H.  Moysés Nussenzveig

CU_RSO DE ,  .
FISICA BASICA
Z-Fluidos

Oscilacões e Ondas
Calor

Cb 3;- edição com 196 problemas¡...
m5Z= -kx-p5c ,  p>0

| X+Yx+wãx=0

(oâ--k/ m ,  Y= p/m>0

_g. u't. °' ; u tunwifico
*Í 
- - t
oo

x= -kx-p5c ,  p>0

àê+yát+wãx=0J

(oã= k/m ,  Y= p/m>0
Se 7/ 2 < (n,  , dizemos que o annortecínnento é subcrítico.  (...
Se 7/ 2 < (o,  , dizemos que o amortecimento é subcritico. 
x( 0) =  xo =  a

íc(0) =  v. ,

x(t) =  e"?  [acos(o)t) + bse...
Se 7/ 2 < (no ,  dizemos que o amoitecimento é subcritico. 

 

(o 2o)

x(t) =  e"?  [xocos(mt) + (E + EQ]SBII((DÍ)J

x(t)...
Se 7/ 2 < (no ,  dizemos que o amortecimento é subcritico. 

0 balanço de energia

m)'c2(t) + l kx2(t)

E(t)= = 2

_1_
2

...
Se 7/ 2 < o),  , dizemos que o amortecimento é subcritico. 

0 balanço de energia

Para amortecimento fraco,7 « (u,  , o f...
Para amortecimento fraco,7 « co. ,
Se 7/ 2 < o),  , dizemos que o amortecimento é subcritico. 

0 balanço de energia

E(t) =  -â-míczü) + à kx2(t)

-4-f= mx5...
fator de mérito ou fator "Q" (=  qualidade) do oscilador

Q =  2K [BRST ia armazenada no oscilador j

Energia dissípada po...
Oscilações forçadas.  Ressonância

Princípio de superposição para equações lineares inomogêneas:  Se x¡ (t) e' solução
par...
Oscilações forçadas.  Ressonância

. . F
x + (oozx =  à c0s(0)t)

A _ "W ? del Fo iu):  dendo
de du-. .z-ç. t.). -.: . fil...
"ncia
ReSSOÚa

.  ~ forçadas'

Oscllaçqcs

+4?)
x(t) : Ac0S(wt

Fo

2
2,03¡
mim? 
O)

(p, ,7t((1)>®_), 
wo)› '
(p, o(0><
Oscilações iorçadas. . Ressonância
(b) Interpretação _fisica

(i) Limite de baixas freqüências,  o) « (ou

Fo
COS (Dt
x m ...
Oscilações iorçadas.  Ressonância
(b) Interpretação _fisica

(ii) Limite de altas feqiiêrzcias,  (o » (op : 

F
x = = - ° ...
Oscilações tomadas. . Ressonância

mx + kx =  F(t) =  Fpcos(o)t)

a solução geral

x(t) =  :JL- cos((ot) + Bcos(a). ,t + (...
Oscilações iorçadas. . Ressonância
(c) Efeito das condições iniciais

x(t)= _ F. , cos(oopt)-cos((ot)
m(o›o+co) coa_- o)
x...
Oscilações forçadas amortecidas

mx + px + kx =  F(t) =  F0cos((ot)

(a) Solução estacionária

((002 + iyw- oo”)z0 : â-
z(...
E'

N
N

Oscilações forçadas amortecidas
mx + px + kx =  F(t) =  F0cos((ot)

Para obter o módulo A e o argumento (p do núm...
Oscilações forçadas amortecidas
mx + px + kx =  F(t) =  F0cos((ot)

(b) Efeitos de ressonância

O caso mais interessante é...
Oscilacões forcadas amortecidas

O caso mais interessante é o do amortecimento fraco,  7 « (Do

n2'[(co0°-a›°)°+7w]
A2(m)=...
Oscilações forçadas amortecidas

F
Ánnx= x4((1)o)=  

7-› O, vemos queAmá,  -› oo
Oscilações forçadas amortecidas

o fator de amplificação produzido pela ressonância

_ãülzàz
A(0) Y Q

é precisamente igua...
Oscilações forçadas amortecidas

Para valores mais baixos de Q, 
o( =  (o/  co. ,
Oscilações forçadas amortecidas

e

exemplo do efeito do termo transiente,  com (o « (oo .  A so-
lução é modulada pelo tr...
Oscilações forçadas amortecidas
O balanço de energia

