UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO. 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS -
MES...
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS
MESTRAD...
Ficha catalográñca
Setor de Processos Técnicos da Biblioteca Central - UFRPE

   

     

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O Princípio Multiplicativo corno recurso didático para a resolução de problemas de contagem. 

Augusto César Barbosa Dorne...
AGRADECIMENTOS

Muitos foram aqueles que me ajudaram nesta tarefa de estudar para ajudar outros a

; ;renderem;  abaixo el...
Dedico este trabalho a todos aqueles que têm
na Análise Combinatória uma boa razão para

estudar e aprender,  sempre!
Principio Multiplicativo: 
“Se uma decisão d¡ pode ser tomada de x maneiras e se,  uma vez

tomada a decisão dl,  a decisã...
RESUMO

O ensino da Análise Combinatória quase sempre esteve voltado para uma utilização
indiscriminada de fórmulas na res...
ABSTRACT

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SUMÁRIO

l INTRODUÇÃO l
1.1 Objetivos 1
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1.1.2 Objetivos Específicos 2
1.2 Justificativa 3
2 CONTRI...
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1. LvrRoDUÇÃo
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: : das co...
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1.2 JUSTIFICATIVA
POR QUE ESTUDAR ANÁLISE COMBINATÓRIA? 

Dentre tantos outros conteúdos matemáticos,  o estudo de An...
rentes etapas de escolaridade;  contribuindo assim para uma aprendizagem significativa,  que

segundo David Ausubel (MOREI...
situando-as nas diversas temporalidades,  servindo de mudança e/ ou continuidades”.  (BRA-
SIL,  1999, p.  2.57)

Ainda so...
pio Multiplicativo e sua correlação com outros conceitos-tema inseridos no âmbito da Análise

Combinatória. 

Nossa pesqui...
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2 CONTRIBUIÇÕES DE TEORIAS DE APRENDIZAGEM PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Muitos foram os que já estudaram resolução d...
ciência que estuda as constantes da atividade do pensamento criador,  que tem
por objetivos -pesquisarnão apenas suas cons...
caracteriza-se o raciocínio analítico pelo fato de serem suas etapas isoladas
nitidamente concebidas e objetivadas pelo ho...
Como alternativa a esse modo de resolver o problema,  aparece o das buscas assistemáticas, 

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pelo estudo dos métodos de resolução de problemas,  percebemos inn novo
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no sentido de dar continuidade à resolução do problema.  Pode também fazer indagações dos

seguintes tipos: 

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aridade dos alunos com conceitos simples como:  fatoração,  divisores e a forma de se obter o

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Sabemos,  naturalmente,  que é dificil ter uma boa idéia se pouco conhecemos do assunto e que
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tanto do nosso problema original que correremos o risco de perdê-lo por completo.  Há,  no

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Esperamos que esta última indicação seja bastante explícita para dar a idéia da solução,  que é
a introdução do concei...
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O plano proporciona apenas um roteiro geral.  Precisamos ficar convictos de que os detalhes
inserem-se nesse roteiro e...
19

- É possível perceber claramente que a,  b,  c,  e d indicam o número de possibilidades de expo-

ente para cada base ...
20

duas demonstrações diferentes:  É possível chegar ao resultado por um caminho diferente?  É
provável,  naturalmente,  ...
21

É possível verificar o resultado?  O professor não pode esperar de um aluno inexperiente uma
boa resposta a esta indag...
2.3 APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA - A TEORIA DE AUSUBEL

A teoria cognitiva de aprendizagem de Ausubel (in MOREIRA & MASINI, ...
23

Os conceitos de Combinações,  Arranjos e Permutações ficariam mais elaborados,  mais
inclusivos e mais capazes de serv...
24

elementos de conhecimento,  relevantes a novas informações na mesma área,  existam na
estrutura cognitiva e possam ser...
material a ser aprendido,  que levam ao desenvolvimento de conceitos subsunçores,  que
facilitarão a aprendizagem subseqüe...
26

capacidade humana de aprender) e da natureza cognitiva do aprendiz,  onde devem estar
disponiveis os subsunçores espec...
27

  

 

relacionada a Produto intencional

 

É( : va informação conceito subsunçor

; vztencialmente -› eassimilada -›...
28

por exemplo,  a medida que o aprendiz desenvolve os conceitos de combinação,  arranjos e

permutações,  pode aprender ...
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CONCEITOS MAIS GERAIS

     
 

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: çíinar desses saberes,  propiciada por várias circunstâncias,  dentre as quais se destacam os

z. : : teúdos tecnoló...
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Matemática,  por sua universalidade de quantificação e expressão,  como linguagem portan-

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32

em “regrinhas” tem por sintoma a sua própria ineficácia,  uma vez que os alunos não chegam a

ter uma aprendizagem sig...
Sturm (1999, p.24),  relata que julgava que a bibliografia existente sobre o tema da Análise
Combinatória o- auxiliaría na...
34

como Henry (s/ d) com noções de probabilidade tradicional e experimental;  Lecoutre (1985)
que-em seu artigo estuda-a ...
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* Aquisição de estratégia sistemática no cálculo do número de arranjos e permutações (efeitos

da instrução):  verific...
36

*Discussão da relação entre Arranjos e Combinações,  comparando variantes de um problema

e ilustração por meio do dia...
37

o Terceira fase:  “Levantamento e observação das características dos problemas que deter-

minam seu modo de resolução...
38

3) A ocorrência positiva com relação ao uso do Princípio Multiplicativo,  uma vez que os alu-
nos compreenderam sua po...
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K7

3. OS PRINCÍPIOS ADIT IVO E MULTIPLICATIVO

INTRODUÇÃO

A Análise Combinatória,  que apesar de ter um conteúdo repl...
O Princípio Multiplicativo como Recurso Didático para a Resolução de Problemas de Contagem - Augusto César Barbosa Dornela...
O Princípio Multiplicativo como Recurso Didático para a Resolução de Problemas de Contagem - Augusto César Barbosa Dornela...
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O Princípio Multiplicativo como Recurso Didático para a Resolução de Problemas de Contagem - Augusto César Barbosa Dornelas - Dissertação de Mestrado

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O Princípio Multiplicativo como Recurso Didático para a Resolução de Problemas de Contagem - Augusto César Barbosa Dornelas - Dissertação de Mestrado

