Tpt mc dermott_1986_planemirror

Student Difficulties in
Understanding Image
Formation
By Fred M. Goldberg and Lillian C. McDermott
Introduction
Ask a student who has just finished studying
geometrical optics where the image of an object
placed in front of a plane mirror is located, and the
student is likely to reply without hesitation that the
image is the same distance behind the mirror as the
is in front. Moreover, the student can probably
produce a ray diagram to justify this answer.
However, pose a slightly more complicated question
that may not have been specifically addressed in the
course, and the outcome is likely to be very
different. For example, if you ask a student who has
not been expressly taught the answer whether his
distance from a small mirror would affect the
amount he could see of his own image, the response
is almost certain to be incorrect. Given time and
encouragement to reconsider, the student very
probably will not even be able to draw a ray diagram
that might help answer the question.
We base the predictions above on the results of
about 65 interviews conducted with college students
both before and after instruction in geometrical
optics. The interviews were part of an investigation
of student understanding of the image produced by a
single lens or mirror. A substantial part of the study
involved image formation by converging lenses and
concave mirrors. l
In this paper, we report only on our
findings for the plane mirror.
The emphasis in this investigation was on
examining the extent to which students connect
formal concepts to real world phenomena. By
gathering detailed information on how individual
students think about images in plane mirrors, we
were able to identify some specific difficulties that
students encounter in attempting to connect the
principles of geometrical optics studied in class with
an image that they can see, or imagine seeing, in a
real mirror. To illustrate how insights gained through
this type of research can be helpful in designing
instruction, we conclude the paper by presenting a
few examples of teaching strategies that were
suggested by our experience in conducting the
investigation. Methods of Investigation
Our primary method of investigation was the
individual demonstration interview, a technique that
has characterized much of the research on
conceptual
*The work described in this paper was carried out at the University of
Washington as part of the research and development conducted by the
Physics Education Group in the Physics Department. Partial support was
provided by the National Science Foundation under grant #SED-81-12924.
216 THE PHYSICS TEACHER NOVEMBER 1986

Student Difficulties
understanding that has been conducted by the
Physics Education Group at the University of
Washington. In an individual demonstration
interview, a simple physical system (in this case, a
plane mirror) serves as the basis for a set of
prescribed tasks to be performed by the student. For
the plane mirror, these tasks consist of questions
presented by the investigator that require the
student to apply principles from geometrical optics to
make predictions and give explanations about the
image seen under different circumstances.
The tasks provide a context for a discussion in
which we attempt to probe in depth the meaning the
student ascribes to a particular concept. If the
student makes an incorrect prediction or uses faulty
reasoning during an interview, we try to give no
indication that something is wrong. The purpose of
the interview is to find out how the student is
thinking. Therefore, rather than helping the student
overcome a difficulty, we may ask additional
questions to help clarify an ambiguous response or to
pursue an interesting point. The discussion is
recorded on audiotape and is later transcribed for
detailed analysis. We also take careful note of the
student's actions in performing the tasks and
preserve all diagrams and calculations.
The emphasis placed on the ability to make
connections between the formalism of physics and
the real world is reflected in the operational criterion
we have chosen to assess understanding: the ability
of a student to apply appropriate concepts and
principles from geometrical optics, including the
drawing of ray diagrams, to predict and explain
image formation by an actual plane mirror. We have
used performance on the plane mirror tasks,
supplemented by information from the discussion, to
assess the level at which a student understands the
image-forming properties of a plane mirror.
The students who participated in our study were
enrolled in both the algebra-based and calculus-
based introductory physics classes at the University
of Washington. About half the students were
interviewed before they had studied geometrical
optics in their course. We will refer to these
students as the pre-students. The other half were
interviewed immediately after they completed their
study of geometrical optics. We will refer to them as
the post-students. Although there was a wide range
of ability among all the students interviewed, most
had grades above the class average.
Fig. l. Plane mirror tasks I and 2. The Investigator asks
the student to place a finger where the Image Is
located and to predict where the Image would be
located If the student were to move toward the
Investigator.
large section of calculus-based physics before the
lectures on geometrical optics began. The
questionnaires included modified versions of the
interview tasks on the plane mirror. Although the
demonstrations were shown to the group as a whole,
we attempted to reproduce the conditions of an
interview as closely as possible. Since it was
impractical to restate the questions on request, we
presented them in writing as well as orally. The
students wrote free responses. Unlike the interviews,
there was no opportunity to interact with individual
students.
Analysis of the written comments of the students
revealed that the patterns of response on the
questionnaires and in the interviews were very much
the same. The results from the questionnaires appear
in summary form in Table I, along with the results
from the corresponding interview tasks.

Plane Mirror Tasks
To probe understanding of reflection from a plane
mirror, we designed a series of four tasks. These
were presented during interviews that also included
tasks on either the converging lens or concave
mirror.2
The entire interview lasted from 40 to 60
minutes. Usually the plane mirror portion did not
extend beyond the first 20 or 25 minutes.
The plane mirror tasks were administered in the
sequence in which they are discussed below,
although not every student did every task. The first
three tasks involve an object that the student
observes; in the fourth, the student considers his
own image. The results of all four are summarized in
Table l, in which the percentages have been rounded
to the nearest 5%.
Plane Mirror Task I
The apparatus used in the first two tasks is shown
in Fig. l . A dowel rod is placed about 10 cm in front of
a vertical plane mirror about 20 cm by 30 cm in size.
The student is seated about 50 cm in front of the
mirror, slightly to the right of the rod, and the
investigator is about 50 cm to the left of the student.
We begin the interview by asking whether the
student sees an image of the rod in the mirror. After
answering that he or she does, the student is given
the following direction: "Put your finger on top of
where the image is located." Virtually all of the post-
students had no problem with this first task; most
immediately placed a finger the same distance
behind the mirror as the object was in front.
However, the task did not seem to have much
meaning for about one-third of the pre-students,
most of whom eventually placed a finger on the
mirror surface but indicated lack of confidence in
their response. This belief among some of the
students, that the image of an object in a plane
mirror lies on the surface, is not unusual among
individuals who are confronted with this question for
the first time. Other studies with both younger and
older subjects have shown similar results.3
Plane Mirror Task 2
In the second task, the student is asked to keep his
or her finger in the same position while considering
the following question: "Suppose you were sitting
where I now am, about two feet to your left, and I
asked you to put your finger above the image. Would
you put your finger at exactly the same place it is
now or at a different place?" After the student makes
a prediction, we ask for an explanation and suggest
the use of diagrams as an aid.
To respond correctly, the student must recognize
that the position of the image depends only on the
position of the object relative to the mirror and is
independent of the observer's position. Many
students, however, predicted that if they were to
move to the left toward the investigator, they would
have to move their finger to the right to keep it
positioned on the image. Most seemed to base this
initial prediction on a belief that an image in a plane
mirror lies behind the mirror along the line of sight
between a viewer and the object. A typical student
diagram exemplifying this type of line-of-sight
reasoning is shown in Fig. 2. Locating images along
the line of sight is correct, of course, only if the line
from the observer's eye to the object lies along the
perpendicular to the mirror.
Some other students who answered incorrectly
offered a parallax type of explanation in support of
their prediction. They referred to their experience of
watching an object shift its position as they viewed it
from different perspectives. The students who
invoked a parallax argument failed to realize that the
absolute
TABLE l. Student responses on plane mirror tasks. Percentages have been rounded to nearest 5%.
Correct responses are indicated by an asterisk ( t
).
Task 1
Question: Where is the image located?
Pre-Instruction Post-
Instruction
Individual
Group
Individual
demonstration demonstration demonstration
Response interviews questionnaire interviews
(N = 26) (N=172) (N = 20)
Behind Mirror* 65 75
On mirror 30 20
Other 5 5 5
THE PHYSICS TEACHER NOVEMBER 1986 218

