Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes - Parte I A Excitação

Baia da Guanabara – Abril 2010

Análise de Carregamento Hidrodinâmico em
Estruturas Flutuantes
Parte I – A Excitação

João Henrique VOLPINI Mattos
Engenheiro Naval
Regional Sales Manager - Maritime & Offshore Solutions (South America), DNV Software

Setembro 2012

Hidrodinâmica
É uma especialidade da mecânica dos fluidos que trata da iteração entre
corpos rígidos e fluidos (notadamente incompressíveis) através do estudo do
escoamento ao longo do casco da unidade, bem como em outros corpos
como pás do propulsor, leme, túnel do impelidor lateral, etc.
 Resistência ao avanço : Avalia a resistência contra o movimento causada
primariamente pelo fluxo de água ao longo do casco.
 Propulsão : A força para mover o navio através da água é dado por propulsores
de vários tipos, jatos de água, vela, etc. Sua iteração com o meio irá definir a
eficiência propulsiva.
 Carregamento hidrodinâmico : Avalia as pressões, forças e momentos
induzidos no casco pelas ondas, correnteza, etc.

 Movimento do navio : Avalia os movimentos (deslocamentos, velocidade e
acelerações) da embarcação e sua resposta em ondas.
 Manobrabilidade : Avalia o controle e manutenção da posição e direção da
embarcação.

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Características Importantes
 Algumas características do comportamento em ondas são importantes no
projeto de uma unidade flutuante, sob o ponto de vista da segurança e
conforto :
- Movimentos e acelerações em diversos pontos do
casco
- Tensões ocorrentes em pontos do casco.
- Ocorrência de batida de proa (slamming).
- Incidência de água no convés (green sea).
- Ocorrência de emersão do propulsor.
- Perda de velocidade em ondas.

 Para calcular tudo isto, o primeiro passo é uma
compreensão adequada das ondas : seu com-
portamento real, seus modelos matemáticos,
sua distribuição no tempo e no espaço, ...


Alguma
Matemática
(não tão)
Básica


Aí Vem Coisa ....
 Você que provavelmente tem um background em matemática, engenharia
civil, mecânica dos fluidos ou física, certamente não tem medo de
derivadas parciais ou funções de transferência quadráticas …

Ou tem ?

 Na matemática aplicada à hidrodinâmica, temos que conhecer alguns
conceitos; cálculo vetorial, equações diferenciais, operadores diferenciais,
números complexos...
 Não que este conhecimento seja fundamental a compreensão deste texto,
mas será se quiser ler posteriormente algum livro ou artigo sobre o
assunto.


Alfabeto Grego
LETRA NOME UTILIZAÇÃO LETRA NOME UTILIZAÇÃO
α Alpha
ν Nu
Coeficiente de viscosidade
cinemática
Ângulo entre o aproamento e a
β Beta direção da onda, parâmetro de ξ Xi Fator de amortecimento
escala de Weibull
ο Omicron
Fator de intensificação de pico,
γ Gamma
assimetria π Pi 3.1415926535897932384626...
δ Delta Amplitude da onda
ρ Rho Densidade
ε Epsilon Largura de banda
σ Sigma Desvio padrão
ζ Zeta Elevação da onda
τ Tau Período de retorno
η Eta
υ Upsilon
Parâmetro de localização de
θ Teta
Weibull, ângulo de arfagem Função de distribuição
φ Phi acumulada, ângulo de jogo,
ι Iota potencial de velocidades

κ Kappa χ Chi

λ Lambda Comprimento da onda ψ Psi Ângulo de guinada

Profundidade relativa, média
ω Omega Frequência angular
μ Mu
estatística de valores

Produto Escalar
 O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores A e B é um
número real resultado do produto do comprimento de A pela projeção de
B em A B

   
A • B = A . B cos(θ )
A
|B|cos(θ)

 Em um sistemas de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde

A = (a1 , a2 ,... , an )

B = (b1 , b2 ,... , bn )
então
  n
A • B = ∑ ai bi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
i −1


Produto Vetorial
 O produto vetorial (ou produto externo) entre dois vetores A e B no espaço
tridimensional é um outro vetor perpendicular a ambos os vetores (ou
normal ao plano formado por ambos)
Aₓ B
   
A × B = A . B sin (θ )n
ˆ n é o vetor unitário perpendicular tanto a
A quanto a B
B
|A ₓ B|

A i, j, k são os vetores unitários
nas direções x,y,z
 Em notação matricial, se
 
A = a1ii + a2 j + a3k = [a1 a2 a3 ] e B = b1i + b2 j + b3k = [b1 b2 b3 ]
então i j k
 
A × B = (a2b3 − a3b2 )i + (a3b1 − a1b3 ) j + (a1b2 − a2b1 )k = det a1 a2 a3 
 
b1 b2 b3 
 


Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
 Enquanto as funções trigonométricas geram círculos, as funções hiperbóli-
cas vão gerar uma hipérbole.

𝑒 𝛼 + 𝑒 −𝛼
𝑥 = cos 𝛼 𝑥 = cosh 𝛼 =
2 −𝛼
x2 + y2 = 1

𝑦 = sin 𝛼 𝑒 − 𝑒
𝛼
𝑦 = sinh 𝛼 =
2

cos sin cosh
tan

tanh

sinh


Campo
 Em vários processos físicos existem grandezas que variam com a posição e
o tempo e que podem ser representadas por uma função f(x,y,z,t) que é
denominada campo.
 Um campo é estacionário quando independe do tempo f(x,y,z).
 Um campo é escalar quando a grandeza característica do campo é escalar.
 Exemplos :
• A distribuição de temperatura
em uma sala.
Campo escalar
f ( x, y, z ) = 3x + 5 y 2 − sin z • A intensidade do som em um
cinema.

• O campo magnético terrestre.
Campo vetorial • A velocidade da água em uma

F ( x, y, z ) = (3x + 5 yz,5 xz,3 xy) pia aberta.


O Operador Nabla William Rowan Hamilton
Matemático irlandês 1806-1865

 Foi introduzido pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton, sendo
usado no cálculo vetorial para denominar o operador diferencial.
 Em coordenadas cartesianas
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇ = x + y + z ou ∇ = i + j + k
ˆ ˆ ˆ ou ∇ =  , , 
 ∂x ∂y ∂z 
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z  

i, j, k são os vetores unitários
nas direções x,y,z

 Em coordenadas cilíndricas
∂ 1 ∂ ∂
∇= ρ+
ˆ ϕ+ z
ˆ ˆ
∂ρ ρ ∂ϕ ∂z

 Em coordenadas esféricas ρ
∂ 1 ∂ ˆ 1 ∂
∇= r+ ˆ θ+ ϕ
ˆ
∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ


Gradiente
 É uma função vetorial que indica o sentido e direção da maior alteração do
valor uma função escalar por unidade de espaço.
∂f ∂f ∂f
 Suponha um campo escalar f(x,y,z), então ∇f = i + j + k
∂x ∂y ∂z
 Exemplo : se f ( x, y, z ) = 3 x + 5 y − sin z
2

então
∇f = 3i + 10 yj − cos zk

 O gradiente de f(x,y) em (x,y) é normal à “curva de
nível” no ponto (x,y), apontando para a direção de
crescimento máximo de f(x,y).
 Em suma, o gradiente de uma função escalar é
um vetor com módulo, direção e sentido que
representa a taxa máxima de crescimento desta
função escalar.


Divergente
 Divergente de um campo vetorial F é um escalar que representa o fluxo do vetor por
unidade de volume V é o volume em uma região arbitrária
 F.n
∇ • F = lim ∫∫ dS S(V) é a superfície deste volume
n é o vetor normal à área
V →0 S (V ) V

 Ele é calculado como o produto escalar entre o operador ∇ e um campo vetorial.
  ∂Fx ∂Fy ∂Fz
 Suponha um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k , então ∇ • F = + +
∂x ∂y ∂z
 Ou seja, divergente é um operador que mede a magnitude da “fonte” ou “sumidouro”
de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, pode ser entendido como um
escalar que mede a dispersão dos vetores do campo em um determinado ponto.

 Exemplo : Se o ar é aquecido em uma sala, ele irá se expandir
em todas as direções. O divergente será positivo pois se obser-
varmos um pequeno volume desta região teremos mais ar saindo
do que entrando neste volume : uma fonte.
 
V = (3x − 2 y + z )i + (10 − cos y ) j + (5 x + 5 y − z )k ∇ • V = 3 + sin y − 1 = 2 + sin y


Rotacional Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholçtz
Médico e físico alemão 1821-1894

 O rotacional de um campo vetorial pode ser entendido físicamente como
uma medida de sua circulação por unidade de área (vorticidade).

 ∫ Fds
(∇ × F ) • n = lim c
ˆ
A A→ 0

 Suponha um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k , então
  ∂Fz ∂Fy   ∂Fx ∂Fz   ∂Fy ∂Fx 
 ∂y − ∂z i +  ∂z − ∂x  j +  ∂x − ∂y k
∇×F =    
     

i j k

 Ou em termos matriciais ∇ × F = ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
Fx Fy Fz
 A direção do rotacional aponta para o eixo de rotação e sua magnitude é
dada pelo módulo do rotacional.
 
