Introdução aos planejamentos fatoriais 2k

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010

FATORIAIS 2 K

CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K


INTRODUÇÃO:

ALTERNATIVA:
Utilização de planejamentos que possam através de sucessivos
experimentos, com menor número de unidades experimentais
necessárias para a sua realização, responder aos objetivos do
estudo

MÉTODOS PROPOSTOS: Fatoriais 2k



FATORIAIS 2K:

Experimentos com a presença de k Fatores com dois níveis cada um.

OBS.: Caso particular de um experimento fatorial

Denominação Usual:
Fator presente ou ausente;
Fator no nível alto ou baixo;



FATORIAIS 2K:
PORQUE ESTUDAR FATORIAIS 2K :

1. A análise e interpretação de seus resultados são bastante simples,
comparadas aos experimentos fatoriais no caso geral.
2. O número de ensaios envolvidos na realização desses experimentos,
por fator estudado é relativamente pequeno.
3. A região experimental nestes experimentos pode ser restrita,
porém pode indicar tendências e determinar uma melhor (ou mais
adequada) direção para novos experimentos.



FATORIAIS 2K:
PORQUE ESTUDAR FATORIAIS 2K :

4. Estes experimentos podem ser “aumentados” com a inclusão de
novos níveis e/ou novos fatores quando for necessário realizar uma
avaliação mais detalhada do problema em estudo.
5. Estes experimentos formam a base dos chamados EXPERIMENTOS
FATORIAIS FRACIONADOS, onde somente alguns dos possíveis
tratamentos são observados. Procedimento bastante utilizado nos
estágios iniciais da experimentação, quando há um número muito
grande de fatores a serem estudados. CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K


FATORIAIS 22:

EXEMPLO:

Experimento cujo objetivo é o de examinar os efeitos do
aumento da temperatura e da mudança de catalisador
sobre o rendimento de uma reação.



FATORIAIS 22:

EXEMPLO:

Começamos escolhendo os níveis: 40°C e 60°C para a
temperatura, e A e B para o catalisador. Como este é apenas
um exemplo para fins didáticos, o sistema é fictício, e a escolha
dos níveis arbitrária. Na vida real, teríamos de nos apoiar no
conhecimento disponível sobre o nosso sistema e pensar bem
antes de determinar quais são os níveis que devemos escolher.



FATORIAIS 22:

EXEMPLO:

Para fazer o planejamento 22, devemos realizar ensaios e
registrar as respostas observadas (os rendimentos, neste caso)
em todas as quatro possíveis combinações dos níveis
escolhidos: (40°C, A), (40°C, B), (60°C, A) e (60°C, B). A lista
dessas combinações, que é chamada de matriz de
planejamento, e apresentada na Tabela a seguir:



FATORIAIS 22:

EXEMPLO:
Fatores Rendimento
Ensaio Temperatura(0C) Catalisador I II Média

1 40 A 57 61 59
2 60 A 92 88 90
3 40 B 55 53 54
4 60 B 66 70 68



FATORIAIS 22:

EXEMPLO:

Importante:
Note que todos os ensaios foram feitos em duplicata,
produzindo oito respostas no total. Desta forma será possível
estimar o erro experimental de uma resposta individual. A
extensão desse erro e importante para decidirmos se existem
ou não efeitos significativos que possamos atribuir à ação dos
fatores.



FATORIAIS 22:
NOTAÇÃO:
Quanto aos níveis dos fatores:
Atribuir sinais – e + aos níveis de cada um dos fatores;
Atribuir valores 0 e 1 aos níveis de cada um dos fatores;

Fatores
A B A B A B
40 A 0 0 - -
60 A 1 0 + -
40 B 0 1 - +
60 B 1 1 + +



FATORIAIS 22:
NOTAÇÃO:
Quanto aos tratamentos:
Os tratamentos são definidos pela presença ou ausência do nível alto de
cada fator em cada uma das possíveis combinações:
(1) = ambos os fatores estão ausentes (baixo); Fatores
A B A B A B
a = somente fator A esta no presente (alto); a1 b1 0 0 - - (1)
b = somente fator B esta presente (alto); a2 b1 1 0 + - a
a1 b2 0 1 - + b
ab = ambos os fatores (A e B) estão presentes(alto);
a2 b2 1 1 + + ab



FATORIAIS 22:

Efeitos a serem Estimados:
1. Efeito Principal do Fator A : Temperatura
2. Efeito Principal do Fator B : Catalisador
3. Efeito de Interação : Efeito Conjunto Temperatura e
Catalisador



FATORIAIS 22:

CÁLCULO DOS EFEITOS:
Os efeitos principais de cada fator são obtidos a partir da diferença entre
médias das respostas dos níveis alto e baixo de cada fator, isto é:

Fatores
A B A B A B
a1 b1 0 0 - - (1)
a2 b1 1 0 + - a
a1 b2 0 1 - + b
a2 b2 1 1 + + ab



FATORIAIS 22:

CÁLCULO DOS EFEITOS:
O efeito da interação entre dois fatores é a diferença média entre os efeitos de
um fator nos níveis do outro fator, por exemplo: média entre o efeito de A no
nível alto de B e o efeito de A no nível baixo de B.
Fatores
A B A B A B
a1 b1 0 0 - - (1)
a2 b1 1 0 + - a
a1 b2 0 1 - + b
a2 b2 1 1 + + ab



FATORIAIS 22: O efeito principal da temperatura e por definição a
media dos efeitos da temperatura nos dois níveis do
Fatores catalisador.
A B A B Média

40 A - - (1) 59
60 A + - a 90
40 B - + b 54
60 B + + ab 68

Este valor indica que o rendimento da reação sobe 22,5% ,
em media, quando a tem-peratura passa de seu nível
inferior (400C) para o seu nível superior (600C).



