtemos a expressão para cálculo de W .
Tempo médio de permanência do usuário no sistema, W :
)1( ρλ
ρ
−
=W . (6.16)
Para calcular qW podemos usar a expressão (6.6) combinada com a fórmula
para cálculo de W .

19. 219
Tempo médio de espera na fila, qW :
)1(
2
ρλ
ρ
−
=qW . (6.17)
Número médio de usuários na fila, qL :
Recorremos à expressão (6.8) para 1=s e também à expressão (6.14).
−=
−=
∞
=
∞
=
∞
=
11
1
)1(
n
n
n
n
n
nq
PnP
PnL
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
=
−−
−
=
1
),1(
1
0P
O número médio de usuários na fila é calculado pela expressão (6.18).
ρ
ρ
−
=
1
2
qL . (6.18)
Vamos resolver um exemplo de aplicação das grandezas cujas expressões
foram obtidas.
Exemplo 6.3: Um sistema de atendimento ao cliente de uma pequena empresa comercial é
operado por uma pessoa através de uma central telefônica. As demandas dos clientes ao
sistema seguem uma distribuição de Poisson, com uma taxa média de chegada de 10
solicitações por hora. Os clientes são atendidos em base FIFO e os clientes que ligam e
encontram o sistema ocupado esperam pelo atendimento. Isto faz com que às vezes existam
chamadas em espera, ou seja, forma-se uma fila. O tempo gasto para atender a um cliente é
estimado como exponencialmente distribuído, com um tempo médio de atendimento de 4
minutos. Determine:
(a) o número médio de usuários no sistema;

20. 220
(b) o tamanho médio da fila;
(c) o tempo esperado que um cliente deve aguardar na fila;
(d) o tempo médio que um cliente deve ficar na loja.
Primeiramente vamos calcular os parâmetros do sistema a partir dos dados
de entrada.
A taxa de chegada é hora
clientes10=λ . O tempo médio de atendimento é
µ
1
, que foi dado como 4 minutos, portanto, a taxa de atendimento é minuto
clientes
4
1
=µ . A
taxa λ está em hora
clientes e a taxa µ está expressa em minuto
clientes . É preciso deixar estas
taxas em unidades coerentes. Vamos exprimir λ em minuto
clientes , tal como µ .
minuto
clientes
minuto
clientes
4
1
6
1
=
=
µ
λ
Portanto, o valor de ρ , 3
2== µ
λρ .
Concluída a fase preparatória dos dados, estamos prontos para aplicar as
fórmulas e solucionar os itens pedidos.
O número médio de usuários no sistema é calculado pela aplicação de
(6.15).
2
321
32
1
=
−
=→
−
= LL
ρ
ρ
clientes.
O tamanho médio da fila é dado pela expressão (6.18).
33,1
3
4
1
)(
1 3
2
2
3
22
≅→=
−
=→
−
= qqq LLL
ρ
ρ
clientes.
O tempo esperado que um cliente deve aguardar na fila é:
88
)1(
)(
)1( 3
2
6
1
2
3
22
=→=
−
=→
−
= qqq WWW
ρλ
ρ
minutos.
O tempo médio que um cliente deve permanecer na loja é o tempo médio do
sistema. Vamos aplicar a expressão (6.16).
1212
)1()1( 3
2
6
1
3
2
=→=
−
=→
−
= WWW
ρλ
ρ
minutos.

21. 221
6.4.2 Sistemas de filas sMM //
O objetivo é obter uma expressão para a probabilidade de encontrar
exatamente n usuários no sistema, nP . Para tal usaremos a modelagem do sistema de filas
multicanal como um processo de Markov de nascimento e morte, cujo diagrama de transição
está ilustrado na Figura 6.7.
Figura 6.7: Diagrama de transição de um sistema de filas do tipo sMM // .
Com a suposição de que a taxa média de atendimento de cada servidor é µ ,
a taxa média global de atendimento de n servidores é µn . Quando todos os servidores
estiverem ocupados, ou seja, sn ≥ , a taxa média global de atendimento é µs .
Um procedimento mais simples do que o utilizado no desenvolvimento
apresentado na seção 6.4.1 para obter nP consiste em escrever equações de Kolmogorov para
os −j ésimos estados (vide equação (5.23) do Capítulo 5) do diagrama da Figura 6.7. Para
facilitar o emprego desse método, basta escrever as equações de balanço para o processo de
nascimento e morte, como é indicado a seguir:
Estado Taxa de saída = Taxa de entrada
0 10 PP µλ =
1 201 2)( PPP µλµλ +=+
2 312 3)2( PPP µλµλ +=+
... ...
1−s sss PsPPs µλµλ +=−+ −− 21])1([
s 11)( +− +=+ sss PsPPs µλµλ
sn ≥ 11)( +− +=+ nnn PsPPs µλµλ .
λ=01q
10
µ=10q
λ=− ssq ,1
1−s
µsq ss =−1,
λ=+1,ssq
µsq ss =+ ,1
s 1+s
λ=−− 1,2 ssq
µ)1(2,1 −=−− sq ss