Task 2 Question: If you were over here, would you put your finger in the same place or a
different place
Pre-Instruction Post-Instruction
Individual
Group
Individual
(N=37) (N=172) (N=21)
Nothing* 5 10 1 5
Move back 90 75 70
Move closer 10
Other 5 5 1 5

Pre-Instruction Post-
Instruction
Individual Group Individual
(N=28) (N=172) (N = 36)
Same place* 45 45 70
Different place 50 30
Other 5 0
Task 3
Question: Would student see the image? Would investigator see the image?
Pre-instruction Post-
instruction
Individual
Group
Individual
(N=l l) (N=172) (N=24)
(C/o) (0/0)
No/Yes* 55 80 70
Yes/No 35 5 5
Yes/Yes 0 10 25
No/No 10 5 0
Task 4
Question: What, if anything, can you do to see more of yourself in the mirror?
drawn incorrect inferences from their experience.
The following excerpt is from an interview with a student who first predicted that, if she were to
move to the left, she would see the image at a different angle and therefore would put her finger
at a different place. After drawing a correct ray diagram, she began to question her original
prediction.
(S: Student: l: Investigator)
image
Fig. 2. Incorrect ray diagram for plane mirror task 2,
drawn by a student who predicted that she would
have to move her finger to the right to keep It
positioned on the Image If she were to move to the
left toward the Investigator.
minot

Fig. 3. Plane mirror task 3. The Investigator asks the
student to predict whether the student can still see
the Image If both the student and the rod are
beyond the right edge of the mirror.
position of the object remains the same as an
observer moves. Only its apparent position relative
to the background changes.
It should be noted that on this task a significant
number of the post-students who initially answered
incorrectly changed their minds during the
interview. In justifying their initial prediction, they
often tried to draw inferences from their
experience. Then, after drawing a correct ray
diagram, they realized their initial prediction must
have been wrong. In the ensuing discussion with the
investigator, the students provided detailed
information on the ways in which they had
S: Maybe I'm wrong ... It seems like they're always going
to intersect (behind the mirror) in the same place no
matter where you are looking at it from. l: What does that
mean?
S: That means it's going to look the same to anybody.
Looking at it from different angles, the image would still
be in the same place.
l: So you now feel that your original statement is not
correct? S: Yeah, once I drew it up. Because I don't see how
I could draw this differently. The rays are still going to
reflect off at equal angles.
l: .0kay. Why do you think you gave a different answer
earlier when you thought of that?
S: Well, it appears differently when you draw it out. I don't
know. I can't really say except that it seemed to me, just
kind of the way that I conceptualized it, that when you
look at it from that side that the image would seem
more over here. I guess when you look at things, just
regular objects, you see them differently than I do from
where you are. So I guess that's maybe how I looked at
it.
Some students who initially gave an incorrect
prediction seemed to be relying heavily on what they
perceived to have been their experience. Often these
students did not change their minds after trying to
draw a ray diagram. Despite the fact that most could
recite the law of reflection, the ray diagrams they
drew were incorrect. It appeared as if they were
trying to make their diagrams confirm the result that
they believed to be correct. During the course of the
interviews, we frequently had the impression that
students were having difficulty resolving conflicts
between predictions based on their interpretations
of experience and predictions based on applications
of the laws of geometrical optics.
Plane Mirror Task 3
Fig. 3 illustrates the arrangement for the third task
that was presented to many of the students during
the interviews. The mirror is kept covered for the
entire task. The student is seated in a position that is
no longer directly in front of the mirror but beyond
the right edge. The dowel rod is also placed beyond
the right edge so that the positions of the rod and
student lie along a line that intersects the covered
mirror. We present the third task by saying: "If I were
to uncover the mirror, would you see an image of the
rod?" After the student has replied, we ask: "Would I
see an image of the rod?" The correct response is
that the student would not be able to see the image
because there is no way that light from the rod to the
mirror could be reflected to the student's eyes. The
investigator, however, would see an image. About
half the pre-students and about three-fourths of the
post-students responded correctly on both parts of
the task.
Students who gave incorrect answers often
justified their predictions with a line-of-sight
argument. The excerpt below and the sketch in Fig. 4
are taken from an interview in which the student
used this strategy and arrived at the wrong
conclusion, both for himself and the investigator.
S: ...I'm sitting here: the rod's sitting there; and my line of
vision passes straight to the rod, to the mirror, and I
would see the image of the rod directly behind the
mirror the same distance.
l: Okay. Now, if I uncovered the mirror, would I see an
image of the rod in the mirror, if I looked in the mirror?
S: From where you're sitting? No, you would not see an
image in the mirror. The rod is not in your line of vision.
Most of the post-students who gave an incorrect
answer said that both they and the investigator
would be able to see the image of the rod. Virtually
all the students who made this error used one kind of
reasoning to predict what the investigator would see
and another kind for themselves. They mistakenly
decided that they would be able to see the image
because it would be on their line of sight to the rod.
On the other hand, by correctly applying the law of
reflection, they concluded that the investigator
would be able to see the image.
It is not difficult to draw a ray diagram to
determine whether an observer located at a certain
position would be able to see an image of the object.
Fig. 5(a) illustrates a convenient way of drawing such
a diagram for the case in which the object is located
directly in front of the mirror. One can begin by
drawing the image the same distance behind the
mirror as the object is in front. Then the two extreme
rays (OA and 0B) may be drawn from the object to
the two edges of the mirror (labeled A and B). The
corresponding reflected rays (AA' and BB') can then
be drawn so that they appear to come from the
direction of the image. An observer located in the
space between these two reflected rays will be able
to see the image because there will always be a ray
that can be drawn from the object, reflect off the
mirror so as to appear to come from the image, and
enter the eye. Fig. 5 (b) shows the situation for an
object that is not located in front of the mirror. In this
case one could draw a line representing an extension
of the mirror surface, draw the image so it is an equal
distance behind this extended line as the object is in
front, and draw the two extreme rays so that after
reflection they appear to originate at the image. An

