Este documento apresenta uma pesquisa bibliográfica sobre trabalhos acadêmicos relacionados às geometrias não-euclidianas publicados entre 1995 e 2011. O objetivo é analisar como estas geometrias têm sido abordadas e se poderiam ser melhor ensinadas. A pesquisa utiliza a metodologia de estado da arte, resumindo e comparando 11 trabalhos selecionados.

1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
José Cedro Menezes Marques
ESTUDO DE TRABALHOS ACADÊMICOS SOBRE GEOMETRIAS NÃO-
EUCLIDIANAS DE 1995 A 2011
MONOGRAFIA PARA ESPECIALIZAÇÃO EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2011

2. 1

3. 2
JOSÉ CEDRO MENEZES MARQUES
ESTUDO DE TRABALHOS ACADÊMICOS SOBRE GEOMETRIAS NÃO-
EUCLIDIANAS DE 1995 A 2011
Monografia apresentada à Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título
de Especialista em Educação Matemática,
sob a orientação da Professora Doutora
Maria José Ferreira da Silva.
PUC/SP
2011

4. 3
RESUMO
O presente estudo é uma pesquisa bibliográfica em que foram selecionados onze
trabalhos acadêmicos, sendo dez dissertações e uma monografia, sobre Geometrias não-
euclidianas, considerando a limitação da Geometria Plana, sabidamente inaceitável para
distâncias muito grandes, como, por exemplo, entre cidades num país de dimensões
continentais como é o caso do Brasil. Apresentaremos a justificativa científica deste
trabalho, baseando-nos no fato de as fórmulas estabelecidas para esta geometria referirem-
se a triângulos em que os lados são segmentos retilíneos, e para grandes distâncias não são.
Também veremos que nos Elementos de Euclides temos as noções comuns e os axiomas
(também conhecidos como postulados) e focamos principalmente o 5º postulado, cuja
negação teve como conseqüência a descoberta das Geometrias não-euclidianas,
possibilitando uma visão da Matemática e do espaço, com seus conceitos de verdade, como
saberes que podem ser contestados, discutidos e questionados. A questão de pesquisa é,
“Se a geometria escolar é a geometria euclidiana e esta geometria não é ensinada como
deveria, como estaria então o ensino das geometrias não-euclidianas e quais os trabalhos
acadêmicos no contexto destas geometrias que poderiam ser pesquisados?” A metodologia
usada nesta pesquisa é Estado da Arte, onde procuramos pesquisas voltadas ao tema,
utilizando o modelo provisório do fichamento, que serve bem para este tipo de pesquisa.
Ao final da pesquisa constatamos que todos os trabalhos pesquisados têm um objetivo
comum que é o de apresentar as geometrias não-euclidianas a alunos e professores, e ao
mesmo tempo, procurar resgatar a geometria plana que está em abandono, principalmente
nos cursos básicos.

5. 4
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO............................................................................................................. 4
1. CAPÍTULO I: O que são Geometrias não-euclidianas
1.1 Justificativa..............................................................................................................7
1.2 Metodologia e Procedimentos.................................................................................8
2. CAPÍTULO II: Fichamento dos Trabalhos Acadêmicos...........................................10
CONSIDERAÇÕES FINAIS.........................................................................................35
REFERÊNCIAS...........................................................................................................36

6. 5
INTRODUÇÃO
As geometrias não-euclidianas tiveram origem nas vãs tentativas de demonstração
do 5º Postulado de Euclides. Sobre demonstração, Bicudo (2009) informa:
Pode-se dizer, parece que sem qualquer sombra de dúvida, que o
conhecimento matemático tanto egípcio quanto o babilônico – este,
sabemos hoje graças ao trabalho de Otto Neugebauer, bem mais refinado
do que aquele – tinha a experiência como critério de verdade.
Os gregos herdaram, assim nos diz a tradição, tal conhecimento. Mas, o
que satisfazia egípcios e babilônios não bastou para contentar a exigência
grega. Com os matemáticos da Grécia, a razão suplanta a empeiria como
critério de verdade e a matemática ganha características de uma ciência
dedutiva.
Como sucede com inúmeros fenômenos culturais, as causas dessa
transformação por que passou essa área de conhecimento jazem ocultas
nas brumas de um passado remoto. (BICUDO, 2009, p. 77).
Os Postulados enunciados nos Elementos de Euclides são:
1) Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.
2) Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.
3) E, com todo centro e distância, descrever um círculo.
4) E serem iguais entre si todos os ângulos retos.
5) E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores e
do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas
retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual estão os menores
do que dois retos. (BICUDO, 2009, p. 98).
O quinto postulado, que filósofos até o início do século XIX procuraram
demonstrar a partir dos quatro primeiros, é conhecido como Postulado das Paralelas. A
razão disto será vista nos Principais resultados do fichamento dos Trabalhos Acadêmicos.
De acordo com Bicudo (2009), depois de Cauchy, Weirstrass, Bolzano, Dedekind,
Cantor, Frege, Hilbert, Bourbaki, e outros grandes do século XIX e XX, o trabalho do
matemático “... é definir os conceitos de que se servirá e demonstrar as propriedades
desses conceitos”.(BICUDO, 2009, p. 81). Este autor continua:
Ora, definir um conceito significa explicá-lo em termos de outros
conceitos já definidos, e demonstrar uma proposição equivale a
argumentar pela sua veracidade, usando as regras de inferência válidas
fornecidas pela lógica, com base em proposições anteriormente
demonstradas. Assim, um certo conceito c0 é definido recorrendo-se aos
conceitos c1, c2,..., ck ocorrido em função de outros conceitos, anteriores
na estrutura, “e assim por diante”. De modo análogo, para provarmos
uma proposição, utilizamo-nos de proposições anteriormente provadas e

7. 6
que foram provadas com o auxílio de outras já provadas que as
antecedem na ordenação da teoria, “e assim por diante”.
Quer na definição de conceitos quer nas demonstrações de propriedades,
o problema jaz na frase “e assim por diante”. Como não há, dada a nossa
finitude, possibilidade de um retrocesso ad infinitum, é preciso dar uma
solução ao “e assim por diante”. (BICUDO, 2009, p. 82).
Ainda de acordo com Bicudo (2009) o matemático não pode aceitar o “círculo
vicioso”: definições redundantes. Ele precisa tomar alguns conceitos sem definição. O
matemático vale-se desses conceitos não definidos, primitivos, escolhidos no menor
número possível, para definir os demais conceitos, derivados. O mesmo procedimento no
caso da demonstração de propriedades ou proposições, acolhendo proposições sem
demonstração, axiomas, no menor número exeqüível, para provar todas as outras
afirmações, teoremas, que fará. Nos trabalhos a seguir veremos que a descoberta das
Geometrias não-euclidianas põe um fim ao problema do 5º Postulado: ele é independente
dos demais e, portanto, não pode ser demonstrado.
O critério utilizado na revisão bibliográfica para esta pesquisa foi trabalhos sobre
Geometrias não-euclidianas, realizados no período de 1995 a 2011, baseado nas
Referências da Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, de Maria Lúcia Torelli
Doria de Andrade, Geometria Esférica: Uma seqüência didática para a aprendizagem de
conceitos elementares no Ensino Básico, PUCSP, 2011.

8. 7
Capítulo 1: O que são Geometrias Não-Euclidianas
Este capítulo destina-se a apresentar a justificativa e a metodologia e
procedimentos da pesquisa, de acordo com os critérios já abordados. Será explicado o
escopo das geometrias não-euclidianas e em que consiste o ponto de ruptura com a
geometria plana. Em seguida será detalhado o significado deste tipo de pesquisa
bibliográfica, e como ela é feita.
1.1 Justificativa
A justificativa científica para a revisão bibliográfica focando este tema é a
limitação da Geometria Plana, que não serve para distâncias muito grandes. Vejamos por
que. De acordo com Tagliaro (1968) as fórmulas estabelecidas para esta geometria
referem-se a triângulos em que os lados são segmentos retilíneos. As numerosas aplicações
destas fórmulas comportam, por exemplo, distâncias geográficas e podemos aceitar os seus
resultados desde que essas distâncias não sejam muito grandes.
Porém, como a terra oferece uma forma aproximadamente esférica, não podemos
aplicar as mesmas fórmulas a triângulos em que os lados tenham grande extensão, (como
do Rio de Janeiro a Natal, por exemplo) sem cometer erro de aproximação muito notável.
O mesmo acontece com os problemas de astronomia que se referem a triângulos da esfera
celeste. Por esses motivos, neste caso, precisamos estudar as fórmulas relativas a
triângulos esféricos (TAGLIARO, 1968).
Nos Elementos, Euclides estabeleceu dez premissas e diversas definições, como
base para provar as afirmações denominadas de teoremas. Tais premissas eram separadas
em dois grupos. Cinco delas, conhecidas como noções comuns, e as outras cinco, como
axiomas, como se encontram no texto de Carvalho (1994, p.17, apud FRANCA, 2007),
especialmente elaborado com vistas à formação do professor de Matemática.
Em uma edição de 1795 dos Elementos de Euclides, o físico e matemático inglês,
John Playfair, apresenta este axioma de forma equivalente e mais simples, considerando a
seguinte expressão: “Por um ponto fora de uma determinada reta, não passa mais que uma
paralela a esta reta”, (GANS, 1973, p.13, apud FRANCA, 2007), que é hoje em dia
habitualmente utilizada nos livros-textos destinados ao ensino de geometria.

