PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
José Cedro Menezes Marques
ESTUDO DE TRABALHOS ACADÊMICOS SOBRE GEOME...
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JOSÉ CEDRO MENEZES MARQUES
ESTUDO DE TRABALHOS ACADÊMICOS SOBRE GEOMETRIAS NÃO-
EUCLIDIANAS DE 1995 A 2011
Monografia ap...
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RESUMO
O presente estudo é uma pesquisa bibliográfica em que foram selecionados onze
trabalhos acadêmicos, sendo dez dis...
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.........................................................................................................
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INTRODUÇÃO
As geometrias não-euclidianas tiveram origem nas vãs tentativas de demonstração
do 5º Postulado de Euclides. ...
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que foram provadas com o auxílio de outras já provadas que as
antecedem na ordenação da teoria, “e assim por diante”.
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Capítulo 1: O que são Geometrias Não-Euclidianas
Este capítulo destina-se a apresentar a justificativa e a metodologia e...
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Desde a época de Euclides, aproximadamente 300 a.C, o 5º axioma tornou-se alvo
de críticas, por sua forma muito elaborad...
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panorama das pesquisas científicas de determinada área. Este tipo de pesquisa procura
mapear e discutir certa produção a...
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Capítulo 2: Fichamento dos Trabalhos Acadêmicos
Para a realização desta pesquisa bibliográfica, foi feita uma busca nos...
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Objetivo: Estudo histórico-pedagógico cujo eixo temático central são as
condições que possibilitaram o surgimento das g...
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Para realizar o primeiro passo, precisou demonstrar o seguinte teorema: “Se duas
retas paralelas são cortadas por uma t...
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uma obtida pela rotação da tractriz ao redor de seu eixo, a pseudo-esfera, que fornece um
modelo de superfície na qual ...
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Objetivo: Segundo Souza (1998) este trabalho, realizado em 1997, analisa o 5º
postulado de Euclides sob três pontos de ...
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Palavras-Chave: geometria, geometrias não-euclidianas, ensino-aprendizagem.
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positiva e curvatura negativa. O plano tem curvatura nula ou curvatura zero. Uma esfera,
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Curso: Mestrado
Orientador: Dr. Antonio Carlos Carrera de Souza
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latitude norte. Foi possível localizar o navio?". Exemplos como esse nos possibilitam
associar conceitos de Geografia c...
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do Equador”, que de acordo com Vygotsky é a fase de “pensamentos complexos”,
conforme Oliveira (1993); Van der Ver (199...
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Questões de Pesquisa: Como uma seqüência de ensino pode possibilitar a
apropriação de um novo domínio – a Geometria esf...
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Os professores (A, C, D, E, F) disseram que o percurso do navio não seria em
linha reta. Segundo (A), ”o percurso do na...
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sua construção, tal como o trabalho de um engenheiro, apoiou-se em alicerces firmes
previamente estabelecidos, edificou...
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modelo hiperbólico, com o auxílio de uma ferramenta computacional, em cursos de
formação de professores de Matemática. ...
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O software Cabri-géomètre foi fundamental para o
desenvolvimento das atividades. Com a barra do menu hiperbólico, o
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a adequação e o encadeamento na aplicação das atividades. Em seguida, foi elaborado e
aplicado o curso de extensão inti...
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Como seriam as trajetórias de dois barcos navegando por um longo percurso, de
modo que mantenham sempre a mesma distânc...
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Neste trabalho foi tomada uma postura descritiva, recolhendo os dados
apresentados em forma de textos, desenhos, fragme...
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Geometria Esférica através da tesselação das faces dos sólidos platônicos na superfície
esférica; 12ª, construção da bo...
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Referenciais Teóricos: Abordagem de João Lucas Barbosa dos resultados
relacionados ao paralelismo em termos da geometri...
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Orientador: Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud
Sujeitos da Pesquisa: Turma, formada por onze (11) alunos, do curso de
Mestrad...
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ambas consideram que o aprendizado ocorre por adaptação a novas situações propostas aos
alunos e que o aprendiz torna-s...
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Palavras-Chave: Geometrias não-Euclidianas. Geometria Esférica. Registro de
Representação Semiótica.
Objetivo: Investig...
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a atividade e compreender o conceito de reta na Geometria Esférica. Logo, o objetivo foi
alcançado já que os sujeitos d...
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nosso objetivo foi fazer uma pesquisa bibliográfica sobre o tema Geometrias não-
euclidianas, assi...
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REFERÊNCIAS
ANDRADE, Maria Lúcia Torelli Doria de. Geometria Esférica: Uma sequência didática
para a aprendizagem de co...
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  1. 1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP José Cedro Menezes Marques ESTUDO DE TRABALHOS ACADÊMICOS SOBRE GEOMETRIAS NÃO- EUCLIDIANAS DE 1995 A 2011 MONOGRAFIA PARA ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA SÃO PAULO 2011
  2. 2. 1
  3. 3. 2 JOSÉ CEDRO MENEZES MARQUES ESTUDO DE TRABALHOS ACADÊMICOS SOBRE GEOMETRIAS NÃO- EUCLIDIANAS DE 1995 A 2011 Monografia apresentada à Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Especialista em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva. PUC/SP 2011
  4. 4. 3 RESUMO O presente estudo é uma pesquisa bibliográfica em que foram selecionados onze trabalhos acadêmicos, sendo dez dissertações e uma monografia, sobre Geometrias não- euclidianas, considerando a limitação da Geometria Plana, sabidamente inaceitável para distâncias muito grandes, como, por exemplo, entre cidades num país de dimensões continentais como é o caso do Brasil. Apresentaremos a justificativa científica deste trabalho, baseando-nos no fato de as fórmulas estabelecidas para esta geometria referirem- se a triângulos em que os lados são segmentos retilíneos, e para grandes distâncias não são. Também veremos que nos Elementos de Euclides temos as noções comuns e os axiomas (também conhecidos como postulados) e focamos principalmente o 5º postulado, cuja negação teve como conseqüência a descoberta das Geometrias não-euclidianas, possibilitando uma visão da Matemática e do espaço, com seus conceitos de verdade, como saberes que podem ser contestados, discutidos e questionados. A questão de pesquisa é, “Se a geometria escolar é a geometria euclidiana e esta geometria não é ensinada como deveria, como estaria então o ensino das geometrias não-euclidianas e quais os trabalhos acadêmicos no contexto destas geometrias que poderiam ser pesquisados?” A metodologia usada nesta pesquisa é Estado da Arte, onde procuramos pesquisas voltadas ao tema, utilizando o modelo provisório do fichamento, que serve bem para este tipo de pesquisa. Ao final da pesquisa constatamos que todos os trabalhos pesquisados têm um objetivo comum que é o de apresentar as geometrias não-euclidianas a alunos e professores, e ao mesmo tempo, procurar resgatar a geometria plana que está em abandono, principalmente nos cursos básicos.
  5. 5. 4 SUMÁRIO INTRODUÇÃO............................................................................................................. 4 1. CAPÍTULO I: O que são Geometrias não-euclidianas 1.1 Justificativa..............................................................................................................7 1.2 Metodologia e Procedimentos.................................................................................8 2. CAPÍTULO II: Fichamento dos Trabalhos Acadêmicos...........................................10 CONSIDERAÇÕES FINAIS.........................................................................................35 REFERÊNCIAS...........................................................................................................36
  6. 6. 5 INTRODUÇÃO As geometrias não-euclidianas tiveram origem nas vãs tentativas de demonstração do 5º Postulado de Euclides. Sobre demonstração, Bicudo (2009) informa: Pode-se dizer, parece que sem qualquer sombra de dúvida, que o conhecimento matemático tanto egípcio quanto o babilônico – este, sabemos hoje graças ao trabalho de Otto Neugebauer, bem mais refinado do que aquele – tinha a experiência como critério de verdade. Os gregos herdaram, assim nos diz a tradição, tal conhecimento. Mas, o que satisfazia egípcios e babilônios não bastou para contentar a exigência grega. Com os matemáticos da Grécia, a razão suplanta a empeiria como critério de verdade e a matemática ganha características de uma ciência dedutiva. Como sucede com inúmeros fenômenos culturais, as causas dessa transformação por que passou essa área de conhecimento jazem ocultas nas brumas de um passado remoto. (BICUDO, 2009, p. 77). Os Postulados enunciados nos Elementos de Euclides são: 1) Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto. 2) Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta. 3) E, com todo centro e distância, descrever um círculo. 4) E serem iguais entre si todos os ângulos retos. 5) E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores e do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual estão os menores do que dois retos. (BICUDO, 2009, p. 98). O quinto postulado, que filósofos até o início do século XIX procuraram demonstrar a partir dos quatro primeiros, é conhecido como Postulado das Paralelas. A razão disto será vista nos Principais resultados do fichamento dos Trabalhos Acadêmicos. De acordo com Bicudo (2009), depois de Cauchy, Weirstrass, Bolzano, Dedekind, Cantor, Frege, Hilbert, Bourbaki, e outros grandes do século XIX e XX, o trabalho do matemático “... é definir os conceitos de que se servirá e demonstrar as propriedades desses conceitos”.(BICUDO, 2009, p. 81). Este autor continua: Ora, definir um conceito significa explicá-lo em termos de outros conceitos já definidos, e demonstrar uma proposição equivale a argumentar pela sua veracidade, usando as regras de inferência válidas fornecidas pela lógica, com base em proposições anteriormente demonstradas. Assim, um certo conceito c0 é definido recorrendo-se aos conceitos c1, c2,..., ck ocorrido em função de outros conceitos, anteriores na estrutura, “e assim por diante”. De modo análogo, para provarmos uma proposição, utilizamo-nos de proposições anteriormente provadas e
  7. 7. 6 que foram provadas com o auxílio de outras já provadas que as antecedem na ordenação da teoria, “e assim por diante”. Quer na definição de conceitos quer nas demonstrações de propriedades, o problema jaz na frase “e assim por diante”. Como não há, dada a nossa finitude, possibilidade de um retrocesso ad infinitum, é preciso dar uma solução ao “e assim por diante”. (BICUDO, 2009, p. 82). Ainda de acordo com Bicudo (2009) o matemático não pode aceitar o “círculo vicioso”: definições redundantes. Ele precisa tomar alguns conceitos sem definição. O matemático vale-se desses conceitos não definidos, primitivos, escolhidos no menor número possível, para definir os demais conceitos, derivados. O mesmo procedimento no caso da demonstração de propriedades ou proposições, acolhendo proposições sem demonstração, axiomas, no menor número exeqüível, para provar todas as outras afirmações, teoremas, que fará. Nos trabalhos a seguir veremos que a descoberta das Geometrias não-euclidianas põe um fim ao problema do 5º Postulado: ele é independente dos demais e, portanto, não pode ser demonstrado. O critério utilizado na revisão bibliográfica para esta pesquisa foi trabalhos sobre Geometrias não-euclidianas, realizados no período de 1995 a 2011, baseado nas Referências da Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, de Maria Lúcia Torelli Doria de Andrade, Geometria Esférica: Uma seqüência didática para a aprendizagem de conceitos elementares no Ensino Básico, PUCSP, 2011.
