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Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG
Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Capacity-Constrained Point Distributions
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Michel Alves dos Santos
Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação
Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - COPPE
Cidade Universitária - Rio de Janeiro - CEP: 21941-972
Docentes Responsáveis: Prof. Dsc. Ricardo Marroquim & Prof. PhD. Cláudio Esperança
{michel.mas, michel.santos.al}@gmail.com
January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014
Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
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Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Some More Results...
Using:
Regular Density Functions
Custom Density Functions
Images as Boundary Functions
Images as Density Functions
Now we will see other results obtained with the technique...
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Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Results :: Regular Density Functions :: Circular
f (x, y) = c; (x, y) → x2
+ y2
≤ radius
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Optimized Points Voronoi Tessellation
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Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Results :: Regular Density Functions :: Circular
Figure: The figure above shows the number of points and samples for each set.
In the table below we can view times of generation, times of optimization and
steps until convergence. The results are an average of 15 executions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 524288 00.06 seconds 03.54 seconds 160
2048 1048576 00.12 seconds 08.69 seconds 199
4096 2097152 00.24 seconds 20.78 seconds 167
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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1024 Points
524288 Samples
2048 Points
1048576 Samples
4096 Points
2097152 Samples
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Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Results :: Custom Density Functions
All tabled numerical results shown in this presentation
are an average of 15 executions for each set of points.
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Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Results :: Custom Density Functions :: Fences
f (x, y) = 0.75e−(625x2
y2
)
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Optimized Points Voronoi Tessellation
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Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Results :: Custom Density Functions :: Fences
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 11.73 seconds 00.18 seconds 16
2048 65536 54.62 seconds 00.44 seconds 15
4096 131072 267.43 seconds 01.33 seconds 18
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Results :: Custom Density Functions :: Natural Log
f (x, y) = log (x2
+ y2
+ 0.1)
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Optimized Points Voronoi Tessellation
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Results :: Custom Density Functions :: Natural Log
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 19.28 seconds 00.24 seconds 16
2048 65536 85.40 seconds 00.76 seconds 20
4096 131072 429.79 seconds 02.34 seconds 22
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Half Valley
f (x, y) = x2
+ 3 sin (y)
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Optimized Points Voronoi Tessellation
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Results :: Custom Density Functions :: Half Valley
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 02.89 seconds 00.19 seconds 14
2048 65536 12.24 seconds 00.55 seconds 23
4096 131072 62.42 seconds 01.63 seconds 21
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Results :: Custom Density Functions :: Hilly
f (x, y) = cos (2x2
+ 2y) sin (−3x + 3y2
)
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Optimized Points Voronoi Tessellation
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Results :: Custom Density Functions :: Hilly
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 06.13 seconds 00.29 seconds 37
2048 65536 27.58 seconds 00.71 seconds 32
4096 131072 133.47 seconds 02.46 seconds 50
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Two Valleys
f (x, y) = ((x2
−1)(y2
−4)+x2
+y2
−5)/((x2
+y2
+1)2
)+1
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Results :: Custom Density Functions :: Two Valleys
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 04.52 seconds 00.24 seconds 21
2048 65536 19.91 seconds 00.61 seconds 19
4096 131072 97.40 seconds 01.99 seconds 26
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Water Fall
f (x, y) = (4x2
− 1)e(−x2
−y2
)
+ 0.5
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Optimized Points Voronoi Tessellation
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Results :: Custom Density Functions :: Water Fall
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 02.71 seconds 00.24 seconds 24