22. 222
A partir das equações escritas anteriormente, para sn ≤ , temos que:
( )
0
!
P
n
P
n
n
µ
λ
= , para sn ,,2,1= . (6.19)
A partir das equações escritas anteriormente, para sn ≥ , temos que:
( )
0
!
P
ss
P
sn
s
n −
=
µ
λ
, para sn ≥ . (6.20)
Usamos o fato de que 1
0
=
∞
=n
nP e as relações (6.19) e (6.20) para obter a
probabilidade de encontrar o sistema vazio, 0P .
( ) ( )
)1(!!
1
1
0
0
ρ
µ
λ
µ
λ
−
+
=
−
= sn
P
s
s
n
n
,
(6.21)
onde, µ
λρ s= , que é menor que a unidade.
Precisamos obter uma medida de efetividade e todas as outras medidas serão
encontradas. Optamos por aplicar a expressão (6.8) que define qL .
( )
02
)1(!
P
s
L
s
q
ρ
ρµ
λ
−
= . (6.22)
O número médio de usuários no sistema é calculado pela expressão (6.23).
( )
µ
λ
ρ
ρµ
λ
+
−
= 02
)1(!
P
s
L
s
. (6.23)
O tempo médio de permanência do usuário no sistema é calculado pela
expressão (6.24).

23. 223
( )
µρµ
µ
λ
1
)1(!
02
+
−
= P
ss
W
s
, (6.24)
O tempo médio de permanência do usuário no sistema é calculado pela
expressão (6.25).
( )
02
)1(!
P
ss
W
s
q
ρµ
µ
λ
−
= , (6.25)
Se um usuário ao chegar ao sistema encontrar pelo menos s usuários
concluirá que o sistema está ocupado. A probabilidade de encontrar o sistema ocupado é a
somatória das probabilidades para encontrar pelo menos s usuários no sistema,
( )==
∞
=
−
∞
=
≥
sn
sn
s
sn
nsn P
ss
PP 0
!
µ
λ
,
que resulta na expressão (6.26).
( )
0
)1(!
P
s
P
s
sn
ρ
µ
λ
−
=≥ . (6.26)
Em outras palavras, a probabilidade snP ≥ é a probabilidade de que uma
chegada ao sistema tenha de esperar.
Iremos resolver a seguir um exemplo para consolidar os conceitos
desenvolvidos nesta seção.
Exemplo 6.4: Um centro de distribuição de mercadorias distribui seus produtos por
intermédio de caminhões que são carregados em dois postos de carregamento. Os caminhões
são carregados à medida que chegam e às vezes têm de esperar pelo atendimento. Após
observações foram colhidos os seguintes dados: taxa média de chegada de 2 veículos por
hora; cada caminhão gasta em média 20 minutos para ser carregado.
(a) Qual é a probabilidade de que um caminhão ao chegar ao centro de distribuição tenha que
esperar para ser atendido?
(b) Qual é o número médio de caminhões na fila?