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO. PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS - MESTRADO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS E O PRINCÍPIO MULTIPLICATNO COMO RECURSO DIDÁTICO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE CONTAGEM AUGUSTO CÉSAR BARBOSA DORNELAS Dissertação de Mestrado Recife, 23 de agosto de 2004.
  2. 2. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS MESTRADO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO COMO RECURSO DIDÁTICO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE CONTAGEM AUGUSTO CÉSAR BARBOSA DORNELAS Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências - Nível de Mestrado da Universidade Federal Rural de Pemambuco, como parte dos requisitos para a Obtenção do título de Mestre em Ensino das Ciências. ORIENTADORA Prof. Dr. Heloisa Flora Brasil Nóbrega Bastos Recife, 23 de agosto de 2004.
  3. 3. Ficha catalográñca Setor de Processos Técnicos da Biblioteca Central - UFRPE D7 l3p Dornelas, Augusto César Barbosa O principio multiplicativo como recurso didático para a resolução de problemas de contagem / Augusto César Barbosa Dornelas. - 2004. 128f. : i1. Orientador: Heloisa F. B. Nóbrega Bastos Dissertação (Mestrado em Ensino das Ciências - Área de Concentração: Educação Matemática) - Universidade Federal Rural de Pernambuco. Departamento de Educação. Inclui anexos e referências bibliográficas. CDD 510.7 l Análise Combinatória 2. Princípio multiplicativo 3. Contagem 4 Matemática - estudo e ensino I . Bastos, Heloisa F. B. Nóbrega II. Título
  4. 4. O Princípio Multiplicativo corno recurso didático para a resolução de problemas de contagem. Augusto César Barbosa Dornelas Recife, 23 de agosto de 2004. Dissertação defendida e aprovada pela banca examinadora leem P; ;kw Ill/ r Prof Dr. Heloisa Flora Brasil Nóbrega Bastos - Orientadora Universidade Federal Rural de Pernambuco CIC/ afago; ÉÃÍCLJÃL Prof. Dr. Cláudia Helena Dezotti - 1” Examinadora Universidade Federal Rural de Pemambuco , V l lr~ a g'. E Z . fg, ¡ _, lv . 4 . Prof. Dr. J osinalva Estácio Menezes - 2” Examinadora Universidade Feder rof. Dr. Ernande Barbosa da Costa - 3° Examinador Universidade Federal Rural de Pernambuco
  5. 5. AGRADECIMENTOS Muitos foram aqueles que me ajudaram nesta tarefa de estudar para ajudar outros a ; ;renderem; abaixo elenco uma pequena relação de colaboradores que, sem eles, este trabalho : a pesquisa não teria obtido os bons resultados (acredito) que foram alcançados: a minha orientadora, Prof. Dra. Heloisa Bastos; meus familiares, país, esposa, filhos, irmãos e cônjuges e sogra; alunos dos Colégios Aplicação e Visão, que participaram da 1”. pesquisa de campo; alunos do Colégio Walt Disney que participaram ativamente da 2° pesquisa de campo; Elisângela, pela digitação do trabalho; o doutorando Roberto H. Seidel, pelo trabalho de revisão; professora Jaqueline pela ajuda no abstract; professores, alunos e funcionários do Mestrado em Ensino das Ciências da UFRPE, incansáveís companheiros em prol de uma Educação mais promissora e inclusiva. _a todos, obrigado!
  6. 6. Dedico este trabalho a todos aqueles que têm na Análise Combinatória uma boa razão para estudar e aprender, sempre!
  7. 7. Principio Multiplicativo: “Se uma decisão d¡ pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a decisão dl, a decisão d; puder ser tomada de y maneiras, então o número de maneiras de se tomar as decisões d¡ e d¡ é xy. ” (MORGADO et al. , 2000, p. 18) Extensão do Principio Multiplicativo: “Se um evento M¡ pode ocorrer de m¡ maneiras diferentes, para i = l, 2, , n, então esses n eventos podem ocorrer, em sucessão, de mim¡ . mn maneiras diferentes. Em linguagem de conjuntos, se um conjunto M¡ tem cardinalidade m¡, para i = 1, 2, n, então o produto cartesiano M¡ xMz x x Mn = i(m¡, m2, mn) l m¡ e Ma, Para i = 1, 2, , nl tem cardinalidade 1111.1112_ . mn". (SANTOS, 1995, p. 29)
  8. 8. RESUMO O ensino da Análise Combinatória quase sempre esteve voltado para uma utilização indiscriminada de fórmulas na resolução de problemas, levando, em Inuitas situações, a equívocos ou erros de interpretação e aplicação que por sua vez vêm a reforçar os obstáculos epistemológicos que o aprendiz traz em seu arcabouço cognitivo prévio. Foi centrado neste tipo de preocupação que nos dedicamos ao estudo e à pesquisa que envolve a resolução de problemas de contagem, com o objetivo de analisar os diferentes processos (conceitos, principios e fórmulas) utilizados pelos alunos na resolução de problemas ligados à. Análise Combinatória. Nossa pesquisa de campo se desenvolveu em duas etapas: numa primeira aplicamos dois questionários com perguntas e problemas a um total de 87 alunos do ensino médio de duas escolas, Sendo uma pública e outra da rede particular de ensino; numa segunda, a partir dos resultados obtidos na primeira, selecionou-se um grupo de 12 alunos de outra escola da rede particular, com o qual procuramos desenvolver a apreensão, a habilidade e a aplicação do Princípio Multiplicativo como recurso didático na resolução de problemas e como gerador de vários outros conceitos que são abordados pela Análise Combinatória. Vimos, a partir da utilização do Princípio Multiplicativo como recurso didático na resolução de problemas de contagem, o desenvolvimento de competências e mn ganho substancial nas habilidades cognitivas dos alunos, em cuja mensuração utilizamos nosso Indice Percentual de Produtividade por Categoria de Utilização (IPP) que deu ao Principio Multiplicativo (41,85%) uma vantagem de produtividade de 6,29% sobre outros processos de resolução (35,56%), reforçando nossa sugestão como recurso didático para a resolução de problemas de contagem.
  9. 9. ABSTRACT Í: : Combinatorial Analysis teaching has usually been aimed to indiscriminate use of formuli _: r problem solving, which has, in many circunstances, caused rnisunderstanding, :sinterpretation and aplication errors which lead into epistemologícal obstacles the student in his cognitive background. Being concemed about this problem made us to dedicate s-: :e studying time and research which involves the counting problem solving, with the : Ejective of analysing the different processes (concepts, principles and formuli) used by : tíents when solving problems related to Combinatorial Analysis. Firstly, there were two . çstionnaires with questions and problem solving for our field research for the total amount 2:' S7 students from 2 school, one public and other private. Secondly, based on the previous research results, we selected a group of twelve students from a different private school whom »e aimed to develop the learning ability and Multiplicativo Principle aplication as a : :Lhodological source for problem solving and as a generator of many other concepts which : :e Combinatory Analysis treats. We saw the Multiplicativo Principle as a methodological : :ol for the students' competence development for problem solving. It meant a substantial j** for their Cognitive abilities. For doing so, we used a Productivity Percentual Index per 'jilâzatíon Category (PPI), which gave the Multiplicative Principle. (41,85%) Whith a gain of ? $936 over other solving methods (35,56° o), that reinforced our suggestion as a : :: hodological source for Counting problem solving.
  10. 10. SUMÁRIO l INTRODUÇÃO l 1.1 Objetivos 1 l. l.l Objetivo Geral 2 1.1.2 Objetivos Específicos 2 1.2 Justificativa 3 2 CONTRIBUIÇÕES DE TEORIAS DE APRENDIZAGEM PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 7 2.1 Heurística 7 2.2 Resolução de problemas - George Polya 10 2.3 Aprendizagem significativa - A teoria de Ausubel 22 2.4 A lei das diretrizes e bases da educação e os parâmetros curriculares nacionais 29 2.5 As possibilidades de um ensino de análise combinatória sob uma abordagem altemativa (aspectos relevantes da dissertação de mestrado de Wilton Sturrn . 3 l 3 OS PRINCÍPIOS ADITIVO E MULTIPLICATIVO 39 3.1 Os Principios Aditivo e Multiplicativo 40 4 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 5o 4.1 Aprendizagem e resolução de problemas 50 4.2 Problemas da Matemática 52 4.2.1 O que vem a ser run problema e outras considerações 53 4.2.2 Objetivos da resolução de problemas 56 4.3 Outras considerações acerca da resolução de problemas 57 4.3.1 Sobre a defesa da resolução de problemas como método de aprendizagem da matemática 62 4.3.2 Alguns metodos da aprendizagem baseada na resolução de problemas 64 4.3.3 A aprendizagem baseada na resolução de problemas segundo James Rhem 66 5 METODOLOGIA 69 5.1 Primeira fase da pesquisa de campo 72 5.2 Segunda fase da pesquisa de campo 74 e ANÁLISE DOS RESULTADOS 76 6.1 Análise dos resultados da primeira fase da pesquisa de campo 76 6.2 Análise dos resultados da segunda fase da pesquisa de campo 10 1 7 CONCLUSÕES l 18 8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 124 9 ANEXOS 127
  11. 11. p-A 1. LvrRoDUÇÃo T1120 livros didáticos comovprofessores e alunos afirmam que »Análise Combinatória é o estu- : : das combinações, arranjos e permutações. Esses conteúdos, porém, fazem parte do estudo ; e pertence ao campo da Análise Combinatória-e são conceitos voltadospara resolver certos_ : _:3s de problemas, como os de contagem do número de subconjuntos de um conjunto finito, haver a necessidade de-descrevê-los um a um. Juntamente com esses três conceitos acima tzzcionados, dispomos do Princípio Multiplicativo, do Princípio da Inclusão-Exclusão e do ? izrcípio das Gavetas de Dirichlet, como métodos de contagem para resolver problemas em : :cálise Combinatória. Trzaicionalmente, o ensino da Análise Combinatória esteve restrito à utilização de algumas : einições e fórmulas que habituavam o aprendiz a um trabalho mecânico e repetitivo que - -Ãzas vezes o colocava de fora dos verdadeiros objetivos de compreensão, reflexão, análise e_ : :envolvimento de estratégias para a resolução de problemas, além de afastá-lo da tarefa de : :tsar produtivamente (BACHX, POPPE e TAVARES, 1975). , .:_'e. contando com o esforço de muitos educadores, conceitua-se a Análise Combinatória : :z-a o ramo da Matemática que se preocupa em analisar-estruturas e relações discretas, que_ _ -. gentemente abordam dois tipos de problemas (MORGADO, et al. , 2000, p.2): “2- demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um conjunto-finito dado e que szisfazem certas condições', contar ou classificar os subconjuntos de uni-conjunto finito e que satisfazem certas condi- : tfes dadas. " 1.1 OBJETIVOS _a resolução de problemas é um dos temas mais estudados e debatidos por educadores em todo ~ -tdo, dada a sua 'importância no ensino da Matemática (POLYA, 1995). A aprendizagem de ZCZCCÍÉÇS, a interpretação -e o tratamento de informações, a capacidade de raciocínio, os pro- : ecimentos metodológicos, o estabelecimento de conexões são competências necessárias para í íesenvolvímento de habilidades-quepropiciemvao aluno e a quem estuda- expressar-se criti- ; íjfiênte sobre problemas de Matemática (BRASIL, 1999).
  12. 12. _Â-: :uramos nesta pesquisa não só traçar um perfil das técnicas utilizadas pelos alunos na re- solução de problemas, como tambémeabordar~ as diferentes estratégias, »enfoques e metodolo- gias que servirão de instrumental necessário para conseguir êxito na resolução de problemas. Nesse sentido, analisaremos as diferentes estratégias utilizadas na resolução de problemas em Análise Combinatória, como por exemplo: experiências empíricas com utilização de material concreto, por tentativas, por dedução ou indução, geometricamente, com utilização de fórmu- las, dentre outras; sem esquecer que conceitos, reflexão, conexão, prática, vontade, motiva- ção, objetivos e- criatividade são requisitos básicos para se chegar a resultados q-ue evidenciem uma aprendizagem significativa (MOREIRA e MASINI, 1982). 1.1.1 OBJETIVO GERAL - Analisar os diferentes processos (conceitos, - princípios e fórmulas) «utilizados na resolução de problemas envolvendo Análise Combinatória; 1.1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Analisar asdifer entes estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução de problemas de análise Combinatória; - Identificar os principais tipos de erros cometidos por estudantes no tocante-à resolução de problemas de Análise Combinatória; - Categorizar os tipos de erros cometidos; - Mensurar os erros categorizados; - Analisar-a influência que «uma compreensão significativa do Principio Multiplicativo pode trazer para o desenvolvimento de habilidades e competências na resolução de problemas de Análise Combinatória; - Avaliaros estudantes com relação à compreensão e interpretação de problemas, formula- ção de hipóteses, previsão de resultados, seleção e execução de estratégias e desenvolvi- mento da capacidade de realizar retrospecto (verificação e avaliação da solução obtida) de resultados obtidos na resolução de problemas de Análise Combinatória.