2048 65536 12.57 seconds 00.58 seconds 21
4096 131072 69.70 seconds 02.02 seconds 17
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: The Ramp
f (x, y) = sin (x − cos (y)) + 0.5
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Optimized Points Voronoi Tessellation
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Results :: Custom Density Functions :: The Ramp
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 12.80 seconds 00.24 seconds 15
2048 65536 64.60 seconds 00.70 seconds 18
4096 131072 298.21 seconds 01.87 seconds 17
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Half Moon
f (x, y) = x3
− 3x − 2y2
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Optimized Points Voronoi Tessellation
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Results :: Custom Density Functions :: Half Moon
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 05.29 seconds 00.22 seconds 15
2048 65536 23.08 seconds 00.54 seconds 16
4096 131072 121.19 seconds 01.74 seconds 20
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Funnel
f (x, y) = (sin ( x2 + y2))/( x2 + y2 + 1)
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Optimized Points Voronoi Tessellation
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Results :: Custom Density Functions :: Funnel
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 03.71 seconds 00.16 seconds 13
2048 65536 17.84 seconds 00.53 seconds 22
4096 131072 89.28 seconds 01.69 seconds 20
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: The Cake
f (x, y) = sin (π x2 + y2)
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Optimized Points Voronoi Tessellation
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Results :: Custom Density Functions :: The Cake
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 02.76 seconds 00.18 seconds 16
2048 65536 12.91 seconds 00.49 seconds 18
4096 131072 70.28 seconds 01.72 seconds 17
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Image as Boundary and Density Functions
All tabled numerical results shown in this presentation
are an average of 15 executions for each set of points.
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VisualizationofBoundaryRegions
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Results :: Image as Boundary :: Torus
Figure: Image as Boundary. Input image with 735x735, points and regions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
32 212992 18.3042 minutes 7.37 seconds 968
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Results :: Image as Boundary :: Pear
Figure: Image as Boundary. Input image with 656x656, points and regions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
32 196608 14.477 minutes 5.41 seconds 613
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Results :: Image as Boundary :: Horse
Figure: Image as Boundary. Input image with 705x705, points and regions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
32 212992 26.7697 minutes 4.15 seconds 337
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Results :: Image as Boundary :: Bunny
Figure: Image as Boundary. Input image with 645x645, points and regions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
32 229376 17.1552 minutes 12.77 seconds 1142
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Results :: Image as Boundary :: Planck
Figure: Image as Boundary. Input image with 645x645, points and regions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
32 196608 15.1542 minutes 5.92 seconds 548
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Results :: Stippling :: Image as Density Function
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SomeMoreStipplingResults
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Results :: Stippling - Famous Face
Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
8192 524288 19.5017 minutes 6.93 seconds 26
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Results :: Stippling - Famous Face
Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
8192 524288 33.8668 minutes 6.75 seconds 29
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Results :: Stippling - Famous Face
Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
8192 524288 28.1835 minutes 7.04 seconds 24
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Results :: Stippling - Famous Face
Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
8192 524288 38.3498 minutes 11.88 seconds 31
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Results :: Stippling - Famous Face
Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
8192 524288 28.1648 minutes 9.26 seconds 31
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Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Results :: Stippling - Secord’s Shoes
Figure: Secord’s Shoes. Samples and stippling result. Input image with 1000x1000.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
5120 163840 7.73667 minutes 1.87 seconds 20
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163840 Samples 5120 Points
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Figure: Stanford Bunny. Input image with 475x475 pixels and stippling result.
