Fundamentos de Geometria Espacial 
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Paulo Antônio Fonseca Machado 
Fundamentos de Geometria Espacial 
Belo Horizonte 
CAED-UFMG 
2013 
Fundamentos de Geometri...
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
Profº Clélio Campolina Diniz 
Reitor 
Profª Rocksane de Carvalho Norton 
Vice-Reitor...
Sumário 
Introdução. . 7 
Nota do Editor. . 9 
Aula 1: O Espaço. . .11 
1.1 Introdução. . 11 
1.2 Elementos primitivos e a...
Aula 6: Lugares geométricos e poliedros . .69 
6.1 Introdução . 69 
6.2 Distâncias . 69 
6.3 Planos bissetores . 72 
6.4 A...
7 
Introdu¸c˜ao 
INTRODUC¸ ˜AO 
Caras e caros alunas e alunos, neste livro apresentamos os fundamentos da geometria espaci...
8 
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9 
nota do edit or 
A Universidade Federal de Minas Gerais atua em diversos projetos de Educação 
a Distância, que incluem...
1 O Espaço 
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aula 1: O Espaço 11 
AULA1: O ESPAC¸O 
OBJETIVOS 
Introduzir os conceitos elementos primitivos e de axiomas da Geometria E...
12 Fundamentos de geometria espacial 
Figura 1.2 
Na figura 1.2 representamos dois planos  e  que se interceptam segundo u...
aula 1: O Espaço 13 
1.2 Elementos primitivos e axiomas 
Em [7] apresentamos os trˆes elementos primitivos da geometria pl...
14 Fundamentos de geometria espacial 
Figura 1.4 
Ent˜ao ´e razo´avel estabelecermos o seguinte axioma, que traduz para o ...
aula 1: O Espaço 15 
 
t 
P 
 
Figura 1.6: – Axioma I.7 
O axioma I.7 nos diz como planos se “interpenetram” no espa¸co. D...
1.3 Algumas consequˆencias dos axiomas do grupo I 
Vamos deduzir algumas propriedades dos axiomas que apresentamos. Come¸c...
aula 1: O Espaço 17 
Figura 1.10 Figura 1.11 
(4) Os planos  e  possuem o ponto P em comum, donde    = s, onde s ´e uma re...
1.4 Exerc´ıcios 
18 Fundamentos de geometria espacial 
Figura 1.12: – Exerc´ıcio 1.1 
1.1. Analisando visualmente a figura...
1.5. Sejam A, B, C e D quatro pontos do espa¸co. Decida se cada afirma¸c˜ao a seguir ´e 
verdadeira ou falsa. Justifique c...
2 Mais propriedades 
do espaço 
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AULA2: MAIS PROPRIEDADES DO ESPAC¸O 
OBJETIVOS 
Apresentar os outros axiomas da Geometria Euclidiana no espa¸co. Analisar,...
Axioma II.6. Toda reta l em um plano  determina exatamente dois subconjuntos 
l e ˜l de , denominados semiplanos de  em re...
(b) E E 
 = ; 
(c) dois pontos A e B do espa¸co n˜ao pertencentes a  est˜ao num mesmo semiespa¸co em 
Aula 2 – Mais propri...
Defini¸c˜ao 2.4. A regi˜ao angular determinada por um ˆangulo (n˜ao trivial) A = BAC ´e 
o subconjunto 
24 Fundamentos de ...
Figura 2.5: – Caso LAL de congruˆencia de triˆangulos 
Fechamos esta se¸c˜ao com algumas observa¸c˜oes sobre congruˆencias...
2.4 O axioma das paralelas no espa¸co 
Vimos em [7] que duas retas paralelas no plano s˜ao retas que n˜ao tˆem pontos em c...
Demonstrac¸˜ao. Reduzimos o problema no espa¸co a um problema no plano: seja  o plano 
determinado por r e P, e tome s   a...
28 Fundamentos de geometria espacial 
 
A 
B 
D 
C 
O 
N 
P 
M 
Figura 2.10: – Exemplo 2.2 
Analogamente, no triˆangulo BC...
Aula 2 – Mais propriedades do espaço 29 
Figura 2.11 
(2) O item (a) do teorema ´e consequˆencia direta da defini¸c˜ao dos...
30 Fundamentos de geometria espacial 
 
P 
A 
l 
 
B 
(a) 
 
P 
A 
l 
 
B 
(b) 
P  
(d) 
 
P 
 
l 
A 
B 
(c) 
 
A 
B 
Figu...
(1) Suponha, como no enunciado, que r  s e s  t. Sejam  o plano determinado por s e t, 
e  o plano determinado por s e r. ...