  8. 8. 7 Capítulo 1: O que são Geometrias Não-Euclidianas Este capítulo destina-se a apresentar a justificativa e a metodologia e procedimentos da pesquisa, de acordo com os critérios já abordados. Será explicado o escopo das geometrias não-euclidianas e em que consiste o ponto de ruptura com a geometria plana. Em seguida será detalhado o significado deste tipo de pesquisa bibliográfica, e como ela é feita. 1.1 Justificativa A justificativa científica para a revisão bibliográfica focando este tema é a limitação da Geometria Plana, que não serve para distâncias muito grandes. Vejamos por que. De acordo com Tagliaro (1968) as fórmulas estabelecidas para esta geometria referem-se a triângulos em que os lados são segmentos retilíneos. As numerosas aplicações destas fórmulas comportam, por exemplo, distâncias geográficas e podemos aceitar os seus resultados desde que essas distâncias não sejam muito grandes. Porém, como a terra oferece uma forma aproximadamente esférica, não podemos aplicar as mesmas fórmulas a triângulos em que os lados tenham grande extensão, (como do Rio de Janeiro a Natal, por exemplo) sem cometer erro de aproximação muito notável. O mesmo acontece com os problemas de astronomia que se referem a triângulos da esfera celeste. Por esses motivos, neste caso, precisamos estudar as fórmulas relativas a triângulos esféricos (TAGLIARO, 1968). Nos Elementos, Euclides estabeleceu dez premissas e diversas definições, como base para provar as afirmações denominadas de teoremas. Tais premissas eram separadas em dois grupos. Cinco delas, conhecidas como noções comuns, e as outras cinco, como axiomas, como se encontram no texto de Carvalho (1994, p.17, apud FRANCA, 2007), especialmente elaborado com vistas à formação do professor de Matemática. Em uma edição de 1795 dos Elementos de Euclides, o físico e matemático inglês, John Playfair, apresenta este axioma de forma equivalente e mais simples, considerando a seguinte expressão: “Por um ponto fora de uma determinada reta, não passa mais que uma paralela a esta reta”, (GANS, 1973, p.13, apud FRANCA, 2007), que é hoje em dia habitualmente utilizada nos livros-textos destinados ao ensino de geometria.
  9. 9. 8 Desde a época de Euclides, aproximadamente 300 a.C, o 5º axioma tornou-se alvo de críticas, por sua forma muito elaborada, de difícil interpretação, embora o método axiomático estivesse bem desenvolvido até o século XIX. Para muitos estudiosos, a relação descrita neste axioma mais parecia um teorema e por isso persistentes esforços foram envidados, na tentativa de provar tal afirmação, a partir dos outros quatro. Tais esforços mal sucedidos perduraram durante mais de 2000 anos, até a primeira metade do século XIX, quando Gauss em 1824, Lobachevsky em 1829, Bolyai em 1832, Riemann em 1854 e posteriormente Beltrami, Poincaré e Klein concluíram que não era possível sua demonstração a partir dos demais. A negação do Quinto Axioma de Euclides tem como conseqüência a descoberta das geometrias não-euclidianas, com o surgimento de uma variedade de sistemas axiomáticos alternativos ao euclidiano, o que representou “nada menos que uma revolução na geometria. Com o passar do tempo foi provado que os efeitos da descoberta não foram menos profundos em outros ramos da matemática, da física e da filosofia.” (GANS, 1973, p.4, apud FRANCA, 2007). Por essas razões, nossa questão de pesquisa é, “Se a geometria escolar é a geometria euclidiana e esta geometria não é ensinada como deveria, como estaria então o ensino das geometrias não-euclidianas e quais os trabalhos acadêmicos no contexto destas geometrias que poderiam ser pesquisados?”. Para completar nossa justificativa, cabe lembrar que o estudo das geometrias não- euclidianas possibilita uma visão da Matemática e do espaço, com seus conceitos de verdade, como saberes que podem ser contestados, discutidos e questionados. Visão que está de acordo com um dos objetivos gerais do ensino, o de “questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação” (BRASIL, 1988, p.56, apud FRANCA, 2007). 1.2 Metodologia e Procedimentos A metodologia utilizada nesta pesquisa é estado do conhecimento, ou estado da arte, definida como de caráter bibliográfico, que é utilizada para trabalhos que realizam um
  10. 10. 9 panorama das pesquisas científicas de determinada área. Este tipo de pesquisa procura mapear e discutir certa produção acadêmica em campos diversos do conhecimento, tentando responder que aspectos vêm sendo privilegiados em épocas diferentes, sendo também de caráter inventariante e descritiva sobre o assunto que busca investigar. Conforme Soares (1987, apud FERREIRA, 2002): Essa compreensão do estado de conhecimento sobre um tema, em determinado momento, é necessária no processo de evolução da ciência, afim de que se ordene periodicamente o conjunto de informações e resultados já obtidos, ordenação que permita indicação das possibilidades de integração de diferentes perspectivas, aparentemente autônomas, a identificação de duplicações ou contradições, e a determinação de lacunas e vieses. (SOARES, 1987, apud FERREIRA, 2002). Esta metodologia significa, então, conhecer o já construído e produzido para em seguida buscar o que ainda está por fazer, procurar um bom número de pesquisas realizadas de difícil acesso, dar conta de determinado saber em ascensão e divulgá-lo para a sociedade, entendendo-se como pesquisa de levantamento e de avaliação do conhecimento acerca de um tema específico. As pesquisas do Estado da Arte buscam compreender o conhecimento acumulado, sobretudo quando se realiza um mapeamento, além de inventariar, sistematizar, compilar, descrever, analisar e avaliar a produção científica numa determinada área do conhecimento, apontando tendências teórico-metodológicas e temáticas mais freqüentes e problemas investigado. (CONRADO, 2005, p.122 apud MELO, 2006, p.62). Para o levantamento de dados e suas análises, o pesquisador tem como fontes básicas de referência os catálogos de faculdades, institutos, universidades, associações nacionais e órgãos de fomento de pesquisa, sendo que nos últimos vinte anos tais entidades têm-se esforçado para divulgar seus trabalhos científicos através de catálogos, inicialmente impressos e, mais tarde, em forma de CD-ROM. De acordo com Romberg (1992, apud ROSA, 2009), o modelo provisório desta pesquisa é o do fichamento, que foi criado por outros autores que também produziram trabalhos do tipo Estado da Arte. Esses fichamentos são elaborados de acordo com o interesse de cada pesquisa.
