O documento descreve os principais sistemas de numeração utilizados ao longo da história, incluindo os sistemas egípcio, babilônico, romano, indo-arábico, binário, octal e hexadecimal. Explica como cada sistema representa valores numéricos utilizando diferentes símbolos e regras de posicionamento.

1. M1
Sistemas de Numeração

2. Sistemas de Numeração
 Há milhares de anos o modo de vida era
muito diferente do actual. Os homens
primitivos não tinham necessidade de contar.
Eles não compravam, não vendiam, portanto
não usavam dinheiro.
 Com o passar dos anos, os costumes foram
mudando e o homem passou a cultivar a
terra, a criar animais, a construir casas e a
comercializar. Com isso, surgiu a necessidade
de contar.

3.  A vida foi tornando-se cada vez mais
complexa. Surgiram as primeiras
aldeias que, lentamente, foram
crescendo, tornando-se cidades.
Algumas cidades se desenvolveram,
dando origem às grandes civilizações.

4.  Com o progresso e o alto grau de
organização das antigas civilizações, a
necessidade de aprimorar os
processos de contagem e seus
registros tornou-se fundamental.
 Foram criados, então, símbolos e regras
originando assim os diferentes sistemas
de numeração.

5. Antigos sistemas de
numeração
 Sistemas de numeração Egípcia (3000
a.C.)
 Um dos primeiros sistemas de
numeração de que temos conhecimento
é o egípcio, desenvolvido pelas
civilizações que viviam no vale do Rio
Nilo, ao nordeste de África.

6.  Observem, nos quadros a seguir, os
símbolos e a representação de alguns
números nesse sistema de numeração.

7.  Sistemas de numeração Babilónicos (2000
a.C.)
 Os babilónicos viviam na Mesopotâmia, nos
vales do Rio Tigre e Eufrates, na Ásia. Esta
região é ocupada actualmente pelo Iraque.
 Na escrita dos números de 1 a 59, o sistema
de numeração dos babilónios tinha
semelhanças com o sistema de numeração
desenvolvida pelos egípcios; ambos eram
aditivos.

8.  Observe, no quadro a seguir, os
símbolos e a representação de alguns
números, de 1 a 59, nesse sistema de
numeração.

9.  Sistemas de numeração Romano
 O sistema de numeração romano foi
desenvolvido pela civilização romana,
cuja sede era a cidade de Roma,
situada na Itália.

10.  Ainda hoje, utilizamos esse sistema de
numeração em algumas situações, tais
como:
 na designação de papas e reis;
 na designação de séculos e datas;
 na indicação de capítulos e volumes de
livros;
 nos mostradores de alguns relógios, etc.

11.  Com o passar dos anos, o sistema de
numeração romano sofreu um longo processo
de evolução. Inicialmente, os romanos
utilizavam apenas o principio aditivo, sendo
que um mesmo símbolo podia ser repetido
até, no máximo, 4 vezes. Posteriormente,
eles complicaram este sistema, passando a
utilizar também o princípio subtractivo, além
de permitir a repetição de um mesmo
símbolo, no máximo, três vezes.

13.  Sistemas de numeração Indo-Arábico ou Sistemas de
numeração Decimal
 Os hindus, que viviam no vale do Rio Indo, onde
hoje é o Paquistão, conseguiram desenvolver um
sistema de numeração que reunia as diferentes
características dos antigos sistemas.
 Tratava-se de um sistema posicional decimal.
Posicional porque um mesmo símbolo representava
valores diferentes, dependendo da posição ocupada;
decimal porque eram feitos agrupamentos de dez
em dez.

14.  Esse sistema posicional decimal, criado pelos
hindus, corresponde ao nosso actual sistema
de numeração. Por terem sido os árabes os
responsáveis pela divulgação desse sistema
ele ficou conhecido como sistema de
numeração indo-arábico.
 Os dez símbolos, utilizados para representar
os números, denominam-se algarismos indo-
arábicos. São eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

16. Sistema decimal
 Para se representar qualquer valor um ou
mais algarismos do sistema decimal. Por
exemplo, o n.º 121, neste caso verificamos
que se utilizou a combinação de apenas dois
algarismos, mas o valor do primeiro 1 não é o
mesmo do segundo 1.
 Daqui se conclui que o valor do algarismo
está directamente relacionado com a posição
que ocupa.

17. Sistema decimal
 Se fizermos uma analise mais atenta
podemos constatar que o algarismo 2 é dez
vezes maior que o algarismo que está à sua
direita, ou seja, qualquer numero tem um
peso dez vezes superior ao que se encontra
à sua direita.
 Exemplo:
  121
1
20
100
10
1
10
2
10
1
121 0
1
2
10 










18. Sistema decimal
 Exercícios:
6851=
342=
34,85=
286=
4137,65=
)
10
(
0
1
2
3
6851
1
50
800
6000
10
1
10
5
10
8
10
6 











)
10
(
0
1
2
342
2
40
300
10
2
10
4
10
3 








)
10
(
2
1
0
1
85
,
34
05
,
0
8
,
0
4
30
10
5
10
8
10
4
10
3 










 

)
10
(
0
1
2
286
6
80
200
10
6
10
8
10
2 








)
10
(
2
1
0
1
2
3
65
,
4137
05
,
0
6
,
0
7
30
100
4000
10
5
10
6
10
7
10
3
10
1
10
4 
















 


19. Sistema Binário (base 2)
 O computador para representar qualquer
valor utiliza apenas sequencias de Os e 1s.
 O bit é a unidade mais pequena de
informação.
 Com um bit temos 2 representações
possíveis: 0, 1;
 Com 2 bits temos 4 representações possíveis:
00, 01, 10, 11.