  13. 13. LN¡ 1.2 JUSTIFICATIVA POR QUE ESTUDAR ANÁLISE COMBINATÓRIA? Dentre tantos outros conteúdos matemáticos, o estudo de Análise Combinatória provoca em quem o estuda e ensina um sem-número de situações-problema que instigam o sentimento investigativo na resolução de problemas, devendo-se evitar a aplicação mecânica de conceitos e fórmulas a situações padronizadas, bem comose dar destaque a certos aspectos necessários ao desenvolvimento de aprendizagens significativas em Matemática, tais como (MORGADO et al, 2000): a) aprimoramento do raciocínio lógico-dedutivo; b) desenvolvimento da criatividade na construção de estratégias para a resolução de proble- mas; c) aplicabilidade a problemas de probabilidades finitas', d) propiciar o desenvolvimento cognitivo de quem a estuda, aumentando competências e habi- lidades em situações-problema diversas; e) contribuir de maneira didática e metodológica para o ensino de matemática de uma maneira geral. Emboraesta investigação-tenha como público alvo alunos do ensino médio, acreditamos que servirá de embasamento didático-pedagógico para professores e alunos das séries iniciais C do ensino ñindamental que, principalmente a partir da Lei de Diretrizes e Bases da Educação (n° 9394/96) e da elaboração e edição dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), tiveram a inclusão em seus curriculos dos conteúdos de Análise-Combinatória e Probabilidades (respei- tando-se as capacidades cognitivas dos alunos de cada nível e série). A apreensão de conhe- cimento via adoção de currículosem espiral certamente virá a contribuir no desenvolvimento de uma formação cognitiva continuada, gerando não só habilidades e competências na resolu- ção de problemas, como também na construção de conhecimentos prévios ao longo das dife-
  14. 14. rentes etapas de escolaridade; contribuindo assim para uma aprendizagem significativa, que segundo David Ausubel (MOREIRA evMASINI, 1982, p. 7) [nun] e' um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um as- pecto relevante da estrutura de conhecimento do indivíduo, [. ..], onde a nova informação interage com uma estrutura de conhecimento especifica, a qual deñne como conceitos subsunçores (subsumers), existentes na estrutura cog- nitiva do individuo. A aprendizagem significativa ocorre quando a nova in- formação ancora-se em conceitos -relevantes preexistentes na estrutura cogni- tiva de quem aprende. Ausubel vê o armazenamento de informações no cérebro humano como sendo altamente organizado, formando uma hierar- quia conceitual na qual elementos mais específicos de conhecimento são li- gados (e assimilados) a conceitos mais gerais, mais inclusivos. Em Matemática, se o aluno já tiver noção do que vem a ser uma sentença matemática, isso auxiliará a compreensão dos conceitos de equações, inequações e ñmções; no mesmo sentido, se traz intuitivamente consigo as bases do Princípio Multiplicativo, estará melhor capacitado a compreender sua definição científica e suas derivações particulares na obtenção dos conceitos de Arranjos, Permutações e Combinações. Até a edição dos PCNs, os referidos conteúdos tinham abordagem restrita ao ensino médio, oque muitas vezes “servia de obstáculo à perfeita compreensão das diferentes metodologias na resolução de problemas, além de TIÃO COTIÍlgUÍÃT uma aprendizagem signiñcativae continuada» ao longo das séries escolares" (MOREIRAe MASINI, p. 8). Somado a tudo isso, “não há uma orientação não-mecânica na resolução de problemasvpor parte dos livros didáticos, uma vez que não primam por formar no aluno a capacidade de re- solve-los, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança para analisar-e enfrentar situações novas , enfocando a utilização mecânica de fórmulas em problemas previamente adequados às permutações, aos arranjos e às combinações? como sugerem Santos, Mellcxe, Murari (1995, Prefácio). Ressaltamos, ainda, que com a Matemática e a Análise Combinatória, mais especificamente, é importante “. ..o relato de aspectos históricos que venham a contribuir para uma aprendizagem significativa, uma vez que revela- ao aluno o desenvolvimento histórico do* conhecimento S0- bre o tema. ” (MORGADO et a1, 2000, p.2) A história da Matemática é rica em fatos e fenômenos espaço-temporais que certamente for- necem subsídios “que possibilitem ampliar o estudo sobre problemáticas contemporâneas,
  15. 15. situando-as nas diversas temporalidades, servindo de mudança e/ ou continuidades”. (BRA- SIL, 1999, p. 2.57) Ainda sobre as finalidades do ensino da Matemática no nível médio, os PCNs (BRASILJ999, p.254) indicam como objetivos levar o aluno a: - compreender os conceitos, procedimentos »e estratégias matemáticas que permitam-a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral; -A aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpreta-_ ção da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas; - desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de-problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo; - utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a corn- preensão dos conceitos matemáticos; - estabelecer conexões entre diferentes temasmatemáticos e entreesses temas *e 'o conheci- mento de outras áreas do currículo; _ reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimen- tos associados às diferentes representações', Associado a tudo que foi relatado anteriormente, referimo-nos ao fato da Análise Combinató- ria sempre ter se constituído em sério obstáculo aos alunos do ensino médio: seu ensino esteve tradicionalmente dirigido-a definições e fórmulas, habituando os estudantes a trabalhos mecâ- nicos e repetitivos, excluindo uma verdadeira compreensão dos trabalhos que desenvolvem. As constantes confusõesepistemológicas entre arranjos e combinações (bastante comuns) podem ser dissipadas de forma clara e objetiva a partir de um embasamento didático- pedagógico fundamentado no Princípio Multiplicativo, que permite que os conceitos e formu- las sejam obtidos espontaneamente de forma dedutiva, gerando um aprimoramento do racio- cinio lógico-dedutivo, além de uma maior competência no-trato de problemas que envolvem contagem, evidenciando assim uma aprendizagem significativa. O exposto acima se relaciona com nosso objetivo de trabalhar no sentido de desenvolver o raciocinio, ajudar na compreensão de conceitos matemáticos, estimular a utilização de proce- (ii-mentos e estratégias diversas, auxiliar no estabelecimento de conexões entre diferentes te- mas e representações equivalentes de conceito específico, como é o caso de estudo do Princí-
  16. 16. pio Multiplicativo e sua correlação com outros conceitos-tema inseridos no âmbito da Análise Combinatória. Nossa pesquisa visa estabelecer uma categorização dos principais tipos de erros cometidos por alunos quando se deparam com problemas de contagem e sugerir uma metodologia ade- quada em termos didáticos e pedagógicos, como a utilização do Princípio Multiplicativo, ca- pacitando nossos alunos a desenvolverem habilidades e competências necessárias no trato de resolução de problemas envolvendo Contagem, no âmbito da Análise Combinatória. No capítulo 1 de nossa dissertação, relacionamos objetivos e justificativas que nos levaram a WWlllCl 016m2! Princípio Multiplicativo como recurso didático na resolução de problemas de contagem, abordado pela Análise Combinatória. Nos capitulos 2 e 4 procuramos relatar e analisar as principais teorias que embasaram nossa fundamentação, tais como: a de George Polya (Resolução de Problemas), David Ausubel (A- prendizagem significativa), Os Parâmetros curriculares, V. N. Pnchkin (Heurística); além de considerações, objetivos, métodos e aprendizagem baseada na resolução de problemas , onde sugerimos de maneira f 't' * ° ' ' - - - _ e” a *Ca a aÚOÇaO do Principio Multiplicativo como abordagem alternativa eficiente na resolução de problemas de contagem N ' A . . . , o capitulo 8 constam as referencias bibliograñcas, contando com obras que certamente po- derão auxiliar o leitor na busca de conhecimentos e informações importantes sobre a Análise Combinatória. Finalmente, no capítulo 9, dispomos dos anexos com algumas aulas do TELECURSO 2000 que utilizamos em nossas intervenções pedagógicas na segunda fase da pesquisa de campo.
  17. 17. NJ 2 CONTRIBUIÇÕES DE TEORIAS DE APRENDIZAGEM PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Muitos foram os que já estudaram resolução de problemas em diferentes partes «do mundo. Pappus, Descartes, Leibnitz, Bozano foram os mais antigos a se preocuparem com o tema da arte de resolver problemas (Heurística ou “ars inveniendi”); passando por tantos outros que no século passado se empenharam nesta admirável tarefa, tais como Dewey, Ausubel e Bruner. Esses autores deram impulsos consideráveis no sentido de buscar o desenvolvimento de po- tencialidades na aprendizagem de Matemática via solução de problemas. Pela coerência- metodológica e pela responsabilidade no trato de abordagens -na resolução» de problemas como o principal objetivo de se estudar e ensinar Matemática, adotamos Polya como teóricoepor excelência na condução e fundamentação teórica deste projeto (sem descar- tar a contribuição de outros autores citados); pois sua didática em estabelecer definições, eta- DQÊ, HTÉÊOÕOS E ÍBOTÍQS, objetivos, tipos, sugestões e comentários acerca da resolução de pro- blemas SãO argumentos importantes no desenvolvimento de habilidades e competências para a obtenção de resultados promissores e naconstrução- de diferentes estratégias utilizadas nesta interessante e desafiadora atividade. 2.1 HEURÍSTIÇA Segundo Puchkin (1976), em seu livro Heurística, - quando buscamos construir uma maneira de resolv d t ' ' * ' ' - - . , . er e ermmada situaçao problematica, vemo-nos impulgidos a criar estrategias de LIÇÃO através de processos psíquicos que denomina de pensamento criador ou atividade heur ristica. À- este ÍlDO de atividade são-credenciados bons resultados, como por exemplo, em descobertas cientificas, planos de batalha, investigações criminais, além da própria resolução de proble- mas nas mais variadas areas do conhecimento humano que, através dacapacidade de articular uma verdadeira atividade criadora concentrada pode-se construir estratégias que objetivam a SOIUÇãO de uma situação problemática. Heurística é definida como:
  18. 18. ciência que estuda as constantes da atividade do pensamento criador, que tem por objetivos -pesquisarnão apenas suas constantes como _tambem np que se refere a métodos de direcionamento dos processos heurísticos. Preve que no futuro essa ciência tomar-se-á um complexo ramo de conhecimentos que -vai englobar métodos e resultados de vários outros. (PUCHKIN, 1976) Várias são as áreas do conhecimento humano que atualmente se dedicam ao seu estudo, - como as engenharias, a Matemática, a Química Psicológica, a Pedagogia e a Psicologia em suas áreas de psicologia criadora ou do pensamento produtivo. Atesta-se que a noção de atividade heurística é algo mais restrito do que a do pensamento, 7 ' m ntal redominam diversas o era ões intelectuais elaboradas dmante sendo que na ativi ade e p P 9 a aprendizagem e o desenvolvimento, além de imagens intelectuais e automatísmos; enquanto nos processos heurísticos, embora incluam operações mentais, se enquadra como variante do pensamento humano, criadora de sistemas de ação. As teses dos filósofos racionalistas do século XVII, Descartes, Spinoza e Leibniz, já sugerem alguns componentes do pensamento criador, demonstrando que na composição da atividade intelectual humana existem verdades que são descobertas pelo intelecto não à »base de argue mentação lógica e raciocínio, mas através de peculiar e súbita visão intelectual. Como exem- plo- podemos citar Descartes que afirmava em sua obra Regras para Orientação do Espírito que “os axiomas básicos da ciência são verdades intuitivas e revelam-se através da visão dire- tada inteligência e não constituem deduções baseadas nas variadas conclusões da razão ou em reflexões pautadas em determinadas regras”. V. F. Asmus em sua obra O Problema da Intuição na Filosofía e- naMatemátiea (1965) revela que “no entender dos racionalistas do século XVII, a intuição é uma superior manifestação de conhecimentos e, além disso, do conhecimento intelectual, pois, no ato da intuição, a mente_ raciocina e contempla simultaneamente". (PUCHKIN, 1976, p. ll) Dentre os representantes daPsicologia, podemos citar John Brunei, (PUCHKIN, - l976,p.13) que em sua obra 0Mét0do do Ensino, caracteriza a especificidade do raciocinio em contrapo- sição ao raciocínio analítico, ressaltando que:
  19. 19. caracteriza-se o raciocínio analítico pelo fato de serem suas etapas isoladas nitidamente concebidas e objetivadas pelo homem, podendo ser-expressas por meio de palavras. Em geral, o homem tem plena consciência não só do conteúdo, mas também. do desenrolar do pensamento. Neste caso, o racioci- nio pode resumir a fomia de reflexões harmônicas, a partir do geral para o particular, ou então a forma de análises sucessivas, vindo do particular para o geral. Já no raciocínio intuitivo, inexistem etapas nitidamente determinadas. A principaltendência do raciocinio intuitivo é a concisa percepção do pro_- blema global. O homem chega à resposta que procura sem ter consciência do processo pelo qual ela foi atingida; Além disso, nesse caso, a própria matéria do problema vai sendo refletida inconscientemente. O raciocinio é feito atra- vés de saltos, rápidas mutações, emitindo-se os elos isolados. Bnmer (PUCHKIN, 1976, p.13), destaca ainda que os processos heurísticos como: meios pouco exatos de solução de problemas, com cujo auxílio poder-se-á ou. não lograr o resultado almejado. Trata-se do emprego da analogia, do exame de um limitado círculo de condições, da expressão demonstrativa, etc. Aos processos heurísticos de solução de problemas, contrapõe Bruner os algorit- mos, pois estes asseguram a resolução, desde que obedecidas »todas as suas regras e etapas. Quando o algoritmo é desconhecido, são usados freqüente- mente os processos heurísticos, o que constitui uma de suas vantagens. Alem disso, salienta Bruner que, mesmo no caso em que o algoritmo é conhecido, o emprego» dos processos heurísticos pode levar a uma solução mais rápida do problema. (PUCHKIN, 1976) A Heurística objetiva pesquisar as regras e métodos que levam às descobertas e lllVBllÇÕBS. Pappus, matemático grego, em seu livro O Tesouro da Análise já caracterizava em termos gerais este tipo de compreensão três séculos antes de Cristo. Embora o nucleo heurístico tenha base psicológica no raciocínio criador, hoje pesquisadores não-psicólogos, como especialistas em cibernética, já desenvolvem importantes estudos no terreno heuristico, pressupondo a formulação e a estruturação de um IlOVO sistema UC &ÇÕO C não si-mpl-esmente a seleção de esquemas previamente preparados. No livro Planos e Estruturas do Comportamento de John Muller , y. Galanter e c. Príbran, se analisa a heurística na solução de problemas em duas vertentes: a sistemática e a heurística, discorrendo que: os planos sistemáticos são identificados pelos algoritmos. A resolução do seguinte problema pode servir como exemplo de um desses planos: encon- trar uma bola perdida num recanto qualquer de uma clareira. O mais seguro melo de solução desse problema seria uma operação de sistemático vascu- lhamento da clareíra, canto por canto. Mas, como acertadamente demons- tram os autores, nem sempre é possível usar planos sistelnáticos de busca, mesmo que SC trate de planos bem concebidos, pois são enfadonhos e pouco positivos. (PUCHKIN, 1976, 13.17)
  20. 20. Como alternativa a esse modo de resolver o problema, aparece o das buscas assistemáticas, : rais efetivas. Classiñcam os autores esse plano de solução do problemacomo heurístico, desde que o plano sistemático se reduza a uma adivinhação, uma tentativa de recordar em» que lugar, pela primeira vez, fora encontrado o objeto procura- do, etc. Qual é a diferença entre os planos sistemáticos e os heurísticos? Se for viável, de modo geral, em qualquer caso, o primeiro é seguro, podendo, contudo, exigir muito tempo e ser muito dispendioso, ao passo que o segun- do, pode ser barato e requerer pouco. tempo, sem, no entanto, garantir que os resultados em mira sejam alcançados. (PUCHKIN, 1976, p. 18) Valem, como testemunho da positiva deficiência dos atuais métodos matemáticos para a des- crição da atividade mental, as palavras do acadêmico A. N. Kolmogorov: Ainda hoje, muito longe estamos da efetiva análise e descrição das elevadas formas da atividade humana, pois nem sequer aprendemos a dar, em termos . obpuvos, a defmição de várias categorias e noções) 2.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS - GEORGE POLYA. George Polya (1995), matemático húngaro-americano, em seu livro A Arte de Resolver Pro- blemas diz que: uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma »pi- tada de descoberta na resolução de qualquer problema. '0 problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em Jogo as faculdades in- ventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozara o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, PÔÚÊÍãO E5113!" O gosto P610 trabalho mental e deixar, por toda a vida. , a sua marca na mente e no caráter. (POLYA, 1995, prefácio) Hoje, certamente as idéias de Polya são citadas em diversos estudos que tratam de heurística e resolução de problemas, como Puchkin (1976), Dante (1986), Krulík (1996) (citados nas refe- rências bibliográficas), devido a sua importante contribuição no sentido de procurar desvendar os complexos métodos e ações utilizados pelos) indivíduos que se prestam a resolver proble- mas', sugerindo que: KOLMOGOROV, A. N. O Porríve/ e o Impossivel m2 Cibemética. (ín, PUCl-IKIN, 1976411(
  21. 21. ll pelo estudo dos métodos de resolução de problemas, percebemos inn novo aspecto da Matemática. Sim, porque ela tem dois aspectos: é a rigorosa ciên- cia de Euclides, mas é também uma outra coisa. A Matemática, apresentada da maneiraeuclidiana, revela-se uma ciência dedutiva, sistemática, mas a Matemática em desenvolvimento apresenta-se como uma ciência indutiva, experimental. Ambos os aspectos são tão antigos quanto a própria ciência. Mas o segundo aspecto é novo sob um certo ponto de vista: a Matemática in status nascendi, no processo de ser inventada, jamais foi apresentada exata- mente desta maneira aos estudantes, aos professores ou ao grande público. A Heurística tem múltiplas conexões: matemáticos, lógicos, psicólogos, educa. - dores e até filósofos reivindicam partes deste estudo para os seus domínios particulares. O autor, bem. ciente-da possibilidade de critica de certos setores e perfeitamente cônscio de suas limitações, tem uma reivindicação a fazer: ele tem alguma experiência na resolução deproblemas e no ensino da Mate- mática em_ diversos níveis. (Polya, 1995, prefácio) Â seguir, CllâIllOS algumas extrações de seu livro em que estabelece as fases para resolução de problemas e ao final apresentamos uma exempliñcação das sugestões de Polya com um pro- blema de utilização prática do Principio Multiplicativo. Como Resolver um Problema: A0 tentamos construir uma solução, devemos- ter a competência de diversificar continuamen- te nossas próprias observações, complementando-as, modificando-as, indagando e adequando estrategicamente cada uma dessas observações -a novas situações a construir; pois assim, esta- remos progressivamente nos capacitando a desenvolver nossa competência em implementar métodos de aprendizagem e- solução. polya descreve as quatro fases de trabalho da seguinte maneira: 1° COIVIPREENSÃO DO PROBLEMA Dois importantes aspectos dessa «fase é que o aluno compreenda o problema e tenha interesse em resolve-lo; para isso, o professor deve selecionar o problema de forma em que se respeite a capacidade cognitiva do estudante e que desperte seu interesse em desvenda-lo. O enunciado do problema deve ser bem entendido e para resolvê-lo deve-se identificar suas partes com perguntas do tipo:
  22. 22. 12 "Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual e' a condicionante? E possível satisfazer a _ _ _ _ , _ . . r - » 4 _ - - 7 condzclonante? A condzczonarzte e suficiente para determinar a zncognita? Ou e znsnfzczente. Ou redundante? Ou contraditória? " (Polya, 1995,- p.4), 2" ESTABELECINLENTO DE UM PLANO Temos um plano quando conhecemos os cálculos, algoritmos e figuras que devemos imple- mentar a fim de obtermos a incógnita. As indagações sugeridas pelo professor podem ter im- portãncia fundamental no trajeto entre a compreensão e o plano a ser estabelecido. A experi- ência do professor e a forma como conduz o trabalho dos alunos deve satisfazer naturalmente o auxílio e a independência, de forma a estabelecer um clima de autoconfiança durante o tra- balho que está sendo executado. Polya corrobora Ausubel quando diz que “as boas idéias são baseadas na experiência passadae em conhecimentos previamente adquiridos. Deve-se ter a capacidade de recordar situações anteriores podendo até recorrer a perguntas dos tipos. - Ja o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma li- geiramente diferente? Conhece um problema correlato? Conhece um pro- blema que llie poderia ser útil? Considere a incógnita! E procure pensar num problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante. Eis um problema correlato e antes resolvido. E possível utiliza-lo É pos- sível utilizar o seu resultado? E possível utilizar o seu método? Deve-se in- troduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização? E possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? Volte às definições. Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. E possível imaginar um problema correlato mais acessí- vel? Um problema mais genérico? Um problema mais especifico? Um pro- blema análogo? E possivel resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado', até que ponto fica assim determinada a incógnita? Conto pode ela variar? E possível obter dos dados alguma coisa de util? E possivel pensar em outros dados apropriados para determinar a. incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se ne- cessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta to- das as noções essenciais implicadas no problema? (Polya, 1995, p.5) 3” EXECUÇÃO no PLANO Enquanto o plano nos proporciona apenas um roteiro geral, sua execução e sua aplicabilidade dependem da correção no nosso raciocínio e de cada passo tomado. Tendo desenvolvido essa capacidade de pensar no que fora estabelecido e na correção de suas observações é hora de implementar e estrategicamente estabelecer conexões entre dados, incógnitas e condicionantes
  23. 23. 13 no sentido de dar continuidade à resolução do problema. Pode também fazer indagações dos seguintes tipos: Ao executar o seu plano de resolução, vez-'ifique cada passo. É possível VeFlfÍCül' claramente que o passo está correto? É possível demonstrar que ele está correto? 4a RETROSPECTOZ É comum ate' mesmo para os bons resolvedores de problemas nao considerar esta importante fase. Uma vez obtida a solução é comum não verificar se a mesma é correta. Polya ressalta que esta fase não é apenas necessária, mas, importante e instrutiva; pois, fazendo um retros- pecto da resolução completa, reconsiderando e reexaminando o resultado final e o caminho, que levou até este, os alunos poderão consolidar o seu conhecimento e aperfeiçoar a sua capa- cidade de resolver problemas. O professor tem papel ñindamental nesta fase, no sentido de orientar, assegurando que sejam verificados cada um dos passos tomados e até sugerir sua resolução por outro caminho diferente, encorajando-os «a diversificarem seus métodos de reso- lução e ajudar , desta maneira, no desenvolvimento de habilidades e competências na resolu- ção de problemas. Algumas sugestões de indagações a serem proferidas pelo professor: Examine a solução obtida. E possível verijicar' o resultado? É possivel verificar' o argumento? E possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num re. . lance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema. ? Tomemos, para ilustrar os pontos tratados acima, o seguinte exemplo: Quantos são os diviso- res naturais do número 126.000? (adaptado de POLYA, 1995, p.5) Compreensão do problema: Para discutir com proveito este problema, os estudantes precisam conhecer como obter o nú- mero de divisores de um número, isso pode ser obtido através de um simples algoritmo de fatoração, onde l26.000= 24 ' 32 ' 53 '7 . O professor pode aqui contar com uma pequena famili-
  24. 24. 14 aridade dos alunos com conceitos simples como: fatoração, divisores e a forma de se obter o número de divisores de um número dado. O professor pode recorrer ao algoritmo utilizado desde as séries iniciais para obter o número de divisores. O diálogo entre o professor e seus alunos pode principiar da seguinte maneira: - Qual é a incógnita? - O número de divisores do número 126.000. - Quais são os dados? - O número N= l26.000. - Adote uma notação adequada. Qual a letra que deve denotar a incógnita? - X. -Qual é a condicionante que relaciona x a N? - x é o número de elementos de um conjunto cujos elementos são divisores de N. - Trata-se de um problema razoável? Ou seja, a condicionante é suficiente para determinar a incógnita? - Sim, ele e razoável. Se conhecermos a fatoração do número, conheceremos seu número de divisores. Estabelecimento de um plano. Temos um plano quando conhecemos, pelo menos de um modo geral, quais as contas, os cálculos ou as estratégias que precisamos executar para obter a m- cógnita. O caminho que vai desde a compreensão do problema até o estabelecimento de um ; íano, pode ser longo e toituoso. Realmente, o principal feito na resolução de um problema e' 2 concepção da idéia de um plandEsta idéia pode surgir gradualmente ou, então, após tenta- : :as 'infrutíferas e um período de hesitação, aparecer repentinamente, num lampejo, com( -za “idéia brilhante”. A melhor coisa que pode um professor fazer por seu aluno é propiciar- ~ e, discretamente, uma 'idéia luminosa. As indagações e sugestões que passamos a discutii tendem a provocar tal idéia. Para sentir a posição do estudante, oprofessor deve pensar na sua própria experiência, nz dificuldades e sucessos que ele mesmo encontrou ao resolver problemas.