9. 8
Desde a época de Euclides, aproximadamente 300 a.C, o 5º axioma tornou-se alvo
de críticas, por sua forma muito elaborada, de difícil interpretação, embora o método
axiomático estivesse bem desenvolvido até o século XIX. Para muitos estudiosos, a relação
descrita neste axioma mais parecia um teorema e por isso persistentes esforços foram
envidados, na tentativa de provar tal afirmação, a partir dos outros quatro. Tais esforços
mal sucedidos perduraram durante mais de 2000 anos, até a primeira metade do século
XIX, quando Gauss em 1824, Lobachevsky em 1829, Bolyai em 1832, Riemann em 1854 e
posteriormente Beltrami, Poincaré e Klein concluíram que não era possível sua
demonstração a partir dos demais.
A negação do Quinto Axioma de Euclides tem como conseqüência a descoberta
das geometrias não-euclidianas, com o surgimento de uma variedade de sistemas
axiomáticos alternativos ao euclidiano, o que representou “nada menos que uma revolução
na geometria. Com o passar do tempo foi provado que os efeitos da descoberta não foram
menos profundos em outros ramos da matemática, da física e da filosofia.” (GANS, 1973,
p.4, apud FRANCA, 2007).
Por essas razões, nossa questão de pesquisa é, “Se a geometria escolar é a
geometria euclidiana e esta geometria não é ensinada como deveria, como estaria então o
ensino das geometrias não-euclidianas e quais os trabalhos acadêmicos no contexto destas
geometrias que poderiam ser pesquisados?”.
Para completar nossa justificativa, cabe lembrar que o estudo das geometrias não-
euclidianas possibilita uma visão da Matemática e do espaço, com seus conceitos de
verdade, como saberes que podem ser contestados, discutidos e questionados. Visão que
está de acordo com um dos objetivos gerais do ensino, o de “questionar a realidade
formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento
lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando
procedimentos e verificando sua adequação” (BRASIL, 1988, p.56, apud FRANCA,
2007).
1.2 Metodologia e Procedimentos
A metodologia utilizada nesta pesquisa é estado do conhecimento, ou estado da
arte, definida como de caráter bibliográfico, que é utilizada para trabalhos que realizam um

10. 9
panorama das pesquisas científicas de determinada área. Este tipo de pesquisa procura
mapear e discutir certa produção acadêmica em campos diversos do conhecimento,
tentando responder que aspectos vêm sendo privilegiados em épocas diferentes, sendo
também de caráter inventariante e descritiva sobre o assunto que busca investigar.
Conforme Soares (1987, apud FERREIRA, 2002):
Essa compreensão do estado de conhecimento sobre um tema, em
determinado momento, é necessária no processo de evolução da ciência,
afim de que se ordene periodicamente o conjunto de informações e
resultados já obtidos, ordenação que permita indicação das possibilidades
de integração de diferentes perspectivas, aparentemente autônomas, a
identificação de duplicações ou contradições, e a determinação de lacunas
e vieses. (SOARES, 1987, apud FERREIRA, 2002).
Esta metodologia significa, então, conhecer o já construído e produzido para em
seguida buscar o que ainda está por fazer, procurar um bom número de pesquisas
realizadas de difícil acesso, dar conta de determinado saber em ascensão e divulgá-lo para
a sociedade, entendendo-se como pesquisa de levantamento e de avaliação do
conhecimento acerca de um tema específico.
As pesquisas do Estado da Arte buscam compreender o conhecimento
acumulado, sobretudo quando se realiza um mapeamento, além de
inventariar, sistematizar, compilar, descrever, analisar e avaliar a
produção científica numa determinada área do conhecimento, apontando
tendências teórico-metodológicas e temáticas mais freqüentes e
problemas investigado. (CONRADO, 2005, p.122 apud MELO, 2006,
p.62).
Para o levantamento de dados e suas análises, o pesquisador tem como fontes
básicas de referência os catálogos de faculdades, institutos, universidades, associações
nacionais e órgãos de fomento de pesquisa, sendo que nos últimos vinte anos tais entidades
têm-se esforçado para divulgar seus trabalhos científicos através de catálogos, inicialmente
impressos e, mais tarde, em forma de CD-ROM.
De acordo com Romberg (1992, apud ROSA, 2009), o modelo provisório desta
pesquisa é o do fichamento, que foi criado por outros autores que também produziram
trabalhos do tipo Estado da Arte. Esses fichamentos são elaborados de acordo com o
interesse de cada pesquisa.

11. 10
Capítulo 2: Fichamento dos Trabalhos Acadêmicos
Para a realização desta pesquisa bibliográfica, foi feita uma busca nos bancos de
dissertações e teses das respectivas Instituições de ensino de 1995 a 2011, selecionando
aquelas sobre geometrias não-euclidianas. A apreciação dos onze (11) trabalhos
acadêmicos será constituída de um fichamento o qual constará: título, autor, ano de defesa,
instituição, curso, orientador, sujeitos da pesquisa, palavras-chave, objetivo, questões de
pesquisa, referenciais teóricos, metodologia e principais resultados.
Este tópico será dedicado ao fichamento dos Trabalhos Acadêmicos produzidos
no período de 1995 a 2011 que abordaram o tema Geometrias não-euclidianas. A
denominação geral Trabalhos Acadêmicos, ao invés de teses e dissertações, foi escolhida
devido à Monografia de Especialização, de Jasias Cezario Franca, Uma análise da
Apresentação de Retas Paralelas em Livros Didáticos do Ensino Médio, UFF, 2007, que
está incluída nesta pesquisa.
As informações constantes neste fichamento foram retiradas dos trabalhos
disponibilizados nos bancos de dissertações e teses on line das respectivas Instituições de
Ensino, e estão seguindo o que consta escrito nos trabalhos. Alguns bancos on line
disponibilizam apenas os resumos ou sínteses. A dissertação da professora Izabel Passos
Bonete, Unicentro, e a da professora Zionice Garbelini Martos, UNESP, e a monografia do
professor Jasias Cezario Franca, UFF, foram cortesmente enviadas por e-mail. O
fichamento está disposto em ordem cronológica.
1- Titulo: Geometrias não-euclidianas: Um estudo Histórico-Pedagógico.
Autor: Arlete de Jesus Brito
Ano de defesa: 1995
Instituição: UNICAMP
Curso: Mestrado
Orientador: Dr. Antonio Miguel
Sujeitos da Pesquisa: Ambiente pedagógico idealizado.
Palavras-Chave: Geometria, Geometria não-euclidiana, Percepção espacial,
Verdade (Filosofia).

12. 11
Objetivo: Estudo histórico-pedagógico cujo eixo temático central são as
condições que possibilitaram o surgimento das geometrias não-euclidianas.
Questões de Pesquisa: O que os alunos de licenciatura em Matemática entendem
por Geometria? Como a Geometria transformou-se em um conhecimento que se utiliza do
método dedutivo? O 5º postulado é na realidade um teorema? Se for, podemos utilizar as
definições, os axiomas, os quatro primeiros postulados e os teoremas que não necessitam
do 5º postulado para serem demonstrados, contidos nos Elementos, para tentarmos
demonstrar o postulado número 5? Como ficaria a axiomática de uma geometria que
negasse o 5º postulado de Euclides?
Referenciais Teóricos: Estudo histórico-pedagógico das geometrias não-
euclidianas.
Metodologia: Pesquisa Explicativa. Método Dialético.
Principais resultados: Brito (1995) imaginou uma disciplina sobre geometrias
não-euclidianas em um curso de licenciatura em Matemática, em que foram definidos os
perfis dos personagens, e escritos o texto a partir de um problema gerador: a desconfiança
histórica sobre a possibilidade de demonstração do quinto postulado de Euclides.
A professora pergunta aos alunos o que eles entendem por Geometria. Os alunos
A, B, C, e D expressaram posições filosóficas, e a professora lembrou que,
etimologicamente, Geometria significa medida da terra, o que pode sugerir uma origem
empírica.
Desenvolve-se um diálogo fundamental para o entendimento da Geometria. Vem
à tona o uso do método dedutivo, que se deu na Grécia, onde sendo os trabalhos manuais
considerados desonrosos, a classe dominante inclinou-se à Filosofia, e a colocação ao
conhecimento tanto a questão “Como?”, quanto o “Por quê”.
O quinto postulado começou a ser questionado, suspeitando-se se tratar de uma
proposição. Os alunos propuseram-se a demonstrá-lo, usando definições, axiomas e os
quatro primeiros postulados. Um dos alunos mostra que duas retas formando com uma reta
transversal, ângulos internos com soma diferente de 180º, se interceptam. E que por um
ponto fora de uma reta existe uma única reta paralela à reta dada. Finalmente demonstrou a
equivalência destas asserções.

