O documento descreve cálculos de volumes para prismas, pirâmides e outros sólidos utilizados em topografia e movimento de terras. Inclui fórmulas para calcular volumes de prisma, pirâmide e métodos como alturas ponderadas e superfícies equidistantes. Explica também cálculos de áreas de secções transversais para terrenos nivelados, inclinados e irregulares.

1. Topografia
Movimento de Terras
Centro de Formação Profissional de Portalegre
Curso de Técnicos de Topografia
Formador: Tiago Póvoas
Fevereiro de 2008

2. Cálculo de volume de prismas e
sólidos
• Os cálculos que serão vistos estarão baseados no
conceito de volumes de prisma.
• Considerando dois planos α e β paralelos, um
polígono P contido num deles e uma recta r
concorrente com os dois.
• Chamamos de prisma à reunião de todos os
segmentos paralelos a r, com extremidades no
polígono P e no outro plano. A distância entre as
bases é denominada altura ( h ) do prisma.

3. Prisma

4. Prismas sólidos
• Os prismas podem ser rectos, quando as
arestas laterais são perpendiculares às bases,
ou caso contrário, oblíquos. O volume de
um prisma será igual ao produto da área da
base pela sua altura.
• V = Sb . h

5. Exercício

6. Volume de sólidos
• Até aqui vimos como calcular o volume de
prismas. Vejamos como calcular o volume
de outros sólidos. Um sólido será
classificado como prisma se as suas bases
forem paralelas e iguais e os seus lados
paralelogramos.
• Como calcular o volume de alguns sólidos,
iniciando com uma pirâmide. O volume é a
terça parte do volume de um prisma regular
com a mesma base que a da pirâmide.

11. Exercício
• Calcular o volume de um marco para fins da
Geodesia. As dimensões são dadas na
figura.

12. Resolução

13. • Volume do marco = VA – VB
• VA – volume da pirâmide maior
• VB – volume da pirâmide menor
• Volume do marco = VA – VB
• Volume do marco = 0,072 –0,00266
• Volume do marco = 0,0693 m3
• Aplicando directamente a fórmula para cálculo de volume de
tronco de pirâmides mostrada anteriormente, chega-se a um
volume de 0,00693 m3.

14. Curiosidades

15. Cálculo de volume em topografia
Método das alturas ponderadas
• Este método baseia-se na decomposição de sólidos. Estes
sólidos são normalmente de base quadrada ou triangular.
• Este método é utilizado em escavações, podendo no
entanto também ser aplicado a volume de barragens e
outras obras.
• Para realizar o cálculo do volume vamos fazer a seguinte
consideração: imaginemos um sólido de base quadrada e
área igual a Q e arestas verticais com alturas Z1, Z2, Z3 e
Z4. O volume deste sólido será dado pelo produto da área
da base pela média das alturas das arestas, conforme
mostra a equação seguinte.

17. • Na prática o terreno é dividido numa malha
regular e cada ponto desta malha tem a sua
cota calculada. Então é definida a cota de
escavação, ou seja a cota a que o terreno
deverá ficar após a retirada do material. A
partir destas informações é possível calcular as
alturas dos sólidos para o cálculo do volume.
• Vamos imaginar que queremos calcular o volume de
corte de um terreno hipotético de 10x10m, cujas cotas
dos cantos são dadas. Num primeiro momento
queremos calcular o volume de corte necessário para
deixar o terreno plano na cota 85m e depois 84m.

18. • No primeiro caso vamos ter que calcular o volume
de um sólido.
• Observe-se que para o ponto A o sólido terá uma
aresta igual a 2m, resultado da diferença entre a
cota do ponto A no terreno (87m) e a cota do
plano em que vai ficar o terreno (85m). Para os
restantes pontos o raciocínio é o mesmo para a
determinação das alturas das arestas do sólido.
Para o primeiro caso o volume de escavação será
de 225m3 e para o segundo de 325m3.

19. Para uma malha de pontos podemos calcular o volume de cada célula da
malha e depois somar todos os volumes.

20. • Para a determinação da malha no terreno
procederemos da seguinte forma:
• A primeira etapa é a quadriculação do terreno. Esta
etapa pode ser realizada com auxílio de um
instrumento como teodolito ou estação total. No
exemplo da figura os pontos da malha foram
materializados por estacas.
• Depois faz-se a determinação das cotas ou altitudes
dos pontos, através de algum método de
nivelamento .
• Finalmente após a escavação teremos o terreno na
forma requerida pelo projecto.