  25. 25. Sabemos, naturalmente, que é dificil ter uma boa idéia se pouco conhecemos do assunto e que é impossivel tê-la se dele ? nada soubermos. As -boas idéias são baseadas na experiência passa. - da e em conhecimentos previamente adquiridos. Para uma boa idéia não basta a simples re- cordação, mas ? não podemos ter nenhuma idéia boa sem relembrar-alguns fatos pertinentes. Não bastam os materiais para a construção de uma casa, mas não podemos construí-la sem lançar mão dos materiais necessários. Os «materiais indispensáveis à resolução de um problee ma matemático são certos itens relevantes do conhecimento matemático já adquirido, tais co- mo problemas anteriormente resolvidos e estratégias anteriormente utilizadas. Assim sendo, deve-se muitas vezes começar o trabalho pela indagação: Conhece um problema correlato? A dificuldade esta em que, geralmente, ha problemas demais que estão, -de uma maneira ou de outra, relacionados com o nosso, isto e', que têm com este algum ponto em comum. Como, então, escolher aquele, ou os- poucos, que são realmente úteis? Há uma sugestão que vai dire: tamente a um ponto comum essencial: Considere a incógnita! E procure pensar num proble- ma conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante. Se conseguirmos lembrar de um problema anteriormente resolvido que seja intimamente rela- cionado com o -nosso, teremos tido muita sorte. Devemos fazer por merecer esta sorte e po- demos merece-la, aproveitando-a Eis um problema correlato já resolvido. É possível utilizá- lo? As indagações acima, se forem bem compreendidas e atentamente consideradas, muitas vezes COHUlbUCIH para dar partida à correta seqüência de idéias, mas nem sempre conseguem ajudar, pois não podem fazer milagres. Se elas não funcionarem, precisaremos procurar, em torno, algum outro ponto de contato apropriado e examinar os diversos aspectos de nosso problema. Teremos de «varian--de transformar, de modifica-lo. É possível reformular o problema? Algu- mas das indagações da nossa lista indicam meios específicos de VARIAÇÃODO PROBLEMA, tais como a GENERALIZAÇÃO, a PARTICULARIZAÇÃO, o recurso à ANALOGIA, o abandono de uma parte da condicionante e outros. Os detalhes são importantes, mas nãopodemos examina-los agora. A variação do problema pode levar a um PROBLEMA AUXILIAR adequado: Se não con- seguir resolver o problema, procure- antes resolver um problema correlato. Ao tentarmos aplicar vários problemas, conceitos, definições ou estratégias, cogitando de di- versas modificações e ensai-ando problemas auxiliares diferentes, podemos distanciarmo-nos
  26. 26. tanto do nosso problema original que correremos o risco de perdê-lo por completo. Há, no entanto, uma boa indagação que pode nos trazer de volta a ele: Utilizou todos os dados? Utili- zou toda a condicionante? Voltemos ao exemplo considerado anteriormente. Quando o deixamos, ›os alunos haviam aca- bado de compreender o problema e de mostrar por ele algum interesse. Eles poderiam ter ago- ra algumas idéias próprias, alguma iniciativa. Se o professor, tendo observado atentamente, não notar qualquer sinal dessa iniciativa, terá de repetir cuidadosamente todo o seu diálogo com os estudantes. -Ele deve estarpreparado para apresentar de novo, com modificações, as indagações não respondidas. Deve também estar preparado para encontrar, muitas vezes, o silêncio desconcertante de seus alunos (o-qual- será abaixo indicado por reticências. ..) - Conhece um problema correlato? - Considere a incógnita! Conhece um prob-lema que tenha a mesma incógnita ou outra seme- lhante? - Então, qual-é a incógnita? - O número de divisores de N= 126.000. - Conhece algum problema que tenha a mesma incógnita? _ Sim. Já resolvemos problemas em que envolvem divisores. - Conhece algum problema que tenha uma incógnita semelhante? - CÍQFO que já resolvemos desses problemas. Por exemplo: Calcular o número de divisores de 20. - Está certo. Eis um problema correlato já resolvido. É possível utiliza-lo? - Teve sorte de se lembrar de um problema relacionado ao seu e que já resolveu antes. »Não gostaria de utiliza-lo? É possível introduzir algum elemento auxiliar para possibilitar a sua utilização? - Olhe aqui, o problema de- que se lembrou refere-se a divisores de um número e há uma situ- ação semelhante na situação proposta?
  27. 27. 17 Esperamos que esta última indicação seja bastante explícita para dar a idéia da solução, que é a introdução do conceito de divisores de um número do qual é pedido para determinar seu número total de divisores. . No entanto, o professor deve estar preparado para o caso em que até esta indicação tãoexplicita seja insuficiente para despertar os alunos de seu torpor. Deve ainda preparar-se para usar toda uma gama de indicações mais ou menos explícitas. -Não gostaria de relacionar algunsexemplos de divisores de N? - Que tipos de elementos poderíamos descrever para exemplificar? - Não pode ainda calcular o número total de divisores, mas já disse que e' capaz de calcular alguns elementos do conjunto principal. Então, o que fará agora? - Vamos relacionar alguns elementos? _ Sim: 23.5 3 ; 22 .3.7 ; 2.32.57; 3.52.7; 3, 24, etc. Quando afinal, com ajuda maior ou menor, os estudantes conseguirem introduzir o elemento auxiliar decisivo, que são alguns elementos do conjunto principal, o professor deverá estar convicto de que seus alunos vêem bastante adiante, antes de encoraja-los a passar aos cálcu- los. - ACHO que foi uma boa idéia obter alguns elementos. Agora , e a incógnita? - A incógnita e' o número de elementos do conjunto principal. Podemos calcula-la da seguinte forma: - Podemos notar que nos divisores de N: l, O expoente do fatorz pode variar de o a 4 . - 2° ,21 ;22 , 23 , 24 2. O expoente do fator 3 pode variar de O a 2 : 3° ;31 ; 32 's J. 0 expoente do fator 5 pode variar de o a 3 . ~ 5° , - 51 , 52 , 53 4. O expoente do fator 7 pode variar de 0 a 1 : 7° ; 71 - Muito bem! Agora vejo que já tem um plano. Execução do plano. Conceber um plano, a idéia da resolução, não é fácil. Para conseguir isto é preciso, além de conhecimentos anteriores, de bons hábitos mentais e de concentração no objetivo, mais uma coisa: boa sorte. Executar o plano é muito mais fácil; paciência é o de que mais se precisa.
  28. 28. i8 O plano proporciona apenas um roteiro geral. Precisamos ficar convictos de que os detalhes inserem-se nesse roteiro e-, para isto, temos de examina-los, um após outro, pacientemente, até que tudo fique perfeitamente claro e que não reste nenhum recanto obscuro no qual possa o- cultar-se um erro. Se o aluno houver-realmente concebido um plano, o professor terá então um per-iodo de relati- va tranqüilidade. O maior risco é o de que o estudante esqueça o seu plano, o que pode facil- mente ocorrer se ele recebeu o plano de fora e o aceitou por influência-do professor. Mas se ele próprio houver preparado o plano, mesmo com alguma ajuda, e concebido com satisfação a idéia final, não perderá facilmente essa idéia. De qualquer maneira, o professor deve insistir para que o aluno verifique cada passo. Podemos nos convencer “intuitivamente” ou “formalmente” da correção de um passo do nos- so raciocínio. Podemos nos concentrar no ponto em questão até que o percebamos com tanta clareza e nitidez que não reste dúvida de que o passo-e' correto ou, então, podemos deduzi-lo de acordo com regras formais. (A diferença entre “intuição” e “raciocínio formal" é, em mui- '05 63505 ÍmPOYtaIItGS, bastante clara, porém podemos deixar a sua discussão para os ; filóso- fos. ) O principal é que o estudante fique-honestamente convicto da correçãode cada passo. ;Em certos casos ' a , r , , pode o professor realçar a diferença entre “perceber” e “demonstrar” : E possivel perceber claramente que o passo está certo? Mas pode também demonstrar que o passo está certo? Retomemos o problema no ponto em que o deixamos. O aluno conseguiu, afinal, ter a idéia da resolução. Ele percebe o conjunto do qual a incógnita x é o número de elementos. Deve-se, possivelmente, insistir para que o estudante adote uma notação apropriada. Ele deve escolher D para denotar o número de divisores de N e que são números da forma: D= 2*'. 31°. 5°. 7d. O professor não terá motivo de interromper o aluno se este executar corretamente as opera- ções, a não ser, possivelmente, para alertá-lo de que deverá verificar cada passo. Assim, o professor pode argumentar:
  29. 29. 19 - É possível perceber claramente que a, b, c, e d indicam o número de possibilidades de expo- ente para cada base correspondente? O estudante a isto poderá responder honestamente “Sim, é", mas é possível que ele fique mui- to embaraçado se o professor, não contente com a convicção intuitiva do aluno, continuar a ineluirir: - Pode então demonstrar o total de possibilidades para cada base? Por isso, é melhor que o professor suprima esta indagação até que a turma tenha uma boa base de possíveis possibilidades para cada um dos expoentes. l. a toma valores em (O, l,2,3,4), resultando em 5 o numero de possibilidades para a 2. b toma» valores em (0,12), resultando em 3 o numero de possibilidades para b- 3. c toma valores em (O,1,2,3 j, resultando em 4 o numero de possibilidades para c 4. d toma valores-em (0,1), resultando em 2 o numero-de possibilidades para d. O Professor pergunta então: podemos concluir utilizando o princípio multiplicativo? Indagação à qual os alunos podem responder: _ Sim! Teremos: x = 5.3.4.2 = 120 divisores de N= l26.000. Retrospecto. Até mesmo alunos razoavelmente bons, uma vezchegados à solução do proble- ma e escrita a demonstração, fecham os livros e passam a outro assunto. Assim fazendo, eles perdem uma fase importante e instrutiva do trabalho da resolução-Se fizerem um retrospecto da resolução completa, reconsiderando e reexaminando o resultado final e o caminho que le- vou até este, eles poderão consolidar o seu conhecimento e aperfeiçoar a sua capacidade de resolver problemas. Um bom professor precisa compreender e transmitir a seus alunos o con- ceito- de que problema algum fica completamente esgotado, resta sempre alguma coisa a fazer e com estudo e aproñmdamento podemos melhorar qualquer resolução. Para nos convencermos da presença ou da qualidade de -um objeto, desejamos vê-lo e toca-lo. Assim como preferimos perceber por meio de dois sentidos, preferimos nos convencer por
  30. 30. 20 duas demonstrações diferentes: É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É provável, naturalmente, um argumento curto e intuitivo do que um outro longo e trabalhoso: É possível percebê-lo num relance? Um dos primeiros deveres do professor é não dar aos seus alunos a impressão de que os pro- blemas matemáticos têm pouca relação uns com os outros, de que nenhuma relação têm com qualquer outra coisa. Surge uma oportunidade natural de investigar as relações de um proble- ma quando fazemos o retrospecto de sua resolução. Os estudantes acharão realmente interes- sante o retrospecto se eles houverem feito um esforço honesto e ficarem conscientes de terem resolvido bem o problema. Neste caso, ficarão ansiosos para ver o que mais poderão conse- guir-com aquele esforço e como poderão, da próxima vez, fazer tão bem quanto desta. O pro- fessor deve encorajar os alunos a imaginar casos em que eles poderão outra vez utilizar o pro- cedimento usado ou o resultado' obtido. É possível utilizar o resultado ou eo método em algum outro problema? 0 professor pode ainda incitar os alunos a uma generalização do problema anterior fazendo a Seguinte Perguntaí 53 N: PIM . 132m2.. . P. ¡°°“, onde os p¡ *s são primos e distintos, poderemos calcular o número de divisores de N . E tomando as considerações do exemplo anterior levan- tar as seguintes observações: l. O expoente pl toma valores em (O, l,2,. ., ou), resultando em (oq + l ) possibilidades de escolha para ele. 2. O expoente p; toma valores em (0,l,2,. ., a2), resultando em (012 + l ) possibilidades de escolha para ele. Il. O expoente p toma valoresem (O, l,2,. ., an), resultando em (an + l ) possibilidades de es- colha para ele. E pelo principio multiplicativo concluir que: (dr + l ) . (a2 + l ). .. (ou, + l ) representa o número total de divisores de um numero inteiro N. Rezrospecto:
  31. 31. 21 É possível verificar o resultado? O professor não pode esperar de um aluno inexperiente uma boa resposta a esta indagação. Os alunos devem, porém, aprender bem cedo que os problemas “literais” apresentam uma grande vantagem- sobre os-problemas puramente “numéricos": se o problema for literal ele se prestará a diversas verificações, as quais não põem ser aplicadas a um problema numérico. - 0 nosso exemplo, embora bem simples, -é suficiente para mostrar esta propriedade. O professor pode apresentar várias indagações a que os alunos facilmente res- ponderão com “Sim”, mas um “Não” revelará uma séria falha- no resultado. Eles já ficaram convictos de estar certa a fórmula porque eles a deduziram cuidadosamente. Mas agora «está ainda mais convencido disso e o aumento da confiança provém de outra-ori- gem: deve-se a uma espécie de “prova experimental”. Então, graças às indagações preceden- tes, os detalhes da fórmula adquirem um novo significado e ficam ligados-a vários fatos. A fórmula tem, portanto, melhor probabilidade de ficar lembrada, o conhecimento do estudante consolida-se. Finalmente, as indagações podem facilmente ser transferidas para problemas semelhantes. Após alguma experiência com problemas semelhantes, um estudante inteligente poderá perceber as idéias básicas gerais: a utilização dos dados relevantes, a variação dos da- dos, a simetria, a analogia. Se ele adquirir o hábito de dirigir sua atenção para estes pontos, a sua capacidade de resolver problemas poderá definitivamente beneficiar-se. E possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema? Com um pouco de incentivo e apos um ou dois exemplos, os estudantes facilmente encontram aplicações que co ' t ' ~ ~ . . nsis am, essencialmente, em dar alguma interpretação concreta aos elementos matematicos dO PTObÍCma. 0 professor poderá apresentar o problema de forma ligeiramente diferente para aumentar a capacidade de argumentação dos alunos. Neste exemplo identificamos claramente os pontos básicos das teorias que nortearam nossa pesquisa e nossa fundamentação, ou seja: l. Polya, a resolução de problemas e sua quatro fases de resolução. 2. Puchkin: heurística: técnicas e estratégias de caráter metodológico, ao mesmo tempo ia_ gica e intuitiva, destinadas a resolver o problema de resolver problemas. 3. Ausubel: o conhecimento prévio (subsunçores), conceitos relevantes, organizadores pré- vios e a desejada aprendizagem significativa, que trataremos na próxima seção.
