Vectores en el espacio (38

Vectores en el espacio
U n v e c t o r e n e l e s p a c i o e s c u a l q u i e r s e g m e n t o o r i e n t a d o q u e t i e n e s u o r i g e n
e n u n p u n t o y s u e x t r e m o e n e l o t r o .
C o m p o n e n t e s d e u n v e c t o r e n e l e s p a c i o
S i l a s c o o r d e n a d a s d e A y B s o n : A ( x 1 , y 1 , z 1 ) y B ( x 2 , y 2 , z 2 ) L a s c o o r d e n a d a s o
c o m p o n e n t e s d e l v e c t o r s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l e x t r e m o m e n o s l a s c o o r d e n a d a s
d e l o r i g e n .
D e t e r m i n a r l a c o m p o n e n t e s d e l o s v e c t o r e s q u e s e p u e d e n t r a z a r e l e l
t r i á n g u l o d e v é r t i c e s A ( − 3 , 4 , 0 ) , B ( 3 , 6 , 3 ) y C ( − 1 , 2 , 1 ) .

M ó d u l o d e u n v e c t o r
E l m ó d u l o d e u n v e c t o r e s l a l o n g i t u d d e l s e g m e n t o o r i e n t a d o q u e l o d e f i n e . E l
m ó d u l o d e u n v e c t o r e s u n n ú m e r o s i e m p r e p o s i t i v o y s o l a m e n t e e l v e c t o r n u l o t i e n e
m ó d u l o c e r o .
C á l c u l o d e l m ó d u l o c o n o c i e n d o s u s c o m p o n e n t e s
D a d o s l o s v e c t o r e s y , h a l l a r l o s m ó d u l o s d e
y ·
C á l c u l o d e l m ó d u l o c o n o c i e n d o l a s c o o r d e n a d a s d e l o s p u n t o s

D i s t a n c i a e n t r e d o s p u n t o s
L a d i s t a n c i a e n t r e d o s p u n t o s e s i g u a l a l m ó d u l o d e l v e c t o r q u e t i e n e d e
e x t r e m o s d i c h o s p u n t o s .
H a l l a r l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p u n t o s A ( 1 , 2 , 3 ) y B ( − 1 , 2 , 0 ) .
V e c t o r u n i t a r i o U n v e c t o r u n i t a r i o t i e n e d e m ó d u l o l a u n i d a d . L a
n o r m a l i z a c i ó n d e u n v e c t o r c o n s i s t e e n a s o c i a r l e o t r o v e c t o r u n i t a r i o , d e l a m i s m a
d i r e c c i ó n y s e n t i d o q u e e l v e c t o r d a d o , d i v i d i e n d o c a d a c o m p o n e n t e d e l v e c t o r p o r s u
m ó d u l o .
S u m a d e v e c t o r e s P a r a s u m a r d o s v e c t o r e s s e s u m a n s u s r e s p e c t i v a s c o m p o n e n t e s .
E j e m p l o s D a d o s = ( 2 , 1 , 3 ) , = ( 1 , − 1 , 0 ) , = ( 1 , 2 , 3 ) , h a l l a r e l v e c t o r = 2 u +
3 v − w .
= ( 4 , 2 , 6 ) + ( 3 , − 3 , 0 ) − ( 1 , 2 , 3 ) = ( 6 , − 3 , 3 )
D a d o s l o s v e c t o r e s y , h a l l a r e l m ó d u l o d e l v e c t o r .

P r o p i e d a d e s d e l a s u m a d e v e c t o r e s
A s o c i a t i v a
+ ( + ) = ( + ) +
C o n m u t a t i v a
+ = +
E l e m e n t o n e u t r o
+ =
E l e m e n t o o p u e s t o
+ ( − ) =
P r o d u c t o d e u n n ú m e r o r e a l p o r u n v e c t o r
E l p r o d u c t o d e u n n ú m e r o r e a l k p o r u n v e c t o r e s o t r o v e c t o r : D e i g u a l
d i r e c c i ó n q u e e l v e c t o r . D e l m i s m o s e n t i d o q u e e l v e c t o r s i k e s p o s i t i v o . D e
s e n t i d o c o n t r a r i o d e l v e c t o r s i k e s n e g a t i v o . D e m ó d u l o
L a s c o m p o n e n t e s d e l v e c t o r r e s u l t a n t e s e o b t i e n e n m u l t i p l i c a n d o p o r K l a s c o m p o n e n t e s
d e l v e c t o r .
P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o d e u n n ú m e r o p o r u n v e c t o r
A s o c i a t i v a
k · ( k ' · ) = ( k · k ' ) ·
D i s t r i b u t i v a r e s p e c t o a l a s u m a d e v e c t o r e s

k · ( + ) = k · + k ·
D i s t r i b u t i v a r e s p e c t o a l o s e s c a l a r e s
( k + k ' ) · = k · + k ' ·
E l e m e n t o n e u t r o
1 · =
E j e m p l o
D a d o = ( 6 , 2 , 0 ) d e t e r m i n a r d e m o d o q u e s e a 3 = .
Combinación lineal de vectores en el espacio U n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e d o s o
m á s v e c t o r e s e s e l v e c t o r q u e s e o b t i e n e a l s u m a r e s o s v e c t o r e s m u l t i p l i c a d o s p o r s u s
r e s p e c t i v o s e s c a l a r e s .
C u a l q u i e r v e c t o r s e p u e d e p o n e r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e o t r o s q u e t e n g a n d i s t i n t a
d i r e c c i ó n . W = 2 u + 3 v
E s t a c o m b i n a c i ó n l i n e a l e s ú n i c a .

E j e m p l o E x p r e s a e l v e c t o r = ( 1 , 2 , 3 ) c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s v e c t o r e s : =
( 1 , 0 , 1 ) , = ( 1 , 1 , 0 ) y = ( 0 , 1 , 1 ) .
S u m a m o s m i e m b r o a m i e m b r o l a s t r e s e c u a c i o n e s y a l a e c u a c i ó n
o b t e n i d a s e l e r e s t a c a d a u n a d e l a s e c u a c i o n e s .
Vectores linealmente dependientes V a r i o s v e c t o r e s l i b r e s d e l p l a n o s e d i c e q u e
s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i h a y u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e l l o s q u e e s i g u a l a l v e c t o r
c e r o , s i n q u e s e a n c e r o t o d o s l o s c o e f i c i e n t e s d e l a c o m b i n a c i ó n l i n e a l .
P r o p i e d a d e s 1 . S i v a r i o s v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s , e n t o n c e s a l m e n o s
u n o d e e l l o s s e p u e d e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s d e m á s .

T a m b i é n s e c u m p l e e l r e c i p r o c o : s i u n v e c t o r e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e o t r o s ,
e n t o n c e s t o d o s l o s v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s .
2 .D o s v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i , y s ó l o s i , s o n p a r a l e l o s .
3 .D o s v e c t o r e s l i b r e s = ( u 1 , u 2 ) y = ( v 1 , v 2 ) s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i
s u s c o m p o n e n t e s s o n p r o p o r c i o n a l e s .
E j e m p l o D e t e r m i n a r l o s v a l o r e s d e k p a r a q u e s e a n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s l o s
v e c t o r e s , y . E s c r i b i r
c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e y , s i e n d o k e l v a l o r c a l c u l a d o .
L o s v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z q u e f o r m a n
e s n u l o , e s d e c i r q u e e l r a n g o d e l a m a t r i z e s m e n o r q u e 3 .

Vectores linealmente independientes V a r i o s v e c t o r e s l i b r e s s o n l i n e a l m e n t e
i n d e p e n d i e n t e s s i n i n g u n o d e e l l o s p u e d e s e r e s c r i t o c o n u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s
r e s t a n t e s .
a 1 = a 2 = · · · = a n = 0
L o s v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s t i e n e n d i s t i n t a d i r e c c i ó n y s u s
c o m p o n e n t e s n o s o n p r o p o r c i o n a l e s .
E j e m p l o s 1 .E s t u d i a r s i s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s o i n d e p e n d i e n t e s l o s v e c t o r e s :
= ( 2 , 3 , 1 ) , = ( 1 , 0 , 1 ) , = ( 0 , 3 , − 1 )
a ( 2 , 3 , 1 ) + b ( 1 , 0 , 1 ) + c ( 0 , 3 , − 1 ) = ( 0 , 0 , 0 )
r = 2 n = 3 S i s t e m a c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o .