13. 12
Para realizar o primeiro passo, precisou demonstrar o seguinte teorema: “Se duas
retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos correspondentes são
congruentes”, sem utilizar o quinto postulado de Euclides.
O aluno realiza o segundo passo utilizando o quinto postulado para demonstrar
que retas paralelas a uma mesma reta são paralelas entre si. Ele afirma que utilizando a
geometria neutra e o postulado de Playfair, que diz que por um ponto fora de uma reta dada
passa uma única paralela, demonstrou o quinto postulado de Euclides. Depois, utilizando a
geometria neutra e o quinto postulado de Euclides, demonstrou o postulado de Playfair.
Assim, demonstrou que os dois postulados são equivalentes.
Após várias tentativas, a professora e os alunos concluem que o quinto postulado
de Euclides não pode ser demonstrado, pois é utilizado o próprio quinto postulado para
demonstrá-lo.
Um aluno sugere que poderia se tentar inventar uma geometria na qual seriam
utilizados os postulados mais caóticos possíveis, como por exemplo, um que afirmasse a
existência de várias retas paralelas a uma reta dada, todas passando por um mesmo ponto
não pertencente a esta reta dada, ou seja, uma negação do quinto postulado de Euclides.
Assim, essa nova geometria conteria nove axiomas, os quatro primeiros
postulados, um quinto postulado que seria algo como “dada uma reta l e um ponto P não
pertencente a l, podemos traçar ao menos duas retas paralelas a l que passam por P”, além
das vinte e oito primeiras proposições dos Elementos e outras que demonstraríamos
utilizando esse novo postulado.
Este novo postulado tem como conseqüências: em um triângulo a soma das
medidas dos ângulos internos é menor que 180º; nessa nova geometria não existem figuras
semelhantes que não sejam congruentes; em um quadrilátero, cujos lados perpendiculares à
base possuem a mesma medida, os ângulos do ‘topo’ são congruentes; a soma dos ângulos
internos de um quadrilátero é menor que 360º. Estes fatos pertencem às geometrias não-
euclidianas. Gauss, Lobatschewski e Bolyai foram os inventores desse novo tipo de
geometria.
Mais tarde a professora explica que Gauss, em 1827, concluía que a esfera tem
curvatura constante igual a 1/r2
, onde r é o raio da esfera. O cilindro e o plano têm
curvatura zero. A superfície encontrada por ele como exemplo de curvatura negativa foi

14. 13
uma obtida pela rotação da tractriz ao redor de seu eixo, a pseudo-esfera, que fornece um
modelo de superfície na qual não há pontos singulares. Perceber que podemos ter
geometrias construídas em superfícies de três tipos diferentes de curvatura possibilita uma
síntese importante a partir da qual surgem as geometrias não-euclidianas. Riemann (1826-
1866), discípulo de Gauss, foi o primeiro a realizar tal síntese. Ele criou a geometria sobre
a esfera, na qual as retas não são infinitas e o segundo postulado não é válido, nega o
quinto, e o substitui por um que afirma que “por um ponto tomado fora de uma reta não se
pode tirar nenhuma paralela a essa reta” e constrói uma geometria inteiramente lógica,
concluindo, por exemplo, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é maior que
dois retos.
A partir das investigações de Riemann, precisou-se reconhecer que o espaço não é
nem real, nem irreal, embora possa, em algumas determinações métricas, ser empregado na
descrição da realidade.
Brito (1995) conclui que nesse estudo histórico-pedagógico, a palavra foi
privilegiada. Os momentos de silêncio colocam perguntas ao leitor, o qual pode buscar
respostas para elas, fornecendo ao diálogo uma continuidade em outro nível que não o do
texto da dissertação. A autora diz que talvez seja nesses momentos de silêncio que o
diálogo atinja, mais plenamente, sua dimensão pedagógica.
2- Titulo: 5º Postulado de Euclides: A Fagulha que Desencadeou uma
Revolução no Pensamento Geométrico.
Autor: Márcia Cristina Garrido Souza
Ano de defesa: 1998
Instituição: UFRJ
Curso: Mestrado
Orientador: Dra. Vânia Maria Pereira dos Santos Wagner
Sujeitos da Pesquisa: Trinta e cinco (35) alunos de graduação e trinta (30)
professores de matemática.
Palavras-Chave: Euclides, 5º Postulado.

15. 14
Objetivo: Segundo Souza (1998) este trabalho, realizado em 1997, analisa o 5º
postulado de Euclides sob três pontos de vista: o matemático, o histórico e o qualitativo.
Com este estudo, é examinado o conhecimento dos professores sobre a problemática
gerada por este postulado, a influência dos livros didáticos no ensino da geometria, e a
importância das geometrias não euclidianas para a atualidade.
Questões de Pesquisa: Sob a ótica da história da matemática, que
desdobramentos surgiram para a matemática a partir dos estudos sobre o 5º postulado? O
ensino da matemática de 3º grau prepara e capacita graduandos a argumentar criticamente
quando confrontados com tentativas de demonstração? Como os professores que lecionam
geometria vêm a problemática gerada pelo axioma das paralelas? Como os livros didáticos
têm abordado a geometria? Essa abordagem faz relação com o contexto histórico social?
Referenciais Teóricos: Souza (1998) usou como suporte: a história da
matemática, que situa e informa como se originaram as geometrias não euclidianas que são
a maior conseqüência dos estudos sobre o 5º postulado; e a geometria euclidiana que serve
de parâmetro para essa pesquisa.
Metodologia: Como instrumentos de coletas de dados, a autora utilizou fontes
primárias e secundárias, atividades de demonstração e entrevistas.
Principais resultados: Souza (1998) explica que este estudo sugere, entre outras
coisas, a utilização da história da matemática, e a integração das disciplinas do 3º grau,
enfatizando a geometria, o porque das demonstrações e promovendo a real construção do
saber, acompanhada de uma postura crítica.
3- Titulo: As Geometrias não-euclidianas em cursos de Licenciatura:
algumas experiências.
Autor: Izabel Passos Bonete
Ano de defesa: 2000
Instituição: UNICENTRO
Curso: Mestrado
Orientador: Dr. Dionísio Burak
Sujeitos da Pesquisa: Acadêmicos de um curso de Ciências-Licenciatura.

16. 15
Palavras-Chave: geometria, geometrias não-euclidianas, ensino-aprendizagem.
Objetivo: Refletir e discutir o ensino das geometrias não-euclidianas em um
curso de licenciatura, no sentido de provocar, nos novos professores do ensino fundamental
e médio, mudanças nas concepções de espaço e verdade matemática.
Questões de Pesquisa: Perguntou-se o porquê das geometrias não-euclidianas
não terem sido ensinadas quando se cursou Matemática numa instituição de ensino
superior e, principalmente, o porquê dessas geometrias não estarem sendo ensinadas. Seria
talvez, porque ainda se acredita, que a geometria euclidiana é a única geometria possível
ou porque as geometrias não-euclidianas são consideradas difíceis demais para serem
ensinadas, por serem complexas, abstratas e de nada serviriam para a vida prática?
Referenciais Teóricos: Construtivismo.
Metodologia: Pesquisa bibliográfica e empírica, com trabalho de campo.
Principais resultados: Bonete (2000) explica que este trabalho pretende refletir e
discutir sobre o ensino das geometrias não-euclidianas em um curso de licenciatura, no
sentido de provocar, nos futuros professores do ensino fundamental e médio, mudanças nas
concepções de espaço e verdade matemática. Para tanto, foi realizado um estudo sobre a
situação da geometria e do seu ensino e, um estudo teórico sobre as mudanças qualitativas
pelas quais passou a geometria desde a Antiguidade até os dias atuais. A apresentação das
geometrias não-euclidianas deu-se através de três experiências, as quais foram realizadas
em diferentes salas de aula. A partir de reflexões realizadas após cada experiência, buscou-
se determinar os ajustes que se faziam necessários para a experiência seguinte, a fim de
proporcionar aos futuros professores não só o conhecimento das geometrias não-
euclidianas, mas também, o conhecimento de uma prática inovadora para o processo de
ensino-aprendizagem. O preparo adequado dos futuros professores da disciplina de
Matemática permitirá a melhoria da qualidade do ensino da geometria euclidiana, que hoje
se encontra em abandono, bem como a possibilidade de estudo das geometrias não-
euclidianas no ensino fundamental e médio.
Na tendência construtivista, conforme Fiorentini (1995:20, apud BONETE, 2000),
a Matemática é vista como “uma construção humana constituída por estruturas e relações
abstratas entre formas e grandezas reais ou possíveis. Por isso, essa corrente prioriza mais

