Este documento apresenta um estudo sobre a geometria fractal e sua presença na planta Melocactus SP encontrada na caatinga do município de Itiúba, Bahia. O autor realizou um estudo de campo para coletar imagens da planta e analisá-la utilizando um software fractal, confirmando que a Melocactus SP apresenta características fractais típicas.

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
GILBERTO ALVES DOS REIS
FRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE O
MELOCACTUS SP NO MUNICÍPIO DE
ITIÚBA, BAHIA
SENHOR DO BONFIM, 2008

2. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
GILBERTO ALVES DOS REIS
FRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE O
MELOCACTUS SP NO MUNICÍPIO DE
ITIÚBA, BAHIA
SENHOR DO BONFIM, 2008

3. GILBERTO ALVES DOS REIS
FRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE O MELOCACTUS
SP NO MUNICÍPIO DE ITIÚBA, BAHIA
Monografia apresentada ao Departamento de
Educação – Campus VII da Universidade do
Estado da Bahia, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do grau de licenciado em
Matemática.
Professora Mirian Brito de Santana
Orientadora
SENHOR DO BONFIM, 2008

4. FOLHA DE APROVAÇÃO
FRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE O MELOCACTUS SP NO
MUNICÍPIO DE ITIÚBA, BAHIA
GILBERTO ALVES DOS REIS
BANCA EXAMINADORA
Profa. Mirian Brito de Santana_____________________________________
Universidade do Estado da Bahia - UNEB
Especialista em Metodologia do Ensino do Desenho/UEFS
Profa. Fabiana Oliveira da Silva____________________________________
Universidade do Estado da Bahia - UNEB
Mestre em Ciências Biológicas/UFBA
Prof. Danton de Oliveira Freitas____________________________________
Universidade do Estado da Bahia - UNEB
Especialista em Metodologia do Ensino do Desenho/UEFS
Senhor do Bonfim, julho 2010

5. Dedico este trabalho:
Aos meus pais: fãs incondicionais e verdadeiros amigos em todo o meu
percurso de vida e que deixaram muitas vezes de realizar os próprios sonhos para
me proporcionarem a educação que não tiveram;
Ao meu filho Tauan que com o seu sorriso inocente sempre me deu forças
para continuar em busca dos meus objetivos;
À minha esposa Aninha que durante todos esses anos tem sido o meu
suporte emocional, sempre disposta a me ouvir, me dar colo e a me impulsionar a
vôos cada vez mais altos;
Aos professores que direta ou indiretamente participaram da minha formação
acadêmica, profissional e pessoal.

6. Agradeço:
Inicialmente a Deus, pela força para realizar este trabalho e por ter colocado
no meu caminho as pessoas certas nas horas mais necessárias;
Às pessoas que contribuíram para o bom andamento deste trabalho:
Professor Danton Freitas, Professor José Garcia Vivas Miranda, Professora Fabiana
Silva, Professor Adson Bastos, Professor José Cleub Santos Junior, Professor
Hiroyuki Sasaki;
Aos meus amigos, Roberto Rayala e Manoel Bonfim, pelo incentivo e abrigo
tão importantes nesta caminhada;
À professora Mirian Brito, orientadora desse trabalho, pela dedicação e
carinho;
A todas as pessoas que direta ou indiretamente participaram deste processo.

7. “Não é o ângulo reto que me atrai,
Nem a linha reta, dura, inflexível,
Criada pelo homem.
O que me atrai é a curva livre e sensual,
A curva que encontro nas montanhas do meu país,
No curso sinuoso dos seus rios,
Nas ondas do mar,
No corpo da mulher preferida.
De curvas é feito todo o universo,
O universo curvo de Einstein”.
(Oscar Niemeyer)

8. RESUMO
Este trabalho busca uma aproximação entre a geometria fractal e a caatinga do
sertão nordestino. A descoberta desta geometria é datada de meados do século XX
e traz o foco de discussões para a área da geometria. A geometria fractal é também
conhecida como geometria da natureza visto que muitos fenômenos naturais
apresentam estruturas fractais e assim sendo, apresentam irregularidades que
tornam impossível a sua descrição através dos postulados e proposições
geométricas antes conhecidas. Não é possível, por exemplo, determinar de modo
próximo ao real, o volume de uma pedra arredonda utilizando apenas a geometria
euclidiana. A beleza da geometria fractal e suas características nos levaram a
concretizar esta pesquisa através de uma abordagem qualitativa, descrevendo um
caso específico de investigação na perspectiva geométrica, de uma planta natural da
caatinga. Neste sentido, inquietava-nos então saber se a geometria fractal estaria
presente no Melocactus SP ou Cabeça-de-frade e, se confirmado, como poderíamos
estudar e analisar as características fractais desta planta. Para tanto, realizamos um
estudo de campo, consistindo na captura de imagens da planta escolhida no
município de Itiúba, Bahia, e atribuindo a esta um tratamento específico através do
Programa Computacional Fractal Analysis System, concedido gentilmente pela
National Agriculture and Food Research Organization, do Japão. Diante dos dados
coletados, ousamos afirmar que nossas suspeitas iniciais se confirmaram. Estes
dados parecem indicar que a Melocactus SP é realmente um objeto fractal, por
apresentar as principais características fractais. Esperamos, pois, que o estudo
realizado, sirva de base para outros mais detalhados e que possa servir também
para construir novos caminhos apontando previsões ou soluções que amenizem
problemas significativos como a seca na região nordeste do país.
Palavras-chave: Melocactus SP; geometria não euclidiana; fractais; Fractal Analysis
System

9. 9
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELAS ................................................ 10
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 11
1 Fractais: Estudo Recente, História Antiga ............................................. .....13
1.1 Geometria Euclidiana e Não Euclidianas: Base para o Estudo do Fractal.....19
2 Dimensão e Aplicação de Fractais .............................................................. 26
2.1 Triângulo de Sierpinski ................................................................................. 26
2.2 Curva de Koch .............................................................................................. 27
2.3 Poeira de Cantor .......................................................................................... 28
2.4 Aplicações dos Fractais................................................................................ 30
3 Geometria Fractal na Caatinga..................................................................... 36
3.1 Caminhos Fractais ....................................................................................... 36
3.2 O Software: Tratamento Fractal ................................................................... 38
3.3 Lócus da Pesquisa ....................................................................................... 40
3.4 Cactácea: Vida no Nordeste Seco ............................................................... 42
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 48
REFERÊNCIAS .................................................................................................. 51
ANEXOS ........................................................................................................... 56

10. 10
LISTA DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELAS
Figura 1: Gráfico da função de Weierstrass............................................................. 13
Figura 2: Os seis primeiros passos da Poeira de Cantor ......................................... 14
Figura 3: Os três primeiros passos para a construção da curva de peano .............. 15
Figura 4: Gráfico das equações x n+1 = k. x n (1 – xn2) referente à tabela 1 .......... 17
Figura 5: Conjunto de Mandelbrot ........................................................................... 21
Figura 6: Feto fractal gerado por recursos computacionais ..................................... 22
Figura 7: Simulação de uma linha costeira .............................................................. 23
Figura 8: Os cinco primeiros passos da construção do Triângulo de Sierspinski ..... 26
Figura 9: Processo iterativo de construção da Curva de Koch apresentado através
dos 5 primeiros níveis .............................................................................................. 28
Figura 10: Poeira de Cantor .................................................................................... 29
Figura 11: Construção do Floco de Neve de Koch .................................................. 30
Figura 12: Fire Flower .............................................................................................. 32
Figura 13: Galáxia fractal ......................................................................................... 32
Figura 14: Gráfico das cotações do DJIA no período de janeiro de 1990 a
dezembro de 2001 ................................................................................................... 33
Figura 15: Vista de Itiúba, Bahia .............................................................................. 42
Figura 16: Melocactus SP ou cabeça-de-frade ........................................................ 43
Figura 17: Secção transversal de um cacto ............................................................. 44
Figura 18: Parte isolada do polígono estrelado, com aspecto que se assemelha a
dois triângulos não euclidianos ................................................................................ 45
Figura 19: Melocactus com quatro cladódios ........................................................... 45
Figura 20: Triângulo Euclidiano e de Sierpinski ....................................................... 47
Tabela1: As primeiras dez iterações da equação não linear x n+1 = k. x n (1 – xn2)16
Tabela 2: Relação entre a dimensão de uma figura, o coeficiente de redução e o
número de partes originadas ................................................................................... 24

