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Sistemas de Numeração

Introdução aos sistemas de numeração. Numeração decimal, binária e hexadecimal. Conversões.

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Sistemas de Numera¸˜o
                  ca

Alberto Manuel Brand˜o Sim˜es
                    a     o
 alberto.simoes@eu.ipp.pt


    6 de Outubro de 2009




    Alberto Sim˜es
               o     Sistemas de Numera¸˜o
                                       ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
                 ca

          Porque usamos dez algarismos?




                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
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                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
Sistema de Numera¸˜o Decimal
                 ca




  Como conseguimos contar mais de 10 objectos?




                 Alberto Sim˜es
                            o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                    ca
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   S´ temos 10 digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
    o




                  Alberto Sim˜es
                             o     Sistemas de Numera¸˜o
                                                     ca
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    o

         Solu¸˜o: realizamos combina¸˜es...
             ca                     co




                  Alberto Sim˜es
                             o     Sistemas de Numera¸˜o
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  • 24. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Como contar mais de dois objectos com dois d´ ıgitos? Realizar combina¸˜es... co 1000 = 810 1001 = 910 100 = 410 1010 = 1010 0 = 010 10 = 210 101 = 510 1011 = 1110 1 = 110 11 = 310 110 = 610 1100 = 1210 111 = 710 1101 = 1310 1110 = 1410 1111 = 1510 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 25. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Descodifica¸˜o ca Como converter rapidamente bin´rio em decimal? a Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 26. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Descodifica¸˜o ca Como converter rapidamente bin´rio em decimal? a Aprender com o formato decimal... 935610 = 9 × 103 + 3 × 102 + 5 × 101 + 6 × 100 9000 + 300 + 50 + 6 = 935610 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 27. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Descodifica¸˜o ca Como converter rapidamente bin´rio em decimal? a Aprender com o formato decimal... 935610 = 9 × 103 + 3 × 102 + 5 × 101 + 6 × 100 9000 + 300 + 50 + 6 = 935610 E aplicar no novo sistema de numera¸˜o... ca 11012 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 8 + 4 + 1 = 1310 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 28. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o ca Como converter decimal em bin´rio? a 431 2 31 215 11 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 29. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o ca Como converter decimal em bin´rio? a 431 2 31 215 2 11 15 107 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 30. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o ca Como converter decimal em bin´rio? a 431 2 31 215 2 11 15 107 2 1 1 7 53 2 1 13 26 2 1 6 13 2 0 1 6 2 0 3 2 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 31. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o ca Como converter decimal em bin´rio? a 431 2 31 215 2 11 15 107 2 1 1 7 53 2 1 13 26 2 1 6 13 2 0 1 6 2 0 3 2 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 32. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o ca Como converter decimal em bin´rio? a 431 2 31 215 2 11 15 107 2 1 1 7 53 2 1 13 26 2 1 6 13 2 0 1 6 2 0 3 2 1 1 110101111 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 33. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 0 + 1 0 1 1 ? ? ? ? Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 34. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 0 + 1 0 1 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 35. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 1 0 + 1 0 1 1 0 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 36. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 1 1 0 + 1 0 1 1 0 0 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 37. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 1 1 1 0 + 1 0 1 1 1 0 0 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 38. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Adi¸˜o ca 1 1 1 1 1 1 0 + 1 0 1 1 1 1 0 0 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 39. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Subtrac¸˜o ca 1 1 1 0 – 1 0 1 1 ? ? ? ? Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 40. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Subtrac¸˜o ca * 1 1 1 0 – 1 0 1 1 ? ? ? 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 41. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Subtrac¸˜o ca * * 1 1 1 0 – 1 0 1 1 ? ? 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 42. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Subtrac¸˜o ca * * 1 1 1 0 – 1 0 1 1 ? 0 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 43. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Subtrac¸˜o ca * * 1 1 1 0 – 1 0 1 1 0 0 1 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 44. Bits e Bytes A unidade m´ ınima de informa¸˜o ´ o bit: ca e armazena um 0 ou 1 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 45. Bits e Bytes A unidade m´ ınima de informa¸˜o ´ o bit: ca e armazena um 0 ou 1 Um byte corresponde a: n´mero m´ u ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto a de instru¸˜es de um processador; co espa¸o m´ c ınimo endere¸avel num computador; c Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 46. Bits e Bytes A unidade m´ ınima de informa¸˜o ´ o bit: ca e armazena um 0 ou 1 Um byte corresponde a: n´mero m´ u ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto a de instru¸˜es de um processador; co espa¸o m´ c ınimo endere¸avel num computador; c embora tenha tomado muitos tamanhos, actualmente ´ e indiscut´ a sua associa¸˜o a uma sequˆncia de 8 bits. ıvel ca e Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 47. Bits e Bytes A unidade m´ ınima de informa¸˜o ´ o bit: ca e armazena um 0 ou 1 Um byte corresponde a: n´mero m´ u ınimo de bits necess´rios para armazenar o conjunto a de instru¸˜es de um processador; co espa¸o m´ c ınimo endere¸avel num computador; c embora tenha tomado muitos tamanhos, actualmente ´ e indiscut´ a sua associa¸˜o a uma sequˆncia de 8 bits. ıvel ca e um byte consegue armazenar 256 valores diferentes (28 ). Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 48. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 49. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 50. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e usar o sistema decimal n˜o ajuda: a convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata; a a a e a convers˜o tem de ser feita como um todo; a Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 51. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e usar o sistema decimal n˜o ajuda: a convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata; a a a e a convers˜o tem de ser feita como um todo; a solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base ca ca m´ltipla de 2: u Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 52. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e usar o sistema decimal n˜o ajuda: a convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata; a a a e a convers˜o tem de ser feita como um todo; a solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base ca ca m´ltipla de 2: u numera¸˜o octal (base 8); ca Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 53. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e usar o sistema decimal n˜o ajuda: a convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata; a a a e a convers˜o tem de ser feita como um todo; a solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base ca ca m´ltipla de 2: u numera¸˜o octal (base 8); ca numera¸˜o hexadecimal (base 16); ca Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 54. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Embora os computadores usem o sistema bin´rio internamente, a raramente queremos representar o conte´do de um unico bit; u ´ habitualmente queremos representar o conte´do de um byte; u ou mesmo de v´rios... a andar com 8 ou mais d´ ıgitos ´ cansativo e sujeito a erros; e usar o sistema decimal n˜o ajuda: a convers˜o bin´ria para decimal n˜o ´ imediata; a a a e a convers˜o tem de ser feita como um todo; a solu¸˜o: usar um sistema de numera¸˜o com uma base ca ca m´ltipla de 2: u numera¸˜o octal (base 8); ca numera¸˜o hexadecimal (base 16); ca numera¸˜o com base 64; ca Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 55. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 56. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 57. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca 0 10 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9 19 A 1A B 1B C 1C D 1D E 1E F 1F Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 58. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca 0 10 20 1 11 21 2 12 22 3 13 23 4 14 24 5 15 25 6 16 26 7 17 27 8 18 28 9 19 29 A 1A 2A B 1B 2B C 1C 2C D 1D 2D E 1E 2E F 1F 2F Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 59. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca 016 = 010 1016 = 1610 2016 = 3210 116 = 110 1116 = 1710 2116 = 3310 216 = 210 1216 = 1810 2216 = 3410 316 = 310 1316 = 1910 2316 = 3510 416 = 410 1416 = 2010 2416 = 3610 516 = 510 1516 = 2110 2516 = 3710 616 = 610 1616 = 2210 2616 = 3810 716 = 710 1716 = 2310 2716 = 3910 816 = 810 1816 = 2410 2816 = 4010 916 = 910 1916 = 2510 2916 = 4110 A16 = 1010 1A16 = 2610 2A16 = 4210 B16 = 1110 1B16 = 2710 2B16 = 4310 C16 = 1210 1C16 = 2810 2C16 = 4410 D16 = 1310 1D16 = 2910 2D16 = 4510 E16 = 1410 1E16 = 3010 2E16 = 4610 F16 = 1510 1F16 = 3110 2F16 = 4710 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 60. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o / Descodifica¸˜o ca ca Como converter hexadecimal em decimal? fazer o que ja faz´ ıamos com o bin´rio: a DEAD16 = D × 163 + E × 162 + A × 161 + D × 160 = 13 × 163 + 14 × 162 + 10 × 16 + 13 × 1 = 13 × 4096 + 14 × 256 + 10 × 16 + 13 = 53248 + 3584 + 160 + 13 = 57005 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 61. Sistema de Numera¸˜o Bin´ria ca a Codifica¸˜o / Descodifica¸˜o ca ca Como converter hexadecimal em decimal? fazer o que ja faz´ ıamos com o bin´rio: a DEAD16 = D × 163 + E × 162 + A × 161 + D × 160 = 13 × 163 + 14 × 162 + 10 × 16 + 13 × 1 = 13 × 4096 + 14 × 256 + 10 × 16 + 13 = 53248 + 3584 + 160 + 13 = 57005 Como converter decimal em hexadecimal? realizar divis˜es sucessivas por 16... o Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 62. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de a forma muito simples: 1101011000011100 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 63. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de a forma muito simples: 1101 0110 0001 1100 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 64. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca O sistema hexadecimal pode ser convertido do e para o bin´rio de a forma muito simples: 1101 0110 0001 1100 ⇓ D61C Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 65. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Usos t´ ıpicos: cores RGB em HTML: #4F980A Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 66. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Usos t´ ıpicos: cores RGB em HTML: #4F980A 4F = 79 em 256 de RED (30%) Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 67. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Usos t´ ıpicos: cores RGB em HTML: #4F980A 4F = 79 em 256 de RED (30%) 98 = 152 em 256 de GREEN (59%) Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 68. Sistema de Numera¸˜o Hexadecimal ca Usos t´ ıpicos: cores RGB em HTML: #4F980A 4F = 79 em 256 de RED (30%) 98 = 152 em 256 de GREEN (59%) 0A = 10 em 256 de BLUE (4%) Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca
  • 69. Sistema de Numera¸˜o com Base 64 ca A64 = 010 Q64 = 1610 g64 = 3210 w64 = 4810 B64 = 110 R64 = 1710 h64 = 3310 x64 = 4910 C64 = 210 S64 = 1810 i64 = 3410 y64 = 5010 D64 = 310 T64 = 1910 j64 = 3510 z64 = 5110 E64 = 410 U64 = 2010 k64 = 3610 064 = 5210 F64 = 510 V64 = 2110 l64 = 3710 164 = 5310 G64 = 610 W64 = 2210 m64 = 3810 264 = 5410 H64 = 710 X64 = 2310 n64 = 3910 364 = 5510 I64 = 810 Y64 = 2410 o64 = 4010 464 = 5610 J64 = 910 Z64 = 2510 p64 = 4110 564 = 5710 K64 = 1010 a64 = 2610 q64 = 4210 664 = 5810 L64 = 1110 b64 = 2710 r64 = 4310 764 = 5910 M64 = 1210 c64 = 2810 s64 = 4410 864 = 6010 N64 = 1310 d64 = 2910 t64 = 4510 964 = 6110 O64 = 1410 e64 = 3010 u64 = 4610 +64 = 6210 P64 = 1510 f64 = 3110 v64 = 4710 /64 = 6310 Alberto Sim˜es o Sistemas de Numera¸˜o ca