2.6 Exerc´ıcios 
32 Fundamentos de geometria espacial 
Figura 2.14: – Exerc´ıcio 2.1 
2.1. Definimos uma regi˜ao poliedral...
Aula 2 – Mais propriedades do espaço 33 
2.4. Ainda na figura 2.16a suponha que 
ADB  BDC  CDA 
e que todos os segmentos c...
3 Paralelismo no espaço 
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AUla 3: Paralelismo no esapço 35 
AULA3: PARALELISMO NO ESPAC¸O 
OBJETIVOS 
Estudar o paralelismo entre retas e planos, e ...
Precisamos de crit´erios para decidir se uma reta e um plano s˜ao paralelos entre si. Um deles, 
o mais fundamental, ´e da...
Problema 3.3. Mostre que se ,  e  s˜ao trˆes planos que se encontram em um ponto, ent˜ao 
n˜ao pode existir uma reta paral...
Para provar a unicidade suponhamos, por absurdo, que existam dois planos distintos  e  
passando por P e paralelos a  (vej...
Problema 3.5. Complete a figura 3.6 com os elementos constru´ıdos na demonstra¸c˜ao do 
teorema 3.8. 
O resultado do teore...
Demonstrac¸˜ao. De fato, se  n˜ao fosse paralelo a , ou seja, se  fosse secante a  ent˜ao, 
pelo teorema anterior,  seria ...
AUla 3: Paralelismo no esapço 41 
Figura 3.10 
Problema 3.10. Sejam dadas trˆes retas r, s e t reversas duas a duas. Const...
(2) A reta s corta  em um ponto A pois, caso contr´ario seria paralela a b e, portanto, 
paralela a r, uma contradi¸c˜ao. ...
3.6 Exerc´ıcios 
3.1. Sejam ,  e  trˆes planos distintos. Mostre que as posi¸c˜oes relativas dos trˆes planos 
s˜ao as seg...
4 Perpendicularismo entre 
retas e planos no espaço 
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AULA4: PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS 
E PLANOS NO ESPAC¸O 
OBJETIVOS 
Introduzir o conceito de ˆangulo entre retas no espa...
46 Fundamentos de geometria espacial 
Figura 4.2 
No espa¸co temos ainda o caso de retas reversas, que n˜ao s˜ao nem conco...
Problema 4.3. Sejam r e s retas reversas, e sejam r  r, s  s tais que r seja concorrente 
a s e s concorrente a r. Prove q...
48 Fundamentos de geometria espacial 
Figura 4.6 
Teorema 4.5. Sejam r e  uma reta e um plano perpendiculares entre si. En...
Teorema 4.6. As seguintes propriedades s˜ao v´alidas: 
(a) duas retas distintas perpendiculares a um mesmo plano s˜ao para...
4.4 Existˆencia de retas perpendiculares 
Apresentamos nas se¸c˜oes anteriores v´arias propriedades envolvendo retas perpe...
Figura 4.10 
(3) Ent˜ao o plano determinado por t e s ´e o plano  que procuramos. De fato: 
(i) r  t e r  s, por constru¸c...
Problema 4.7. Demonstre o teorema anterior no caso em que P  r. (Sugest˜ao: tome dois 
planos  e  quaisquer, distintos, pa...
Problema 4.8. Demonstre o teorema anterior no caso em que P  . (Sugest˜ao: tome 
duas retas l e l contidas em  passando po...
(6) Agora temos que 
 
AP   
BR e 
54 Fundamentos de geometria espacial 
 
AP   
CQ; logo 
 
BR   
CQ. Al´em disso 
BR  AP...
(2) Tome A e A pontos de r em lados opostos do espa¸co tais que PA  PA. Assim temos 
AUla 4: Perpendicularismo entre retas...
4.6 Exerc´ıcios 
 
KQ. Tem-se ainda que  
AB  , onde B   
KQ, R   e C  . Responda se verdadeiro ou falso e justifique: 
56...
Figura 4.17: – Exerc´ıcio 4.4 
Figura 4.18: – Exerc´ıcios 4.6 e 4.7 
4.5. Sejam A, B e C v´ertices de um triˆangulo equil´...
5 Ângulos entre planos 
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AUla 5: As Ângulos entre planos 59 
AULA5: ˆANGULOS ENTRE PLANOS 
OBJETIVOS 
Introduzir o conceito de ˆangulos entre plano...
Podemos tamb´em definir regi˜ao diedral de maneira natural (veja o exerc´ıcio 2.1). 
Defini¸c˜ao 5.2. A regi˜ao diedral de...
Teorema 5.3. Seja (ˆ, ˆ ) um diedro de faces ˆ e ˆ , com aresta l. Sejam  e  dois 
planos perpendiculares a l. Tomemos ain...