11. 11
INTRODUÇÃO
Há mais de dois mil anos estudiosos das matemáticas e pessoas comuns,
tentam e resolvem problemas da vida real baseados na geometria euclidiana, seja
confeccionando objetos para facilitar sua sobrevivência, seja para se locomover,
diminuir distâncias, ou para medir terras. Até hoje esta geometria tem seu lugar de
destaque na vida dos seres humanos e também na aprendizagem em meio aos
conteúdos escolares, mesmo após a descoberta de novas geometrias, denominadas
de geometrias não euclidianas. Estas novas geometrias vieram para aumentar o
campo de atuação desta ciência, considerando outras superfícies diferentes da
superfície de curvatura nula, sistematizada por Euclides de Alexandria.
Para alguns problemas, porém, não se encontravam respostas ou fórmulas
adequadas para garantir os resultados esperados. Por exemplo, para calcular o
volume de uma pedra arredondada não poderíamos utilizar a definição e a fórmula
da esfera porque os valores não seriam reais ou próximos deste. Trariam distorções
muito elevadas. Não seria possível também, calcular a dimensão da folha de uma
planta. Para estes cálculos, as definições da geometria euclidiana não eram
suficientes. Com estas mesmas idéias, Benoit Mandelbrot, em meados do século
XX, ao estudar os preços do algodão de todo o século anterior, percebeu que, as
oscilações embora aparentemente desordenadas, seguiam um mesmo padrão em
períodos. Buscou então, um modelo matemático que representasse tal padrão e
chegou à Poeira de Cantor que há muito era conhecida como um dos monstros
matemáticos. Começava a nascer uma nova ciência que seria mais tarde
sistematizada pelo próprio Mandelbrot. A geometria dos fractais apresenta-se para
tratar de fenômenos imprevisíveis, caóticos, buscando sempre encontrar um padrão
em situações que antes se pensava haver apenas aleatoriedade. Para
desenvolvimento dos cálculos desta nova geometria que leva em conta as
irregularidades e por trabalhar com funções iterativas e algoritmos recursivos, é
indispensável à utilização do computador e de softwares apropriados para estes fins.
A geometria fractal ainda não faz parte dos currículos escolares, mas por
utilizar-se de softwares consegue chamar a atenção de admiradores e estudiosos

12. 12
desta área. Isto foi inclusive o que nos levou a buscar maior compreensão, nestas
figuras tão interessantes de se observar. Além disso, impressionávamos como um
algoritmo matemático podia gerar figuras tão belas. Outro motivo foi a nossa própria
existência enquanto nordestino. A convivência com a região nos permitia observar,
mesmo sem cunho científico, a existência de alguma uniformidade no crescimento
das plantas nativas, e ainda, nos levava a observar que estas plantas pareciam
denotar maior resistência ao fenômeno da seca. Então nos instigava saber se a
geometria fractal estaria presente nas plantas do semi-árido e como isso poderia de
alguma maneira indicar caminhos que levassem a estudos visando o melhoramento
das pastagens ou alguma previsão que assegure alternativas tão necessárias a vida
do sertanejo.
Assim elaboramos o presente estudo visando demonstrar as principais
características e apontando algumas aplicações práticas dos fractais, utilizando
como modelo a espécie Melocactus SP, uma cactaceae típica de áreas de caatinga.
A pesquisa realizou-se na região do Piemonte da Diamantina, no município de
Itiúba, Bahia, numa abordagem qualitativa, através de coleta de imagens e
tratamento destas através do software Fractal Analysis System, além de pesquisa
bibliográfica para melhor entendimento das características científicas da planta em
estudo.
Para tanto, elaboramos e organizamos a presente pesquisa em três capítulos.
No primeiro capítulo, Fractais: Estudo Recente, História Antiga, abordamos a história
dos fractais desde as primeiras indagações no século XIX até a sua concretização
em meados do século XX. Além disso, procuramos discutir sucintamente alguns
aspectos das geometrias. No segundo capítulo, Dimensão e Aplicação de Fractais,
trazemos os estudos de fractais através do cálculo de suas dimensões, bem como a
aplicação dos fractais em outras áreas de conhecimentos. No terceiro capítulo,
Geometria Fractal na Caatinga, descrevemos os caminhos e procedimentos
metodológicos utilizados no estudo do Melocactus SP e os resultados encontrados
com esta pesquisa. Nas considerações finais retomamos o tema em questão e
incluímos algumas sugestões para ampliação da pesquisa. E por fim, listamos os
autores que referendaram nossos argumentos e, a autorização concedida para a
utilização do software necessário ao tratamento das imagens capturadas.

13. 13
1 FRACTAIS: ESTUDO RECENTE, HISTÓRIA ANTIGA
Por volta da metade do século XVIII, Newton (1643-1727) e Leibniz (1646-
1716) criaram o cálculo1, enquanto estudavam independentemente as leis do
movimento e problemas que diziam respeito a taxas de variação, com as suas
técnicas de diferenciação em termos geométricos para então encontrar a tangente
de uma curva em qualquer ponto dado. Em 1870 Weierstrass (1815-1897)
descreveu uma função contínua, mas não diferenciável, isto é, em nenhum ponto se
podia descrever uma tangente à curva (RESENDE, 2004; STEWART, 1996). O
gráfico dessa função denominado de “Função de Weierstrass”, apresentava uma
série de curvas oscilantes dotadas de uma característica própria. Apresentavam
irregularidades altamente complexas que davam a aparência de sucessivas pontas,
e cada uma delas, formadas também por outras pontas menores, e assim
sucessivamente. Essas curvas possuíam uma complexidade inacabável e uma fina
estrutura, e foram denominadas “curvas sem tangente ou sem derivada”, conforme
mostra o gráfico abaixo.
Figura 1: Gráfico da função de Weierstrass
Fonte: http://www.math.washington.edu/~conroy/general/weierstrass/weier.htm
1
Cálculo, segundo Ferreira (1999, p. 370) é a “parte fundamental da análise matemática, sobre a qual
se apoiam outros domínios dessa ciência, e em que se investigam as propriedades das derivadas e
diferenciais, os processos de obtê-las, a operação de integração, suas propriedades e métodos de
obtenção de primitivas”.

14. 14
Segundo Resende (2004), quase que simultaneamente a Weierstrass, Cantor
(1845-1918) criou um método simples de transformar uma linha numa “poeira de
pontos” que apesar de serem pontos isolados no intervalo [0;1], têm uma quantidade
infinita de pontos. Este conjunto, conhecido como “Poeira de Cantor”, consistiu em
se tirar de um segmento de reta, a sua terça parte. Dos segmentos formados após
tal procedimento, retirou-se também a sua terça parte, e assim infinitamente. Na
figura abaixo, podemos acompanhar a evolução deste processo.
Figura 2: Os seis primeiros passos da Poeira de Cantor
Fonte: http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-442004000200004
Ainda, de acordo com Resende (2004), Peano (1858–1932), gerou pela
primeira vez, uma curva ondulada que tocava em cada ponto do plano. O ponto de
partida para a construção da Curva de Peano é um segmento. Na 1.ª iteração 2, o
segmento é substituído por 9 segmentos de comprimento igual a um terço do
comprimento do segmento inicial, como indica a primeira imagem da Figura 2. Esses
9 segmentos constituem a 1.ª iteração da construção recursiva da Curva de Peano.
2
Para Ferreira (1999, p. 1146), “Iteração é o processo de resolução (de uma equação, de um
problema) mediante uma seqüência finita de operações em que o objeto de cada uma é o resultado
da que a precede”.

15. 15
Depois, o processo recursivo aplica-se a cada um dos 9 segmentos, infinitamente,
como mostra a Figura 3.
Figura 3: Os três primeiros passos para a construção da Curva de Peano
Fonte: www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/index.html
Estas, entre outras formas geométricas, pareciam sair das categorias usuais
de linhas unidimensionais, bidimensionais e planos tridimensionais a que estávamos
acostumados, desafiando assim os sólidos postulados da geometria euclidiana. Fato
este pelo o qual a maioria foi vista como casos patológicos, chamadas assim de
monstros matemáticos ou objetos caóticos (FARIA et al, 1999). Somente anos mais
tarde, com o desenvolvimento da teoria do caos, é que essas formas passaram a ter
um sentido lógico. Segundo Farias (2003, p. 9), teoria do caos:
é um ramo matemático que se ocupa dos sistemas que apresentam um
comportamento imprevisível e aparentemente aleatório, embora sejam
regidos por leis estritamente deterministas, e que se deve ao fato de as
equações não lineares que regem a evolução desses sistemas serem
extremamente sensíveis a variações em suas condições iniciais, assim, uma
pequena alteração no valor de um parâmetro pode gerar grandes mudanças
no estado do sistema à medida que este tem uma evolução temporal.
De acordo com Corrêa (2007), tomemos como exemplo, a equação não linear
x n+1 = k. xn (1 – xn2), onde x n+1 é o valor da iteração n, k é um valor constante e xn é
o valor da iteração interior. Se considerarmos:

16. 16
k = 2,5 e xn = 0, 700000000 e depois tomarmos xn = 0, 700000001, aparentemente o
resultado não será muito diferente. Observemos a tabela a seguir.
2
Tabela1: As primeiras dez iterações da equação não linear x n+1 = k. x n (1 – xn )
x0 = 0, 700000000 X0 = 0, 700000001
x1 = 0, 892500000 x1 = 0, 892499999
x2 = 0, 453933867 x2 = 0, 453933871
x3 = 0, 900995226 x3 = 0, 900995230
x4 = 0, 423935380 x4 = 0, 423935366
x5 = 0, 869363005 x5 = 0, 869362989
x6 = 0, 530763428 x6 = 0, 530763479
x7 = 0,953105400 x7 = 0, 953105420
x8 = 0,218237538 x8 = 0, 218237453
x9 = 0,519608507 x9 = 0, 519608324
x10 = 0,948294618 x10 = 0,948294531
Fonte: http://www.geocities.com/inthechaos/num.htm
Construindo o gráfico das duas equações até a 50.ª iteração, veremos que até
a iteração 35 os resultados são praticamente iguais. A partir daí, porém, os valores
começam a se tornar completamente diferentes. É a dependência das condições
iniciais, o que Corrêa (2007) denominou de caos.