FATORIAIS 22: O efeito principal do catalisador é por definição a media
dos efeitos da temperatura nos dois níveis de
Fatores temperatura.
A B A B Média

40 A - - (1) 59
60 A + - a 90
40 B - + b 54
60 B + + ab 68

Quando trocamos o catalisador A pelo catalisador B o
rendimento diminui 13,5% em média.



FATORIAIS 22: O efeito de interação é dado por:

Fatores
A B A B Média

40 A - - (1) 59
60 A + - a 90
40 B - + b 54
60 B + + ab 68



FATORIAIS 22:

COMO VERIFICAR A SIGNIFICÂNCIA DOS EFEITOS ESTIMADOS?

EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
DUAS SITUAÇÕES:
EXPERIMENTOS SEM REPETIÇÕES



FATORIAIS 22: EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES

DUAS ALTERNATIVAS:

REPETIÇÕES NOS PONTOS UTILIZADOS NO EXPERIMENTO:
REPETIÇÕES NO PONTO CENTRAL DO EXPERIMENTO

1. ANOVA
2. INTERVALOS EM TORNO DOS VALORES ESTIMADOS




DUAS ALTERNATIVAS:

REPETIÇÕES NOS PONTOS UTILIZADOS NO EXPERIMENTO:
REPETIÇÕES NO PONTO CENTRAL DO EXPERIMENTO

1. ANOVA
2. INTERVALOS EM TORNO DOS VALORES ESTIMADOS

QUESTÃO: Cálculo da variância?




NO EXEMPLO:



2
 
2
V ariância Média y
n


NO EXEMPLO:

LOGO, VARIÂNCIA DOS EFEITOS  VARIÂNCIA DE MÉDIAS

n : número de médias envolvidas




NO EXEMPLO:

LOGO, VARIÂNCIA DOS EFEITOS  VARIÂNCIA DE MÉDIAS




VARIÂNCIA DOS EFEITOS: CASO GERAL

n : número de observações por “ponto”

NO EXEMPLO: n =2 k=2




Tabela 7.2 Efeitos calculados para o planejamento fatorial 22 da
Tabela 7.1. Note que o erro padrão da media global e a metade do
erro padrão dos efeitos.

Média Global (Efeito Comum) 67.75  0.9
Efeitos Principais
A = Temperatura 22.50  1.8
B = Catalisador -13.5  1.8
Efeito de Interação
A x B = TC -8.50  1.8



Com o erro padrão podemos construir intervalos de confiança para os
valores dos efeitos , usando a distribuição de Student:




Conclusão:
Inicialmente, precisamos decidir quais, dos efeitos calculados, são
significativamente diferentes de zero, e portanto merecedores de
interpretação. Se considerarmos estatisticamente significativo, com 95%
de confiança, um efeito cujo valor absoluto for superior a t4 x s(efeito) =
2,776 x 1,8% = 5,0%. Aplicando esse critério aos valores da Tabela 7.2,
vemos que todos eles são significativos, ou seja, os efeitos existem
mesmo. Podemos, portanto, tentar entender o que eles significam na
pratica.




Conclusão:
Como o efeito de interação e significativo, os efeitos principais devem
ser interpretados conjuntamente. A melhor forma de fazer isso e traçar
um diagrama contendo as respostas médias em todas as combinações
de níveis das variáveis, como na Figura 3.3. Examinando o diagrama,
podemos concluir que:



Conclusão:
1. Elevando a temperatura
aumentamos o rendimento da reação,
mas esse efeito e muito mais
pronunciado com o catalisador A do
que com o catalisador B (+31% contra
+ 14%).
2. Trocando o catalisador A pelo
catalisador B diminuímos o
rendimento da reação, e esse efeito é
muito mais significativo a 600C do que
a 400C ( -22% contra -5%).
3. Os maiores rendimentos (90%, em
media) são obtidos com o catalisador
A e com a temperatura em 600C.