E = x(mx + kx) = - myx* + F(t)

dt

F(t) =  F(t)x(t)
F(t) = F0cos(u)...
Oscilações forçadas amortecidas
O balanço de energia

É? ? =  x(mx + kx) =  - m7x2 + P(t)
Regime estacionário Í) =  m7?
P:...
Oscilações forçadas amortecidas
O balanço de energia

 

ParaQ» 1
' 'YFoz 1
1300)?  8m *mí*
[(0) - no02 +-]

que é novamen...
Oscilações forçadas amortecidas
O balanço de energia

P(t) =  - mFoAcos(u)t)sen((nt + (p)

13H10):  - (oFoA[cos(psen(mt)co...
Oscilações forçadas amortecidas

O balanço de energia
energia média armazenada no oscilador é

“__l . -5 j_ 2-2
E-2mx+2 mm...
Oscilações forçadas amortecidas

O balanço de energia
- 1
E= zm(m'+o)o2)A2

--eu #a

a energia média dissipada durante um ...
Outros exemplos de oscíladores acoplados

Oscilações longítudínazs: 

a *r z

. ..ago- d--uc-Á

    
 

   
    

ñ TR
: n...
Outros exemplos de osciladores acoplados

Oscilações transversais

   
 

4---- a -----On4-í- o( --›~-, ›_. '4-_'__a

pequ...
Oscilações transversais

F12 sobre a partícula 1 e - Fu sobre a partícula 2,
F12 "z “ To(y1“' yz)/ a

 

To

- 3 [yr + (yr...
Osci ! ações transversais

Os modos normais de vibração

simétrico

 

(002 z To/ Ína

antissimétrico
(l);  2 =  3 To /  m a
Outros exemplos de osciladores acoplados

Estes resultados sobre modos nonnais podem ser generalizados às pequenas oscilaç...
um sistema de 4 partículas idênticas acopladas por molas

4 modos de vibração transversal

 
 

"l =  2 em ordem de freqüê...
um sistema de 4 partículas idênticas acopladas por molas

'quanto maiores os ângulos fonnados pelas molas com
o eixo horiz...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Oscilações Amortecidas e Forçadas

2.088 visualizações

Publicada em

Oscilações Amortecidas e Forçadas

Publicada em: Ciências
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.088
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
7
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
25
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Oscilações Amortecidas e Forçadas