17. 17
2
Figura 4: Gráficos da equação iterativa x n+1 = k. x n (1 – xn ) referente à tabela 1
Fonte: http://www.geocities.com/inthechaos/num.htm
No final da década de 1950, um jovem matemático polonês, Benoit
Mandelbrot, funcionário da International Business Machines Corporation (IBM),
achava que problemas imprevisíveis do cotidiano como a oscilação da bolsa de
valores e os problemas de comunicação dos computadores que a IBM vinha
enfrentando, poderiam ser traduzidos em fórmulas matemáticas, portanto, poderiam
ser representadas graficamente. Dizia isso baseado nos trabalhos de Hausdorff e
Besikovich (1919). Mandelbrot percebeu que existiam certas características comuns
entres os gráficos. No gráfico de Weierstrass as curvas se repetiam após breve
intervalo mantendo certa semelhança entre si, ou seja, existia um certo padrão. Era
a ordem dentro do caos (GLEICK, 1989, p. 79).
De acordo com Corrêa (2007), Mandelbrot começou então a empenhar-se na
pesquisa fazendo uma analogia com a Poeira de Cantor e outros objetos caóticos.
Observando as irregularidades existentes na natureza, percebeu que a geometria
euclidiana não seria suficiente para descrever todos os fenômenos, como por
exemplo, calcular o perímetro de uma folha ou mesmo a extensão de uma linha
costeira. Foi além, e chegou a dimensões fracionárias. Sobre essas idéias escreveu

18. 18
um artigo intitulado “Qual a extensão da costa da Grã-Bretanha?”, que analisava o
processo de mensurar uma superfície irregular como o litoral em estudo.
Para designar as novas formas estudadas, Mandelbrot ao folhear um
dicionário de latim do seu filho encontrou uma palavra adequada: fractal.
Eu cunhei a palavra fractal do adjetivo em latim fractus. O verbo latino
correspondente frangere significa „quebrar‟, criar fragmentos irregulares. É
contudo sabido – e como isso é apropriado para os nossos propósitos –
que, além de significar „quebrado‟ ou „partido‟, fractus também significa
„irregular‟. Os dois significados estão preservados em fragmento
(MANDELBROT, 1982, p. 180).
Paralelamente a Mandelbrot, outros estudiosos como Mitchell Feigenbaun e
Edward Lorenz realizavam estudos sobre o comportamento atmosférico. Nestes
estudos também concluíram que existem certos padrões de comportamento em
sistemas que tendiam para o caos. Lorenz tentava prever com auxílio de um
computador primitivo e munido de doze equações não lineares, os fenômenos
meteorológicos.
Ele havia reduzido o tempo atmosférico aos elementos essenciais. Não
obstante, linha por linha, os ventos e as temperaturas dos resultados
impressos por seu computador pareciam comportar-se de uma maneira
terrena reconhecível. Eles correspondiam à sua querida intuição sobre o
tempo, sua sensação de que ele se repetia, revelando padrões conhecidos,
a pressão aumentando e caindo, as correntes de ar oscilando entre norte e
sul. Descobriu que quando uma linha passava do alto para baixo sem um
salto, ocorreria em seguida um salto duplo, e disse: “É esse o tipo de regra
que um meteorologista pode usar”. Mas as repetições nunca eram
perfeitamente iguais. Havia um padrão, com alterações. Uma desordem
ordenada (GLEICK, 1989, p.13).
Para melhor observar os padrões, Lorenz criou um gráfico. Neste gráfico, o
computador traçava seqüencias de “a” e espaços em branco que formavam uma
linha ondulada representando a maneira pela qual os ventos se comportavam. Ele
observou que os ciclos se repetiam, no entanto, nunca eram precisamente iguais.
Certo dia, em 1961, resolveu tomar um atalho. Ao invés de observar toda uma
seqüência, começou pelo meio. Para iniciar a máquina, ele mesmo atribuiu as
coordenadas, utilizando os números de uma seqüência anterior. Qual não foi sua
surpresa ao perceber que o gráfico desenhado era completamente diferente do
gráfico anterior. Preocupado Lorenz começa a analisar a equação utilizada e o
gráfico traçado desconfiado de que o computador estivesse com problemas, e
descobre a verdade. Não havia problema com o computador. Na impressão anterior

19. 19
o computador havia iniciado com os números 0,506127. Ele havia digitado apenas
0,506 achando que por ser um valor muito pequeno o restante do número não iria
influenciar na construção do gráfico. Chegou então à conclusão de que erros
pequenos poderiam ser catastróficos em um sistema específico. Era a dependência
das condições iniciais, o próprio caos (GLEICK, 1989).
Criou-se então uma grande curiosidade e interesse pelos fractais,
impulsionando muitos matemáticos a plotarem, com o auxílio de modernos
computadores, fórmulas iterativas para a geração de belíssimas figuras. Entre eles,
pode-se citar Michael Banrsley que em 1988 lançou o livro Fractales Everywher.
Todo esse interesse rendeu a Benoit Mandelbrot o título de “Pai dos Fractais”, como
é até hoje conhecido.
1.1 GEOMETRIAS EUCLIDIANA E NÃO EUCLIDIANAS: BASE PARA O ESTUDO
DO FRACTAL
A geometria fractal é uma das áreas mais recentes da geometria e apesar de
ter sua origem no século XVIII, só se concretizou no século XX. Esta geometria
trabalha com funções iterativas e algoritmos próprios, não apenas com fórmulas e
equações euclidianas para estudar o grau de irregularidade presente nos objetos
naturais em diferentes escalas. Para isto, utiliza-se do auxílio das ferramentas
computacionais para sua compreensão.
A geometria euclidiana data do século III a.C., e teve um marco inigualável
com Euclides de Alexandria. Euclides sistematizou todo o conhecimento existente
até aquele período em 13 livros denominados de Os Elementos. Para Lima Filho
(1998, p. 604), Euclides “utilizou de maneira rigorosa e continuada a lógica
estruturada e desenvolvida por Aristóteles, adequando os conhecimentos
matemáticos de então às exigências da perfeição nas idéias e na forma, que
impregnavam a filosofia idealista platônica predominante”. Para Penick (1980), a
geometria euclidiana por suas formas perfeitas, era utilizada por vários povos

20. 20
também com caráter religioso, por as considerarem como objetos sagrados. Além
disso, cada forma apresentava propriedades únicas e detinham um significado
esotérico que permaneceu imutável ao longo da história humana. Essas figuras
euclidianas, de acordo com Resende (2004), podiam facilmente ser reproduzidas
com o auxílio de apenas dois instrumentos: a régua e o compasso.
A geometria euclidiana de acordo com Tenório (1995) é o estudo relativo às
formas, tamanho ou posição dos objetos e manteve suas bases inalteráveis por mais
de dois mil anos. As novas geometrias surgiram no século XIX depois de vários
questionamentos relacionados ao Postulado das Paralelas. Este Postulado não era
conseqüência lógica dos outros Postulados e por isto se destacava. Discussões
outras relacionadas ao Postulado das Paralelas resultou na descoberta e
consistência de novas geometrias: geometria hiperbólica e elíptica. Assim, de acordo
com Santana (2008, p. 17):
Por ocuparem espaços distintos: a geometria euclidiana com espaços de
curvatura nula, a geometria esférica com curvatura positiva e a geometria
hiperbólica com curvatura negativa passaram a ter suas aplicações voltadas
para diferentes realidades. No entanto, o fato do descobrimento de outras
geometrias não invalidou a primeira delas [...]. Deste modo, a geometria
presente no universo é uma geometria euclidiana quando engloba objetos
que nos cercam cuja curvatura não se altera (curvatura nula). É uma
geometria esférica ou hiperbólica quando envolve distâncias ínfimas como
objetos visíveis através de aparelhos eletrônicos [...] ou quando considera
grandes objetos ou distâncias como, por exemplo, a distância de Salvador a
Espanha.
Desta maneira, para a geometria esférica ou hiperbólica que compreende
espaços ou superfícies que envolvem distâncias muito grandes ou pequenas a
geometria euclidiana não é suficiente. Neste sentido, segundo a autora, a partir da
aceitação destas geometrias outras podem ser consideradas desde que haja
superfícies distintas das aqui descritas. A superfície para a construção de um fractal
é uma superfície de dimensão diferente da geometria euclidiana. A geometria
euclidiana considera no máximo três dimensões (tridimensional), enquanto a
geometria fractal considera a dimensão que varia no intervalo entre zero a três
dimensões, considerando inclusive dimensões fracionárias, ou seja, trata-se de uma
superfície não euclidiana.