17. 16
o processo que o produto do conhecimento. Ou seja, a Matemática é vista como um
construto que resulta da interação dinâmica do homem com o meio que o circunda”.
A geometria de Euclides não é a que melhor representa os fenômenos naturais,
devido a suas limitações. Para um mundo real e mutável como é o nosso, a existência do
tempo e da posição da figura no espaço deve ser sempre levada em consideração. Além do
mais, quando se trata, principalmente, de grandes distâncias intergalácticas ou
subatômicas, a geometria euclidiana já demonstrou não responder.
Quanto às experiências realizadas no ensino das geometrias não-euclidianas, a
primeira não foi muito interessante. Perguntado aos alunos sobre a soma dos ângulos
internos de um triângulo, disseram ser 180º. Foi esclarecido que a soma depende da
superfície em que este triângulo esteja traçado. Tal experiência proporcionou reflexão em
alguns pontos: dever-se-ia levar os alunos à construção desse conhecimento, sendo
necessária uma teoria da educação para fundamentar a próxima prática a ser realizada.
Assim, para a segunda experiência, por estudo sobre a teoria de David Ausubel,
constatou-se que na introdução de novos assuntos é necessário que o professor leve em
conta o que o aluno já sabe, que tem múltiplas denominações, como idéias prévias, idéias
espontâneas, implícitas, concepções equivocadas ou errôneas, etc... Para esclarecer sobre a
soma dos ângulos internos de um triângulo, solicitou-se que os alunos construíssem um
triângulo qualquer, numa folha de papel, pintassem os vértices, recortassem esses três
ângulos, para juntá-los e verificar se os três juntos formariam 180º.
Depois, foi-lhes perguntado, se a soma dos ângulos internos de um triângulo,
traçado em uma superfície não-plana, continuaria a ser 180º. Alguns objetos não-planos,
outros planos e uma mesa foram levados à sala. Aquele cuja superfície não fica totalmente
sobre a mesa é uma superfície não-plana. Manipulando uma esfera, os alunos observaram
que esta apresenta certa curvatura e esta, é a mesma ao redor de toda a esfera. Superfícies
como a da esfera que apresentam esta propriedade são ditas superfícies com curvatura
constante. No caso de um chuveiro e de uma lâmpada, que são modelos de um sólido
chamado pseudo-esfera ou falsa esfera, a qual tem algumas propriedades em comum com a
esfera, como a propriedade de possuir um coeficiente de curvatura constante, de possuir a
área de sua superfície igual à área de uma esfera que tem o mesmo raio.
Um aluno observou a diferença de curvaturas, sendo explicado que, conforme a
curvatura de uma superfície, esta pode ser classificada em curvatura nula, curvatura

18. 17
positiva e curvatura negativa. O plano tem curvatura nula ou curvatura zero. Uma esfera,
diz-se que tem curvatura constante e positiva e a pseudo-esfera, diz-se que uma curvatura
constante e negativa.
Voltou à questão da soma dos ângulos internos de um triângulo traçado em
superfícies não-planas. Traçaram-se triângulos nos três tipos de superfícies para verificar a
soma dos seus ângulos internos. Na superfície plana não houve dificuldades. Na superfície
da esfera mostrou-se que a soma dos ângulos internos é maior que 180º e aumenta à
medida que o triângulo aumenta. Em seguida os alunos marcaram os três vértices sobre a
superfície do chuveiro e com o auxílio de uma régua flexível traçaram os lados. Mostrou-
se que a soma dos ângulos de um triângulo traçado em uma superfície com curvatura
negativa é menor que 180º.
Então os alunos começaram a tirar conclusões, sendo que um deles disse que,
então nos livros, deveria vir que a soma dos ângulos de um triângulo sobre uma superfície
plana é igual a 180º e não que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180º, ao que se
acrescentou que os livros didáticos deveriam deixar bem claro que a soma é 180º, apenas
quando a superfície é plana ou de curvatura zero, quando então, temos a geometria
euclidiana, pois quando a superfície é constantemente positiva ou negativa, temos outras
geometrias.
A terceira experiência complementou essa segunda, quando estes conceitos não-
euclidianos foram aprofundados. Assim, ao realizar três experiências em diferentes salas
de aula, constatou-se que o ensino das geometrias não-euclidianas em um curso de
licenciatura pode proporcionar aos futuros professores, discussões sobre as suas diferentes
concepções de verdade matemática e espaço, e uma compreensão do significado filosófico
desses conhecimentos.
4- Titulo: Geometrias não euclidianas: uma proposta metodológica para o
ensino da Geometria no Ensino Fundamental.
Autor: Zionice Garbelini Martos
Ano de defesa: 2002
Instituição: UNESP

19. 18
Curso: Mestrado
Orientador: Dr. Antonio Carlos Carrera de Souza
Sujeitos da Pesquisa: Quarenta (40) alunos, sendo dez do sexo masculino e trinta
do sexo feminino, cujas idades variavam de 13 a 16 anos, da E.E. Prof. Marciano Toledo
Piza, Rio Claro-SP.
Palavras-Chave: Geometria Esférica; Significado; Geografia; Problematização;
Educação Matemática.
Objetivo: Apresentar uma proposta didática ao ensino da Geometria euclidiana e
não-euclidiana para o Ensino Fundamental.
Questões de Pesquisa: É possível aos alunos do Ensino Fundamental produzirem
significados em Geometria Esférica?
Referenciais Teóricos: A formação de conceitos, da obra Pensamento e
Linguagem de Vigotski (1999).
Metodologia: Pesquisa-ação, abordagem dada por Istvan Lénárt, educador
matemático húngaro.
Principais resultados: O objetivo deste trabalho foi desenvolver um experimento
de ensino, através de atividades comparativas das Geometrias Plana e Esférica, utilizando a
abordagem desenvolvida desde 1970 por Istvan Lénárt, educador matemático húngaro.
Desse modo, tentar contribuir para o ensino-aprendizagem da Geometria euclidiana.
Martos (2002) crê que as habilidades desenvolvidas no processo de resolução de problemas
via-problematização, de acordo com o conceito defendido por Mendonça (1993, apud
MARTOS, 2002), tais como: tentar, observar, analisar, conjeturar, verificar, fazem parte do
que chamamos de raciocínio lógico.
Nesse sentido, a autora acredita que a resolução de problemas de forma
contextualizada pode e deve ser um elemento integrador das diversas áreas do currículo,
ajudando os alunos a melhor compreenderem e interpretarem o mundo em que vivem.
As coordenadas geográficas desempenham um papel importante na orientação de
marinheiros e astronautas. Imagine "um navio a 15º de longitude oeste e outro, a 45º de
longitude leste. Suponha que um dos navios sofreu um acidente em alto mar e está
afundando. Um dos tripulantes solicitou ajuda pelo rádio e disse que estavam a 30º de

20. 19
latitude norte. Foi possível localizar o navio?". Exemplos como esse nos possibilitam
associar conceitos de Geografia com a Geometria.
De acordo com o desenvolvimento histórico das geometrias não-euclidianas,
pode-se perceber claramente que a construção do conhecimento matemático é uma obra
coletiva do ser humano (Carrera de Souza, 1993, apud MARTOS, 2002).
A proposta deste trabalho, então, vem ao encontro da necessidade de trabalhar as
Geometrias Plana e Esférica, visando ao ensino-aprendizagem da Geometria Plana. Foi
observado que os conceitos de “elementos de uma circunferência e de superfície esféricas”,
“retas paralelas”, “relações entre os lados e ângulos de um triângulo”, “classificação de
triângulos”, “propriedades de triângulos e semelhanças de triângulos”, ainda não haviam
sido trabalhados. Os livros adotados pela escola não apresentavam o quinto postulado de
Euclides e a pesquisadora não encontrou formas de iniciar um trabalho para desenvolver
conceitos sobre uma superfície esférica.
Foi encontrada uma abertura no currículo de Geografia, onde o professor de
Matemática talvez pudesse trabalhar os conceitos do sistema de coordenadas geográficas
(latitude e longitude). Assim, foi proposta a seguinte questão: como você vê e imagina que
seja a linha do Equador, os trópicos e o meridiano de Greenwich? Para a qual houve
respostas variadas: uma linha, marcações, ou apenas linhas; linhas verticais e horizontais,
ou separação climática da Terra, ou ainda circunferências achatadas nos pólos em forma de
aliança.
Seguiu-se quatro atividades: 1) Qual é a cor do urso? Sobre o trajeto de um urso,
quando pudemos observar que retas paralelas não existem na esfera; no plano euclidiano o
urso nunca poderá chegar ao local de onde partiu, mas na esfera isso é possível. 2) A gota
d’água. Com o objetivo de identificar uma linha reta tanto na esfera quanto no plano,
usando uma bexiga onde uma gota descrevia uma “reta”. Os alunos observaram que os
triângulos aumentaram de tamanho; ao fazer um triângulo, as retas formavam curvas. 3)
Você pode desenhar linha reta na esfera? Conforme solicitado, os alunos desenharam dois
pontos no plano, ligaram-nos com três linhas e verificaram que a distância mais curta é a
reta.
Depois os alunos deveriam usar uma régua esférica e fazer comparações sobre a
reta no plano, além de trabalhar o conceito de grande círculo. Um grupo concluiu que “a
linha deu a volta na esfera e formou um círculo, e podemos comparar a linha com a linha