22. • Nalguns casos pode ser necessário que o volume
de corte seja igual ao volume de aterro.
Imaginemos que calculamos para o sólido
formado pelas cotas A, B, C e D, o volume de
corte para uma determinada cota de escavação.
Agora queremos calcular qual seria a cota para a
qual o volume de corte seja igual ao volume de
aterro (esta cota tem um nome específico: cota de
passagem – Cp). Neste caso o volume do sólido
A,B,C e D tem que ser igual ao volume final do
paralelogramo formado. Assim, como a área da
base e o volume são os mesmos para ambos os
casos, o que vai mudar é cota de escavação.

24. • Então para uma cota de escavação Co
encontramos um volume Vo. Agora queremos
calcular um valor de cota de passagem (Cp) para
qual o volume de corte compensaria o volume de
aterro.
• Vo = S . h
• onde S = área da base
• h = Vo / S
• Este valor de h está referenciado ao plano de cota
Co, então o valor final da cota de passagem será:
• Cp = Co + h
• Cp = Co + Vo/S

25. • Podemos também, utilizar uma malha
triangular para efectuar o cálculo do
volume, conforme mostra a figura abaixo,
aonde a área total foi dividida em 8
triângulos.
• Como todos os triângulos possuem a mesma
área vamos chamar esta malha de malha
triangular regular.

27. • O princípio de cálculo será o mesmo
utilizado anteriormente, somente que agora
com sólidos triangulares.

28. Superfícies equidistantes
• Actualmente ainda se apresentam uma
metodologia de cálculo chamada de
Superfícies Equidistantes, que na realidade
segue o mesmo princípio do cálculo do
método das secções transversais, porém
agora em vez de trabalharmos com secções
verticais, utilizaremos secções horizontais.
A fórmula para cálculo é a seguinte:
onde n é o número de seções.

29. • Um exemplo de aplicação é o cálculo de
volume de água em reservatórios de
barragens, onde as superfícies paralelas são
representadas pelas curvas de nível.
• Exemplo:
• Calcular para as curvas de nível dadas abaixo, o
volume definido entre as curvas 5 e 15m.

30. • O valor de “d” será a equidistância entre as
curvas de nível.

31. Exemplo Práctico
• Foi projectada uma Barragem entre os
pontos A e B, indicados no mapa abaixo.
Sabendo que a cota de inundação será
112m, calcular o volume de água a ser
represada pela barragem. As unidades do
mapa estão em metros.

33. • A primeira etapa é marcar a posição da
barragem sobre o mapa. Sabendo-se que a
cota de inundação é 112m, então tudo que
estiver compreendido entre a curva de nível
de cota 112m e abaixo desta cota será
inundado. Para calcular o volume de
inundação temos que determinar qual é a
área que cada curva de nível define em
relação a barragem.

34. • Esta área pode ser determinada com planímetro ou utilizando-se algum programa CAD.

36. • Os valores das áreas, determinados via
programa CAD.

37. • Aplicando-se o método das secções
transversais, onde o espaçamento entre cada
secção neste caso é a equidistância entre as
curvas de nível (2 m), teremos:

38. • A figura a seguir representa em 3D a área a
ser represada.

39. Perfis
• Perfis Longitudinais
• Ao longo do eixo de projecto
• Perfis Transversais
• Espaçados e colocados de tal forma que, entre
dois perfis consecutivos, seja possível
determinar secções médias

40. Áreas de Secções Transversais
• Uma área de secção transversal reflecte o
movimento de terras previsto na
implantação do projecto
• As secções pode ser:
• De Escavação – só há remoção de terras
• De Aterro – apenas são colocadas terras
• Mistas – existe uma parte de escavação e outra
de aterro

41. Áreas de Secções Transversais
• Quanto à inclinação do terreno natural:
• Terreno nivelado (plano e horizontal)
• Terreno inclinado (plano, não horizontal)
• Terreno irregular

42. Secções em terreno nivelado
•Altura (h) – diferença de cotas entre o
terreno natural e a rasante de projecto
•Amplitude (b) – Largura da plataforma da
obra
•Abertura (W) – Largura da escavação ou da
base do aterro
•Inclinação (m) – Projecção horizontal
correspondente a um metro de diferença de
cota (cotangente da inclinação).

43. Secções em terreno nivelado
• Relação entre os elementos:
• W=(b/2)+mh
• Área da secção 1
• A= h(b+mh)
m
E
ixo
A
B
C
W1 W2
h
b
E
ixo
A
B
C
W1 W2
h
b

44. Secções em terreno inclinado
• Inclinação do terreno (K)
Projecção horizontal correspondente a um
metro de diferença de cota do terreno
(cotangente)
1
K

45. Secções em terreno inclinado
E
ixo
W1
W2 A
B
C
h
C1
F G
E
A1
E
ixo
W1
W2
A
B
C h
C1
F
G
E
A1
D

46. Secções em terreno inclinado
 
K
W
h
d
elevado
menos
Lado
K
W
h
d
elevado
mais
Lado
b
w
w
mh
b
m
A
m
K
K
mh
b
W
m
K
K
mh
b
W
AE
CE
2
1
2
2
1
2
1
:
:
2
2
2
1
2
2



















































47. Secção de escavação e de aterro
ha
A
L F
B D
C
G
hb
b2 b2
W
1 W
2
h

48. Secção de escavação e de aterro
• Coeficiente n – inclinação da escavação
• Coeficiente m – inclinação do aterro
• Áreas de aterro e de escavação vêm dadas por:
• Se ocorrer o inverso, ou seja, se antes do aterro
ocorrer uma escavação, as áreas são dadas por:






























m
K
K
mh
b
W
n
K
K
nh
b
W
2
2
2
1
n
K
Kh
b
A
m
K
kh
b
A e
A


















2
2
2
2
1
2
2
1
n
K
Kh
b
A
m
K
kh
b
A e
A


















2
2
2
2
1
2
2
1

49. Secção em terreno irregular
C
F
E D
A
B
C1
W1
W2
h

50. Secção em terreno irregular
• Neste tipo de secções há dois tipos de declives:
- K, para o lado inferior
- l, para o lado superior
Se o declive mudar fora eixo do projecto, então:
A Área virá:






























m
l
l
mh
b
W
m
K
K
mh
b
W
2
2
2
1















m
l
l
mh
b
W
2
2
  















2
2
2
1 2
2
1
b
b
mh
w
w
m
AA

51. Cálculo de Volume
• Volume pela média das secções
- Produto das Média das áreas pela distância (L) entre duas
secções
- Este princípio pode ser aplicado:
-Se todas as secções são de escavação ou aterro
-Se as distâncias entre as secções diferem pouco umas das outras
Fora destas condições o cálculo não é, em geral
suficiente correcto
L
n
A
A
A
A
A
V n
n
.
... 1
3
2
1 




 

52. Cálculo de Volume
• Volume pelas secções extremas
• A secção média é próxima da média das duas secções
extremas
• L é a distância entre as duas secções
• Pode ser utilizada para secções próximas ou com
poucas diferenças em termos de geometria
• Fórmula Trapezoidal
2
2
1 A
A
L
V


...
2
)
(
2
)
(
2
)
( 4
3
3
3
2
2
2
1
1







 
A
A
L
A
A
L
A
A
L
V
VT

53. Cálculo de Volume
• Volume Prismoidal
- Prismóide
Sólido cujas bases são paralelas, podendo cada uma
possuir uma forma geométrica diferente
- Fórmula Prismoidal
M é a área da secção média
- Regra de Simpson para volumes (n ímpar)
)
4
(
6
2
1 A
M
A
D
V 


)
4
2
...
4
2
4
(
3
1
2
4
3
2
1 n
n
n A
A
A
A
A
A
A
L
V 






 


54. Correcção Prismoidal
Estas correcções aplicam-se portanto quando o
terreno não é nivelado.
- Correcção para o terreno desnivelado
- Correcção para o terreno nivelado
2
2
1
Pr )
.(
6
h
h
m
D
C ism 

)
2
(
3
)
4
(
6
)
(
2
2
1
2
1
2
1
Pr A
M
A
L
A
M
A
L
A
A
L
C ism 








55. Exemplo
• Determinar o volume entre duas secções
• Distância entre extremidades 20m (L)
• Talude do terreno 1/5 (K)
• Talude das bermas ½ (m)
• Amplitude de encaixe 8 m (b)
• Alturas de projecto de 2,5 e 3,10 metros.

56. Exemplo
h
w1
b
1
K
1
m

57. Exemplo
  













































2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
b
w
w
mh
b
m
A
m
K
K
mh
b
W
m
K
K
mh
b
W
2
2
1 A
A
L
V


2
2
1
Pr )
.(
6
h
h
m
D
C ism 

)
4
(
6
2
1 A
M
A
D
V 


941,4286
941,4286
2,4
15 m
6,428 m
17 m
7,285 m
40,214 m^2 53,928 m^2