E l s i s t e m a t i e n e i n f i n i t a s s o l u c i o n e s , p o r t a n t o l o s v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e
d e p e n d i e n t e s .
2 .S i e n d o = ( 1 , 0 , 1 ) , = ( 1 , 1 , 0 ) y = ( 0 , 1 , 1 ) , d e m o s t r a r q u e d i c h o s v e c t o r e s
s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s y e x p r e s a e l v e c t o r = ( 1 , 2 , 3 ) c o m o c o m b i n a c i ó n
l i n e a l d e d i c h o s v e c t o r e s .
E l s i s t e m a a d m i t e ú n i c a m e n t e l a s o l u c i ó n t r i v i a l :
P o r t a n t o , l o s t r e s v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
S u m a m o s m i e m b r o a m i e m b r o l a s t r e s e c u a c i o n e s y a l a e c u a c i ó n o b t e n i d a s e l e
r e s t a c a d a u n a d e l a s e c u a c i o n e s .

Base T r e s v e c t o r e s , y c o n d i s t i n t a d i r e c c i ó n f o r m a n u n a b a s e , p o r q u e c u a l q u i e r
v e c t o r d e l e s p a c i o s e p u e d e p o n e r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e l l o s .
L a s c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r r e s p e c t o a l a b a s e s o n :
B a s e o r t o g o n a l U n a b a s e e s o r t o g o n a l s i l o s v e c t o r e s d e l a b a s e s o n p e r p e n d i c u l a r e s
e n t r e s í .
B a s e o r t o n o r m a l U n a b a s e e s o r t o n o r m a l s i l o s v e c t o r e s d e l a b a s e s o n
p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í , y a d e m á s t i e n e n m ó d u l o 1 .
E s t a b a s e f o r m a d a p o r l o s v e c t o r e s , y s e d e n o m i n a b a s e c a n ó n i c a .
E j e m p l o s 1 . D a d o s l o s v e c t o r e s = ( 1 , 2 , 3 ) , = ( 2 , 1 , 0 ) y = ( − 1 , − 1 , 0 ) ,
d e m o s t r a r q u e d i c h o s v e c t o r e s f o r m a n u n a b a s e y c a l c u l a l a s c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r ( 1 ,
− 1 , 0 ) r e s p e c t o d e d i c h a b a s e .

E l s i s t e m a h o m o g é n e o s ó l o a d m i t e l a s o l u c i ó n t r i v i a l :
P o r t a n t o , l o s t r e s v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s y f o r m a n u n a
b a s e .
L a s c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r ( 1 , − 1 , 0 ) r e s p e c t o a l a b a s e s o n : .
2 . D a d o s l o s v e c t o r e s : ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) y ( 0 , 1 , 1 ) .
1 D e m o s t r a r q u e f o r m a n u n a b a s e .
L o s t r e s v e c t o r e s f o r m a n u n a b a s e s i s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

E n e l s i s t e m a h o m o g é n e o e l r a n g o c o i n c i d e c o n e l n ú m e r o d e i n c ó g n i t a s , p o r
t a n t o t a n s ó l o a d m i t e l a s o l u c i ó n t r i v i a l :
L o s v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s y , p o r t a n t o , f o r m a u n a b a s e .
2 H a l l a r l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s d e l a b a s e c a n ó n i c a r e s p e c t o d e e s t a
b a s e .
L a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s d e l a b a s e c a n ó n i c a r e s p e c t o d e l a b a s e s o n :

3 . C a l c u l a r e l v a l o r d e a p a r a q u e l o s v e c t o r e s ,
y f o r m e n u n a b a s e .
S i a ≠ 1 , l o s v e c t o r e s f o r m a n u n a b a s e .
Producto punto E l p r o d u c t o p u n t o o p r o d u c t o e s c a l a r d e d o s v e c t o r e s e s u n n ú m e r o
r e a l q u e r e s u l t a a l m u l t i p l i c a r e l p r o d u c t o d e s u s m ó d u l o s p o r e l c o s e n o d e l á n g u l o q u e
f o r m a n .
E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l p r o d u c t o p u n t o
E j e m p l o
H a l l a r e l p r o d u c t o p u n t o d e d o s v e c t o r e s c u y a s c o o r d e n a d a s e n u n a b a s e
o r t o n o r m a l s o n : ( 1 , 1 / 2 , 3 ) y ( 4 , − 4 , 1 ) .
( 1 , 1 / 2 , 3 ) · ( 4 , − 4 , 1 ) = 1 · 4 + ( 1 / 2 ) · ( − 4 ) + 3 · 1 = 4 − 2 + 3 = 5
E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l m ó d u l o d e u n v e c t o r

H a l l a r e l v a l o r d e l m ó d u l o d e u n v e c t o r d e c o o r d e n a d a s = ( − 3 , 2 , 5 ) e n u n a
b a s e o r t o n o r m a l .
E x p r e s i ó n a n a l í t i c a d e l á n g u l o d e d o s v e c t o r e s
D e t e r m i n a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s v e c t o r e s = ( 1 , 2 , − 3 ) y = ( − 2 , 4 , 1 ) .
V e c t o r e s o r t o g o n a l e s D o s v e c t o r e s s o n o r t o g o n a l e s s i s u p r o d u c t o e s c a l a r e s 0 .
E j e m p l o C a l c u l a r l o s v a l o r e s x e y p a r a q u e e l v e c t o r ( x , y , 1 ) s e a o r t o g o n a l a l o s v e c t o r e s
( 3 , 2 , 0 ) y ( 2 , 1 , − 1 ) .
P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o p u n t o

1C o n m u t a t i v a
2 A s o c i a t i v a
3 D i s t r i b u t i v a
4 E l p r o d u c t o e s c a l a r d e u n v e c t o r n o n u l o p o r s í m i s m o s i e m p r e e s p o s i t i v o .
I n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a d e l p r o d u c t o p u n t o
E l p r o d u c t o d e d o s v e c t o r e s n o n u l o s e s i g u a l a l m ó d u l o d e u n o d e e l l o s p o r
l a p r o y e c c i ó n d e l o t r o s o b r e é l .
O A ' e s l a p r o y e c c i ó n e s c a l a r d e s o b r e e l v e c t o r .

E l v e c t o r p r o y e c c i ó n s e c a l c u l a m u l t i p l i c a n d o l a p r o y e c c i ó n e s c a l a r p o r u n v e c t o r
u n i t a r i o d e , d e m o d o q u e o b t e n e m o s o t r o v e c t o r c o n l a m i s m a d i r e c c i ó n .
E j e r c i c i o
D a d o s l o s v e c t o r e s y h a l l a r :
1 . L o s m ó d u l o s d e y ·
2 . E l p r o d u c t o e s c a l a r d e y ·
3 . E l á n g u l o q u e f o r m a n .
4 . E l v a l o r d e m p a r a q u e l o s v e c t o r e s y s e a n
o r t o g o n a l e s .
Cosenos directores

E n u n a b a s e o r t o n o r m a l , s e l l a m a n c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l v e c t o r = ( x , y , z ) ,
a l o s c o s e n o s d e l o s á n g u l o s q u e f o r m a e l v e c t o r c o n l o s v e c t o r e s d e l a b a s e .
E j e m p l o D e t e r m i n a r l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l v e c t o r ( 1 , 2 , − 3 ) .
Producto cruz E l p r o d u c t o c r u z o p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o r e s e s o t r o v e c t o r
c u y a d i r e c c i ó n e s p e r p e n d i c u l a r a l o s d o s v e c t o r e s y s u s e n t i d o s e r í a i g u a l a l a v a n c e d e u n
s a c a c o r c h o s a l g i r a r d e u a v . S u m ó d u l o e s i g u a l a :

E l p r o d u c t o c r u z s e p u e d e e x p r e s a r m e d i a n t e u n d e t e r m i n a n t e :
E j e m p l o s
C a l c u l a r e l p r o d u c t o c r u z d e l o s v e c t o r e s = ( 1 , 2 , 3 ) y = ( − 1 , 1 , 2 ) .
D a d o s l o s v e c t o r e s y , h a l l a r e l p r o d u c t o
c r u z d e d i c h o s v e c t o r e s . C o m p r o b a r q u e e l v e c t o r h a l l a d o e s o r t o g o n a l a y .