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Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
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  • 1. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Capacity-Constrained Point Distributions «..Complementary Material..» Michel Alves dos Santos Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - COPPE Cidade Universitária - Rio de Janeiro - CEP: 21941-972 Docentes Responsáveis: Prof. Dsc. Ricardo Marroquim & Prof. PhD. Cláudio Esperança {michel.mas, michel.santos.al}@gmail.com January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 2. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Some More Results... Using: Regular Density Functions Custom Density Functions Images as Boundary Functions Images as Density Functions Now we will see other results obtained with the technique... Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 3. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Regular Density Functions :: Circular f (x, y) = c; (x, y) → x2 + y2 ≤ radius Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC Optimized Points Voronoi Tessellation
  • 4. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Regular Density Functions :: Circular Figure: The figure above shows the number of points and samples for each set. In the table below we can view times of generation, times of optimization and steps until convergence. The results are an average of 15 executions. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps* 1024 524288 00.06 seconds 03.54 seconds 160 2048 1048576 00.12 seconds 08.69 seconds 199 4096 2097152 00.24 seconds 20.78 seconds 167 Optimization Steps*: number of iterations until convergence. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC 1024 Points 524288 Samples 2048 Points 1048576 Samples 4096 Points 2097152 Samples
  • 5. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions All tabled numerical results shown in this presentation are an average of 15 executions for each set of points. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 6. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Fences f (x, y) = 0.75e−(625x2 y2 ) Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC Optimized Points Voronoi Tessellation
  • 7. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Fences Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of optimization and steps until convergence for each set of points. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps* 1024 32768 11.73 seconds 00.18 seconds 16 2048 65536 54.62 seconds 00.44 seconds 15 4096 131072 267.43 seconds 01.33 seconds 18 Optimization Steps*: number of iterations until convergence. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 8. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Natural Log f (x, y) = log (x2 + y2 + 0.1) Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC Optimized Points Voronoi Tessellation
  • 9. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Natural Log Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of optimization and steps until convergence for each set of points. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps* 1024 32768 19.28 seconds 00.24 seconds 16 2048 65536 85.40 seconds 00.76 seconds 20 4096 131072 429.79 seconds 02.34 seconds 22 Optimization Steps*: number of iterations until convergence. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 10. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Half Valley f (x, y) = x2 + 3 sin (y) Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC Optimized Points Voronoi Tessellation
  • 11. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Half Valley Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of optimization and steps until convergence for each set of points. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps* 1024 32768 02.89 seconds 00.19 seconds 14 2048 65536 12.24 seconds 00.55 seconds 23 4096 131072 62.42 seconds 01.63 seconds 21 Optimization Steps*: number of iterations until convergence. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 12. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Hilly f (x, y) = cos (2x2 + 2y) sin (−3x + 3y2 ) Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC Optimized Points Voronoi Tessellation
  • 13. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Hilly Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of optimization and steps until convergence for each set of points. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps* 1024 32768 06.13 seconds 00.29 seconds 37 2048 65536 27.58 seconds 00.71 seconds 32 4096 131072 133.47 seconds 02.46 seconds 50 Optimization Steps*: number of iterations until convergence. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 14. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Two Valleys f (x, y) = ((x2 −1)(y2 −4)+x2 +y2 −5)/((x2 +y2 +1)2 )+1 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC Optimized Points Voronoi Tessellation
  • 15. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Two Valleys Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of optimization and steps until convergence for each set of points. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps* 1024 32768 04.52 seconds 00.24 seconds 21 2048 65536 19.91 seconds 00.61 seconds 19 4096 131072 97.40 seconds 01.99 seconds 26 Optimization Steps*: number of iterations until convergence. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 16. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Water Fall f (x, y) = (4x2 − 1)e(−x2 −y2 ) + 0.5 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC Optimized Points Voronoi Tessellation
  • 17. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Water Fall Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of optimization and steps until convergence for each set of points. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps* 1024 32768 02.71 seconds 00.24 seconds 24 2048 65536 12.57 seconds 00.58 seconds 21 4096 131072 69.70 seconds 02.02 seconds 17 Optimization Steps*: number of iterations until convergence. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 18. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: The Ramp f (x, y) = sin (x − cos (y)) + 0.5 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC Optimized Points Voronoi Tessellation
