Este documento apresenta os resultados de uma técnica para distribuir pontos de forma otimizada de acordo com diferentes funções de densidade. São mostrados resultados para funções de densidade regulares e personalizadas, incluindo imagens como funções de borda e densidade. Tempos de geração, otimização e iterações até convergência são fornecidos.

1. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG
Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Capacity-Constrained Point Distributions
«..Complementary Material..»
Michel Alves dos Santos
Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação
Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - COPPE
Cidade Universitária - Rio de Janeiro - CEP: 21941-972
Docentes Responsáveis: Prof. Dsc. Ricardo Marroquim & Prof. PhD. Cláudio Esperança
{michel.mas, michel.santos.al}@gmail.com
January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014January, 2014
Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC

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Some More Results...
Using:
Regular Density Functions
Custom Density Functions
Images as Boundary Functions
Images as Density Functions
Now we will see other results obtained with the technique...
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Results :: Regular Density Functions :: Circular
f (x, y) = c; (x, y) → x2
+ y2
≤ radius
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Optimized Points Voronoi Tessellation

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Results :: Regular Density Functions :: Circular
Figure: The figure above shows the number of points and samples for each set.
In the table below we can view times of generation, times of optimization and
steps until convergence. The results are an average of 15 executions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 524288 00.06 seconds 03.54 seconds 160
2048 1048576 00.12 seconds 08.69 seconds 199
4096 2097152 00.24 seconds 20.78 seconds 167
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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1024 Points
524288 Samples
2048 Points
1048576 Samples
4096 Points
2097152 Samples

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Results :: Custom Density Functions
All tabled numerical results shown in this presentation
are an average of 15 executions for each set of points.
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Results :: Custom Density Functions :: Fences
f (x, y) = 0.75e−(625x2
y2
)
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Optimized Points Voronoi Tessellation

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Results :: Custom Density Functions :: Fences
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 11.73 seconds 00.18 seconds 16
2048 65536 54.62 seconds 00.44 seconds 15
4096 131072 267.43 seconds 01.33 seconds 18
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Natural Log
f (x, y) = log (x2
+ y2
+ 0.1)
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Optimized Points Voronoi Tessellation

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Results :: Custom Density Functions :: Natural Log
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 19.28 seconds 00.24 seconds 16
2048 65536 85.40 seconds 00.76 seconds 20
4096 131072 429.79 seconds 02.34 seconds 22
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Half Valley
f (x, y) = x2
+ 3 sin (y)
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Optimized Points Voronoi Tessellation

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Results :: Custom Density Functions :: Half Valley
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 02.89 seconds 00.19 seconds 14
2048 65536 12.24 seconds 00.55 seconds 23
4096 131072 62.42 seconds 01.63 seconds 21
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Hilly
f (x, y) = cos (2x2
+ 2y) sin (−3x + 3y2
)
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Optimized Points Voronoi Tessellation

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Results :: Custom Density Functions :: Hilly
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 06.13 seconds 00.29 seconds 37
2048 65536 27.58 seconds 00.71 seconds 32
4096 131072 133.47 seconds 02.46 seconds 50
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Two Valleys
f (x, y) = ((x2
−1)(y2
−4)+x2
+y2
−5)/((x2
+y2
+1)2
)+1
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Results :: Custom Density Functions :: Two Valleys
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 04.52 seconds 00.24 seconds 21
2048 65536 19.91 seconds 00.61 seconds 19
4096 131072 97.40 seconds 01.99 seconds 26
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Water Fall
f (x, y) = (4x2
− 1)e(−x2
−y2
)
+ 0.5
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Results :: Custom Density Functions :: Water Fall
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 02.71 seconds 00.24 seconds 24
2048 65536 12.57 seconds 00.58 seconds 21
4096 131072 69.70 seconds 02.02 seconds 17
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: The Ramp
f (x, y) = sin (x − cos (y)) + 0.5
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Results :: Custom Density Functions :: The Ramp
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 12.80 seconds 00.24 seconds 15
2048 65536 64.60 seconds 00.70 seconds 18
4096 131072 298.21 seconds 01.87 seconds 17
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Half Moon
f (x, y) = x3
− 3x − 2y2
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Optimized Points Voronoi Tessellation