V = (3 x − 2 y + z )i + (10 − cos y ) j + (5 x + 5 y − z )k ∇ × V = 5i + 6 j − 2k


Laplaciano Pierre Simon Laplace
Matemático francês 1749-1827

 O operador Laplaciano é um escalar definido como o divergente de um
gradiente. Na verdade, isto é uma simplificação, pois ele também pode ser
aplicado a campos vetoriais.
∂2 f ∂2 f ∂2 f Laplaciano escalar aplicado a um campo escalar.
∇ • ∇f = ∇ f = ∆f = 2 + 2 + 2
2

∂x ∂y ∂z
  Laplaciano vetorial aplicado a um campo
∇ × ∇F = ∇ F = ∇ 2 Fx i + ∇ 2 Fy j + ∇ 2 Fz k
2
vetorial. Pode ser encarado como a soma dos
laplacianos dos componentes ortogonais.

 Exemplo : Fisicamente o Laplaciano pode ser
visualizado como uma medida da “concavidade” ou
mudança de direção de uma função - uma rampa
linear teria Laplaciano nulo.

Equação de Laplace ∇2 f = 0


Escoamento Potencial
 Em fluidodinâmica, um escoamento potencial é aquele que pode descrever
o campo de velocidades como o gradiente de uma função escalar : o
potencial de velocidades.

v = ∇ϕ

 Exemplo matemático ϕ ( x, y ) = 3 x + 2 y

v ( x, y ) = (3,2)

 Se o escoamento é potencial, então ∇ × v = 0 O rotacional é nulo

 Se o fluido é incompressível, então ∇ ϕ =0
2
O Laplacianol é nulo

 O escoamento potencial não apresenta turbulência nem camada limite.


Teorema de Green George Green
Matemático inglês 1793-1841

 Matematicamente, o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao
longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região
limitada por esta curva.
 Seja C uma curva simples fechada derivável e D a região do plano
delimitada por C. Sejam P e Q duas funções reais de variável real com
derivadas parciais contínuas na região contendo D, então :
 ∂Q ∂P 
∫
C
Pdx + Qdy = ∫∫ 
D  ∂x

− dA
dy 


 Na fluidodinâmica este teorema é utilizado para descrever o relacionamento
pelo qual um fluido incompressível se move ao longo ou através de uma
fronteira em um plano e o modo pelo qual ele se move dentro desta região.


Física
(meio)
Básica


Milha
 Milha Náutica : A definição atual da milha náutica (ou milha marítima) foi adotada
em 1929 pela First International Extraordinary Hydrographic Conference, realizada
em Mônaco.

1 mn = 1852 m

Historicamente a milha náutica foi definida como sendo o comprimento de 1 minuto de arco
ao nível do mar, medida ao longo dos meridianos ou do equador.

A milha terrestre é definida como 5280 pés (1609.344 m), e historicamente foi definida na
Roma antiga como a distância percorrida em 1000 passos por uma coluna de soldados.


Nó
 O nó (knot) é a unidade de velocidade normalmente utilizada nos meios marítimos.

1 nó = 1 mn/h = 1852 m/h = 0.5144 m/s = 1,852 km/h

O nome veio historicamente do processo utilizado
para medir velocidades, onde uma corda com nós
espaçados de 50 pés, amarrada a uma tábua de
madeira triangular com pesos (para se manter
afundada) era jogada pela popa. Uma ampulheta de
30 segundos era utilizada, contando-se quantos nós
passavam pela amurada neste intervalo.

Demonstração
50 ft x 0.3048 m = 0.51 m/s
30 s 1 ft


Leis de Newton Isaac Newton
Físico inglês 1642-1727

 1ª Lei (Lei da Inércia)
Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de
movimento uniforme em linha reta a menos que seja obrigado
a mudar por forças impressas a ele.
 
dv
∑ F = 0 ⇒ dt = 0
Não é preguiça, é inércia !

 2ª Lei (Princípio Fundamental da Dinâmica)
A mudança do movimento é proporcional à força motriz
impressa e se faz segundo a linha reta pela qual se imprime
esta força.

 dp d (mv )  
dv 
F= = =m = ma
dt dt dt
 3ª Lei (Princípio da Ação e Reação)
A uma ação sempre se opõe uma reação igual em sentido
contrário.
 
∑ Fa,b = − ∑ Fb,a

Equação de Bernoulli Daniel Bernoulli
Matemático holandês 1700-1782

 Para um fluxo permanente sem viscosidade e incompressível, um aumento
na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição na
pressão ou na energia potencial do fluido.

v2 p
+ gh + = constante
2 ρ

 O princípio de Bernoulli pode ser utilizado
para justificar a força de sustentação de um
aerofólio. Se o ar na parte superior do
mesmo se move mais rapidamente do que na
parte inferior, haverá uma diferença de
pressão para cima.


Equação de Navier-Stokes Claude Louis Marie Henri Navier
Engenheiro e matemático francês 1785-1832
George Gabriel Stokes
Matemático e físoco irlandês 1819-1903

 São equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Newtonianos.
Elas são equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos
de velocidade e de pressão num escoamento. Estas equações estabelecem que
mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o
resultado das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção)
atuando dentro do fluido.
 Em notação vetorial, assumem a seguinte forma

DV  
ρ = ρg − ∇p + µ∇ V
2

Dt

Massa por unidade de Força gravitacional por Força de pressão por Força viscosa por
volume vezes aceleração unidade de volume unidade de volume unidade de volume

 Para escoamentos invíscitos (μ=0) chega-se à equação de Euler

DV 
ρ = ρg − ∇p
Dt


Ondas de
Gravidade


Ondas de Gravidade
 Ondas geradas no meio fluido ou na interface entre a água e o ar, tendo
como força de restauração principal a gravidade.

 Mesmo não transportando massa (ao menos na teoria linear), transportam
energia (quem viaja é a forma da onda, não a matéria).

 A medida em que a profundidade aumenta, o
movimento das partículas diminue. A uma
profundidade igual a metade do comprimento
da onda o movimento orbital das particulas é
menos que 5% o da superfície.


Origem das Ondas de Gravidade
 Correntes de ar : Resultante da
ação do vento soprando em uma
extensão suficiente da superfície do
oceano (pista).
 Correntes marítimas : Devido ao
efeito dos campos de pressão
atmosférica que geram os ventos e as
correntes marítimas.
 Marés : Associada a variação do nível
médio da superfície livre da água,
causada pela interferência da Lua e
do Sol sobre o campo gravitacional da
Terra.
 Deslocamentos de terra ou gelo.


Características Gerais das Ondas Oceânicas
 Irregulares e randômicas em formato, altura, comprimento e velocidade de
propagação.
 Classificação :
• Wind seas (vagas) : Geradas pelo vento no local, em geral
não possuem uma direção coerente nem formato definido.

• Swell (marulho ou ondulação) : As mais comuns. se
propagam por milhares de quilometros, tendendo a se alinhar
e agrupar em séries. Em um determinado local pode existir
swell vindo de vários outros locais.

• Tsunami : Gerada por perturbações sísmicas (terremotos,
erupções vulcânicas, etc.). Não oferecem perigo em alto mar.

• De capilaridade : Formadas no início das correntes de vento,
morrem quando o vento termina, sendo amortecidas pela
tensão superficial da água.


Como as Ondas Nascem
 Em geral resultam do vento soprando sobre uma grande área do oceano
(pista - fetch) durante um bom tempo.
- Inicialmente o movimento turbulento do ar começa a
perturbar o equilíbrio da água pela ação de pulsos de
pressão sobre a superfície, surgindo as ondas de
capilaridade (ripples).

- Se o vento aumentar, as ondas começam a se formar e a
interferir na passagem do vento. Ele encontra maior
resistência para vencer as cristas e cavados e tem início a
transferência de energia para a superfície da água.

- Se o vento continua por mais tempo e distância, a
velocidade das ondas pode se igualar a sua velocidade (ou
mesmo ultrapassá-la), formando o que é chamado de
“mar totalmente desenvolvido” (a energia ganha do vento
é igual à perdida para a gravidade).


Influência da Pista e Velocidade do Vento
 Na figura podemos estimar a altura significativa das ondas, partindo dos
valores de velocidade do vento (eixo vertical) e comprimento da pista (eixo
horizontal), ou velocidade do vento e sua duração (linhas tracejadas),
determinando a altura das ondas (linhas cheias).
Duração (h)
Velocidade do vento (m/s)

Altura (m)
Comprimento da pista (km)


Como as Ondas Morrem
 Perdem energia devido ao espalhamento.
 Empinamento (shoaling). É o processo no qual a altura da onda aumenta a
medida em que a profundidade diminue (a profundidade é considerada
rasa quando d <= λ/20). Seu período é mantido, mas o comprimento e
velocidades também diminuem.

 A onda quebra quando sua altura é maior que 78% da profundidade ou
menor que 1/7 do seu comprimento.
 Dependendo da inclinação do fundo, da altura e do comprimento da onda
(em águas profundas), a forma da arrebentação pode variar
- Deslizantes : inclinação suave

- Tubulares : Inclinação intermediária

- Ascendentes : Inclinação acentuada. Na
verdade as ondas nunca quebram.


