Estrutura de dados

1. Grafos
Bruno Merlin

2. Introdução a grafos

3. Introdução a grafos

4. Terminologia
a
b
d
e
c
f
Vértice / Nó
Aresta
Grau / Valência: número de aresta que incidem de um nó
Adjacente/vizinho: No alcançado a partir de um nó via uma aresta
Passeio: sequência alternada de nós e arestas
Caminho: sequência de vértice tal que cada nó sucessivo do caminho é separado por
uma aresta
Caminho simples: caminho que não contém nenhum nó repetido
Comprimento do caminho: número de arestas do caminho (numero de vértices - 1)

5. Terminologia
a
b
d
e
c
f
Vértice / Nó
Aresta
Caminho euleriano: caminho que passa por todas as arestas apenas uma vez
Caminho hamiltoniano: caminho que passa por todos os nós apenas uma vez
Ciclo: caminho que inicia e termina com o mesmo nó
Ciclo euleriano: caminho euleriano que inicia e termina com o mesmo nó
Ciclo hamiltoniano: caminho hamiltoniano que inicia e termina com o mesmo nó

6. Grafos orientados/direcionados
a
b
d
e
c
f
As arestas juntam dois nós e um sentido único

7. Grafos ponderados / com peso
a
b
d
e
c
f
2
3
5 6
4
3
2
O comprimento de cada aresta é ponderado por um peso
No caso do não ponderado o comprimento de cada aresta é 1

8. 4 famílias de grafos
Não ponderado Ponderado
Não orientado
Orientado
3
3

9. Terminologia
• Grafo completo: para cada nó existe
uma aresta relacionando o nó com
todos os outros nós
• Grafo conexo: sempre existe um
caminho entre dois nós
• Ponto de articulação: nó cuja
remoção divide o grafo conexos em
dois sub-grafos isolados
• As árvores são grafos acíclicos

11. Representação na mémoria
• Lista de adjacência:
– Um nó memoriza a lista de todas as arestas incidentes
– Uma aresta tem um peso e uma referência do nó
vizinho
• Matriz de adjacência/incidência:
– Ambas colunas e linhas da matriz representam a lista
dos nós do grafo
– matriz [i][j] memoriza o peso da aresta do nó i para o
nó j, -1 (ou outro valor simbólico caso o peso possa ser
negativo) caso está aresta não exista

12. Lista de adjacência
class No {
String identificador;
ArrayList <Aresta> adjacentes;
}
class Aresta {
int peso
No vizinho;
}
class Grafo {
ArrayList <No> nos;
}
grafo
A
C
F
K
2 C 3 K
2 A 5 K
2 A
2 A 4 F

13. Lista de adjacência
class No {
String identificador;
ArrayList <Aresta> arestas;
}
class Aresta {
int peso
No vizinho;
}
class Grafo {
ArrayList <No> nos;
}
grafo
A
C
F
K
2 C 3 K
2 A 5 K
2 A
2 A 4 F
A
C
F
K
2
2 3
5
2
2
4

14. Matriz de adjacência
class No {
String identificador;
}
class Grafo {
ArrayList <No> nos;
int [][] pesos;
}
0 2 -1 3
2 0 -1 5
2 -1 0 -1
2 -1 4 0
A C F K
A
C
F
K
A
C
F
K
2
2 3
5
2
2
4
grafo
A
C
F
K

15. Representação na mémoria
• Qual representação escolher?
– As estruturas de dados usadas na matriz de
adjacência são mais leves, porém o peso (-1)
precisa ser memorizado para as arestas que não
existem
⇒ A matriz de adjacência é melhor para os grafos
completos ou perto de ser completos
⇒ A lista de adjacência é melhor nas outras
situações

16. Percursos em Grafos
• Os tipos de percurso em grafos (percurso em
largura ou profundidade) são parecidos com
os percursos em árvore, porem:
– O grafo não contém raiz ⇒ o percurso pode iniciar
a partir de qualquer nó
– O grafo pode conter ciclos ⇒ precisamos garantir
que cada nó será alcançado apenas uma vez
durante o percurso ou o algoritmo pode entrar em
loop infinito

17. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
class No {
String identificador;
ArrayList <Aresta> arestas;
boolean explorado;
}
class Aresta {
int peso
No vizinho;
}
class Grafo {
ArrayList <No> nos;
}
e
f

18. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a

19. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a - b

20. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a
Saída: a – b - d

21. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a – b – d - e

22. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a – b – d – e - g

23. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a – b – d – e - g

24. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a – b – d – e – g - f

25. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a – b – d – e – g - f

26. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a – b – d – e – g - f

27. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a – b – d – e – g - f

28. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a – b – d – e – g - f

29. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizininhos não marcados
Saída: a – b – d – e – g – f - c

30. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Explorar: tratar o nó (imprimir por exemplo), marcar o nó,
e explorar os vizinhos não marcados
Saída: a – b – d – e – g – f - c

31. Percurso em profundidade
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
e
f
Saída: a – b – d – e – g – f - c

32. Percurso em largura

33. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
a
Fila

34. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
b
Fila
c
a
Saída: a

35. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
c
Fila
d
b
e
Saída: a – b

36. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
d
Fila
e
c
f
Saída: a – b – c

37. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
e
Fila
f
d
e
g
Saída: a – b – c – d

38. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
f
Fila
e
e
g
g
f
Saída: a – b – c – d – e

39. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
Fila
e f
g
g
f
g
Saída: a – b – c – d – e – f

40. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
Fila
e
g
g
f
g
Saída: a – b – c – d – e – f

41. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
Fila
g
g
f
g
Saída: a – b – c – d – e – f – g

42. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
Fila
g
f
g
Saída: a – b – c – d – e – f – g

43. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
Fila
f
g
Saída: a – b – c – d – e – f – g

44. Percurso em largura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
b c
d e
f
e g
g
b
f
Introduzir o primeiro na fila
Enquanto houver nó na fila
Remover o primeiro nó da fila,
Se o nó não for marcado,
marcar ele,
imprimir ele
inserir os adjacentes não marcados na fila
Fila
g
Saída: a – b – c – d – e – f – g

45. Melhor caminho: Dijkstra

46. Melhor caminho: Dijkstra
a
b
c
d
e
f
g
2
4
3
5
1
3
1
1
2
4
3
a b c d e f g
a,0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
Melhor caminho de a a g?
Todas as distâncias de a até os outros elementos
São inicializadas a ∞ (tirando a distancia de a para a)
2

47. Melhor caminho: Dijkstra
a
b
c
d
e
f
g
2
4
3
5
1
3
1
1
2
4
3
a b c d e f g
a,0 a,2 a,3 ∞ a,4 ∞ ∞
Melhor caminho de a a g?
Saindo de do nó de menor caminho não marcado (a) posso alcançar b,
aumentando o custo de 2, c aumentando o custo de 3 e e aumentando o custo de
4
2

48. Melhor caminho: Dijkstra
a
b
c
d
e
f
g
2
4
3
5
1
3
1
1
2
4
3
a b c d e f g
a,0 a,2 a,3 ∞ a,4 ∞ ∞
Melhor caminho de a a g?
Saindo de do nó de menor caminho não marcado (b) posso alcançar d,
aumentando o custo de 5 para 7, e melhorar o caminho até e aumentando o
custo de 1 para 3
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 ∞ ∞
2

49. Melhor caminho: Dijkstra
a
b
c
d
e
f
g
2
4
3
5
1
3
1
1
2
4
3
a b c d e f g
a,0 a,2 a,3 ∞ a,4 ∞ ∞
Melhor caminho de a a g?
Saindo de do nó de menor caminho não marcado (c) posso alcançar f,
aumentando o custo de 1 para 4
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 ∞ ∞
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 ∞
2

50. Melhor caminho: Dijkstra
a
b
c
d
e
f
g
2
4
3
5
1
3
1
1
2
4
3
a b c d e f g
a,0 a,2 a,3 ∞ a,4 ∞ ∞
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 ∞ ∞
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 ∞
Melhor caminho de a a g?
Saindo de do nó de menor caminho não marcado (e) posso alcançar g
aumentando o custo de 4 para 7, e poderia alcançar f aumentando o custo de 1
para 4, porém não melhoraria o caminho de a a f existente então não vou fazer
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 e,7
2

51. Melhor caminho: Dijkstra
a
b
c
d
e
f
g
2
4
3
5
1
3
1
1
2
4
3
a b c d e f g
a,0 a,2 a,3 ∞ a,4 ∞ ∞
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 ∞ ∞
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 ∞
Melhor caminho de a a g?
Saindo de do nó de menor caminho não marcado (f) posso melhorar o caminho
até g aumentando o custo de 2 para 6, e poderia alcançar b aumentando o custo
de 3 para 7, porém não melhoraria o caminho de a a b existente então não vou
fazer
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 e,7
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 f,6
2

52. Melhor caminho: Dijkstra
a
b
c
d
e
f
g
2
4
3
5
1
3
1
1
2
4
3
a b c d e f g
a,0 a,2 a,3 ∞ a,4 ∞ ∞
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 ∞ ∞
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 ∞
Melhor caminho de a a g?
O nó de menor caminho não marcado é g. Então não posso melhorar o caminho
até g saindo de um outro no não marcado como d 🡺 acabou
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 e,7
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 f,6
2