5.3 Planos perpendiculares 
Uma vez que sabemos medir ˆangulos entre planos podemos, definir o conceito de planos 
perpend...
AUla 5: As Ângulos entre planos 63 
Observe que a ´e, de fato, a reta desejada, pois: 
(i) a  l, j´a que a   e   l; 
(ii) ...
Vejamos agora o caso mais interessante. 
Teorema 5.10. Sejam dados um plano  e uma reta r n˜ao perpendicular a . Ent˜ao ex...
(ii) r e t n˜ao possuem pontos em comum: neste caso, pelo teorema 4.6 temos que r  t, 
AUla 5: As Ângulos entre planos 65 ...
Soluc¸˜ao. A propriedade fundamental para lidar com retas reversas ´e a descrita no pro-blema 
3.9: existem dois planos  e...
5.6 Exerc´ıcios 
5.1. Sejam A e B dois pontos e  um plano. Prove que sempre existe um plano  passando 
por A e B e perpend...
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  1. 1. Fundamentos de Geometria Espacial Fundamentos de Geometria Espacial.indd 1 28/01/2013 11:09:19
  2. 2. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 2 28/01/2013 11:09:21
  3. 3. Paulo Antônio Fonseca Machado Fundamentos de Geometria Espacial Belo Horizonte CAED-UFMG 2013 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 3 28/01/2013 11:09:23
  4. 4. UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Profº Clélio Campolina Diniz Reitor Profª Rocksane de Carvalho Norton Vice-Reitoria Profª Antônia Vitória Soares Aranha Pró Reitora de Graduação Profº André Luiz dos Santos Cabral Pró Reitor Adjunto de Graduação CENTRO DE APOIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo Diretor de Educação a Distância Prof º Wagner José Corradi Barbosa Coordenador da UAB/UFMG Profº Hormindo Pereira de Souza Junior Coordenador Adjunto da UAB/UFMG EDITORA CAED-UFMG Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo CONSELHO EDITORIAL Profª. Ângela Imaculada Loureiro de Freitas Dalben Profº. Dan Avritzer Profª. Eliane Novato Silva Profº. Hormindo Pereira de Souza Profª. Paulina Maria Maia Barbosa Profª. Simone de Fátima Barbosa Tófani Profª. Vilma Lúcia Macagnan Carvalho Profº. Vito Modesto de Bellis Profº. Wagner José Corradi Barbosa COLEÇÃO EAD – MATEMÁTICA Coordenador: Dan Avritzer LIVRO: Fundamentos de Geometria Plana Autor: Paulo Antônio Fonseca Machado Revisão: Jussara Maria Frizzera Projeto Gráfico: Laboratório de Arte e Tecnologia para Educação/EBA/UFMG Formatação: Sérgio Luz Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Luciana de Oliveira M. Cunha, CRB-6/2725) Lima, Paulo Cupertino de L732f Fundamentos de Geometria Espacial / Paulo Antônio Fonseca Machado. – Belo Horizonte : CAED-UFMG, 2012. 119 p. : il. ; 27 cm. Inclui bibliografia. ISBN 1. Funções (Matemática). 2. Ensino a distância. I. Universidade Federal de Minas Gerais. II. Título. CDD 515 CDU 517.5 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 4 28/01/2013 11:09:23
  5. 5. Sumário Introdução. . 7 Nota do Editor. . 9 Aula 1: O Espaço. . .11 1.1 Introdução. . 11 1.2 Elementos primitivos e axiomas . 13 1.3 Algumas consequências dos axiomas do grupo I . 16 1.4 Exercícios. . 18 Aula 2: Mais propriedades do espaço . .21 2.1 Introdução . 21 2.2 Separação do espaço: semiespaços . 21 2.3 Ângulos e congruência no espaço . 23 2.4 O axioma das paralelas no espaço . 26 2.5 Opcional: demonstração dos teoremas 2.1 e 2.9 . 28 2.6 Exercícios . 32 Aula 3: Paralelismo no espaço . .35 3.1 Introdução . 35 3.2 Paralelismo entre retas e planos . 35 3.3 Paralelismo entre planos. . 37 3.4 Algumas propriedades de paralelismo no espaço. . 38 3.5 Problemas resolvidos . 40 3.6 Exercícios. . 43 Aula 4: Perpendicularismo entre retas e planos no espaço . .45 4.1 Introdução . 45 4.2 Ângulos entre retas no espaço . 45 4.3 Perpendicularismo de retas e planos. . 47 4.4 Existência de retas perpendiculares. . 50 4.5 Opcional: demonstração dos teoremas 4.1 e 4.7 . 53 4.6 Exercícios. . 56 Aula 5: Ângulos entre planos . .59 5.1 Introdução. . 59 5.2 Ângulos entre planos: diedros . 59 5.3 Planos perpendiculares . 62 5.4 Construção de planos perpendiculares . 63 5.5 Alguns problemas resolvidos . 64 5.6 Exercícios. . 67 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 5 28/01/2013 11:09:23