E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e e s o r t o g o n a l a l o s v e c t o r e s y .
Á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o G e o m é t r i c a m e n t e , e l m ó d u l o d e l p r o d u c t o c r u z d e d o s
v e c t o r e s c o i n c i d e c o n e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s a e s o s v e c t o r e s .
E j e m p l o . D a d o s l o s v e c t o r e s y , h a l l a r e l á r e a
d e l p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s l o s v e c t o r e s y ·
Á r e a d e u n t r i á n g u l o

E j e m p l o
D e t e r m i n a r e l á r e a d e l t r i á n g u l o c u y o s v é r t i c e s s o n l o s p u n t o s A ( 1 , 1 , 3 ) , B ( 2 ,
− 1 , 5 ) y C ( − 3 , 3 , 1 ) .
P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o c r u z
1 . A n t i c o n m u t a t i v a

x = − x
2 . H o m o g é n e a
λ ( x ) = ( λ ) x = x ( λ )
3 . D i s t r i b u t i v a
x ( + ) = x + x ·
4 . E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o r e s p a r a l e l o s e s i g u a l a l v e c t o r n u l o .
x =
5 . E l p r o d u c t o v e c t o r i a l x e s p e r p e n d i c u l a r a y a .
Producto mixto . E l p r o d u c t o m i x t o d e l o s v e c t o r e s , y s e r e p r e s e n t a p o r [ ,
, ] y e s i g u a l a l p r o d u c t o e s c a l a r d e l p r i m e r v e c t o r p o r e l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e
l o s o t r o s d o s .
E l p r o d u c t o m i x t o d e t r e s v e c t o r e s e q u i v a l e a l d e s a r r o l l o d e u n d e t e r m i n a n t e q u e t i e n e
p o r f i l a s l a s c o o r d e n a d a s d e d i c h o s v e c t o r e s r e s p e c t o a u n a b a s e o r t o n o r m a l .
E j e m p l o s C a l c u l a r e l p r o d u c t o m i x t o d e l o s v e c t o r e s :

V o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o . G e o m é t r i c a m e n t e , e l v a l o r a b s o l u t o d e l p r o d u c t o
m i x t o r e p r e s e n t a e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o c u y a s a r i s t a s s o n t r e s v e c t o r e s q u e
c o n c u r r e n e n u n m i s m o v é r t i c e .
H a l l a r e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o f o r m a d o p o r l o s v e c t o r e s :
V o l u m e n d e u n t e t r a e d r o . E l v o l u m e n d e u n t e t r a e d r o e s i g u a l a 1 / 6 d e l p r o d u c t o
m i x t o , e n v a l o r a b s o l u t o .
O b t e n e r e l v o l u m e n d e l t e t r a e d r o c u y o s v é r t i c e s s o n l o s p u n t o s A ( 3 , 2 , 1 ) , B ( 1 , 2 , 4 ) ,
C ( 4 , 0 , 3 ) y D ( 1 , 1 , 7 ) .

P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o m i x t o
1 . E l p r o d u c t o m i x t o n o v a r í a s i s e p e r m u t a n c i r c u l a r m e n t e s u s f a c t o r e s , p e r o c a m b i a d e
s i g n o s i é s t o s s e t r a s p o n e n .
2 . S i t r e s v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s , e s d e c i r , s i s o n c o p l a n a r i o s ,
p r o d u c t o m i x t o v a l e 0 .
Ejercicios de vectores en el espacio
1 . D a d o s l o s v e c t o r e s , y h a l l a r :
1 . ,
2 . ,
3 .
4 .
5 .

2 . ¿ P a r a q u é v a l o r e s d e a l o s v e c t o r e s , y
f o r m a n u n a b a s e ?
P a r a a ≠ 1 , l o s v e c t o r e s f o r m a n u n a b a s e .
3 . D e t e r m i n a r e l v a l o r d e l p a r á m e t r o k p a r a q u e l o s v e c t o r e s = k − 2 + 3 ,
= − + k + s e a n :
1 O r t o g o n a l e s . P a r a q u e l o s v e c t o r e s s e a n o r t o g o n a l e s s u p r o d u c t o e s c a l a r t i e n e q u e
s e r i g u a l a c e r o .
2 P a r a l e l o s . P a r a q u é d o s v e c t o r e s s e a n p a r a l e l o s , s u s c o m p o n e n t e s t i e n e n q u e s e r
p r o p o r c i o n a l e s .
E l s i s t e m a n o a d m i t e s o l u c i ó n .
4 . H a l l a r l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l v e c t o r .

5 . H a l l a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s v e c t o r e s y .
6 . D a d o s l o s v e c t o r e s y , h a l l a r :
1 L o s m ó d u l o s d e y ·
2 E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e y ·
3 U n v e c t o r u n i t a r i o o r t o g o n a l a y ·
4 E l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s l o s v e c t o r e s y ·
1 L o s m ó d u l o s d e y ·
2 E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e y ·
3 U n v e c t o r u n i t a r i o o r t o g o n a l a y ·

4 E l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s l o s v e c t o r e s y ·
7 . C a l c u l a r e l p r o d u c t o m i x t o : .

8 . D a d o s l o s v e c t o r e s , y , h a l l a r e l
p r o d u c t o m i x t o . ¿ C u á n t o v a l e e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o q u e t i e n e p o r
a r i s t a s l o s v e c t o r e s d a d o s ?
Problemas de vectores en el espacio
1 . H a l l a r d o s v e c t o r e s d e m ó d u l o l a u n i d a d y o r t o g o n a l e s a ( 2 , − 2 , 3 ) y ( 3 , − 3 , 2 ) .
2 . H a l l a r u n v e c t o r p e r p e n d i c u l a r a y , y q u e s e a
u n i t a r i o .

3 .D a d o s l o s v e c t o r e s y , h a l l a r e l p r o d u c t o y
c o m p r o b a r q u e e s t e v e c t o r e s o r t o g o n a l a y a . H a l l a r e l v e c t o r y c o m p a r a r l o
c o n .
4 . C o n s i d e r a r l a s i g u i e n t e f i g u r a :
S e p i d e :

1 C o o r d e n a d a s d e D p a r a q u e A B C D s e a u n p a r a l e l o g r a m o .
2 Á r e a d e e s t e p a r a l e l o g r a m o .
P o r s e r l a f i g u r a u n p a r a l e l o g r a m o , l o s v e c t o r e s y s o n e q u i p o l e n t e s .
5 . D a d o s l o s p u n t o s A ( 1 , 0 , 1 ) , B ( 1 , 1 , 1 ) y C ( 1 , 6 , a ) , s e p i d e :
1 H a l l a r p a r a q u é v a l o r e s d e l p a r á m e t r o a e s t á n a l i n e a d o s .
2 H a l l a r s i e x i s t e n v a l o r e s d e a p a r a l o s c u a l e s A , B y C s o n t r e s v é r t i c e s d e u n
p a r a l e l o g r a m o d e á r e a 3 y , e n c a s o a f i r m a t i v o , c a l c u l a r l o s .
1 H a l l a r p a r a q u é v a l o r e s d e l p a r á m e t r o a e s t á n a l i n e a d o s .

S i A , B y C e s t á n a l i n e a d o s l o s v e c t o r e s y t i e n e n l a m i s m a d i r e c c i ó n ,
p o r l o q u e s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s y t i e n e n s u s c o m p o n e n t e s p r o p o r c i o n a l e s .
2 H a l l a r s i e x i s t e n v a l o r e s d e a p a r a l o s c u a l e s A , B y C s o n t r e s v é r t i c e s d e u n
p a r a l e l o g r a m o d e á r e a 3 y , e n c a s o a f i r m a t i v o , c a l c u l a r l o s .
E l m ó d u l o d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e l o s v e c t o r e s y e s i g u a l a l á r e a
d e l p a r a l e l o g r a m o c o n s t r u i d o s o b r e y .
6 . S e a n A ( − 3 , 4 , 0 ) , B ( 3 , 6 , 3 ) y C ( − 1 , 2 , 1 ) l o s t r e s v é r t i c e s d e u n t r i á n g u l o . S e p i d e :
1 C a l c u l a r e l c o s e n o d e c a d a u n o d e l o s t r e s á n g u l o s d e l t r i á n g u l o .
2 C a l c u l a r e l á r e a d e l t r i á n g u l o .
1 C a l c u l a r e l c o s e n o d e c a d a u n o d e l o s t r e s á n g u l o s d e l t r i á n g u l o .