Altura Máxima das Ondas
 A altura da onda é limitada pela sua quebra.
 2πd 
 A altura máxima por quebra é dada por H b = 0.142λ tanh 
 λ 
 A altura máxima por quebra também pode ser mostrada como uma função
do período da onda para diferentes profundidades, como no gráfico
λ
 Em águas profundas H b =
7
 Em águas rasas a altura de
quebra pode ser tão baixa
como 78% da profundidade
local, mas em regiões extensas
e muito planas pode diminuir a
55% da profundidade local.


Ondas Internas
 Propagam-se na interface de separação entre massas de água com
densidades diferentes. Qualquer perturbação é suficiente para provocar
estas ondas.

 Com frequência bem mais baixa do que as
ondas de superfície (períodos entre 10 e 20
min), mas com amplitude significativamente
maior (dezenas de metros), as ondas internas
fazem com que as partículas que estão na
superfície (como detritos, derramamento de
petróleo, etc.) convirjam e se acumulem
sobre os seus cavados.


Medindo as
Ondas


Teoria das Ondas
Na análise de estruturas submetidas a carregamento de ondas, elas podem
ser modeladas por métodos determinísticos ou estocásticos.

 Ondas Regulares : São periódicas e uniformes,
possuindo um comprimento λ, período T e uma altura H
Quanto à bem definidos.
Regularidade
 Ondas Irregulares : pode ser representado pela
superposição linear de ondas regulares com diferentes
amplitudes, frequências e fases.
 Ondas Lineares : Satisfazem as condições do
movimento ser irrotacional e o fluido incompressível (a
Quanto à
matéria não se desloca).
Linearidade
 Ondas Não-Lineares : As partes “altas” da onda se
movem mais rápido que as “baixas”.


Características Físicas das Ondas 1
z
AC
x H
AT
λ
 Comprimento da onda λ [m] é a distância entre duas cristas sucessivas.
 Período da onda T [s] é o intervalo de tempo para a onda percorrer um ciclo
completo. λ
 Velocidade de fase é a velocidade de propagação da forma da onda c= [m/s].
T
1
 Frequência da onda f = [Hz] é número de ciclos que a onda realiza por unidade
de tempo. T
T, f e ω
2π estão
 Frequência angular da onda ω = = 2πf [rad/s].
T interligados
2π
 Número de onda k = [rad/m] é o número de ciclos da onda por unidade de com-
primento. λ


Características Físicas das Ondas 2
z
AC
x H
AT
λ
 Altura ou amplitude da crista AC é a distância do nível de águas paradas até a
crista.

 Profundidade ou amplitude do cavado AT é a distância do nível de águas paradas
até o cavado.

 Altura da onda H é a distância vertical do cavado até a crista H = AC + AT

 Ondas lineares são simétricas em relação ao nível médio da água.

 Ondas regulares não lineares são assimétricas, (AC > AT), e a velocidade de fase c
depende da altura da onda H.


Características Físicas das Ondas 3 Horace Lamb

z
AC
x H
AT
d
λ

Leito marinho

H
 Esbeltez é a proporção entre a altura da onda e seu comprimento S =
λ
 Altura relativa é a proporção entre a altura da onda e a profundidade H
d
 Profundidade relativa é a proporção entre a profundidade e o comprimento da onda
d
µ=
λ


Grupos de Ondas
 Na teoria linear de ondas pode ser demonstrado que a velocidade de fase depende
do comprimento da onda e profundidade local
gλ  2πd 
tanh  c=
2π  λ 
 Em um local do oceano são gerados trens de ondas com vários comprimentos de
onda e períodos ligeiramente diferentes. Estas ondas vão interferir formando um
único grupo de ondas resultantes.

 Velocidade de grupo cg é a velocidade pela qual a modulação das amplitudes da
onda (a energia) se propaga. 1 2kd  g
c g = 1 +  k tanh(kd )
2  sinh( 2kd ) 
2πg  2πd 
 Relação de dispersão para ondas lineares ω = gk tanh(kd ) = tanh  [rad/s]
λ  λ 


Escala de Estado de Mar WMO Henry Percy Dougllas
Hidrógrafo inglês 1879-1939

 O conceito de estado de mar (sea state) é vago, pois não indica o período
das ondas. Entretanto, é largamente utilizado.
 Definido pela World Meteorological Organization, é baseado na Escala de
Douglas para “wind seas”.
CÓDIGO ALTURA DAS ONDAS
DESIGNAÇÃO
WMO (m)
0 Espelhado 0
1 Chão 0-0.1
2 Encrespado 0.1-0.5
WMO 4 3 Pequena vaga 0.5-1.25 WMO 6
4 Cavado 1.25-2.5
5 Grosso 2.5-4
6 Alteroso 4-6
7 Tempestuoso 6-9
8 Encapelado 9-14
9 Excepcional 14+

WMO 7 WMO 9


Caracterização do Estado de Mar
 O estado de mar é melhor caracterizado por várias estatísticas, sendo as
principais :
- Altura significativa Hs.
- Período médio entre cruzamentos zero Tz ou período de pico Tp
- Direção da propagação das ondas

 Alguns destes parâmetros são historicamente obtidos por estimativas
visuais feitas por um observador treinado.
H s = 1.68 H V .75 (m)
0

T p = 2.83TV0.44 (s)

 Outros podem ser obtidos a partir de análises estatísticas a partir de uma
tabulação dos dados coletados H1/3, Hrms).
 Finalmente, através de análises estatísticas mais complexas a partir do
espectro de distribuição de energia, parâmetros mais confiáveis podem ser
obtidos (Hs, Tp, σ, etc.)


Obtenção dos Dados por Ondógrafo
 Em geral é utilizado um ondógrafo para registrar ao longo do
tempo as elevações ocorridas. Com o uso de acelerômetros é
possível também coletar informações relacionadas às direções de
incidência das ondas. Vários parâmetros podem ser obtidos da
série temporal.

 Após a retirada do ruído da série
temporal é aplicada a FFT, convertendo
os sinais de elevação em função do
tempo para uma modalidade de energia
associada à frequência (δ2/ω x ω).

 O ajuste do espectro é feito por expres-
sões matemáticas que o definem em
função de alguns parâmetros como
forma, altura significativa de onda e
período de pico.


Análise da Série Temporal 1
Série Temporal
Elevação (m)

sinal
envelope

Probabilidade Relativa

Tempo (s)

H (m)
Tabulação dos Dados

Probabilidade Acumulada

H (m)


Análise da Série Temporal 2
 A partir da análise de um registro das alturas de onda, vários parâmetros
podem ser estabelecidos.
PARÂMETRO VALOR
Amplitude média Ā 0.04 m
Desvio padrão σ 2.40 m
Amplitude média quadrática Arms 2.40 m
Amplitude máxima Amax 9.97 m
Amplitude mínima Amin -8.18 m
Cruzamentos 0 ↑ 1112
Nº Máximos 1289
Nº Mínimos 1282
Altura Pico-Pico ↑ 17.64 m
Altura Pico-Pico ↓ 17.07 m
Período médio de cruzamento zero Tz 9.71 s
Período médio entre cristas Tc 8.38 s
H1/3 9.25 m
H1/10 11.78 m


Obtenção dos Dados por Satélite
 Satélites de observação com vários tipos de sensores,
radares e câmeras são utilizados atualmente.

Satélite ERS-2 (1995)

 Para a medição de altura de ondas (e de terreno) é
utilizado o radar SAR (Synthetic Aperture Radar). O
radar gera um pulso que é refletido, contendo duas
informações importantes : a amplitude do sinal de
retorno e a diferença de fase em relação ao sinal
irradiado, que juntos são tratados como uma imagem
complexa bruta.
Imagem amplitude
(cores claras são
ondas maiores)

Funcionamento do SAR

 Da imagem complexa pode-se gerar a imagem
amplitude, que é o módulo da imagem complexa.


Ondas
Regulares


Teorias de Ondas
 Airy : A elevação da onda é aproximada por uma senóide.

 Stokes : A altura da crista é maior que a altura do cavado. Cristas mais
agudas do que o cavado.

 Cnoidal : Cristas muito mais agudas do que o cavado.

 Solitária : A altura da crista é praticamente igual a altura da onda (não há
cavados).


O Problema a Ser Resolvido
 Determinar o potencial do campo de velocidades das ondas de superfície φ.
 Hipóteses básicas :
1. Fluido incompressível (densidade constante)
2. Fluido invíscido (não tem viscosidade) : escoamento irrotacional
3. Movimento coplanar (despreze espalhamento - eixo y)
Conservação da massa

Equações : Conservação do momento

Condições de contorno λ
z
ζ(x,t)
Nível da água z = 0
x H
d

Leito marinho z = -d


Equações de Conservação da Massa e Momento
1 Dρ  A variação da massa em um
 Equação geral de Navier-Stokes : +∇•v = 0 volume infinitesimal é igual
ρ Dt à massa que nele entra menos
a massa que sai.
Dρ A densidade é constante.
=0
 Hipótese 1: Fluido incompressível Dt
então
 O divergente de velocidades é nulo.
∇•v = 0 (água que entra = água que sai)


∇×v = 0 O rotacional de velocidades é nulo.
 Hipótese 2 : Movimento irrotacional  então A velocidade pode ser expressa como o
v = ∇ϕ gradiente de uma função potencial.