  6. 6. Aula 6: Lugares geométricos e poliedros . .69 6.1 Introdução . 69 6.2 Distâncias . 69 6.3 Planos bissetores . 72 6.4 Alguns lugares geométricos . 74 6.5 Poliedros . 77 6.5.1 Prismas . .78 6.5.2 Paralelepípedos e cubos. . 80 6.5.3 Pirâmides. . .80 6.5.4 Outros poliedros . 81 6.6 Exercícios . 83 Aula 7: Volumes de poliedros . .85 7.1 Introdução . 85 7.2 Volume de regiões poliedrais . 85 7.3 Volume de prismas . 86 7.4 Volume de pirâmides. . 92 7.4.1 Propriedades basicas de pirâmides. . 92 7.4.2 Cálculo do volume de uma pirâmide. . 97 7.5 Aplicações . 99 7.6 Exercícios . .103 Aula 8: Cilindros, cones e esferas . .105 8.1 Introdução . .105 8.2 Cilindros . .105 8.3 Cones. . .107 8.4 Esferas. . .110 8.5 Exercícios. . .113 Apêndices: Axiomas da geometria plana . .115 A.1 Axiomas: grupo I, axiomas de incidência . .115 A.2 Axiomas: grupo II, parte 1: métrica e ordem na reta. .115 A.3 Axiomas: grupo III, medida de ângulos . .116 A.4 Axiomas: grupo IV, congruência de triângulos . .117 A.5 Axiomas: grupo V, axioma das paralelas . .117 A.6 Axiomas: grupo VI, axiomas sobre áreas. . .117 Referências. . .119 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 6 28/01/2013 11:09:23
  7. 7. 7 Introdu¸c˜ao INTRODUC¸ ˜AO Caras e caros alunas e alunos, neste livro apresentamos os fundamentos da geometria espacial euclidiana, e pode ser visto como uma continua¸c˜ao do livro [7]. Na verdade, o que chamamos “Fundamentos da Geometria Euclidiana” n˜ao deveria ser separado em geometria plana e geometria espacial, pois ´e um s´o assunto, coeso. Esta separa¸c˜ao ´e apenas uma forma de apresentar a geometria euclidiana de maneira mais did´atica e pr´atica. Adotaremos neste texto todas as nomenclaturas, terminologias e nota¸c˜oes estabelecidas em [7], em sua maioria tradicionais e utilizadas em quase todos os textos que tratam de geometria euclidiana. Suporemos que todos vocˆes est˜ao familiarizados com os termos utili-zados nesse livro. Em caso de d´uvidas, consultem-no. Abaixo, como uma forma de refrescar a mem´oria, listamos as principais nota¸c˜oes que utili-zaremos. Pontos serao ˜denotados por letras latinas maiusculas ´(A, B, etc.). Retas serao ˜em geral denotadas por letras latinas minusculas ´(r, s, etc.). No caso em que apresentarmos retas determinadas por dois pontos espec´ıficos usaremos uma seta de duas pontas () sobre as letras que nomeiam os pontos. Por exemplo, a reta determinada pelos pontos A e B sera ´denotada por AB. Para semirretas adotamos uma notac¸ao ˜analoga ´a `para retas, mas as demarcaremos por uma seta com uma ponta (). Por exemplo, o s´ımbolo r denota a semirreta r; e o s´ımbolo AB denota a semirreta com origem no ponto A e passando pelo ponto B. Segmentos de reta ser˜ao demarcados por uma barra cont´ınua sobre as letras que no-meiam os pontos que determinam o mesmo. Por exemplo, o segmento de extremos A e B ser´a denotado por AB. A medida de um segmento ser´a denotada pelos extremos do mesmo, sem a barra. Por exemplo, a medida de AB ´e AB. ˆAngulos ser˜ao denotados pelo s´ımbolo . Por exemplo, um ˆangulo chamado ser´a denotado por ; e um ˆangulo determinado por trˆes pontos A, B, C, com origem em B, ser´a denotado por ABC. A medida de um ˆangulo , por exemplo, ser´a denotada por m(). Os nossos novos elementos, os planos, ser˜ao denotados, como manda a tradi¸c˜ao, por letras gregas min´usculas (, , , etc.). N˜ao h´a perigo de confundir uma letra grega que represente um plano com a mesma que denote um ˆangulos, pois a segunda sempre vir´a acompanhada com o s´ımbolo . Para facilitar a consulta de vocˆes listamos no apˆendice A os axiomas da geometria plana euclidiana introduzidos em [7], e algumas defini¸c˜oes b´asicas. 5 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 7 28/01/2013 11:09:23
  8. 8. 8 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 8 28/01/2013 11:09:23