2 C a l c u l a r e l á r e a d e l t r i á n g u l o .
E cu a cion es d e la recta y el p la n o
Ecuaciones de la recta en el espacio
E c u a c i ó n v e c t o r i a l d e l a r e c t a

D e f i n i m o s u n a r e c t a r c o m o e l c o n j u n t o d e l o s p u n t o s d e l e s p a c i o , a l i n e a d o s c o n u n
p u n t o P y c o n u n a d i r e c c i ó n d a d a .
S i P ( x 1 , y 1 ) e s u n p u n t o d e l a r e c t a r , e l v e c t o r t i e n e i g u a l d i r e c c i ó n q u e , l u e g o e s
i g u a l a m u l t i p l i c a d o p o r u n e s c a l a r :
E c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l a r e c t a
S i o p e r a m o s e n l a e c u a c i ó n v e c t o r i a l d e l a r e c t a l l e g a m o s a l a i g u a l d a d :
P a r a q u e s e v e r i f i q u e e s t a i g u a l d a d , s e d e b e n c u m p l i r :
E c u a c i o n e s c o n t i n u a s d e l a r e c t a

D e s p e j a n d o e i g u a l a n d o λ e n l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s s e t i e n e :
E c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e l a r e c t a
U n a r e c t a p u e d e v e n i r d e t e r m i n a d a p o r l a i n t e r s e c c i ó n d e l o s p l a n o s .
S i e n l a s e c u a c i o n e s c o n t i n u a s d e l a r e c t a q u i t a m o s d e n o m i n a d o r e s y p a s a m o s t o d o a l
p r i m e r m i e m b r o , o b t e n e m o s t a m b i é n l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s .
E j e r c i c i o s 1 .H a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s , e n f o r m a c o n t i n u a e i m p l í c i t a s d e l a
r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o A = ( − 1 , 2 , 1 ) y c u y o v e c t o r d i r e c t o r e s .
E c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s
E c u a c i o n e s e n f o r m a c o n t i n u a
E c u a c i o n e s i m p l í c i t a s

2 .H a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s , e n f o r m a c o n t i n u a e i m p l í c i t a d e l a r e c t a q u e
p a s a p o r l o s p u n t o s A ( 1 , 0 , 1 ) y B ( 0 , 1 , 1 ) .
3 .D a d a l a r e c t a r :
H a l l a r l a s e c u a c i o n e s e n f o r m a c o n t i n u a y p a r a m é t r i c a .

4 .S e a r l a r e c t a d e e c u a c i ó n :
¿ P e r t e n e c e n a r l o s p u n t o s A ( 0 , − 2 , − 2 ) y B ( 3 , 2 , 6 ) ?
5 .O b t e n e r l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a q u e , s i e n d o p a r a l e l a l a r e c t a d a d a p o r x = 3 λ , y = λ , z =
2 λ + 2 , c o n t i e n e a l p u n t o P ( 0 , 1 , − 1 ) .
6 .U n a r e c t a e s p a r a l e l a a l o s p l a n o s x + y = 0 , x + z = 0 y p a s a p o r p o r e l p u n t o ( 2 , 0 , 0 ) .
H a l l a r s u s e c u a c i o n e s .
E l v e c t o r d i r e c t o r d e l a r e c t a e s p e r p e n d i c u l a r a a l o s v e c t o r e s n o r m a l e s d e c a d a p l a n o .

Ecuación del plano
E c u a c i ó n v e c t o r i a l d e l p l a n o
P a r a d e t e r m i n a r u n p l a n o d e l e s p a c i o s e n e c e s i t a c o n o c e r u n p u n t o P y u n p a r
d e v e c t o r e s q u e f o r m e n u n a b a s e , e s d e c i r , q u e s e a n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
P a r a q u e e l p u n t o P p e r t e n e z c a a l p l a n o π e l v e c t o r t i e n e q u e s e r c o p l a n a r i o
c o n y , e s d e c i r , q u e d e p e n d a l i n e a l m e n t e d e y .

E c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l p l a n o
S i o p e r a m o s e n l a e c u a c i ó n v e c t o r i a l d e l p l a n o l l e g a m o s a l a i g u a l d a d :
P a r a q u e s e v e r i f i q u e e s t a i g u a l d a d , s e d e b e c u m p l i r q u e :
E c u a c i ó n g e n e r a l o i m p l í c i t a d e l p l a n o . U n p u n t o e s t á e n e l p l a n o π s i t i e n e s o l u c i ó n
e l s i s t e m a :
E s t e s i s t e m a t i e n e q u e s e r c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o e n l a s i n c ó g n i t a s λ y µ · P o r t a n t o e l
d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z a m p l i a d a d e l s i s t e m a c o n l a c o l u m n a d e l o s t é r m i n o s
i n d e p e n d i e n t e s t i e n e q u e s e r i g u a l a c e r o .
D e s a r r o l l a n d o e l d e t e r m i n a n t e o b t e n e m o s :
D a m o s l o s v a l o r e s :

S u s t i t u i m o s :
R e a l i z a m o s l a s o p e r a c i o n e s y l e d a m o s a D e l v a l o r :
O b t e n e m o s l a e c u a c i ó n g e n e r a l d e p l a n o :
E c u a c i ó n c a n ó n i c a o s e g m e n t a r i a d e l p l a n o
S e a n l o s p u n t o s A ( a , 0 , 0 ) , B ( 0 , b , 0 ) y C ( 0 , 0 , c ) , l a e c u a c i ó n c a n ó n i c a v i e n e
d a d a p o r :

E j e r c i c i o s 1 .H a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s d e l p l a n o q u e p a s a p o r e l
p u n t o A ( 1 , 1 , 1 ) y t i e n e c o m o v e c t o r e s d i r e c t o r e s a y .
2 .H a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s d e l p l a n o q u e p a s a p o r l o s p u n t o s
A ( − 1 , 2 , 3 ) y B ( 3 , 1 , 4 ) y c o n t i e n e a l v e c t o r .
3 .H a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s d e l p l a n o q u e p a s a p o r l o s p u n t o s
A ( − 1 , 1 , − 1 ) , B ( 0 , 1 , 1 ) y C ( 4 , − 3 , 2 ) .

4 .S e a π e l p l a n o d e e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s :
S e p i d e c o m p r o b a r s i l o s p u n t o s A ( 2 , 1 , 9 / 2 ) y B ( 0 , 9 , − 1 ) p e r t e n e c e n a l p l a n o .
5 .H a l l a r l a e c u a c i ó n s e g m e n t a r i a d e l p l a n o q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A ( 1 , 1 , 0 ) , B ( 1 , 0 , 1 )
y C ( 0 , 1 , 1 ) .
D i v i d i e n d o p o r − 2 o b t e n e m o s l a e c u a c i ó n s e g m e n t a r i a :
6 .H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o q u e p a s a p o r e l p u n t o A ( 2 , 0 , 1 ) y c o n t i e n e a l a r e c t a d e
e c u a c i ó n :

D e l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a o b t e n e m o s e l p u n t o B y e l v e c t o r .
7 .H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A ( 1 , − 2 , 4 ) , B ( 0 , 3 , 2 ) y e s p a r a l e l o
a l a r e c t a :
8 .D a d a s l a s r e c t a s
D e t e r m i n a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o q u e c o n t i e n e a r y e s p a r a l e l o a s .
Vector normal

E l v e c t o r e s u n v e c t o r n o r m a l a l p l a n o , e s d e c i r , p e r p e n d i c u l a r a l
p l a n o .
S i P ( x 0 , y 0 , z 0 ) e s u n p u n t o d e l p l a n o , e l v e c t o r
e s p e r p e n d i c u l a r a l v e c t o r , y p o r t a n t o e l
p r o d u c t o e s c a l a r e s c e r o .
D e e s t e m o d o t a m b i é n p o d e m o s d e t e r m i n a r l a e c u a c i ó n g e n e r a l d e l p l a n o , a
p a r t i r d e u n p u n t o y u n v e c t o r n o r m a l .
E j e r c i c i o s
1 .H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a r , q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 , 0 , 0 ) y e s
p e r p e n d i c u l a r a l p l a n o x − y − z + 2 = 0 .
P o r s e r l a r e c t a p e r p e n d i c u l a r a l p l a n o , e l v e c t o r n o r m a l d e l p l a n o ,
, s e r á e l v e c t o r d i r e c t o r d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 , 0 , 0 ) .
2 .H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 , 1 , 1 ) y p e r p e n d i c u l a r a l a
r e c t a x = λ , y = 0 , z = λ .

Punto medio . C o o r d e n a d a s d e l p u n t o m e d i o d e u n s e g m e n t o . S e a n A ( x 1 , y 1 , z 1 ) y B
( x 2 , y 2 , z 2 ) l o s e x t r e m o s d e u n s e g m e n t o , e l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o v i e n e d a d o p o r :
E j e m p l o s 1 .D a d o s l o s p u n t o s A ( 3 , − 2 , 5 ) y B ( 3 , 1 , 7 ) , h a l l a r l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o
m e d i o d e l s e g m e n t o q u e d e t e r m i n a n .
2 .L a s c o o r d e n a d a s d e l o s v é r t i c e s c o n s e c u t i v o s d e u n p a r a l e l o g r a m o s o n A ( 1 , 0 , 0 ) y B ( 0 ,
1 , 0 ) . L a s c o o r d e n a d a s d e l c e n t r o M s o n M ( 0 , 0 , 1 ) . H a l l a r l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v é r t i c e s
C y D .

