O documento discute a dialética ferramenta-objeto e o jogo de quadros na aprendizagem matemática. Apresenta como as mudanças entre quadros cognitivos podem criar novos conhecimentos e analisa a dimensão didática e epistemológica destas ferramentas. Também descreve as etapas de uma organização de ensino que utiliza esses conceitos, incluindo a familiarização dos alunos com novos objetos de saber e a complexificação das tarefas propostas.

1. A dialética ferramenta-objeto e o jogo de quadros Régine Douady (1986)

2. Estatuto de Ferramenta/Objeto Ferramenta quando intervém na resolução de um problema. Objeto quando é identificado como conteúdo da aprendizagem.

3. Mudanças/Interações entre diferentes quadros . Constituem um poderoso instrumentos para a criação de novos conhecimentos em matemática a partir de antigos.

4. Dimensão didática. São instrumentos de construção e de gestão de engenharias didáticas, construção que se inicia por uma análise epistemológica do saber a se ensinar.

5. Dimensão epistemológica São ferramentas de análise que permitem diferentes leituras de noções matemáticas.

6. Janela Conceitual . Conjuntos de objetos, de ferramentas e relações, mobilizado por uma pessoa, em um dado momento, com o objetivo de analisar o enunciado de um problema, de uma situação, ou ainda, para desenvolver uma estratégia de resolução.

7. Organização de ensino (ferramenta/objeto ) Antigo : Ter um sentido para todos os alunos que podem mobilizar os objetos conhecidos de saber. Pesquisa novo implícito: como segunda condição, os alunos não podem resolver totalmente o problema proposto porque o objeto de ensino é a ferramenta adequada para resolver o problema.

8. Explicitação – institucionalização local: visto que, nas situações de comunicação, os alunos apresentam várias formas de saber, o objetivo desta fase é dar um estatuto de objeto aos conhecimentos.

9. Institucionalização – estatuto do objeto: O professor seleciona alguns (conhecimentos) para ser descontextualizado e retidos pelos alunos, afim de ser utilizados na resolução de outros problemas.

10. Familiarização – reutilização numa situação nova: o professor propõe aos alunos, nesta fase, que o conhecimento institucionalizado seja utilizado como ferramenta explicita.

11. Complexificação da tarefa ou novo problema: nesta fase, são propostas situações mais complexas, em que os alunos poderão testar e/ou desenvolver os novos conhecimentos adquiridos.

12. Bibliografia. ALMOULOD, Saddo Ag. Fundamentos da didática da matemática.Curitiba: Ed. UFPR, 2007. MACHADO, Silvia Dias Alcântara.Org. Educação Matemática – Uma nova introdução. Educ Editora da PUC/SP