  9. 9. 9 nota do edit or A Universidade Federal de Minas Gerais atua em diversos projetos de Educação a Distância, que incluem atividades de ensino, pesquisa e extensão. Dentre elas, destacam-se as ações vinculadas ao Centro de Apoio à Educação a Distância (CAED), que iniciou suas atividades em 2003, credenciando a UFMG junto ao Ministério da Educação para a oferta de cursos a distância. O CAED-UFMG (Centro de Apoio à Educação a Distância da Universidade Federal de Minas Gerais), Unidade Administrativa da Pró-Reitoria de Graduação, tem por objetivo administrar, coordenar e assessorar o desenvolvimento de cursos de graduação, de pós-graduação e de extensão na modalidade a distância, desenvolver estudos e pesquisas sobre educação a distância, promover a articulação da UFMG com os polos de apoio presencial, como também produzir e editar livros acadêmicos e/ou didáticos, impressos e digitais, bem como a produção de outros materiais pedagógicos sobre EAD. Em 2007, diante do objetivo de formação inicial de professores em serviço, foi criado o Programa Pró-Licenciatura com a criação dos cursos de graduação a distância e, em 2008, com a necessidade de expansão da educação superior pública, foi criado pelo Ministério da Educação o Sistema Universidade Aberta do Brasil – UAB. A UFMG integrou-se a esses programas, visando apoiar a formação de professores em Minas Gerais, além de desenvolver um ensino superior de qualidade em municípios brasileiros desprovidos de instituições de ensino superior. Atualmente, a UFMG oferece, através do Pró-licenciatura e da UAB, cinco cursos de graduação, quatro cursos de pós-graduação lato sensu, sete cursos de aperfeiçoamento e um de atualização. Como um passo importante e decisivo, o CAED-UFMG decidiu, no ano de 2011, criar a Editora CAED-UFMG como forma de potencializar a produção do material didático a ser disponibilizado para os cursos em funcionamento. Fernando Selmar Rocha Fidalgo Editor Fundamentos de Geometria Espacial.indd 9 28/01/2013 11:09:23
  10. 10. 1 O Espaço Fundamentos de Geometria Espacial.indd 10 28/01/2013 11:09:25
  11. 11. aula 1: O Espaço 11 AULA1: O ESPAC¸O OBJETIVOS Introduzir os conceitos elementos primitivos e de axiomas da Geometria Euclidiana no espa¸co. Apresentar os axiomas de “incidˆencia” e algumas de suas consequˆencias. 1.1 Introdu¸c˜ao Todos temos uma ideia bem intuitiva do conceito que denominamos “espa¸co”: ´e o ambi-ente em que vivemos, onde podemos nos mover para os lados, para cima e para baixo, o mundo “tridimensional”, ou seja, que possui trˆes dimens˜oes, uma a mais que o mundo plano, bidimensional. Costumamos dizer que somos seres “tridimensionais” por vivermos neste tal espa¸co. Pois bem, um conceito aparentemente t˜ao simples na verdade esconde uma complexidade filos´ofica, f´ısica e matem´atica que n˜ao imaginamos1. Neste curso n˜ao vamos discutir estas profundas quest˜oes, mas abordaremos este assunto da mesma maneira que se faz quando estudamos a geometria plana do ponto de vista axiom´atico. Figura 1.1 Nosso ponto de partida neste curso, como j´a o dissemos na Introdu¸c˜ao, ´e o texto [7], onde apresentamos um modelo axiom´atico para a geometria plana euclidiana. Recomendamos a todos os estudantes, portanto, que releiam este texto, principalmente as aulas um a trˆes. Antes de come¸carmos, vamos abordar um problema pr´atico que se tem quando estudamos geometria espacial: como representar visualmente as figuras tridimensionais. Desenhar fi-guras planas ´e f´acil, pois as p´aginas de um livro, por exemplo, s˜ao boa representa¸c˜ao de um plano. Desenhar figuras que vivem no espa¸co, por outro lado, representa um desafio, j´a que os desenhos devem ser apresentados sobre a mesma folha de papel. Assim a imagina¸c˜ao dos leitores ser´a muito mais exigida neste curso do que num curso de geometria plana. Vamos mostrar alguns exemplos. Para come¸car, representaremos um plano no espa¸co em geral como na figura 1.1 (na ver-dade, uma “por¸c˜ao” de um plano – use a imagina¸c˜ao!). Usaremos, em geral, letras gregas min´usculas para nomear estes objetos; no nosso exemplo denotamos o plano por . 1O leitor interessado poder´a estudar mais sobre isto no livro “Conceitos de espa¸co: a hist´oria das teorias do espa¸co na f´ısica”, de Max Jammer, editado pela Editora Contraponto no Brasil. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 11 28/01/2013 11:09:25