  11. 11. 10 Capítulo 2: Fichamento dos Trabalhos Acadêmicos Para a realização desta pesquisa bibliográfica, foi feita uma busca nos bancos de dissertações e teses das respectivas Instituições de ensino de 1995 a 2011, selecionando aquelas sobre geometrias não-euclidianas. A apreciação dos onze (11) trabalhos acadêmicos será constituída de um fichamento o qual constará: título, autor, ano de defesa, instituição, curso, orientador, sujeitos da pesquisa, palavras-chave, objetivo, questões de pesquisa, referenciais teóricos, metodologia e principais resultados. Este tópico será dedicado ao fichamento dos Trabalhos Acadêmicos produzidos no período de 1995 a 2011 que abordaram o tema Geometrias não-euclidianas. A denominação geral Trabalhos Acadêmicos, ao invés de teses e dissertações, foi escolhida devido à Monografia de Especialização, de Jasias Cezario Franca, Uma análise da Apresentação de Retas Paralelas em Livros Didáticos do Ensino Médio, UFF, 2007, que está incluída nesta pesquisa. As informações constantes neste fichamento foram retiradas dos trabalhos disponibilizados nos bancos de dissertações e teses on line das respectivas Instituições de Ensino, e estão seguindo o que consta escrito nos trabalhos. Alguns bancos on line disponibilizam apenas os resumos ou sínteses. A dissertação da professora Izabel Passos Bonete, Unicentro, e a da professora Zionice Garbelini Martos, UNESP, e a monografia do professor Jasias Cezario Franca, UFF, foram cortesmente enviadas por e-mail. O fichamento está disposto em ordem cronológica. 1- Titulo: Geometrias não-euclidianas: Um estudo Histórico-Pedagógico. Autor: Arlete de Jesus Brito Ano de defesa: 1995 Instituição: UNICAMP Curso: Mestrado Orientador: Dr. Antonio Miguel Sujeitos da Pesquisa: Ambiente pedagógico idealizado. Palavras-Chave: Geometria, Geometria não-euclidiana, Percepção espacial, Verdade (Filosofia).
  12. 12. 11 Objetivo: Estudo histórico-pedagógico cujo eixo temático central são as condições que possibilitaram o surgimento das geometrias não-euclidianas. Questões de Pesquisa: O que os alunos de licenciatura em Matemática entendem por Geometria? Como a Geometria transformou-se em um conhecimento que se utiliza do método dedutivo? O 5º postulado é na realidade um teorema? Se for, podemos utilizar as definições, os axiomas, os quatro primeiros postulados e os teoremas que não necessitam do 5º postulado para serem demonstrados, contidos nos Elementos, para tentarmos demonstrar o postulado número 5? Como ficaria a axiomática de uma geometria que negasse o 5º postulado de Euclides? Referenciais Teóricos: Estudo histórico-pedagógico das geometrias não- euclidianas. Metodologia: Pesquisa Explicativa. Método Dialético. Principais resultados: Brito (1995) imaginou uma disciplina sobre geometrias não-euclidianas em um curso de licenciatura em Matemática, em que foram definidos os perfis dos personagens, e escritos o texto a partir de um problema gerador: a desconfiança histórica sobre a possibilidade de demonstração do quinto postulado de Euclides. A professora pergunta aos alunos o que eles entendem por Geometria. Os alunos A, B, C, e D expressaram posições filosóficas, e a professora lembrou que, etimologicamente, Geometria significa medida da terra, o que pode sugerir uma origem empírica. Desenvolve-se um diálogo fundamental para o entendimento da Geometria. Vem à tona o uso do método dedutivo, que se deu na Grécia, onde sendo os trabalhos manuais considerados desonrosos, a classe dominante inclinou-se à Filosofia, e a colocação ao conhecimento tanto a questão “Como?”, quanto o “Por quê”. O quinto postulado começou a ser questionado, suspeitando-se se tratar de uma proposição. Os alunos propuseram-se a demonstrá-lo, usando definições, axiomas e os quatro primeiros postulados. Um dos alunos mostra que duas retas formando com uma reta transversal, ângulos internos com soma diferente de 180º, se interceptam. E que por um ponto fora de uma reta existe uma única reta paralela à reta dada. Finalmente demonstrou a equivalência destas asserções.
  13. 13. 12 Para realizar o primeiro passo, precisou demonstrar o seguinte teorema: “Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos correspondentes são congruentes”, sem utilizar o quinto postulado de Euclides. O aluno realiza o segundo passo utilizando o quinto postulado para demonstrar que retas paralelas a uma mesma reta são paralelas entre si. Ele afirma que utilizando a geometria neutra e o postulado de Playfair, que diz que por um ponto fora de uma reta dada passa uma única paralela, demonstrou o quinto postulado de Euclides. Depois, utilizando a geometria neutra e o quinto postulado de Euclides, demonstrou o postulado de Playfair. Assim, demonstrou que os dois postulados são equivalentes. Após várias tentativas, a professora e os alunos concluem que o quinto postulado de Euclides não pode ser demonstrado, pois é utilizado o próprio quinto postulado para demonstrá-lo. Um aluno sugere que poderia se tentar inventar uma geometria na qual seriam utilizados os postulados mais caóticos possíveis, como por exemplo, um que afirmasse a existência de várias retas paralelas a uma reta dada, todas passando por um mesmo ponto não pertencente a esta reta dada, ou seja, uma negação do quinto postulado de Euclides. Assim, essa nova geometria conteria nove axiomas, os quatro primeiros postulados, um quinto postulado que seria algo como “dada uma reta l e um ponto P não pertencente a l, podemos traçar ao menos duas retas paralelas a l que passam por P”, além das vinte e oito primeiras proposições dos Elementos e outras que demonstraríamos utilizando esse novo postulado. Este novo postulado tem como conseqüências: em um triângulo a soma das medidas dos ângulos internos é menor que 180º; nessa nova geometria não existem figuras semelhantes que não sejam congruentes; em um quadrilátero, cujos lados perpendiculares à base possuem a mesma medida, os ângulos do ‘topo’ são congruentes; a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é menor que 360º. Estes fatos pertencem às geometrias não- euclidianas. Gauss, Lobatschewski e Bolyai foram os inventores desse novo tipo de geometria. Mais tarde a professora explica que Gauss, em 1827, concluía que a esfera tem curvatura constante igual a 1/r2 , onde r é o raio da esfera. O cilindro e o plano têm curvatura zero. A superfície encontrada por ele como exemplo de curvatura negativa foi
  14. 14. 13 uma obtida pela rotação da tractriz ao redor de seu eixo, a pseudo-esfera, que fornece um modelo de superfície na qual não há pontos singulares. Perceber que podemos ter geometrias construídas em superfícies de três tipos diferentes de curvatura possibilita uma síntese importante a partir da qual surgem as geometrias não-euclidianas. Riemann (1826- 1866), discípulo de Gauss, foi o primeiro a realizar tal síntese. Ele criou a geometria sobre a esfera, na qual as retas não são infinitas e o segundo postulado não é válido, nega o quinto, e o substitui por um que afirma que “por um ponto tomado fora de uma reta não se pode tirar nenhuma paralela a essa reta” e constrói uma geometria inteiramente lógica, concluindo, por exemplo, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é maior que dois retos. A partir das investigações de Riemann, precisou-se reconhecer que o espaço não é nem real, nem irreal, embora possa, em algumas determinações métricas, ser empregado na descrição da realidade. Brito (1995) conclui que nesse estudo histórico-pedagógico, a palavra foi privilegiada. Os momentos de silêncio colocam perguntas ao leitor, o qual pode buscar respostas para elas, fornecendo ao diálogo uma continuidade em outro nível que não o do texto da dissertação. A autora diz que talvez seja nesses momentos de silêncio que o diálogo atinja, mais plenamente, sua dimensão pedagógica. 2- Titulo: 5º Postulado de Euclides: A Fagulha que Desencadeou uma Revolução no Pensamento Geométrico. Autor: Márcia Cristina Garrido Souza Ano de defesa: 1998 Instituição: UFRJ Curso: Mestrado Orientador: Dra. Vânia Maria Pereira dos Santos Wagner Sujeitos da Pesquisa: Trinta e cinco (35) alunos de graduação e trinta (30) professores de matemática. Palavras-Chave: Euclides, 5º Postulado.
  15. 15. 14 Objetivo: Segundo Souza (1998) este trabalho, realizado em 1997, analisa o 5º postulado de Euclides sob três pontos de vista: o matemático, o histórico e o qualitativo. Com este estudo, é examinado o conhecimento dos professores sobre a problemática gerada por este postulado, a influência dos livros didáticos no ensino da geometria, e a importância das geometrias não euclidianas para a atualidade. Questões de Pesquisa: Sob a ótica da história da matemática, que desdobramentos surgiram para a matemática a partir dos estudos sobre o 5º postulado? O ensino da matemática de 3º grau prepara e capacita graduandos a argumentar criticamente quando confrontados com tentativas de demonstração? Como os professores que lecionam geometria vêm a problemática gerada pelo axioma das paralelas? Como os livros didáticos têm abordado a geometria? Essa abordagem faz relação com o contexto histórico social? Referenciais Teóricos: Souza (1998) usou como suporte: a história da matemática, que situa e informa como se originaram as geometrias não euclidianas que são a maior conseqüência dos estudos sobre o 5º postulado; e a geometria euclidiana que serve de parâmetro para essa pesquisa. Metodologia: Como instrumentos de coletas de dados, a autora utilizou fontes primárias e secundárias, atividades de demonstração e entrevistas. Principais resultados: Souza (1998) explica que este estudo sugere, entre outras coisas, a utilização da história da matemática, e a integração das disciplinas do 3º grau, enfatizando a geometria, o porque das demonstrações e promovendo a real construção do saber, acompanhada de uma postura crítica. 3- Titulo: As Geometrias não-euclidianas em cursos de Licenciatura: algumas experiências. Autor: Izabel Passos Bonete Ano de defesa: 2000 Instituição: UNICENTRO Curso: Mestrado Orientador: Dr. Dionísio Burak Sujeitos da Pesquisa: Acadêmicos de um curso de Ciências-Licenciatura.