observer could only see the image from points lying
in the region bounded by the reflected rays AA' and
BB'
Plane Mirror Task 4
The first three plane mirror tasks focused on where
an image is located and on whether an observer can
see an image. We also wished to investigate the
ability of students to determine how much of an
image can be seen in a mirror of a given size. We
therefore presented a fourth task, in which a small
rectangular mirror is held
Fig. 4. Incorrect ray diagram for plane mirror task 3,
drawn by a student who used a line-of-sight
argument to justify the prediction that he would see
the Image and the Investigator would not, If both the
student and the rod were beyond the right edge of
the mirror.
(a)
1
(b
) 1
Fig. 5. Ray diagrams for determining the range of
positions from which an observer could see the image of
an object in a plane mirror. (a) Object located in front of
the mirror. (b) Ob}ect located to the right of the mirror. In
each diagram, the observer must view the image from a
point lying within the region bounded by the reflected
rays AA' and BB
vertically about one meter in front of the student.
The mirror is positioned so that the top of the
student's head appears at the top edge. After the
student indicates, in response to a direct question,
that the image in the mirror extends to about 20 cm
below neck level, the
(a)
(b)
Fig. 6. Diagrams for plane mirror task 4, representlng
two polntsof-vlew taken by students who predicted
that they would see more of themselves by moving
back from the mirror. (a) Diagram sketched by
students who seemed to think of the mirror as
"looking at" them with an angle of view of fixed slze:
(b) Plctorlal representation of the reasoning given by
students who seemed to think of the mirror as
"contalnlng" the Image.
following question is asked: ' 'Is there anything you
could do to enable you to see more of yourself in the
mirror?" The correct response is that there is nothing
that can be done as long as the mirror is held fixed in
a vertical position.
Virtually all students who had not specifically
thought about this question before said that they
would see more of themselves by moving back. It
became clear during the interviews that this response
was based on what the students believed had been
their experience. Most gave either one of two
explanations, or a combination of both, as part of
o

their initial justification. These are illustrated below
by two excerpts from different interviews.
Sl: ...So if I'm here, you can only see part of me. But if I
move back so my whole body is within the angle,
you're going to see my whole body.
S2: ...As I go further away, my image becomes smaller and
is able to fit into the mirror; but as I get close, my
image is much larger, and the mirror is a fixed size.
In Fig. 6(a) is a sketch similar to the one drawn by the
O mirror 1
Fig. 7. Diagram for determlnlng how much of one's
own Image can be seen In a plane mirror of fixed slze.
first student as she tried to explain her reasoning. It
appears that she was thinking of the mirror as
"looking at her" with an angle of view of fixed size. As
she moved farther away from the mirror, a larger
part of her body could fit into this angle. The second
student seemed to conceive of the mirror as
"containing" the image within its borders. This point
of view is illustrated in Fig. 6(b). The student was
apparently drawing on his experience that an object
appears to decrease in size as an observer moves
away: he inferred that more of his image would fit
into the mirror if he could move back. Of course, this
argument neglects the corresponding decrease in the
apparent size of the mirror. Because the apparent
decrease is proportional for mirror and image, the
observer always sees the same amount of his body
regardless of distance from the mirror.4
In attempting to support their predictions on the
fourth plane mirror task, none of the pre-students,
and very few of the post-students, could construct a
ray diagram that could be used to determine how
much of their image an observer would see at varying
distances from the mirror. Many of the students tried
to draw a diagram that would yield what they were
already convinced was the correct answer.
A useful diagram to help resolve this question is
shown in Fig. 7. It is convenient to begin by sketching
the full image, which is located the same distance
behind the mirror as the observer is in front. One can
then draw the two limiting rays (UE and LE) that
reach the eye (point E) after reflection from the
upper and lower edges (labeled U and L) of the
mirror, respectively. These rays, extended backward,
determine the two extreme points of the image (A'
and B') that can be seen by the observer. The
corresponding points on the object (A and B) from
which the limiting rays originate can be found by
reversing their path through application of the law of
reflection at the mirror surface. Redrawing the
diagram for an observer farther from the mirror
demonstrates that the extent of his or her own image
that is visible to an observer does not depend on the
distance from the mirror, but only on its size relative
to the observer.
In none of the other questions we asked were the
students as confident that their incorrect predictions
were correct. Their strong conviction that by moving
back they could see more of themselves may have
been based on invalid inferences that they had drawn
from experience. Usually people use small or
medium-sized mirrors to look at their faces. For the
image to be as large and clear as possible, they try to
get as close to the mirror as convenient. On the other
hand, when people wish to view their entire bodies,
they usually stand farther back and use a large mirror
attached to a wall. By standing farther back, they can
see more of their image with a minimum amount of
eye movement. Perhaps conditioned by their use of
mirrors in daily life, the students might have
associated standing farther back from a mirror with
seeing more of themselves, not realizing that the size
of the mirror, not distance from it, is the critical
factor.
Summary of Research Results
Through systematic interviews with individual
students, we have been able to identify and describe
the nature of several difficulties that students exhibit
when confronted with tasks involving an actual plane
mirror. In the first three tasks discussed above, more
than half of the pre-students based at least one of
their predictions on the belief that an observer can
see an image only if it lies along his or her line of sight
to the object. Although this same idea was also found
among some post-students, those who initially held
this view were able to discard it after drawing a
correct ray diagram. Students who claimed that the
object and the image were at equal distances from
the mirror along the line of sight did not seem to be
thinking of the mirror as a reflecting surface. In an
attempt to reconcile their experience of seeing an
object shift with respect to the background, students
sometimes introduced faulty parallax reasoning and
predicted that an image would be in different
positions for different observers. In all three tasks,
there were a significant number of students who did
not recognize, either before or after instruction, by
the position of the object relative to the mirror and
was independent of the position of the viewer.
A major factor that interfered with success on the
third and fourth plane mirror tasks was a lack of
understanding of the role of the eye in the
perception of an image. Students often had a great
deal of difficulty in deciding where, with respect to a
ray diagram, the eye of an observer must be to see
an image. Many students could not draw a diagram
that would help them determine the range of