24. 224
(c) Qual é o número esperado de caminhões no sistema?
A taxa de atendimento por servidor, µ , é obtida do tempo médio de
atendimento. Portanto, hora
caminhões3=µ . A taxa de chegada é hora
veículos2=λ e do
enunciado concluímos que .2=s
Aplicamos a expressão (6.21) para calcular 0P :
( ) ( )
)1(!!
1
1
0
0
ρ
µ
λ
µ
λ
−
+
=
−
= sn
P
s
s
n
n
( ) ( )
( )3
1
2
3
21
0
3
2
0
1!2!
1
−
+
=→
=n
n
n
P ,
( ) ( ) ( )
( ) 6
2
3
2
1
1
1!2!1!0
1
0
3
1
2
3
21
3
20
3
2
0
++
=→
−
++
= PP ,
5,00 =P .
A probabilidade 0P é a probabilidade do sistema vazio. É importante
ressaltar que 0P é o valor chave nos cálculos de sistemas sMM // , uma vez que as medidas
de efetividade têm suas expressões dependentes deste valor.
A probabilidade de que um caminhão ao chegar ao centro de distribuição
tenha que esperar para ser atendido é 2≥nP .
( )
→×
−
=≥ 5,0
)311(!2
2
3
2
2nP 1667,02 ≅≥nP .
O número esperado de caminhões na fila é qL . Aplicamos a expressão
(6.22).
( ) →
−
= 02
)1(!
P
s
L
s
q
ρ
ρµ
λ ( )
clientes083,05,0
)311(!2 2
3
12
3
2
≅×
−
=qL .
O número esperado de caminhões no sistema é L . Aplicamos a expressão
(6.23).

25. 225
( ) →+
−
=
µ
λ
ρ
ρµ
λ
02
)1(!
P
s
L
s
clientes75,0
3
2
12
1
=+=L .
À primeira vista o leitor pode estranhar os valores decimais obtidos para as
grandezas qL e L , uma vez que as medidas possuem a conotação de grandezas inteiras.
Entretanto, os valores decimais podem ser explicados por se tratar de esperanças matemáticas
que resultam de produtos de probabilidades por números inteiros.
A teoria das filas de espera propicia uma ferramenta valiosa para orientar o
projetista no planejamento de sistemas de atendimento a usuários em geral. O
dimensionamento de um Call Center, por exemplo, requer conhecimentos de sistemas de
filas. O Exemplo 6.5 é extraído da referência (SHAMBLIN, 1989) e mostra como as fórmulas
podem ser usadas com esta finalidade.
Exemplo 6.5: Uma companhia telefônica está planejando instalar cabinas telefônicas em um
novo aeroporto. Ela traçou a norma de que uma pessoa não deve esperar mais que 10% das
vezes que ela tentar usar o telefone nesse sistema. A demanda de uso é estimada como sendo
uma distribuição de Poisson com uma média de 30 usuários por hora. A chamada telefônica
tem uma distribuição exponencial com um tempo médio de 5 minutos. Coloca-se então a
questão: quantas cabinas telefônicas devem ser instaladas?
Os valores de λ e µ são respectivamente hora
usuários30 e
hora
usuários12 . Como µλ s< , e não sabemos qual é o valor de s , o número de cabinas não
pode ser menor que 3 ( 12330 ×< ). Vamos resolver a questão por tentativa: calculamos 0P
para 3=s e a correspondente probabilidade 3≥nP ; depois calculamos para 4=s , e assim por
diante até alcançarmos a norma especificada pela companhia. Os resultados dos cálculos estão
mostrados na Tabela 6.1.
Tabela 6.1: Valores de 0P e snP ≥ para diversos valores supostos de s .
Número de servidores,
s
Probabilidade do sistema
ocioso, 0P
Probabilidade do sistema
ocupado, snP ≥
3 0,0449 0,702 → 70,2%
4 0,0737 0,320 → 32%
5 0,0801 0,130 → 13%
6 0,0816 0,047 → 4,7%