21. 21
Para Barbosa (2002), são três as características indispensáveis para o estudo
da geometria fractal: a auto semelhança, a dimensão fracionária e a sua infinita
complexidade. Tomando uma figura da geometria euclidiana como, por exemplo,
uma circunferência, se ampliarmos uma de suas partes, através de uma lente
computacional, perceberemos que cada vez mais o arco tenderá a se confundir com
um segmento de reta, perdendo assim as suas características originais, o que não
acontece na geometria fractal.
Os fractais apresentam em sua estrutura infinitas réplicas de uma figura inicial
tomada como geradora do fractal. Deste modo, cada uma das partes possui as
mesmas propriedades geométricas da figura inicial sendo, portanto, auto semelhante
entre si. Como exemplo, tomemos uma importante figura do mundo fractal: o
Conjunto de Mandelbrot.
Figura 5: Conjunto de Mandelbrot
Fonte: Figuras geradas através do Programa Computacional Nfract 1.0 com 255 iterações
Notamos que existe uma semelhança entre as partes da figura, comuns a
todos os fractais. Existe, porém, também de acordo com Barbosa (2002), dois tipos
de auto semelhança: a exata e a aproximada. A auto semelhança exata é um
conceito artificial não vinculada a objetos reais da natureza, aceitável ou concebida
apenas em termos abstratos, através da aplicação de recursos externos. Já a auto
semelhança aproximada, encontra na natureza aspectos naturais que mantém um

22. 22
determinado padrão de regularidade. Como exemplo dessa auto semelhança temos
uma cadeia de montanhas que registra cada parte formadora do conjunto com
semelhança no todo. Outro exemplo é o crescimento das plantas. Cada galho por
menor que seja tende a se assemelhar com a planta inteira. Vejamos abaixo um feto
fractal.
Figura 6: Feto fractal gerado por recursos computacionais
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/exempl_f.htm
Isso não significa, porém, que uma montanha ou uma planta seja um fractal,
já que não possuem a complexidade infinita dos fractais. No entanto, possuem
características fractais da auto semelhança aproximada.
Outra característica dos fractais, destacada por Barbosa (2002), é a
dimensão fracionária. Para este autor, o nosso convívio diário com objetos
unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais, além do conhecimento intuitivo
herdado da geometria euclidiana, nos habituou a perceber e trabalhar apenas com
dimensões inteiras, de modo que ao nos depararmos com dimensões não inteiras,
como por exemplo, 2,3 ou 1,8, ficamos inseguros e até mesmo discordamos de tal
situação. Segundo Wegner (1993, apud FARIAS, 2003, p. 18):
A dimensão fractal de um objeto é a medida de seu grau de irregularidade
considerado em todas as escalas, podendo assumir um valor maior do que
a dimensão geométrica clássica do objeto. A dimensão fractal está
relacionada à rapidez com que a medida estimada do objeto aumenta
enquanto o instrumento de medição diminui.

23. 23
Um exemplo disso, já trabalhado por Mandelbrot, é a medida do comprimento
de uma linha costeira como mostra a Figura 7. Tomando uma escala S, a cada nova
medida de S, teremos um comprimento L diferente, ou seja, se diminuirmos S
infinitamente, L irá aumentar também infinitamente.
Figura 7: Simulação de uma linha costeira
Fonte:http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2004/Geometria%20Fractal%20e%20Teoria%20do%
20Caos.pdf
Isso acontece porque uma linha costeira é muito irregular. Assim, quanto
menor for o objeto de medição, maior será a sua eficácia em registrar as
reentrâncias rochosas que existem. Desse modo, o comprimento da costa de um
país tende para o infinito mesmo possuindo ele uma área finita delimitada por linhas
de fronteira.
Para a geometria euclidiana, segundo Guimarães (1927, p. 5):
[...] ponto é a extensão de dimensões inapreciáveis; linha é a extensão
cujas dimensões, largura e espessura são despresíveis; superficie é a
extensão cuja espessura não se considéra. [...] No entanto, podemos
estudar a linha considerando unicamente a sua dimensão apreciavel;
depois, a superficie, levando em conta duas; e, finalmente, o volume,
servindo-nos de todas ellas, considerando sempre tudo no espaço
collocado.

24. 24
Diante desta afirmação é possível supor que um ponto tem dimensão zero,
uma linha tem dimensão um, uma superfície tem dimensão dois e um sólido possui
dimensão três.
Para melhor compreensão do conceito de dimensão, construímos a Tabela 2
para verificar o cálculo em algumas figuras conhecidas. Trabalharemos então com
algumas figuras de dimensão inteira, dividindo-as por um coeficiente de redução S,
ou seja, com uma mesma proporção para todas elas e calcularemos o número de
partes N que cada uma irá originar. Observemos então como isso é feito na tabela
abaixo (BATANETE et al, 2004).
Tabela 2: Relação entre a dimensão de uma figura, o coeficiente de redução e o número de
partes
Dimensão Figura S N
1 2=2
1
1
2
2
2 1 4=2
2
3
3 1 8=2
2
Fonte: http:// www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/
Fica evidente, segundo os dados da tabela, que se aumentarmos ou
reduzirmos o valor de S, o valor de N também irá variar na proporção inversa. Para a

25. 25
1 1
dimensão 1 obtivemos 21  1
, para a dimensão 2, 2 2  2
, para a dimensão
1 1
   
2 2
d
1 1
3, 2 3  . Generalizando, para uma dimensão d, teremos: N  
S
3
1
 
2
Aplicando logaritmos a ambos os membros da equação, temos que
d
1 1 log N
log N  log  log N  d  log  d
s s log
1
s
De acordo com Vivas (2000), esta fórmula, que leva o nome de Dimensão de
Hausdorff, foi apresentada em meados de 1919, pelo matemático alemão Félix
Hausdorff, como uma alternativa para calcular dimensões em conjuntos arbitrários
do Rn. Para Batanete e colaboradores (2004), esta fórmula é válida apenas para
objetos com auto semelhança exata. Para objetos com auto semelhança aproximada
se faz necessário o desenvolvimento de um algoritmo próprio.

26. 26
2 DIMENSÃO E APLICAÇÃO DE FRACTAIS
A geometria fractal apresenta-se como uma maneira adequada para o estudo
de fenômenos imprevisíveis, caóticos e busca sempre um padrão para situações
que aparentemente se imagina como aleatórias. A título de exemplificação,
mostramos a seguir, a utilização da fórmula de Hausdorff para o cálculo da
dimensão de alguns fractais que ficaram historicamente famosos neste meio século
de existência desta geometria. Estes cálculos foram baseados nos estudos de
Eberson (2004).
2.1 TRIÂNGULO DE SIERPINSKI
O Triângulo de Sierpinski, conforme Figura 8, consiste em, a partir de um
triângulo eqüilátero, retirar-se do seu centro um outro triângulo eqüilátero cujos
vértices são o ponto médio de cada um dos seus lados, e assim, infinitamente:
Figura 8: Os cinco primeiros passos da construção do Triângulo de Sierspinski
Fonte: http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/

27. 27
Observando a Figura 8 e tomando o segundo passo, vemos que na imagem
1
N=3 e S  . Na geometria euclidiana, este triângulo teria dimensão 2, na
2
Dimensão de Hausdorff, porém, terá uma dimensão menor:
log 3
d , logo, d  1,58
log 2
Vale lembrar que o valor será o mesmo em qualquer um dos passos
seguintes já que aumentando o valor de N, o valor de S diminui proporcionalmente.
Isso nos mostra que tal figura, é mais que uma linha (d = 1), contudo, menos que
uma superfície (d = 2) (EBERSON, 2004).
2.2 CURVA DE KOCH
A figura de van Koch tem como gerador um segmento de reta sobre a qual se
constrói um triângulo eqüilátero cujos lados medem a sua terça parte. Um dos lados
do triângulo é subtraído e procedendo-se de maneira análoga indefinidamente, como
mostra a figura, encontramos a repetição da primeira imagem em escala cada vez
menor (EBERSON, 2004).

28. 28
Figura 9: Processo iterativo de construção da Curva de Koch
apresentado através dos 5 primeiros níveis
Fonte: www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/
1
Temos então, na geração 1, N = 4 e S  . A dimensão será dada por
3
log 4
d , sendo assim, d  1,26 . Como no caso da figura anterior, a Curva de Koch
log 3
ocupa mais espaço que uma linha, mas não chega a preencher todo o plano
(EBERSON, 2004).
2.3 POEIRA DE CANTOR
Como os procedimentos da construção da Poeira de Cantor já foram antes
mencionados, calculemos aqui apenas a sua dimensão.