positions from which an observer could see an image
or the amount of the image an observer could see
from a given position. The errors made, especially by
pre-students, often seemed to be prompted by a
misinterpretation of past experience.
On almost all of the tasks, the behavior of some
post-students suggested that they did not recognize
the ray diagram as a representation of the principles
of geometrical optics. In spite of being able to state
that the angle of reflection equals the angle of
incidence, they frequently ignored the implications
that this relationship has for the image. In trying to
justify an incorrect prediction, post-students as well
as pre-students would often violate the law of
reflection, seemingly unaware that they were doing
so.s
Impllcatlons for Instruction
Most physics instructors would probably agree
that an important outcome of studying physics
should be an ability to relate general physical
principles to everyday experience. The results of this
investigation have shown that many students
emerge from instruction in geometrical optics
unable to connect the formal description of image
formation by specular reflection with what they see
in a mirror. Below we present a few instructional
strategies suggested by our research that we have
found useful in helping students apply concepts
from physics to the interpretation of the image
formed by an actual plane mirror.
We have used demonstrations with questions
similar to those from the interviews to provoke
classroom discussions that involve students in
confronting some of the misconceptions that were
identified in the investigation. When the size of a
class has made discussion infeasible, it has been
possible to engage students in thinking about a
demonstration by having them write their
predictions, along with explanations which include
ray diagrams. Invariably, there have been many
responses that have matched closely some of the
errors we have illustrated above. Thus, without
necessarily collecting papers or counting on the
students' willingness to share their responses with
the rest of the class, we have been able to draw on
the results from our research to present typical
errors to the class for consideration. The students
observe what actually happens when the questions
that have been posed are answered by experiment.
We have then shown in detail how a proper ray
diagram can lead to a correct solution. Active
involvement in thinking about the demonstration
beforehand helps direct the students' attention to
critical features of the diagram that might otherwise
have escaped their notice.
Some of the tasks from the interviews are easily
incorporated into experiments in the laboratory. The
object pin which students use in a ray-tracing
experiment need not always be centrally located
with respect to the mirror.6
A pin can very well be
placed beyond the mirror, so that the student can
become aware through direct experience that the
image always lies on a perpendicular from the object
to the mirror, and that the position of a given
observer will determine whether it can be seen. Ray
diagrams for determining the extreme positions
from which an image may be viewed can be checked
by actual experiment.
The laboratory is perhaps the best place to raise the
question as to where on a ray diagram the eye of the
observer might be placed so that the image is visible.
The students can replicate the situation in the
diagram with a real mirror and verify whether they
can actually see the image from the position they
have indicated. The laboratory also provides an
excellent environment for students to check the
validity of inferences that they may have based on
experience. It makes a striking impression on
students when they find by looking into a small,
vertically held mirror that they can do nothing to
increase the amount they can see of their own
image.
We have found that the research technique which
we use in our interviews—letting the student fully
explain the reasoning behind a correct or incorrect
answer and not interrupting with any statement as
to whether the response is right or wrong—is also a
good instructional technique. Both in the laboratory
and in the instructor's office, such restraint can help
in the identification of an underlying difficulty.
Rather than immediately showing a student how to
solve a particular problem and perhaps thus
bypassing the difficulty, we try to have the student
expose a misconception or faulty line of reasoning
so that it can be directly addressed. It has been our
experience that unless such a confrontation takes
place, a basic difficulty will almost certainly
resurface again when the context differs slightly
from the problem under discussion.
Only a few concepts and simple geometry are
sufficient to predict and explain the appearance of
the virtual image produced by specular reflection.
Thus the plane mirror can provide a fine context for
helping students recognize at a rudimentary level
what it means to analyze and explain a physical
phenomenon. Perhaps more readily than any other
topic at the introductory level, geometrical optics
allows students to experience the satisfaction of
being able to apply formal scientific concepts and
representations to a real physical system. However,
in most instances, the achievement of these goals
requires conscious intervention by the instructor. As
we have documented in this paper, the way in which
reflection by a plane mirror is usually taught in
introductory college physics often fails to bring
about a functional understanding.a
References
l . F.M. Goldberg and L.C. McDermott, "An Investigation of
Student Understanding of the Real Image Formed by a

Converging Lens or Concave Mirror," Am. J. Phys. (in pres).
2. Goldberg and McDermott (in press).
3. See, for example, the discussion by D. Hawkins in
"Critical Barriers to Science Learning," 29, 3 (1978) and
Ref. 4 below.
4. A written version of a comparable task was
administered to pre-college students in Germany
several years ago. Both the results and the way in which
they were interpreted in that study are consistent with
those from the present investigation. See W. Jung,
'Erhebungen zu Schulervorstellungen in Optik," Physica
Didactica 8, 137 ( 1 98 1 ).
5. Similar results have been obtained on similar tasks from
pre-service and in-service elementary school teachers in
a recent study conducted at West Virginia University.
See F.M. Goldberg, B.C. A'Hearn, and BE. Churchill,
'Investigation of Difficulties in Understanding Optics and
Kinematics Among Precollege Teachers," AAPT
Announcer 15, No. 4, 82 (1985).
6. See, for example, PSSC Physics, Laboratory Guide, 6th
ed. (Heath, Lexington, 1986).
Dificuldades do aluno em Entendendo a Formação da Imagem
Por Fred M. Goldberg e Lillian C. McDermott
Introdução
Pergunte a um estudante que acaba de terminar de estudar a óptica geométrica, onde a imagem de um
objeto colocado na frente de um espelho plano está localizado, eo estudante é susceptível de responder sem
hesitação que a imagem é a mesma distância atrás do espelho como o está na frente. Além disso, o aluno
provavelmente pode produzir um diagrama de raios para justificar esta resposta. No entanto, colocar uma
questão ligeiramente mais complicada que pode não ter sido especificamente abordado no curso, eo resultado é
provável que seja muito diferente. Por exemplo, se você perguntar a um aluno que não foi expressamente
ensinado a resposta se sua distância de um pequeno espelho afetaria a quantidade que ele poderia ver de sua
própria imagem, a resposta é quase certa de ser incorreta. Dado tempo e encorajamento para reconsiderar, o
aluno muito provavelmente não será capaz de desenhar um diagrama de raios que possa ajudar a responder à
pergunta.
Baseamos as previsões acima nos resultados de cerca de 65 entrevistas realizadas com estudantes universitários
antes e depois da instrução em óptica geométrica. As entrevistas foram parte de uma investigação do aluno
compreensão da imagem produzida por uma única lente ou espelho. Uma parte substancial do estudo envolveu
a formação de imagem por lentes convergentes e espelhos côncavos. L Neste artigo, relata-se somente em
nossos achados para o espelho plano.
A ênfase nesta investigação foi examinando até que ponto os alunos conectam conceitos formais com
fenômenos do mundo real. Através da coleta de informações detalhadas sobre como os alunos pensam sobre
imagens em espelhos planos, conseguimos identificar algumas dificuldades específicas que os alunos encontram
ao tentar conectar os princípios da óptica geométrica estudada em sala de aula com uma imagem que eles
podem ver, em um espelho real. Para ilustrar como insights adquiridos através deste tipo de pesquisa pode ser
útil na concepção de instrução, concluímos o artigo, apresentando alguns exemplos de estratégias de ensino que
foram sugeridas pela nossa experiência na condução da investigação.
Métodos de Investigação
Nosso principal método de investigação foi a entrevista de demonstração individual, uma técnica que tem
caracterizado grande parte da pesquisa sobre conceituais.
O trabalho descrito neste trabalho foi realizado na Universidade de Washington como parte da pesquisa e desenvolvimento
realizado pelo Grupo de Educação Física do Departamento de Física. O apoio parcial foi fornecido pela National Science Foundation sob
a concessão # SED-81-12924.
Compreensão que tem sido conduzida pelo Grupo de Educação Física na Universidade de Washington. Em uma
entrevista de demonstração individual, um sistema físico simples (neste caso, um Espelho plano) serve como
base para um conjunto de tarefas prescritas a serem realizadas pelo aluno. Para o espelho plano, essas tarefas
consistem em perguntas apresentadas pelo pesquisador que exigem que o aluno aplique princípios da óptica
geométrica para fazer previsões e dar explicações sobre a imagem vista sob diferentes circunstâncias.
As tarefas fornecem um contexto para uma discussão na qual tentamos aprofundar o significado que o aluno