26. 226
Da análise da Tabela 6.1, notamos que com 5 (cinco) cabinas, a
probabilidade de um encontrar o sistema ocupado é superior ao índice especificado. A
instalação de seis (6) cabinas telefônicas daria ao usuário uma probabilidade de 4,7% de
espera. Como este número é inferior a 10%, o menor número de cabinas que atenderá às
exigências da companhia é, portanto, 6.
A referência (HILLIER e LIEBERMAN, 1995) mostra traçados de família
de curvas de probabilidade 0P e da grandeza L em função do fator de utilização ρ ,
parametrizadas por s . Essas curvas são úteis na solução de problemas do tipo abordado no
Exemplo 6.5.
Na próxima seção trataremos de sistemas de filas do tipo ‘markoviano’ com
um único atendente e capacidade do sistema finita, dada pela quantidade especificada C .
6.4.3 Sistemas de filas CMM /1//
Neste modelo, se um usuário chega e o sistema já possui C usuários este
não é atendido e é imediatamente descartado. Isto significa que o número de consumidores no
sistema não pode exceder o número especificado C . Em relação ao modelo estudado na seção
6.4.1, a principal modificação é que a taxa média de chegada de usuário será λ para todos os
estados 1−≤ Cn e será zero para Cn ≥ .
O diagrama de transição é parecido com aquele mostrado na Figura 6.6,
exceto pelo fato que o processo pára no estado Cn = . A Figura 6.8 ilustra o diagrama do
modelo CMM /1// .
Figura 6.8: Diagrama de transição de um sistema de filas do tipo CMM /1// .
A exemplo do desenvolvimento apresentado para sistemas 1// MM , para o
sistema CMM /1// temos a probabilidade de encontrar n usuários no sistema dada pela
fórmula (6.27).
λ
10
µ
1−C
µ
C
λ
µ
λ

27. 227
0PP
n
n =
µ
λ
, para Cn ,,1,0= . (6.27)
Supondo 1<= µ
λρ , o cálculo de 0P passa pela avaliação da somatória
1
0
0 =
=
C
n
n
Pρ , que é uma progressão geométrica de 1+C termos.
10
1
1
+
−
−
=
C
P
ρ
ρ
. (6.28)
As relações (6.27) e (6.28) implicam na expressão (6.29),
n
CnP ρ
ρ
ρ
1
1
1
+
−
−
= , para Cn ,,1,0= . (6.29)
As medidas de efetividade qWWL ,, e qL são então obtidas, calculando-se
primeiramente a grandeza L , conforme é mostrada em (6.30).
1
1
1
)1(
1 +
+
−
+
−
−
=
C
C
C
L
ρ
ρ
ρ
ρ
. (6.30)
A referência (HILLIER e LIEBERMAN, 1995) traz em detalhes esta
demonstração.
As demais medidas de efetividade são obtidas utilizando-se as seguintes
relações:
ρ−= LLq ,
λ
LW = ,
λ
q
q
L
W = ,
onde,

28. 228
)1(
1
0
−=→=
−
=
C
n
Cn PP λλλλ . (6.31)
A probabilidade CP é a probabilidade de um usuário encontrar o sistema em
sua capacidade máxima.
1
1
)1(
+
−
−
=
C
C
CP
ρ
ρρ
, para 1<ρ . (6.32)
A obtenção de W e qW a partir de L e qL , respectivamente, requer para o
modelo CMM /1// o emprego do parâmetro λ , que é a esperança matemática da taxa de
chegada. Esta exigência é inerente aos processos de filas cujos sistemas têm capacidades
limitadas. A explicação para isto é a seguinte. Para o −n ésimo estado, a taxa de chegada é a
rigor nλ , sendo a probabilidade correspondente dada por nP . A razão disso é que a taxa nλ
é também uma variável aleatória do processo de nascimento e morte. Em nossas análises, para
fins de simplificação das expressões, adotamos a suposição de que as taxas independem dos
estados ,2,1,0=n e são iguais a λ . Contudo, a taxa média de chegada a longo prazo deve
ser calculada como o valor esperado, ou seja, =
∞
=0n
nnPλλ , sendo nP a proporção do tempo
em que o processo está no estado n . Ora, para sistemas com capacidade ilimitada temos
λλλ ==
∞
=0n
nP , porém, para sistemas limitados, em geral, λλ ≠ , como é o caso mostrado
na expressão (6.31).
Resolveremos um exemplo com a finalidade de esclarecer a aplicação do
modelo estudado nesta seção.
Exemplo 6.6: Um laboratório de radiologia possui apenas um equipamento e atende pacientes
numa base FIFO. Por razões de limitação de espaço físico, o laboratório comporta um
máximo de 4 pacientes. Os pacientes chegam ao laboratório de acordo com um processo de
Poisson, a uma taxa média de 1 paciente por hora. O tempo necessário para atender um
paciente é exponencialmente distribuído com um tempo médio de 45 minutos. Determine:
(a) o número médio de pacientes presentes no laboratório;