ANOVA: MODELO

HIPÓTESES:

Interações Dois Fatores: Efeitos Principais:
Ho : 22 - 12 -21 + 11 = 0 Ho : 1 = 2 H1 : 1  2
H1 : 22 - 12 -21 + 11  0 Ho : 1 = 2 H1 : 1  2


TABELA ANOVA:

FATORIAIS 22:
ANOVA: ANOVA

Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 3 1521.5000 507.16666 78.03 0.0005

Error 4 26.000000 6.500000

Correcte
7 1547.5000
d Total


TABELA ANOVA:

FATORIAIS 22:
ANOVA: ANOVA

Mean
Source DF Type I SS Square F Value Pr > F

T 1 1012.5000 1012.500 155.77 0.0002

C 1 364.50000 364.5000 56.08 0.0017

T*C 1 144.50000 144.5000 22.23 0.0092


TABELA ANOVA:

FATORIAIS 22:
ANOVA: ANOVA



FATORIAIS 22:

IMPORTANTE:
Para tornar validas as conclusões é necessária a análise de
resíduos do modelo para verificação dos pressupostos do
modelo.



FATORIAIS 23:
Experimentos com três fatores, cada um com dois níveis cada um.

EXEMPLO:

Fatores: Temperatura, Concentração (Quantitativos) e Catalisador
(Qualitativo).
16 testes foram realizados, atribuindo-se aleatoriamente a cada
um, uma das combinações dos três fatores em estudo. Ou seja, temos
um fatorial 23 com duas repetições.



FATORIAIS 23:

EXEMPLO: Fatores Repetições
Total
T P K T P K T P K I II
a1 b1 c1 0 0 0 - - - (1) 59 61 120
a2 b1 c1 1 0 0 + - - a 74 70 144
a1 b2 c1 0 1 0 - + - b 50 58 108
a2 b2 c1 1 1 0 + + - ab 69 67 136
a1 b1 c2 0 0 1 - - + c 50 54 104
a2 b1 c2 1 0 1 + - + ac 81 85 166
a1 b2 c2 0 1 1 - + + bc 46 44 90
a2 b2 c2 1 1 1 + + + abc 79 81 160



FATORIAIS 23:
F a t o r ia l 2 * * 3

tc k = 8 0

EXEMPLO:
ck = 45
tk = 8 3

k = 52
tc = 6 8

c = 54
t = 72

(1 ) = 6 0



FATORIAIS 23: EXEMPLO: CÁLCULO DOS EFEITOS.

Fatores Repetições
Total
T P K I II
- - - (1) 59 61 120
+ - - a 74 70 144
- + - b 50 58 108
+ + - ab 69 67 136
- - + c 50 54 104
+ - + ac 81 85 166
- + + bc 46 44 90
+ + + abc 79 81 160



FATORIAIS 23: EXEMPLO: CÁLCULO DOS EFEITOS.



FATORIAIS 23: EXEMPLO: GRAFICAMENTE
F a t o r ia l 2 * * 3
90

85

80

75

70

65
Y

60

55

50

T= 0
45

T= 1
40
P 0. 1. P 0. 1.

K : 0. K : 1.



FATORIAIS 23: EXEMPLO: GRAFICAMENTE
F a to ria l 2 **3
E feito P rin cip al d e T
80

75

70

65

Y
60

55

50
0. 1.

F a to ria l 2 **3 T

E fe ito P r in c ip a l d e K

80

75

70

65
Y

60

55

50
0. 1.

K



FATORIAIS 23: EXEMPLO: SOMA DE QUADRADOS



FATORIAIS 23: ANOVA : MODELO

ANOVA : HIPÓTESES

Efeito Interações Ordem 3:
Efeitos Interações Ordem 2:

Efeitos Principais:



FATORIAIS 23: ANOVA :

Fonte GL SQ QM F P-Valor
Modelo 15 2699
T 1 2116 2116 264.5 < 0.001
P 1 100 100 12.5 0.008
TP 1 9 9 1.1 0.320
K 1 9 9 1.1 0.320
TK 1 400 400 50.0 <0.001
PK 1 0 0 0.0 1.000
TPK 1 1 1 0.1 0.733
Residuos 8 64 8



FATORIAIS 23: ANOVA : CONCLUSÕES

1. Interações entre três fatores não significativas;
2. Interações entre dois fatores apenas T:K significativa;
3. Efeitos principais de T e P significativos;

Procedimento:
Estudar a interação T:K;
Estudar o efeito principal de P (imediato!);
Verificar as suposições do modelo (diagnóstico);



FATORIAIS 2K
IC para a estimativa de cada efeito é dada por:

Se o intervalo acima contém o valor zero, pode-se concluir que o efeito
considerado não é significativo ((1-)% de confiança).



FATORIAIS 2K

ALTERNATIVA PARA AVALIAÇÃO DA SIGNIFICÂNCIA DOS EFEITOS EM FATORIAIS 2K

No exemplo: s2 = QME = 8

Efeito IC
T 23.00  2.82 Conclusões são as mesmas do
P -5.00  2.82 procedimento anterior!
TP 1.50  2.82
K 1.50  2.82
TK 10.00  2.82
PK 0.00  2.82
TPK 0.50  2.82 CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K


FATORIAIS 2K CASO GERAL

Todos os procedimentos vistos nos casos de
experimentos 22 e 23 podem ser generalizados para o
caso 2k, isto é, nos casos onde o número de fatores
em estudo é maior que 3, todos com 2 níveis cada.


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