  32. 32. 2.3 APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA - A TEORIA DE AUSUBEL A teoria cognitiva de aprendizagem de Ausubel (in MOREIRA & MASINI, 1982, p.7) tem por idéia central o fato de que a maior influência na aprendizagem é creditada aos conhecimentos já adquiridos pelo aprendiz; tendo como conceito básico em sua teoria, o de aprendizagem significativa. A aprendizagem significativa, segundo Ausubel, é um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um aspecto relevante da estrutura de conhecimento do indivíduo, estrutura essa formada por conceitos subsunçores. Assim, essa aprendizagem ocorre quando a nova informação ancora-se em conceitos relevantes preexistentes na estrutura cognitiva de quem aprende. O armazenamento das informações ocorre de forma organizada no cérebro, dispondo-se segundo uma hierarquia conceitual, na qual cada conceito específico de conhecimento encontra-se ligado a conceitos mais gerais. Daí vem o conceito de Estrutura Cognitiva que é uma estrutura hierárquica de conceitos, que são abstrações da experiência dos indivíduos. Por exemplo, em Matemática, se o aluno já tiver uma noção conceitual de sentença matemática, haverá uma facilitação de sua compreensão dos conceitos de equações, inequações e funções; e este processo de ancoragem da nova informação resultará em modificações e desenvolvimentos do conceito subsunçor, que, dependendo da estrutura cognitiva do indivíduo, podem ser abrangentes e desenvolvidos ou limitados e com pouco desenvolvimento d ' ~-^ - . , ependendo diretamente da frequencia com que ocorre a aprendizagem significativa em conjunção com um dado subsunçor. No presente trabalho, uma idéia -mesmo que primitiva - do Princípio Multiplicativo da Análise Combinatória (também conhecido como Principio Fundamental da Contagem) serviria como subsunçor para novas informações referentes a combinações, arranjos e DCHTIUÍÃÇÕCS C, a medida que esses conceitos fossem aprendidas de forma significativa. , resultaria em um crescimento e reelaboração dos conceitos subsunçores iniciais.
  33. 33. 23 Os conceitos de Combinações, Arranjos e Permutações ficariam mais elaborados, mais inclusivos e mais capazes de servir de subsunçores para novas informações, tais como Arranjos e Combinações com repetição, Permutações Caóticas, etc. Em contraste com a aprendizagem significativa, Ausubel (MOREIRA e MASINI, 1982) define aprendizagem mecânica como a aprendizagem de novas infomiações com pouca ou nenhuma associação com conceitos relevantes existentes na estrutura cognitiva do aprendiz, na qual a nova informação é armazenada de maneira arbitrária e aleatória, sem realizar interações e conexões entre as informações obtidas e armazenadas, gerando um descompasso de distribuição das informações na estrutura cognitiva, sem uma conexão com os conceitos subsunçores especificos. A simples memorização de fórmulas e conceitos em Matemática, em nosso caso específico de Arranjos, Combinações e Permutações, pode exemplificar a Aprendizagem Mecânica, apesar que ainda se possa lançar o argumento que algum tipo de associação ocorra; e para Ausubel, não existe uma distinção dicotômica entre aprendizagem significativa e mecânica, que podem ser vistas como um continuum, de modo que durante o processo de aprendizagem, o aprendiz poderá recorrer a ambas - complementamiente - dependendo das características concernentes às informações e ao seu estágio de desenvolvimento de conhecimento. Dois outros conceitos são abordados por Ausubel, o de Aprendizagem por Recepção, na qual a informação a ser aprendida é apresentada em sua forrria final ao aprendiz e o de Áprendizagem por Descoberta em que o conteúdo principal a ser aprendido é descoberto pelo aprendiz, levando-se em consideração que após essa descoberta, a aprendizagem só será significativa se o conteúdo descoberto conectar-se a conceitos subsunçores relevantes já existentes na estrutura cognitiva, incorporando-se de forma não arbitrária a esta estrutura. Segundo Ausubel, a formação dos subsunçores se dá das seguintes fem-ias: A Aprendizagem Mecânica faz-se necessária quando um indivíduo adquire informações numa área de conhecimento completamente nova para ele, e deverá ocorrer até que alguns
  34. 34. 24 elementos de conhecimento, relevantes a novas informações na mesma área, existam na estrutura cognitiva e possam servir de subsunçores, mesmo que pouco elaborados, e à medida que a aprendizagem começa a ser significativa esses subsunçores vão se tornando mais elaborados e mais capazes de ancorar novas informações. Em pequenos aprendizes, os conceitos são adquiridos mediante processo de formação de conceitos, que envolve generalizações específicas e, ao atingir a idade escolar, a maioria das crianças já possui um conjunto adequado de conceitos que irão permitir a aprendizagem por recepção(MOREIRA e MASINI, 1982). O processo de Formação de Conceitos é característico de crianças em idade pré-escolar, segundo uma aquisição espontânea de idéias genéricas por meio de experiências empírico- concretas; podendo ser encarada como um tipo de aprendizagem por descoberta, consistindo de um [JIOCCSSO de abstração dos aspectos comuns de uma classe de objetos ou eventos que variam contextualmente(ibidem, 1982). Já na Assimilação de Conceitos, a forma pela qual o aprendiz (criança ou adulto) adquire novos conceitos é por recepção de seus atributos criteriais e pelo relacionamento desses atributos com aqueles relevantes estabelecidos em sua estrutura cognitiva. Os conceitos não- espontâneos são generalizações que passam a predominar durante a fase anterior à adolescência e em indivíduos em processo de escolarização, adquirindo conceitos de modo mais eficaz, passando a relacionar os atributos criteriais do novo conceito a sua estrutura cognitiva, sem a necessidade de exempliñcações particulares para ocorrer esse relacionamento. Esse processo tem como ponto relevante a relação não arbitrária de idéias estabel ' ' ' - › - . . . ecidas na estrutura cognitiva do aprendiz com o conteudo significativo, contido na definição dos termos ou das “pistas” contextuais que auxiliarão nessa relação(ibidem,1982). A aqmsição de conceitos por meio de Aprendizagem Receptiva não se estabelece como um processo passivo de abstração, caracterizando-se por um processo ativo de interação com os conceitos já adquiridos, e quanto mais ativo for esse processo, mais significativos e úteis serão os conceitos(ibidem, 1982). Para a formação de âncoras na nova aprendizagem, Ausubel recomenda o uso de Organizadores Prévias, que são materiais introdutórios apresentados antes do próprio
  35. 35. material a ser aprendido, que levam ao desenvolvimento de conceitos subsunçores, que facilitarão a aprendizagem subseqüente, manipulando a estrutura cognitiva a fim de facilitar a aprendizagem significativa. A principal função dos organizadores é servir de ponte entre o que o aprendiz já sabe e o que ele deve saber, facilitando a aprendizagem na medida que fimcionam como pontes cognitivas e superando o limite entre o que o aprendiz já sabe e aquilo e o que precisa saber. O uso de organizadores permite ao aprendiz o aproveitamento das caracteristicas de um subsunçor, através(MOREIRA e MASINI, 1982, p. 1 1): a) da identificação do conteúdo relevante na estrutura cognitiva e explicação da relevância desse conteúdo para a aprendizagem do novo material. b) da visão geral do material em um nível mais alto de abstração (diferentemente dos Sumários) salientando as relações importantes. c) do provimento de elementos organizacionais inclusivos, que levem em consideração mais eficientemente e destacando de forma considerável o conteúdo especifico do novo material. Quanto mais cedo forem apresentados, no início das tarefas de aprendizagem, mais eficientes serão; sendo sua formulação em termos familiares do aprendiz, característica fundamental para uma aprendizagem significativa e organizada dentro de uma ordem pedagógica. A utilização dC organizadores constitui uma estratégia, sugerida por Ausubel com o intuito de manipulação da estrutura cognitiva a fim de facilitar a aprendizagem significativa, devendo-se levar em consideração que infomiações “sem significado” produzirão apreensão de conceitos, também, sem grande significação para o aprendiz. Para que haja ocorrência de aprendizagem significativa faz-se necessário a presença de subsunçores (simbolos, conceitos, proposições), e pressupõe que(MOREIRA e MASlNI 1932, p.14): i a) o material a ser aprendido seja potencialmente significativo para o aprendiz relacionado a sua estrutura cognitiva de forma não arbitrária e não-literal (substantiva); que depende da natureza do material a ser aprendido (que deve ser logicamente significativa e suficientemente não-arbitrária e não-aleatória e que se situem dentro do domínio da
  36. 36. 26 capacidade humana de aprender) e da natureza cognitiva do aprendiz, onde devem estar disponiveis os subsunçores específicos com os quais o novo material é relacionável; b) o aprendiz manifeste uma disposição de relacionar o novo material de maneira substantiva e não arbitrária a sua estrutura cognitiva, que independentemente do potencial significativo do material a ser aprendido, se a intenção do aprendiz é memorizá-lo arbitrária e literalmente, tanto o processo de. aprendizagem como seu produto serão mecânicos ou sem significado. Segimdo Ausubel, existe evidência de aprendizagem significativa de um conceito ou uma proposição, quando há a posse de significados claros, precisos, diferenciados e intransferíveis. Argumenta que uma longa experiência em fazer exames faz com que os alunos se habituein a memorizar não só proposições e fórmulas, mas também causas, exemplos e maneiras de resolver problemas típicos. Propõe que, ao se procurar evidência de compreensão significativa e a melhor maneira de se evitar a simulação da aprendizagem significativa é utilizar questões C problemas que sejam, novos, não-familiares e que requeiram a transformação do conhecimento existente. Vejamos algumas sugestões para que isso ocorra(MORElZRA e MASINI, 1982, p.15): a) Testes de compreensão fraseados de maneira diferente e apresentados num contexto diverso do encontrado no material instiucional. b) Solução de problemas como método válido e prático de se procurar evidência de aprendizagem significativa, ressaltando que se o aprendiz não é capaz de resolver um problema, não significa necessariamente, que tenha simplesmente memorizado principios e conceitos relevantes à solução do problema; uma vez que esta depende, também, de habilidades além da compreensão. c) Proposição de tarefas de aprendizagem seqüencialmente dependente de outras, que não possam ser executadas sem um perfeito domínio de precedente. Para tomar mais claro e preciso o processo de aquisição e organização de significados na estrutura cognitiva, Ausubel introduz o Principio da Assimilação (subsunção), que ajuda a explicar como o conhecimento é organizado na estrutura cognitiva. Nesse processo, a relação entre idéias-âncora e assimiladas permanece na estrutura cognitiva e pode ser representada da seguinte forma (MOREIRA e MASINT, 1982, p. 16):
  37. 37. 27 relacionada a Produto intencional É( : va informação conceito subsunçor ; vztencialmente -› eassimilada -› existente na estrutura -› (subsunçor : gxziñcativa por cognitiva modificado) a A Aa' Qtd-adro 3.1 - Princípio da Assimilação . à. assimilação ocorre quando um conceito ou proposição a, potencialmente significativa, e' zssimilado sob uma idéia ou conceito mais inclusivo, já existente na estrutura cognitiva, como : _: exemplo, extensão, elaboração ou qualiñcação do mesmo. Ausubel sugere que a : ssímilação ou ancoragem tem um efeito facilitador na retenção, admitindo que as novas formações, durante um período de tempo variável, permanecem dissociáveis de suas idéia : nora e podendo ser reproduzidas como entes individuais; ou seja(MORE1RA e É›'_-Sl1lI, l982, p. l6): A, a m A, + a' : correndo assimilação oblíteradora quando espontaneamente e progressivamente SC tomam : :nos dissociáveis de suas idéias-âncora, passando a ser uma só. . a este processo de subsunção até agora abordado, chama de subsunção subordinada (ou açrendizagem subordinada), que se dá quando um conceito ou proposição a é assimilado sob 1 idéia mais inclusiva A; chamando a atenção para dois diferentes processou a. subsunçãoübídem, 1982, p. 17): a; a derivativa, que se dá quando o material aprendido é entendido como exemplo especifico de conceitos estabelecidos na estrutura cognitiva ou como corroborante e ilustrativo de uma proposição mais geral previamente aprendida. e) a correlativa, que se dá quando o material aprendido é uma extensão, elaboração, modificação ou qualiñcação de conceitos ou proposições previamente apreendidos, incorporado por interação com subsunçores relevantes e mais inclusivos, mas com sentido não-implícito e não podendo ser adequadamente representado pelos subsunçores. Para Ausubel, existe aprendizagem superordenada quando um conceito ou proposiçãn potencialmente significativa A, mais geral ou inclusivo do que idéias ou conceitos já estabelecidos na estrutura cognitiva a, b e c é adquirido a partir destes e passa a assimila-los;