atribui a um determinado conceito. Se o aluno faz uma previsão incorreta ou usa raciocínio defeituoso durante
uma entrevista, tentamos não dar nenhuma indicação de que algo está errado. O objetivo da entrevista é
descobrir como o aluno está pensando. Portanto, ao invés de ajudar o aluno a superar uma dificuldade, podemos
fazer perguntas adicionais para ajudar a esclarecer uma resposta ambígua ou buscar um ponto interessante. A
discussão é gravada em fita de áudio e é mais tarde transcrita para análise detalhada. Também tomamos nota
cuidadosa das ações do aluno na execução das tarefas e preservamos todos os diagramas e cálculos.
A ênfase colocada na capacidade de estabelecer conexões entre o formalismo da física eo mundo real reflete-se
no critério operacional que escolhemos para avaliar o entendimento: a capacidade de um aluno aplicar conceitos
e princípios apropriados a partir da óptica geométrica, incluindo o desenho de para prever e explicar a formação
da imagem por um espelho plano real. Utilizamos o desempenho nas tarefas do espelho plano, complementado
por informações da discussão, para avaliar o nível no qual um aluno compreende as propriedades de formação
de imagem de um espelho plano.
Os alunos que participaram do nosso estudo foram matriculados em ambas as classes de introdução a física
antes de estudarem a óptica geométrica em seu curso. Nós nos referiremos a esses alunos como pré-alunos. A
outra metade foi entrevistada imediatamente após completar o estudo da óptica geométrica. Nós nos
referiremos a eles como os pós-alunos. Embora houvesse uma ampla gama de habilidade entre todos os alunos
entrevistados, a maioria tinha notas acima da média da turma.álgebra e baseado em cálculos na Universidade de
Washington. Cerca de metade dos alunos foram entrevistados.
Além de entrevistas individuais, também administramos questionários de demonstração
FIG. 1. Tarefas de espelho plano I e 2.

O Investigador pede ao aluno para colocar um dedo onde a Imagem está localizada e para prever onde a
Imagem estaria localizada Se o aluno se movesse em direção ao Investigador.
Grande parte da física baseada em cálculos antes das palestras sobre óptica geométrica começou. Os
questionários incluíam versões modificadas das tarefas de entrevista no espelho plano. Embora as
demonstrações tenham sido mostradas ao grupo como um todo, tentamos reproduzir as condições de uma
entrevista o mais próximo possível. Uma vez que era impraticável reformular as questões a pedido,
apresentámos as mesmas por escrito, bem como oralmente. Os alunos escreveram respostas gratuitas. Ao
contrário das entrevistas, não houve oportunidade de interagir com alunos individuais.
A análise dos comentários escritos dos alunos revelou que os padrões de resposta nos questionários e nas
entrevistas eram muito semelhantes. Os resultados dos questionários aparecem resumidos na Tabela I,
juntamente com os resultados das tarefas de entrevista correspondentes.
Espelho plano tarefa.
Para sondar a compreensão da reflexão a partir de um espelho plano, projetamos uma série de quatro tarefas.
Estes foram apresentados durante as entrevistas que também incluíram tarefas na lente convergente ou espelho
côncavo.2 Toda a entrevista durou de 40 a 60 minutos. Geralmente, a porção de espelho plano não se estende
para além dos primeiros 20 ou 25 minutos.
As tarefas de espelho plano foram administradas na seqüência em que são discutidas abaixo, embora nem todos
os alunos tenham feito cada tarefa. As três primeiras tarefas envolvem um objeto que o aluno observa; No
quarto, o aluno considera sua própria imagem. Os resultados de todos os quatro estão resumidos na Tabela 1,
em que as percentagens foram arredondadas para os 5% mais próximos.
Espelho plano Tarefa I
O aparelho utilizado nas duas primeiras tarefas é mostrado na Fig. 1 . Uma vareta é colocada cerca de 10 cm em
frente a um espelho plano vertical de cerca de 20 cm por 30 cm de tamanho. O aluno está sentado a cerca de 50
cm à frente do espelho, ligeiramente à direita da vara, eo investigador está a cerca de 50 cm à esquerda do
aluno.
Começamos a entrevista perguntando se o aluno vê uma imagem da vara no espelho. Depois de responder que
ele ou ela faz, o aluno é dado a seguinte direção: "Coloque seu dedo em cima de Onde a imagem está localizada
". Praticamente todos os pós-alunos não tiveram nenhum problema com esta primeira tarefa, mais
imediatamente colocou um dedo a mesma distância atrás do espelho como o objeto estava na frente.No
entanto, a tarefa não parece ter muito O que significa que cerca de um terço dos pré-alunos, a maioria dos quais
eventualmente colocou um dedo sobre a superfície do espelho, mas indicou falta de confiança em sua resposta.
Esta crença entre alguns dos alunos, que a imagem de um objeto em um espelho plano Encontra-se na
superfície, não é incomum entre os indivíduos que são confrontados com esta questão pela primeira vez. Outros
estudos com ambos os mais jovens e mais velhos têm mostrado resultados semelhantes.
Espelho plano Tarefa 2
Na segunda tarefa, o aluno é solicitado a manter o dedo na mesma posição, considerando a seguinte pergunta:
"Suponha que você estava sentado onde eu estou agora, cerca de dois pés à sua esquerda, e eu pedi para você
colocar o dedo Acima da imagem.Você colocaria o dedo exatamente no mesmo lugar que é agora ou em um
lugar diferente? " Depois que o aluno faz uma previsão, pedimos uma explicação e sugerimos o uso de diagramas

como um auxílio.
Para responder corretamente, o aluno deve reconhecer que a posição da imagem depende apenas da posição do
objeto em relação ao espelho e é independente da posição do observador. Muitos estudantes, entretanto,
predisseram que se fossem mover à esquerda para o investigador, teriam que mover seu dedo à direita para
mantê-lo posicionado na imagem. A maioria parecia basear essa previsão inicial na crença de que uma imagem
em um espelho plano se encontra atrás do espelho ao longo da linha de visão entre um espectador e o objeto.
Um diagrama estudantil típico que exemplifica este tipo de raciocínio de linha de visão é mostrado na Fig. 2.
Localizar imagens ao longo da linha de visão é correto, é claro, somente se a linha do olho do observador para o
objeto fica ao longo da perpendicular ao espelho.
Alguns outros alunos que responderam incorretamente ofereceram um tipo de explicação de paralaxe em apoio
à sua previsão. Eles se referiram à sua experiência de ver uma mudança de objeto sua posição como eles a viam
de perspectivas diferentes. Os alunos que invocaram um argumento de paralaxe não perceberam que o absoluto
Inferências incorretas de sua experiência.