Baricentro . C o o r d e n a d a s d e l b a r i c e n t r o d e u n t r i á n g u l o
S e a n A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) y C ( x 3 , y 3 , z 3 ) l o s v é r t i c e s d e u n t r i á n g u l o , l a s
c o o r d e n a d a s d e l b a r i c e n t r o s o n :
M e d i a n a s d e u n t r i á n g u l o . L a s m e d i a n a s d e u n t r i á n g u l o s o n l a s r e c t a s q u e u n e n e l
p u n t o m e d i o d e u n l a d o d e l t r i á n g u l o c o n e l v é r t i c e o p u e s t o .

E j e m p l o s . S e a n A = ( 2 , 1 , 0 ) , B = ( 1 , 1 , 1 ) y C = ( 4 , 1 , − 2 ) l o s v é r t i c e s d e u n t r i á n g u l o .
D e t e r m i n a r l a s c o o r d e n a d a s d e l b a r i c e n t r o .
D a d o e l t r i á n g u l o d e v é r t i c e s A ( 2 , 3 , 4 ) , B ( 1 , − 1 , 5 ) y C ( 5 , 5 , 4 ) , h a l l a r : 1 . L a s
e c u a c i o n e s d e l a s m e d i a n a s d e l t r i á n g u l o .

2 . L a s c o o r d e n a d a s d e l b a r i c e n t r o d e l t r i á n g u l o .
3 . L a s c o o r d e n a d a s d e l b a r i c e n t r o d e l t r i á n g u l o c u y o s v é r t i c e s s o n l o s p u n t o s
m e d i o s d e l o s l a d o s d e l t r i á n g u l o a n t e r i o r .
L o s b a r i c e n t r o s d e l o s d o s t r i á n g u l o s c o i n c i d e n .
Puntos alineados
T r e s o m á s p u n t o s e s á n a l i n e a d o s s i e s t á n e n u n a m i s m a r e c t a , y p o r t a n t o e l r a n g o d e
l o s v e c t o r e s d e t e r m i n a d o s p o r e l l o s e s 1 .

E j e m p l o s 1 .C o m p r o b a r s i l o s p u n t o s A ( 2 , 3 , 1 ) , B ( 5 , 4 , 3 ) y C ( 2 , 1 , 2 ) e s t á n a l i n e a d o s .
L o s p u n t o s n o e s t á n a l i n e a d o s .
2 .H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A ( 2 , 3 , 4 ) y B ( 8 , − 2 , 3 ) . E s t u d i a r
s i e l p u n t o C ( 2 , 1 , 3 ) e s t á a l i n e a d o c o n A y B .
P a r a q u e e l p u n t o C e s t e a l i n e a d o c o n A y B , d e b e p e r t e n e c e r a l a r e c t a q u e p a s a
p o r A y B .
C o m o C n o s a t i s f a c e l a s e c u a c i o n e s d e l a r e c t a , n o e s t á a l i n e a d o c o n A y B .
3 .D e t e r m i n a r l o s v a l o r e s d e m p a r a q u e l o s p u n t o s A ( m , 2 , − 3 ) , B ( 2 , m , 1 ) y C ( 5 , 3 , − 2 )
e s t é n a l i n e a d o s y h a l l a r l a s e c u a c i o n e s d e l a r e c t a q u e l o s c o n t i e n e .
·

Puntos y vectores coplanarios . D o s o m á s v e c t o r e s s o n c o p l a n a r i o s s i s o n
l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s , y p o r t a n t o s u s c o m p o n e n t e s s o n p r o p o r c i o n a l e s y s u r a n g o e s
2 . D o s o m á s p u n t o s s o n c o p l a n a r i o s , s i l o s v e c t o r e s d e t e r m i n a d o s p o r e l l o s t a m b i é n s o n
c o p l a n a r i o s .
E j e m p l o s 1 . C o m p r o b a r s i l o s p u n t o s A ( 1 , 2 , 3 ) , B ( 4 , , 7 , 8 ) , C ( 3 , 5 , 5 ) , D ( − 1 , − 2 , − 3 ) y
E ( 2 , 2 , 2 ) s o n c o p l a n a r i o s .
L o s p u n t o s A , B , C , D y E s o n c o p l a n a r i o s s i :
L o s p u n t o s A , B , C , D y E n o s o n c o p l a n a r i o s .
2 .D e t e r m i n a r e l v a l o r d e x p a r a q u e l o s p u n t o s A ( 0 , 0 , 1 ) , B ( 0 , 1 , 2 ) , C ( − 2 , 1 , 3 ) y D ( x ,
x - 1 , 2 ) s e a n c o p l a n a r i o s .
P a r a q u e l o s p u n t o s s e a n c o p l a n a r i o s , l o s v e c t o r e s d e t e r m i n a d o s p o r e l l o s
t a m b i é n h a n d e s e r c o p l a n a r i o s , e s d e c i r , q u e e l r a n g o d e l o s v e c t o r e s s e a 2 .

P a r a q u e e l r a n g o s e a i g u a l a 2 , e l d e t e r m i n a n t e d e l a s c o m p o n e n t e s d e l o s
v e c t o r e s h a d e s e r i g u a l a c e r o .
3 .¿ Q u é e n r e l a c i ó n s e h a d e v e r i f i c a r e n t r e l o s p a r á m e t r o s a , b y c p a r a q u e l o s p u n t o s
A ( 1 , 0 , 1 ) , B ( 1 , 1 , 0 ) , C ( 0 , 1 , 1 ) y D ( a , b , c ) s e a n c o p l a n a r i o s ?
L o s p u n t o s A , B , C y D s o n c o p l a n a r i o s s i :

4 .C a l c u l a r e l v a l o r d e a p a r a q u e l o s p u n t o s ( a , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 3 ) y ( 7 , 2 , 1 )
s e a n c o p l a n a r i o s . C a l c u l a r t a m b i é n l a e c u a c i ó n d e l p l a n o q u e l o s c o n t i e n e .
Ejercicios de la recta en el espacio
1 .D a d o s l o s p u n t o s A ( 2 , 6 , − 3 ) y B ( 3 , 3 , − 2 ) , h a l l a r l o s p u n t o s d e l a r e c t a A B q u e t i e n e n a l
m e n o s u n a c o o r d e n a d a n u l a .

2 .D e t e r m i n a r l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o A ( 1 , − 1 , 0 ) y c o r t a a l a s
r e c t a s :
L a r e c t a p e d i d a e s l a i n t e r s e c c i ó n d e l o s d o s p l a n o s q u e p a s a n p o r A y c o n t i e n e n
a l a s r e c t a s r y s .
P l a n o q u e c o n t i e n e a A y r .
P l a n o q u e c o n t i e n e a A y s .
L a r e c t a p e r d i d a e s :

3 .H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 8 , 2 , 3 ) y l l e v a l a d i r e c c i ó n d e l
v e c t o r j .
4 .H a l l a r u n a e c u a c i ó n c o n t i n u a d e l a r e c t a q u e e s p a r a l e l a a l o s p l a n o s : x − 3 y + z = 0 y
2 x − y + 3 z − 5 = 0 , y p a s a p o r e l p u n t o ( 2 , − 1 , 5 ) .
E l v e c t o r d i r e c t o r d e l a r e c t a e s p e r p e n d i c u l a r a l o s v e c t o r e s n o r m a l e s d e c a d a p l a n o .
Ejercicios del plano
1 .H a l l a r l a s e c u a c i o n e s d e l o s e j e s c o o r d e n a d o s y d e l o s p l a n o s c o o r d e n a d o s .

2 .H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o q u e c o n t i e n e a l a s r e c t a s :
3 .H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o q u e c o n t i e n e a l p u n t o A ( 2 , 5 , 1 ) y a l a r e c t a d e e c u a c i ó n :

4 .H a l l a r l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o c o m ú n a l p l a n o x + 2 y − z − 2 = 0 y a l a r e c t a
d e t e r m i n a d a p o r e l p u n t o ( 1 , − 3 , 2 ) y e l v e c t o r .
5 .H a l l a r l a e c u a c i ó n s e g m e n t a r i a d e l p l a n o q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A ( 2 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 4 ,
0 ) y C ( 0 , 0 , 7 ) .
6 .S e a π u n p l a n o q u e p a s a p o r P ( 1 , 2 , 1 ) y c o r t a a l o s s e m i e j e s c o o r d e n a d o s p o s i t i v o s e n
l o s p u n t o s A , B y C . S a b i e n d o q u e e l t r i á n g u l o A B C e s e q u i l á t e r o , h a l l a r l a s e c u a c i o n e s d e
π .
C o m o e l t r i á n g u l o e s e q u i l á t e r o , l o s t r e s s e g m e n t o s s o n i g u a l e s .

