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Critério de kelly

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Apresentação sobre critério de Kelly com introdução em jogos de azar e aplicações no mercado financeiro.

Publicada em: Economia e finanças
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Critério de kelly

  1. 1. Critério de Kelly – Jogos Favoráveis e Aplicações no Mercado Financeiro Alexandre Rubesam 20/08/2010
  2. 2. Resumo  Jogos favoráveis e definição do problema  Resultados e aproximações  Aplicação no mercado financeiro  Exemplo com futuros de IBOV e DÓLAR
  3. 3. Jogos Favoráveis  Problema fundamental em apostas é encontrar apostas com valor esperado positivo (em investimentos, é encontrar investimentos com retorno em excesso positivo)  Uma vez que uma oportunidade é encontrada, o apostador (investidor) deve decidir quanto apostar  Vamos utilizar o exemplo de apostar em uma moeda para definir o conceito de aposta de Kelly, mas os resultados são generalizáveis para várias situações, entre elas o mercado de capitais
  4. 4. Lançamento de moeda  Moeda favorável com:   5.0 pGanharP   5.01  pqPerderP  Capital inicial = 0 X  Queremos maximizar o valor esperado do nosso capital após n lançamentos da moeda,  n XE  Quanto devemos apostar, k B , no lançamento k? Seja       contráriocaso,1 lançamentoésimo-knovitória,1 k T
  5. 5. Então ,...3,2,1,1   kTBXX kkkk e após n lançamentos,   n j kkn TBXX 1 0 O valor esperado é           n j k n j kkn BEqpXTBEXXE 1 0 1 0 Portanto se quisermos maximizar  n XE , devemos maximizar  k BE , ou seja, apostar todo nosso capital a cada lançamento. Problema:       01010   n n nn pXPXPRuínaP , ou seja, perderemos todo o dinheiro quase certamente.
  6. 6. Por outro lado, tentar minimizar a prob. de ruína leva a minimizar o tamanho da aposta, o que minimiza o ganho esperado. Isso sugere a existência de uma estratégia ótima, intermediária entre esses dois extremos. Suponha que iremos apostar uma fração fixa 0 < f < 1 do capital. Então após n lançamentos, temos:    FS n ffXX  110 , onde S e F são os números de sucessos e falhas nos n lançamentos da moeda, S + F = n. Note que, como f > 0, a ruína não pode (estritamente) ocorrer. Por outro lado, podemos reinterpretar “ruína” no sentido de que, para qualquer 0 ,   1lim  nn XP .
  7. 7. Note que podemos escrever o ganho relativo, 0 / XXn , como: nn X X n n e X X 1 0 log 0        , e portanto a quantidade abaixo mede a taxa exponencial de crescimento do capital por lançamento da moeda:      f n F f n S X X fG n n        1log1loglog 1 0 Kelly (1956) decidiu maximizar o valor esperado do coeficiente de crescimento,  fg , onde
  8. 8.          fqfp f n F f n S E X X Efg n n                        1log1log 1log1loglog 1 0 Obs: Como 0 log)/1(log)/1()( XnXEnfg n  , então para n fixo, maximizar  fg é equivalente a maximizar n XElog . A maximização de  fg resulta na chamada fração de Kelly qpf * . O gráfico de  fg revela algumas propriedades interessantes.
  9. 9. Propriedades de  fg :  Único máximo em qpff  *  Existe um valor único 0c f , com 10 *  c ff , tal que  fg =0. Apostar qualquer fração acima de c f leva implica em ganho esperado negativo  Apostar uma fração menor do que * f leva a crescimento sub-ótimo do capital, porém sempre positivo  Apostar menos do que a fração de Kelly * f é bem mais seguro do que apostar mais e arriscar ultrapassar o valor c f  Apostar qualquer fração entre 0 e c f implica em crescimento exponencial do capital; mas o crescimento é maximizado com * f  Uma escolha comum é usar half-Kelly, ou seja, calcular a fração de Kelly e usar a metade
  10. 10. Exemplo 1: O jogador A joga contra um adversário infinitamente rico (e estúpido) o seguinte jogo. O capital inicial é 0 X . Uma moeda é lançada e o jogador A ganha o valor apostado com probabilidade 53.0p . A fração de Kelly é 06.047.053.0*  qpff , portanto o jogador A deve apostar 6% do seu capital a cada lançamento da moeda, para que seu capital n X cresça à maior taxa possível. Pode-se verificar empiricamente que 11973.0c f , portanto se a fração apostada for maior do que aprox. 12% do capital, o capital do jogador A irá se aproximar cada vez mais de 0.