20. Sistema Binário
 Em geral:
 N.º de combinações possíveis = 2n
 (sendo n o n.º de bits)
 Com 3 bits quantas combinações se
podem fazer?

21. Sistema Binário
 Neste sistema o peso ou ponderação dos
algarismos, é semelhante ao sistema
decimal com a diferença que um algarismo
numa determinada posição é 2 vezes maior
que o algarismo que está à sua direita.
 exemplo:
)
10
(
0
1
)
2
( 2
0
2
2
0
2
1
10 







22. Sistema Binário
 Exercícios:
)
10
(
)
2
( ?
1011 
)
10
(
)
2
( ?
10001 
)
10
(
0
1
2
3
11
1
2
0
8
2
1
2
1
2
0
2
1 











)
10
(
0
1
2
3
4
17
1
0
0
0
16
2
1
2
0
2
0
2
0
2
1 















23. Sistema Binário
 Exercícios:
)
10
(
)
2
( ?
101010 
)
10
(
)
2
( ?
110 
)
10
(
0
1
2
6
0
2
4
2
0
2
1
2
1 








)
10
(
0
1
2
3
4
5
42
0
2
0
8
0
32
2
0
2
1
2
0
2
1
2
0
2
1 


















24. Sistema Octal (base 8)
 Suponhamos que o homem, em vez
de cinco, tinha quatro dedos em cada
mão. Suponhamos ainda que os
símbolos usados para os algarismos
eram os mesmos que usamos.
1. Como se escreveriam, no sistema de
numeração que então seria usado, os
números de 0 até 20?

25. Sistema Octal
Base 10 Base 8 Base 10 Base8
0 0 11 13
1 1 12 14
2 2 13 15
3 3 14 16
4 4 15 17
5 5 16 20
6 6 17 21
7 7 18 22
8 10 19 23
9 11 20 24
10 12

26. Sistema Octal
2. Como se interpretaria o seguinte número,
escrito naquele sistema: 572?
 
)
10
(
0
1
2
8
378
2
56
320
1
2
8
7
64
5
8
2
8
7
8
5
572

















27. Sistema Octal
 Converta para decimal os seguintes
números em octal:
a) 27
b) 104
c) 557
)
10
(
0
1
2
68
4
0
64
8
4
8
0
8
1 









)
10
(
0
1
23
7
16
8
7
8
2 






)
10
(
0
1
2
367
7
40
320
8
7
8
5
8
5 










28. Sistema Octal
d) 7265
e) 103,45
f) 465,32
)
10
(
0
1
2
3
3765
5
48
128
3584
5
8
6
64
2
512
7
8
5
8
6
8
2
8
7




















)
10
(
2
1
0
1
2
578125
,
67
015625
,
0
5
125
,
0
4
3
0
64
8
5
8
4
8
3
8
0
8
1

















 

)
10
(
2
1
0
1
2
40625
,
309
015625
,
0
2
125
,
0
3
5
48
256
8
2
8
3
8
5
8
6
8
4

















 


29. Sistema Hexadecimal (base 16)
 Este sistema é constituído por 16
símbolos. Como grande numero dos
sistemas digitais tratam a informação
em agrupamentos de bits em números
múltiplos de 4 tornam este sistema de
grande utilidade uma vez que cada um
dos dígitos que o constitui pode ser
representado por um número binário de
4 bits.

30. Sistema Hexadecimal (base 16)
 Como apenas existem 10 algarismos, os
restantes símbolos deste sistema são as 6
primeiras letras do alfabeto:
A, B, C, D, E, F
 O uso de letras para representar números
pode parecer estranho à primeira vista, mas
note-se que a representação de um número é
apenas a sequencia de símbolos.

31. Sistema Hexadecimal (base 16)
 Se compreendermos que quantidades
representam esses símbolos, deixa de
ter importância a sua forma, quando
nos habituamos ao seu uso.

32. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
00000
00001
00010
00011
00100
00101
00110
00111
01000
01001
01010
01011
01100
01101
01110
01111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
11001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Sistema Hexadecimal
(base 16)

33. Sistema Hexadecimal (base 16)
 Como se conta em hexadecimal depois
de se alcançar um F?
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, 22, 23,
24, 25, 26, 27, 28, 29, 2A, 2B, 2C, 2D,
2E, 2F, 30…

34. Sistema Hexadecimal (base 16)
 Exercícios:
)
10
(
)
16
(
)
10
(
)
16
(
)
10
(
)
16
(
)
10
(
)
16
(
)
10
(
)
16
(
?
2
?
8
5
?
14
?
59
?
3





F
B
D
A
C

35. Sistema Hexadecimal (base 16)
 Resolução:
)
10
(
0
1
)
16
(
60
12
48
16
12
16
3
3







C
)
10
(
0
1
)
16
(
89
9
80
16
9
16
5
59







)
10
(
0
1
2
)
16
(
2580
4
16
2560
16
4
16
1
16
10
14










A

36. Sistema Hexadecimal (base 16)
 Resolução:
)
10
(
0
1
2
)
16
(
1496
8
208
1280
16
8
16
13
16
5
8
5










D
)
10
(
0
1
2
)
16
(
2863
15
32
2816
16
15
16
2
16
11
2










F
B