Apresentação sobre a teoria dos grafos e quem descobriu

1. Atividade 1

2. INTRODUÇÃO
Este trabalho de pesquisa está dividido em duas atividades:
Na primeira parte falarei sobre quem foram estes dois matemáticos Leonhard
Euler e Willian Hamilton e as diferenças entre grafos de Euler e grafos de
Hamilton .
Na segunda parte realizarei os exemplos da aplicação.

3. Atividade 1

4. Leonhard Paul Euler nasceu em Basileia a 15 de Abril de
1707 e faleceu em São Petersburgo a 18 de Setembro de
1783. Foi um matemático e físico suíço de língua alemã
que passou a maior parte da sua vida na Rússia e na
Alemanha.
Euler teve uma carreira académica bem sucedida, com
contribuições e descobertas em geometria, análise
matemática, teoria dos números, cálculo, lógica ,física e
teoria lunar, e foi o matemático pioneiro da Teoria dos
Grafos.
Leonhard Euler

5. • Aos 14 anos matricula-se na Universidade da Basileia:
• m 1723 recebe o grau de Mestre em Filosofia com uma dissertação onde
comparava Descartes com Newton.
• Nesta altura estudava teologia, grego e hebreu, pela vontade do pai. Porém
Johann Bernoulli resolveu intervir e convenceu Paul Euler que o filho estava
destinado a ser um grande matemático.
• Em 1726, Euler completou a sua dissertação na área da propagação do
som.
• Em 1727, Euler aceita integrar a Academia de São Petersburgo. Euler
começou a dominar a língua russa e criou a sua vida em S. Petersburgo

6. • Em 1730, Leonhard Euler assumiu o cargo de professor de Física
da Academia;
• Em 1741, foi pofessor da cadeira de matemática da Academia
de Berlim, onde permaneceu durante 25 anos. Em 1744 foi
nomeado diretor da seção de Matemática da Academia.
• Leonhard Euler dedicou-se a quase todos os ramos da
matemática, é considerado um dos mais proeminentes
matemáticos do século XVIII
•

7. Obras destacadas
• teorema de Euler, Teorema de rotação de Euler Teorema geométrico de Euler ,Conjetura
de Euler, fórmula de Euler para poliedros, Equação de Euler-Lagrange Equação de Euler-
Cauchy, , Identidade de Euler , Fórmula de Euler, , função gama, Integral
Gaussiana, constante de Eule, Polinómio de Euler, diagrama de Euler, Círculo de nove
pontos, reta de Euler, caminho euleriano

8. Entre as inúmeras contribuições de Euler, destaca-se a solução do problema das
pontes de Königsberg, que abriu caminho para a Teoria dos Grafos.
Um grafo consiste em um conjunto finito de pontos (vértices) e um conjunto finito
de arestas, e cada uma destas arestas conecta dois vértices.
A primeira referência conhecida sobre a Teoria dos Grafos data de 1736 e terá
surgido devido às Pontes de Königsberg (antiga capital da Prússia Oriental
que, actualmente, se designa por Kaliningrad).
.
Teoria de grafos

9. • Euler resolveu o problema conhecido como sete pontes de Königsberg. A
cidade de Königsberg, Prússia, foi construída no rio Pregel, e incluiu duas
grandes ilhas que estavam ligadas entre si e ao continente por sete pontes.
• O problema era o de decidir se é possível cruzar cada uma das sete pontes
de Königsberg uma única vez, retornando ao ponto de partida.

10. • Euler, provou que não existia caminho que possibilitasse tais restrições e
percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única
vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de onde saísse
um número ímpar de caminhos.
• Este grafo não é Euleriano, portanto não existe solução.

11. • Para a resolução deste problema Euler introduziu dois conceitos:
• Caminho Euleriano é um caminho em um grafo que visita toda aresta exatamente
uma vez.
• Circuito Euleriano é um caminho Euleriano que começa e termina no mesmo vértice.
• Grafos que possuem um circuito Euleriano são chamados Grafos Eulerianos.
• Uma das principais condições para um grafo ser Euleriano é que todos os vértices
precisam ser de grau par. Entretanto, essa condição não é suficiente, pois também é
necessário que o grafo seja conexo ( tem que existir um caminho entre qualquer par
de vértices)

12. • Euler provou que uma condição necessária para a existência de circuitos eulerianos
é de que todos os vértices tenham grau par.
• Há ainda grafos com caminhos Eulerianos se houver 2 vértices de grau ímpar.
Nesse caso, ao se acrescentar uma aresta ligando estes dois vértices, o novo grafo
passa a ser um circuito Euleriano.
Como podemos verificar cada vértice deste grafo
tem um grau par ,portanto este é um grafo
Euleriano. Seguindo as arestas em ordem
alfabética obtém-se um circuito/ciclo Euleriano.

13. Esta solução é considerada como sendo o primeiro teorema da Teoria dos Grafos e um
dos primeiros resultados topológicos da geometria.
• Historicamente passou um século sem estudos em grafos, no entanto outros
mostraram interesse como :
• Kirchoff, 1847 -Leis de Kirchoff
• De Morgan, 1852 -Problema das 4 cores
• Cayley, 1857 -Aplicações em Química orgânica
• Hamilton 1859 -Problema do ciclo Hamiltoniano

14. WILLIAW ROWAN HAMILTON:
• William Rowan Hamilton nasceu em Dublim a 4 de agosto de 1805 e
faleceu em Dublim a 2 de setembro de 1865. Foi um matemático,
físico e astrónomo irlandês. Contribuiu com trabalhos fundamentais
no desenvolvimento da óptica, dinâmica e álgebra. A sua descoberta
mais importante em matemática é a dos quaterniões. Em sua
homenagem são designados os hamiltonianos, por ele inventados.

15. O nome hamiltoniano vem do matemático e físico irlandês William R. Hamilton
(1805-1865), a quem se deve a introdução, em 1857, de um jogo, denominado "A
viagem à volta do mundo", também conhecido como "O problema do caixeiro-
viajante". Pensando em 20 cidades importantes da época, Hamilton considerou
um dodecaedro, fez corresponder as referidas cidades aos 20 vértices do sólido e
marcou cada um dos vértices.
Grafos hamiltonianos

16. • O objectivo do jogo era definir um percurso, ao longo
das arestas do sólido, que passasse uma e uma só vez
por cada cidade, começando e terminando na mesma
cidade. Para não repetir cidades, o jogador usava um fio
para construir o percurso. Então o dodecaedro pode
ser representado pelo grafo.
• Em termos de grafos, o objectivo do jogo de Hamilton é
construir um ciclo deste grafo que contenha todos os
seus vértices.

17. • Um caminho hamiltoniano é um caminho que permite passar por
todos os vértices de um grafo G, não repetindo nenhum.
• Diz-se que o grafo G é hamiltoniano se existe um ciclo em G que
contenha todos os seus vértices, sendo que cada vértice só aparece
uma vez no ciclo, com excepção do inicial e final que tem que coincidir.
• Por isso, um grafo é hamiltoniano se incluir um ciclo hamiltoniano.
G1 contém o ciclo (v1, v2,
v3, v4, v5, v1) é um grafo
hamiltoniano.
O mesmo não
acontece em G2
O caminho
vermelho é
hamiltoniano

18. • Diferenças entre o s caminhos Eulerianos e Hamiltanianos:
• O modelo Hamiltaniano é preciso passar por todos os vértices uma
única vez, enquanto no modelo Eulariano é preciso passar por todas as
arestas só uma única vez.
• Nos grafos Hamiltanianos existe um caminho entre dois vértices, tem o
mesmo número de arestas e vértices.
• Os dois conceitos não estão obrigatoriamente relacionados pois, um
grafo pode ser: hamiltoniano ;euleriano;hamiltoniano e euleriano ;nem
hamiltoniano nem euleriano.

19. Atividade 2

20. Resposta a)
Resposta b)
Faltam 4 jogos .
7A com 8A
7A com 5B
8A com 5A
6A com 5B

21. Resposta :
Na figura A , o menor número de cores a ser utilizado são duas cores,
na figura B são três cores e na figura C são quatro cores.

22. Resposta:
Salas- pontos (vértices)
Portas linhas (arestas)
Grafo
Podemos visitar da seguinte forma passando uma vez por cada porta do mus eu
seguido esta sequência (1,4,5,1,2,3,4 ).

23. Resposta: É possível no A, B, C e E

24. B) CONTA O NÚMERO DE ARESTAS QUE CHEGAM A CADA VÉRTICE. HAVERÁ ALGUMA
RELAÇÃO ENTRE O NÚMERO DE ARESTAS QUE INCIDEM NO VÉRTICE E OS GRAFOS QUE SÃO
POSSÍVEIS DESENHAR?
B- 6 vértices
1- 2 arestas
2 -4 arestas
3- 4 arestas
4- 2 arestas
5 -4arestas
6 -4 arestas
A-5 vértices
1--3 arestas
2 -4 arestas
3- 2 arestas
4- 4 arestas
5 -3 arestas
C- 7 vértices
1- 3arestas
2- 4 arestas
3- 2arestas
4- 4 arestas
5 -2 arestas
6- 4 arestas
7- 4 arestas
D-4 vértices
1- 3 arestas
2 -3 arestas
3- 3 arestas
4- 3 arestas
E- 7
vértices
1-2 arestas
2 - 4 arestas
3- 3 arestas
4- 4 arestas
5 -2arestas
6 -4 arestas
7-2 arestas

25. • Resposta:
Sim, há alguma relação, pois nas figuras A, B, C e E ( as que são possíveis
redesenhar)chegam 2,3 ou 4 arestas ao vértice, logo o número de arestas que
chegam a cada vértice são diferentes. Enquanto que na figura D ( que não é possível
redesenhar) chegam sempre 3 arestas aos vértices, o número é sempre igual.

26. Resposta:
Não é possível, pois em qualquer tentativa de
desenhar o grafo no plano, há cruzamento de
arestas, como mostra a figura as ligações não se
fazem sem cruzamento das arestas.

27. CONCLUSÃO
A elaboração deste trabalho, permitiu-me realizar um estudo sobre a teoria de
grafos para melhor compreender a sua importância para a matemática e em
outras áreas .

28. BIBLIOGRAFIA
• https://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
• https://pt.wikipedia.org/wiki/Caminho_euleriano
• https://pt.wikipedia.org/wiki/Caminho_hamiltoniano
• https://repositorio.ufpb.br/jspui/bitstream/123456789/2
0806/1/LucianoPereiraDaSilva_Dissert.pdf