  12. 12. 12 Fundamentos de geometria espacial Figura 1.2 Na figura 1.2 representamos dois planos e que se interceptam segundo uma reta e contˆem dois triˆangulos: o triˆangulo LMN contido no plano , e o triˆangulo IJK contido no plano . Para dar a no¸c˜ao de tridimensionalidade usamos linhas pontilhadas indicando as partes da figura que est˜ao atr´as e `a frente dos objetos representados. No nosso exemplo, peda¸cos dos segmentos IK e JK est˜ao por tr´as da por¸c˜ao do plano , do ˆangulo de vis˜ao em que desenhamos a situa¸c˜ao. Analogamente, partes dos segmentos LM e LN est˜ao por tr´as da por¸c˜ao desenhada do plano . Figura 1.3 Na figura 1.3 representamos uma situa¸c˜ao mais elaborada. Desenhamos uma esfera contendo em seu interior uma pirˆamide triangular (um tetraedro – veremos sobre isto mais adiante). Os pontos A, B, C e D s˜ao pontos da esfera e todos os segmentos representados (AB, AC, AD, etc.) est˜ao no interior da esfera. Na verdade os segmentos deveriam estar “escondidos” de nossa vis˜ao pela esfera, mas fica dif´ıcil desenhar assim. Ent˜ao, neste caso, deixamos todos os segmentos representados com linhas cheias, exceto o segmento AD, para indicar que este est´a na parte de tr´as do tetraedro. Cabe ao leitor usar sua imagina¸c˜ao e compreens˜ao intuitiva para completar o significado da figura. Problema 1.1. Fa¸ca uma pesquisa sobre as diversas figuras espaciais que vocˆe j´a deve conhecer (prismas, pirˆamides, cones, cilindros, etc.) e as desenhe, tentando dar a sensa¸c˜ao visual de tridimensionalidade. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 12 28/01/2013 11:09:25
  13. 13. aula 1: O Espaço 13 1.2 Elementos primitivos e axiomas Em [7] apresentamos os trˆes elementos primitivos da geometria plana: os pontos as retas e o plano. Quando passamos para o espa¸co “aumentamos” uma “dimens˜ao geom´etrica”, isto ´e, passamos a ver um universo onde temos v´arios planos, todos essencialmente c´opias de um mesmo “modelo”: o plano estudado num curso de geometria plana. Do ponto de vista formal acrescentamos mais um elemento primitivo em nossa lista. Agora nossos elementos primitivos ser˜ao os pontos, as retas, os planos (no plural, e n˜ao mais no singular!) e o espa¸co. Mas aten¸c˜ao! Esta n˜ao ´e uma “nova geometria”. Separamos estes assuntos – geometria plana e geometria espacial – por quest˜oes did´aticas, mas s˜ao todas partes de um conjunto ´unico. Em particular, todos os resultados da geometria plana continuam v´alidos, inclusive os axiomas. Em [7] apresentamos um sistema axiom´atico da geometria plana dividido em seis grupos (veja o apˆendice A): Grupo I: axiomas de incidˆencia. Grupo II: axiomas de m´etrica na reta e ordem na reta e no plano. Grupo III: axiomas de medidas de ˆangulos. Grupo IV: axiomas de congruˆencia de triˆangulos. Grupo V: axioma das paralelas. Grupo VI: axiomas sobre ´areas de figuras planas. Para estudarmos a geometria no espa¸co precisaremos atualizar a lista de axiomas. Mas esta opera¸c˜ao n˜ao ser´a muito traum´atica, pois a ´unica modifica¸c˜ao (na verdade uma extens˜ao) que precisa ser feita ´e nos axiomas do grupo I, para abarcar as inter-rela¸c˜oes entre os elementos primitivos que agora incluem planos e o espa¸co. Os trˆes axiomas do grupo I listados em [7] permanecem como est˜ao, apenas trocando-se a palavra plano por espa¸co. Axioma I.1. Por dois pontos distintos do espa¸co passa uma e somente uma reta. Observa¸c˜ao 1.1. Neste texto adotamos a mesma linguagem geom´etrica estabelecida em [7]. Por exemplo, no axioma acima usamos o termo “passar” no sentido de que dados dois pontos distintos do espa¸co ent˜ao existe apenas uma reta que os cont´em. Axioma I.2. Toda reta do espa¸co possui pelo menos dois pontos distintos. Axioma I.3. O espa¸co cont´em pelo menos trˆes pontos distintos que n˜ao pertencem a uma mesma reta. Em seguida precisamos estabelecer condi¸c˜oes an´alogas `as dadas nos axiomas I.1 e I.2 para planos – isto ´e as condi¸c˜oes de determina¸c˜ao de um plano por pontos, e o fato de planos serem conjuntos n˜ao vazios do espa¸co. Primeiro observe o que nossa experiˆencia nos traz: se vocˆe toma um banco com trˆes pernas e o coloca no ch˜ao, ver´a que ele n˜ao claudica (veja figura 1.4). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 13 28/01/2013 11:09:25
