Objetivo: apresentar a Teoria das Carteiras e formas de diversificação do risco para a maximização dos retornos. “Não coloque todos os ovos em apenas uma cesta” (autores: nossos avós).

1. Finanças Aplicadas I
Felipe Pontes
Teoria das Carteiras
Objetivo: apresentar a Teoria das Carteiras
e formas de diversificação do risco para a
maximização dos retornos.
“Não coloque todos os ovos em apenas uma cesta”
(autores: nossos avós).

2. INTRODUÇÃO
• A Teoria de Markowitz foi publicada em 1952.
Antes disso, os agentes superavitários da
época analisavam seus investimentos apenas
pelo retorno esperado.
• As decisões financeiras têm que estar voltadas
para o futuro e o futuro é incerto: adição de
um componente de risco às carteiras.
• Hipóteses da Teoria da Carteiras:
1. Os investidores têm aversão ao risco;
2. As taxas de retorno têm distribuição normal.
2

3. Meios de se evitar o risco
• O tema “risco” foi tratado na aula anterior: ele
é a incerteza que importa (BODIE; MERTON,
2002).
1. Evitar o risco (um trader/especulador pode
evitar o risco?)
2. Outras formas de “minimizar” o efeito do risco
a) Prevenir e controlar as perdas (e.g. stop loss);
b) Reter (“assumir”) o risco (e.g. pessoas sem plano
de saúde); e
c) Transferências de risco (hedge, seguro,
diversificação do investimento etc). 3

4. O que é diversificar?
• Manter quantidades similares de ativos de
múltiplo risco em vez de concentrar todos os
recursos em um único ativo (BODIE; MERTON,
2002).
• A análise da correlação é essencial:
Ativos que não sejam positivamente correlacionados
(ou com a menor correlação possível)
• Quando há a diversificação, resta apenas o risco
sistemático (não diversificável).
4
Conceito incompleto, segundo a Teoria de Markowitz (1952)

5. Seleção de Carteiras e a Teoria de
Markowitz
• A seleção da carteira é uma etapa posterior à
seleção dos ativos. Ela busca reduzir o risco
por meio da combinação de ativos que não
“se movam” na mesma direção.
• Considera-se que os “retornos esperados”
são desejados e a variância é indesejada:
deve-se formar uma carteira com o maior
retorno esperado e a menor variância.
5
No Folhainvest vocês selecionaram os ativos de
alguma maneira. Mas e a carteira?!

6. Fronteira eficiente de Markowitz
6

7. Fronteira eficiente de Markowitz
• Uma explicação mais divertida para o gráfico
anterior neste vídeo
7

8. Retorno simples x composto
• Relembrando como se calcula o retorno
simples (R):
𝑅 =
𝑃𝑡−𝑃𝑡−1
𝑃𝑡−1
8

9. Retorno simples x composto
• O R, enquanto que o composto é calculado em
ln (geralmente chamado de r):
𝑟 = ln(
𝑃𝑡
𝑃𝑡−1
)
9
Transformar r em R Transformar R em r
R = exp(r) – 1
** exp = 2,7182818285^r
r = ln(R+1)

10. Retorno simples x composto
• Vantagens de cada um dos dois tipos de
retorno em relação ao outro:
– R é uma boa medida para analisar os retornos
agregados entre ativos (carteiras) (o ln não é
linear);
– r é uma boa medida para analisar os retornos
agregados de um ativo ao longo do tempo (e.g.
estimativa do beta).
• Para verificar justificativas mais estatísticas,
leiam as referências abaixo:
– MathBabe1 e 2
– Quantitivity 10

11. Retorno simples x composto
• Resumindo:
• O Retorno simples de uma carteira é a soma
ponderada dos retornos simples dos ativos da
carteira.
• O retorno em log para um período de tempo é
a soma dos retornos em log em cada período
de tempo. O retorno em log de um ano, por
exemplo, é a soma dos retornos em log de
todos os dias do ano.
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12. Retorno simples x composto
t P R r
1 10
2 12 20.00% 18.23%
3 13 8.33% 8.00%
4 16 23.08% 20.76%
5 17 6.25% 6.06%
6 15 -11.76% -12.52%
7 20 33.33% 28.77%
Soma dos retornos em cada t 79.23% 69.31%
Retorno no período 100.00% 69.31%
12

13. Retorno esperado do ativo
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Se as probabilidades de ocorrência dos retornos forem iguais, basta
somar os retornos e dividir pela quantidade de observações.
Se as probabilidades forem diferentes, multiplicam-se os retornos pelas
probabilidades, somando os produtos no final.

14. Variabilidade
• Por que os desvios não são boas medidas de
variabilidade?
• Elton e Gruber (1995) sugerem duas soluções:
a) Simplesmente ignorar os sinais negativos dos
desvios e somá-los
b) Encontrar os quadrados dos desvios.
14Matematicamente, qual é a melhor solução?

15. Variância do ativo
15
Com probabilidades iguais (lembrem de que alguns
autores dividem por “n-1” e outros apenas por “n”, pelo
ajuste amostral)
Com probabilidades diferentes

16. Qual é o melhor ativo a se investir?
16
Calcular a média (mean return), variância (variance) e desvio padrão
(standard deviation) dos diversos ativos (assets).
Como exemplo, escolheremos dois ativos para comparar.

17. Combinação de ativos
17
Por exemplo, na combinação do ativo 2 (60%) com o
ativo 3 (40%), qual é a chance de obter um retorno
abaixo da média?
Na combinação do ativo 5 (60%) e do ativo 1 (40%)?