O trecho a seguir é de uma entrevista com um estudante que primeiro previu que, se ela se movesse para a
esquerda, ela veria a imagem em um ângulo diferente e, portanto, colocaria o dedo em um lugar diferente.
Depois de desenhar um diagrama de raio correto, ela começou a questionar sua previsão original.
(S: Estudante: l: Investigador)

FIG. 2. Diagrama de raio incorreto para a tarefa de espelho plano 2, desenhado por uma estudante que previu
que ela teria que mover o dedo para a direita para mantê-la posicionada na Imagem Se ela se movesse para a
esquerda em direção ao Investigador.
FIG. 3. Tarefa espelho plano 3. O Investigador pede ao aluno para prever se o aluno ainda pode ver a imagem
Se o aluno ea vara estão além da borda direita do espelho.
Posição do objeto permanece o mesmo que um observador se move. Apenas a sua posição aparente em relação
ao fundo muda.
Note-se que nesta tarefa um número significativo de pós-alunos que inicialmente respondeu incorretamente
mudaram de opinião durante a entrevista. Ao justificar sua predição inicial, eles muitas vezes tentaram extrair
inferências de sua experiência. Então, depois de desenhar um diagrama de raio correto, eles perceberam que
sua previsão inicial deveria ter sido errada. Na discussão que se seguiu com o investigador, os alunos
forneceram informações detalhadas sobre as
S: Talvez eu esteja errado ... Parece que eles sempre vão se cruzar (atrás do espelho) no mesmo lugar, não
importa onde você está olhando para ele. L: O que isso significa?
S: Isso significa que vai parecer o mesmo para qualquer um. Olhando-o de ângulos diferentes, a imagem ainda
estaria no mesmo lugar.
L: Então você agora sente que sua declaração original não está correta? S: Sim, uma vez que eu o fiz. Porque eu
não vejo como eu poderia desenhar isso de forma diferente. Os raios ainda vão refletir em ângulos iguais.
L: .0kay. Por que você acha que deu uma resposta diferente antes, quando pensou nisso?
S: Bem, parece diferente quando você tira isto. Eu não sei. Eu realmente não posso dizer, exceto que me
pareceu, apenas um pouco da maneira que eu conceituá-lo, que quando você olha para ele por esse lado que a
imagem parece mais aqui. Eu acho que quando você olha para as coisas, apenas objetos comuns, você vê-los de
forma diferente do que eu faço de onde você está. Então eu acho que é talvez como eu olhei para ele.
Alguns alunos que inicialmente deram uma previsão incorreta parecia estar dependendo fortemente do que
eles perceberam ter sido a sua experiência. Muitas vezes esses alunos não mudaram de idéia depois de tentar
desenhar um diagrama de raios. Apesar do fato de que a maioria poderia recitar a lei da reflexão, os diagramas
de raios que eles desenharam eram incorretos. Parecia que eles estavam tentando fazer seus diagramas

confirmar o resultado que eles acreditavam estar correto. Durante o curso das entrevistas, freqüentemente
tivemos a impressão de que os alunos estavam tendo dificuldade em resolver conflitos entre previsões com
base em suas interpretações de experiência e previsões baseadas em aplicações das leis da óptica geométrica.
Espelho plano Tarefa 3
FIG. 3 ilustra o arranjo para a terceira tarefa que foi apresentada a muitos dos alunos durante as entrevistas. O
espelho é mantido coberto para toda a tarefa. O aluno está sentado em uma posição que não está mais
diretamente na frente do espelho, mas além da borda direita. A haste de cavilha também é colocada para além
da borda direita, de modo que as posições da haste e do aluno ficam ao longo de uma linha que intersecta o
espelho coberto. Apresentamos a terceira tarefa dizendo: "Se eu descobrisse o espelho, você veria uma imagem
da vara?" Depois que o aluno respondeu, perguntamos: "Eu veria uma imagem da vara?" A resposta correta é
que o aluno não seria capaz de ver a imagem porque não há nenhuma maneira que a luz da haste para o
espelho poderia ser refletida aos olhos do aluno. O investigador, no entanto, veria uma imagem.
Cerca de metade dos pré-alunos e cerca de três quartos dos pós-alunos responderam corretamente em
ambas as partes da tarefa.
Os alunos que deram respostas incorretas muitas vezes justificaram suas previsões com um argumento de linha
de vista. O trecho abaixo e o esboço na Fig. 4 são retirados de uma entrevista em que o aluno usou essa
estratégia e chegou à conclusão errada, tanto para ele como para o investigador.
S: ... Eu estou sentado aqui: a vara está sentada lá; E minha linha de visão passa direto para a vara, para o
espelho, e eu veria a imagem da vara diretamente atrás do espelho à mesma distância.
Eu: Ok. Agora, se eu descobrisse o espelho, eu veria uma imagem da vara no espelho, se eu olhasse no espelho?
S: De onde você está sentado? Não, você não veria uma imagem no espelho. A vara não está na sua linha de
visão.
A maioria dos pós-alunos que deram uma resposta incorreta disse que tanto eles como o investigador seria
capaz de ver a imagem da vara. Praticamente todos os alunos que fizeram esse erro usaram um tipo de
raciocínio para prever o que o investigador veria e outro tipo para si. Eles erroneamente decidiram que seriam
capazes de ver a imagem porque seria na sua linha de visão para a vara. Por outro lado, aplicando corretamente
a lei da reflexão, concluíram que o investigador seria capaz de ver a imagem.
Não é difícil desenhar um diagrama de raios para determinar se um observador localizado em uma determinada
posição seria capaz de ver uma imagem do objeto. FIG. 5 (a) ilustra uma maneira conveniente de desenhar um
tal diagrama para o caso em que o objecto está localizado directamente em frente do espelho. Pode-se começar
por desenhar a imagem na mesma distância atrás do espelho como o objeto está na frente. Em seguida, os dois
raios extremos (OA e 0B) podem ser desenhados a partir do objeto para as duas bordas do espelho (rotulado A
e B). Os raios reflectidos correspondentes (AA 'e BB') podem então ser desenhados de modo que parecem vir da
direcção da imagem. Um observador localizado no espaço entre estes dois raios refletidos será capaz de ver a
imagem porque sempre haverá um raio que pode ser desenhado a partir do objeto, refletir fora do espelho de
modo a aparecer para vir da imagem e entrar no olho. FIG. 5 (b) mostra a situação de um objeto que não está
localizado na frente do espelho. Neste caso, pode-se desenhar uma linha representando uma extensão da
superfície do espelho, desenhar a imagem de modo que ela fique a mesma distância atrás desta linha estendida
à medida que o objeto está na frente e desenhar os dois raios extremos de modo que após a reflexão eles
pareçam originar Na imagem. Um observador só podia ver a imagem a partir de pontos situados na região
delimitada pelos raios refletidos AA 'e BB'
Plane Mirror Tarefa 4
As três primeiras tarefas de espelho plano se concentram em onde a imagem está localizada e em se um
observador pode ver uma imagem. Também desejamos investigar a capacidade dos alunos para determinar o
quanto de uma imagem pode ser visto em um espelho de um determinado tamanho. Portanto, apresentamos
uma quarta tarefa, na qual um pequeno espelho retangular é mantido Verticalmente cerca de um metro à
frente do aluno. O espelho é posicionado de modo que a parte superior da cabeça do estudante apareça na
borda superior. Depois que o aluno indica, em resposta a uma pergunta direta, que a imagem no espelho
estende-se a cerca de 20 cm abaixo do nível do pescoço, a seguinte pergunta é feita: "Existe alguma coisa que
você poderia fazer para permitir que você veja mais de si mesmo no espelho?" A resposta correta é que não há
nada que pode ser feito enquanto o espelho é mantido fixo em uma posição vertical .