21. 20
do Equador”, que de acordo com Vygotsky é a fase de “pensamentos complexos”,
conforme Oliveira (1993); Van der Ver (1996) (apud MARTOS, 2002).
Atividade 4) Usando o transferidor. À pergunta: Qual é a soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo? Nenhum dos grupos soube responder. Ao que foram
orientados a desenhar triângulos de tamanhos diferentes, recortassem e medissem os
ângulos, e constataram a medida de 180º. Um grupo de meninas constatou que na esfera a
soma sempre seria maior que 180º, observando, também, que o círculo máximo, ao passar
pelo Equador em qualquer ponto, medirá 90º. Também deram exemplo de triângulo
esférico com dois ângulos retos.
A autora concluiu que um trabalho interdisciplinar, relacionando conceitos
geométricos esféricos com conceitos geográficos, possibilitaria desenvolver um
aprendizado significativo numa oitava série.
5- Titulo: Geometria Esférica para a formação de professores: uma proposta
interdisciplinar.
Autor: Irene Pataki
Ano de defesa: 2003
Instituição: PUC-SP
Curso: Mestrado
Orientador: Dr. Saddo Ag Almouloud.
Sujeitos da Pesquisa: Seis (6) professores do Ensino Médio da rede estadual de
ensino da cidade de Arujá, São Paulo, na E.E. Prof. Esli Garcia Diniz em 2002.
Palavras-Chave: Geometria esférica, formação de professores, situações
didáticas, situação-problema, interdisciplinaridade, contextuação.
Objetivo: Propor, aos professores, uma seqüência didática, com atividades, que
mostre a relação interdisciplinar existente entre a Geometria esférica e a Geografia, e
proporcionar aos professores envolvidos reflexões e questionamentos sobres alguns
aspectos do ensino da Geometria esférica.

22. 21
Questões de Pesquisa: Como uma seqüência de ensino pode possibilitar a
apropriação de um novo domínio – a Geometria esférica – e levar o educador a reelaborar
seu pensar?
Referenciais Teóricos: Teoria das Situações Didáticas; Teoria de Britt-Mari
Barth concernente à Formação de Professores.
Metodologia: Engenharia Didática
Principais resultados: Duas experiências nortearam esta pesquisa: a primeira
com três alunos do curso de Licenciatura em Matemática, da PUC-SP, que se realizou
entre junho a agosto de 2002, em seis sessões, como parte da disciplina de Geometrias não-
euclidianas. Pataki (2003) diz que a finalidade desse primeiro experimento foi a de que
com essa aplicação inicial de uma seqüência didática, se pudesse analisar os entraves que
ocorressem, proceder aos devidos ajustes e reaplicá-la, depois, definitivamente, no público-
alvo pretendido
A autora constatou que na institucionalização, deveria incluir mais figuras, tendo
sido uma solicitação dos alunos; que a definição de triângulo esférico gerou
incompreensões; que incertezas sugiram no que se refere aos triângulos degenerados, que,
na ocasião, ainda não possuíam essa denominação: a abstração e, conseqüentemente, a
representação de dois triângulos, sendo um deles com dois ângulos medindo 0º e o outro
maior, com os três ângulos medindo 180º. Além disso, houve dúvidas quanto à construção
de um triângulo isósceles com um dos vértices no pólo e a determinação da medida do
ângulo que tem esse vértice.
Portanto, esses fatos levaram a autora a refletir mais, reformular a seqüência
didática, a fim de poder realizar um novo experimento.
Como os professores não haviam participado de algum estudo acerca de
Geometria esférica foi elaborada uma seqüência didática de tal maneira que eles fossem
conduzidos a refletir/questionar acerca de alguns aspectos da Geometria de Riemann,
sendo a sua construção e a experimentação baseada na Teoria das Situações Didáticas.
Foi proposta a seguinte situação-problema: O comandante de um navio recebeu a
seguinte mensagem de um helicóptero: localizados náufragos numa ilha de coordenadas
68º 40’N e 13º 40’E. Naquele momento, a posição do navio era 42º 10’N e 51º 20’W. Que
distância o navio deverá percorrer para chegar à ilha?

23. 22
Os professores (A, C, D, E, F) disseram que o percurso do navio não seria em
linha reta. Segundo (A), ”o percurso do navio dependia de um referencial” que poderia ser
a bordo do navio ou fora dele, já para (B), seria em linha reta. A figura que modelaria esse
problema seria, para (A) um “fuso esférico” e, para (B), um “referencial cartesiano, onde N
e S seriam o eixo y e L e W o eixo x”. Depois, compreenderam que uma superfície esférica
modelaria esse problema. Os professores (D, E, F) concluíram que o modelo para o
problema seria uma esfera.
Logo, manuseando o globo terrestre, os professores identificaram os pólos, o
Equador, os Meridianos e os Paralelos terrestres. Cada um deu sua interpretação desses
conceitos, como linhas ou circunferências. Construíram réguas esféricas, numa tira de
cartolina, podendo a unidade medida ser o grau ou uma unidade de comprimento.
Observaram que há dois pontos de interseção entre duas circunferências máximas,
determinando quatro arcos e oito ângulos, sendo ângulo esférico uma região limitada por
esses arcos. Três pontos distintos, dois a dois pertencentes a uma mesma circunferência
máxima, determinaram um triângulo esférico, sendo que cada professor deu uma
interpretação diferente: região limitada por três arcos; uma figura de três vértices cujos
lados são arcos de circunferência máxima; três arcos de circunferências máximas; reunião
de dois arcos de circunferência que se interceptam no mesmo ponto.
Quanto à situação-problema, os professores determinaram a Relação Fundamental
dos Triângulos Esféricos, usando a Trigonometria plana, útil para a determinação da
medida de um lado e dos ângulos de um triângulo esférico e que permitiria solucionar a
situação. Os professores confrontaram a Geometria esférica e plana, por exemplo, reta,
uma circunferência máxima; não há paralelismo entre retas; comprovação de que os
paralelos terrestres não são retas paralelas. Também verificaram que há triângulos com um,
dois e três ângulos retos, concluindo que a soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo varia de 180º a 540º. E dos ângulos externos varia entre 0º e 360º. E não há
semelhança entre dois triângulos, pois diminuindo a medida do arco, diminui a medida do
ângulo, existindo quatro possibilidades de congruência: LLL, LAL, ALA e AAA. Ainda o
Teorema de Pitágoras não é válido, exemplificando para o triângulo retângulo, birretângulo
e trirretângulo.
Assim, os resultados alcançados permitiram à autora inferir que a seqüência de
ensino proposta, a partir de uma situação-problema, pareceu consistente e coerente, porque

24. 23
sua construção, tal como o trabalho de um engenheiro, apoiou-se em alicerces firmes
previamente estabelecidos, edificou-se por meio da relação entre teoria/experimentação e
finalizou com sua validação/institucionalização.
6- Titulo: Geometria Hiperbólica: uma proposta didática em ambiente
informatizado.
Autor: Eliane Cabariti
Ano de defesa: 2004
Instituição: PUC/SP
Curso: Mestrado
Orientador: Drª Ana Paula Jahn
Sujeitos da Pesquisa: Grupo de seis (6) professores-formadores experientes no
ensino de Geometria Euclidiana, assim como no uso do ambiente informático Cabri-
Géomètre, de uma Universidade particular do Estado de São Paulo.
Palavras-Chave: Geometria Hiperbólica, Geometria Euclidiana, ensino e
aprendizagem, Cabri-géometrè, formação de professores.
Objetivo: O objetivo principal deste estudo reside no desenvolvimento de uma
proposta pedagógica voltada à concepção de situações didáticas para uma formação inicial
ou continuada de professores, visando explorar relações entre a Geometria Hiperbólica e a
Geometria Euclidiana.
Questões de Pesquisa: Como potencializar uma proposta de ensino em ambiente
de geometria dinâmica visando desenvolver, em uma formação inicial ou continuada de
professores de Matemática, noções de Geometria Hiperbólica que contribua na
compreensão e ampliação de conceitos da Geometria Euclidiana?
Referenciais Teóricos: Balacheff, 1988; Healy e Hoyles, 1988; Olivero, 1999.
Parzysz, 1988; Laborde, 1993.
Metodologia: Pesquisa qualitativa.
Principais resultados: Cabariti (2004) visou contribuir para o processo de ensino
e aprendizagem de Geometria, em particular das Geometrias não Euclidianas, com um