  16. 16. 15 Palavras-Chave: geometria, geometrias não-euclidianas, ensino-aprendizagem. Objetivo: Refletir e discutir o ensino das geometrias não-euclidianas em um curso de licenciatura, no sentido de provocar, nos novos professores do ensino fundamental e médio, mudanças nas concepções de espaço e verdade matemática. Questões de Pesquisa: Perguntou-se o porquê das geometrias não-euclidianas não terem sido ensinadas quando se cursou Matemática numa instituição de ensino superior e, principalmente, o porquê dessas geometrias não estarem sendo ensinadas. Seria talvez, porque ainda se acredita, que a geometria euclidiana é a única geometria possível ou porque as geometrias não-euclidianas são consideradas difíceis demais para serem ensinadas, por serem complexas, abstratas e de nada serviriam para a vida prática? Referenciais Teóricos: Construtivismo. Metodologia: Pesquisa bibliográfica e empírica, com trabalho de campo. Principais resultados: Bonete (2000) explica que este trabalho pretende refletir e discutir sobre o ensino das geometrias não-euclidianas em um curso de licenciatura, no sentido de provocar, nos futuros professores do ensino fundamental e médio, mudanças nas concepções de espaço e verdade matemática. Para tanto, foi realizado um estudo sobre a situação da geometria e do seu ensino e, um estudo teórico sobre as mudanças qualitativas pelas quais passou a geometria desde a Antiguidade até os dias atuais. A apresentação das geometrias não-euclidianas deu-se através de três experiências, as quais foram realizadas em diferentes salas de aula. A partir de reflexões realizadas após cada experiência, buscou- se determinar os ajustes que se faziam necessários para a experiência seguinte, a fim de proporcionar aos futuros professores não só o conhecimento das geometrias não- euclidianas, mas também, o conhecimento de uma prática inovadora para o processo de ensino-aprendizagem. O preparo adequado dos futuros professores da disciplina de Matemática permitirá a melhoria da qualidade do ensino da geometria euclidiana, que hoje se encontra em abandono, bem como a possibilidade de estudo das geometrias não- euclidianas no ensino fundamental e médio. Na tendência construtivista, conforme Fiorentini (1995:20, apud BONETE, 2000), a Matemática é vista como “uma construção humana constituída por estruturas e relações abstratas entre formas e grandezas reais ou possíveis. Por isso, essa corrente prioriza mais
  17. 17. 16 o processo que o produto do conhecimento. Ou seja, a Matemática é vista como um construto que resulta da interação dinâmica do homem com o meio que o circunda”. A geometria de Euclides não é a que melhor representa os fenômenos naturais, devido a suas limitações. Para um mundo real e mutável como é o nosso, a existência do tempo e da posição da figura no espaço deve ser sempre levada em consideração. Além do mais, quando se trata, principalmente, de grandes distâncias intergalácticas ou subatômicas, a geometria euclidiana já demonstrou não responder. Quanto às experiências realizadas no ensino das geometrias não-euclidianas, a primeira não foi muito interessante. Perguntado aos alunos sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo, disseram ser 180º. Foi esclarecido que a soma depende da superfície em que este triângulo esteja traçado. Tal experiência proporcionou reflexão em alguns pontos: dever-se-ia levar os alunos à construção desse conhecimento, sendo necessária uma teoria da educação para fundamentar a próxima prática a ser realizada. Assim, para a segunda experiência, por estudo sobre a teoria de David Ausubel, constatou-se que na introdução de novos assuntos é necessário que o professor leve em conta o que o aluno já sabe, que tem múltiplas denominações, como idéias prévias, idéias espontâneas, implícitas, concepções equivocadas ou errôneas, etc... Para esclarecer sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo, solicitou-se que os alunos construíssem um triângulo qualquer, numa folha de papel, pintassem os vértices, recortassem esses três ângulos, para juntá-los e verificar se os três juntos formariam 180º. Depois, foi-lhes perguntado, se a soma dos ângulos internos de um triângulo, traçado em uma superfície não-plana, continuaria a ser 180º. Alguns objetos não-planos, outros planos e uma mesa foram levados à sala. Aquele cuja superfície não fica totalmente sobre a mesa é uma superfície não-plana. Manipulando uma esfera, os alunos observaram que esta apresenta certa curvatura e esta, é a mesma ao redor de toda a esfera. Superfícies como a da esfera que apresentam esta propriedade são ditas superfícies com curvatura constante. No caso de um chuveiro e de uma lâmpada, que são modelos de um sólido chamado pseudo-esfera ou falsa esfera, a qual tem algumas propriedades em comum com a esfera, como a propriedade de possuir um coeficiente de curvatura constante, de possuir a área de sua superfície igual à área de uma esfera que tem o mesmo raio. Um aluno observou a diferença de curvaturas, sendo explicado que, conforme a curvatura de uma superfície, esta pode ser classificada em curvatura nula, curvatura
  18. 18. 17 positiva e curvatura negativa. O plano tem curvatura nula ou curvatura zero. Uma esfera, diz-se que tem curvatura constante e positiva e a pseudo-esfera, diz-se que uma curvatura constante e negativa. Voltou à questão da soma dos ângulos internos de um triângulo traçado em superfícies não-planas. Traçaram-se triângulos nos três tipos de superfícies para verificar a soma dos seus ângulos internos. Na superfície plana não houve dificuldades. Na superfície da esfera mostrou-se que a soma dos ângulos internos é maior que 180º e aumenta à medida que o triângulo aumenta. Em seguida os alunos marcaram os três vértices sobre a superfície do chuveiro e com o auxílio de uma régua flexível traçaram os lados. Mostrou- se que a soma dos ângulos de um triângulo traçado em uma superfície com curvatura negativa é menor que 180º. Então os alunos começaram a tirar conclusões, sendo que um deles disse que, então nos livros, deveria vir que a soma dos ângulos de um triângulo sobre uma superfície plana é igual a 180º e não que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180º, ao que se acrescentou que os livros didáticos deveriam deixar bem claro que a soma é 180º, apenas quando a superfície é plana ou de curvatura zero, quando então, temos a geometria euclidiana, pois quando a superfície é constantemente positiva ou negativa, temos outras geometrias. A terceira experiência complementou essa segunda, quando estes conceitos não- euclidianos foram aprofundados. Assim, ao realizar três experiências em diferentes salas de aula, constatou-se que o ensino das geometrias não-euclidianas em um curso de licenciatura pode proporcionar aos futuros professores, discussões sobre as suas diferentes concepções de verdade matemática e espaço, e uma compreensão do significado filosófico desses conhecimentos. 4- Titulo: Geometrias não euclidianas: uma proposta metodológica para o ensino da Geometria no Ensino Fundamental. Autor: Zionice Garbelini Martos Ano de defesa: 2002 Instituição: UNESP
  19. 19. 18 Curso: Mestrado Orientador: Dr. Antonio Carlos Carrera de Souza Sujeitos da Pesquisa: Quarenta (40) alunos, sendo dez do sexo masculino e trinta do sexo feminino, cujas idades variavam de 13 a 16 anos, da E.E. Prof. Marciano Toledo Piza, Rio Claro-SP. Palavras-Chave: Geometria Esférica; Significado; Geografia; Problematização; Educação Matemática. Objetivo: Apresentar uma proposta didática ao ensino da Geometria euclidiana e não-euclidiana para o Ensino Fundamental. Questões de Pesquisa: É possível aos alunos do Ensino Fundamental produzirem significados em Geometria Esférica? Referenciais Teóricos: A formação de conceitos, da obra Pensamento e Linguagem de Vigotski (1999). Metodologia: Pesquisa-ação, abordagem dada por Istvan Lénárt, educador matemático húngaro. Principais resultados: O objetivo deste trabalho foi desenvolver um experimento de ensino, através de atividades comparativas das Geometrias Plana e Esférica, utilizando a abordagem desenvolvida desde 1970 por Istvan Lénárt, educador matemático húngaro. Desse modo, tentar contribuir para o ensino-aprendizagem da Geometria euclidiana. Martos (2002) crê que as habilidades desenvolvidas no processo de resolução de problemas via-problematização, de acordo com o conceito defendido por Mendonça (1993, apud MARTOS, 2002), tais como: tentar, observar, analisar, conjeturar, verificar, fazem parte do que chamamos de raciocínio lógico. Nesse sentido, a autora acredita que a resolução de problemas de forma contextualizada pode e deve ser um elemento integrador das diversas áreas do currículo, ajudando os alunos a melhor compreenderem e interpretarem o mundo em que vivem. As coordenadas geográficas desempenham um papel importante na orientação de marinheiros e astronautas. Imagine "um navio a 15º de longitude oeste e outro, a 45º de longitude leste. Suponha que um dos navios sofreu um acidente em alto mar e está afundando. Um dos tripulantes solicitou ajuda pelo rádio e disse que estavam a 30º de