7 .H a l l a r l a e c u a c i ó n i m p l í c i t a d e l p l a n o q u e p a s a p o r e l p u n t o P ( 1 , 1 , 1 ) y e s p a r a l e l o
a :
8 .H a l l a r l a c u a l d e l p l a n o q u e c o n t i e n e a l a r e c t a y e s p a r a l e l o a
l a r e c t a .
E l p u n t o A ( 2 , 2 , 4 ) y e l v e c t o r p e r t e n e c e n a l p l a n o , y a q u e l a
p r i m e r a r e c t a e s t á c o n t e n i d a e n e l p l a n o .
E l v e c t o r e s u n v e c t o r d e l p l a n o , p o r s e r p a r a l e l o a l a r e c t a .
9 .H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o p a r a l e l o a l a s r e c t a s d e e c u a c i o n e s :

y q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 , 1 , 2 ) .
Posiciones relativas de dos rectas
R e c t a s d e f i n i d a s p o r u n p u n t o y u n v e c t o r
S i l a r e c t a r v i e n e d e t e r m i n a d a p o r y y l a r e c t a
s p o r y , l a p o s i c i ó n r e l a t i v a d e r y s v i e n e d a d a
p o r l a p o s i c i ó n d e .
S i h a y d o s p o s i b i l i d a d e s :
1 . R e c t a s c o i n c i d e n t e s s i .

2 . R e c t a s p a r a l e l a s s i .
S i h a y o t r a s d o s p o s i b i l i d a d e s :
3 . R e c t a s s e c a n t e s s i .
4 . R e c t a s q u e s e c r u z a n s i .

R e c t a s d e f i n i d a s p o r s u s e c u a c i o n e s i m p l i c i t a s
S i :
r = r a n g o d e l a m a t r i z d e l o s c o e f i c i e n t e s .
r ' = r a n g o d e l a m a t r i z a m p l i a d a .
L a s p o s i c o n e s r e l a t i v a s d e d o s r e c t a s v i e n e n d a d a p o r l a s i g u i e n t e t a b l a :
Posición r r'
Cruzadas 3 4
Secantes 3 3
Paralelos 2 3
Coincidentes 2 2
E j e m p l o s

H a l l a r l a p o s i c i ó n r e l a t i v a d e l a s r e c t a s r y s .
1 .
E n p r i m e r l u g a r s e p a s a n l a s e c u a c i o n e s c o n t i n u a s a e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s .
H a l l a m o s e l r a n g o d e l a m a t r i z d e l o s c o e f i c i e n t e s .
D e t e r m i n a m o s e l r a n g o d e l a m a t r i z a m p l i a d a .
C o m p a r a m o s l o s r a n g o s
L a s d o s r e c t a s s e c r u z a n .
2 .

L a s d o s r e c t a s s o n s e c a n t e s .
Posiciones relativas de una recta y un plano
1 . L a r e c t a v i e n e d e f i n i d a p o r u n p u n t o y u n v e c t o r
S e a u n a r e c t a d e f i n i d a p o r e l p u n t o A y e l v e c t o r . y u n p l a n o c u y o v e c t o r
n o r m a l e s . L a s p o s i c i o n e s r e l a t i v a s d e l a r e c t a y e l p l a n o s o n :
Posición A
Recta contenida en el
plano
= 0 π
Recta y plano paralelos = 0 π
Recta y plano secantes ≠ 0
R e c t a c o n t e n i d a e n e l p l a n o

R e c t a y p l a n o p a r a l e l o s
R e c t a y p l a n o s e c a n t e s
2 . L a r e c t a v i e n e d e f i n i d a p o r d o s p l a n o s s e c a n t e s
S e a l a r e c t a : y e l p l a n o
.
P a r a e s t u d i a r l a p o s i c i ó n r e l a t i v a d e l a r e c t a y e l p l a n o d i s c u t i m o s e l s i s t e m a :
S i :

L a s p o s i c o n e s r e l a t i v a s d e l a r e c t a y e l p l a n o v i e n e n d a d a p o r l a s i g u i e n t e
t a b l a :
Posición r r'
Recta contenida en el
plano
2 2
Recta y plano paralelos 2 3
Recta y plano secantes 3 3
E j e m p l o s
H a l l a r l a p o s i c i ó n r e l a t i v a d e l a r e c t a y e l p l a n o :
1 .
E n p r i m e r l u g a r s e p a s a n l a s e c u a c i o n e s c o n t i n u a s a e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s .
H a l l a m o s e l r a n g o d e l a m a t r i z d e l o s c o e f i c i e n t e s .
D e t e r m i n a m o s e l r a n g o d e l a m a t r i z a m p l i a d a .
C o m p a r a m o s l o s r a n g o s

L a r e c t a y e l p l a n o s e c o r t a n e n u n p u n t o .
2 .
L a r e c t a y e l p l a n o s o n p a r a l e l o s .
Posiciones relativas de dos planos .
D a d o s l o s p l a n o s :
Y s e a n :
L a s p o s i c o n e s r e l a t i v a s d e d o s p l a n o s v i e n e n d a d a p o r l a s i g u i e n t e t a b l a :

Posición r r'
Secantes 2 2
Paralelos 1 2
Coincidentes 1 1
E j e m p l o s
1 . E s t u d i a r l a p o s i c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s p l a n o s :
C o m o é l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o , l o s d o s p l a n o s s o n s e c a n t e s , e s
d e c i r , s e c o r t a n e n l a r e c t a :

L o s d o s p l a n o s s o n p a r a l e l o s .
L o s d o s p l a n o s s o n c o i n c i d e n t e s .
Posiciones relativas de tres planos
P a r a e s t u d i a r l a p o s i c i ó n r e l a t i v a d e t r e s p l a n o s d i s c u t i m o s e l s i s t e m a :

Y s e a n :
L a s p o s i c o n e s r e l a t i v a s d e l o s t r e s p l a n o s v i e n e n d a d a p o r l a s i g u i e n t e t a b l a :
1 . P l a n o s s e c a n t e s e n u n p u n t o
r = 3 , r ' = 3
2 . 1 P l a n o s s e c a n t e s d o s a d o s .
r = 2 , r ' = 3
L o s t r e s p l a n o s f o r m a n u n a s u p e r f i c i e p r i s m á t i c a .
2 . 2 D o s p l a n o s p a r a l e l o s y e l t e r c e r o s e c a n t e
r = 2 , r ' = 3
D o s f i l a s d e l a m a t r i z d e l o s c o e f i c i e n t e s s o n p r o p o r c i o n a l e s .

3 . 1 P l a n o s s e c a n t e s y d i s t i n t o s
r = 2 , r ' = 2
3 . 2 D o s p l a n o s c o i n c i d e n t e s y u n o s e c a n t e
r = 2 , r ' = 2
D o s f i l a s d e l a m a t r i z a m p l i a d a s o n p r o p o r c i o n a l e s .
4 . 1 P l a n o s p a r a l e l o s y d i s t i n t o s d o s a d o s

r = 1 , r ' = 2
4 . 2 P l a n o s p a r a l e l o s y d o s c o i n c i d e n t e s
r = 1 , r ' = 2
D o s f i l a s d e l a m a t r i z a m p l i a d a s o n p r o p o r c i o n a l e s .
5 . P l a n o s c o i n c i d e n t e s
r = 1 , r ' = 1
E j e m p l o s
H a l l a r l a p o s i c i ó n r e l a t i v a d e l o s p l a n o s :

1 .
L o s t r e s p l a n o s s o n s e c a n t e s d o s a d o s y f o r m a n u n a s u p e r f i c i e p r i s m á t i c a .
2 .
L o s t r e s p l a n o s s e c o r t a n e n u n p u n t o .
3 .

E l s e g u n d o y t e r c e r p l a n o s o n c o i n c i d e n t e s y e l p r i m e r o e s s e c a n t e a e l l o s ,
p o r t a n t o l o s t r e s p l a n o s s e c o r t a n e n u n a r e c t a .
4 .
E l p r i m e r y s e g u n d o p l a n o s o n c o i n c i d e n t e s y e l t e r c e r o e s p a r a l e l o a e l l o s .