25. 24
modelo hiperbólico, com o auxílio de uma ferramenta computacional, em cursos de
formação de professores de Matemática. Para auxiliar no delineamento dessa proposta, foi
realizado um estudo experimental para investigar as possíveis relações que professores-
formadores de Geometria Euclidiana estabelecem para resolver situações sobre noções de
Geometria Hiperbólica, com o auxílio do software Cabri-géometrè.
As atividades desenvolvidas para o estudo experimental foram inspiradas nos
princípios para o desenvolvimento de tarefas “thought revealling” descritos por Lesh e al
(2000, apud CABARITI, 2004). As análises foram baseadas em dois aspectos: a dinâmica
das trocas entre os domínios geométricos – geometria Euclidiana e Hiperbólica – além das
interações entre os campos espaço-gráfico e teórico (Laborde, 1999, apud CABARITI,
2004) e o papel do Cabri como ferramenta de construção, exploração e verificação,
especialmente relacionadas ao seu aspecto dinâmico, nos diferentes “modos de arrastar”
(Olivero, 2002, apud CABARITI, 2004).
Pelas interações dos professores nessas situações, foi confirmada a importância do
uso da barra do menu hiperbólico do Cabri, fundamental para o acesso às representações
de objetos hiperbólicos favorecendo a compreensão de conceitos, propriedades e relações
envolvidos nesse domínio. Os resultados permitiram à pesquisadora reconsiderar algumas
escolhas, levando-a à reelaboração das atividades da proposta inicial, em particular no que
se refere à constituição e utilização das ferramentas disponibilizadas no Cabri-géomètre.
A autora explica que na Geometria Hiperbólica, para toda reta l e todo ponto P
não pertencente a l, passam por P pelo menos duas retas distintas a l, e que para visualizar
o que realmente se passa quando trocamos o quinto postulado de Euclides pelas versões
não euclidianas, os estudiosos se valem da construção de modelos.
Além disso, ela explica que um modelo para um determinado sistema axiomático
é uma interpretação dada aos conceitos primitivos de modo que os axiomas sejam, todos,
propriedades verdadeiras, originando-se, assim, modelos para as geometrias não
euclidianas.
Cabariti (2004) informa que foram desenvolvidos pelo menos três modelos
consistentes para a Geometria Hiperbólica: a pseudoesfera de BELTRAMI (1835-1900),
um modelo de KLEIN (1849-1925) e dois modelos de POINCARÉ (1854-1912).
Conforme Cabariti (2004):

26. 25
O software Cabri-géomètre foi fundamental para o
desenvolvimento das atividades. Com a barra do menu hiperbólico, o
acesso às representações de objetos hiperbólicos foi totalmente facilitado,
favorecendo a compreensão de conceitos, propriedades e relações. Assim,
a ruptura (desequilíbrio) provocada no confronto aos sujeitos com
situações no modelo hiperbólico do disco de Poincaré, a partir de uma
breve apresentação de seus principais elementos – não adotando uma
perspectiva clássica do estudo preliminar da Geometria Absoluta –
mostrou-se salutar e possível com o apoio do Cabri-géomètre.
(CABARITI, 2004).
7- Titulo: Geometria esférica por meio de materiais manipuláveis.
Autor: Joana D’Arc da Silva Reis
Ano de defesa: 2006
Instituição: UNESP
Curso: Mestrado
Orientador: Dr. Claudemir Murari
Sujeitos da Pesquisa: Dez (10) alunos do 3º ao 8º semestres da Graduação em
Matemática da UNESP de Rio Claro.
Palavras-Chave: Geometria, Educação matemática, Softwares de geometria
dinâmica, Caleidoscópio, Ensino de Geometria.
Objetivo: Identificar materiais manipuláveis e descrever o seu uso em um
processo de ensino e aprendizagem de Geometria Esférica.
Questões de Pesquisa: Não identificada.
Referenciais Teóricos: Lénárt, 1996; Petit, 1992.
Metodologia: Pesquisa qualitativa.
Principais resultados: Reis (2006) explica que foi desenvolvido um curso de
extensão universitária sobre Geometria Esférica utilizando materiais manipuláveis e, desse
modo, investigar esta utilização em um ambiente natural de sala de aula. Primeiramente,
foram feitos estudos nos livros e dissertações que abordam as Geometrias Não-Euclidianas,
bem como uma pesquisa sobre os recursos pedagógicos disponíveis que pudessem ser
utilizados neste contexto, tais como softwares de geometria dinâmica, caleidoscópios, além
de outros materiais manipuláveis. Após esta etapa, foi feito um estudo piloto para verificar

27. 26
a adequação e o encadeamento na aplicação das atividades. Em seguida, foi elaborado e
aplicado o curso de extensão intitulado “Geometria Esférica” que foi direcionado a alunos
do 3º ao 8º semestres de Graduação em Matemática da UNESP de Rio Claro. Os dados
coletados foram analisados qualitativamente, buscando compreender como estes materiais
manipuláveis podem colaborar na aquisição de conceitos e propriedades básicas da
Geometria Esférica. De acordo com os resultados, a autora acredita que esta pesquisa pode
auxiliar na busca por propostas alternativas para o ensino de Geometria, possibilitando
uma melhor experiência de aprendizagem do futuro professor, enquanto aluno de
graduação.
No Estudo I, piloto, foi proposto a uma aluna, Mel, o seguinte problema:
Como dois barcos poderiam navegar, mantendo sempre a mesma distância um do
outro? Explique e represente as suas trajetórias da melhor maneira possível.
Na aula original aonde o problema surgiu, alguns alunos consideravam os barcos
navegando em uma superfície plana euclidiana, tendo potencial para iniciar uma discussão
sobre o conceito de reta na Geometria Esférica. Mel concluiu que com duas retas paralelas
o problema estaria resolvido. Perguntada se os barcos navegavam em uma superfície
euclidiana, ela disse que não, pois a Terra é uma esfera. Então lhe foi apresentado o
software Cinderella, disponibilizados esferas de isopor, barbante colorido, elásticos
coloridos e alfinetes, para ela usar para construir figuras que representassem as trajetórias
dos navios. Intuitivamente ela considerou circunferências menores como retas paralelas,
sendo que pelo software isto não era possível. Este “choque” em seu conceito de paralelas
levou-a a perguntar o que é uma reta e quais as suas características.
A autora conclui que as representações geométricas nos “materiais palpáveis”
podem ser menos precisas do que no Cinderella, mas, tendo sido a primeira opção de Mel,
ela acredita que manipulação através do tato, além da visão, pode ser importante nas
investigações e explorações de atividades sobre Geometria Esférica.
Pela relevância do desenvolvimento do conceito de reta, a versão da questão
lançada foi modificada por ter sido notado pela pesquisadora que, para pequenas
distâncias, a visualização do encontro das retas poderia ficar comprometida, quando
observada uma pequena parte das representações de linhas sobre uma superfície esférica.
Assim, o problema foi proposto no curso de extensão do seguinte modo:

28. 27
Como seriam as trajetórias de dois barcos navegando por um longo percurso, de
modo que mantenham sempre a mesma distância um do outro? Explique e represente as
suas trajetórias da melhor maneira possível.
Os alunos relataram que o software colaborou na visualização de conceitos e
propriedades geométricas.
8- Titulo: As Faces dos Sólidos Platônicos na Superfície Esférica: Uma
proposta para o ensino-aprendizagem de noções básicas de Geometria Esférica.
Autor: João Pedro Marqueze
Ano de defesa: 2006
Instituição: PUC/SP
Curso: Mestrado
Orientador: Drª Celina Aparecida Almeida Pereira Abar
Sujeitos da Pesquisa: Grupo de oito (8) alunos do ensino médio da E. E. Prof.
José Henrique de Paula de Silva, município de Santo André, Bairro Parque Novo Oratório.
Palavras-Chave: Geometria Esférica, Geometria Plana, Sócio-construtivismo,
Situação-problema.
Objetivo: Apresentar uma seqüência de atividades, por meio de resolução de
problemas, numa abordagem qualitativa, visando a investigar como esta seqüência pode
contribuir para que alunos do ensino médio aprendam conceitos básicos da Geometria
Esférica enquanto resgatam conceitos da Geometria Plana.
Questões de Pesquisa: Que contribuições uma seqüência de atividades que tem
como proposta a tesselação das faces dos sólidos platônicos na superfície esférica pode
proporcionar para o ensino-aprendizagem de Geometria Esférica?
Referenciais Teóricos: Sócio-construtivismo, Vygotsky e Piaget.
Metodologia: Pesquisa qualitativa, com resolução de problemas.
Principais resultados: Procurando responder à questão de pesquisa foi analisada
uma seqüência de atividades, abordando conceitos da Geometria Esférica, por intermédio
de situações-problemas.

