A balanced binary tree is commonly defined as a binary tree in which the depth of the left and right subtrees of every node differ by 1 or less, although in general it is a binary tree where no leaf is much farther away from the root than any other leaf.
Aula 67 e 68 Robótica 8º ano Experimentando variações da matriz de Led
Balanced Binary Trees
1. Universidade Federal de Alagoas - Campus A. C. Simões Instituto de Matemática - Programa de Pós-graduação
Árvore Binária Balanceada
Visão Geral, Características e Conceitos Associados
Michel Alves dos Santos
Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. Simões
Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970
Centro de Pesquisa em Matemática Computacional
Docente Responsável: Prof. Dr. Thales Vieira
17 de Novembro 2011
Lab. de Modelagem Geométrica e Visão Computacional Geometria Computacional: Árvore Binária Balanceada
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Sumário
Tópicos Centrais da Explanação
• Árvores, Arborescências e Árvore Balanceada;
• Aplicações da Árvore Binária Balanceada;
• Complexidade: Busca, Inserção e Deleção;
• Uso em Problemas Práticos;
• As Proto-classes Node e BinaryTree;
• Comparações Entre Árvores;
• Conclusões.
Primeiramente iremos esclarecer alguns conceitos primordiais sobre
a caracterização de uma árvore e logo após iremos definir
realmente o significado do nosso objeto de estudo.
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Sumário
Tópicos Centrais da Explanação
• Árvores, Arborescências e Árvore Balanceada;
• Aplicações da Árvore Binária Balanceada;
• Complexidade: Busca, Inserção e Deleção;
• Uso em Problemas Práticos;
• As Proto-classes Node e BinaryTree;
• Comparações Entre Árvores;
• Conclusões.
Primeiramente iremos esclarecer alguns conceitos primordiais sobre
a caracterização de uma árvore e logo após iremos definir
realmente o significado do nosso objeto de estudo.
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Sumário
Tópicos Centrais da Explanação
• Árvores, Arborescências e Árvore Balanceada;
• Aplicações da Árvore Binária Balanceada;
• Complexidade: Busca, Inserção e Deleção;
• Uso em Problemas Práticos;
• As Proto-classes Node e BinaryTree;
• Comparações Entre Árvores;
• Conclusões.
Primeiramente iremos esclarecer alguns conceitos primordiais sobre
a caracterização de uma árvore e logo após iremos definir
realmente o significado do nosso objeto de estudo.
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Sumário
Tópicos Centrais da Explanação
• Árvores, Arborescências e Árvore Balanceada;
• Aplicações da Árvore Binária Balanceada;
• Complexidade: Busca, Inserção e Deleção;
• Uso em Problemas Práticos;
• As Proto-classes Node e BinaryTree;
• Comparações Entre Árvores;
• Conclusões.
Primeiramente iremos esclarecer alguns conceitos primordiais sobre
a caracterização de uma árvore e logo após iremos definir
realmente o significado do nosso objeto de estudo.
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Sumário
Tópicos Centrais da Explanação
• Árvores, Arborescências e Árvore Balanceada;
• Aplicações da Árvore Binária Balanceada;
• Complexidade: Busca, Inserção e Deleção;
• Uso em Problemas Práticos;
• As Proto-classes Node e BinaryTree;
• Comparações Entre Árvores;
• Conclusões.
Primeiramente iremos esclarecer alguns conceitos primordiais sobre
a caracterização de uma árvore e logo após iremos definir
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Sumário
Tópicos Centrais da Explanação
• Árvores, Arborescências e Árvore Balanceada;
• Aplicações da Árvore Binária Balanceada;
• Complexidade: Busca, Inserção e Deleção;
• Uso em Problemas Práticos;
• As Proto-classes Node e BinaryTree;
• Comparações Entre Árvores;
• Conclusões.
Primeiramente iremos esclarecer alguns conceitos primordiais sobre
a caracterização de uma árvore e logo após iremos definir
realmente o significado do nosso objeto de estudo.
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Sumário
Tópicos Centrais da Explanação
• Árvores, Arborescências e Árvore Balanceada;
• Aplicações da Árvore Binária Balanceada;
• Complexidade: Busca, Inserção e Deleção;
• Uso em Problemas Práticos;
• As Proto-classes Node e BinaryTree;
• Comparações Entre Árvores;
• Conclusões.
Primeiramente iremos esclarecer alguns conceitos primordiais sobre
a caracterização de uma árvore e logo após iremos definir
realmente o significado do nosso objeto de estudo.
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Sumário
Tópicos Centrais da Explanação
• Árvores, Arborescências e Árvore Balanceada;
• Aplicações da Árvore Binária Balanceada;
• Complexidade: Busca, Inserção e Deleção;
• Uso em Problemas Práticos;
• As Proto-classes Node e BinaryTree;
• Comparações Entre Árvores;
• Conclusões.
Primeiramente iremos esclarecer alguns conceitos primordiais sobre
a caracterização de uma árvore e logo após iremos definir
realmente o significado do nosso objeto de estudo.