  1. 1. H. Moysés Nussenzveig CU_RSO DE , . FISICA BASICA Z-Fluidos Oscilacões e Ondas Calor Cb 3;- edição com 196 problemas¡ CAPÍTULO 4 - OSCILAÇÕES AMORTECIDAS E FORÇADAS
  2. 2. m5Z= -kx-p5c , p>0 | X+Yx+wãx=0 (oâ--k/ m , Y= p/m>0 _g. u't. °' ; u tunwifico *Í - - t
  3. 3. oo x= -kx-p5c , p>0 àê+yát+wãx=0J (oã= k/m , Y= p/m>0 Se 7/ 2 < (n, , dizemos que o annortecínnento é subcrítico. (D = (DO '- x(t) = e'21' [acos(a)t) + bsen(o)t)] x(t) = Ae'§'cos(mt + (p)
  4. 4. Se 7/ 2 < (o, , dizemos que o amortecimento é subcritico. x( 0) = xo = a íc(0) = v. , x(t) = e"? [acos(o)t) + bsen(o)t)] Ajuste das condições iniciais: jc(t) = - g x(t) + fi' [- coasen(o)t) + cobcos(o)t)] o) 2o) x(t) = e"? [xocos(oat) + [E + &JSGMWÚJ
  5. 5. Se 7/ 2 < (no , dizemos que o amoitecimento é subcritico. (o 2o) x(t) = e"? [xocos(mt) + (E + EQ]SBII((DÍ)J x(t) = Ae'i'cos(o)t + (p)
  6. 6. Se 7/ 2 < (no , dizemos que o amortecimento é subcritico. 0 balanço de energia m)'c2(t) + l kx2(t) E(t)= = 2 _1_ 2 E(t) = âmA2e'7'[[ 'Y + oazsenzuot + (p) + ~ (o - 2sen(mt + (p)cos(cot + qu] Ê. . 2 + Zíjcoszüot + (p) 2 sen[2(oJt + (p)] Para amortecimento fraco,7 « (ou , o fator e ' l' na (4.2 .3) varia muito pouco durante um_período de oscilação (ou mesmo durante vários períodos). Interessa-nos calcular o valor médio E (t) da
  7. 7. Se 7/ 2 < o), , dizemos que o amortecimento é subcritico. 0 balanço de energia Para amortecimento fraco,7 « (u, , o fator e ' l' na (4.2.3) varia muito pouco durante um_período de oscilação (ou mesmo durante vários períodos). Interessa-nos calcular o valor médio E( t) da 2 E(t) = àmA'e'*'[[coã + -iá-jcoszüot + (p) + cozsenzünt + (p) + ã o) - 2sen(o)t + (p)cos((ot + (p)] sen[2(mt+(p)] a: :- íàa _l ___? _____ cos1(oot + (p) = sen'(o)t + (p) = í , sen[2(cot + (p)] = 0 _ E(t) = mwãAzf” = É(o)e-*' 1 2
  8. 8. Para amortecimento fraco,7 « co. ,
  9. 9. Se 7/ 2 < o), , dizemos que o amortecimento é subcritico. 0 balanço de energia E(t) = -â-míczü) + à kx2(t) -4-f= mx5e+kxx= x(m5z+kx) m5õ= -kx-p5c , p>0 %§= -pi2=-m7x2 dí': -'YÊ (Y«0J0) t
  10. 10. fator de mérito ou fator "Q" (= qualidade) do oscilador Q = 2K [BRST ia armazenada no oscilador j Energia dissípada por ciclo AÍ: = *a É ' T = 'YÊT um intervalo de tempo A T = 'r Q:27[Ê/ AÊ:2°E=9' : ZTCE-¡r/ Í 'YT 'Y Quanto maior o fator Q, menor o amortecimento por oscilação.
  11. 11. Oscilações forçadas. Ressonância Princípio de superposição para equações lineares inomogêneas: Se x¡ (t) e' solução para o 2.” membro (termo inomogêneo) F, (t) , e x, (t) para o 2.° membro F¡(t), então x(t) = ax. (t) + bxz(t) ésoluçãopara o 2.°membroF(t) = aF, (t) + bF, (t) . A veri- ñcação a partir da (3.2.12) é imediata. | F(t) = Focos((ot)| mji + kx = F(t) = Fpcos((ot) . . F x + 0302)( = É' c0s(0Jt) A (4.3.4) é uma equação diferencial de 2.” ordem inomogênea (cf. (3.112)), ou seja, não vale mais a (3.2.l3). Por conseguinte, o princípio de superposição sob a forma da Seç 3.2 não é mais válido: se x, (t) e x2 (t) são soluções, não é mais verdade que a combinação linear (3.2.14) é solução. Entretanto, o princípio continua valendo no seguinte sentido:
  12. 12. Oscilações forçadas. Ressonância . . F x + (oozx = à c0s(0)t) A _ "W ? del Fo iu): dendo de du-. .z-ç. t.). -.: . filme. ..” , access z ( t _ 2 2 e : emos a solução geral da equação homogên m ( (DO _ u) ) tantes arbipiw"" - -›--»'›-J~ ~~' ~~ ~ › a e ' - obter un. - . nlmz- . .-uu-MAM A. . --. .,. ,.: ,. 3.91110_ 85113 F0 z A e "'91 obtém- A _ Fo ação hom( 2 2 ' ino _ 2 2 m ( (eo - (o ) "mg m | ooo - o. ) | <P=0(0><0Jo) , <o= -tt(w>qtnctg)m x(t) = Aeos((ot + (p)