  20. 20. 19 latitude norte. Foi possível localizar o navio?". Exemplos como esse nos possibilitam associar conceitos de Geografia com a Geometria. De acordo com o desenvolvimento histórico das geometrias não-euclidianas, pode-se perceber claramente que a construção do conhecimento matemático é uma obra coletiva do ser humano (Carrera de Souza, 1993, apud MARTOS, 2002). A proposta deste trabalho, então, vem ao encontro da necessidade de trabalhar as Geometrias Plana e Esférica, visando ao ensino-aprendizagem da Geometria Plana. Foi observado que os conceitos de “elementos de uma circunferência e de superfície esféricas”, “retas paralelas”, “relações entre os lados e ângulos de um triângulo”, “classificação de triângulos”, “propriedades de triângulos e semelhanças de triângulos”, ainda não haviam sido trabalhados. Os livros adotados pela escola não apresentavam o quinto postulado de Euclides e a pesquisadora não encontrou formas de iniciar um trabalho para desenvolver conceitos sobre uma superfície esférica. Foi encontrada uma abertura no currículo de Geografia, onde o professor de Matemática talvez pudesse trabalhar os conceitos do sistema de coordenadas geográficas (latitude e longitude). Assim, foi proposta a seguinte questão: como você vê e imagina que seja a linha do Equador, os trópicos e o meridiano de Greenwich? Para a qual houve respostas variadas: uma linha, marcações, ou apenas linhas; linhas verticais e horizontais, ou separação climática da Terra, ou ainda circunferências achatadas nos pólos em forma de aliança. Seguiu-se quatro atividades: 1) Qual é a cor do urso? Sobre o trajeto de um urso, quando pudemos observar que retas paralelas não existem na esfera; no plano euclidiano o urso nunca poderá chegar ao local de onde partiu, mas na esfera isso é possível. 2) A gota d’água. Com o objetivo de identificar uma linha reta tanto na esfera quanto no plano, usando uma bexiga onde uma gota descrevia uma “reta”. Os alunos observaram que os triângulos aumentaram de tamanho; ao fazer um triângulo, as retas formavam curvas. 3) Você pode desenhar linha reta na esfera? Conforme solicitado, os alunos desenharam dois pontos no plano, ligaram-nos com três linhas e verificaram que a distância mais curta é a reta. Depois os alunos deveriam usar uma régua esférica e fazer comparações sobre a reta no plano, além de trabalhar o conceito de grande círculo. Um grupo concluiu que “a linha deu a volta na esfera e formou um círculo, e podemos comparar a linha com a linha
  21. 21. 20 do Equador”, que de acordo com Vygotsky é a fase de “pensamentos complexos”, conforme Oliveira (1993); Van der Ver (1996) (apud MARTOS, 2002). Atividade 4) Usando o transferidor. À pergunta: Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo? Nenhum dos grupos soube responder. Ao que foram orientados a desenhar triângulos de tamanhos diferentes, recortassem e medissem os ângulos, e constataram a medida de 180º. Um grupo de meninas constatou que na esfera a soma sempre seria maior que 180º, observando, também, que o círculo máximo, ao passar pelo Equador em qualquer ponto, medirá 90º. Também deram exemplo de triângulo esférico com dois ângulos retos. A autora concluiu que um trabalho interdisciplinar, relacionando conceitos geométricos esféricos com conceitos geográficos, possibilitaria desenvolver um aprendizado significativo numa oitava série. 5- Titulo: Geometria Esférica para a formação de professores: uma proposta interdisciplinar. Autor: Irene Pataki Ano de defesa: 2003 Instituição: PUC-SP Curso: Mestrado Orientador: Dr. Saddo Ag Almouloud. Sujeitos da Pesquisa: Seis (6) professores do Ensino Médio da rede estadual de ensino da cidade de Arujá, São Paulo, na E.E. Prof. Esli Garcia Diniz em 2002. Palavras-Chave: Geometria esférica, formação de professores, situações didáticas, situação-problema, interdisciplinaridade, contextuação. Objetivo: Propor, aos professores, uma seqüência didática, com atividades, que mostre a relação interdisciplinar existente entre a Geometria esférica e a Geografia, e proporcionar aos professores envolvidos reflexões e questionamentos sobres alguns aspectos do ensino da Geometria esférica.
  22. 22. 21 Questões de Pesquisa: Como uma seqüência de ensino pode possibilitar a apropriação de um novo domínio – a Geometria esférica – e levar o educador a reelaborar seu pensar? Referenciais Teóricos: Teoria das Situações Didáticas; Teoria de Britt-Mari Barth concernente à Formação de Professores. Metodologia: Engenharia Didática Principais resultados: Duas experiências nortearam esta pesquisa: a primeira com três alunos do curso de Licenciatura em Matemática, da PUC-SP, que se realizou entre junho a agosto de 2002, em seis sessões, como parte da disciplina de Geometrias não- euclidianas. Pataki (2003) diz que a finalidade desse primeiro experimento foi a de que com essa aplicação inicial de uma seqüência didática, se pudesse analisar os entraves que ocorressem, proceder aos devidos ajustes e reaplicá-la, depois, definitivamente, no público- alvo pretendido A autora constatou que na institucionalização, deveria incluir mais figuras, tendo sido uma solicitação dos alunos; que a definição de triângulo esférico gerou incompreensões; que incertezas sugiram no que se refere aos triângulos degenerados, que, na ocasião, ainda não possuíam essa denominação: a abstração e, conseqüentemente, a representação de dois triângulos, sendo um deles com dois ângulos medindo 0º e o outro maior, com os três ângulos medindo 180º. Além disso, houve dúvidas quanto à construção de um triângulo isósceles com um dos vértices no pólo e a determinação da medida do ângulo que tem esse vértice. Portanto, esses fatos levaram a autora a refletir mais, reformular a seqüência didática, a fim de poder realizar um novo experimento. Como os professores não haviam participado de algum estudo acerca de Geometria esférica foi elaborada uma seqüência didática de tal maneira que eles fossem conduzidos a refletir/questionar acerca de alguns aspectos da Geometria de Riemann, sendo a sua construção e a experimentação baseada na Teoria das Situações Didáticas. Foi proposta a seguinte situação-problema: O comandante de um navio recebeu a seguinte mensagem de um helicóptero: localizados náufragos numa ilha de coordenadas 68º 40’N e 13º 40’E. Naquele momento, a posição do navio era 42º 10’N e 51º 20’W. Que distância o navio deverá percorrer para chegar à ilha?
  23. 23. 22 Os professores (A, C, D, E, F) disseram que o percurso do navio não seria em linha reta. Segundo (A), ”o percurso do navio dependia de um referencial” que poderia ser a bordo do navio ou fora dele, já para (B), seria em linha reta. A figura que modelaria esse problema seria, para (A) um “fuso esférico” e, para (B), um “referencial cartesiano, onde N e S seriam o eixo y e L e W o eixo x”. Depois, compreenderam que uma superfície esférica modelaria esse problema. Os professores (D, E, F) concluíram que o modelo para o problema seria uma esfera. Logo, manuseando o globo terrestre, os professores identificaram os pólos, o Equador, os Meridianos e os Paralelos terrestres. Cada um deu sua interpretação desses conceitos, como linhas ou circunferências. Construíram réguas esféricas, numa tira de cartolina, podendo a unidade medida ser o grau ou uma unidade de comprimento. Observaram que há dois pontos de interseção entre duas circunferências máximas, determinando quatro arcos e oito ângulos, sendo ângulo esférico uma região limitada por esses arcos. Três pontos distintos, dois a dois pertencentes a uma mesma circunferência máxima, determinaram um triângulo esférico, sendo que cada professor deu uma interpretação diferente: região limitada por três arcos; uma figura de três vértices cujos lados são arcos de circunferência máxima; três arcos de circunferências máximas; reunião de dois arcos de circunferência que se interceptam no mesmo ponto. Quanto à situação-problema, os professores determinaram a Relação Fundamental dos Triângulos Esféricos, usando a Trigonometria plana, útil para a determinação da medida de um lado e dos ângulos de um triângulo esférico e que permitiria solucionar a situação. Os professores confrontaram a Geometria esférica e plana, por exemplo, reta, uma circunferência máxima; não há paralelismo entre retas; comprovação de que os paralelos terrestres não são retas paralelas. Também verificaram que há triângulos com um, dois e três ângulos retos, concluindo que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo varia de 180º a 540º. E dos ângulos externos varia entre 0º e 360º. E não há semelhança entre dois triângulos, pois diminuindo a medida do arco, diminui a medida do ângulo, existindo quatro possibilidades de congruência: LLL, LAL, ALA e AAA. Ainda o Teorema de Pitágoras não é válido, exemplificando para o triângulo retângulo, birretângulo e trirretângulo. Assim, os resultados alcançados permitiram à autora inferir que a seqüência de ensino proposta, a partir de uma situação-problema, pareceu consistente e coerente, porque