∂ϕ Não há escoamento transversal
 Hipótese 3 : Nada se move em y =0
∂y
∂φ p
 Equação de Bernoulli não estacionária: − + + gz = 0
∂t ρ

Condições de Contorno
∂ϕ
 No leito do oceano (em z = -d) : =0 A velocidade do fluido normal ao fundo é nula.
∂z
 Na superfície livre (z = ζ) :
– Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na
superfície livre lá permanece (sua velocidade vertical é igual a velocidade
vertical da superfície do fluido).
∂ϕ ∂ζ ∂ϕ ∂ζ Considerando que a altura da onda ∂ϕ ∂ζ
− = − em z = ζ seja pequena quando comparada − =
∂z ∂t ∂x ∂x ∂z ∂t
ao seu comprimento, o termo de
inclinação δζ/δx=0.

– Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada
nula pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o
corpo.
∂ϕ
− + g .ζ = 0 Bernoulli aplicado a z = ζ onde p = 0
∂t


O Resultado Linear
 Considerando uma onda senoidal onde são conhecidas a amplitude H, o
comprimento λ e seu período T, a elevação de sua superfície pode ser
expressa por
2π 2π
ζ (x, t ) = sin (kx − ωt ) onde ω =
H
e k=
2 T λ

 Através da separação de variáveis chegamos à solução
H g cosh[k (d + z )]
φ ( x, z , t ) = cos(kx − ωt )
2 ω cosh (kd )
 Aplicando esta solução a Bernoulli em z=0, chegamos à relação de
dispersão
2πg  2πd 
ω 2 = gk tanh(kd ) = tanh 
λ  λ 

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Influência da Profundidade nas Ondas
 A teoria linear de ondas é uma solução da equação de Laplace, o que leva
gλ  2πd 
a seguinte formulação para a velocidade de fase c = tanh 
2π  λ 
 A partir daí podemos verificar porque a profundidade da água pode ser
classificada em 3 categorias :
d  2πd  gλ
- Águas profundas > 0.5 ⇒ tanh  ≈ 1.0 ⇒ c =
λ  λ  2π
Para profundidades maiores que 50% do comprimento da onda, a velocidade de fase não é
influenciada pela profundidade. Este é o caso da maior parte das ondas na superfície do
oceano.
d  2πd  2πd
- Águas rasas λ < 0.05 ⇒ tanh λ  ≈ λ ⇒ c = gd
 
Quando a profundidade é menor que 5% do comprimento da onda, a velocidade de fase é
dependente somente da profundidade, não sendo mais uma função do seu comprimento.

- Águas intermediárias 0.05λ < d < 0.5λ
Para todos os outros casos, ambos a profundidade e o comprimento tem uma influência
significativa na velocidade de fase.


Teoria de Onda de Airy (Onda Senoidal) George Biddell Airy
Astrônomo inglês 1801-1892

 A altura da onda é pequena em comparação com seu comprimento ou
profundidade da água.
 Condições de contorno na superfície livre são satisfeitas no nível médio de
águas tranquilas e não no nível real de elevação das ondas.

 Parâmetros que definem uma onda linear : H (ou ζa), d, T, ʎ
z crista ζa

x

cavado

λ


Ondas Senoidais em Águas Profundas
Para águas profundas (d > 0.5 λ)
2πg
 Relação de dispersão Ω = gk = [m/s]
λ
gT 2
 Comprimento da onda λ = [m]
2π
gT g gλ g
 Velocidade de fase c = = = [m/s] =
ω 2.π k 2π
1 g g gT c
 Velocidade de grupo c g = = = = [m/s]
2 k 2ω 4π 2
 Elevação da superfície ζ = ζa sin(kx - ωt) [m]
 Pressão subsuperficial p = ρ g exp(kz) ζa sin(kx - ωt) [Pa]
onde g = aceleração da gravidade (9.81 m/s2)
ρ = densidade da água (1025 kg/m3)
Observe que z se torna mais negativo a medida em que vamos para o fundo.


Ondas Senoidais em Águas Intermediárias
Para águas intermediárias (0.5 λ < d < 0.05 λ)

A formulação envolve funções hiperbólicas, fazendo com que vários
parâmetros tenham que ser calculados por métodos numéricos ou
aproximações.
2πg  2πd 
 Relação de dispersão Ω = gk tanh(kd ) = tanh 
λ  λ 
 2π  2πg  2πd 
2

 Comprimento da onda λ é a solução de   = tanh 
 T  λ  λ 
tanh (k .d )
g
 Velocidade de fase c =
k
1 2kd  g
 Velocidade de grupo c g = 1 +
2  sinh( 2kd )  k
tanh(kd )

cosh[k .(h + z )]
 Pressão subsuperfícial p = ρ .g . . sin(ω .t − k .x)
cosh(k .h)


Ondas Senoidais em Águas Rasas
Para águas rasas (d < 0.05 λ)

2π
 Relação de dispersão Ω = k gd = gd
λ
Comprimento da onda λ = T gd

 Velocidade de fase c = gd

 Velocidade de grupo c g = gd = c

 Pressão subsuperficial (aproximadamente a hidrostática) p = ρg(ζ + z)


Teoria de Onda de Stokes George Gabriel Stokes
Matemático irlândes 1819-1903

 A medida em que a altura da onda aumenta com relação ao comprimento,
(esbeltez S aumenta) ela vai se afastando da onda linear.
 Cavado mais achatado (e longo) do que a cris-
ta.
 Amplitude até a crista é maior que amplitude
até o cavado.
 O movimento das partículas não é fechado,
havendo um pequeno deslocamento na dire-
ção da propagação (Stokes drift).
 Por isto as ondas conseguem transportar sedi-
mentos, derrames de petróleo, etc.
 O equacionamento da onda é feito através de
expansão em série de Taylor. O último termo
da série define a ordem da onda de Stokes.


Parâmetros da Onda de Stokes de 2ª Ordem
tanh (kd )
g
 Velocidade de fase c =
k
π H 2 cosh(kd )
 Elevação da superfície ζ = [2 + cosh(2kd )]cos[2(kx − ωt )]
8 λ sinh 3 (kd )

 Pressão subsuperficial
3π ρgH 2  cosh[2k ( z + d )] 1  π ρgH 2
p=  −  cos[2(kx − ωt )] − {cosh[2k ( z + d )] − 1}
4 λ sinh ( 2kd)  sinh 2 (kd ) 3 4 λ sinh ( 2kd)

 Stokes drift
 π .H   cosh[2k ( z + d )]  Qualquer
2

U =  c sinh 2 (kd )  profundidade
 λ   

 π .H 
2

U =  c Aproximação para águas profundas
 λ 


Teoria de Onda Cnoidal Diederik Korteweg
Matemático holandês 1848-1941
Gustav de Vries
Matemático iholandês 1866-1934

 É uma solução periódica não-linear e exata da equação não linear diferen-
cial parcial proposta por Korteweg e de Vries (equação KdV).
 É utilizada para descrever ondas de gravidade de comprimento extrema-
mente grandes quando comparados à profundidade.
d
 Aplicável quando λ > 5d e T > 7
g
 A solução das equações é complexa, dependendo de aproximações
numéricas. Além disto é instável quando o número de onda k é elevado.
 Outra solução foi proposta por Benjamin-Bona-Mahomy (equação BBM).


Onda Solitária John Scott Russell
Engenheiro naval escocês 1808-1882

 É uma onda em águas rasas (solitão) que consiste em um único desloca-
mento de água acima do seu nível médio.
 Foi descrita pela primeira vez em 1834 por John Scott Russel quando ele
observou a onda causada pela parada brusca de uma barcaça em um
canal.
 É uma descrição razoável da onda causada por um tsunami, mas é utilizada
também na progressão de ondas periódicas quando a profundidade é
menor que 10% do comprimento da onda.
 Teoricamente seu comprimento é infinito, mas para propósitos práticos :
- Velocidade de fase c = g (d + H )
3H
- Número de onda k =
4d 3
2π
- Comprimento da onda λ=
k
- Elevação ζ = H sech 2 [k ( x − ct )]


Aplicabilidade das Teorias de Ondas Subrata Kumar Chakrabarti
Engenheiro indiano 1941-2009

 Três parâmetros são utilizados para determinar qual teoria de ondas deve
ser aplicado a um problema específico :
- Altura da onda H
- Período da onda T
- Profundidade da lâmina d’água d

 Adimensionais decorrentes :
H H
- Esbeltez (steepness) S = = 2π
λ gT 2
d d
- Profundidade relativa µ = = 2π
λ gT 2
H .λ2 S
- Número de Ursell U R = 3 = 3
d µ
UR mede o impacto da
profundidade sobre a
não-linearidade da onda


Quiz 1
 Uma onda regular plana propaga-se em águas profundas com período de 16s. Qual
o comprimento da onda e sua velocidade de fase m/s ?
gT 2 9,81.16 2
λ= = = 400 m
2π 2π
gT 9,81.16
c= = = 25 m/s
2.π 2.π
 Calcule a velocidade de fase e a velocidade de grupo para uma onda linear de
comprimento 200m nas profundidades de 2000, 80 e 10m.