29. 29
Figura 10: Poeira de Cantor
Fonte:http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2004/Geometria%20Fractal%20e%20Teoria%20do%20Caos.pdf
Se analisarmos o terceiro passo gerador da Poeira, ele apresenta N = 4 e
1
S em relação ao segmento inicial. Pela dimensão de Hausdorff:
9
log 4
d , logo d  0,63 .
log 9
Ou seja, tem dimensão maior que um ponto (d = 0), mas não chega a ser uma
linha.
Em todas estas figuras analisadas, observamos que a Dimensão de Hausdorff
é diferente da dimensão da figura inicial. Assim, Mandelbrot definiu fractal, como
sendo uma figura cuja dimensão de Hausdorff e euclidiana ou topológica, não são
iguais. Mais tarde viria a dizer que uma figura será considerada fractal se a
dimensão de Hausdorff é maior que a dimensão topológica. Conforme esta
definição, todas estas figuras, são fractais, entretanto, para o próprio Mandelbrot,
tais definições ainda não estavam bem elaboradas. Para ele seria necessário uma
análise mais profunda para uma definição mais elaborada dentro dos padrões
normais de racionalidade da matemática (BARBOSA, 2002).
Segundo Barbosa (2002), para completar as características de um fractal, é
necessário levar em conta a sua complexidade infinita. Esta complexidade resulta do

30. 30
número infinito de iterações geradas de um algoritmo. Significa dizer então, que
seria impossível conseguirmos representá-los completamente, pois a quantidade de
detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.
Como conseqüência disso, um fractal sempre terá um perímetro infinito. Assim, no
Floco de Neve de Koch, por exemplo, temos uma área finita, já que esta delimitada
por curvas, no entanto, temos um perímetro infinito. É justamente essa
complexidade a responsável pelos diferentes fractais a que produz, gerando
inúmeras obras de arte com auxílio de recursos computacionais.
Figura 11: Construção do Floco de Neve de Koch
Fonte: http:// www.dgidc.min-edu.pt/.../noe/noe55/dossier06.htm
2.4 APLICAÇÕES DOS FRACTAIS
Com a formalização, a geometria fractal passou a ser utilizada em larga
escala pelos mais variados segmentos humanos. Por volta de 1975, estudiosos da
música, empolgados com a nova ciência, constataram que músicas de diferentes
períodos culturais seguiam o mesmo padrão: 1 ( f  frequência ).
f
Músicas como estas, apresentam todas as principais características fractais.
Assim, muitos compositores da atualidade, como Phil Thompson, Paul Copeland e

31. 31
bandas musicais, utilizam-se de algoritmos matemáticos em busca da melodia
perfeita (FARIA et al, 1999). No final do século XX e com os modernos
desdobramentos da tecnologia, a busca pela música fractal tornou-se mais intensa.
Modernos computadores convertem fractais em músicas que se repetem
indefinidamente, produzindo som harmoniosos. Segundo Faria e colaboradores
(1999) só é possível "fabricar" música fractal com o auxílio de um computador
devidamente equipado com softwares específicos. Antes porém, será necessário
passar a imagem do fractal para um programa específico. Assim, este fractal pode
ter uma parte transferida para um quadrado no computador denominado de "pixel".
Em geral, cada "pixel" possui cores separadas, fornecendo uma nota musical e uma
escala musical distintas. De uso destas cores como guias e procurando ao longo da
imagem, linha por linha, obtém-se uma canção fractal.
Para Faria et al (1999), no entanto, não se deve ouvir música fractal por longo
período de tempo, uma vez que estudos comprovam a possibilidade de hipnotizar o
ouvinte ou mesmo, fazer com que a mente deste ouvinte ande à "deriva" numa
imagem fractal, o que poderia causar danos irreversíveis.
Por produzir muitas e variadas imagens, a geometria fractal ganha a cada dia,
novos adeptos e admiradores, não apenas pela utilidade prática delas, mas por sua
beleza singular. Para Kerry Mitchell (1999, p. 1):
Arte Fractal não é arte computadorizada, no sentido em que o computador
faz todo o trabalho. A obra é feita em um computador, mas apenas sob a
direção do artista. Não é aleatória, no sentido de estocástica, ou sem
regras. Baseada na matemática, a renderização fractal é a quintessência do
determinismo. [...]. A arte fractal, como qualquer nova atividade, terá
aspectos desconhecido para o novato, mas familiares para o mestre.
Através de experiência e da educação, as técnicas da arte fractal podem ser
aprendidas. Como na pintura ou no xadrez, o essencial é rapidamente
dominado, ainda que uma vida inteira seja necessária para um total
entendimento e controle. Com o passar do tempo, a alegria de uma
descoberta serendíptica é trocada pela alegria da criação autodeterminada.
A figura a seguir é um exemplo da arte fractal e também resultado de um
concurso que buscava a união entre fractal e arte computadorizada.

32. 32
Figura 12: Fire Flower
Fonte: http://blenderartists.org/cms/content/view/15/34/
A criação de texturas é outra aplicação deste princípio e são utilizadas nos
softwares de edição de imagem, possibilitando a criação de paisagens que beiram a
realidade. Exemplos disto são os efeitos especiais utilizados no cinema e a
fabricação de desenhos animados que se aproximam cada vez mais da realidade
humana e marcam a indispensável necessidade da ferramenta computacional.
Figura 13: Galáxia Fractal
Fonte: OLIVEIRA, 1994
Também na economia a geometria fractal encontrou o seu lugar de destaque.
Segundo Gleick (1989), o primeiro trabalho de Benoit Mandelbrot sobre fractais, foi
justamente na área econômica. Naquela época Mandelbrot já achava que
fenômenos como a oscilação da bolsa de valores e o índice de preços obedeciam, a
médio e longo prazo, a algum padrão. Para por a sua intuição à prova, Mandelbrot,
analisou o preço do algodão de um século inteiro. Ás vezes pequenos aumentos ou
pequenas quedas de preços, às vezes uma variação mais brusca. Parecia na
verdade não existir sentido em falar de padrão naquele ambiente. Porém ao término

33. 33
da análise, o gráfico mostrou que realmente existia um padrão. Olhando as
variações semanais e comparando-as com as variações mensais notava-se que elas
correspondiam-se perfeitamente. Existia um padrão nesta situação de aparente
aleatoriedade. Era possível a partir desse padrão, estabelecer determinadas
previsões com maior segurança e conseqüentemente criar estratégias de resolução
de problemas a médio e longo prazo.
Em 2002, Hai-Chin Yu e Ming-Chang Huang, professores da Universidade de
Chung-Yuan desenvolveu um estudo na área econômica usando as cotações do
Dow Jones Industrial Average (DJIA). Para o período entre 1 de janeiro de 1990 e 31
de dezembro de 2001. Este professores obtiveram o valor de 1,484 para a dimensão
fractal do Dow. O resultado da sua pesquisa está no gráfico abaixo.
Figura 14: Gráfico das cotações do DJIA no período de janeiro de 1990 a dezembro de 2001
Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php
Se observarmos atentamente o gráfico, veremos que ele é formado por
curvas que se assemelham ao todo, comprovando que os fractais permitem
quantificar a estrutura em todas as escalas associada em muitos sistemas
complexos. É possível também fazer previsões de mercado com uma margem de
erro mínima.

34. 34
A medicina e a biologia também utilizam a geometria fractal como importante
ferramenta para fins de análise e estudos avançados em busca da cura de doenças
e para melhor entender certos comportamentos do reino animal ou vegetal. Na
biologia, por exemplo, a equação não linear xn+1 = k. xn. (1 – xn), é utilizada
amplamente na descrição populacional de vários tipos de animais para entender o
porquê de estes escolherem determinados habitats. Equação essa que a medicina
também utiliza para descobrir o melhor tipo de “transporte” para que determinado
medicamento chegue a atingir um vírus que se esconde nas mais variadas partes do
corpo humano, por exemplo. A geometria fractal auxilia também no estudo da visão
e das células cancerígenas, na procura por um padrão que leve a cura ou ao
tratamento destas doenças (FARIA et al, 1999).
De acordo com Costa e Bianchi (2002), o Grupo de Pesquisa em Visão
Cibernética do Instituto de Física de São Carlos (IFSC), da Universidade de São
Paulo (USP), estuda as propriedades e as aplicações dos fractais. Este estudo tem
permitido aos cientistas a caracterização da complexidade das células nervosas e
neurônios. O grupo também aplica os conceitos de dimensão fractal no estudo de
partículas de aerossol que é uma ”solução na qual partículas sólidas ou líquidas
estão dispersas em um gás” (p. 46). Ainda segundo os autores:
A complexidade de uma partícula de um aerossol determina suas
características aerodinâmicas. Um aerossol constituído por partículas mais
lisas apresentará menor viscosidade para escoamento dentro de
tubulações. Já um aerossol composto por partículas mais rugosas
apresentará fluxo mais errático, permitindo maior possibilidade de choque
com as paredes nas quais é injetado. [...]. Assim, fica clara a importância de
caracterizarmos de modo objetivo e efetivo a rugosidade dessas partículas,
o que pode naturalmente ser feito utilizando-se a dimensão fractal (COSTA;
BIANCHI, 2002, p. 23).
Na matemática os fractais são utilizados para o cálculo de áreas, perímetros e
volumes de formas irregulares encontradas na natureza, entre tantas outras coisas.
Mesmo sendo amplamente utilizada neste período contemporâneo, a
geometria dos fractais ainda está fora do currículo da maioria dos cursos de
licenciatura das universidades brasileiras, assim como a geometria de modo geral.
Dessa maneira, os futuros professores concluem o curso geralmente, sem qualquer
contato com essa geometria.