29. 229
(b) a probabilidade de um paciente escolhido ao acaso encontrar o laboratório ocupado;
(c) o tempo médio que um paciente deve esperar para ser atendido.
As taxas de chegada e atendimento são horapaciente1=λ e
horapacientes3
4=µ , respectivamente. A intensidade de tráfego oferecida no sistema é
4
3== µ
λρ erlangs.
Dado que 4=C e foi pedido o número médio de pacientes no laboratório,
L , aplicamos a fórmula (6.30).
1
1
1
)1(
1 +
+
−
+
−
−
=
C
C
C
L
ρ
ρ
ρ
ρ
,
5
5
75,01
75,05
75,01
75,0
−
×
−
−
=L ,
444,1≅L pacientes.
A probabilidade de encontrar o laboratório ocupado é a probabilidade de
encontrar 4 pacientes no sistema.
1
1
)1(
+
−
−
=
C
C
CP
ρ
ρρ
,
5
4
4
75,01
75,0)75,01(
−
−
=P ,
1037,04 ≅P .
O tempo médio que um paciente deve esperar para ser atendido é qW , que
requer o cálculo de λ .
)1( CP−= λλ ,
)1037,01(1 −=λ → 8963,0=λ hora
pacientes
.
ρ−= LLq ,
694,075,0444,1 ≅→−= qq LL pacientes.
8963,0
694,0=qW , hora7743,08963,0
694,0 ≅=qW 46≅→ qW minutos.

30. 230
Portanto, o tempo médio de espera de pacientes no laboratório é
aproximadamente de 46 minutos.
Trataremos a seguir dos sistemas de filas do tipo ‘markoviano’ com
múltiplos servidores de atendimento e capacidade finita do sistema.
6.4.4 Sistemas de filas CsMM ///
A dedução da fórmula para cálculo da probabilidade de encontrar n usuários
no sistema para o modelo CsMM /// fica trivial em vista dos desenvolvimentos feitos
anteriormente. A suposição mais forte é que o número de servidores (ou atendentes) é no
máximo igual à capacidade do sistema, ou seja, Cs ≤ .
Para um número n de usuários menores ou iguais ao número de servidores
s , a probabilidade nP é a mesma calculada pela expressão (6.19). Por outro lado, para
Cns ≤≤ , a probabilidade nP é a mesma calculada pela expressão (6.20). Para Cn > ,
0=nP , uma vez que a taxa de chegada é nula já que não é mais admitido nenhum usuário no
sistema.
( )
( )
>
+=
=
=
−
.para,0
,,,1,para,
!
,,,2,1para,
!
0
0
Cn
CssnP
ss
snP
n
P
sn
n
n
n µ
λ
µ
λ
(6.33)
A expressão para o cálculo da probabilidade do sistema ocioso é dada por:
( ) ( )+
=
= +=
−s
n
C
sn
sn
s
sn
sn
P
0 1
0
!!
1
µ
λµ
λ
µ
λ
(6.34)
Já que para sn ≤ não há fila, a fórmula para cálculo do número médio de
usuários na fila é obtida efetuando o desenvolvimento da seguinte expressão:

31. 231
( )
0
!
)( P
ss
snLq
sn
n
C
sn
−
=
−=
µ
λ
,
para jsn =− ,
( )
0
0 !
P
ss
jLq
j
js
sC
j
+
−
=
=
µ
λ
,
j
s
sC
j
s
j
s
P
Lq =
−
=
µ
λ
µ
λ
0
0
!
,
j
sC
j
s
j
s
P
Lq ρ
µ
λ=
−
=0
0
!
,
1
0
0
!
−
−
=
= j
sC
j
s
j
s
P
Lq ρρ
µ
λ ,
mas, 1−
= j
j
j
d
d
ρ
ρ
ρ
, =
−
=
sC
j
js
d
d
s
P
Lq
0
0
! ρ
ρ
ρ
µ
λ ,
=
−
=
sC
j
j
s
d
d
s
P
Lq
0
0
!
ρ
ρ
ρ
µ
λ ,
−
−
=
++
ρ
ρ
ρ
ρ
µ
λ
1
1
!
1
0
sCs
d
d
s
P
Lq .
A última expressão é válida para 1<ρ . O desenvolvimento então é
concluído processando a derivada que compõe a expressão. Conseqüentemente, a expressão
para cálculo de Lq para o modelo de filas CsMM /// é dada por (6.35).
( ) [ ] 02
)1()(1
)1(!
PsC
s
L sCsC
s
q ρρρ
ρ
ρµ
λ
−−−−
−
= −−
, (6.35)
onde, µ
λρ s= .
De posse do valor qL , o número médio de usuários no sistema pode ser
calculado pela expressão (6.36).
)1(
1
0
1
0
−++=
−
=
−
=
s
n
n
s
n
nqq PsnPLL , (6.36)
onde,
( )
0
!
P
n
P
n
n
µ
λ
= .