gλ  2πd 
c= tanh 

𝜆 = 200
2π  λ  d (m) c (m/s) cg (m/s)

2𝜋
k= =0,0314 ondas/m
2000 17,67 8,84

200
c 2kd 
c g = 1 +
2  sinh( 2kd ) 

80 17,56 9,36
10 9,74 9,43
2π
k=
λ


Quiz 2
 Vazamento de óleo em uma FPSO no Campo de Tupi a 250km da costa, em lâmina
d’água de 2000m ! Ondas de 1.5m de altura com período de 6s e comprimento de
40m são medidas no local. Em quanto tempo as manchas de óleo começarão a
aparecer nas praias ? Desconsidere a variação de profundidade até a costa e o vento.
d 2000 2π2π  H
2
= = 5,66 k= = = 0,157 ondas/m U = π  c
gT 2 9,81.6 2 λ 40  λ
H 1,5 Stokes 2ª ordem
= = 0,00424 λ 40 2
 1,5 
2
gT 9,81.6 2 c= = = 6,67 m/s
T 6 U = π  .6,67 = 0,0925 m/s
 40 
250000
t= = 2,7 x106 s = 1 mês
0 ,0925

 No projeto de navios aliviadores para a Bacia de Campos, a Petrobrás recomenda
Hs=3.5m e Tp=9s. Qual seria a teoria de ondas a utilizar ? Investigue nas profundi-
dades mínima e máxima da bacia (100m e 2500m).
d=100m d=2500m Em ambos os casos a utilização
d 100 d 2500 de Stokes 2ª ordem seria suficie-
= = 0,126 = = 3,145
gT 2 9,81.9 2 gT 2 9,81.9 2 nte (embora a Petrobrás requeira
H
=
1,5
= 0,00189
H
=
1,5
= 0,00189 sempre 5ª ordem).
2
gT 9,81.9 2 gT 2
9,81.9 2


Ondas Irregulares


Ondas Irregulares 1
 Na fase de projeto preliminar as ondas regulares representam um bom
modelo para a representação do estado do mar.
 Um estado real de mar apresenta características
aleatórias de amplitude, frequência e fase,
havendo a impossibilidade matemática de definir
uma relação sólida que determine seu comporta-
mento : é um processo estocástico.

 Quando se considera o modelo estocástico pode-se
representar o estado de mar formado pela
superposição de diferentes ondas senoidais com
diferentes amplitudes, frequências e fases
(hipótese Gaussiana).


Quão Acertada é Esta Hipótese ?
 Na hipótese Gaussiana, o processo é completamente descrito por :
- Média
- Variância

 A partir de dados obtidos no mar, pode ser afirmado que :
- Para mar calmo a moderado (< 4m) ele pode ser considerado estacionário para
períodos de mais de 20 minutos. Para estados de mar mais severos isto pode ser
questionado mesmo para períodos de 20 minutos.
- Para estados de mar acima do moderado (4 a 8m) os modelos Gaussianos ainda
são precisos, mas o desvio aumenta com a severidade do estado de mar.
- Se o mar é suficientemente profundo, a elevação da onda pode ser considerada
Gaussiana, independentemente do estado de mar.


Ondas Irregulares 3
 O mar irregular é descrito pela sua energia total e não pela forma da
onda.
 Para uma onda senoidal simples a densidade de energia é descrita por
ρgζ a
2
E=
2
 Para um mar irregular, composto por um somatório de ondas senoidais, a
densidade de energia será
ρg
E= (ζ a1 + ζ a 2 + ζ a 3 + ...)
2 2 2

2

 As ondas irregulares são caracterizadas
por um espectro de onda que descreve a
distribuição de energia (altura) em relação
à sua frequência ou período.


Ondas Irregulares 4
Após o vento ter soprado de forma constante por um período de tempo, a
elevação do mar pode ser assumida como estatísticamente estável. Isto é
conhecido como “mar totalmente desenvolvido”.
 Se a irregularidade das ondas observadas
é somente na direção do vento dominante,
de modo que existe várias ondas unidire-
cionais com separação variável mas
mantendo seu paralelismo, o mar é conhe-
cido como de cristas longas (long-crested).

 Se as irregularidades são aparentes ao
longo das cristas das ondas em ângulos
perpendiculares ao vento, o mar é conheci-
do como de cristas curtas (short-crested ou
confused sea).


Alguma
Estatística
(não tão)
Básica


Distribuições de Probabilidade 1
 Distribuição de probabilidade é uma função que descreve a probabilidade
de uma variável randômica assumir determinados valores.
 Considerando que uma variável aleatória discreta x toma os valores x1, ...xn,
então :
1 n x + x2 + ... + xn
- Média aritmética : x = ∑ xi = 1
n i =1 n
1 n 2 x12 + x2 + ... + xn
2 2
- Valor eficaz : xrms = ∑ xi =
n i =1 n
- Média geométrica : x g = n Π in=1 xi = n x1 x2 ...xn
- Moda : É o valor de maior frequência.
- Mediana : Dependendo se o número de elementos ordenados for ímpar ou par, é
o valor central ou a média dos valores próximos ao centro.
1 n
- Desvio padrão : σ = ∑ (xi − x )
2

n − 1 i =1
- Variância : σ 2


 Uma variável randômica contínua x tem uma f(x)

função de distribuição de probabilidade f(x)
de modo que a probabilidade P da variável
estar entre dois valores a e b é moda
mediana
média
b
P[ a ≤ x ≤ b] = ∫ f ( x)dx
a F(x)

 A função F da distribuição acumulada de
x
xé
+∞ F ( x) = ∫ f ( x)dx
 Média : µ = ∫ x. f ( x)dx −∞

−∞
 Mediana : Md é o valor de x para o qual F(x)=0.5

 Moda : Mo é o valor de maior frequência
f(x)
+∞

 Desvio padrão : σ = ∫ (x − µ ) . f ( x)dx
2

−∞


 Assimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuição
(µ − M o ) (µ − M d )
1º Coeficiente de Pearson : γ = 2º Coeficiente de Pearson : γ = 3
σ σ
Assimetria positiva
Simétrica
Assimetria negativa

µ = Mo = Md Mo ≤ Md ≤ µ µ ≤ Md ≤ Mo
 Curtose : Indica o grau de achatamento de
uma distribuição, indicando a concentração
de valores nas suas caudas, em relação a
uma distribuição normal
+∞

∫ (x − µ ) . f ( x)dx
4

c= −∞
−3
σ 3


 Algumas formas de distribuição de probabilidade :
Distribuição Parâmetros Características Aplicabilidade Aspecto
Utilizada na escolha de parâmetros
Valores e probabi- das entidades. Por ex., em uma loja
Assume apenas os va-
Discreta lidade de ocorrên- 30% dos clientes compram merca-
lores fornecidos
cia destes valores dorias no balcão e 70% nas prate-
leiras.
Todos os valores no
Quando não se tem nenhuma infor-
Maior e menor va- intervalo têm a mesma
Uniforme mação sobre o processo ou apenas
lor probabilidade de ocor-
os valores limites.
rência

Quando se conhece a moda, o me-
Menor valor, mo-
Triangular Simétrica ou não nor e o maior valor que podem ocor-
da e maior valor
rer.

Grande variabilidade dos valores.
Independência entre um valor e
Variância alta e cauda
Exponencial Média outro. Muitos valores baixos e pou-
para a direita
cos altos. Utilizada em estatística de
falhas.
Simétrica com forma
Média e desvio de sino. Variabilidade Probabilidade de valores acima e
Normal
padrão controlada pelo des- abaixo da média são iguais.
vio padrão.


 Procurando dar um tratamento matemático aos mais diversos fenômenos
da natureza, diversos tipos de funções de distribuição foram desenvolvidos:
– Beta
– Cauchy
– Dagum
– Fisher-Tippet
– Gama
– Gaussiana
– Gumbel
– Laplace
– Levy
– Pareto
– Qui-Quadrado
– Rayleigh
– Rice
– Von Mises
– Weibull
– Etc.