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Results :: Custom Density Functions :: Half Moon
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 05.29 seconds 00.22 seconds 15
2048 65536 23.08 seconds 00.54 seconds 16
4096 131072 121.19 seconds 01.74 seconds 20
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: Funnel
f (x, y) = (sin ( x2 + y2))/( x2 + y2 + 1)
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Optimized Points Voronoi Tessellation

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Results :: Custom Density Functions :: Funnel
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 03.71 seconds 00.16 seconds 13
2048 65536 17.84 seconds 00.53 seconds 22
4096 131072 89.28 seconds 01.69 seconds 20
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Custom Density Functions :: The Cake
f (x, y) = sin (π x2 + y2)
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Optimized Points Voronoi Tessellation

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Results :: Custom Density Functions :: The Cake
Figure: The figure above shows the density function, optimized points and your
voronoi diagram. In the table below we can view times of generation, times of
optimization and steps until convergence for each set of points.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps*
1024 32768 02.76 seconds 00.18 seconds 16
2048 65536 12.91 seconds 00.49 seconds 18
4096 131072 70.28 seconds 01.72 seconds 17
Optimization Steps*: number of iterations until convergence.
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Results :: Image as Boundary and Density Functions
All tabled numerical results shown in this presentation
are an average of 15 executions for each set of points.
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VisualizationofBoundaryRegions

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Results :: Image as Boundary :: Torus
Figure: Image as Boundary. Input image with 735x735, points and regions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
32 212992 18.3042 minutes 7.37 seconds 968
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Results :: Image as Boundary :: Pear
Figure: Image as Boundary. Input image with 656x656, points and regions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
32 196608 14.477 minutes 5.41 seconds 613
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Results :: Image as Boundary :: Horse
Figure: Image as Boundary. Input image with 705x705, points and regions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
32 212992 26.7697 minutes 4.15 seconds 337
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Results :: Image as Boundary :: Bunny
Figure: Image as Boundary. Input image with 645x645, points and regions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
32 229376 17.1552 minutes 12.77 seconds 1142
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Results :: Image as Boundary :: Planck
Figure: Image as Boundary. Input image with 645x645, points and regions.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
32 196608 15.1542 minutes 5.92 seconds 548
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Results :: Stippling :: Image as Density Function
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SomeMoreStipplingResults

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Results :: Stippling - Famous Face
Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
8192 524288 19.5017 minutes 6.93 seconds 26
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Results :: Stippling - Famous Face
Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
8192 524288 33.8668 minutes 6.75 seconds 29
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Results :: Stippling - Famous Face
Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
8192 524288 28.1835 minutes 7.04 seconds 24
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Results :: Stippling - Famous Face
Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
8192 524288 38.3498 minutes 11.88 seconds 31
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Results :: Stippling - Famous Face
Figure: Famous Faces. Input image with 1000x1000 pixels and stippling result.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
8192 524288 28.1648 minutes 9.26 seconds 31
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Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Results :: Stippling - Secord’s Shoes
Figure: Secord’s Shoes. Samples and stippling result. Input image with 1000x1000.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
5120 163840 7.73667 minutes 1.87 seconds 20
Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
163840 Samples 5120 Points
Input

39. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG
Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
Results :: Stippling - Stanford Bunny
Figure: Stanford Bunny. Input image with 475x475 pixels and stippling result.
#Points #Samples Generation Time Optimization Time Optimization Steps
8192 393216 162.041 minutes 6.33 seconds 30
Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC
• 8192 Points
• 393216 Samples
Input Stippling

40. Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Campus Cidade Universitária - Rio de Janeiro - Ilha do Fundão, CEP: 21941-972 - COPPE/PESC/LCG
Capacity-Constrained Point Distributions :: A Variant of Lloyd’s Method :: Computational Geometry Discipline :: Laboratory Seminar :: January, 2013
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Michel Alves dos Santos - michel.mas@gmail.com
Michel Alves dos Santos - (Alves, M.)
MSc Candidate at Federal University of Rio de Janeiro.
E-mail: michel.mas@gmail.com, malves@cos.ufrj.br
Lattes: http://lattes.cnpq.br/7295977425362370
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Michel Alves dos Santos: Laboratório de Computação Gráfica - LCG Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas e Computação - PESC