35. 35
Mesmo não sendo este o nosso objeto de estudo, vale salientar que de
acordo com Santana (2008) as escolas apresentam um quadro bastante deficitário
no que se refere ao ensino de geometria. Apesar de pesquisas afirmarem a
necessidade da inclusão de seus conhecimentos desde a educação infantil,
conforme estudos da própria autora, o currículo praticado efetivamente não garante
isto. Ainda para a autora, este processo de desvalorização histórica dos conceitos
geométricos tem na prioridade de outros conteúdos da própria matemática, e na
precariedade da formação de professores, os principais fatores que contribuíram
para esta exclusão.
Neste sentido, acreditamos que por apresentar uma vasta área de aplicações,
e por apresentar-se como solução para vários problemas antes sem soluções, a
geometria fractal deve gerar futuramente estudos mais aprofundados. Deste modo,
entendemos que esta nova área de conhecimentos deve ser incluída nos conteúdos
de muitas das licenciaturas, contribuindo com a formação de futuros profissionais e,
quem sabe se diante deste novo momento, a geometria euclidiana seja também
resgatada como uma base para a compreensão desta nova geometria.

36. 36
3 GEOMETRIA FRACTAL NA CAATINGA
3.1 CAMINHOS FRACTAIS
A geometria dos fractais embora recente apresenta-se como objeto de
curiosidade de muitos pesquisadores e simpatizantes pertencentes a diversos
segmentos da sociedade. Nosso primeiro contato com estes novos conhecimentos
se deu de modo informal ao pesquisar outros termos. Naquele período, a beleza dos
fractais e a associação deles com fórmulas matemáticas se constituíam em um
mistério. Anos depois, a curiosidade venceu o esquecimento tão natural a muitos,
quando se fez objeto de pesquisa neste momento de conclusão da Licenciatura em
Matemática.
Como estudante de geometria e morador do semi-árido baiano, buscamos a
presença da geometria como algo significativo para a nossa região. Esta
oportunidade se fez presente quando procuramos unir, tais quais faziam nossos
primórdios, a geometria à nossa própria existência. Fizemos esta união através de
diversas perspectivas: matemática, geométrica, biológica e sertaneja. Esta união em
busca de estudos voltados para a conexão entre a geometria fractal e o semi-árido
se concretizou a partir dos estudos de uma planta comumente encontrada na região
onde moramos: o “Cabeça-de-frade” ou Melocactus SP, da família cactaceae. Para
nós, se constituía uma verdadeira aventura saber se aquela planta natural do semi-
árido nordestino tinha características fractais ou não. E se isto de fato se
configurasse, como poderíamos estudar e analisar as suas características fractais.
Em busca de atingir nossos propósitos, efetuamos uma pesquisa bibliográfica
sobre o conceito e as propriedades da geometria fractal, bem como sobre as
características científicas das plantas nativas e conhecidas do semi-árido nordestino,
e ainda, sobre um software específico que se adaptasse às nossas necessidades.

37. 37
Deste modo, optamos por investigar uma planta específica (estudo de caso)
através de uma abordagem qualitativa, utilizando fotografias que capturamos num
determinado local e período. Para o tratamento geométrico dado ao objeto escolhido
utilizamos o software japonês Fractal Analysis System sob licença gratuita
autorizada (Anexo 1) da National Agriculture and Food Research Organization
(NARO)3.
Para Ludke e André (1986), a pesquisa qualitativa supõe o contato direto do
pesquisador com o ambiente e a situação que está sendo investigada através do
trabalho intensivo de campo. Deve-se, portanto, atentar para o maior número
possível de elementos presentes nas situações analisadas para a melhor
compreensão do problema estudado, incluir fotografias, desenhos, citações e
documentos que ajudem a subsidiar as afirmações feitas e esclarecer diferentes
pontos de vista que se possa ter sobre o assunto discutido. Para as autoras, a
preocupação do pesquisador deve ser muito mais com o processo que com o
produto. As abstrações se consolidam a partir da inspeção dos dados, sem buscar
comprovar hipóteses feitas antes do início dos estudos e sem buscar a generalidade
de tais estudos.
Dentro dessa abordagem qualitativa, escolhemos para a realização da
pesquisa, um estudo de caso, ou seja, o estudo do “Cabeça-de-frade” ou Melocactus
SP. O estudo de caso, segundo Ludke e André (1986), visa sempre a descoberta e
permite um entendimento melhor sobre uma realidade específica. Para as autoras, o
investigador, mesmo partindo de pressupostos iniciais deve sempre estar atento
para novos elementos que podem surgir no decorrer do estudo. Assim, deve levar
em conta o contexto no qual o objeto de estudo está inserido para melhor
compreensão das interações e comportamentos do objeto com o meio.
Para a efetivação da pesquisa realizamos trabalhos de coleta de imagens no
período compreendido entre março e maio de 2008. Foram capturadas várias
3
O Fractal Analysis System é um software desenvolvido pela Intellectual Property Center, empresa
do governo Japão, através da National agriculture and Food Reseach Organization (NARO), órgão
semelhante ao Ministério de Agricultura brasileiro. Para a utilização do software no período da
pesquisa (março-junho 2008), recebemos autorização sob o registro n.º P6065-1, do professor
pesquisador Hiroyuki Sasaki.

38. 38
fotografias de cactáceas nas regiões da Serra da Garapa, Fazenda Gato e Povoado
de Adro de São Gonçalo. De todas as plantas fotografadas foram feitos registros
contendo altura, diâmetro e número de cladódios4. Diante destas informações,
escolhemos um tipo específico de cactácea e construímos uma análise detalhada,
utilizando o software Fractal Analysis System, que entre outras funções calcula a
área e a dimensão fractal.
3.2 O SOFTWARE: TRATAMENTO FRACTAL
A utilização de imagens como documento de pesquisa, segundo Loizos
(2002, apud BAUER; GASKELL, 2002. p. 137) “oferece um registro restrito mas
poderoso das ações temporais e dos acontecimentos reais - concretos, materiais”.
Quanto à utilização do Fractal Analysis System para análise dos dados, Klippel
(2004), afirma que:
a utilização deste tipo de software minimiza o esforço e tempo dedicado
pelo usuário para tarefas mecânicas e operacionais que a
máquina/computador pode desempenhar de maneira satisfatória e eficaz. A
análise de dados torna-se muito mais sistemática, possibilitando que
mesmo uma ampla base de dados possa ser estruturada e apresentada de
maneira rápida e clara.
Para o estudo da cactácea, utilizamos o software Fractal Analysis System.
Este software, desenvolvido para o ambiente Windows, por possuir uma linguagem
acessível, permite que seja utilizado por quem possui um conhecimento mínimo de
informática e geometria fractal. Trabalha com imagens no formato bitmap e calcula
tudo com base nas cores e áreas destacadas.
O Fractal Analysis System é um software bastante relevante para o trabalho
na área agrícola, pois permite o cálculo da dimensão fractal de uma planta qualquer
4
Segundo Ferreira (1999, p. 482): “Cladódio – do latim cladodium – ramo achatado e verde,
freqüentemente muito parecido com a folha, que, em muitas plantas, desempenha as funções destas,
como por exemplo, nas cactáceas”.

39. 39
mediante fotografia revelando padrões de seu crescimento. Estes dados permitem
mapear todo o ciclo da planta com antecedência e com percentual mínimo de erro.
Para nossa pesquisa, capturamos imagens de vários exemplares do
Melocactus SP. Após a captura de imagem em área aberta pertencente ao habitat
natural das cactáceas, esta é armazenada no computador. Depois esta imagem é
convertida para o formato Bitmap, carregada no programa Fractal Analysis System.
A seguir, seleciona-se a área a ser trabalhada para evitar que elementos não
necessários entrem em foco (grama, pedras, etc.), prejudicando assim a veracidade
dos dados. Deste modo, dentre as muitas plantas coletadas deixou-se de levar em
conta espécies que estavam fixas ao substrato rochoso. A utilização da planta
nestas condições acusa um erro, detectado pelo software, no cálculo da dimensão
porque este considera o substrato rochoso como parte da planta. Assim escolhemos
propositalmente plantas que não crescem sobre rochas.
Um outro aspecto que precisou ser observado com rigor foi o número de
cladódios existentes na planta. Todos os cactos utilizados para fins de análise
gráfica possuem no mínimo dois cladódios. Sem essa particularidade seria
impossível observar o seu padrão de crescimento e, automaticamente, a auto
semelhança existente entre eles. Dessa maneira, cactos com apenas um cladódio,
embora muitas vezes apresentassem um melhor ângulo fotográfico, foram
descartados no momento da análise.
Selecionada a área e atribuído um comando, o software então, recorta a
imagem da cactácea. Todas as outras partes existentes são automaticamente
eliminadas da imagem e o verde é convertido em preto. Por existir ainda brilho na
imagem, pontos pretos são dispostos ao longo de uma superfície branca (local onde
antes existiam as outras cores), desfocando totalmente a imagem. Após tratamento
desta imagem pelo programa Photoshop (aplicativo para edição de imagens), para
retirar o brilho, novamente a imagem é inserida no Fractal Analysis System. Nesse
instante, todos os pontos pretos formam um conjunto uniforme produzindo
novamente a forma da planta. Quando solicitado a trabalhar com a imagem, a cor
branca envolve a imagem em preto. A cor resultante neste momento – cinza, é
então, o extrato a ser calculado. Para finalizar, acionamos o comando do cálculo da
dimensão da escala fractal do programa. Assim, em instantes os dados pedidos

40. 40
aparecem na tela com uma variedade imensa de detalhes, completando a análise do
fractal submetido a este processo através da imagem capturada.
3.3 LÓCUS DA PESQUISA
Para a captura das imagens, escolhemos o município de Itiúba, pela
proximidade com nossa residência e pela proximidade com a Universidade do
Estado da Bahia (UNEB), local que se concentra o curso de Licenciatura em
Matemática a qual pertencemos. Itiúba é um município brasileiro, localizado no
estado da Bahia, pertencente à Região do Piemonte da Diamantina, no semi-árido,
distante 380 km de Salvador (capital) e cuja vegetação predominante é a caatinga.
Segundo Ferreira (1999), Caatinga é um tipo de vegetação característico do
nordeste brasileiro, mas que alcança o norte de Minas Gerais e o Maranhão,
formado por pequenas árvores, comumente espinhosas, que perdem as folhas
durante a longa estação da seca. Nesta vegetação, verificam-se numerosas plantas
suculentas como as cactáceas. De acordo com Esteves (2007, p. 1),
Ao contrário do que prega o estereótipo comum no Sul-Sudeste, a
paisagem da caatinga é heterogênea e não se restringe aos conhecidos
mandacarus. [...]. Atualmente, são conhecidas na caatinga 510 espécies de
aves, 240 de peixes, 154 de répteis e anfíbios e 143 de mamíferos. O
levantamento de plantas é ainda mais completo: são mais de 900 espécies
catalogadas.
Toda essa riqueza, no entanto, está seriamente ameaçada. De acordo com
Cosendey, (2007), em estudo recente, pesquisadores constataram que a caatinga é
o terceiro ecossistema brasileiro mais degradado. Metade da área que abrange a
caatinga foi modificada pela ação humana, sendo que 18% dessa aconteceu de
maneira grave. Em muitas partes o processo de desertificação encontra-se já em um
estágio avançado.
O município de Itiúba possui uma população estimada de acordo com o
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE, 2007), em 35 mil habitantes,

41. 41
sob uma área territorial de 1.731 km2. Dos moradores existentes no município,
aproximadamente 20 mil residem em áreas rurais. A principal atividade econômica
do município sempre foi a agropecuária. Itiúba, no entanto, faz parte de uma região
com ciclo de chuvas irregular e cuja exploração do solo feitas no passado causaram
grande estrago na flora. Deste modo, as atividades relacionadas a agropecuária vêm
enfrentando grandes dificuldades, principalmente nos últimos anos. Nesses períodos
secos, a falta de planejamento e de programas que conscientizem o trabalhador
rural acaba por acarretar na diminuição, e em alguns casos mais extremos, até na
extinção da pastagem. Como conseqüência a perda de rebanhos faz com que a
economia local entre em colapso.
As cactáceas, já provaram o quanto podem ser aliadas do sertanejo como
formas alternativas de pastagem. O problema é que a maioria delas não é cultivada.
Aproveita-se apenas o que a natureza pode gentilmente oferecer. Mesmo quando
alguma espécie é cultivada, não se tem uma base científica sólida que garanta as
condições em que deve ser plantada nem o tempo mínimo para a colheita e
armazenamento.
Acreditamos, pois, que o estudo das características fractais dos cactos vem
justamente para dar respostas a tais questões. Sabendo que existe um padrão de
crescimento, pode-se determinar com antecedência qual o período de plantio para
que durante a estiagem a pastagem alternativa esteja pronta. Pode-se calcular, já no
momento do plantio, o volume aproximado que dará a colheita e assim preparar os
recipientes ou locais apropriados à armazenagem.
O município de Itiúba é um lugar propício ao crescimento de diversas
espécies de cactos, conforme pudemos comprovar em nossa coleta de dados.
Observemos abaixo na Figura 15, uma vista do município em voltas das serras que
formam a última porção de Serras da Chapada Diamantina.

42. 42
Figura 15: Vista do município de Itiúba/BA
Fonte: http://www.ferias.tur.br/localidade/728/itiuba-ba.html
3.4 CACTÁCEA: VIDA NO NORDESTE SECO
Animais e plantas adaptam-se ao local em que vivem, pois de outra maneira
não conseguiriam sobreviver às adversidades que muitas vezes lhes são impostas.
Estudiosos a exemplo de Menezes e Souza (2001), acreditam que por um processo
chamado evolução, os seres vivos se diversificaram e assim puderam ocupar os
mais diversos ambientes terrestres. Algumas plantas, como os cactos,
especializaram-se em viver em locais secos. Mesmo em longos períodos sem chuva
eles conseguem manter-se verdes e bonitos.
Ainda para Menezes e Souza (2001), os cactos são encontrados em locais
geralmente secos e de temperaturas médias elevadas. No Brasil eles são
encontrados principalmente na região Nordeste. No município de Itiúba a
predominância de formações rochosas das serras garantem um local propício para o
desenvolvimento desta espécie. Muitos são os gêneros encontrados. Destacaremos
porém, a presença do Melocactus SP, também conhecido como Cabeça-de-frade ou
Coroa-de-frade.

43. 43
Da família cactaceae, o Melocactus SP ou Cabeça-de-frade como é
popularmente conhecido, é encontrado em grande quantidade nas encostas
rochosas e locais de difícil acesso, em geral, em solos formados por cascalho e
areia, onde a água escoa muito rapidamente. Esta planta é utilizada para a
fabricação de doces, para fins medicinais e, principalmente como planta ornamental
(MENEZES; SOUZA, 2001).
Os cactos analisados encontram-se na sua maioria em locais rochosos.
Locais esses em que o solo é formado basicamente por areia e cascalho. Muitas
vezes os cactus estão a pouquíssimos milímetros das pedras.
O Melocactus SP possui uma formato geométrico ligeiramente arredondado,
assemelhando-se infinitivamente ao formato de uma esfera. É formado por um
cladódio principal, fixo ao solo, sobre o qual crescem outros cladódios igualmente
globosos, sempre inclinados em relação ao primeiro. A sua superfície é formada por
várias costelas sobre as quais figuram os imponentes acúleos (espinhos) rígidos,
roliços e pontiagudos, encurvados para baixo, com uma haste central que aponta
para cima, dispostos linearmente, e mantendo quase sempre a mesma distância
entre si. As aréolas distam aproximadamente 2 cm uma da outra e contém um total
de 8 acúleos em cada uma. Conforme figura a seguir.
Figura 16: Melocactus SP ou Cabeça-de-frade

44. 44
Na parte superior encontra-se uma estrutura cilíndrica em tom avermelhado
composta por pequenos espinhos e do interior desta saem as flores. Essa estrutura
é a responsável pelo nome popular, pois se assemelha a uma coroa (MENEZES;
SOUZA, 2001).
De acordo com Menezes e Souza (2001, p. 2):
Os espinhos são uma característica marcante dos cactos. Na verdade, eles
representam folhas que se reduziram no processo de evolução dessa
planta. Essa é uma das maneira de reduzir a perda de água, porque sem as
folhas eles evitam ainda mais a transpiração. Os espinhos também
protegem o cacto contra predadores e podem, ainda, ser importantes na
dispersão das plantas.
Observamos a seguir um Melocactus SP quando interseccionado por um
plano paralelo à base a qual a planta esta acentada. Com esta secção, proveniente
de um corte feito com objeto reto, plano e fino (Figura 18), podemos obter uma
superfície de um poligono estrelado5.
Figura 17: Secção transversal de um cacto
Se isolarmos uma pequena parte deste polígono estrelado (Figura 19),
encontraremos um triângulo não euclidiano cuja soma dos ângulos internos é
diferente de 180º.
5
Um polígono, segundo Barison (2008, p. 2), “é estrelado quando seus ângulos são alternativamente
salientes e reentrantes, e seus lados pertencem a uma linha reentrante, contínua e fechada”.