Distribuição Normal ou Gaussiana Carl Friedrich Gauss
Matemático alemão 1777-1855

Considerada a mais proeminente distribuição de probabilidade na estatística
(simplicidade, conveniência para vários tipos de amostragens, etc.)
 Formulação :
- Função de distribuição :
1  ( x − µ )2 
f ( x) = exp − 
σ 2π  2σ 2 
- Distribuição acumulada :
1
x
 ( x − µ )2 
σ 2π −∫
F ( x) = exp − dx
∞  2σ 2 
- Média ( = moda e mediana) : μ
- Variância : σ 2

Regra 68-95-99.7


Distribuição de Rayleigh John William Strut (Lord Rayleigh)

É um tipo de distribuição observada quando a magnitude total de um vetor é
relacionada às suas componentes direcionais não correlacionadas mas
normalmente distribuídas e com a mesma variância (ex.: velocidade do
vento, propagação das ondas do mar, etc.).
f(x)
 Formulação :
 x2  x
- Função de distribuição : f ( x) = 2 exp −
 2σ 2 

σ  
 x 
2
- Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp −
 2σ 2 

π  
- Média : σ ≈ 1.253σ
2
- Mediana : σ ln(4) ≈ 1.177σ F(x)

- Moda : σ
4 −π 2
- Variância : σ ≈ 0.429σ 2
2


Distribuição de Weibull 1 Ernest Hajlmar Waloddi Weibull
Engenheiro suíço 1887-1979

É utilizada extensivamente em análise de confiabilidade e de falha, gover-
nando o tempo para a ocorrência do elo mais fraco de vários processos
simultâneos de falha. f(x)

 Formulação para 3 parâmetros :
k  x −θ 
k −1
  x − θ k 
- Função de distribuição : f ( x) =   exp −   β   
β β 
   
  
 k

- Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp −  x − θ  

 

  β  
 
onde k = parâmetro de forma
x
β = parâmetro de escala
Se θ = 0 recaímos na distribuição
ϴ = parâmetro de localização de Weibull de 2 parâmetros F(x)

Se considerarmos x como o tempo para a falha
k < 1 indica que a taxa de falha diminui com o tempo
(mortalidade infantil).
k = 1 indica que a taxa de falha independe do tempo.
k > 1 indica que a taxa de falha aumenta com o tempo
(morte por velhice).
x


Distribuição de Weibull 2
 1
- Média : µ = θ + β Γ1 + 
 k
1 Função Gama
- Mediana : θ + β [ln(2)] k Γ(n) = (n - 1)!

1

- Moda : θ + β  k − 1 
k
 
 k 
  2  1 
- Variância : σ 2 = β 2 Γ1 +  − Γ 2 1 + 
  k  k 
{Γ(1 + 3 / k ) − 3Γ(1 + 2 / k )Γ(1 + 1 / k ) + 2Γ (1 + 1 / k )} 3

- Assimetria : γ =
{Γ(1 + 2 / k ) − Γ (1 + 1 / k )}
3
2 2

 Para a determinação dos parâmetros a partir de dados coletados são utili-
zados os momentos da função de distribuição
+∞
mn = ∫0
x n . f ( x)dx m1 = µ m2 = σ 2 m3 = γ


Distribuição de Gumbel (log-Weibull) Emil Julius Gumbel
Matemático alemão 1891-1966

Utilizada para modelar a distribuição dos máximos de um número de amos-
tras de várias distribuições (estatística de extremos).
 Formulação :
1  x−µ    x − µ 
- Função de distribuição : f ( x) = exp
 β   exp − exp
  β  
β     
  x − µ 
- Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp − exp
  β  
  
- Média : µ + γβ γ= 0,57721 (constante de Euler-Mascheroni)

- Mediana : µ − β ln (ln (2 ))

- Moda : μ
βπ
- Desvio padrão : σ =
6


Quiz
 O seguinte histograma de altura de ondas foi obtido de uma série temporal
em uma amostra de um sistema de ondas irregulares : Nº
H (m)
Obs.
1. Qual é a altura significativa H1/3 desta amostragem ? < 0.25 0
0.25-0.75 30
2. Nesta tempestade, qual a probabilidade que a altura da onda
0.75-1.25 60
exceda 2.75m ?
1.25-1.75 110
1.75-2.25 42
2.25-2.75 28
2.75-3.25 18
3.25-3.75 10
3.75-4.25 2
> 4.25 0


Espectros


Espectro de Densidade de Energia
 O registro das ondas não pode ser escrito como uma onda senoidal, mas
pode ser caracterizado por várias ondas com diferentes amplitudes, perío-
dos e fases.

Amplitude ζ (m)
 Uma vez calculadas estas ampli-
tudes e períodos das ondas com-
ponentes (a fase é desprezada), é
plotado um espectro de densidade
de energia em função da frequên- tempo (s)

cia.

densidade de energia
 A densidade de energia em um partitular inter-
valo de frequência é dado por ρgζ 2
2ω
 A partir do espectro e de sua idealização mate-
mática vários outros parâmetros podem ser cal-
culados.
frequência


Características dos Espectros
 Características espectrais importantes:
S [m2/(rad/s)]

∞

∫
– Momento espectral de ordem n mn = ω n S (ω )dω
∞

– Momento espectral de ordem 0 m0 = ∫ S (ω )dω
0

T (área sob a curva) 0

– Desvio padrão σ 0 = m0
m0
– Período médio T = Tm 01 = 2π
m1
ω [rad/s]
ω0, T0, f0
m0
– Período médio de cruzamento zero ou período médio dos zeros ascendentes Tz = Tm 02 = 2π
m2
m2
– Período médio entre picos Tm 24 = 2π
m4
– Período modal T0 (ou período de pico Tp) é o período no qual o máximo de energia ocorre.
 m2 
2  Tp 2 
– Largura de banda ε = 1 −  
 m m  = 1 − T 2 

 0 4   z 
 ε2 
– Altura significativa ........................................ H1/ 3 ou H s = 4 m0 1 − 2 
 
 
– Se a largura de banda do espectro for estreita (ε =0) então H S = 4 m0
m
– Se a banda for larga (ε =1) então H S = 4 0 ≈ 2.828 m0
2


Idealização Matemática dos Espectros
 Várias idealizações matemáticas dos espectros de ondas do mar estão
disponíveis na literatura.
- Bretschneider de um parâm etro (HS). O período associado é típico de mares totalmente
desenvolvidos).
- P ierson-M oskovitz (1964). O espectro é definido pela velocidade nominal do vento a uma
altura de 19.5 m acima do nível do mar. Utilizado em mar totalmente desenvolvido.
- Bretschneider de dois parâm etros ou ISSC (HS e T ). Substitue PM quando a
modelagem de mar totalmente desenvolvido é muito restritiva.
- JON SW AP (JOint North Sea WAve Project 1973). Utilizado para descrever ondas em águas
costeiras em mares não totalmente desenvolvidos. Apresenta um pico mais estreito que o
ITTC.
- DN V . Uma formulação mais generalizada do espectro, utilizando um fator de intensificação
de pico que é determinado a partir da altura de onda e do período modal.
- Ochi-Hubble (1976). É um espectro formulado para descrever mares que sejam uma
combinação de 2 estados de mar diferentes. É um espectro de 2 picos.
- Torsethaugen (1996). É obtido pelo ajuste de 2 funções JONSWAP generalizadas a um
espectro médio obtido na plataforma continental norueguesa.


Espectro Bretschneider de 1 Parâmetro Charles L. Bretschneider
Engenheiro americano 1895-1975

É definido apenas em termos da altura de onda, sendo utilizado apenas em
mares plenamente desenvolvidos.
Constante de Philips
 É conhecida apenas a altura significativa Hs.
α  β  3.11
 Distribuição espectral S B (ω ) = exp − 4  onde α = 0.00811g 2 e β =
ω5  ω  HS
2
g
 Frequência modal ω0 = 0.4
Hs


Espectro Bretschneider de 2 Parâmetros ou ITTC
É um espectro de banda larga que contém todas as frequências de onda até
o infinito. Entretanto, na prática as ondas de alta frequência (ripples) são
negligenciadas e o espectro efetivamente se torna de banda estreita.
 São conhecidas a altura significativa HS e o período médio T .
α  β  HS2
691
 Distribuição espectral S ITTC (ω ) = 5 exp − 4  onde α = 172.75 4 e β = 4
ω  ω  T T
α
 Momento espectral de ordem 0 m0 =
4β
 Altura característica H S = 4 m0

 Período médio de cruzamento zero Tz = 0.92T
 Período de pico TP = 1.296T


Espectro Pierson-Moskowitz Willard J. Pierson Jr.
Oceanógrafo americano 1922-2003
Lionel I. Moskowiz
Oceanógrafo americano 1937-

Assume que um vento constante de velocidade U19.5 incidiu por um longo
tempo em uma grande área, e que as ondas estão em equilíbrio com ele
(mar totalmente desenvolvido).
 É conhecida a velocidade do vento a 19.5 m de altura U19.5.