18. Características das carteiras em
geral (RETORNO)
• O retorno de uma carteira de ativos é
simplesmente a média ponderada do retorno
sobre os ativos individuais.
18

19. Características das carteiras em
geral (RETORNO)
• O retorno esperado é também a média
ponderada dos retornos esperados sobre os
ativos individuais
19

20. Características das carteiras em
geral (RETORNO)
• O valor esperado da soma é a soma dos
valores esperados (propriedade do somatório)
20

21. • O valor esperado de uma constante vezes o
retorno é a constante vezes o retorno
esperado (propriedade do somatório):
Características das carteiras em
geral (RETORNO)
21

22. Características das carteiras em
geral (RETORNO)
• Qual é o retorno esperado de uma carteira
formada pelos ativos de 1, 2, 3 e 5, cada um
com a mesma participação (25%)?
22

23. Características das carteiras em
geral (RETORNO)
• Calcular retorno esperados não é nenhuma
novidade para vocês: é só calcular a média
ponderada do retorno de cada ativo na
carteira.
• O “problema” está em calcular o risco de uma
carteira, pois não é a simples média
ponderada dos riscos dos ativos individuais.
23

24. Características das carteiras em
geral (VARIÂNCIA)
• A variância esperada de uma carteira é o valor
esperado dos desvios quadrados dos retornos
de uma carteira em comparação com o
retorno médio da carteira (demonstração com
dois ativos):
1. Desmembro o retorno observado e o médio da
carteira nos retornos dos ativos individuais
(organizando-os); e
2. Aplico o “quadrado da soma” e retiro as
constantes da esperança (X1, X2 e 2X1X2).
24

25. • A que medidas estatísticas essas expressões nos
remetem (em azul e em preto)?
• Variância e covariância, respectivamente, sendo elas
os conceitos “chave” para a diversificação de uma
carteira.
• O que acontece quando a variância individual
aumenta? E a covariância aumenta? Quem tem
efeito mais forte?!
• Finalmente (organizando pelos fatores semelhantes):
25
Características das carteiras em
geral (VARIÂNCIA)

26. Características das carteiras em
geral (VARIÂNCIA)
• Assim como a variância, a covariância é de
difícil análise.
• Solução: padronizar para que ela varie entre
- 1 e 1 (correlação):
26
Reescrever a fórmula
anterior, considerando a
correlação e o DP
individual.

27. Características das carteiras em
geral (Efeito diversificação)
• Calcule a covariância e a correlação entre os
dois pares de ativos, de modo a analisar o
risco das duas carteiras, formadas por 1 e 2 e
1 e 3.
27

28. Características das carteiras em
geral (Efeito diversificação)
• Qual será a variância da carteira A (formada
pelos ativos 1 e 2, 60% e 40%) e da carteira B
(formada pelos ativos 1 e 3, 60% e 40%)?
28

29. Características das carteiras em
geral (mais de dois ativos)
• Para analisar mais de dois ativos, basta incluir
o “seu” risco adicional (exemplo com três
ativos):
29
Façam uma combinação dos três ativos do
slide anterior com participação de 40%, 30%
e 30%, respectivamente

30. Características das carteiras em
geral (Participação na carteira)
• Para maximizar o retorno e minimizar o risco,
deve-se escolher a combinação “ótima”.
• Quando a correlação (ou covariância) entre os
ativos é DIFERENTE DE ZERO, deve-se retirar o
efeito do “risco conjunto”.
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Exemplo: O ativo A tem desvio padrão de 0,1337 e o ativo B
tem desvio padrão de 0,4065. Sabendo que a correlação entre
eles é de 0,1161, qual deverá ser a participação de cada ativo
numa carteira?

31. Características das carteiras em
geral (Participação na carteira)
• Ativos com correlação nula devem ser
incluídos na medida em que contribuem
menos com a inclusão de risco
• Participação do Ativo:
• Exemplo: Dois ativos têm correlação nula. O σ
de A é de 15% e o de B é 12%. Qual é a
combinação de mínima variância desses dois
ativos? 31

32. Críticas ao modelo de Markowitz
• Toda teoria tem pressupostos para simplificar
sua utilização, o que faz com que elas sejam
criticadas (existem outras críticas e pressupostos):
1. Distribuição normal dos retornos não é vista na
prática;
2. Considera-se que as correlações entre os ativos
são fixas e constantes para sempre (as crises
podem mudar as correlações para positivas, eg);
3. Todos os investidores são racionais e com
aversão ao risco (será?);
4. Não existe informação privilegiada (ver GIRÃO;
MARTINS; PAULO, 2014 - RAUSP); 32

33. Críticas ao modelo de Markowitz
5. As crenças dos investidores sobre os retornos é
semelhante (ver o modelo de precificação de ativos
baseado no excesso de confiança de Daniel,
Hirshleifer e Subrahmanyam, 2001);
6. Não existem tributos ou custos de transação;
7. Todos os investidores são “formadores de preços” (eu
tenho o mesmo poder de Warren Buffet?);
8. Qualquer investidor pode emprestar e tomar
emprestado à taxa livre de risco;
9. Os ativos são infinitamente divisíveis;
10. As preferências de risco e retorno mudam com o
tempo; e
11. O custo de aplicação da teoria é muito alto!
33

34. Exercícios
• Exercícios do livro de Ross, Westerfield e Jaffe
(2002).
• Próxima aula faremos aplicações práticas no
Excel, com o Solver. Recomenda-se que vocês
busquem previamente ler sobre o
funcionamento do Solver no Excel, ou os
vídeos do Projeto de Monitoria em Finanças
Quantitativas da UFPB, no próximo slide.
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35. Vídeo
35
https://www.youtube.com/watch?v=8_ATnvhIPKE

36. Vídeo
• Aqui está o vídeo em espanhol, feito pelo
monitor Calvin Lei:
• https://www.youtube.com/watch?v=x8ZYW6x
2RoA
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