  11. 11. Exemplo 2 (Blackjack): Suponha que a cada rodada de um jogo de blackjack, o jogador lida com um dos dois casos abaixo com prob. 0.5: Caso 1: “situação favorável” - 49.0)1(,51.0)1(  XPXP Caso 2: “situação desfavorável” - 51.0)1(,49.0)1(  XPXP O jogador sabe antes de apostar qual caso se aplica. Suponhamos que o jogador faça pequenas “apostas de espera” nas situações desfavoráveis, e apostas maiores nas situações favoráveis, e.g.: Apostar f nos casos favoráveis e 10,  aaf nos casos desfavoráveis A taxa de crecimento é   ))1log(51.0)1(log(49.0(5.0 )1log(49.0)1log(51.05.0)( afaf fffg   Dado um valor de a, podemos encontrar o valor de f que maximiza a expressão acima.
  12. 12. Exemplo 2 (Blackjack cont.) O gráfico abaixo mostra o f ótimo para vários valores de a: f* versus a 0.0000 0.0050 0.0100 0.0150 0.0200 0.0250 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 a f* Obs: se a = 0, o problema se resume ao caso anterior; se a=1, temos um jogo justo e portanto a fração de Kelly é 0.
  13. 13. Aproximação contínua – Alocação em 1 ativo de risco  Uma aposta (investimento) em um ativo financeiro pode ter muitos resultados diferentes  f passa a ser a proporção de capital investido no(s) ativo(s), e pode ser negativo (ficar vendido) Vamos considerar uma variável aleatória X com    smXPsmXP  5.0 Então temos     2 e sXVarmXE  . Com capital inicial 0 V , retorno em um ativo sem risco (eg títulos do governo) r, retorno por unidade de X e fração de aposta f, temos que       rXfrVfXrfVfV  1)1(1 00 Agora dividimos o intervalo de tempo em n partes independentes, mantendo a mesma média e a mesma variância.
  14. 14. Ou seja, em cada parte i =1,...,n temos uma variável i X com média nm/ e variância ns /2 , e o retorno no ativo sem risco é r/n. Quando n temos que a taxa de crescimento esperada,  fg , converge para   2/)( 22 fsrmfrfg  , que é maximizada por ratioSharpeonde/)( 2*  S s S srmf . É possível mostrar que :   rSfg  2/2*
  15. 15. Consideremos o caso em que a aproximação acima é usada para alocar o capital do investidor entre o portfolio de mercado, quem tem retorno médio m e volatilidade s, e títulos do governo, que tem retorno r. Temos os seguintes casos: 1sS 1sS 1 * * *    f f fsS No primeiro caso, o investidor aloca todo seu recurso no portfolio de mercado; no segundo caso, ele usa alavancagem (empresta dinheiro para investir no mercado); no último caso, ele aloca parte do capital no mercado, e o restante em renda fixa.
  16. 16. Exemplo 3 (Alocação em IBOV e renda fixa) – Usando dados de 2000 a 2010, temos as seguintes estimativas: 1461.0 3178.0 1828.0    r s m Para definir a alocação, usamos a fórmula anterior: 3630.0/)( 2*  srmf Ou seja, o investidor alocará aprox. 36% do seu capital no mercado de ações, e 64% em renda fixa. Isso está de acordo com a relação anterior, já que que a razão de Sharpe no exemplo é   sS  3178.01154.03178.01461.01828.0 Obs.: Note que um investidor usando o critério de Kelly diretamente faz uma escolha que não contempla risco.
  17. 17. Critério de Kelly vs Apreçamento de Ativos Markowitz (1952) estudou o problema de um investidor que precisa alocar recursos entre vários ativos de risco e um ativo sem risco. Temos o seguinte problema:  investir em n ativos com frações  T n ffF ,...1  , e investir o restante do capital, 0 f , no ativo sem risco  C = matriz de covariância entre os ativos  M = vetor de médias dos ativos   1 fF    T rrrR ,..., = vetor de retornos no ativo sem risco A média e variância do portfolio são dados por CFFs RMFrmfmfrfm T T nn   2 110 )(...