  24. 24. 23 sua construção, tal como o trabalho de um engenheiro, apoiou-se em alicerces firmes previamente estabelecidos, edificou-se por meio da relação entre teoria/experimentação e finalizou com sua validação/institucionalização. 6- Titulo: Geometria Hiperbólica: uma proposta didática em ambiente informatizado. Autor: Eliane Cabariti Ano de defesa: 2004 Instituição: PUC/SP Curso: Mestrado Orientador: Drª Ana Paula Jahn Sujeitos da Pesquisa: Grupo de seis (6) professores-formadores experientes no ensino de Geometria Euclidiana, assim como no uso do ambiente informático Cabri- Géomètre, de uma Universidade particular do Estado de São Paulo. Palavras-Chave: Geometria Hiperbólica, Geometria Euclidiana, ensino e aprendizagem, Cabri-géometrè, formação de professores. Objetivo: O objetivo principal deste estudo reside no desenvolvimento de uma proposta pedagógica voltada à concepção de situações didáticas para uma formação inicial ou continuada de professores, visando explorar relações entre a Geometria Hiperbólica e a Geometria Euclidiana. Questões de Pesquisa: Como potencializar uma proposta de ensino em ambiente de geometria dinâmica visando desenvolver, em uma formação inicial ou continuada de professores de Matemática, noções de Geometria Hiperbólica que contribua na compreensão e ampliação de conceitos da Geometria Euclidiana? Referenciais Teóricos: Balacheff, 1988; Healy e Hoyles, 1988; Olivero, 1999. Parzysz, 1988; Laborde, 1993. Metodologia: Pesquisa qualitativa. Principais resultados: Cabariti (2004) visou contribuir para o processo de ensino e aprendizagem de Geometria, em particular das Geometrias não Euclidianas, com um
  25. 25. 24 modelo hiperbólico, com o auxílio de uma ferramenta computacional, em cursos de formação de professores de Matemática. Para auxiliar no delineamento dessa proposta, foi realizado um estudo experimental para investigar as possíveis relações que professores- formadores de Geometria Euclidiana estabelecem para resolver situações sobre noções de Geometria Hiperbólica, com o auxílio do software Cabri-géometrè. As atividades desenvolvidas para o estudo experimental foram inspiradas nos princípios para o desenvolvimento de tarefas “thought revealling” descritos por Lesh e al (2000, apud CABARITI, 2004). As análises foram baseadas em dois aspectos: a dinâmica das trocas entre os domínios geométricos – geometria Euclidiana e Hiperbólica – além das interações entre os campos espaço-gráfico e teórico (Laborde, 1999, apud CABARITI, 2004) e o papel do Cabri como ferramenta de construção, exploração e verificação, especialmente relacionadas ao seu aspecto dinâmico, nos diferentes “modos de arrastar” (Olivero, 2002, apud CABARITI, 2004). Pelas interações dos professores nessas situações, foi confirmada a importância do uso da barra do menu hiperbólico do Cabri, fundamental para o acesso às representações de objetos hiperbólicos favorecendo a compreensão de conceitos, propriedades e relações envolvidos nesse domínio. Os resultados permitiram à pesquisadora reconsiderar algumas escolhas, levando-a à reelaboração das atividades da proposta inicial, em particular no que se refere à constituição e utilização das ferramentas disponibilizadas no Cabri-géomètre. A autora explica que na Geometria Hiperbólica, para toda reta l e todo ponto P não pertencente a l, passam por P pelo menos duas retas distintas a l, e que para visualizar o que realmente se passa quando trocamos o quinto postulado de Euclides pelas versões não euclidianas, os estudiosos se valem da construção de modelos. Além disso, ela explica que um modelo para um determinado sistema axiomático é uma interpretação dada aos conceitos primitivos de modo que os axiomas sejam, todos, propriedades verdadeiras, originando-se, assim, modelos para as geometrias não euclidianas. Cabariti (2004) informa que foram desenvolvidos pelo menos três modelos consistentes para a Geometria Hiperbólica: a pseudoesfera de BELTRAMI (1835-1900), um modelo de KLEIN (1849-1925) e dois modelos de POINCARÉ (1854-1912). Conforme Cabariti (2004):
  26. 26. 25 O software Cabri-géomètre foi fundamental para o desenvolvimento das atividades. Com a barra do menu hiperbólico, o acesso às representações de objetos hiperbólicos foi totalmente facilitado, favorecendo a compreensão de conceitos, propriedades e relações. Assim, a ruptura (desequilíbrio) provocada no confronto aos sujeitos com situações no modelo hiperbólico do disco de Poincaré, a partir de uma breve apresentação de seus principais elementos – não adotando uma perspectiva clássica do estudo preliminar da Geometria Absoluta – mostrou-se salutar e possível com o apoio do Cabri-géomètre. (CABARITI, 2004). 7- Titulo: Geometria esférica por meio de materiais manipuláveis. Autor: Joana D’Arc da Silva Reis Ano de defesa: 2006 Instituição: UNESP Curso: Mestrado Orientador: Dr. Claudemir Murari Sujeitos da Pesquisa: Dez (10) alunos do 3º ao 8º semestres da Graduação em Matemática da UNESP de Rio Claro. Palavras-Chave: Geometria, Educação matemática, Softwares de geometria dinâmica, Caleidoscópio, Ensino de Geometria. Objetivo: Identificar materiais manipuláveis e descrever o seu uso em um processo de ensino e aprendizagem de Geometria Esférica. Questões de Pesquisa: Não identificada. Referenciais Teóricos: Lénárt, 1996; Petit, 1992. Metodologia: Pesquisa qualitativa. Principais resultados: Reis (2006) explica que foi desenvolvido um curso de extensão universitária sobre Geometria Esférica utilizando materiais manipuláveis e, desse modo, investigar esta utilização em um ambiente natural de sala de aula. Primeiramente, foram feitos estudos nos livros e dissertações que abordam as Geometrias Não-Euclidianas, bem como uma pesquisa sobre os recursos pedagógicos disponíveis que pudessem ser utilizados neste contexto, tais como softwares de geometria dinâmica, caleidoscópios, além de outros materiais manipuláveis. Após esta etapa, foi feito um estudo piloto para verificar
  27. 27. 26 a adequação e o encadeamento na aplicação das atividades. Em seguida, foi elaborado e aplicado o curso de extensão intitulado “Geometria Esférica” que foi direcionado a alunos do 3º ao 8º semestres de Graduação em Matemática da UNESP de Rio Claro. Os dados coletados foram analisados qualitativamente, buscando compreender como estes materiais manipuláveis podem colaborar na aquisição de conceitos e propriedades básicas da Geometria Esférica. De acordo com os resultados, a autora acredita que esta pesquisa pode auxiliar na busca por propostas alternativas para o ensino de Geometria, possibilitando uma melhor experiência de aprendizagem do futuro professor, enquanto aluno de graduação. No Estudo I, piloto, foi proposto a uma aluna, Mel, o seguinte problema: Como dois barcos poderiam navegar, mantendo sempre a mesma distância um do outro? Explique e represente as suas trajetórias da melhor maneira possível. Na aula original aonde o problema surgiu, alguns alunos consideravam os barcos navegando em uma superfície plana euclidiana, tendo potencial para iniciar uma discussão sobre o conceito de reta na Geometria Esférica. Mel concluiu que com duas retas paralelas o problema estaria resolvido. Perguntada se os barcos navegavam em uma superfície euclidiana, ela disse que não, pois a Terra é uma esfera. Então lhe foi apresentado o software Cinderella, disponibilizados esferas de isopor, barbante colorido, elásticos coloridos e alfinetes, para ela usar para construir figuras que representassem as trajetórias dos navios. Intuitivamente ela considerou circunferências menores como retas paralelas, sendo que pelo software isto não era possível. Este “choque” em seu conceito de paralelas levou-a a perguntar o que é uma reta e quais as suas características. A autora conclui que as representações geométricas nos “materiais palpáveis” podem ser menos precisas do que no Cinderella, mas, tendo sido a primeira opção de Mel, ela acredita que manipulação através do tato, além da visão, pode ser importante nas investigações e explorações de atividades sobre Geometria Esférica. Pela relevância do desenvolvimento do conceito de reta, a versão da questão lançada foi modificada por ter sido notado pela pesquisadora que, para pequenas distâncias, a visualização do encontro das retas poderia ficar comprometida, quando observada uma pequena parte das representações de linhas sobre uma superfície esférica. Assim, o problema foi proposto no curso de extensão do seguinte modo:
  28. 28. 27 Como seriam as trajetórias de dois barcos navegando por um longo percurso, de modo que mantenham sempre a mesma distância um do outro? Explique e represente as suas trajetórias da melhor maneira possível. Os alunos relataram que o software colaborou na visualização de conceitos e propriedades geométricas. 8- Titulo: As Faces dos Sólidos Platônicos na Superfície Esférica: Uma proposta para o ensino-aprendizagem de noções básicas de Geometria Esférica. Autor: João Pedro Marqueze Ano de defesa: 2006 Instituição: PUC/SP Curso: Mestrado Orientador: Drª Celina Aparecida Almeida Pereira Abar Sujeitos da Pesquisa: Grupo de oito (8) alunos do ensino médio da E. E. Prof. José Henrique de Paula de Silva, município de Santo André, Bairro Parque Novo Oratório. Palavras-Chave: Geometria Esférica, Geometria Plana, Sócio-construtivismo, Situação-problema. Objetivo: Apresentar uma seqüência de atividades, por meio de resolução de problemas, numa abordagem qualitativa, visando a investigar como esta seqüência pode contribuir para que alunos do ensino médio aprendam conceitos básicos da Geometria Esférica enquanto resgatam conceitos da Geometria Plana. Questões de Pesquisa: Que contribuições uma seqüência de atividades que tem como proposta a tesselação das faces dos sólidos platônicos na superfície esférica pode proporcionar para o ensino-aprendizagem de Geometria Esférica? Referenciais Teóricos: Sócio-construtivismo, Vygotsky e Piaget. Metodologia: Pesquisa qualitativa, com resolução de problemas. Principais resultados: Procurando responder à questão de pesquisa foi analisada uma seqüência de atividades, abordando conceitos da Geometria Esférica, por intermédio de situações-problemas.