Haz de planos . S e l l a m a h a z d e p l a n o s d e e j e r a l c o n j u n t o d e t o d o s l o s p l a n o s q u e
c o n t i e n e n a l a r e c t a r .
S i r v i e n e d e f i n i d a p o r s u s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s :
l a e c u a c i ó n d e l h a z d e p l a n o s d e e j e r v i e n e d a d a p o r l a i g u a l d a d :
S i d i v i d i m o s p o r λ y h a c e m o s , l a e c u a c i ó n d e l h a z r e s u l t a :
E j e m p l o
H a l l a r e n l a e c u a c i ó n d e l p l a n o q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 3 , 2 , − 3 ) y p e r t e n e c e a l
h a z d e p l a n o s d e e j e e n l a r e c t a :

H a z d e p l a n o s p a r a l e l o s
D o s p l a n o s s o n p a r a l e l o s s i l o s c o e f i c i e n t e s x , y , z d e s u s e c u a c i o n e s s o n
p r o p o r c i o n a l e s ; p e r o n o l o s o n s u s t é r m i n o s i n d e p e n d i e n t e s .
T o d o s l o s p l a n o s p a r a l e l o s a u n o d a d o a d m i t e n u n a e c u a c i ó n d e l a f o r m a :
E j e m p l o . H a l l a r e l p l a n o q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 3 , − 1 , 2 ) y e s p a r a l e l o a
.
Ejercicios y problemas resueltos de posiciones relativas
1 . H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o q u e p a s a p o r e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a r e c t a
c o n e l p l a n o y e s p a r a l e l o a l a s
r e c t a s :

L a s e c u a c i o n e s c o n t i n u a s d e l a r e c t a r s e p a s a n a i m p l í c i t a s , y é s t a s j u n t o a l a
e c u a c i ó n d e l p l a n o f o r m a n u n s i s t e m a , c u y a s o l u c i ó n e s e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n .
E l p l a n o v i e n e d e t e r m i n a d o p o r e l e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n y l o s v e c t o r e s
d i r e c t o r e s d e l a s r e c t a s p a r a l e l a s a l p l a n o .
2 . H a l l a r l a e c u a c i ó n d e u n a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 , 0 , 2 ) y s e a p o y a e n
l a s r e c t a s :
O b t e n e m o s u n p u n t o g e n é r i c o d e l a r e c t a r .
O b t e n e m o s u n p u n t o g e n é r i c o d e l a r e c t a s .

C a l c u l a m o s l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a q u e p a s a p o r P y Q .
C o m o l a r e c t a p a s a p o r e l p u n t o ( 1 , 0 , 2 ) , t e n d r e m o s :
S u s t i t u i m o s e s t o s d o s v a l o r e s e n l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a :
O p e r a m o s y s i m p l i f i c a m o s .
3 . H a l l a r e l v a l o r d e l o s p a r á m e t r o s a y b p a r a q u e l a r e c t a s e a
c o i n c i d e n t e c o n e l p l a n o .
L a s e c u a c i o n e s c o n t i n u a s d e l a r e c t a r s e p a s a n a i m p l í c i t a s , y é s t a s j u n t o a l a
e c u a c i ó n d e l p l a n o f o r m a n e l s i s t e m a :

P a r a q u e l a r e c t a s e a c o i n c i d e n t e c o n e l p l a n o s e t i e n e q u e c u m p l i r q u e :
P o r t a n t o e l d e t e r m i n a n t e d e o r d e n 3 , d e l a s d o s m a t r i c e s , s e a n u l a .
4 . C a l c u l a l o s v a l o r e s d e l o s p a r á m e t r o s a y b p a r a q u e l o s p l a n o s :
p a s e n p o r u n a m i s m a r e c t a .
P a r a q u e l o s t r e s p l a n o s p a s e n p o r u n a m i s m a r e c t a t i e n e q u e o c u r r i r q u e :
.

5 . E s t u d i a r p a r a l o s d i f e r e n t e s v a l o r e s d e a l a p o s i c i ó n r e l a t i v a d e l o s s i g u i e n t e s p l a n o s :
E n e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z d e l o s c o e f i c i e n t e s s u m a m o s a l a p r i m e r a f i l a l a s
o t r a s d o s y p o s t e r i o r m e n t e s a c a m o s f a c t o r c o m ú n .
R e s t a m o s a c a d a f i l a l a p r i m e r a :
L o s t r e s p l a n o s s e c o r t a n e n u n p u n t o .

L a s t r e s e c u a c i o n e s s o n i d é n t i c a s , l o s t r e s p l a n o s s o n c o i n c i d e n t e s .
C o m o n o h a y n i n g ú n p a r d e p l a n o s p a r a l e l o s , l o s t r e s p l a n o s s e c o r t a n d o s a d o s
f o r m a n d o u n a s u p e r f i c i e p r i s m á t i c a .
6 . E s t u d i a r l a s p o s i c i o n e s r e l a t i v a s d e l p l a n o y l a r e c t a
s e g ú n l o s v a l o r e s d e l p a r á m e t r o a .

L a r e c t a c o r t a a l p l a n o e n u n s o l o p u n t o .
L a r e c t a e s t á c o n t e n i d a e n e l p l a n o .
L a r e c t a e s p a r a l e l a a l p l a n o .
7 . D e t e r m i n a r b p a r a q u e l a r e c t a n o c o r t e e l p l a n o
.
U n a r e c t a y u n p l a n o n o s e c o r t a n s i s o n p a r a l e l o s .

P a r a q u e u n a r e c t a y u n p l a n o s e a n p a r a l e l o s e l p r o d u c t o e s c a l a r d e l v e c t o r
d i r e c t o r d e l a r e c t a p o r e l v e c t o r n o r m a l d e l p l a n o e s i g u a l a 0 .
8 . H a l l a r l o s v a l o r e s d e m y n p a r a q u e l a r e c t a s y
s e a n p a r a l e l a s .
S i d o s r e c t a s s o n p a r a l e l a s , s u s v e c t o r e s d i r e c t o r e s d e b e n s e r p r o p o r c i o n a l e s .
9 . C a l c u l a r e l v a l o r d e k p a r a q u e l a s r e c t a s y
s e c o r t e n e n u n p u n t o . E n c o n t r a r e s e p u n t o .
Pr o b lemas métr icos

Ángulo de dos rectas
E l á n g u l o q u e f o r m a n d o s r e c t a s i g u a l a l á n g u l o a g u d o d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s
d i r e c t o r e s d e l a s r e c t a s .
D o s r e c t a s s o n p e r p e n d i c u l a r e s s i v e c t o r e s d i r e c t o r e s s o n o r t o g o n a l e s .
E j e m p l o s . H a l l a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l a s r e c t a s :
1 .
2 .

3 .
Ángulo de dos planos. E l á n g u l o f o r m a d o p o r d o s p l a n o s e s i g u a l a l á n g u l o a g u d o
d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s n o r m a l e s d e d i c h o s p l a n o s .
D o s p l a n o s s o n p e r p e n d i c u l a r e s s i v e c t o r e s n o r m a l e s s o n o r t o g o n a l e s .

E j e m p l o . H a l l a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s p l a n o s :
Ángulo de recta y plano . E l á n g u l o q u e f o r m a n u n a r e c t a , r , y u n p l a n o , π , e s e l
á n g u l o f o r m a d o p o r r c o n s u p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e π , r ' .
E l á n g u l o q u e f o r m a n u n a r e c t a y u n p l a n o e s i g u a l a l c o m p l e m e n t a r i o d e l
á n g u l o a g u d o q u e f o r m a n e l v e c t o r d i r e c t o r d e l a r e c t a y e l v e c t o r n o r m a l d e l p l a n o .

S i l a r e c t a r y e l p l a n o π s o n p e r p e n d i c u l a r e s , e l v e c t o r d i r e c t o r d e l a r e c t a y e l
v e c t o r n o r m a l d e l p l a n o t i e n e n l a m i s m a d i r e c c i ó n y , p o r t a n t o , s u s c o m p o n e n t e s s o n
p r o p o r c i o n a l e s .
E j e m p l o s
1 . D e t e r m i n a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l a r e c t a y e l
p l a n o .
2 . H a l l a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l a r e c t a y e l p l a n o
.

3 . O b t e n e r e l á n g u l o f o r m a d o p o r e l p l a n o y l a r e c t a s i g u i e n t e s :
Distancia de un punto a una recta . L a d i s t a n c i a d e u n p u n t o , P , a u n a r e c t a ,
r , e s l a m e n o r d e l a d i s t a n c i a d e s d e e l p u n t o a l o s i n f i n i t o s p u n t o s d e l a r e c t a .
E s t a d i s t a n c i a c o r r e s p o n d e a l a p e r p e n d i c u l a r t r a z a d a d e s d e e l p u n t o h a s t a l a
r e c t a .

E j e m p l o s
1 . H a l l a r l a d i s t a n c i a d e s d e e l p u n t o P ( 1 , 3 , − 2 ) a l a r e c t a .
2 . H a l l a r l a d i s t a n c i a d e s d e e l p u n t o P ( 1 , 2 , 3 ) a l a r e c t a
.