  14. 14. 14 Fundamentos de geometria espacial Figura 1.4 Ent˜ao ´e razo´avel estabelecermos o seguinte axioma, que traduz para o mundo abstrato da matem´atica esta propriedade experimental: precisamos de trˆes pontos para determinar um plano. Axioma I.4. Por trˆes pontos distintos n˜ao colineares do espa¸co passa um e somente um plano. O axioma seguinte garante que planos fazem sentido, ou seja, que s˜ao conjuntos n˜ao vazios. Axioma I.5. Todo plano do espa¸co cont´em pelo menos um ponto. Observa¸c˜ao 1.2. Observe que n˜ao exigimos que um plano contenha trˆes pontos, como sugeriria uma analogia com o axioma I.2, mas apenas um. Veremos mais adiante que, como consequˆencia dos axiomas estabelecidos, todo plano cont´em pelo menos trˆes pontos n˜ao colineares. Nos faltam agora as regras que realmente descrevem o espa¸co tridimensional. Esta “tridi-mensionalidade” ser´a garantida pelas propriedades descritas a seguir. A B s t Figura 1.5: – Axioma I.6 Axioma I.6. Se uma reta possui dois pontos distintos em comum com um plano, ent˜ao esta reta est´a inteiramente contida no plano. O axioma acima traduz o fato esperado: quando vocˆe tra¸ca uma reta numa folha de papel usando uma r´egua e um l´apis, n˜ao tem como deix´a-la perfurando a folha. Na figura 1.5 a linha designada pela letra s n˜ao ´e o que se espera ser uma reta passando pelos pontos A e B do plano , mas a linha t representa, esta sim, a reta determinada por estes pontos. Axioma I.7. Se dois planos distintos possuem um ponto em comum ent˜ao sua interse¸c˜ao ´e uma reta passando por este ponto. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 14 28/01/2013 11:09:25
  15. 15. aula 1: O Espaço 15 t P Figura 1.6: – Axioma I.7 O axioma I.7 nos diz como planos se “interpenetram” no espa¸co. Dados dois planos no espa¸co trˆes coisas podem acontecer: (i) eles s˜ao idˆenticos, ou (ii) eles s˜ao distintos e possuem pontos em comum, ou (iii) eles n˜ao tˆem pontos em comum. Na terceira possibilidade s˜ao chamados de planos paralelos, assunto que veremos com mais detalhes adiante. Na segunda possibilidade nossa intui¸c˜ao nos diz que a interse¸c˜ao deles n˜ao pode ser muito grande. Se vocˆe examinar as p´aginas deste livro, imaginando que s˜ao planos, pode ver que se interceptam numa reta, que ´e a lombada do livro – da´ı este axioma. Na figura 1.6 representamos dois planos e que tˆem um ponto P em comum e, portanto, possuem a reta t em comum. Problema 1.2. Se os planos e da figura 1.6 possu´ıssem um outro ponto em comum, fora de t, o que vocˆe pode dizer sobre eles? Em quais dos itens listados acima se encaixariam? (Sugest˜ao: veja o axioma I.4). Axioma I.8. Para todo plano do espa¸co existe pelo menos um ponto P que n˜ao est´a contido em . O axioma I.8 descreve formalmente o que nossa vis˜ao do espa¸co nos diz: podemos andar nele para os lados, para cima e para baixo, sem ficarmos presos a uma existˆencia plana (figura 1.7). Figura 1.7: – Axioma I.8 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 15 28/01/2013 11:09:25