  29. 29. 28 Neste trabalho foi tomada uma postura descritiva, recolhendo os dados apresentados em forma de textos, desenhos, fragmentos de comunicação oral, transcrição de falas, entrevistas, diários reflexivos, caderno de campos, fitas de áudio e de vídeo. Na investigação qualitativa interessa o processo, mais que os resultados. A resolução de problemas proporciona caminhos para a apreensão de conceitos básicos em Geometria Esférica, estando intrinsecamente de acordo com o aspecto construtivista abordado. Se o aluno entender a Matemática como útil para sua realidade cotidiana, e mais especificamente profissional, sua atenção será despertada para a busca de uma solução. Conforme Freitas (2002, apud MARQUEZE, 2006), um recurso didático útil é a problematização matemática a partir de exploração de material concreto de manipulação ou de situações problemas contextualizadas. Assim foi elaborada uma seqüência de atividades, tais que, o aluno, nos conceitos que vai formando cria um objeto final que é a bola de futebol. A tesselação na superfície de uma esfera com o fim de representação de uma bola de futebol é possivelmente o artefato ideal a ser construído para nosso objetivo, ou seja, dar significado à Geometria Esférica para os alunos do ensino médio. A seqüência de atividades visa introduzir conceitos como: ponto, reta, plano, polígonos, etc. da Geometria Esférica. E ao tesselarem na superfície esférica as faces dos sólidos platônicos o aluno estará conhecendo uma “nova” Geometria e resgatando conceitos da Euclidiana. As atividades: 1ª, apresentação da Geometria Esférica através do trajeto de um urso retornando ao ponto de partida; 2ª, através de polígonos regulares para pavimentação do plano, preparar os alunos para fazer uma analogia com a tesselação na superfície esférica; 3ª, evidenciar a diferença entre esfera e superfície esférica; 4ª, percepção de que ponto na superfície plana e na superfície esférica tem o mesmo significado; 5ª, mostrar que distância entre dois pontos na superfície esférica é um arco; 6ª, introdução do conceito de geodésica; 7ª, mostrar que na superfície esférica não existem retas paralelas; 8ª, elucidar semelhanças e diferenças entre os conceitos de “reta” e “geodésica”; 9ª, apresentação de conceitos de Geometria Espacial e diferenciação entre uma figura plana e uma espacial, necessários para uma melhor compreensão da tesselagem na superfície da esfera; 10ª, estabelecer relações com a Geometria Euclidiana e Esférica; 11ª, aplicar os conceitos da
  30. 30. 29 Geometria Esférica através da tesselação das faces dos sólidos platônicos na superfície esférica; 12ª, construção da bola de futebol, ou seja, tesselar as faces da bola de futebol na superfície esférica. Os resultados apresentados indicaram indícios animadores de que a seqüência apresentada conduz ao ensino-aprendizagem de conceitos básicos de Geometria Esférica. 9- Titulo: Uma análise da Apresentação de Retas Paralelas em Livros Didáticos do Ensino Médio. Autor: Jasias Cezario Franca Ano de defesa: 2007 Instituição: Universidade Federal Fluminense Curso: Especialização Orientador: Ana Maria Martensen Roland Kaleff Sujeitos da Pesquisa: Não há. Palavras-Chave: Retas paralelas, Paralelismo, Geometrias não-Euclidianas. Objetivo: Verificar e analisar a compatibilidade entre as apresentações do conceito de retas paralelas e de suas propriedades encontradas, nos principais livros didáticos do Ensino Médio e as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Questões de Pesquisa: Como os autores do livro didático apresentam o conceito de retas paralelas e suas propriedades? Os autores do livro didático apresentam relações e inferências lógicas que permitam ou favoreçam o estabelecimento de outras formas de paralelismo e de conceitos não-euclidianos? Os autores do livro didático apresentam relações de conversões entre registros semióticos que permitam ou favoreçam o estabelecimento de outras formas de paralelismo e de conceitos não-euclidianos? Os autores do livro didático apresentam relações de interdisciplinaridade dentro da Matemática, ou fora dela, que permitam ou favoreçam o estabelecimento de outras formas de paralelismo e de conceitos não-euclidianos?
  31. 31. 30 Referenciais Teóricos: Abordagem de João Lucas Barbosa dos resultados relacionados ao paralelismo em termos da geometria plana. Resultados equivalentes ao quinto axioma de Euclides, segundo David Gans. Metodologia: Pesquisa qualitativa. Segundo a metodologia orientada por Fiorentini & Lorenzato (2006). Principais resultados: Segundo Franca (2007) como o Quinto Postulado de Euclides é o fator fundamental para o desenvolvimento lógico-histórico e para a criação das geometrias não-euclidianas, analisou-se até que ponto as constatações sobre o referido conceito encontradas nesses textos são influenciadas por concepções euclidianas. Ou seja, foi analisado se as constatações são decorrentes desse postulado e se elas potencialmente interfeririam no entendimento de futuros conceitos não-euclidianos. A análise dos textos incluiu também a dos gráficos e dos desenhos, tendo por fundamentação a teoria desenvolvida por Raymond Duval sobre o papel e a importância da conversão de registros semióticos. Entre as conclusões advindas da análise dos dados, ficou constatado que, embora os livros didáticos sigam as determinações dos Parâmetros Curriculares Nacionais, ficam restritos a apresentações meramente ilustrativas sobre a importância histórica das novas geometrias. Os textos apresentam um enclausuramento euclidiano tanto no que se refere aos desenhos, quanto às inferências lógicas. Constatação esta que também tem sido observada por outros estudos que tratam da formação de professores. Pelo encontrado na literatura, tudo indica que essa restrição das representações semióticas como apresentada pelos autores analisados, pode vir a influenciar negativamente a aprendizagem de seus leitores em futuras situações de estudo, no caso de serem confrontados com conhecimentos geométricos não-euclidianos. 10- Titulo: Uma proposta de ensino para o estudo da Geometria Hiperbólica em ambiente de Geometria Dinâmica. Autor: Marília Valério Rocha Ano de defesa: 2009 Instituição: PUC-SP Curso: Mestrado
  32. 32. 31 Orientador: Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud Sujeitos da Pesquisa: Turma, formada por onze (11) alunos, do curso de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, na disciplina de Tópicos de Geometria, no período de 19 de agosto a 18 de setembro de 2008. Palavras-Chave: Geometria Hiperbólica, Geometria Euclidiana, Software Cinderella, Engenharia Didática. Objetivo: Propor um ambiente computacional ao aprendizado da Geometria Hiperbólica na formação do professor de Matemática. Questões de Pesquisa: Em que medida a geometria dinâmica pode interferir na construção dos conceitos da Geometria Hiperbólica, no estudo axiomático realizado pelo professor de Matemática e como esse novo conhecimento pode contribuir para sua formação? Referenciais Teóricos: Teoria das Situações Didáticas, de Guy Brousseau (1986). Estudos sobre a compreensão das demonstrações, de Raymond Duval (1993). Metodologia: Engenharia Didática, de Artigue (1988). Principais resultados: Rocha (2009) entende que a concepção de materiais que possam ser disponibilizados pela Internet permite sua utilização no ensino nas modalidades presencial, semipresencial, ou ainda, a distância, e pretendeu criar um material com esta funcionalidade, sendo que na criação página houve preocupação com clareza, disposição de links e disposição do conteúdo. A geometria dinâmica possibilita movimento das figuras com benefícios como exploração de situações, interatividade, visualização, rapidez e uma nova possibilidade do estudo das transformações e dos lugares geométricos. Foi criado o Resumo da Geometria Hiperbólica (RGH), disponibilizando ao aluno o quadro atualizado do conteúdo, disponível para a resolução dos exercícios propostos no decorrer das próximas atividades. Na idealização da página da Internet, uma vez que foram utilizados os conceitos da Teoria das Situações Didáticas na elaboração das atividades, entendemos que a abordagem construtivista pode ser considerada na elaboração do material didático, pois
  33. 33. 32 ambas consideram que o aprendizado ocorre por adaptação a novas situações propostas aos alunos e que o aprendiz torna-se o protagonista de seu aprendizado. Quanto à navegabilidade, foram incluídas seções específicas na página inicial com a intenção de segregar os conteúdos: tópicos históricos, demonstrações, atividades, outros (questionários e exercícios) e atividade final. A separação por tópicos visou contribuir para que o aluno acesse as seções que julgar necessárias, pois caso tenha conhecimentos prévios sobre o desenvolvimento histórico do desenvolvimento da Geometria, ou ainda, a respeito das demonstrações, possa se dirigir diretamente às atividades propostas. As atividades propostas foram: Introdução: Explicando o software Cinderella e as atividades propostas. Atividade 1: Axiomatização de Hilbert. Atividade 2: Explorando o Disco de Poincaré. Atividade 3: Retas no Plano. Atividade 4: Ângulo de Paralelismo. Atividade 5: Explorando as retas hiperbólicas. Atividade 6: Biângulo. Atividade 7: Quadrilátero de Saccheri. Atividade 8: Quadrilátero de Lambert. Atividade 9: Triângulos. Atividade 10: Explorando as Circunferências. Atividade 11: Circunferência, Horocírculo e Hipercírculo. Atividade 12: Área. Em seguida há duas séries de exercícios e a Atividade Final. Foram concluídas assim estas atividades. Os conteúdos selecionados foram os principais teoremas dessa geometria. A autora objetivava que os aprendizes adquirissem conhecimento e curiosidade para dar continuidade ao estudo de um tema tão envolvente e encantador. 11- Titulo: Geometria Esférica: Uma seqüência didática para a aprendizagem de conceitos elementares no Ensino Básico. Autor: Maria Lúcia Torelli Doria de Andrade Ano de defesa: 2011 Instituição: PUC/SP Curso: Mestrado Orientador: Drª Maria José Ferreira da Silva. Sujeitos da Pesquisa: Dois (2) alunos do 2º ano do Ensino Médio, sendo um aluno da rede pública estadual e outro da rede particular, de escolas localizadas na zona leste da cidade de São Paulo.