32. 232
As demais medidas de efetividade são obtidas pela aplicação das seguintes
expressões:
λ
LW = ,
λ
q
q
L
W = .
A importância da teoria de filas em áreas aplicadas é inquestionável. Como
exemplo, citamos o seguinte fato. Numa lista telefônica da companhia Pacific Bell, que
atende a região da Califórnia nos EUA, podemos ler a seguinte frase: “30 second response
time to 90% of customer service phone calls”. Isto quer dizer que, em 90% das chamadas
feitas pelos clientes que usam o sistema da companhia, o tempo de resposta esperado é de 30
segundos. Esta informação só é possível porque algum método que usa teoria de filas foi
aplicado no planejamento do sistema telefônico.
Na área de telefonia, o modelo de filas mais usado é o modelo de Erlang
(vide seção 4.7.4). Em sistemas de comunicações, a intensidade de tráfego é uma variável
aleatória que varia com o tempo, podendo experimentar períodos de ociosidade e de
congestionamento. O projeto de um dado sistema telefônico deve garantir que a probabilidade
de haver congestionamento seja menor ou no máximo igual a um certo valor considerado
razoável. Esta probabilidade é designada como probabilidade de bloqueio, designada pelo
símbolo bP . Dentre os modelos estocásticos de tráfego, o modelo conhecido como Erlang-B é
o indicado para medir a taxa de bloqueio de requisições quando o tráfego é aleatório e não
existe fila de espera. Este é o caso em que a requisição de chamada ao encontrar o sistema
ocupado abandona o sistema, portanto, não formando fila.
No modelo de Erlang, as chamadas chegam a um enlace conforme um
processo de Poisson de taxa conhecida, λ , que é uma medida do número médio de chamadas
por unidade de tempo. Os tempos de serviços seguem a distribuição exponencial, com taxa
µ . O tráfego é caracterizado pela relação µ
λ , que designaremos por ρ . O enlace é
composto por circuitos (troncos ou linhas), e uma chamada é bloqueada e perdida se todos os
circuitos estiverem ocupados. Em caso contrário, a chamada é aceita e utiliza um circuito
durante o seu tempo de retenção. Estudos realizados sobre a distribuição estatística de Poisson
para cálculo da probabilidade de bloqueio podem ser sintetizados na fórmula B de Erlang, ou
fórmula de perda de Erlang, que é dada pela expressão (6.37).

33. 233
=
=
N
k
k
N
b k
N
P
0
!
!
ρ
ρ
.
(6.37)
Cabe notar que o modelo de Erlang é apenas parte de uma área de estudo
conhecida como teoria de filas, que é capaz de tratar problemas complexos de tráfego em
redes que são compartilhadas pelos mais diversos tipos de informação, tais com voz, dados e
multimídia. No caso do tráfego de chamadas telefônicas, o modelo de Erlang-B se aplica sem
restrições.
A avaliação numérica da probabilidade bP através da aplicação direta da
fórmula (6.37) oferece dificuldades uma vez que o número N de linhas pode assumir valores
muito altos. O problema advém tanto do cálculo do fatorial quanto do cálculo das potências
de ρ à medida que N cresce. A referência (QIAO, 1998) propõe um método eficiente de
avaliação da expressão (6.37), e também apresenta um procedimento para obter N ao serem
dados os valores bP e ρ .
Existem outros modelos de filas que possuem expressões analíticas para
cálculo das medidas de efetividade, mas que não serão tratados neste livro. As referências
(HILLIER e LIEBERMAN, 1995) e (NELSON, 1995) são excelentes fontes bibliográficas de
pesquisa e estudo de sistemas de filas. Para o leitor interessado em ampliar seus
conhecimentos sobre a teoria de filas, aconselhamos as referências mencionadas
anteriormente.
6.5 Exercícios propostos
1. O modelo de chegadas de carros seguindo por uma via estreita e única a um banco caixa-
rápido segue um processo de Poisson, com taxa média de um carro por minuto. Os tempos de
utilização são exponencialmente distribuídos, com uma média de 45 segundos. Considerando
que um carro esperará o quanto for necessário, determine (a) o número esperado de carros
aguardando por utilização do caixa-rápido; (b) o tempo médio que um carro espera pela
utilização do serviço; (c) o tempo médio que um carro gasta no sistema e; (d) a probabilidade
de que existam carros esperando na rua, se o estabelecimento do banco pode somente
comportar um máximo de 5 automóveis.