  13. 13. "ncia ReSSOÚa . ~ forçadas' Oscllaçqcs +4?) x(t) : Ac0S(wt Fo 2 2,03¡ mim? O) (p, ,7t((1)>®_), wo)› ' (p, o(0><
  14. 14. Oscilações iorçadas. . Ressonância (b) Interpretação _fisica (i) Limite de baixas freqüências, o) « (ou Fo COS (Dt x m m, ( › o deslocamento é no mesmo sentido da força externa (cp = O) o movimento é dominado pela força - - restauradora, ll limite de equilíbrio estático (co -a O)
  15. 15. Oscilações iorçadas. Ressonância (b) Interpretação _fisica (ii) Limite de altas feqiiêrzcias, (o » (op : F x = = - ° 2 cos((ot) m (D o deslocamento está em oposição de fase com a força externa( (p = - 712 ) o movimento e' dominado pela inércia.
  16. 16. Oscilações tomadas. . Ressonância mx + kx = F(t) = Fpcos(o)t) a solução geral x(t) = :JL- cos((ot) + Bcos(a). ,t + (po) m ( mp2 - (oz) (c) Efeito das condições iniciais* x(0) = o, x(o) : o B= ____L (P020 F. , cos((0ot)-c0s((ot) (np-co
  17. 17. Oscilações iorçadas. . Ressonância (c) Efeito das condições iniciais x(t)= _ F. , cos(oopt)-cos((ot) m(o›o+co) coa_- o) x(t) a lim (1) -> (0o x(t)= F” tsen((n, t) "*. .__ ç 2mm( Vij- e I A: FOÍCZMNQEE* l
  18. 18. Oscilações forçadas amortecidas mx + px + kx = F(t) = F0cos((ot) (a) Solução estacionária ((002 + iyw- oo”)z0 : â- z(t) = Ae'i(°"+"') onde Aeitpzzo: 2 F02 ' m((o0 - (1) + 170))
  19. 19. E' N N Oscilações forçadas amortecidas mx + px + kx = F(t) = F0cos((ot) Para obter o módulo A e o argumento (p do número complexo 20 F0/ m = r¡ (real) % r¡ 92 2-(o2+i70)= r0e¡ _ onde r, :xl (o›01-(o2)'+ 72m* , tg90=7(1)/ ((002- coz). Logo, Zi 20 = 1 Zz e í . uu-n (DO rg F2 A: = (m) m Maxi-w) +700] -I 70° <P(0J)= -tg 'É x(t) = Rez(t) = A((o)cos[(ot + (pi(0))] 491
  20. 20. Oscilações forçadas amortecidas mx + px + kx = F(t) = F0cos((ot) (b) Efeitos de ressonância O caso mais interessante é o do amortecimento fraco, 7 « m0 | o)-(o0|«o)o 2 m» -0>“= (ioa0+w)(u›0-w)=2<n0(u›p-w) =7w=7(mo+w-o›p)=7<no
  21. 21. Oscilacões forcadas amortecidas O caso mais interessante é o do amortecimento fraco, 7 « (Do n2'[(co0°-a›°)°+7w] A2(m)= (25o 7 1 2 “ um-or+%1 m(w)= -tg"[%2Y: °mz] w z_t -l Y cp( ) e [HMHM]
  22. 22. Oscilações forçadas amortecidas F Ánnx= x4((1)o)= 7-› O, vemos queAmá, -› oo
  23. 23. Oscilações forçadas amortecidas o fator de amplificação produzido pela ressonância _ãülzàz A(0) Y Q é precisamente igual ao fator Q do oscilador A (u) ou seja, a semílargura do pico de ressonância nas oscilações forçadas é o inverso do tempo de decaimento das oscilações livres. Esta relação extremamente importante é válida para qualquer ressonância estreita (amortecimento fraco), ou seja, para Q »1.
  24. 24. Oscilações forçadas amortecidas Para valores mais baixos de Q, o( = (o/ co. ,
  25. 25. Oscilações forçadas amortecidas e exemplo do efeito do termo transiente, com (o « (oo . A so- lução é modulada pelo transiente, para tempos curtos, e se apro- xima da solução estacionária para t » T4 . segucãx _asiaoícmoifvíà
  26. 26. Oscilações forçadas amortecidas O balanço de energia E = x(mx + kx) = - myx* + F(t) dt F(t) = F(t)x(t) F(t) = F0cos(u)t) x(t) = Acos(o)t+ (p) P(t) = - (oF0Acos((ot)sen((ot + (p) Regime estacionário iii-If = m(0J02 - w')xx= mco(coz - oo0”)A2x sen(0)t + (p) cos(o)t'+ (p) l -2- sen[2((ut + (p)]
  27. 27. Oscilações forçadas amortecidas O balanço de energia É? ? = x(mx + kx) = - m7x2 + P(t) Regime estacionário Í) = m7? P: (MA: sen2((0t + (p) = à_ 002/12 I . .YFOZOJI No) = í 7mm2A2 = _ 0x2)2 + Ylwl]