29. 28
Neste trabalho foi tomada uma postura descritiva, recolhendo os dados
apresentados em forma de textos, desenhos, fragmentos de comunicação oral, transcrição
de falas, entrevistas, diários reflexivos, caderno de campos, fitas de áudio e de vídeo. Na
investigação qualitativa interessa o processo, mais que os resultados.
A resolução de problemas proporciona caminhos para a apreensão de conceitos
básicos em Geometria Esférica, estando intrinsecamente de acordo com o aspecto
construtivista abordado. Se o aluno entender a Matemática como útil para sua realidade
cotidiana, e mais especificamente profissional, sua atenção será despertada para a busca de
uma solução.
Conforme Freitas (2002, apud MARQUEZE, 2006), um recurso didático útil é a
problematização matemática a partir de exploração de material concreto de manipulação
ou de situações problemas contextualizadas. Assim foi elaborada uma seqüência de
atividades, tais que, o aluno, nos conceitos que vai formando cria um objeto final que é a
bola de futebol.
A tesselação na superfície de uma esfera com o fim de representação de uma bola
de futebol é possivelmente o artefato ideal a ser construído para nosso objetivo, ou seja,
dar significado à Geometria Esférica para os alunos do ensino médio.
A seqüência de atividades visa introduzir conceitos como: ponto, reta, plano,
polígonos, etc. da Geometria Esférica. E ao tesselarem na superfície esférica as faces dos
sólidos platônicos o aluno estará conhecendo uma “nova” Geometria e resgatando
conceitos da Euclidiana.
As atividades: 1ª, apresentação da Geometria Esférica através do trajeto de um
urso retornando ao ponto de partida; 2ª, através de polígonos regulares para pavimentação
do plano, preparar os alunos para fazer uma analogia com a tesselação na superfície
esférica; 3ª, evidenciar a diferença entre esfera e superfície esférica; 4ª, percepção de que
ponto na superfície plana e na superfície esférica tem o mesmo significado; 5ª, mostrar que
distância entre dois pontos na superfície esférica é um arco; 6ª, introdução do conceito de
geodésica; 7ª, mostrar que na superfície esférica não existem retas paralelas; 8ª, elucidar
semelhanças e diferenças entre os conceitos de “reta” e “geodésica”; 9ª, apresentação de
conceitos de Geometria Espacial e diferenciação entre uma figura plana e uma espacial,
necessários para uma melhor compreensão da tesselagem na superfície da esfera; 10ª,
estabelecer relações com a Geometria Euclidiana e Esférica; 11ª, aplicar os conceitos da

30. 29
Geometria Esférica através da tesselação das faces dos sólidos platônicos na superfície
esférica; 12ª, construção da bola de futebol, ou seja, tesselar as faces da bola de futebol na
superfície esférica.
Os resultados apresentados indicaram indícios animadores de que a seqüência
apresentada conduz ao ensino-aprendizagem de conceitos básicos de Geometria Esférica.
9- Titulo: Uma análise da Apresentação de Retas Paralelas em Livros
Didáticos do Ensino Médio.
Autor: Jasias Cezario Franca
Ano de defesa: 2007
Instituição: Universidade Federal Fluminense
Curso: Especialização
Orientador: Ana Maria Martensen Roland Kaleff
Sujeitos da Pesquisa: Não há.
Palavras-Chave: Retas paralelas, Paralelismo, Geometrias não-Euclidianas.
Objetivo: Verificar e analisar a compatibilidade entre as apresentações do
conceito de retas paralelas e de suas propriedades encontradas, nos principais livros
didáticos do Ensino Médio e as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN).
Questões de Pesquisa: Como os autores do livro didático apresentam o conceito
de retas paralelas e suas propriedades? Os autores do livro didático apresentam relações e
inferências lógicas que permitam ou favoreçam o estabelecimento de outras formas de
paralelismo e de conceitos não-euclidianos? Os autores do livro didático apresentam
relações de conversões entre registros semióticos que permitam ou favoreçam o
estabelecimento de outras formas de paralelismo e de conceitos não-euclidianos? Os
autores do livro didático apresentam relações de interdisciplinaridade dentro da
Matemática, ou fora dela, que permitam ou favoreçam o estabelecimento de outras formas
de paralelismo e de conceitos não-euclidianos?

31. 30
Referenciais Teóricos: Abordagem de João Lucas Barbosa dos resultados
relacionados ao paralelismo em termos da geometria plana. Resultados equivalentes ao
quinto axioma de Euclides, segundo David Gans.
Metodologia: Pesquisa qualitativa. Segundo a metodologia orientada por
Fiorentini & Lorenzato (2006).
Principais resultados: Segundo Franca (2007) como o Quinto Postulado de
Euclides é o fator fundamental para o desenvolvimento lógico-histórico e para a criação
das geometrias não-euclidianas, analisou-se até que ponto as constatações sobre o referido
conceito encontradas nesses textos são influenciadas por concepções euclidianas. Ou seja,
foi analisado se as constatações são decorrentes desse postulado e se elas potencialmente
interfeririam no entendimento de futuros conceitos não-euclidianos. A análise dos textos
incluiu também a dos gráficos e dos desenhos, tendo por fundamentação a teoria
desenvolvida por Raymond Duval sobre o papel e a importância da conversão de registros
semióticos. Entre as conclusões advindas da análise dos dados, ficou constatado que,
embora os livros didáticos sigam as determinações dos Parâmetros Curriculares Nacionais,
ficam restritos a apresentações meramente ilustrativas sobre a importância histórica das
novas geometrias. Os textos apresentam um enclausuramento euclidiano tanto no que se
refere aos desenhos, quanto às inferências lógicas. Constatação esta que também tem sido
observada por outros estudos que tratam da formação de professores. Pelo encontrado na
literatura, tudo indica que essa restrição das representações semióticas como apresentada
pelos autores analisados, pode vir a influenciar negativamente a aprendizagem de seus
leitores em futuras situações de estudo, no caso de serem confrontados com conhecimentos
geométricos não-euclidianos.
10- Titulo: Uma proposta de ensino para o estudo da Geometria Hiperbólica
em ambiente de Geometria Dinâmica.
Autor: Marília Valério Rocha
Ano de defesa: 2009
Instituição: PUC-SP
Curso: Mestrado

32. 31
Orientador: Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud
Sujeitos da Pesquisa: Turma, formada por onze (11) alunos, do curso de
Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, na disciplina de Tópicos de Geometria,
no período de 19 de agosto a 18 de setembro de 2008.
Palavras-Chave: Geometria Hiperbólica, Geometria Euclidiana, Software
Cinderella, Engenharia Didática.
Objetivo: Propor um ambiente computacional ao aprendizado da Geometria
Hiperbólica na formação do professor de Matemática.
Questões de Pesquisa: Em que medida a geometria dinâmica pode interferir na
construção dos conceitos da Geometria Hiperbólica, no estudo axiomático realizado pelo
professor de Matemática e como esse novo conhecimento pode contribuir para sua
formação?
Referenciais Teóricos: Teoria das Situações Didáticas, de Guy Brousseau
(1986). Estudos sobre a compreensão das demonstrações, de Raymond Duval (1993).
Metodologia: Engenharia Didática, de Artigue (1988).
Principais resultados: Rocha (2009) entende que a concepção de materiais que
possam ser disponibilizados pela Internet permite sua utilização no ensino nas modalidades
presencial, semipresencial, ou ainda, a distância, e pretendeu criar um material com esta
funcionalidade, sendo que na criação página houve preocupação com clareza, disposição
de links e disposição do conteúdo.
A geometria dinâmica possibilita movimento das figuras com benefícios como
exploração de situações, interatividade, visualização, rapidez e uma nova possibilidade do
estudo das transformações e dos lugares geométricos.
Foi criado o Resumo da Geometria Hiperbólica (RGH), disponibilizando ao aluno
o quadro atualizado do conteúdo, disponível para a resolução dos exercícios propostos no
decorrer das próximas atividades.
Na idealização da página da Internet, uma vez que foram utilizados os conceitos
da Teoria das Situações Didáticas na elaboração das atividades, entendemos que a
abordagem construtivista pode ser considerada na elaboração do material didático, pois

33. 32
ambas consideram que o aprendizado ocorre por adaptação a novas situações propostas aos
alunos e que o aprendiz torna-se o protagonista de seu aprendizado.
Quanto à navegabilidade, foram incluídas seções específicas na página inicial com
a intenção de segregar os conteúdos: tópicos históricos, demonstrações, atividades, outros
(questionários e exercícios) e atividade final. A separação por tópicos visou contribuir para
que o aluno acesse as seções que julgar necessárias, pois caso tenha conhecimentos prévios
sobre o desenvolvimento histórico do desenvolvimento da Geometria, ou ainda, a respeito
das demonstrações, possa se dirigir diretamente às atividades propostas.
As atividades propostas foram: Introdução: Explicando o software Cinderella e as
atividades propostas. Atividade 1: Axiomatização de Hilbert. Atividade 2: Explorando o
Disco de Poincaré. Atividade 3: Retas no Plano. Atividade 4: Ângulo de Paralelismo.
Atividade 5: Explorando as retas hiperbólicas. Atividade 6: Biângulo. Atividade 7:
Quadrilátero de Saccheri. Atividade 8: Quadrilátero de Lambert. Atividade 9: Triângulos.
Atividade 10: Explorando as Circunferências. Atividade 11: Circunferência, Horocírculo e
Hipercírculo. Atividade 12: Área. Em seguida há duas séries de exercícios e a Atividade
Final.
Foram concluídas assim estas atividades. Os conteúdos selecionados foram os
principais teoremas dessa geometria. A autora objetivava que os aprendizes adquirissem
conhecimento e curiosidade para dar continuidade ao estudo de um tema tão envolvente e
encantador.
11- Titulo: Geometria Esférica: Uma seqüência didática para a
aprendizagem de conceitos elementares no Ensino Básico.
Autor: Maria Lúcia Torelli Doria de Andrade
Ano de defesa: 2011
Instituição: PUC/SP
Curso: Mestrado
Orientador: Drª Maria José Ferreira da Silva.
Sujeitos da Pesquisa: Dois (2) alunos do 2º ano do Ensino Médio, sendo um
aluno da rede pública estadual e outro da rede particular, de escolas localizadas na zona
leste da cidade de São Paulo.

