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- 1. Modelos Populacionais Instituto Educacional Santo Agostinho Engenharia Ambiental e Sanitária Modelos de Sistemas Ambientais Setembro 2016
- 2. Modelos matemáticos - Dinâmica de populações - • Séculos XVIII e XIX • 1798, Thomas Robert Malthus (1766- 1834) A população aumentava em crescimento exponencial no decorrer do tempo.
- 3. Exemplo Uma espécie de bactéria de nome “Escherichia coli”, responsável por mais de 50% dos casos de intoxicação alimentar, possui uma taxa de crescimento populacional de 80% a cada 30 minutos sob condições ambientais ideais. Assim, supondo uma população inicial de 100 mil dessas bactérias, responda às questões abaixo. Questão 1: Quantas bactérias essa população terá depois de: A) 30 minutos? B) Uma hora? C) Uma hora e meia ? Questão 2: Qual é a expressão que fornece o número de indivíduos dessa população de bactérias em função do número n de períodos de 30 minutos?
- 4. Modelos matemáticos - Dinâmica de populações - • Pierre François Verhulst (1804-1849) Incorporou uma limitação ao modelo, de modo a reduzir a taxa de crescimento e inibir o crescimento exponencial Fonte: atomosyd.net
- 5. Modelos matemáticos - Dinâmica de populações - • Neste período, outros modelos foram propostos (ex.: Gompertz em 1825), descrevendo a dinâmica de: populações isoladas populações e espécies que não interagiam Populações interagem na luta pela sobrevivência
- 6. Tipos de Interação • ƒ Competição • Predação • ƒ Parasitismo ƒ • Mutualismo ƒ • Cooperação ƒ • Comensalismo ƒ • Intra ou interespecífico • Mesmo recurso (limitado) • Espécie mais adaptada Fonte: profissaoatitude.blogspot/ planetazulsustentavel.blogspot/ biologiaterceirotri.com
- 7. Tipos de Interação • ƒ Competição • Predação • ƒ Parasitismo ƒ • Mutualismo ƒ • Cooperação ƒ • Comensalismo ƒ • Interespecífico • Controle populacional das presas Fonte: infopedia.pt/ Nicolas Reusens/ Patrick Pleul
- 8. Tipos de Interação • ƒ Competição • Predação • ƒ Parasitismo ƒ • Mutualismo ƒ • Cooperação ƒ • Comensalismo ƒ • Interespecífico • Controle biológico Fonte: coceducacao.com.br/ Bruno C. Barbosa
- 9. Tipos de Interação • ƒ Competição • Predação • ƒ Parasitismo ƒ • Mutualismo ƒ • Cooperação ƒ • Comensalismo ƒ • Interespecífico • Ambos se beneficiam Fonte: abril.com.br/ portaldoprofessor.mec.gov Liquens
- 10. Tipos de Interação • ƒ Competição • Predação • ƒ Parasitismo ƒ • Mutualismo ƒ • Cooperação ƒ • Comensalismo ƒ • Interespecífico • Ambos se beneficiam Liquens
- 11. Tipos de Interação • ƒ Competição • Predação • ƒ Parasitismo ƒ • Mutualismo ƒ • Cooperação ƒ • Comensalismo ƒ • Interespecífico • Benéfica para um, sem causar prejuízo para outro Liquens Tubarão e rêmoras Fonte: mundoeducacao.bol
- 12. Modelos matemáticos - Interação de espécies - ƒ Em 1925, Alfred Lotka (1880-1949) • Modelo para descrever reações químicas • Onde as concentrações dos elementos químicos oscilavam, como ocorre com populações em competição. Em 1926, Vito Volterra (1860-1940) • Modelo de equações diferenciais • Descrever o ↑ peixe predador, e consequente ↓ de peixe presa Posteriormente...
- 13. Modelo de Lotka-Volterra • ... foram denominados modelos de Lotka- Volterra • Serviram de base para os modelos matemáticos utilizados para descrever a dinâmica de sistemas do tipo predador-presa. Fonte: GISLING, 2013
- 14. Modelo de Lotka-Volterra • Considerando a dinâmica de 2 populações. Sejam: • população da presa = x(t) • população do predador = y(t) • tempo = t Vamos fazer alguns cálculos...
- 16. Modelo de Lotka-Volterra Chamamos o plano de X × Y de plano de fase ou espaço de fase Y X
- 17. Modelo de Lotka-Volterra As curvas, chamamos de trajetórias ou de órbitas. No caso, temos órbitas fechadas. Y X
- 18. Modelo de Lotka-Volterra Y X O sistema é periódico
- 20. Modelo de Lotka-Volterra • Assim é como as Equações de Lotka-Volterra se comportam qualitativamente. • Prevendo como o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. • Mas podemos mostrar um gráfico das oscilações, através da integração numérica!
- 22. Considerações... • Modelo de Lotka-Volterra é simplificado. Em geral, mostra a existência de oscilações (periodicidade). • A interação entre duas espécies vai muito além desta análise... Exemplo: • Do que a presa se alimenta? • Existe outro predador para esta mesma presa?
- 23. Referências • GOMES, A.G.; VARRIALE, M.C. Modelagem de ecossistemas: uma introdução; 2. ed. Santa Maria: UFSM, 2004. 503p. • KRAENKEL, R.A. Notas de aula: Ecologia de Populações. <http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel> • SOBRINHO, A.S.O.; OLIVEIRA, C.F.; KITA, C.M.; NATTI, E.R.T.; NATTI, P.L. Modelagem Matemática e Estabilidade de Sistemas Predador-Presa. <https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1504/1504.06244.pdf> • MALTHUS, T.R. An Essay on the principle of population. London: J. Johnson. 1798. • VOLTERRA, V. Fluctuations in the abundance of a especies considered mathematically, Nature, 118, 558 (1926). • LOTKA, A.J. Elements of Mathematical Biology. New York: Dover. 1956. • ODUM, E.P.; BARRET, G.W. Fundamentos de ecologia. São Paulo: Thomson Pioneira. 2007.