  28. 28. Oscilações forçadas amortecidas O balanço de energia ParaQ» 1 ' 'YFoz 1 1300)? 8m *mí* [(0) - no02 +-] que é novamente um pico de ressonância da forma (4.4.10), representado na ñg. da pg. 83, Na ótica, uma curva de ressonância deste tipo é conhecida como um pico Lorentziano; na fisica nuclear, chama-se um pico de Breit-Wigner.
  29. 29. Oscilações forçadas amortecidas O balanço de energia P(t) = - mFoAcos(u)t)sen((nt + (p) 13H10): - (oFoA[cos(psen(mt)cos(wt) + sen(pcos2((ot)] = o <- cf. (4.2.5) _› = 1/ 2 * 9 P(u)) = 2 FoAsenq) 0 fator I sencp | , que relaciona a potência média fomecída pela força extema com a defasagem (p entre o deslocamento x(t) e a força extema, chama-se fator de potência. Temos - 7: S (p S O, e P é máximo na ressonância, quando (p = - Tt/ 2 .
  30. 30. Oscilações forçadas amortecidas O balanço de energia energia média armazenada no oscilador é “__l . -5 j_ 2-2 E-2mx+2 mma x ; =A2cos2((ot+(p)= àA2 X7: (02,4: sen2(0)t+ (p) : à-(DZA: Ê= âm(m”+ux2)A2 , . . , . . . 2 - - onde o temo em co' provem da energia cmetica media e o termo em (oo da energia potencial média; na ressonância, as duas contribuem igualmente.
  31. 31. Oscilações forçadas amortecidas O balanço de energia - 1 E= zm(m'+o)o2)A2 --eu #a a energia média dissipada durante um período de oscilação 'c é na ressonância (o) = (na) , obtemos Q = (no/ y para oscilações livres.
  32. 32. Outros exemplos de oscíladores acoplados Oscilações longítudínazs: a *r z . ..ago- d--uc-Á ñ TR : nqodo Silnétrico IHOÓO (anÚSSllTléÍrlCO: 1 . .l-x 4-22:: Édm. _deck-HE ÉAnQJiÊ (4-4444 j = ='”'°'«›= x - x x' = *x2 ' 2 = - kx. - 2kx. = - 3kx¡ coa( = k/ m (oi e 3k/ g_m -. ~ 3o)? ,
  33. 33. Outros exemplos de osciladores acoplados Oscilações transversais 4---- a -----On4-í- o( --›~-, ›_. '4-_'__a pequenas oscilações transversais a mola da esquerda exerce sobre a partícula l a força restauradora vertical F1: -Tosenü z - TOtgG. = - Toyi/ a a mola da extrema direita exerce sobre a partícula 2 a força restauradora F2=-ToÍg92=- oyz/ a
  34. 34. Oscilações transversais F12 sobre a partícula 1 e - Fu sobre a partícula 2, F12 "z “ To(y1“' yz)/ a To - 3 [yr + (yr -y2)] To -3 [ya - (y: -y2)] ã *S u 31 + à” u 3 É? n É? + É” u
  35. 35. Osci ! ações transversais Os modos normais de vibração simétrico (002 z To/ Ína antissimétrico (l); 2 = 3 To / m a
  36. 36. Outros exemplos de osciladores acoplados Estes resultados sobre modos nonnais podem ser generalizados às pequenas oscilações em tomo de equilibrio estável de um sistema com um número qualquer de partículas acopladas. Um sistema comtN graus de liberdade tem N modos normais de vibração, cada um deles associado a uma freqüência de oscilação comum de todas as partículas. A , solução geral é a superposição de todos os modos normais. l Assím, para2pa' . .n. o. . c. nnrono* ocar-see1n3dimensões, há6graus V corresondem aos modos lonitudinais a pg. 92 (direção x) e 4 aos modos transversais 2 na direção que acabamos de considerar, e 2 na direção z).
  37. 37. um sistema de 4 partículas idênticas acopladas por molas 4 modos de vibração transversal "l = 2 em ordem de freqüência crescente. quanto maiores os ângulos fonnados pelas molas com o eixo horizontal, maior a força restauradora por unidade de des- locamento e massa o ue 'ustiñca a afirma ão › q J
  38. 38. um sistema de 4 partículas idênticas acopladas por molas 'quanto maiores os ângulos fonnados pelas molas com o eixo horizontal, maior a força restauradora por unidade de des- locamento e massa, o que justifica a afirmação F. = -ÍILSenB = = - Totgô. - - Tuga/ a F2 z "Totgez = " Toyz/ a

×