53. Melhor caminho: Dijkstra
a
b
c
d
e
f
g
2
4
3
5
1
3
1
1
2
4
3
a b c d e f g
a,0 a,2 a,3 ∞ a,4 ∞ ∞
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 ∞ ∞
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 ∞
Melhor caminho de a a g?
O melhor caminho de a a g é 6 passando por f, f sendo alcançado com um custo
de 4 passando por c, c sendo alcançado com um custo de 3 passando por a que é
a origem do caminho
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 e,7
a,0 a,2 a,3 b,7 b,3 c,4 f,6
2

54. Exercício
• Aplicar o algoritmo de Dijkstra para obter o
melhor caminho de a a h
a
b
c
d
e
f
g
2
1
5
7
1
6
1
h
1
3
1
4
3

55. a
b
c
d
e
f
g
2
2
5
6
7
5
4
h
1
3
2
4
5
a b c d e f g h
a,0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
a,2
a,2
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞
a,2 c,9
e,7 e,7 c,9 ∞ ∞
d,11 d,10
c,9
d,10
d,11
d,10
e,7 a,2

56. Árvore de cobertura: Kruskal
• A árvore de cobertura pressupõe um grafo
ponderado conexo (todos os nós são alcançaveis dois
a dois)
• A árvore de cobertura é o sub-grafo conexo de custo
mínimo
a
b
c
d
e
f
g
2
4
3
5
1
3
1
1
2
4
3
a
b
c
d
e
f
g
2
1
1
1
2
2 2

57. Árvore de cobertura: Kruskal
• Construção da árvore de cobertura:
– As arestas do grafo original são armazenadas numa fila
ordenada por pesos crescentes
– Os n nó são colocados cada um em uma lista separada (as
listas de componentes conexas)
a
b
c
d
e
f
g
2
4
3
5
1
3
1
1
5
4
1
4
b
e
c
f
1 1
e
f
a
b
1 2
d
e
f
g
4 5
a
c
b
f
3 3
d
g
a
e
1 4
e
g d
4
b
5
a b c d
e f g

58. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
b
e
c
f
1 1
e
f
a
b
1 2
d
e
f
g
4 5
a
c
b
f
3 3
d
g
a
e
1 4
e
g d
4
b
5
a b c d
e f
g
1

59. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
c
f
1
e
f
a
b
1 2
d
e
f
g
4 5
a
c
b
f
3 3
b
e
a
e
1 4
e
g d
4
b
5
a
b c d
e f
g
1
1

60. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
e
f
a
b
1 2
d
e
f
g
4 5
a
c
b
f
3 3
c
f
a
e
1 4
e
g d
4
b
5
a
b c d
e f
g
1
1
1

61. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
a
b
2
d
e
f
g
4 5
a
c
b
f
3 3
e
f
a
e
1 4
e
g d
4
b
5
a
b c d
e f
g
1
1
1
1

62. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
d
e
f
g
4 5
a
c
b
f
3 3
a
b
a
e
2 4
e
g d
4
b
5
a
b c d
e f
g
1
1
1
1
2

63. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
d
e
f
g
4 5
b
f
3
a
c
a
e
3 4
e
g d
4
b
5
a
b c d
e f
g
1
1
1
1
2

64. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
d
e
f
g
4 5
b
f
a
e
3 4
e
g d
4
b
5
a
b c d
e f
g
1
1
1
1
2

65. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
f
g
5
d
e
a
e
4 4
e
g d
4
b
5
a
b
c d
e
f
g
1
1
1
1
2 4

66. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
f
g
5
a
e
4
e
g d
4
b
5
a
b
c d
e
f
g
1
1
1
1
2 4

67. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
f
g
5
e
g
4
d
b
5
a
b
c d
e
f
g
1
1
1
1
2 4

68. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
f
g
5
b
d
5
a
b
c d
e
f
g
1
1
1
1
2 4

69. Árvore de cobertura: Kruskal
• Enquanto houver aresta na fila, retirar primeira
aresta da fila, se ela for unir duas componentes
conexas, inserir ela na árvore de cobertura
a
b
c
d
e
f
g
f
g
5
a
b
c d
e
f
g
1
1
1
1
2 4

70. Exercício
• Aplicar o algoritmo de Kruskal para obter a árvore
de cobertura do grafo seguinte
a
b
c
d
e
f
g
2
1
5
4
1
5
1
h
1
2
1
4
3

71. a
b
c
d
e
f
g
2
2
5
6
3
5
4
h
1
3
2
4
5

72. a
b
c
d
e
f
g
h
(g,h,1) (a, e, 2) (a,c,2) (e,c,2)(c,f,3)(d,h,3)(b,d,4)(d,g,4)(e,d,5)(e,b,5)(f,g,5)(b,f,6)
a
b
c
d
e f g h
1
2
2
3
3
4
5