  34. 34. 33 Palavras-Chave: Geometrias não-Euclidianas. Geometria Esférica. Registro de Representação Semiótica. Objetivo: Investigar a apropriação de conceitos elementares de Geometria Esférica por alunos do 2º ano do Ensino Médio, a partir de uma seqüência de ensino. Questões de Pesquisa: Como uma seqüência didática articulando diferentes registros de representação pode avaliar alunos do Ensino Médio na aprendizagem de conceitos de Geometria Esférica? Referenciais Teóricos: Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau (1986) e Teoria das Representações Semióticas de Raymond Duval (2009). Metodologia: Método de investigação: Pesquisa qualitativa. Construção e análise das atividades: Engenharia Didática. Principais resultados: Andrade (2011) partiu do pressuposto de que a seqüência pudesse contribuir para a apreensão por parte dos alunos de conceitos de Geometria Esférica, e permitisse que ao resolver as atividades propostas, esses realizassem os tratamentos e conversões propostos por Duval (2009, apud ANDRADE, 2011) pertinentes ao objeto estudado. Durante o desenvolvimento da pesquisa, na seqüência didática foram propostas diversas atividades, que, em sua maioria, exigiam dos sujeitos de pesquisa discussões a respeito do que aprenderam, promoviam o estímulo de novas idéias e favoreciam o desenvolvimento de um ambiente de ajuda mútua que levava a uma reflexão do que foi trabalhado e aprendido. Além disso, ao trabalhar com materiais manipuláveis, como por exemplo, o globo terrestre, quando terminaram as coordenadas geográficas da cidade e do forte, foi verificado que estes tiveram condições de compreender as situações propostas no processo de aprendizagem dos conceitos referentes à Geografia e para a resolução das outras atividades, além de promover a construção de modelos mentais, que de acordo com English e Halford (1995, apud ANDRADE, 2011) proporcionam uma imagem mais adequada das representações que os indivíduos usam para compreender e raciocinar. A autora também constatou que os sujeitos de pesquisa realizaram as conversões e os tratamentos dos registros de representação semiótica de acordo com Duval (2009, apud ANDRADE, 2011), como quando fizeram a conversão do registro em língua natural (enunciado da atividade) para o registro material (bola de isopor), o que os levou a resolver
  35. 35. 34 a atividade e compreender o conceito de reta na Geometria Esférica. Logo, o objetivo foi alcançado já que os sujeitos desta pesquisa se apropriaram dos conceitos de Geometria Esférica. Foram propostas nove atividades: 1ª, um navio partia de uma cidade e chegava a um forte, sendo pedida a distância. Os alunos tinham fortemente a idéia que a distância seria em linha reta. A 2ª estabeleceu a distância entre dois pontos em uma superfície esférica como sendo um arco de circunferência máxima, porém os alunos ainda pensavam como um triângulo plano, sendo entendido logo que a trajetória em uma superfície esférica é um arco de circunferência máxima. A 3ª apresentou o objeto matemático, reta, na Geometria Esférica e a concorrência entre duas retas, sendo que os alunos realizaram a conversão do registro em língua natural (enunciado) para o registro material (bola de isopor). Na atividade quatro foram estabelecidas as coordenadas geográficas (latitude e longitude) da cidade e do forte, definidos os Pólos Terrestres, Equador, Paralelos Terrestres e Meridianos, porém os alunos não sabiam localizar um ponto na Terra. O uso do globo terrestre foi fundamental. Na atividade cinco foi medida a distância entre dois pontos em uma superfície esférica, mas os alunos não relacionam o arco de circunferência com a medida do ângulo central correspondente a ele. A 6ª atividade definiu ângulo esférico como sendo medido em graus, formado pela intersecção de duas circunferências máximas, e através da conversão do registro em língua natural para o registro material, os sujeitos se apropriaram do objeto matemático, ângulo esférico. A atividade sete definiu triângulo esférico e os alunos realizaram as conversões de forma a produzir um registro adequado da situação proposta na primeira atividade. Na atividade oito foi determinada a Lei dos cossenos para os lados de triângulos esféricos, e a partir da conversão para o registro figural, foram feitos os tratamentos algébricos pertinentes neste registro. Finalmente na nona atividade, na qual foi encontrada a distância da cidade de San Juan até o forte de São Julião da Barra, foi verificado que os sujeitos realizaram a conversão do registro em língua natural para o registro figural, e que fizeram os tratamentos aritméticos pertinentes a cada item da atividade. A autora conclui que outro estudo que poderia ser realizado seria o de introduzir conceitos de Geometria Esférica, tais como: construção de retas e a verificação do não- paralelismo entre elas, congruência e semelhança de triângulos, entre outros podendo ser trabalhados com o software Cinderella ou Cabri-3D.
  36. 36. 35 CONSIDERAÇÕES FINAIS Nosso objetivo foi fazer uma pesquisa bibliográfica sobre o tema Geometrias não- euclidianas, assim fizemos um levantamento das dissertações no período de 1995 a 2011, incluindo uma monografia de Especialização, encontradas em diversas instituições. A metodologia utilizada foi o Estado da Arte. Esta pesquisa bibliográfica permitiu verificar a situação do ensino de geometria no ensino fundamental e médio, que está em abandono, e qual o possível encaminhamento a geometrias alternativas, não planas. O primeiro trabalho mostra uma aula idealizada onde alunos e professora procuram entender o que é geometria, até chegarem às geometrias não-euclidianas. O segundo aborda o quinto postulado de um ponto de vista matemático, histórico e qualitativo. O terceiro questiona o porque de não terem sido ensinadas as geometrias não- euclidianas na graduação. Os demais abordam materiais manipuláveis e softwares, visando o ensino dessas geometrias, e também interdisciplinaridade. Todos os trabalhos pesquisados têm um objetivo comum que é o de apresentar as geometrias não-euclidianas a alunos e professores, e ao mesmo tempo, procurar resgatar a geometria plana que está em abandono, principalmente nos cursos básicos. A importância de uma visão mais ampla sobre as geometrias, incluindo as não- euclidianas, é apontada por diversos documentos governamentais que orientam o ensino da Matemática, tanto no Brasil quanto internacionalmente. Cabe lembrar que o estudo das geometrias não-euclidianas possibilita uma visão da Matemática e do espaço, com seus conceitos de verdade, como saberes que podem ser contestados, discutidos e questionados. É importante enfatizar que algumas experiências brasileiras têm sido realizadas para o ensino de geometrias não-euclidianas com grupos de estudantes cursando desde a oitava série do Ensino Fundamental até o curso superior. Nesses estudos tem-se concluído que as mais bem sucedidas dessas iniciativas pedagógicas são aquelas nas quais se utilizam materiais concretos. Esperamos que este trabalho possa contribuir de alguma forma, mesmo que modestamente, para um retorno da geometria a salas de aula do ensino básico e superior, incluindo as não-euclidianas.
  37. 37. 36 REFERÊNCIAS ANDRADE, Maria Lúcia Torelli Doria de. Geometria Esférica: Uma sequência didática para a aprendizagem de conceitos elementares no Ensino Básico. 2011. 120 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2011. BICUDO, I. Os Elementos/Euclides. São Paulo: Editora UNESP, 2009. CABARITI, Eliane. Geometria Hiperbólica: Uma proposta didática em Ambiente Informatizado. 2004. 181 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2004. FERREIRA, N. S. A. As Pesquisas denominadas “Estado da Arte”. Educação & Sociedade, ano XXIII, nº 79, Agosto/2002. FRANCA, J. C. Uma análise da Apresentação de Retas Paralelas em Livros Didáticos do Ensino Médio. Monografia de Curso de Especialização. Niterói: Instituto de Matemática. UFF. 2007. MARQUEZE, João Pedro. As faces dos Sólidos Platônicos na Superfície Esférica: Uma proposta para o ensino-aprendizagem de noções básicas de Geometria Esférica. 2006. 187 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2006. MARTOS, Zionice Garbelini. Geometrias não-euclidianas: Uma proposta metodológica para o ensino de Geometria no Ensino Fundamental. 2002. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2002. MELO, Marisol Vieira. Três décadas de Pesquisa em Educação Matemática na UNICAMP. 2006. 273f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2006. ROSA, Kelly Cristina. Ambientes computacionais no contexto da Geometria: Panorama das teses e dissertações do Programa de Educação Matemática da PUC-SP de 1994 a 2007. TAGLIARO, A. Trigonometria Plana e Esférica. São Paulo: Editora Coleção F. T. D. S. A., 1968.

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