  38. 38. 28 por exemplo, a medida que o aprendiz desenvolve os conceitos de combinação, arranjos e permutações, pode aprender que todos esses conceitos são subordinados ao de Análise Combinatória, representando assim uma aprendizagem superordenada. À medida que a aprendizagem significativa ocorre, conceitos são desenvolvidos, elaborados e diferenciados em decorrência de sucessivas interações e o desenvolvimento de conceitos é facilitado quando elementos mais gerais, mais inclusivos, são introduzidos em primeiro lugar, e posteriormente, é progressivamente diferenciado, em termos de detalhe e especificidade; e para Ausubel defende que é mais fácil para o indivíduo captar aspectos diferenciados de um todo mais inclusivo previamente aprendido, do que chegar ao todo a partir de suas partes diferenciadas; e também que a organização do conteúdo de uma disciplina na mente de um indivíduo, é uma estrutura hierárquica na qual as idéias mais inclusivas estão no topo e, progressivamente, incorporam proposições, conceitos e fatos menos inclusivos e mais diferenciados(MOREIRA e MASINI, 1982). A programação de conteúdos, segundo Ausubel, deve não só proporcionar a diferenciação progressiva, como também explorar explicitamente relações entre DTODOSlÇÕCS e CÔÍlCÕlÍÔS, chamando a atenção para as siniilaridades e diferenças importantes e reconciliar inconsistências reais ou aparentes, com o intuito de atingir a Reconciliação integrativa, que descreve como antítese à prática usual dos livros-textos em separar idéias e tópicos e seçõesübidem, 1982). Ausubel salienta que cada disciplina acadêmica tem uma estrutura articulada e hierarquizada com relação à organização de conceitos, o que constitui 0 sistema de ÍIIÍOUIIÉIÇÕCS da IllCSlllB. . Acreditando que esses conceitos estruturais podem ser identificados e ensinados ao aprendiz, constituindo para ele um sistema de processamento de informações, um mapa intelectual pode ser utilizado na análise do domínio particular da disciplina e nela resolver problemas. identificados os conceitos superordenados e subordinados da disciplina (ou seu Corpo de conhecimento), eles podem ser dispostos hierarquicamente num diagrama bidimensional que pode ser utilizado, segundo Novak (1977) (in MOREIRA e MASINI, 1982, p, 24) para ans instrucionars, procurando refletir a organização conceitual da disciplina ou uma de suas partes; conforme figura na página a seguir:
  39. 39. 29 CONCEITOS MAIS GERAIS CONCEITOS INTERMEDIÁRIOS CONCEITOS ESPECÍFICOS, POUCO INCLUSIVOS 2.1 - Organização Conceitual segundo Novak (in: MOREIRA E MASINI, 1982, P.24) A A LEI DE DIRETRIZES E BASES DA EDUCAÇÃO EOS PARÂMETROS CURRICULARES NA: CIONAIS estabelecimento da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB/96) dispõe sobre caráter do Ensino Médio como etapa final da Educação Básica, complementando o aprendi- iniciado no Ensino Fundamental. 0 aprendizado, no Ensino Médio, das Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, é irecionado e organizado no sentido de se produzir um conhecimento efetivo e de significado póprio, buscando interdisciplinaridade e contextualização e tendo como objetivos educacio- nais uma série de competências relacionadas a conhecimentos matemáticos e científico- ecnológicos como parte essencial da formação cidadã, propiciando um aprendizado útil à sida e ao trabalho; nos quais, informação, conhecimento, competências e habilidades sejam instrumentos reais de percepção, interpretação, julgamento, atuação, desenvolvimento pessoal E e de aprendizado permanente. Nessa etapa, onde já se pode contar com uma maior maturidade do aluno, os objetivos educa- cionais podem passar a ter maior ambição formativa, tanto em termos da natureza das infor- mações tratadas, dos procedimentos e atitudes envolvidas, como em termos das habilidades, COIHDEÍÊHCÍZIS C (lOS Valores desenvolvidos. Esses objetivos envolvem, de um lado, o aprofun- damento dos saberes disciplinadores com procedimentos científicos pertinentes ao objeto de estudo da Matemática e das outras Ciências Naturais, com metas formativas particulares, até mesmo com tratamentos didáticos especificos; de outro lado, envolvem a articulação interdis-
  40. 40. 30 : çíinar desses saberes, propiciada por várias circunstâncias, dentre as quais se destacam os z. : : teúdos tecnológicos e práticos a serem tratados sob uma perspectiva integradora. Es objetivos do Ensino Médio em cada área do conhecimento devem envolver, de forma zc-znbinada, o desenvolvimento de conhecimentos práticos, contextualizados, que correspon- isn às necessidades da vida contemporânea e o desenvolvimento de conhecimentos mais : :elos e abstratos, que correspondam auma cultura geral que, especificamente na área da íaremática e das Ciências Naturais é corroborado por uma crescente valorização do conhe- : Iz-iento e da capacidade de aprender continuamente, para o qual faz-se» necessária uma for- _ação geral, onde o aprendizado deve contribuir tanto para o conhecimento técnico como : na uma cultura mais -ampla, prática e critica do conhecimento científico. ? jm dos pontos de partida para esse processo é tratar, como conteúdo do aprendizado matemá- : :o e cientifico, elementos do dominio vivencial dos educandos, da escola e de sua comuni- iade, dando significado ao aprendizado através de um diálogo efetivo, desenvolvendo o saber matemático como condição de cidadania, privilegiando uma participação »ativa individual e, coletiva na prática da elaboração cultural. xo ensino atual, como na-Matemática, tem-se omitido os desenvolvimentos realizados ao 'Lango dos séculos, mais especificamente o século XX e tratam de maneira enciclopédica e excessivamente dedutiva os conteúdos tradicionais; onde só uma permanente revisão do que será tratado na disciplina garantirá uma atualização com o avanço do conhecimento científico, atendendoa uma aplicabilidade prática associada a um ritmo crescente de transformação da produção científica; descartando diante mão uma visão meramente utilitária, o que colocaria em risco a própria necessidade de um aprendizado global e substanciado na realidade e- na ciência. Em complemento, a interdisciplinaridade tem uma variedade de sentidos e dimensões que são essenciais, que podem e devem contar com o instrumental matemático para seus equaciona- mentos e para suas quantiñcações, que através de uma consciência interdisciplinar há uma estimulação da percepção da inter-relação de fatos e fenômenos que propicia o desenvolvi- mento articulado do ser humano em seu meio cultural, como construtor e transformação de seu meio.
  41. 41. @J . .i Matemática, por sua universalidade de quantificação e expressão, como linguagem portan- ocupa uma posição singular. No Ensino Médio, quando nas ciências torna-se essencial construção abstrata mais elaborada, os instrumentos matemáticos são especialmente im- tes', não havendo nenhuma atividade da 'vida contemporânea, da música à informática, b comércio à meteorologia, da medicina à cartografia, das engenharias às comunicações, em qse a Matemática não compareça de maneira insubstituível para codificar, ordenar, quantiñ- ai' e interpretar Compassos, taxas, dosagens, coordenadas, tensões, freqüências e quantas ou- tra variáveis houver. Esta ciência, com seus processos de construção e validação de conceitos à e argumentações e os procedimentos de generalizar, relacionar e concluir que lhe são caracte- í Iisticos, permite estabelecer relações e interpretar fenômenos e informações. Suas formas de . pensar possibilitam ir além da descrição da realidade e da elaboração de modelos. O desen- Í volvimento dos instrumentos matemáticos de expressão e raciocínio deve ser preocupação. constante do professor de Matemática, permitindo que o aluno construa efetivamente as abs- ' trações matemáticas, evitando-se a memorização indiscriminada de algoritmos de forma pre- E judicial ao aprendizado. A pertinente presença da Matemática no desenvolvimento de compe- tências essenciais, envolvendo habilidades de caráter gráfico, geométrico, algébrico, estatístico, probabilistico é de fundamental importância na consecução dos objetivos educa- cionais. 7rv 2.5 AS POSSIBILIDADES DE UM ENSINO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA SOB. UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA(ASPECTOS RELEVANTES DA DIS- ¡ SERTA-ÇÃO DE MESTRADO DE WILTON STURM --CONSTANTE DAS RE- FERÊN CLAS BIBLIOGRÁFICAS) rwrsrrvrrrryxvtq. Sturm defende que uma proposta pedagógica alternativa de ensino de Análise Combinatória deve ter predominância do pensamento combinatório ao invés da ênfase às fórmulas (no re- › «ç rw . ..em sumo). Análise Combinatória como assunto de diñcil compreensão, com fórmulas e nomen- v' claturas “sem sentido”, além da dificuldade de se encontrar textos relativos ao seu ensino, constituem entraves ao desenvolvimento de uma prática pedagógica eficaz. A tendência é de que demos aulas semelhantes a que tivemos como alun uma vez que a mai o, gerando conflitos, oria daquelas aulas não proporcionavaboas referências. O ensino baseado-
  42. 42. 32 em “regrinhas” tem por sintoma a sua própria ineficácia, uma vez que os alunos não chegam a ter uma aprendizagem significativa quanto àresolução de problemas. Wilton relata que: (pág 3) ao participar do mini-curso “como resolver problemas de Combina- tória" com o prof. Seiji Hariki, durante o IV EPEM (Encontro Paulista de Educação Matemá- tica) levou-o a refletir sobre basear o ensino da Análise Combinatória na compreensão do Princípio Multiplicativo, suas aplicações e na construção de fórmulas e/ ou técnicas de conta- gem a partir de situações-problema, pois “é plausível esperar que, pelo menos em Análise Combinatória, o esquema tradicional “explanação de-teoria matemática seguida de resolução de exercícios' possa ser substituído por um esquema mais construtivista” (HARIKI, 1996, p.5). Relata Sturm que passou va acreditar que o ensino da »análise eo-rnbinatória deve se dar através de situações-problema e que as fórmulas devem aparecer em decorrência das experiências na resolução de problemas, devem ser fiuto da construção didática na prática pedagógica. Segue dizendo que diferentemente de outras partes da matemática, alguns problemas de Aná- lise Combinatória podem -permitir-diversas interpretações e as soluções-obtidas de maneiras diversas. Deixou de olhar a matemática segundo uma concepção absolutista (o conhecimento é feito de-verdades absolutas-e representa o domínio único do conhecimento incontestável - para visualizá-la de uma forma falibilista, que considera o conhecimento matemático falível e corrigível e em contínua expansão, como qualquer outro tipo de conhecimento humano (CURY, 1994, p.39). Acreditando que uma mudança em sua prática pedagógica relativa ao ensino da-Análise Com- binatória, baseada numa reflexão crítica sobre suas possibilidades e limitações, dando seqüên- cia» a um estudo de mestrado baseadoem uma proposta alternativa de ensino. Em suas observações (p.5) percebeu que: & muitos professores têm um despreparo até em relação a elementos básicos de Análise Combinatória, o que provavelmente leva os idealizadores dos mim'- cursos a dedicar mais tempo às questões relacionadas ao conteúdo matemáti- co do que às de natureza didático-pedagógicas, chegando inclusive a ensinar conceitos básicos como permutações ou a diferença entre arranjos e combi- naçoes.
  43. 43. Sturm (1999, p.24), relata que julgava que a bibliografia existente sobre o tema da Análise Combinatória o- auxiliaría na elaboração de aulas e» o desenvolvimento do curso que estava preparando para seus alunos, mas encontrou poucos textos relacionados ao tema. Lendo a tese de doutorado (1994) e os artigos (1993, 1995) de Fiorentini pôde constatar a não existência -no Brasil de nenhuma tese ou dissertação que tivesse como objeto de investigação o ensino de Análise Combinatória. Em sua bibliografia comentada, comenta que existem estudos que tra- tam da relação entre a formação do conceito de Arranjos, Permutações e Combinações e o desenvolvimento intelectual de crianças e jovens. Em sua análise, observou que para cada tema, inicialmente é apresentada, em algumas publicações nacionais, é apresentada a defini- ção ea fórmula, sem preocupações com o significado-dos termos e símbolos envolvidos; no momento seguinte aparecem alguns exercícios sob o título “aplicações”. Sobre o livro Prelú- dio à Análise Combinatória (BACHX, POPPE e TAVARES, 1975), são apresentados exercí- cios, alguns resolvidos e outros não, utilizando-se basicamente o Princípio Multiplicativo, que se constitui na base de seu-trabalho, Ressalta que os autores dedicam especial- atenção ao_ Principio Multiplicativo como forma de compreender as fórmulas dos arranjos como decor- rência do mesmo e na apresentação e discussão- das diversas fórmulas que envolvem o tema. Cita também o trabalho de Morgado (MORGADO, et alli, 2000), que além do Princípio Mul- tiplicativo aborda um pouco de história da análise Combinatória e outros princípios como da indução matemática, da inclusão e exclusão, das funções geradoras e da “casa dos pombos" (Dirichlet). Sturm-comenta que o l-ivro de Vilenkin (s/ d), além de fazer em seu prefácio menção à história da matemática e dos princípios aditivo e multiplicativo, apresenta problemas resolvidos e um apêndice com mais de 400 problemas, embora não discuta suas possíveis utilizações em sala de aula e que a contribuição desses trabalhos se dá principalmente em relação ao conhecimen- to matemático, o que não foram de grande auxílio em sua investigação, uma vez que procura- va considerações acerca de Arranjos, Permutações e Combinações no contexto de sala de au- la. -Apesar do exposto, ressalta que “o professor pode, através destes textos, aperfeiçoar seu conhecimento matemático, conhecer melhor certas definições, além de ter uma fonte de exer- cícios que poderão ser propostos -em sala de aula". Menciona que no começo de seu trabalho teve grande dificuldade em encontrar textos rela- cionados diretamente à Análise Combinatória, e que muitos -dos textos tratavam basicamente de Probabilidade ou de Matemática Discreta, relacionando-as com Análise Combinatória; ta:
  44. 44. 34 como Henry (s/ d) com noções de probabilidade tradicional e experimental; Lecoutre (1985) que-em seu artigo estuda-a resistência do-erro após -a consideração de informações em combi- natória, Parzysz (1993) procura mostrar as possibilidades do diagrama de árvore no estudo de probabilidade e-combinações; dentre outros. (STURM, 1999, p. 29) Revela que esses textos (dentre outros citados em sua dissertação) foram consultados na espe- rança de que as menções à Análise Combinatória, mesmo que indiretas, trouxessem algum_ auxílio relevante à sua investigação; mas, infelizmente esse fato não ocorreu. Vejamos outros estudos que tratam da -relação entre a formação de conceitos relativos à análi- se combinatória e o desenvolvimento intelectual de crianças e jovens utilizando o método clínico em suas pesquisas. (STURM, p. 30 a 35) c Na década de 50, Piaget e Inhelder realizaram estudos acerca da capacidade combínatória. Em seu livro “La Gênese de Pidée de nasard- chez Fenfant” (1951), os autores apresenta- ram resultados que relacionam a idade dos individuos com a capacidade de chegar a um sistema de contagem para os temas Combinações, Permutações e Arranjos. Eles considera-_ ram três níveis distintos relacionados à idade dos indivíduos: Nível I - até os-sete anos: não há procura de procedimentos ou sistema de construção por par- te dos indivíduos. Nível -II - dos sete aos onze anos: os indivíduos iniciam a busca-de um sistema-. Nível HI- acima dos onze anos: indícios da descoberta de um sistema ou lei de formação. c- Fischbein, Pampu e Minzat (1970) questionam Piaget e Inhelder e investigam os efeitos da instrução direta (incluindo exemplos na formulação da questão) na habilidade de lidar com Permutações e Arranjos em 60 crianças, testadas individualmente (idades de 10,12 e 14 anos) e usando elementos como letras, números e figuras verificou-se que a sessões expe- rimentais constituíram-se de duas fases: * Estimação subjetiva do número de permutações: nesta fase o fator idade foi significante no sentido de existir uma tendência de subestimar o número de permutações possíveis.
  45. 45. 35 * Aquisição de estratégia sistemática no cálculo do número de arranjos e permutações (efeitos da instrução): verificaram que-através da combinação de aprendizagem- por descoberta com, instrução programada, os procedimentos dos alunos frente a arranjos e permutações de 3,4 e 5 elementos, resoluções do tipo 2.22 aparecem espontaneamente após ter-se feito o pri- meiro diagrama de árvore. o Batanero, Godins e Navarro-Pelayo-(l996) apresentaram pesquisa sobre a capacidade Combinatória e sua relação com a instrução escolar, com a participação de 720 alunos na faixa etária de 14 anos com e sem instrução em análise Combinatória, -colhendo as seguin- tes considerações: os alunos apresentavam grande dificuldade em resolver os problemas propostos e relacionaram cerca -de 11 tipos de erros comuns, tais-como: levar-em conta a ordem dos elementos, a repetição dos elementos e tentar resolver o problema por enumera- ção de possibilidades sem apresentar procedimento. Perceberam também que há uma certa regularidade no aparecimento dos erros para ambos os grupos de alunos, ou seja, com e sem instrução. c: Roa, Batanero, Godino e Cañizares ( 1996) apresentam estudo dos processos de resolução de problemas combinatórios com quatro estudantes de Licenciatura em Matemática, onde foram selecionados os melhores -e os piores num grupo de 29, que foram submetid-os a 13 problemas, onde foi identificado: * Nos melhores identificaram a operação Combinatória envolvida, a compreensão da impor- tância ou não da ordem e da repetição de elementos, a capacidade de enumeração sistemá- tica, a capacidade recursiva e de generalização. * Nos piores identificou-se a confusão sobre a relevância da ordem e da repetição, falta de capacidade de enumeração e erros aritméticos. o Glaymann e Varga (1974) propõem sugestões para ensinar análise Combinatória a partir de: *Problemas abertos abrindo a possibilidade de diferentes formas de resolução. -
  46. 46. 36 *Discussão da relação entre Arranjos e Combinações, comparando variantes de um problema e ilustração por meio do diagrama da árvore. a Hariki (1996) trata das conexões entre diferentes problemas combinatórios e a importância destas conexões no desenvolvimento de estratégias de resolução. A proposta de Sturm se divide em 4 fases, de acordo com os objetivos de cada momento: “ Familiarização com problemas de Contagem em geral”, “Estudo de notação fatorial”, “Levan- tamento e observação das características dos problemas que determinam seu modo de resolu- ção”- e “Relação das Características (modo de resolver) com os temas em si e formalização dos conceitos / temas”. Na última fase, os temas referidos são Arranjo, Permutação e Combina- ção, todos sem repetição de elementos. Vejamos uma descrição resumida de cada fase: o Primeira fase: “Familiarização com problemas de contagem em geral". Nesta fase objetiva-se que os alunos mantenham um primeiro contato com os problemas de contagem, buscando-se a obtenção de competências em leitura e interpretação de problemas e, as primeiras noções de estratégias de contagem com listagem, o chamado Princípio Multipli- cativo e os diagramas de árvore. Entre as estratégias de contagem inclui-se ainda um-a que pode ser considerada intermediária entre a listagem de todos os casos possíveis e a aplicação direta-do Princípio Multiplicativo, que consiste em se tomar um elemento como base e listar. (formar todas as possibilidades que incluem este elemento). t Segunda fase: “Estudo da Notação F-atorial". Levando-se em consideração o que fora trabalhado na fase anterior, nesta fase era esperado que os alunos já tivessem as primeiras percepções de que a multiplicação tem um papel fun- damental no estado da análise Combinatória. Nesta fase dedicou-se à resolução de exercícios envolvendo exclusivamente-a utilização de fatoriais na resolução de exercícios, no intuito de familiarizar os alunos com o trabalho fatorial como elemento simplificador na formalização das fónnulas de permutações, arranjos e permutações. -
  47. 47. 37 o Terceira fase: “Levantamento e observação das características dos problemas que deter- minam seu modo de resolução”. As principais características que determinam o-modo de resolução dos problemas foram: or- denação dos elementos, aplicação direta do princípio multiplicativo e aplicabilidade do dia- grama de árvore (também conhecido como árvore de possibilidades). Nesta-fase buscou-se, a partir de uma lista de problemas, contemplar os diferentes temas que, após um levantamento de suas características e posteriormente classificar os problemas em arranjos, permutações ou Combinações. Quarta fase: “Relação das características (modo de resolver) com os temas em si e' formali- zação dos Conceitos/ temas". Nesta fase, esperando-se que os alunos já estivessem familiarizados com problemas de Conta- gem e suas diferenciações, busca-se proporcionar que os alunos discutam sobre as relações entre Arranjo e Permutações, uma vez que a Permutação pode ser encarada como um caso particular de Arranjos (de n elementos tomados n a n) e entre Arranjo e Combinação, conside- rando-se que estes conceitos diferem entre si apenas pelo fato de consid-erar-se ou não a orde- nação dos elementos. Esta fase também permite a formalização dos diversos conceitos e a generalização possibilitada pelas fórmulas. . Vejamos agora alguns pontos extraídos das considerações finais de sua investigação: 1) No processo de ensino-aprendizagem de análise Combinatória, com o trabalho inicial de familiarização dos alunos com diferentes exercícios, fazendo-se uso de outras estratégias de contagem que não as fórmulas, como-é o caso da enumeração sistemática e do diagra- ma de árvore. 2) Experimentação de uma mudança na relação do professor e dos alunos com a Análise Combinatória, mais precisamente com os temas de Arranjos, Permutações e Combina- ções, primeiramente apresentando exercícios para, posteriormente-chegar às sistematiza- ções.
  48. 48. 38 3) A ocorrência positiva com relação ao uso do Princípio Multiplicativo, uma vez que os alu- nos compreenderam sua potencialidade e as aplicações desta estratégia, como um “dispo- sitivo de segurança” que poderá auxiliá-los consideravelmente no acerto de sua utilização adequada em problemas de contagem. 4) A presença do Princípio Multiplicativo como estratégia propiciou que as fórmulas de Ar- ranjos e de Permutações fossem apreendidas de modo “natura ", sem maiores dificulda- des, permitindo que esses conceitos fossem ensinados antes de sua sistematização através de fórmulas. 5) O caráter “mecanicistd” de solução de problemas em Matemática conta pouco na resolução de problemas em Análise Combinatória. Estudar os anseios, as dificuldades para ensinar (e até compreender! 1)' o tema, os-pontos de vista dos professores em relação ao ensino- aprendizagem de Análise Combinatória tem como objetivo estimular os professores a ex- perimentar, a aprimorar suas práticas, a evoluir, a tentar sempre encontrar a forma mais adequada, conforme sua realidade as necessidades dos alunos, ao ensinar Análise Combi- natória. Sturm, -em sua experiência -de pesquisa, numa busca incessante de uma identidade como pro- fessor (palavras suas) buscou uma nova tendência didatico pedagógica para evitar que viesse a dar aulas semelhantes às-que tivera como aluno. Eu, semelhantemente às suas inquietações, resolvi dar vasão às minhas inquietudes e questionamentos acerca de como conciliar uma prá- tica pedagógica que viesse a contribuir com uma aprendizagem significativamente qualitativa para o ensino de Análise Combinatória; procurando demonstrar através deste estudo que uma adoção de uma prática pedagógica que possibilitasse uma participação efetiva dos alunos no processo de resolução de problemas de contagem, sugerindo o Principio Multiplicativo como “recurso didático fiindamental”, onde o raciocínio combinatório consiga suplantar o domínio de fórmulas ou procedimentos rotineiros.
  49. 49. p¡ K7 3. OS PRINCÍPIOS ADIT IVO E MULTIPLICATIVO INTRODUÇÃO A Análise Combinatória, que apesar de ter um conteúdo repleto de situações-problema capa- zes de motivar todo aquele que se dispõe a estudá-la e oferecer inúmeros casos de contextua- lização didátiCa, - é reconhecidamente considerada uma disciplina dificil de ser ensinada e a- prendida pela maioria dos alunos do ensino médio e por grande parte de seus respectivos professores. Seu ensino tradicionalmente esteve centrado em definições e fórmulas que eram buscadas para resolver corretamente determinados problemas, habituando os alunos a um trabalho me- cânico e repetitivo, excluindo sua compreensão do processo de resolução e, muitas vezes, causando-lhes sentimentos de impotência em determinadas situações. Neste trabalho, procuramos utilizar rotas alternativas para resolver parte desta situação, obje- tivando não só evitar o uso indiscriminado de fórmulas para solucionar problemas de conta- gem, como também, a partir da utilização-de princípios-fundamentais (mais-especificamente o Multiplicativo) tentar desenvolver no estudante capacidades cognitivas que sejam facilmente mobilizadas na construção de estratégias que, aliadas -ao raciocínio lógico-dedutivo e enge- nhosidade, lhes forneçam recursos didáticos capazes de auxiliá-los no trato de situações- problema que envolvam Contagem. Longe de ser simplesmente o estudo das combinações, arranjos e permutações, que são con- ceitos que nos permitem resolver determinados tipos de problemas, a Análise Combinatória trata tipos de situações e dispõe, além dos conceitos fundamentais, de outras técnicas para a_ solução de problemas de contagem; tais como: o Principio das Gavetas de Dirichlet, permuta- ções caóticas, os Lemas de Kaplansky, o Princípio da Inclusão-Exclusão, - o Princípio da Re- flexão, que são instrumentos eñcazes e nos deteremos em nossa pesquisa à utilização do Prin- cípio Multiplicativo. "N A utilização da Análise Combinatória se aplica a vários Campos do conhecimento humano como na teoria da informação, transportes, confecção de horários e de planos de produção, de programação linear e estatística, determinação de isômeros, na Química, dentre outros.

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