α   g 4 
 Distribuição espectral S PM (ω ) = 5 exp − β 
   onde α = 0.00811.g 2 e β = 0.74

ω   ωU19.5  
2 
U
 Altura de onda significativa H S = 0.21 19.5
U19.5 g
 Período de pico TP = 7.1644
g
Atualmente a velocidade do vento é medida a 10
m de altura, e considera-se a seguinte relação
U19.5 ≈ 1,026.U10
Outra formulação do espectro
5 2 ωp
4  5  ω  −4 
S PM = H S 5 exp −   
16 ω  4  ωp  
  



Espectro JONSWAP
Similar ao espectro de Pierson-Moskowitz, exceto que as ondas continuam a
crescer com a distância ou tempo, e o pico do espectro é mais pronunciado
por um fator de intensificação de pico γ. É utilizado em águas costeiras.
 São conhecidas a altura significativa HS e o período de pico Tp.
  ω −ω P 
2
exp  − 0.5
 σω



 
 
 Distribuição espectral S J (ω ) = Aγ S PM (ω )γ

 P 


Aγ = 1 − 0.287 ln(γ )
onde σ = 0.07 para ω ≤ ω0 
JS é um modelo razoável
quando
σ = a 
σ b = 0.09 para ω > ω0 
TP
3.6 < ≤ 5.0
HS

γ = em geral 3.3
2π
ωP =
TP

É o espectro utilizado pela Petrobrás na
costa brasileira. Para a Bacia de Campos :
5+γ
γ = 6.4Tp−0.491 e Tz = Tp
10.89 + γ


Espectro DNV
Uma formulação mais generalizada de espectro que recai em Bretschneider
quando γ = 1 e em JONSWAP quando γ = 3.3 TP
se ≤ 3.6 ⇒ γ = 5.0
HS
 O fator de intensificação de pico γ depende da 
TP 1.15TP 
altura significativa e do período modal. 3.6 < ≤ 5.0 ⇒ γ = exp 5.75 − 
HS  HS 
 
 Distribuição espectral  −1  ω  
TP
> 5.0 ⇒ γ = 1.0
2
exp  2  −1  
α −β   2σ  ω P  
   HS
S DNV (ω ) = exp γ 
ω 5
 ω4 
onde
σ a = 0.07 para ω ≤ ω0 
σ = 
σ b = 0.09 para ω > ω0 
2π
ωP =
TP 2
α = 5π [1 − 0.287 ln(γ )] 4
4 HS
TP
20π 4
β= 4
TP


Comparação entre Espectros
ESPECTRO H T γ VWIND OBS.
Não Mar
ITTC Requerido Requerido 1.0
aplicável desenvolvido
Especificado Não Mar
BRETSCNEIDER Requerido 1.0
pelo método aplicável desenvolvido
Não Mar não
JONSWAP Requerido Requerido 3.3
aplicável desenvolvido
Não
DNV Requerido Requerido 1.0~5.0 Qualquer mar
aplicável
PIERSON- Estimado Estimado Não Mar
Requerido
MOSKOWITZ pelo método pelo método aplicável desenvolvido


Espectros Direcionais
Para mares confusos (short-crested) um espectro direcional é mais realístico
e muito importante para o cálculo das cargas nas estruturas marítimas, pois
o movimento de resposta depende altamente do ângulo de encontro. Para
simulação é comum separar o espectro direcional como um produto de duas

𝑆 𝜔, 𝜒 = 𝑆 𝜔 . 𝑀(𝜒)
funções :

𝑀(𝜒) é a função de espalhamento


Função de Espalhamento

para

caso contrário

Onde 𝜒0 é a direção dominante
de propagação das ondas, e os
valores de s=1 e 2 são comu-
mente utilizados.


Quiz
 Um espectro simplificado de energia de ondas é dado por :

Densidade espectral (m2s)
ω (Hz) 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5
Sζ (ω) 0.00 0.75 0.95 0.43 0.12 0.00

Frequência angular (rad/s)
1. Utilizando o método dos trapézios, calcule a altura significativa, o período médio T e o
período médio de cruzamento zero Tz. Dê uma explicação física de cada um.
2. Determine a probabilidade de exceder uma onda de 4m neste espectro, utilizando a
função de densidade de probabilidade de Rayleigh.
3. Determine também o número de vezes por hora que esta altura de onda será excedida.
4. Explique o termo mo na função de densidade de probabilidade de Rayleigh.
5. Qual a probabilidade da altura significativa de onda H1/3 ser excedida ?
6. Qual a desvantagem de utilizar Tz quando analizando um espectro de ondas medidas ?


A Onda Centenária


Segurança dos Sistemas Estruturais Oceânicos
 A segurança é vinculada à idéia de sobrevivência aos riscos inerentes ao
meio em que estiver envolvida a estrutura.
 As estruturas devem ser projetadas de modo a suportar as tensões
provenientes das ações ambientais mais extremas durante sua vida útil e
dentro de um custo econômico aceitável.
 Alturas significativa de onda em um período de 50 ou 100 anos é um parâ-
metro que pode ser estimado por meio da estatística de valores extremos.


Estatísticas de Curto e Longo Prazo
 Estatísticas de curto prazo são válidas somente para um período de tempo
de até uns poucos dias, enquanto uma tempestade mantém suas carac-
terísticas básicas.
 Para cada tempestade ou amostra podemos utilizar a altura de onda
significativa Hs e o período de cruzamento zero Tz para construir um espec-
tro e então determinar as estatísticas de curto prazo.
 Durante este período o mar é descrito por um espectro estacionário S(ω,ζ).
 No longo prazo o mar não é estacionário.
 As estatísticas de longo prazo podem ser representadas como a soma de
várias estatísticas de curto prazo, analisando em conjunto um grupo de
tempestades com diferentes durações a alturas de onda.
 Em geral são feitas diversas medições curtas a intervalos pré-determinados
(ex.: medições de 3 em 3 horas com duração de 10 a 30 minutos).


Quadrados de Marsden William Marsden
Historiador inglês 1754-1836

 As estatísticas das ondas não se alteram somente em função do tempo;
também dependem da área geográfica onde estão sendo feitas as
medições.
 Os quadrados de Marsden (QMD) dividem o globo em uma grade que
segue os palalelos e meridianos, de 10º em 10º, identificando cada
quadrado por um número.
 Os quadrados podem ainda
ser subdivididos em 100 par-
tes (10 x 10), numerados de
0 a 99, de modo a melhorar a
precisão.

1 mn = 1` medido sobre o equador = 1852 m


Recomendação 34 do IACS para Dados de Ondas
 Divide o globo em 52 zonas náu-
ticas para estimativa dos parâ-
metros de distribuição de longo
prazo.
 Apresenta os parâmetros para
distibuição por Weibull de 2 pa-
râmetros para cada área.
 Utilizado para determinação do
momento fletor em ondas sobre
a viga-navio.


Obtenção da Altura da Onda Centenária 1
1. Selecione os dados relevantes. Em geral, Hmax e Thmax
ou Hs e Tp ou Tz para cada amostra.
2. Ajuste os parâmetros da distribuição selecionada aos
dados coletados. Existem vários métodos de ajuste.
3. Defina o período de retorno (ou intervalo de recor-
rência) da onda, pelo menos 3x a vida útil da estrutura
(por ex. 50 ou 100 anos).
4. Calcule o valor altura significativa de onda e o período
correspondente.
LOCAL Bacia de Campos Golfo do México

RETORNO 10 anos 100 anos 10 anos 100 anos

Hs [m] 7.2 7.8 10.0 15.8

Tp [s] 14.8 15.6 13.0 15.4

Hmax [m] 13.3 14.5 17.7 27.9

Thmax [s] 14.4 15.0 11.7 13.9


 Selecione os dados relevantes (no caso Hs). Não se esqueça de verificar a
duração de cada amostra.

f (Hs)
 Escolha o tipo de distribuição a 0,4
0,35
utilizar (no caso Weibull de dois 0,3

parâmetros ⇒ θ=0). 0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
Hs
0 2 4 6 8 10 12 14 16


 Integre numericamente a curva anterior obtendo a probabilidade acumu-
lada F para cada Hs. Calcule a probabilidade de excedência de F (Q = 1 –
F).
  x k    x k 
 Lembre-se que em Weibull de 2 p. F ( x) = 1 − exp −    então Q( x) = exp −   
   
 β  
   β  
 
 A correlação entre Q e Hs pode ser melhor observada em uma escala
logarítma. Plote X = ln(Hs) contra Y = ln(-ln(Q)).
 Por mínimos quadrados ajuste uma reta 3
ln (- ln (Q)
)
aos pontos, determinando os coeficientes 2,5

a e b de Y = aX+b
2
1,5
1
 Determine os parâmetros de forma e 0,5
ln (Hs)
escala k e β da distribuição de Weibull. 0
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

a=k -1
-1,5
 b -2
b = −k ln β ⇒ β = exp −  -2,5
 k


 Defina o período de retorno. No nosso exemplo, τ = 100 anos.
 Admitindo-se ondas com persistência de 3 horas, haverá 2922 registros de
ondas por ano, portanto em τ anos a probabilidade de não excedência do
valor de retorno será de
1 1
Q( H S 100 ) = 1 − = 1− = 0.99999658
2922τ 292200

 Determine o valor de Hs100.

Quanto estimando valores extremos, é importante que a cauda da distribuição ajustada tenha
uma boa correlação com os dados coletados. Nestes casos em geral é utilizada a distribuição
de Weibull de 3 parâmetros.

Uma outra alternativa é utilizarmos Hmax ao invés de Hs em cada amostra. Neste caso, em
geral é utilizada a distribuição de Gumbel.

Para estimativa do período da onda (necessário para determinação do seu comprimento), em
geral se fazem análises de distribuição conjunta H-T.


Vento


Vento
 Vento é o deslocamento de ar, que migra de regiões de alta pressão
atmosférica para pontos onde esta pressão é menor.
 Normalmente são classificados por sua velocidade, duração, tipos de forças
que causam, regiões nos quais eles ocorrem e seus efeitos.
Rajada em UK
- Ventos com grande variação de velocidade em
curso espaço de tempo são chamados de
rajadas, que podem também se referir aos
cursos momentos em que a velocidade do vento
é máxima.
- Ventos fortes de duração intermediária (cerca de
1 minuto) são chamados de instabilidade ou
lufada.
- Ventos de longa duração tem diversos nomes,
associados com sua intensidade média, como
brisa, vento, tempestade, furacão.