45. 45
Figura 18: Parte isolada do polígono estrelado, com aspecto que se assemelha a dois
triângulos não euclidianos
Ainda nos referindo à cactácea seccionada e também conforme descrito em
Menezes e Souza (2001), o seu interior é macroscopicamente maciço, formado de
um tecido esponjoso e clorofilado que serve como reservatório de água para ser
utilizada quando de sua escassez. Suas raízes longas e ramificadas permitem um
maior aproveitamento da água. As raízes ficam geralmente cobertas por dois ou três
centímetros de solo, chegando algumas vezes a ficar quase que totalmente na
superfície. Dessa maneira podem captar a água diretamente da chuva que cai.
Segundo Menezes e Souza (2001, p. 2)
A pele, ou cutícula, dos cactos é espessa e apresenta uma cera que ajuda a
evitar a perda de água por transpiração. A planta tem também estômatos -
estruturas semelhantes aos nossos poros -, que durante o dia, sob sol forte,
permanecem fechados para evitar a perda da água na forma de vapor.
O cacto em estudo, conforme Figura 19 abaixo, foi coletado na região da
Serra da Garapa, pertencente ao município de Itiúba, Bahia.
Figura 19: Melocactus com quatro cladódios

46. 46
Observa-se que este é formado por um cladódio globoso no topo do qual
crescem outros cladódios que são miniaturas semelhantes ao primeiro. Segundo
Barreto (2008):
Matematicamente podemos dizer que duas figuras F e F' são semelhantes
quando guardam entre elas uma proporção. Isto é, existe uma
correspondência biunívoca entre os pontos de F e os pontos de F', tal que
X'Y' / XY = r, onde X e Y são pontos de F e X' e Y' pontos de F' e r
constante (razão de semelhança).
O cladódio principal possui aproximadamente6 altura de 10 cm e no local que
apresenta círculo máximo (geodésica) registra um diâmetro em torno de 15 cm. A
geodésica, de acordo com Freitas (2008):
é a linha de menor distância entre dois pontos traçada sobre uma superfície.
No plano euclidiano as geodésicas são linhas retas; já em uma esfera, as
geodésicas são os arcos de grandes círculos, isto é, a geodésica unindo
dois pontos P1 e P2 sobre uma esfera é o arco do círculo obtido como
interseção da esfera com o plano determinado por três pontos: P 1, P2 e C,
centro da esfera.
Nas mesmas condições de análise, no segundo nível, o cladódio maior possui
altura e diâmetro aproximados de respectivamente 6 cm e 9 cm. O segundo, possui
altura aproximada de 4,8 cm e diâmetro 7 cm. O terceiro e último cladódio, possui
altura em torno de 7 cm e diâmetro de 10 cm.
Encontrando-se a razão entre o diâmetro e a altura de cada um dos casos
descritos, obtemos um valor próximo a 1,5 cm. Isso nos leva a crer, portanto, que os
cladódios crescem numa dada proporção, ou seja, crescem num padrão ou valor
constante. São auto semelhantes entre si, uma das características atribuídas aos
fractais. Segundo Barbosa (2002), podemos dizer que existe auto semelhança em
uma planta quando cada galho, analisado individualmente se assemelha à planta
como um todo.
Para efeitos de dimensão, o estudo fractal leva em conta apenas o espaço
ocupado literalmente pela figura estudada. Razão pela qual o Triângulo de
6
Utilizamos os termos “aproximadamente” e “em torno de” por entendermos que os instrumentos de
que dispomos não oferecem condições métricas tão precisas para garantir a exatidão da unidade de
medida, mesmo porque se tratam de objetos produzidos e manipulados pela mão humana.

47. 47
Sierpinski, por exemplo, não possui dimensão 2, como um triângulo normal da
geometria euclidiana teria.
Figura 20: Triângulo euclidiano e de Sierpinski
Fonte: http://haaguaemmat.blogs.sapo.pt/arquivo/Forma_triangulo_Sierpinski.JPG
Utilizando o software Fractal Analysis System, calculamos a dimensão fractal
que a cactácea ocupa no espaço. O resultado obtido foi aproximadamente 2,53 para
o volume de todas as plantas analisadas. Estes valores nos levam a supor que o
cacto estudado é mais que uma figura plana, entretanto, não chega, segundo a
geometria euclidiana, a ser um sólido, porque não atinge três dimensões. Essa é,
segundo Barbosa (2002), outra das características fractais. Entendemos que isso se
verifica porque a planta possui cladódios que crescem em sentido oblíquo ao
cladódio principal. Assim, não ocupa um espaço linear. Outro fator que nos
impulsiona a concluir isto são as irregularidades das costelas e acúleos que formam
a sua superfície.

48. 48
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A geometria sempre fez parte das atividades realizadas pelos seres humanos.
No século III a.C. estes conhecimentos foram sistematizados pelo grego Euclides de
Alexandria. A solidificação desta geometria perdurou até final do século XVIII
quando outras geometrias puderam ser admitidas mediante contestação de um dos
seus Postulados. Os estudos destas novas geometrias, chamadas de geometrias
não euclidianas, associadas ao desenvolvimento da tecnologia computacional trouxe
novas perspectivas em relação a fenômenos da natureza. Deste modo, em meados
do século XX, Benoit Mandelbrot desenvolveu estudos que se concretizaram na
geometria fractal.
Num universo predominantemente irregular e de formas imperfeitas, a
geometria dos fractais se apresenta procurando padrões de organização onde se
imagina encontrar apenas desordem, caos.
Pensando nestes elementos e considerando a importância que os fractais
apresentam neste momento para a história da humanidade, buscamos numa
pesquisa qualitativa, através de um estudo de caso, observar o padrão de
crescimento existente entre algumas plantas nativas da caatinga, especificamente
na região do município de Itiúba, no estado da Bahia, localizado na Região Piemonte
da Diamantina. Particularmente nos instigava saber se as cactáceas apresentavam
características fractais e como se deveria estudar e analisar esta planta através da
geometria fractal.
O estudo realizado com as cactáceas, em especial com o Melocactus SP, nos
leva a crer que a geometria dos fractais é de útil e relevante importância não só para
a matemática, mas para outras áreas do conhecimento humano, bem como, nos
indica um caminho para trabalhar com objetos irregulares. Objetos estes que não
apresentam possibilidades de estudos com a utilização apenas de definições e
fórmulas euclidianas.
Na região nordeste com predominância de ciclos chuvosos irregulares e flora
mais devastada, a seca é ainda um problema a ser vencido. A falta de programas de
planejamento permite que o rebanho, principalmente bovino, cresça numa proporção

49. 49
muito maior que a quantidade de terras disponível para pastagem. Assim, em longos
períodos de estiagem é muito comum nos depararmos com cemitérios de animais às
margens das rodovias. Nessa época muitos pecuaristas acabam perdendo todo o
rebanho, influenciando negativamente na economia da região.
O Melocactus SP ou Cabeça-de-frade é uma planta da família cactaceae
comumente encontrada no município. Assim, após a análise de algumas amostras,
pudemos observar que esta planta indicava uma característica fractal: a auto
semelhança. Então, a exemplo de pesquisas realizadas por estudiosos da área,
aplicamos a fórmula de Hausdorff para calcular a sua dimensão através do software
Fractal Analysis System e comprovar outra característica fractal: a dimensão.
Para ser um fractal, porém, segundo Barbosa (2002) é necessário que se
verifique a terceira propriedade, a infinita complexidade. Para nós, leigos, talvez seja
difícil imaginar uma planta infinita por estarmos vendo a sua limitação física e termos
consciência da limitação temporal a que estão sujeitos todos os seres vivos, sejam
eles animais ou vegetais.
Prigogine (2001) afirma que,
No que diz respeito as nossas próprias experiências ou aos fenômenos
que nos cercam - na Química, na Geologia e na Biologia - o passado e o
futuro desempenham papéis diferentes. [...] nenhum ensinamento tem
afirmado a equivalência entre o que é e o que não é feito; entre uma
planta que floresce e morre e uma planta que renasce mais jovem e
retorna à semente original; entre um homem que envelhece e aprende, e
outro que se torna mais criança, depois um embrião e depois uma célula.
Para Bernardo (2004), o ser só se define a partir de algo que não se pode
definir. Assim como não temos como nos definir, não podemos definir o tempo; o
tempo é um dilema tão indecifrável quanto a natureza do ser.
Dessa maneira, sendo o tempo uma convenção humana, podemos enxergar
cada planta como parte de uma planta anterior que se perpetua através das suas
características genéticas passadas às outras através da semente, e assim sendo
chegamos à infinita perplexidade.
Os resultados obtidos nesta pesquisa, diante dos dados coletados, confirmam
nossas suspeitas iniciais e indicam que o Melocactus SP é realmente um objeto

50. 50
fractal. A partir desse estudo observamos que os cactos revelam em si um padrão
de crescimento ordenado.
Nesta perspectiva, entendemos que é possível desenvolver futuramente
outros estudos bem mais detalhados levando-se em conta aspectos aqui abordados
ou outros não considerados nesse momento. Nesta perspectiva, acreditamos que a
junção entre a geometria fractal e o semi-árido é de extrema importância para a
construção de novos caminhos que apontem soluções ou indiquem alternativas que
possam ser desenvolvidas para minimizar os problemas trazidos pela longa
estiagem no semi-árido do nordeste brasileiro.
.

51. 51
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ANEXO

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