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2. Veículos chegam a um semáforo com duas opções de movimento, seguir em frente ou virar
à direita. Imaginar que os veículos formam fila única ao chegarem no cruzamento. As
chegadas obedecem a um processo de Poisson, com taxa média de 9 veículos a cada 2
minutos. Os tempos de utilização são exponencialmente distribuídos, com uma média de 25
segundos (utilização é quando um veículo recebe permissão de passagem). Supondo taxas
iguais para as demandas e para as duas opções de movimento e considerando que um carro
esperará o quanto for necessário, determine: (a) a probabilidade de encontrar o sistema
ocioso; (b) o número esperado de carros aguardando pela sua vez de passagem; (c) o tempo
médio que um carro espera pela passagem; (d) o tempo médio que um carro permanece no
sistema; e (e) a probabilidade de que um carro tenha que parar neste cruzamento.
3. Uma companhia telefônica instalou 3 cabinas telefônicas em um aeroporto. A demanda de
uso dos aparelhos é estimada como sendo uma distribuição de Poisson de modo que em média
a cada 2,4 minutos chega um novo usuário. Os tempos gastos nas chamadas telefônicas têm
uma distribuição exponencial de modo que, em média, a cada 2 horas 18 usuários concluem
suas ligações. Pergunta-se:
(a) Qual é o fator de utilização das cabinas?
(b) Qual é a probabilidade de encontrar as cabinas vazias, ou seja, o sistema desocupado?
(c) Qual é o número médio de usuários no sistema?
(d) Qual é a probabilidade de que um usuário ao chegar para utilizar o serviço telefônico
tenha que esperar pelo atendimento?
4. Os aviões requisitam permissão para aterrissar em um aeroporto de pista única a uma média
de um a cada 4 minutos; a distribuição das requisições se aproxima da distribuição de
Poisson. Os aviões recebem permissão em uma base de primeiro a chegar, primeiro a ser
atendido, sendo que aqueles que não têm condições de pouso imediato devido a
congestionamento de tráfego aéreo são colocados em espera, mas por restrições do espaço
aéreo da cidade, apenas 3 aviões podem permanecer em espera. O tempo requerido para
pousar um avião varia com a experiência do piloto e é exponencialmente distribuído com
média de 3 minutos. Determine: (a) o número médio de aviões em espera; (b) o tempo médio
que um avião aguarda até conseguir a permissão de pouso; (c) a probabilidade de que existam
mais que dois aviões em espera.

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5. Resolva o exercício anterior supondo que há duas pistas no aeroporto, ou seja,
4/2// MM .
6. Em relação ao modelo de fila estudado na seção 6.4.4, complete a dedução da expressão de
cálculo de qL , que deve resultar em (6.35).
7. Faça uma comparação entre os sistemas de filas 1// MM e CMM /1// , e verifique que as
fórmulas de cálculo das medidas de efetividade do primeiro modelo podem ser obtidas a partir
das fórmulas correspondentes do modelo com capacidade finita ao considerar o limite para
∞→C .
8. Utilize como fonte bibliográfica inicial o artigo (QIAO, 1998) e procure compreender a
proposta dos autores para avaliar a expressão (6.37) contornando as dificuldades numéricas
computacionais verificadas quando o cálculo dessa expressão é efetuado de forma direta.