Ciclone em SC


Escala de Beaufort Francis Beaufort
Hidrógrafo irlandês 1774-1857

 É uma escala que mede a intensidade dos ventos tendo em conta a sua
velocidade e os efeitos resultantes no mar e em terra.
Grau Designação m/s km/h nós Aspecto do mar Efeitos em terra

0 Calmo <0,3 <1 <1 Espelhado Fumaça sobe na vertical
1 Aragem 0,3 a 1,5 1a5 1a3 Pequenas rugas na superfície do mar Fumaça indica direcção do vento
As folhas das árvores movem; os moinhos começam a
2 Brisa leve 1,6 a 3,3 6 a 11 4a6 Ligeira ondulação sem rebentação
trabalhar
3 Brisa fraca 3,4 a 5,4 12 a 19 7 a 10 Ondulação até 60 cm, com algunscarneiros As folhas agitam-se e as bandeiras desfraldam ao vento
Poeira e pequenos papéis levantados; movem-se os galhos
4 Brisa moderada 5,5 a 7,9 20 a 28 11 a 16 Ondulação até 1 m, carneiros frequentes
das árvores
Ondulação até 2.5 m, com cristas e
5 Brisa forte 8 a 10,7 29 a 38 17 a 21 Movimentação de grandes galhos e árvores pequenas
muitoscarneiros
Movem-se os ramos das árvores; dificuldade em manter um
6 Vento fresco 10,8 a 13,8 39 a 49 22 a 27 Ondas grandes até 3.5 m; borrifos
guarda chuva aberto; assobio em fios de postes
Movem-se as árvores grandes; dificuldade em andar contra
7 Vento forte 13,9 a 17,1 50 a 61 28 a 33 Mar revolto até 4.5 m com espuma e borrifos
o vento
Mar revolto até 5 m com rebentação e faixas de Quebram-se galhos de árvores; dificuldade em andar
8 Ventania 17,2 a 20,7 62 a 74 34 a 40
espuma contra o vento; barcos permanecem nos portos
Danos em árvores e pequenas construções; impossível
9 Ventania forte 20,8 a 24,4 75 a 88 41 a 47 Mar revolto até 7 m; visibilidade precária
andar contra o vento
10 Tempestade 24,5 a 28,4 89 a 102 48 a 55 Mar revolto até 9 m; superfície do mar branca Árvores arrancadas; danos estruturais em construções
Tempestade Mar revolto até 11 m; pequenos navios sobem nas
11 28,5 a 32,6 103 a 117 56 a 63 Estragos generalizados em construções
violenta vagas
Mar todo de espuma, com até 14 m; visibilidade
12 Furacão >32,7 >118 >64 Estragos graves e generalizados em construções
nula


Modelagem do Vento
 Normalmente é dividido em duas componentes : um valor médio e um
valor flutuante ou rajada (gust).
 É um fenômeno 3D, mas em aplicações marítimas é restrito a 2D, e as
velocidades são consideradas apenas no plano horizontal, não havendo
componentes verticais.
 O vento é parametrizado pela velocidade U e direção ψ. Sua direção é
tomada na direção em que o vento está vindo, medida a partir do norte,
positiva para leste.

Sensores de direção e velocidade média do vento
(anemômetro)


Componente Médio do Vento
 Flutuações de variação lenta na velocidade e direção média do vento
podem ser modeladas como um processo de 1ª ordem de Gauss-Markov ,
isto é, segue uma distribuição Gaussiana e os estados anteriores são
irrelevantes para a predição dos estados seguintes, desde que o estado
atual seja conhecido.


Rajada de Vento
 A rajada de vento pode ser modelada como um processo estocástico com
um espectro em particular.
Wind spectra (U=20 m/s)
400
Davenport
350 Harris
API
Spectral density [(m/s) 2/Hz]

300 ISO

250

200

150

100

50

0
0 0.01 0.02 0.03 0.04
Frequency [Hz]


Perfil de Vento
 O perfil de velocidades do vento depende das condições de estabilidade
atmosférica, podendo variar bastante sua forma ao longo de 24 horas.

𝑧
 Uma abordagem mais simplificada (neutra) assume o seguinte perfil :

𝑈 𝑧 = 𝑈 𝑧𝑧𝑒𝑧( )𝛼
𝑧 𝑧𝑒𝑧
onde α= 1/7 a 1/8

Modelos de perfis de velocidade do vento


Correnteza


Correnteza
 A correnteza pode ser criada por vários fatores :
- Marés : regulares, seguindo os movimentos harmônicos
dos planetas.
- Circulação dos oceanos (ex. Corrente do Golfo)
- Ventos de tempestades
- Ondas internas causadas por gradientes de densidade.

 Podemos dividir a modelagem da correnteza em três
níveis de detalhe :
- Correnteza na superfície do oceano, para uso na
modelagem da resposta de embarcações de superfície.
- Perfil completo de correnteza, para uso na modelagem
de risers, linhas de ancoragem, etc.
- Correnteza próxima ao fundo, para uso no cálculo de
dutos e umbilicais submarinos em contato com o solo.


Perfil da Correnteza
 Em vários projetos a correnteza pode ser a causa
principal do carregamento hidrodinâmico. Portan-
to, a seleção de um perfil adequado é importante.

Efeito da correnteza em uma coluna de perfuração
Correnteza

 Correntes de profundidade
podem afetar significativa-
Cabeça do BOP
mente o perfil resultante. poço

Perfil de correnteza em
águas profundas em
diferentes instantes.

 A decisão pode ser
bastante complexa.
Modelos de perfis de correnteza retangular, triangular, ...


a = 0.99999...
10a = 9.999999..
As Vezes a 10a = 9 + 0.999999..
Matemática 10a = 9 + a
Falha 9a = 9
a =1
0.99999... = 1


Megatsunami
 A maior onda já registrada ocorreu na Baía de Lituya, na costa sul do
Alasca em 1958. Um terremoto de 8,3 graus na escala Richter atingiu a
área e desprendeu 40 milhões de metros cúbicos de terra e gelo de uma
geleira na montanha no fundo da baía. Quando os destroços atingiram a
água, uma onda de 520 metros foi criada.

Nível da onda


A Onda Traiçoeira (rogue wave) 1
 Nas últimas duas décadas do século XX mais de 200 grandes navios (L > 200m)
afundaram devido ao “mau tempo”.
 Relatórios de (poucos) sobreviventes informavam ondas de 30 m de altura.
 Comunidade cientifica cética. Estas ondas só aconteceriam a cada 10.000 anos

 Medições das ondas por laser
em plataformas offshore no
Mar do Norte registraram 446
ocorrências de ondas de mais
de 25 m em 12 anos.
 O projeto MAXWAVE (2003),
com observação das ondas
por satélites, apresentou em 3
semanas mais de 10 ondas
gigantes com mais de 25 m
de altura em todo mundo.


A Onda Traiçoeira (rogue wave) 2
 Rogue ou freak waves são ondas relativamente grandes (H > 2HS) que
ocorrem espontaneamente em águas profundas, dependendo de um
número de fatores coincidentes tais como vento forte e convergência de
correntes.


Mudanças Climáticas
 Dados coletados de observações de satélite e bóias desde 1985 demons-
tram que os ventos no oceano e as alturas de onda aumentaram
significativamente nos útimos 25 anos. Por exemplo :
H max = 5m
1985

- Sudeste da Austrália
H max = 6m
2008

H100 = 10m
1996

- Nordeste do Pacífico
H100 = 14m
2008
TLP Mars antes e depois do Katrina

 As alturas extremas de onda cresceram nos últimos 20 anos cerca de
0.25% ao ano nas regiões equatoriais, e até 1% ao ano nas latitudes mais
altas.
 Implicações na engenharia costeira, offshore, navegação, e processos de
erosão.


E como diria Netuno ...
Reduza-se à sua insignificância estatística !

Hs=? Tz=?
λ=?


Bibliografia Recomendada
 DNV (2010) “DNV-RP-C205 Environmental Conditions and Environmental Loads”
“DNV RP C205
http://exchange.dnv.com/publishing/Codes/download.asp?url=2010-10/rp-c205.pdf

 HAVES, S. (2000) “On the Prediction of Extreme Wave Crest Heights”, Statoil, Stavanger,
Norway
 Sarpkaya, T (1979) “Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures”, Van Nostrand
Reinhold Company, New York, USA
 Coastal and Hydraulics Laboratory (1984) “Coastal Engineering Manual”, US Army Corp of
Engineers, Washington DC, USA
 Chakrabarti, S.K. (2003) “Hydrodynamics of Offshore Structures”, WIT Press, Southampton,
UK
 WMO (1968) “Guide to Wave Analysis and Forecasting”, Geneva, Switzerland
 Dean, R. G (1984) “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”, World Scientific
 Pierson, W.J. et Moskowitz, L. (1963) “A Proposed Spectral Form for Fully Developed Wind
Seas Based on the Similarity Theory of S.A. Kitaigorodskii”, NY University, USA


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Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes - Parte I A Excitação

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