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Sumário
Tópicos Centrais da Explanação
• Árvores, Arborescências e Árvore Balanceada;
• Aplicações da Árvore Binária Balanceada;
• Complexidade: Busca, Inserção e Deleção;
• Uso em Problemas Práticos;
• As Proto-classes Node e BinaryTree;
• Comparações Entre Árvores;
• Conclusões.
Primeiramente iremos esclarecer alguns conceitos primordiais sobre
a caracterização de uma árvore e logo após iremos definir
realmente o significado do nosso objeto de estudo.
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O que é uma Árvore?
Conceito Matemático de Árvore
Uma árvore é um grafo conexo e sem ciclos.
Lembrete
Grafo constitui um objeto matemático formado por dois conjuntos. O primeiro,
chamado de V , é o conjunto dos vértices. O outro é um conjunto de relações entre
vértices, chamado de conjunto das arestas e é representado por E.
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O que é uma Árvore?
Conceito Matemático de Árvore
Uma árvore é um grafo conexo e sem ciclos.
Figura: Construção de um grafo conexo com 6 vértices. Há várias soluções para
este tipo de construção, mas o que as soluções apresentadas possuem em comum?
Todas tem 5 arestas e nenhuma contém ciclos.
Lembrete
Grafo constitui um objeto matemático formado por dois conjuntos. O primeiro,
chamado de V , é o conjunto dos vértices. O outro é um conjunto de relações entre
vértices, chamado de conjunto das arestas e é representado por E.
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O que é uma Árvore?
Conceito Matemático de Árvore
Uma árvore é um grafo conexo e sem ciclos.
Figura: Construção de um grafo conexo com 6 vértices. Há várias soluções para
este tipo de construção, mas o que as soluções apresentadas possuem em comum?
Todas tem 5 arestas e nenhuma contém ciclos.
Lembrete
Grafo constitui um objeto matemático formado por dois conjuntos. O primeiro,
chamado de V , é o conjunto dos vértices. O outro é um conjunto de relações entre
vértices, chamado de conjunto das arestas e é representado por E.
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Caracterização das Árvores.
Como podemos caracterizar uma árvore?
Três características são primordiais em uma árvore:
Seja T uma árvore com n vértices. Então:
1 T é conexo e sem ciclos;
2 T é conexo e possui n − 1 arestas;
3 Cada aresta e de T é uma ponte.
Lembrete
Uma ponte é uma aresta cuja retirada desconecta o grafo.
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Caracterização das Árvores.
Como podemos caracterizar uma árvore?
Três características são primordiais em uma árvore:
Figura: Construção de um grafo conexo e um não-conexo com 6 vértices.
Seja T uma árvore com n vértices. Então:
1 T é conexo e sem ciclos;
2 T é conexo e possui n − 1 arestas;
3 Cada aresta e de T é uma ponte.
Lembrete
Uma ponte é uma aresta cuja retirada desconecta o grafo.
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Caracterização das Árvores.
Como podemos caracterizar uma árvore?
Três características são primordiais em uma árvore:
Figura: Construção de um grafo conexo e um não-conexo com 6 vértices.
Seja T uma árvore com n vértices. Então:
1 T é conexo e sem ciclos;
2 T é conexo e possui n − 1 arestas;
3 Cada aresta e de T é uma ponte.
Lembrete
Uma ponte é uma aresta cuja retirada desconecta o grafo.
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Caracterização das Árvores.
Como podemos caracterizar uma árvore?
Três características são primordiais em uma árvore:
Figura: Construção de um grafo conexo e um não-conexo com 6 vértices.
Seja T uma árvore com n vértices. Então:
1 T é conexo e sem ciclos;
2 T é conexo e possui n − 1 arestas;
3 Cada aresta e de T é uma ponte.
Lembrete
Uma ponte é uma aresta cuja retirada desconecta o grafo.
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Caracterização das Árvores.
Como podemos caracterizar uma árvore?
Três características são primordiais em uma árvore:
Figura: Construção de um grafo conexo e um não-conexo com 6 vértices.
Seja T uma árvore com n vértices. Então:
1 T é conexo e sem ciclos;
2 T é conexo e possui n − 1 arestas;
3 Cada aresta e de T é uma ponte.
Lembrete
Uma ponte é uma aresta cuja retirada desconecta o grafo.
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Caracterização das Árvores.
Como podemos caracterizar uma árvore?
Três características são primordiais em uma árvore:
Figura: Construção de um grafo conexo e um não-conexo com 6 vértices.
Seja T uma árvore com n vértices. Então:
1 T é conexo e sem ciclos;
2 T é conexo e possui n − 1 arestas;
3 Cada aresta e de T é uma ponte.
Lembrete
Uma ponte é uma aresta cuja retirada desconecta o grafo.
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Caracterização das Árvores.
Como podemos caracterizar uma árvore?