FIG. 4. Diagrama de raio incorreto para a tarefa de espelho plano 3, desenhado por um aluno que usou um
argumento de linha de vista para justificar a previsão de que veria a Imagem e o Investigador não, se o aluno ea
vara estivessem além da Direita do espelho.
FIG. 5. Diagramas de raio para determinar a gama de posições a partir das quais um observador pode ver a
imagem de um objeto em um espelho plano. (A) Objeto localizado na frente do espelho. (B) Obj ecto localizado à
direita do espelho. Em cada diagrama, o observador deve ver a imagem a partir de um ponto situado dentro da
região delimitada pelos raios refletidos AA 'e BB.
Praticamente todos os alunos que não tinham pensado especificamente sobre esta questão antes disseram
que iriam ver mais de si mesmos ao voltar para trás. Ficou claro durante as entrevistas que essa resposta foi
baseada no que os alunos acreditavam ter sido sua experiência. A maioria deu uma ou duas explicações, ou uma
combinação de ambas, como parte de sua justificativa inicial. Estes são ilustrados abaixo por dois trechos de
diferentes entrevistas.

FIG. 6. Diagramas para a tarefa 4 do espelho plano, representando dois polntsof-vlew tomados pelos
estudantes que predisseram que veriam mais de se ao retroceder do espelho. (A) Diagrama esboçado por alunos
que pareciam pensar no espelho como "olhando" para eles com um ângulo de visão de slice fixo: (b)
Representação plctlclal do raciocínio dado por estudantes que pareciam pensar no espelho como "contalnlng " a
imagem.
Sl: ... Então, se eu estou aqui, você só pode ver parte de mim. Mas se eu voltar para o meu corpo inteiro está
dentro do ângulo, você vai ver todo o meu corpo.
S2: ... Ao ir mais longe, minha imagem se torna menor e é capaz de se encaixar no espelho; Mas como eu chegar
perto, minha imagem é muito maior, eo espelho é um tamanho fixo.
Na fig. 6 (a) é um esboço semelhante ao desenhado pelo Primeiro estudante enquanto ela tentava explicar seu
raciocínio. Parece que ela estava pensando no espelho como "olhando para ela" com um ângulo de visão de
tamanho fixo. À medida que se afastava do espelho, uma parte maior de seu corpo podia se encaixar nesse
ângulo. O segundo aluno pareceu conceber o espelho como "contendo" a imagem dentro de suas fronteiras.
Este ponto de vista é ilustrado na Fig. 6 (b). Aparentemente, o aluno estava se baseando na experiência de que
um objeto parece diminuir de tamanho à medida que um observador se afasta: ele deduziu que mais de sua
imagem caberia no espelho se pudesse retroceder. Naturalmente, este argumento negligencia a diminuição
correspondente no tamanho aparente do espelho. Como a diminuição aparente é proporcional ao espelho e à
imagem, o observador sempre vê a mesma quantidade de seu corpo, independentemente da distância do
espelho.
FIG. 7. Diagrama para determlnlng o quanto de sua própria imagem pode ser visto em um espelho plano de
slze fixo.
Ao tentar apoiar suas previsões sobre a tarefa do quarto espelho plano, nenhum dos pré-alunos, e muito
poucos dos pós-alunos, poderia construir um diagrama de raios que pudesse ser usado para determinar o
quanto de sua imagem um observador veria em Distâncias do espelho. Muitos dos alunos tentaram desenhar

um diagrama que renderia o que eles já estavam convencidos de que era a resposta correta.
Um diagrama útil para ajudar a resolver esta questão é mostrado na Fig. 7. É conveniente começar esboçando a
imagem cheia, que está localizada a mesma distância atrás do espelho que o observador está na frente. Pode-se
então desenhar os dois raios limitadores (UE e LE) que atingem o olho (ponto E) após reflexão dos bordos
superior e inferior (rotulados U e L) do espelho, respectivamente. Estes raios, estendidos para trás, determinam
os dois pontos extremos da imagem (A 'e B') que podem ser vistos pelo observador. Os pontos correspondentes
no objeto (A e B) de onde os raios limitadores se originam podem ser encontrados por meio da inversão de seu
caminho através da aplicação da lei de reflexão na superfície do espelho. Redesenhar o diagrama para um
observador mais distante do espelho demonstra que a extensão de sua própria imagem que é visível para um
observador não depende da distância do espelho, mas apenas do seu tamanho em relação ao observador.
Em nenhuma das outras perguntas que fizemos, os alunos estavam tão confiantes de que suas previsões
incorretas estavam corretas. Sua forte convicção de que ao voltar para trás eles poderiam ver mais de si
mesmos podem ter sido baseados em inferências inválidas que tinham tirado da experiência. Geralmente as
pessoas usam espelhos de tamanho pequeno ou médio para olharem para seus rostos. Para que a imagem seja
tão grande e clara quanto possível, eles tentam se aproximar o mais possível do espelho. Por outro lado,
quando as pessoas desejam ver seus corpos inteiros, eles geralmente ficam mais para trás e usar um grande
espelho anexado a uma parede. Ao ficar mais distante para trás, eles podem ver mais de sua imagem com uma
quantidade mínima de movimento dos olhos. Talvez condicionados pelo uso de espelhos na vida cotidiana, os
alunos podem ter se associado a ficar mais distante do espelho, vendo mais de si mesmos, sem perceber que o
tamanho do espelho, e não a distância dele, é o fator crítico.
Resumo dos Resultados da Pesquisa
Através de entrevistas sistemáticas com alunos individuais, temos sido capazes de identificar e descrever a
natureza de várias dificuldades que os alunos exibem quando confrontados com tarefas envolvendo um espelho
plano real. Nas primeiras três tarefas discutidas acima, mais de metade dos pré-alunos baseou pelo menos uma
de suas previsões na crença de que um observador pode ver uma imagem apenas se ela se situar ao longo de
sua linha de visão para o objeto. Embora essa mesma idéia também foi encontrada entre alguns pós-alunos,
aqueles que inicialmente realizada esta opinião foram capazes de descartá-lo depois de desenhar um diagrama
de raio correto. Estudantes que alegaram que o objeto ea imagem estavam a distâncias iguais do espelho ao
longo da linha de visão não pareciam estar pensando no espelho como uma superfície reflectora. Na tentativa
de reconciliar sua experiência de ver uma mudança de objeto em relação ao plano de fundo, os alunos às vezes
introduziram falhas no raciocínio de paralaxe e previam que uma imagem estaria em posições diferentes para
diferentes observadores. Nas três tarefas, havia um número significativo de alunos que não reconheciam, antes
ou depois da instrução, pela posição do objeto em relação ao espelho e eram independentes da posição do
espectador.
Um fator importante que interferiu com o sucesso nas tarefas do terceiro e quarto espelhos planos foi a falta de
compreensão do papel do olho na percepção de uma imagem. Os alunos muitas vezes tinham muita dificuldade
em decidir onde, com respeito a um diagrama de raios, o olho de um observador deve estar para ver uma
imagem. Muitos alunos não conseguiram desenhar um diagrama que os ajudasse a determinar a gama de
posições a partir das quais um observador podia ver uma imagem ou a quantidade de imagem que um
observador podia ver a partir de uma determinada posição. Os erros cometidos, especialmente pelos pré-alunos,
muitas vezes pareciam ser motivados por uma interpretação errônea da experiência passada.
Em quase todas as tarefas, o comportamento de alguns pós-estudantes sugeriu que eles não reconheceram o
diagrama de raios como uma representação dos princípios da óptica geométrica. Apesar de ser capaz de afirmar
que o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência, eles freqüentemente ignoraram as implicações que essa
relação tem para a imagem. Ao tentar justificar uma previsão incorreta, pós-alunos, bem como pré-alunos,
muitas vezes violam a lei da reflexão, aparentemente sem saber que eles estavam fazendo isso.
Impllcatlons para instrução
A maioria de instrutores da física concordariam provavelmente que um resultado importante de estudar física
deve ser uma habilidade relacionar princípios físicos gerais à experiência diária. Os resultados desta investigação
mostraram que muitos estudantes emergem da instrução em ótica geométrica incapaz de conectar a descrição
formal da formação de imagem por reflexão especular com o que eles vêem em um espelho. Abaixo
apresentamos algumas estratégias de instrução sugeridas por nossa pesquisa que encontramos úteis para ajudar
os alunos a aplicar conceitos da física à interpretação da imagem formada por um espelho plano real.
Utilizamos demonstrações com perguntas semelhantes às das entrevistas para provocar discussões em sala de
aula que envolvem os alunos para enfrentar alguns dos equívocos que foram identificados na investigação.
Quando o tamanho de uma classe tornou a discussão inviável, tem sido possível envolver os alunos a pensar
sobre uma demonstração, fazendo-os escrever suas previsões, juntamente com explicações que incluem

diagramas de raios. Invariavelmente, houve muitas respostas que acompanharam de perto alguns dos erros que
ilustramos acima. Assim, sem necessariamente coletar trabalhos ou contar com a disposição dos alunos para
compartilhar suas respostas com o resto da turma, pudemos nos basear nos resultados de nossa pesquisa para
apresentar erros típicos à turma para consideração. Os alunos observam o que realmente acontece quando as
perguntas que foram feitas são respondidas por experiência. Em seguida, mostramos em detalhes como um
diagrama de raio adequado pode levar a uma solução correta. O envolvimento ativo em pensar sobre a
demonstração de antemão ajuda a dirigir a atenção dos alunos para as características críticas do diagrama que
de outra forma poderiam ter escapado ao seu conhecimento.
Algumas das tarefas das entrevistas são facilmente incorporadas em experiências no laboratório. O pino de
objeto que os alunos usam em uma experiência de rastreamento de raios nem sempre precisa estar localizado
centralmente em relação ao espelho.6 Um pino pode muito bem ser colocado além do espelho, de modo que o
aluno possa tomar consciência através da experiência direta que a imagem sempre Encontra-se em uma
perpendicular do objeto ao espelho, e que a posição de um determinado observador determinará se pode ser
visto. Os diagramas de raio para determinar as posições extremas a partir das quais uma imagem pode ser
visualizada podem ser verificados por experiência real.
O laboratório é talvez o melhor lugar para levantar a questão de onde em um diagrama de raio o olho do
observador pode ser colocado de modo que a imagem é visível. Os alunos podem replicar a situação no
diagrama com um espelho real e verificar se eles podem realmente ver a imagem a partir da posição que
indicaram. O laboratório também fornece um excelente ambiente para os alunos para verificar a validade das
inferências que eles podem ter com base na experiência. Faz uma impressão impressionante sobre os alunos
quando eles encontram, olhando para um espelho pequeno, verticalmente realizada que eles não podem fazer
nada para aumentar a quantidade que podem ver de sua própria imagem.
Descobrimos que a técnica de pesquisa que usamos em nossas entrevistas - permitindo que o aluno explique
completamente o raciocínio por trás de uma resposta correta ou incorreta e não interrompa com qualquer
declaração sobre se a resposta é certa ou errada - também é uma boa técnica de instrução. Tanto no laboratório
como no consultório do instrutor, tal restrição pode ajudar na identificação de uma dificuldade subjacente. Ao
invés de mostrar imediatamente a um aluno como resolver um problema específico e, talvez, assim, ignorando
a dificuldade, tentamos fazer com que o aluno expõe uma concepção errada ou linha de raciocínio defeituoso
para que possa ser abordado diretamente. Foi nossa experiência que, a menos que tal confronto aconteça, uma
dificuldade básica quase certamente voltará a surgir quando o contexto difere ligeiramente do problema em
discussão.
Apenas alguns conceitos e geometria simples são suficientes para prever e explicar a aparência da imagem
virtual produzida pela reflexão especular. Assim, o espelho plano pode fornecer um bom contexto para ajudar
os alunos a reconhecer a um nível rudimentar o que significa analisar e explicar um fenômeno físico. Talvez mais
prontamente do que qualquer outro tópico no nível introdutório, a óptica geométrica permite aos alunos
experimentar a satisfação de ser capaz de aplicar conceitos e representações científicas formais a um sistema
físico real. No entanto, na maioria dos casos, a realização destes objectivos requer intervenção consciente pelo
instrutor. Como documentamos neste artigo, a maneira pela qual a reflexão por um espelho plano geralmente é
ensinada na física introdutória da faculdade muitas vezes não consegue trazer uma compreensão funcional.
Referências
eu . F.M. Goldberg e L.C. McDermott, "uma investigação da compreensão do estudante da imagem real formada
por uma lente convergente ou um espelho côncavo," am. J. Phys. (Em pres). 2. Goldberg e McDermott (na
imprensa).
3. Ver, por exemplo, a discussão de D. Hawkins em "Critical Barriers to Science Learning", 29, 3 (1978) e Ref. 4
abaixo.
4. Uma versão escrita de uma tarefa comparável foi administrada a estudantes pré-universitários na Alemanha
há vários anos. Tanto os resultados como a forma como foram interpretados nesse estudo são consistentes com
os da presente investigação. Ver W. Jung, "Erhebungen zu Schulervorstellungen in Optik", Physica Didactica 8,
137 (1 98 1).
5. Resultados semelhantes foram obtidos em tarefas semelhantes de pré-serviço e em serviço de professores da
escola primária em um estudo recente realizado na West Virginia University. Ver F.M. Goldberg, B.C. A'Hearn, e
BE. Churchill, "Investigation of Difficulties in Understanding Optics and Kinematics Among Precollege Teachers",
AAPT Announcer 15, No. 4, 82 (1985).
6. Ver, por exemplo, PSSC Physics, Laboratory Guide, 6th ed. (Heath, Lexington, 1986).

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