  18. 18. O problema de Markowitz então é colocado como:   i i T F mmefqtCFFMin 0 1.. , ou seja, encontrar o portfolio de mínima variância para um dado nível de retorno esperado. Esse processo, feito para vários níveis de retorno esperado, leva à chamada Fronteira Eficiente: os portfolios que possuem o menor risco para cada nível de retorno (ou equivalentemente, maior nível de retorno para cada nível de risco): N E(RP) Z’ A P* Z Z’’ B p Feasible set Minimum- variance frontier P*: Global minimum variance portfolio Individual assetsIndividual assets
  19. 19. Sharpe (1964) considera a alocação entre o ativo sem risco e a fronteira eficiente, o que leva à derivação da Linha do Mercado de Capitais: um investidor irá alocar parte do capital no portfolio de mercado, e parte no ativo sem risco, de acordo com sua aversão ao risco. Rf P E(RP) B A M CAL1 CAL2 M Sharpe’s Capital Market Line (CML) = New mean variance efficient frontier for risky portfolios E(RM)  Qualquer combinação retorno-risco na linha pode ser obtida variando-se a proporção do capital a ser alocada no portfolio de mercado  Investidores mais aversos a risco irão manter maior proporção do capital no ativo sem risco  Investidores menos aversos a risco irão investir mais no portfolio de mercado; em particular, podem até ficar alavancados
  20. 20. A equação da linha é dada por: Ou seja, a inclinação da reta é dada pela razão de Sharpe do portfolio de mercado. Logo, o investidor que usa o critério de Kelly pode ficar à esquerda ou à direita do portfolio de mercado no gráfico acima, dependendo do Sharpe do mercado. Conclusão:  No paradigma de Finanças, primeiro partimos do apetite do investidor por risco, para depois definir a alocação (que é a mais eficiente do ponto de vista risco/retorno;  O critério de Kelly produz uma alocação única (que produz a maior taxa de crescimento esperada do capital). Risco não é contemplado diretamente (mas o investidor pode usar o Kelly fracional, i.e., uma fração fixa da fração de Kelly, para gerir risco/conservar capital)     P M fM fP RRE RRE          
  21. 21. Kelly para um portfolio de Ativos  investir em n ativos com frações  T n ffF ,...1  , e investir o restante do capital, 0 f , no ativo sem risco  C = matriz de covariância entre os ativos  M = vetor de médias dos ativos   1 fF    T rrrR ,..., = vetor de retornos no ativo sem risco A média e variância do portfolio são dados por CFFs RMFrmfmfrfm T T nn   2 110 )(... Podemos aplicar a fórmula anterior e maximizar   2/2 smFg  . O resultado da maximização irrestrita é  RMCF  1*
  22. 22. Inclusão de restrições Obviamente, o problema de maximização pode ser modificado para incluir restrições na venda de ativos, na proporção a ser investida em ativos específicos, e na alavancagem total.     n 1i max m)alavancagede(limitação ido)ficar vendpode(não0 ativo)por(limitação lf f ff i i i
  23. 23. Aplicação: Kelly em um Portfolio com IBOV e DÓLAR usando futuros  Investidor pode investir no mercado de ações e câmbio usando contratos futuros  Vamos construir estimativas e calcular as frações de Kelly ao longo do tempo usando EWMA  Precisamos estimar, no tempo t, as quantidades abaixo DÓLARdoadevolatilids IBOVdoadevolatilids DÓLAReIBOVentreacovariâncic DÓLARdomédioretorno IBOVdomédioretorno ,DÓLAR ,IBOV ,DÓLARIBOV, , ,      t t t tDÓLAR tIBOV m m
  24. 24. O resultado da aplicação da fórmula é um vetor  tDÓLARtIBOVt ffF ,, , com a proporção do capital a ser comprado/vendido cada ativo Resultados hipotéticos: abaixo temos resultados hipotéticos desta aplicação, sem custos transacionais e usando os retornos dos spots. Accumulated returns 0 2 4 6 8 10 12 1/3/2000 1/3/2001 1/3/2002 1/3/2003 1/3/2004 1/3/2005 1/3/2006 1/3/2007 1/3/2008 1/3/2009 1/3/2010 CUMULATIVE RETURN CUM. CDI CUM. IBOV
  25. 25. Bibliografia Kelly, J.L. (1956), A New Interpretation of the Information Rate, AT&T research paper. Markowitz, H. (1952), Portfolio Selection, Journal of Finance, Vol. 7, No 1. Thorp, E. (2007), The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market. Handbook of Asset and Liability Management, Volume 1. Thorp, E. (1969), Optimal Gambling Systems for Favorable Games, Review of the International Statistical Institute, Vol. 37, No. 3.

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