Três características são primordiais em uma árvore:
Figura: Construção de um grafo conexo e um não-conexo com 6 vértices.
Seja T uma árvore com n vértices. Então:
1 T é conexo e sem ciclos;
2 T é conexo e possui n − 1 arestas;
3 Cada aresta e de T é uma ponte.
Lembrete
Uma ponte é uma aresta cuja retirada desconecta o grafo.
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Arborescências.
O que é uma arborescência?
Tipo de árvore na qual consideramos a orientação. Na arborescência, a
direção dos arcos é considerada.
Propriedades das arborescências:
1 Existe um vértice sem antecessores (a raiz);
2 Todos os vértices (fora a raiz) possuem exatamente um único antecessor.
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Arborescências.
O que é uma arborescência?
Tipo de árvore na qual consideramos a orientação. Na arborescência, a
direção dos arcos é considerada.
Figura: Como cada aresta da arborescência representa uma ponte, basta escolher
um vértice como ‘raiz’ e teremos uma orientação ‘natural’ da árvore.
Propriedades das arborescências:
1 Existe um vértice sem antecessores (a raiz);
2 Todos os vértices (fora a raiz) possuem exatamente um único antecessor.
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Arborescências.
O que é uma arborescência?
Tipo de árvore na qual consideramos a orientação. Na arborescência, a
direção dos arcos é considerada.
Figura: Como cada aresta da arborescência representa uma ponte, basta escolher
um vértice como ‘raiz’ e teremos uma orientação ‘natural’ da árvore.
Propriedades das arborescências:
1 Existe um vértice sem antecessores (a raiz);
2 Todos os vértices (fora a raiz) possuem exatamente um único antecessor.
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Arborescências.
O que é uma arborescência?
Tipo de árvore na qual consideramos a orientação. Na arborescência, a
direção dos arcos é considerada.
Figura: Como cada aresta da arborescência representa uma ponte, basta escolher
um vértice como ‘raiz’ e teremos uma orientação ‘natural’ da árvore.
Propriedades das arborescências:
1 Existe um vértice sem antecessores (a raiz);
2 Todos os vértices (fora a raiz) possuem exatamente um único antecessor.
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Arborescências.
O que é uma arborescência?
Tipo de árvore na qual consideramos a orientação. Na arborescência, a
direção dos arcos é considerada.
Figura: Como cada aresta da arborescência representa uma ponte, basta escolher
um vértice como ‘raiz’ e teremos uma orientação ‘natural’ da árvore.
Propriedades das arborescências:
1 Existe um vértice sem antecessores (a raiz);
2 Todos os vértices (fora a raiz) possuem exatamente um único antecessor.
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Arborescência Binária.
O que é uma arborescência binária?
Uma das arborescências de uso mais frequente é a arborescência binária
(usualmente chamada de árvore binária), que se caracteriza pela seguinte
propriedade adicional:
Propriedade adicional das arborescências binárias:
1 Todos os vértices têm, no máximo, 2 sucessores, ou seja ∆ ≤ 2.
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Arborescência Binária.
O que é uma arborescência binária?
Uma das arborescências de uso mais frequente é a arborescência binária
(usualmente chamada de árvore binária), que se caracteriza pela seguinte
propriedade adicional:
Figura: Os nós de uma árvore binária possuem graus zero, um ou dois. Um nó de
grau zero é denominado folha. A raiz possui profundidade 0. Os sucessores diretos
da raiz possuem profundidade 1. Em suma, uma árvore binária é definida como um
grafo acíclico, conexo, dirigido e que cada nó não tem grau maior que 2. Logo, só
existe um caminho entre dois nós distintos.
Propriedade adicional das arborescências binárias:
1 Todos os vértices têm, no máximo, 2 sucessores, ou seja ∆ ≤ 2.
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Arborescência Binária.
O que é uma arborescência binária?
Uma das arborescências de uso mais frequente é a arborescência binária
(usualmente chamada de árvore binária), que se caracteriza pela seguinte
propriedade adicional:
Figura: Os nós de uma árvore binária possuem graus zero, um ou dois. Um nó de
grau zero é denominado folha. A raiz possui profundidade 0. Os sucessores diretos
da raiz possuem profundidade 1. Em suma, uma árvore binária é definida como um
grafo acíclico, conexo, dirigido e que cada nó não tem grau maior que 2. Logo, só
existe um caminho entre dois nós distintos.
Propriedade adicional das arborescências binárias:
1 Todos os vértices têm, no máximo, 2 sucessores, ou seja ∆ ≤ 2.
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Arborescência Binária.
O que é uma arborescência binária?
Uma das arborescências de uso mais frequente é a arborescência binária
(usualmente chamada de árvore binária), que se caracteriza pela seguinte
propriedade adicional:
Figura: Os nós de uma árvore binária possuem graus zero, um ou dois. Um nó de
grau zero é denominado folha. A raiz possui profundidade 0. Os sucessores diretos
da raiz possuem profundidade 1. Em suma, uma árvore binária é definida como um
grafo acíclico, conexo, dirigido e que cada nó não tem grau maior que 2. Logo, só
existe um caminho entre dois nós distintos.
Propriedade adicional das arborescências binárias:
1 Todos os vértices têm, no máximo, 2 sucessores, ou seja ∆ ≤ 2.
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Árvore Binária Balanceada.
Caracterizando Árvore Binária Balanceada
Uma árvore binária é dita balanceada se, para cada nó, as alturas de suas
sub-árvores diferem de, no máximo 1.
Uma árvore binária balanceada, chamada de árvore AVL (em homenagem
aos matemáticos russos G.M. Adelson-Velskii e E.M. Landis), é uma
árvore binária na qual as alturas das duas sub-árvores de cada um dos nós,
nunca diferem em mais de 1 unidade.
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Árvore Binária Balanceada.
Caracterizando Árvore Binária Balanceada
Uma árvore binária é dita balanceada se, para cada nó, as alturas de suas
sub-árvores diferem de, no máximo 1.
Figura: Uma árvore é totalmente balanceada quando para cada nó, o número de
nós em cada uma de suas sub-árvores difere em no máximo 1 de profundidade. A
primeira aparição dessa estrutura, foi em 1962 no artigo ‘An algorithm for the
organization of information’, de autoria dos Soviéticos Adelson-Velskii e Landis.
Uma árvore binária balanceada, chamada de árvore AVL (em homenagem
aos matemáticos russos G.M. Adelson-Velskii e E.M. Landis), é uma
árvore binária na qual as alturas das duas sub-árvores de cada um dos nós,
nunca diferem em mais de 1 unidade.
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Árvore Binária Balanceada.
Caracterizando Árvore Binária Balanceada
Uma árvore binária é dita balanceada se, para cada nó, as alturas de suas
sub-árvores diferem de, no máximo 1.
Figura: Uma árvore é totalmente balanceada quando para cada nó, o número de
nós em cada uma de suas sub-árvores difere em no máximo 1 de profundidade. A
primeira aparição dessa estrutura, foi em 1962 no artigo ‘An algorithm for the
organization of information’, de autoria dos Soviéticos Adelson-Velskii e Landis.
Uma árvore binária balanceada, chamada de árvore AVL (em homenagem
aos matemáticos russos G.M. Adelson-Velskii e E.M. Landis), é uma
árvore binária na qual as alturas das duas sub-árvores de cada um dos nós,
nunca diferem em mais de 1 unidade.
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Árvore Binária Balanceada.
Aplicações da Árvore Binária Balanceada
Essa estrutura fornece implementação eficiente para listas ordenadas mutáveis:
• Arrays associativos (associative arrays: map ou dictionary);
• Coleções baseadas em pares do tipo (key, value);
• Filas de prioridade (priority queues);
• Fila onde cada elemento é associado com uma ‘prioridade’;
• Conjuntos (sets).
• Comumente implementados da mesma maneira que arrays associativos;
• Nessa caso são chamados de sorted sets.
Implementações
• AA Tree; AVL Tree; Red-black Tree; Scapegoat Tree; Splay Tree; Treap;
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Árvore Binária Balanceada.
Aplicações da Árvore Binária Balanceada
Essa estrutura fornece implementação eficiente para listas ordenadas mutáveis:
• Arrays associativos (associative arrays: map ou dictionary);
• Coleções baseadas em pares do tipo (key, value);
• Filas de prioridade (priority queues);
• Fila onde cada elemento é associado com uma ‘prioridade’;
• Conjuntos (sets).
• Comumente implementados da mesma maneira que arrays associativos;
• Nessa caso são chamados de sorted sets.
Implementações
• AA Tree; AVL Tree; Red-black Tree; Scapegoat Tree; Splay Tree; Treap;
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Árvore Binária Balanceada.
Aplicações da Árvore Binária Balanceada
Essa estrutura fornece implementação eficiente para listas ordenadas mutáveis:
• Arrays associativos (associative arrays: map ou dictionary);
• Coleções baseadas em pares do tipo (key, value);
• Filas de prioridade (priority queues);
• Fila onde cada elemento é associado com uma ‘prioridade’;
• Conjuntos (sets).
• Comumente implementados da mesma maneira que arrays associativos;
• Nessa caso são chamados de sorted sets.
Implementações
• AA Tree; AVL Tree; Red-black Tree; Scapegoat Tree; Splay Tree; Treap;
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Árvore Binária Balanceada.
Aplicações da Árvore Binária Balanceada
Essa estrutura fornece implementação eficiente para listas ordenadas mutáveis:
• Arrays associativos (associative arrays: map ou dictionary);
• Coleções baseadas em pares do tipo (key, value);
• Filas de prioridade (priority queues);
• Fila onde cada elemento é associado com uma ‘prioridade’;
• Conjuntos (sets).
• Comumente implementados da mesma maneira que arrays associativos;
• Nessa caso são chamados de sorted sets.
Implementações
• AA Tree; AVL Tree; Red-black Tree; Scapegoat Tree; Splay Tree; Treap;
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Árvore Binária Balanceada.
Aplicações da Árvore Binária Balanceada
Essa estrutura fornece implementação eficiente para listas ordenadas mutáveis:
• Arrays associativos (associative arrays: map ou dictionary);
• Coleções baseadas em pares do tipo (key, value);
• Filas de prioridade (priority queues);
• Fila onde cada elemento é associado com uma ‘prioridade’;
• Conjuntos (sets).
• Comumente implementados da mesma maneira que arrays associativos;
• Nessa caso são chamados de sorted sets.
Implementações
• AA Tree; AVL Tree; Red-black Tree; Scapegoat Tree; Splay Tree; Treap;
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Árvore Binária Balanceada.
Aplicações da Árvore Binária Balanceada
Essa estrutura fornece implementação eficiente para listas ordenadas mutáveis:
• Arrays associativos (associative arrays: map ou dictionary);
• Coleções baseadas em pares do tipo (key, value);
• Filas de prioridade (priority queues);
• Fila onde cada elemento é associado com uma ‘prioridade’;
• Conjuntos (sets).
• Comumente implementados da mesma maneira que arrays associativos;
• Nessa caso são chamados de sorted sets.
Implementações
• AA Tree; AVL Tree; Red-black Tree; Scapegoat Tree; Splay Tree; Treap;
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Árvore Binária Balanceada.
Aplicações da Árvore Binária Balanceada
Essa estrutura fornece implementação eficiente para listas ordenadas mutáveis:
• Arrays associativos (associative arrays: map ou dictionary);
• Coleções baseadas em pares do tipo (key, value);
• Filas de prioridade (priority queues);
• Fila onde cada elemento é associado com uma ‘prioridade’;
• Conjuntos (sets).
• Comumente implementados da mesma maneira que arrays associativos;
• Nessa caso são chamados de sorted sets.
Implementações
• AA Tree; AVL Tree; Red-black Tree; Scapegoat Tree; Splay Tree; Treap;
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Complexidade
Figura: As operações de busca, inserção e eliminação de elementos possuem
complexidade O(logn) (no qual n é o número de elementos da árvore). Inserções e
eliminações podem também requerer o rebalanceamento da árvore, exigindo uma
ou mais rotações.
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Árvore Binária Balanceada.
Uso em Problemas
Árvores binárias balanceadas podems ser usadas para implementar qualquer
algoritmo que requeira o uso de listas ordenadas mutáveis.
Alguns algoritmos em Geometria Computacional exploram variações dessas
estruturas para resolução de problemas como:
• Intersecção de segmentos de reta (line segment intersection)
• O problema da intersecção dos segmentos de reta nos fornece uma lista
de segmentos de reta no plano e nos pede para determinar se quaisquer
dois deles se intersectam (ou cruzam).
• Formas complexas oriundas de operações booleanas (intersecção, união,
diferença), detecção de colisão em robótica e planejamento de
movimento, visibilidade, oclusão;
• Localização de Ponto (point location)
• Dada uma partição do espaço em regiões disjuntas, determinar a região
onde se encontra um ponto de consulta.
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Árvore Binária Balanceada.
Uso em Problemas
Árvores binárias balanceadas podems ser usadas para implementar qualquer
algoritmo que requeira o uso de listas ordenadas mutáveis.
Alguns algoritmos em Geometria Computacional exploram variações dessas
estruturas para resolução de problemas como:
• Intersecção de segmentos de reta (line segment intersection)
• O problema da intersecção dos segmentos de reta nos fornece uma lista
de segmentos de reta no plano e nos pede para determinar se quaisquer
dois deles se intersectam (ou cruzam).
• Formas complexas oriundas de operações booleanas (intersecção, união,
diferença), detecção de colisão em robótica e planejamento de
movimento, visibilidade, oclusão;
• Localização de Ponto (point location)
• Dada uma partição do espaço em regiões disjuntas, determinar a região
onde se encontra um ponto de consulta.
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Árvore Binária Balanceada.
Uso em Problemas
Árvores binárias balanceadas podems ser usadas para implementar qualquer
algoritmo que requeira o uso de listas ordenadas mutáveis.
Alguns algoritmos em Geometria Computacional exploram variações dessas
estruturas para resolução de problemas como:
• Intersecção de segmentos de reta (line segment intersection)
• O problema da intersecção dos segmentos de reta nos fornece uma lista
de segmentos de reta no plano e nos pede para determinar se quaisquer
dois deles se intersectam (ou cruzam).
• Formas complexas oriundas de operações booleanas (intersecção, união,
diferença), detecção de colisão em robótica e planejamento de
movimento, visibilidade, oclusão;
• Localização de Ponto (point location)
• Dada uma partição do espaço em regiões disjuntas, determinar a região
onde se encontra um ponto de consulta.
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Árvore Binária Balanceada.
Uso em Problemas
Árvores binárias balanceadas podems ser usadas para implementar qualquer
algoritmo que requeira o uso de listas ordenadas mutáveis.
Alguns algoritmos em Geometria Computacional exploram variações dessas
estruturas para resolução de problemas como:
• Intersecção de segmentos de reta (line segment intersection)
• O problema da intersecção dos segmentos de reta nos fornece uma lista
de segmentos de reta no plano e nos pede para determinar se quaisquer
dois deles se intersectam (ou cruzam).
• Formas complexas oriundas de operações booleanas (intersecção, união,
diferença), detecção de colisão em robótica e planejamento de
movimento, visibilidade, oclusão;
• Localização de Ponto (point location)
• Dada uma partição do espaço em regiões disjuntas, determinar a região
onde se encontra um ponto de consulta.
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Árvore Binária Balanceada.
Uso em Problemas
Árvores binárias balanceadas podems ser usadas para implementar qualquer
algoritmo que requeira o uso de listas ordenadas mutáveis.
Alguns algoritmos em Geometria Computacional exploram variações dessas
estruturas para resolução de problemas como:
• Intersecção de segmentos de reta (line segment intersection)
• O problema da intersecção dos segmentos de reta nos fornece uma lista
de segmentos de reta no plano e nos pede para determinar se quaisquer
dois deles se intersectam (ou cruzam).
• Formas complexas oriundas de operações booleanas (intersecção, união,
diferença), detecção de colisão em robótica e planejamento de
movimento, visibilidade, oclusão;
• Localização de Ponto (point location)
• Dada uma partição do espaço em regiões disjuntas, determinar a região
onde se encontra um ponto de consulta.
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Árvore Binária Balanceada.
Uso em Problemas
Árvores binárias balanceadas podems ser usadas para implementar qualquer
algoritmo que requeira o uso de listas ordenadas mutáveis.
Alguns algoritmos em Geometria Computacional exploram variações dessas
estruturas para resolução de problemas como:
• Intersecção de segmentos de reta (line segment intersection)
• O problema da intersecção dos segmentos de reta nos fornece uma lista
de segmentos de reta no plano e nos pede para determinar se quaisquer
dois deles se intersectam (ou cruzam).
• Formas complexas oriundas de operações booleanas (intersecção, união,
diferença), detecção de colisão em robótica e planejamento de
movimento, visibilidade, oclusão;
• Localização de Ponto (point location)
• Dada uma partição do espaço em regiões disjuntas, determinar a região
onde se encontra um ponto de consulta.
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Árvore Binária Balanceada.
Line Segment Intersection Problem
Dada uma lista de segmentos de reta no plano determinar se quaisquer dois deles
se intersectam.
Figura: A forma mais comum e eficiente de resolução deste problema é o usando
a estratégia sweep line algorithm juntamente com uma estrutura do tipo árvore
binária balanceada.
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Árvore Binária Balanceada.
Line Segment Intersection Problem
Dada uma lista de segmentos de reta no plano determinar se quaisquer dois deles
se intersectam.
Figura: A forma mais comum e eficiente de resolução deste problema é o usando
a estratégia sweep line algorithm juntamente com uma estrutura do tipo árvore
binária balanceada.
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Árvore Binária Balanceada.
Point Location Problem
Dada uma partição do espaço em regiões disjuntas, determinar a região onde se
encontra um ponto de consulta.
Figura: O problema de localização de pontos é um tema fundamental na
geometria computacional. Esse problema encontra aplicações em áreas que lidam
com o processamento de dados geométricos: sistemas de informação geográfica
(GIS), planejamento de movimento e desenho assistido por computador (CAD).
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Árvore Binária Balanceada.
Point Location Problem
Dada uma partição do espaço em regiões disjuntas, determinar a região onde se
encontra um ponto de consulta.
Figura: O problema de localização de pontos é um tema fundamental na
geometria computacional. Esse problema encontra aplicações em áreas que lidam
com o processamento de dados geométricos: sistemas de informação geográfica
(GIS), planejamento de movimento e desenho assistido por computador (CAD).
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A Classe Nó Balanceado.
Class Node - Com Fator de Balanceamento
§ ¤
1 /∗ Container that r e p r e s e n t s a node data s t r u c t u r e ∗/
2 c l a s s Node
3 {
4 ObjectData _value ; // v a l u e or key
5 BalanceFactor _ f a c t o r ; // f a c t o r to the b a l a n c i n g
6 Node ∗_r , ∗ _l ; // p o i n t e r s to the r i g h t and l e f t s u b t r e e
7 p u b l i c :
8 /∗ C o n s t r u c t o r ∗/
9 Node ( ObjectData v ) { _value = v ; _r = _l = n u l l ; };
10
11 /∗Method that h a n d l e s the v a l u e of s t o r e d o b j e c t ∗/
12 ObjectData v a l u e ( ) { r e t u r n _value ; };
13 v o i d v a l u e ( ObjectData v ) { _value = v ; };
14
15 /∗Method that h a n d l e s the v a l u e of balance f a c t o r ∗/
16 BalanceFactor f a c t o r ( ) { r e t u r n _ f a c t o r ; };
17 v o i d f a c t o r ( BalanceFactor f ) { _ f a c t o r = f ; };
18
19 /∗Method that h a n d l e s the v a l u e of l e f t and r i g h t p o i n t e r s ∗/
20 Node∗ r i g h t ( ) { r e t u r n _r ; }; v o i d r i g h t ( Node∗ r ) { _r = r ; };
21 Node∗ l e f t ( ) { r e t u r n _l ; }; v o i d l e f t ( Node∗ l ) { _l = l ; };
22
23 /∗Method that v e r i f i e s i f the c u r r e n t node i s a l e a f ∗/
24 bool i s L e a f ( ) { r e t u r n ( _l == n u l l && _r == n u l l ) ; };
25 };
¦ ¥
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A Proto-Classe Binary Tree.
Class Binary Tree
§ ¤
1 /∗ Container that r e p r e s e n t s a b i n a r y t r e e data s t r u c t u r e ∗/
2 c l a s s BinaryTree
3 {
4 Node∗ _root ; // p o i n t e r to the r o o t of t r e e
5 p u b l i c :
6 BinaryTree ( ) { _root = n u l l ; }; // C o n s t r u c t o r
7 Node∗ r o o t ( ) { r e t u r n _root ; }; // Returns a p o i n t e r f o r r o o t
8 bool i n s e r t ( ObjectData v ) ; // I n s e r t s a element i n t r e e
9 bool remove ( ObjectData v ) ; // Removes a element of the t r e e
10 v o i d inOrder ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Navigates u s i n g a s t r u c t u r e ’ i n o r d e r ’
11 v o i d preOrder ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Navigates u s i n g a s t r u c t u r e ’ pre o r d e r ’
12 v o i d postOrder ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Navigates u s i n g a s t r u c t u r e ’ post o r d e r ’
13 ObjectData s m a l l e r ( ) ; // Returns the s m a l l e r element
14 ObjectData b i g g e r ( ) ; // Returns the b i g g e r element
15 Node∗ s u c c e s s o r ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Returns the s u c c e s s o r node
16 long i n t l e v e l ( ObjectData v ) ; // Returns the s t o r a g e l e v e l of a element
17 long i n t h e i g h t ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Returns the h e i g h t of a node
18 long i n t quantityOfNodes ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Quantity of t r e e nodes
19 bool f i n d ( ObjectData v ) ; // Finds a element i n t r e e
20 Node∗ f i n d ( ObjectData v ) ; // Finds a element i n t r e e
21 };
¦ ¥
ObjectData deve implementar os operadores <, >, ==
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A Proto-Classe Binary Tree.
Class Binary Tree
§ ¤
1 /∗ Container that r e p r e s e n t s a b i n a r y t r e e data s t r u c t u r e ∗/
2 c l a s s BinaryTree
3 {
4 Node∗ _root ; // p o i n t e r to the r o o t of t r e e
5 p u b l i c :
6 BinaryTree ( ) { _root = n u l l ; }; // C o n s t r u c t o r
7 Node∗ r o o t ( ) { r e t u r n _root ; }; // Returns a p o i n t e r f o r r o o t
8 bool i n s e r t ( ObjectData v ) ; // I n s e r t s a element i n t r e e
9 bool remove ( ObjectData v ) ; // Removes a element of the t r e e
10 v o i d inOrder ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Navigates u s i n g a s t r u c t u r e ’ i n o r d e r ’
11 v o i d preOrder ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Navigates u s i n g a s t r u c t u r e ’ pre o r d e r ’
12 v o i d postOrder ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Navigates u s i n g a s t r u c t u r e ’ post o r d e r ’
13 ObjectData s m a l l e r ( ) ; // Returns the s m a l l e r element
14 ObjectData b i g g e r ( ) ; // Returns the b i g g e r element
15 Node∗ s u c c e s s o r ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Returns the s u c c e s s o r node
16 long i n t l e v e l ( ObjectData v ) ; // Returns the s t o r a g e l e v e l of a element
17 long i n t h e i g h t ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Returns the h e i g h t of a node
18 long i n t quantityOfNodes ( Node∗ c u r r e n t ) ; // Quantity of t r e e nodes
19 bool f i n d ( ObjectData v ) ; // Finds a element i n t r e e
20 Node∗ f i n d ( ObjectData v ) ; // Finds a element i n t r e e
21 };
¦ ¥
ObjectData deve implementar os operadores <, >, ==
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Comparações Entre Estruturas do Tipo Árvore.
Comparações de Desempenho
O desempenho das operações numa árvore pode ser medido pela
sua altura.
Neste quadro estamos realizando uma comparação entre uma estrutura de árvore
simples sem nenhum mecanismo de balaceamento (Árvore Binária) com outras
duas espécies de árvore (AVL e Rubro-Negra) que possuem algum tipo de
mecanismo de balanceamento intríseco.
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Comparações Entre Estruturas do Tipo Árvore.
Comparações de Desempenho
O desempenho das operações numa árvore pode ser medido pela
sua altura.
Neste quadro estamos realizando uma comparação entre uma estrutura de árvore
simples sem nenhum mecanismo de balaceamento (Árvore Binária) com outras
duas espécies de árvore (AVL e Rubro-Negra) que possuem algum tipo de
mecanismo de balanceamento intríseco.
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Conclusões
Conclusão Sobre a Estrutura de Dados
O que podemos concluir sobre árvores e suas derivações?
• Estrutura de dados de baixa complexidade;
• Boa performance;
• Amplamente utilizada;
• Várias nuances e implementações;
• Empregada em uma miríade de problemas práticos;
• Quando balaceadas são mais rápidas em operações de busca;
• Rebalanceamento pode ser oneroso: inserções e remoções;
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Conclusões
Conclusão Sobre a Estrutura de Dados
O que podemos concluir sobre árvores e suas derivações?
• Estrutura de dados de baixa complexidade;
• Boa performance;
• Amplamente utilizada;
• Várias nuances e implementações;
• Empregada em uma miríade de problemas práticos;
• Quando balaceadas são mais rápidas em operações de busca;
• Rebalanceamento pode ser oneroso: inserções e remoções;
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Conclusões
Conclusão Sobre a Estrutura de Dados
O que podemos concluir sobre árvores e suas derivações?
• Estrutura de dados de baixa complexidade;
• Boa performance;
• Amplamente utilizada;
• Várias nuances e implementações;
• Empregada em uma miríade de problemas práticos;
• Quando balaceadas são mais rápidas em operações de busca;
• Rebalanceamento pode ser oneroso: inserções e remoções;
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Conclusões
Conclusão Sobre a Estrutura de Dados
O que podemos concluir sobre árvores e suas derivações?
• Estrutura de dados de baixa complexidade;
• Boa performance;
• Amplamente utilizada;
• Várias nuances e implementações;
• Empregada em uma miríade de problemas práticos;
• Quando balaceadas são mais rápidas em operações de busca;
• Rebalanceamento pode ser oneroso: inserções e remoções;
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Conclusões
Conclusão Sobre a Estrutura de Dados
O que podemos concluir sobre árvores e suas derivações?
• Estrutura de dados de baixa complexidade;
• Boa performance;
• Amplamente utilizada;
• Várias nuances e implementações;
• Empregada em uma miríade de problemas práticos;
• Quando balaceadas são mais rápidas em operações de busca;
• Rebalanceamento pode ser oneroso: inserções e remoções;
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Conclusões
Conclusão Sobre a Estrutura de Dados
O que podemos concluir sobre árvores e suas derivações?
• Estrutura de dados de baixa complexidade;
• Boa performance;
• Amplamente utilizada;
• Várias nuances e implementações;
• Empregada em uma miríade de problemas práticos;
• Quando balaceadas são mais rápidas em operações de busca;
• Rebalanceamento pode ser oneroso: inserções e remoções;
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Conclusões
Conclusão Sobre a Estrutura de Dados
O que podemos concluir sobre árvores e suas derivações?
• Estrutura de dados de baixa complexidade;
• Boa performance;
• Amplamente utilizada;
• Várias nuances e implementações;
• Empregada em uma miríade de problemas práticos;
• Quando balaceadas são mais rápidas em operações de busca;
• Rebalanceamento pode ser oneroso: inserções e remoções;
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Conclusões
Conclusão Sobre a Estrutura de Dados
O que podemos concluir sobre árvores e suas derivações?
• Estrutura de dados de baixa complexidade;
• Boa performance;
• Amplamente utilizada;
• Várias nuances e implementações;
• Empregada em uma miríade de problemas práticos;
• Quando balaceadas são mais rápidas em operações de busca;
• Rebalanceamento pode ser oneroso: inserções e remoções;
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Conclusões
Conclusão Sobre a Estrutura de Dados
O que podemos concluir sobre árvores e suas derivações?
• Estrutura de dados de baixa complexidade;
• Boa performance;
• Amplamente utilizada;
• Várias nuances e implementações;
• Empregada em uma miríade de problemas práticos;
• Quando balaceadas são mais rápidas em operações de busca;
• Rebalanceamento pode ser oneroso: inserções e remoções;
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Agradecimentos
Grato Pela Atenção!
• Michel Alves - michel.mas@gmail.com
Referências Bibliográficas
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein.
Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001.
ISBN 0-262-03293-7.
Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and
Searching, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89685-0. Section
6.2.3: Balanced Trees, pp.458–481.
Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, and Otfried Schwarzkopf
(2000). Computational Geometry (2nd edition ed.). Springer. ISBN
3-540-65620-0. Chapter 2: Line Segment Intersection, pp.19–44. Chapter 6:
Point location. pp. 121–146.
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