Distancia de un punto a un plano . L a d i s t a n c i a d e u n p u n t o , P , a u n p l a n o , π , e s
l a m e n o r d e l a d i s t a n c i a d e s d e e l p u n t o a l o s i n f i n i t o s p u n t o s d e l p l a n o .
E s t a d i s t a n c i a c o r r e s p o n d e a l a p e r p e n d i c u l a r t r a z a d a d e s d e e l p u n t o a l p l a n o .
E j e m p l o s . H a l l a r l a d i s t a n c i a d e l p u n t o P ( 3 , 1 , − 2 ) a l o s p l a n o s
y .
H a l l a r l a d i s t a n c i a d e l p u n t o Q ( 5 , 5 , 3 ) a l p l a n o
.

D i s t a n c i a e n t r e p l a n o s p a r a l e l o s . P a r a c a l c u l a r l a d i s t a n c i a e n t r e d o s p l a n o s
p a r a l e l o s , s e h a l l a l a d i s t a n c i a d e u n p u n t o c u a l q u i e r a d e u n o d e e l l o s a l o t r o .
T a m b i é n s e p u e d e c a l c u l a r d e e s t a o t r a f o r m a :
E j e m p l o . C a l c u l a r l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p l a n o s y
.
L o s d o s p l a n o s s o n p a r a l e l o s .
T r a n s f o r m a m o s l a e c u a c i ó n d e l s e g u n d o p l a n o p a r a q u e l o s d o s p l a n o s t e n g a n e l
m i s m o v e c t o r n o r m a l .

Distancia entre dos rectas
D i s t a n c i a e n t r e r e c t a s p a r a l e l a s . L a d i s t a n c i a d e u n a r e c t a , r , a o t r a p a r a l e l a , s , e s l a
d i s t a n c i a d e s d e u n p u n t o c u a l q u i e r a d e r a s .
D i s t a n c i a e n t r e r e c t a s q u e s e c r u z a n . L a d i s t a n c i a e n t r e d o s s e c t a s q u e s e
c r u z a n s e m i d e s o b r e l a p e r p e n d i c u l a r c o m ú n .
S e a n y l a s d e t e r m i n a c i o n e s l i n e a l e s d e l a s r e c t a s r y s .
L o s v e c t o r e s d e t e r m i n a n p a r a l e l e p í p e d o c u y a a l t u r a e s l a
d i s t a n c i a e n t r e l a s d o s r e c t a s .
E l v o l u m e n d e u n p a r a l e l e p í p e d o e s .

T e n i e n d o e n c u e n t a e l v o l u m e n e s e l v a l o r a b s o l u t o d e l p r o d u c t o m i x t o d e l o s
t r e s v e c t o r e s y e l á r e a d e l a b a s e e s e l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e l o s v e c t o r e s d i r e c t o r e s d e
l a s r e c t a s , l a a l t u r a , e s d e c i r , l a d i s t a n c i a e n t r e l o s d o s p u n t o s e s i g u a l a :
E j e m p l o
H a l l a r l a m í n i m a d i s t a n c i a e n t r e l a s r e c t a s :
Cálculo de áreas y v olúmenes

Á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o
G e o m é t r i c a m e n t e , e l m ó d u l o d e l p r o d u c t o c r u z d e d o s v e c t o r e s c o i n c i d e c o n e l
á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s a e s o s v e c t o r e s .
E j e m p l o
D a d o s l o s v e c t o r e s y , h a l l a r e l á r e a d e l
p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s l o s v e c t o r e s y ·
Á r e a d e u n t r i á n g u l o

E j e m p l o
D e t e r m i n a r e l á r e a d e l t r i á n g u l o c u y o s v é r t i c e s s o n l o s p u n t o s A ( 1 , 1 , 3 ) , B ( 2 ,
− 1 , 5 ) y C ( − 3 , 3 , 1 ) .
V o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o . G e o m é t r i c a m e n t e , e l v a l o r a b s o l u t o d e l p r o d u c t o
m i x t o r e p r e s e n t a e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o c u y a s a r i s t a s s o n t r e s v e c t o r e s q u e
c o n c u r r e n e n u n m i s m o v é r t i c e .
H a l l a r e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o f o r m a d o p o r l o s v e c t o r e s :

V o l u m e n d e u n t e t r a e d r o . E l v o l u m e n d e u n t e t r a e d r o e s i g u a l a 1 / 6 d e l p r o d u c t o
m i x t o , e n v a l o r a b s o l u t o .
O b t e n e r e l v o l u m e n d e l t e t r a e d r o c u y o s v é r t i c e s s o n l o s p u n t o s A ( 3 , 2 , 1 ) , B ( 1 ,
2 , 4 ) , C ( 4 , 0 , 3 ) y D ( 1 , 1 , 7 ) .
Planos bisectores . U n á n g u l o d i e d r o e s t á f o r m a d o p o r d o s p l a n o s s e c a n t e s . L o s p l a n o s
b i s e c t o r e s d e u n á n g u l o d i e d r o s o n e l l u g a r g e o m é t r i c o d e l o s p u n t o s d e l e s p a c i o q u e
e q u i d i s t a n d e l a s c a r a s d e l d i e d r o .

E x i s t e n d o s p l a n o s b i s e c t o r e s :
E j e m p l o . H a l l a r l o s p l a n o s b i s e c t o r e s d e l d i e d r o c u y a s c a r a s s o n l o s p l a n o s
y .
Problemas de distancias, áreas y volúmenes
1 . H a l l a r e l á r e a d e l t r i á n g u l o c u y o s v é r t i c e s s o n l o s p u n t o s A ( 1 , 1 , 1 ) , B ( 3 , 2 , 1 ) y C ( − 1 , 3 ,
2 ) .

2 . H a l l a r e l v o l u m e n d e l t e t r a e d r o c u y o s v é r t i c e s s o n l o s p u n t o s A ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 1 , 3 ) ,
C ( − 1 , 3 , 1 ) y D ( 4 , 2 , 1 ) .
3 . D a d a l a r e c t a y e l p l a n o , h a l l a r l a
e c u a c i ó n d e l a r e c t a s , p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e r s o b r e π .
L a r e c t a s e s l a i n t e r s e c c i ó n d e l p l a n o π c o n e l p l a n o π p q u e c o n t i e n e a l a r e c t a r y e s
p e r p e n d i c u l a r a π .
E l p l a n o π p q u e d a d e t e r m i n a d o p o r e l p u n t o A ( 2 , − 1 , 0 ) , e l v e c t o r ( 2 , 1 , 1 ) y e l v e c t o r
n o r m a l , ( 1 , 1 , 1 ) , d e l p l a n o p e r p e n d i c u l a r π .

4 . C a l c u l a r l a d i s t a n c i a e n t r e l a s r e c t a s :

5 . H a l l a r e l s i m é t r i c o d e l p u n t o A ( 3 , 2 , 1 ) r e s p e c t o d e l p l a n o .
E n p r i m e r l u g a r c a l c u l a m o s r , q u e e s l a r e c t a q u e p a s a p o r A y e s p e r p e n d i c u l a r a
π .
H a l l a m o s e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a r e c t a r y e l p l a n o π .
T e n i e n d o e n c u e n t a l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o m e d i o d e u n s e g m e n t o ,
p o d e m o s h a l l a r e l e x t r e m o A ' .

6 . C a l c u l a r e l á r e a d e l t r i á n g u l o c u y o s v é r t i c e s s o n l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e l p l a n o
c o n l o s e j e s c o o r d e n a d o s .
7 . D a d o e l p l a n o d e e c u a c i ó n y e l p u n t o A ( 1 , 1 , 1 ) , h a l l a r l a s
c o o r d e n a d a s d e l p i e d e l a p e r p e n d i c u l a r t r a z a d a d e s d e A a e s e p l a n o ( o s e a , l a p r o y e c c i ó n
o r t o g o n a l d e A s o b r e é l ) .

E l p i e d e l a p e r p e n d i c u l a r e s e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n e n t r e e l p l a n o y l a r e c t a .
8 . D e t e r m i n a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π q u e e s t á a d e d i s t a n c i a d e l o r i g e n y e s p a r a l e l o
a a q u e l q u e t i e n e p o r e c u a c i ó n .
9 . H a l l a r l a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o A ( 3 , 2 , 7 ) y l a r e c t a / d e l p r i m e r o c t a n t e .
1 0 . S a b i e n d o q u e l o s l a d o s d e u n c u a d r a d o e s t á n e n l a s r e c t a s :

c a l c u l a r s u á r e a .
D e t e r m i n a c i ó n l i n e a l d e l a r e c t a r .
D e t e r m i n a c i ó n l i n e a l d e l a r e c t a s .
L a d i s t a n c i a d e l a r a l a r e c t a s e s i g u a l a l a d i s t a n c i a d e l p u n t o B a l a r e c t a r .
E l l a d o d e l c u a d r a d o e s i g u a l a l a d i s t a n c i a e n t r e l a s r e c t a s r y s .

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