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Palavras-Chave: Geometrias não-Euclidianas. Geometria Esférica. Registro de
Representação Semiótica.
Objetivo: Investigar a apropriação de conceitos elementares de Geometria
Esférica por alunos do 2º ano do Ensino Médio, a partir de uma seqüência de ensino.
Questões de Pesquisa: Como uma seqüência didática articulando diferentes
registros de representação pode avaliar alunos do Ensino Médio na aprendizagem de
conceitos de Geometria Esférica?
Referenciais Teóricos: Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau (1986)
e Teoria das Representações Semióticas de Raymond Duval (2009).
Metodologia: Método de investigação: Pesquisa qualitativa. Construção e análise
das atividades: Engenharia Didática.
Principais resultados: Andrade (2011) partiu do pressuposto de que a seqüência
pudesse contribuir para a apreensão por parte dos alunos de conceitos de Geometria
Esférica, e permitisse que ao resolver as atividades propostas, esses realizassem os
tratamentos e conversões propostos por Duval (2009, apud ANDRADE, 2011) pertinentes
ao objeto estudado.
Durante o desenvolvimento da pesquisa, na seqüência didática foram propostas
diversas atividades, que, em sua maioria, exigiam dos sujeitos de pesquisa discussões a
respeito do que aprenderam, promoviam o estímulo de novas idéias e favoreciam o
desenvolvimento de um ambiente de ajuda mútua que levava a uma reflexão do que foi
trabalhado e aprendido. Além disso, ao trabalhar com materiais manipuláveis, como por
exemplo, o globo terrestre, quando terminaram as coordenadas geográficas da cidade e do
forte, foi verificado que estes tiveram condições de compreender as situações propostas no
processo de aprendizagem dos conceitos referentes à Geografia e para a resolução das
outras atividades, além de promover a construção de modelos mentais, que de acordo com
English e Halford (1995, apud ANDRADE, 2011) proporcionam uma imagem mais
adequada das representações que os indivíduos usam para compreender e raciocinar.
A autora também constatou que os sujeitos de pesquisa realizaram as conversões e
os tratamentos dos registros de representação semiótica de acordo com Duval (2009, apud
ANDRADE, 2011), como quando fizeram a conversão do registro em língua natural
(enunciado da atividade) para o registro material (bola de isopor), o que os levou a resolver

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a atividade e compreender o conceito de reta na Geometria Esférica. Logo, o objetivo foi
alcançado já que os sujeitos desta pesquisa se apropriaram dos conceitos de Geometria
Esférica.
Foram propostas nove atividades: 1ª, um navio partia de uma cidade e chegava a
um forte, sendo pedida a distância. Os alunos tinham fortemente a idéia que a distância
seria em linha reta. A 2ª estabeleceu a distância entre dois pontos em uma superfície
esférica como sendo um arco de circunferência máxima, porém os alunos ainda pensavam
como um triângulo plano, sendo entendido logo que a trajetória em uma superfície esférica
é um arco de circunferência máxima. A 3ª apresentou o objeto matemático, reta, na
Geometria Esférica e a concorrência entre duas retas, sendo que os alunos realizaram a
conversão do registro em língua natural (enunciado) para o registro material (bola de
isopor). Na atividade quatro foram estabelecidas as coordenadas geográficas (latitude e
longitude) da cidade e do forte, definidos os Pólos Terrestres, Equador, Paralelos
Terrestres e Meridianos, porém os alunos não sabiam localizar um ponto na Terra. O uso
do globo terrestre foi fundamental. Na atividade cinco foi medida a distância entre dois
pontos em uma superfície esférica, mas os alunos não relacionam o arco de circunferência
com a medida do ângulo central correspondente a ele. A 6ª atividade definiu ângulo
esférico como sendo medido em graus, formado pela intersecção de duas circunferências
máximas, e através da conversão do registro em língua natural para o registro material, os
sujeitos se apropriaram do objeto matemático, ângulo esférico. A atividade sete definiu
triângulo esférico e os alunos realizaram as conversões de forma a produzir um registro
adequado da situação proposta na primeira atividade. Na atividade oito foi determinada a
Lei dos cossenos para os lados de triângulos esféricos, e a partir da conversão para o
registro figural, foram feitos os tratamentos algébricos pertinentes neste registro.
Finalmente na nona atividade, na qual foi encontrada a distância da cidade de San
Juan até o forte de São Julião da Barra, foi verificado que os sujeitos realizaram a
conversão do registro em língua natural para o registro figural, e que fizeram os
tratamentos aritméticos pertinentes a cada item da atividade.
A autora conclui que outro estudo que poderia ser realizado seria o de introduzir
conceitos de Geometria Esférica, tais como: construção de retas e a verificação do não-
paralelismo entre elas, congruência e semelhança de triângulos, entre outros podendo ser
trabalhados com o software Cinderella ou Cabri-3D.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nosso objetivo foi fazer uma pesquisa bibliográfica sobre o tema Geometrias não-
euclidianas, assim fizemos um levantamento das dissertações no período de 1995 a 2011,
incluindo uma monografia de Especialização, encontradas em diversas instituições.
A metodologia utilizada foi o Estado da Arte. Esta pesquisa bibliográfica permitiu
verificar a situação do ensino de geometria no ensino fundamental e médio, que está em
abandono, e qual o possível encaminhamento a geometrias alternativas, não planas.
O primeiro trabalho mostra uma aula idealizada onde alunos e professora
procuram entender o que é geometria, até chegarem às geometrias não-euclidianas. O
segundo aborda o quinto postulado de um ponto de vista matemático, histórico e
qualitativo. O terceiro questiona o porque de não terem sido ensinadas as geometrias não-
euclidianas na graduação. Os demais abordam materiais manipuláveis e softwares, visando
o ensino dessas geometrias, e também interdisciplinaridade.
Todos os trabalhos pesquisados têm um objetivo comum que é o de apresentar as
geometrias não-euclidianas a alunos e professores, e ao mesmo tempo, procurar resgatar a
geometria plana que está em abandono, principalmente nos cursos básicos.
A importância de uma visão mais ampla sobre as geometrias, incluindo as não-
euclidianas, é apontada por diversos documentos governamentais que orientam o ensino da
Matemática, tanto no Brasil quanto internacionalmente.
Cabe lembrar que o estudo das geometrias não-euclidianas possibilita uma visão
da Matemática e do espaço, com seus conceitos de verdade, como saberes que podem ser
contestados, discutidos e questionados.
É importante enfatizar que algumas experiências brasileiras têm sido realizadas
para o ensino de geometrias não-euclidianas com grupos de estudantes cursando desde a
oitava série do Ensino Fundamental até o curso superior. Nesses estudos tem-se concluído
que as mais bem sucedidas dessas iniciativas pedagógicas são aquelas nas quais se utilizam
materiais concretos.
Esperamos que este trabalho possa contribuir de alguma forma, mesmo que
modestamente, para um retorno da geometria a salas de aula do ensino básico e superior,
incluindo as não-euclidianas.

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REFERÊNCIAS
ANDRADE, Maria Lúcia Torelli Doria de. Geometria Esférica: Uma sequência didática
para a aprendizagem de conceitos elementares no Ensino Básico. 2011. 120 f. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São
Paulo, 2011.
BICUDO, I. Os Elementos/Euclides. São Paulo: Editora UNESP, 2009.
CABARITI, Eliane. Geometria Hiperbólica: Uma proposta didática em Ambiente
Informatizado. 2004. 181 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2004.
FERREIRA, N. S. A. As Pesquisas denominadas “Estado da Arte”. Educação &
Sociedade, ano XXIII, nº 79, Agosto/2002.
FRANCA, J. C. Uma análise da Apresentação de Retas Paralelas em Livros Didáticos
do Ensino Médio. Monografia de Curso de Especialização. Niterói: Instituto de
Matemática. UFF. 2007.
MARQUEZE, João Pedro. As faces dos Sólidos Platônicos na Superfície Esférica: Uma
proposta para o ensino-aprendizagem de noções básicas de Geometria Esférica. 2006. 187
f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de
São Paulo, São Paulo, 2006.
MARTOS, Zionice Garbelini. Geometrias não-euclidianas: Uma proposta metodológica
para o ensino de Geometria no Ensino Fundamental. 2002. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática) – Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2002.
MELO, Marisol Vieira. Três décadas de Pesquisa em Educação Matemática na
UNICAMP. 2006. 273f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade
Estadual de Campinas, Campinas, 2006.
ROSA, Kelly Cristina. Ambientes computacionais no contexto da Geometria: Panorama
das teses e dissertações do Programa de Educação Matemática da PUC-SP de 1994 a 2007.
TAGLIARO, A. Trigonometria Plana e Esférica. São Paulo: Editora Coleção F. T. D. S.
A., 1968.