  • 19. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: The Ramp Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of optimization and steps until convergence for each set of points. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps* 1024 32768 12.80 seconds 00.24 seconds 15 2048 65536 64.60 seconds 00.70 seconds 18 4096 131072 298.21 seconds 01.87 seconds 17 Optimization Steps*: number of iterations until convergence. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 20. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Half Moon f (x, y) = x3 − 3x − 2y2 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC Optimized Points Voronoi Tessellation
  • 21. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Half Moon Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of optimization and steps until convergence for each set of points. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps* 1024 32768 05.29 seconds 00.22 seconds 15 2048 65536 23.08 seconds 00.54 seconds 16 4096 131072 121.19 seconds 01.74 seconds 20 Optimization Steps*: number of iterations until convergence. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 22. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Funnel f (x, y) = (sin ( x2 + y2))/( x2 + y2 + 1) Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC Optimized Points Voronoi Tessellation
  • 23. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: Funnel Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of optimization and steps until convergence for each set of points. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps* 1024 32768 03.71 seconds 00.16 seconds 13 2048 65536 17.84 seconds 00.53 seconds 22 4096 131072 89.28 seconds 01.69 seconds 20 Optimization Steps*: number of iterations until convergence. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 24. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: The Cake f (x, y) = sin (π x2 + y2) Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC Optimized Points Voronoi Tessellation
  • 25. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Custom Density Functions :: The Cake Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of optimization and steps until convergence for each set of points. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps* 1024 32768 02.76 seconds 00.18 seconds 16 2048 65536 12.91 seconds 00.49 seconds 18 4096 131072 70.28 seconds 01.72 seconds 17 Optimization Steps*: number of iterations until convergence. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 26. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Image as Boundary and Density Functions All tabled numerical results shown in this presentation are an average of 15 executions for each set of points. Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC VisualizationofBoundaryRegions
  • 27. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Image as Boundary :: Torus Figure: Image as Boundary. Input image with 735x735, points and regions. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 32 212992 18.3042 minutes 7.37 seconds 968 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 28. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Image as Boundary :: Pear Figure: Image as Boundary. Input image with 656x656, points and regions. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 32 196608 14.477 minutes 5.41 seconds 613 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 29. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Image as Boundary :: Horse Figure: Image as Boundary. Input image with 705x705, points and regions. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 32 212992 26.7697 minutes 4.15 seconds 337 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 30. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Image as Boundary :: Bunny Figure: Image as Boundary. Input image with 645x645, points and regions. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 32 229376 17.1552 minutes 12.77 seconds 1142 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 31. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Image as Boundary :: Planck Figure: Image as Boundary. Input image with 645x645, points and regions. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 32 196608 15.1542 minutes 5.92 seconds 548 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 32. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Stippling :: Image as Density Function Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC SomeMoreStipplingResults
  • 33. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Stippling - Famous Face Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 8192 524288 19.5017 minutes 6.93 seconds 26 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 34. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Stippling - Famous Face Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 8192 524288 33.8668 minutes 6.75 seconds 29 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 35. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Stippling - Famous Face Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 8192 524288 28.1835 minutes 7.04 seconds 24 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 36. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Stippling - Famous Face Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 8192 524288 38.3498 minutes 11.88 seconds 31 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 37. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Stippling - Famous Face Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 8192 524288 28.1648 minutes 9.26 seconds 31 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
  • 38. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Stippling - Secord’s Shoes Figure: Secord’s Shoes. Samples and stippling result. Input image with 1000x1000. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 5120 163840 7.73667 minutes 1.87 seconds 20 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC 163840 Samples 5120 Points Input
  • 39. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Results :: Stippling - Stanford Bunny Figure: Stanford Bunny. Input image with 475x475 pixels and stippling result. #Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps 8192 393216 162.041 minutes 6.33 seconds 30 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC • 8192 Points • 393216 Samples Input Stippling
  • 40. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013 Thanks Thanks for your attention! Michel Alves dos Santos - michel.mas@gmail.com Michel Alves dos Santos - (Alves, M.) MSc Candidate at Federal University of Rio de Janeiro. E-mail: michel.mas@gmail.com, malves@cos.ufrj.br Lattes: http://lattes.cnpq.br/7295977425362370 Home: http://www.michelalves.com Phone: +55 21 2562 8572 (Institutional Phone Number) http://www.facebook.com/michel.alves.santos http://www.linkedin.com/profile/view?id=26542507 Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC