Este documento discute conceitos fundamentais de lógica proposicional e quantificadores. 1) Apresenta exemplos de expressões proposicionais e condições, explicando quantificadores universal e existencial. 2) Discute a tradução entre linguagem natural e simbólica. 3) Aborda propriedades da conjunção e disjunção de condições e as leis de DeMorgan.

1. ESPREITAR OS CONTEÚDOS > 10ºANO > CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS
1.2 CONDIÇÕES E CONJUNTOS
EXPRESSÃO PROPOSICIONAL OU CONDIÇÃO
Exemplo 1
De entre as expressões seguintes indicar as que são condições:
Resposta
São condições: B, C e D.
Exemplo 2
Justifique que substituindo x na condição |x|≥0 por qualquer número real se obtém sempre uma proposição verdadeira.
Resolução
Sabe­se que o valor absoluto de qualquer número real é maior ou igual a zero. Logo, substituindo x por um número real qualquer obtém­se sempre uma proposição verdadeira.
QUANTIFICADOR UNIVERSAL
Símbolo ∀
Proposição em linguagem natural: “todo o número racional é real”
traduzida em linguagem simbólica:
Exemplos
Traduzir em linguagem natural:
a) ∀ x ∈ IN , x ∈IR
b) ∀ x ∈ IR , 3x­1>0
Respostas:
a) todo o número natural é um número real.
b) Qualquer que seja o número real x, diferença entre o triplo de x e um é maior do que zero.
QUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Símbolo ∃
Por exemplo, a condição 3x=1, que se pode transformar numa proposição verdadeira substituindo a variável x por um número, diz­se, em linguagem natural:

2. “Existe pelo menos um número cujo triplo é igual a um.”
Em linguagem simbólica:
Esta proposição é verdadeira se x for substituído por .
Mas, se forem apenas considerados números inteiros relativos, por exemplo, a proposição é falsa. em linguagem natural, diz­se:
“Existe pelo menos um número inteiro relativo cujo triplo é um.”
em linguagem simbólica:
Exemplos
Escrever em linguagem simbólica e dizer se se trata de uma proposição verdadeira ou de uma proposição falsa:
a) Sendo A = {2,3,5,7}, existe pelo menos um elemento do conjunto A que é divisor quarenta e nove;
b) Há pelo menos um número primo par;
c) Algumas figuras são círculos.
Respostas
a) ∃ x∈A:x é divisor de 49. Proposição verdadeira.
b) Seja P o conjunto dos números primos.
∃ x∈P:x é par. Proposição verdadeira.
c) Seja F o conjunto das figuras.
∃ x∈F:x é um círculo. Proposição falsa.
CLASSIFICAÇÃO DE CONDIÇÕES
Exemplo
A proposição ∀ x∈ IR, |x|≥0 é verdadeira, pelo que |x|≥0 é uma condição universal em IR.
Exemplo
∃ x∈ IR: |x|=2 é uma proposição verdadeira, pelo que |x|=2 é uma condição possível em IR.
PROPRIEDADES
Se:
q(x) é uma condição qualquer;
u(x) é uma condição universal;

3. Propriedades da disjunção de condições
Propriedades da conjunção de condições
SEGUNDASLEISDEDEMORGAN
Exemplo 1
Seja T o conjunto de todos os triângulos.
Traduzir em linguagem simbólica cada uma das proposições e a respetiva negação.
a) Todo o triângulo têm ângulos agudos.
b) Não é verdade que todo o triângulo tem ângulos agudos.
Resolução
a) ∀ x ∈ T, x tem ângulos agudos
∃ x∈ T : x não tem ângulos agudos
b) ∃ x∈ T : x não tem ângulos agudos
∀ x ∈ T, x tem ângulos agudos
Exemplo 2
NEGAÇÃO DE UMA CONDIÇÃO
No exemplo anterior a proposição ∀ x ∈ T, x tem ângulos agudos é verdadeira porque a condição “o triângulo tem ângulos agudos é universal” no conjunto dos triângulos e a proposição
∃ x∈ T : x não tem ângulos agudos é falsa uma vez que a condição “o triângulo não tem ângulos agudos” é impossível em T.
NEGAÇÃO DE UMA IMPLICAÇÃO
Na generalidade tem­se :
A proposição ∀ x,p(x)⇒q(x) é falsa se e somente se existir a tal que p(a) é verdadeira e q(a) é falsa.
Negação de uma proposição quantificada num conjunto
Na generalidade:
A proposição é falsa, pois, por exemplo para . Diz­se que é um contrarrecíproco para a proposição
De um modo geral:
Exemplo
Considerar em A={4 , 6 , 7 , 9} a condição:
p(x): x é múltiplo de 5
a) Indicar o valor lógico da proposição ∃ x ∈ A : p(x);
i(x) é uma condição impossível.

4. b) escrever a negação da proposição da alínea anterior;
c) classificar as condições p(x) e ∼p(x).
Resolução
a) a proposição é falsa.
b) ∼[∃ x ∈ A : p(x)] ⇔ ∀ x∈A ,∼ p(x)
c) p(x) é uma condição impossível e ∼p(x) é uma condição universal.
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