  16. 16. 1.3 Algumas consequˆencias dos axiomas do grupo I Vamos deduzir algumas propriedades dos axiomas que apresentamos. Come¸camos com a seguinte 16 Fundamentos de geometria espacial Figura 1.8 Proposi¸c˜ao 1.1. Por duas retas concorrentes passa um ´unico plano. Demonstrac¸˜ao. Sejam r e s duas retas concorrentes num ponto P. Para provar este resultado vamos seguir os seguintes passos (veja figura 1.8): (1) Tome os pontos A r e B s distintos de P (existem pelo axioma I.2); (2) tome o ´unico plano que passa por A, B e P (axioma I.4); (3) a reta r est´a contida em , pois ´e determinada pelos pontos A e P que pertencem a (axiomas I.1 e I.6). Analogamente prova-se que s . Provamos assim que o plano determinado pelos pontos A, B e P ´e o ´unico plano que cont´em simultaneamente as retas r e s. Figura 1.9 Problema 1.3. Adapte a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 1.1 para provar o seguinte fato: por uma reta r e um ponto P fora de r passa um ´unico plano (veja figura 1.9). Vejamos agora um resultado um pouco mais complicado. Teorema 1.2. Todo plano possui pelo menos trˆes pontos n˜ao colineares. Demonstrac¸˜ao. Seja um plano qualquer do espa¸co. Vamos “marcar” trˆes pontos n˜ao colineares em seguindo os passos abaixo, que vocˆe pode acompanhar nas figuras 1.10 e 1.11: (1) Existem um ponto P e um ponto Q fora de , pelos axiomas I.5 e I.8, respectiva-mente. (2) Seja r = PQ. Pelo axioma I.3 existe um terceiro ponto R r. Observe que r n˜ao est´a contida em , j´a que Q . (3) Pelos trˆes pontos n˜ao colineares P, Q e R passa um ´unico plano (axioma I.4). Observe que r , j´a que P e Q pertencem a . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 16 28/01/2013 11:09:26
  17. 17. aula 1: O Espaço 17 Figura 1.10 Figura 1.11 (4) Os planos e possuem o ponto P em comum, donde = s, onde s ´e uma reta passando por P (axioma I.7). Observe que Q s, pois s est´a contida em , e Q n˜ao pertence a . (5) Seja S um quarto ponto na hist´oria, n˜ao contido em (novamente axioma I.8). (6) O ponto S e a reta r determinam um plano (problema 1.3), distinto de e (por quˆe?). (7) Os planos e possuem em comum o ponto P, logo = t, uma reta passando por P. (8) Obtemos assim duas retas concorrentes s e t contidas em . Para terminar tomamos dois pontos A s e B t quaisquer, distintos de P, de forma que os pontos A, B e P s˜ao pontos de n˜ao colineares, como quer´ıamos. O estudante pode se perguntar para quˆe demonstrar este resultado do teorema anterior, que parece t˜ao ´obvio? Este ´e um exemplo da ingrata tarefa de se trabalhar com a formalidade de um sistema axiom´atico. N˜ao temos nenhuma afirma¸c˜ao, na lista dos axiomas I.1 a I.8, que nos garanta a existˆencia de mais de um ponto em um plano, logo precisamos provar que isto ´e verdade. O que temos ´e o contr´ario: se temos trˆes pontos n˜ao colineares ent˜ao existe um plano que os cont´em (axioma I.4). Chamamos tamb´em aten¸c˜ao para a t´ecnica utilizada na demonstra¸c˜ao do teorema 1.2: para marcar os pontos desejados fomos criando planos e encontrando interse¸c˜oes entre planos e retas. Esta t´ecnica ´e usual em geometria espacial, e a utilizaremos com frequˆencia. Portanto convidamos todos a estudarem com bastante aten¸c˜ao os passos desta demonstra¸c˜ao, como fica implicitamente sugerido nos problemas a seguir. Problema 1.4. Nas figuras 1.10 e 1.10 ilustramos os passos da demonstra¸c˜ao do teo-rema 1.2. Diga at´e qual passo a figura 1.10 corresponde. Problema 1.5. Tente adaptar a demonstra¸c˜ao do teorema 1.2 para provar o seguinte fato: dada uma reta r contida num plano , existe um ponto A que n˜ao pertence a r. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 17 28/01/2013 11:09:26
  18. 18. 1.4 Exerc´ıcios 18 Fundamentos de geometria espacial Figura 1.12: – Exerc´ıcio 1.1 1.1. Analisando visualmente a figura 1.12, onde deve-se considerar que o ponto D n˜ao est´a no mesmo plano que os pontos A, B e P, decida se os pontos nos conjuntos listados mais abaixo (i) s˜ao colineares ou (ii) n˜ao s˜ao colineares, mas s˜ao coplanares ou (iii) n˜ao s˜ao coplanares. (a) {A,B,C,D}; (b) {A,B,D}; (c) {P,D,Q}; (d) {P,B,C}; (e) {A,B,C,Q}. 1.2. Indique quantas retas podem passar por pares escolhidos dentre quatro pontos distintos A, B, C e D se (a) A, B e C s˜ao colineares; (b) cada trˆes pontos n˜ao s˜ao colineares; (c) os pontos n˜ao s˜ao coplanares. Fa¸ca um desenho de cada situa¸c˜ao poss´ıvel. 1.3. Vimos que trˆes pontos n˜ao colineares no espa¸co determinam um ´unico plano. Prove que se os trˆes pontos s˜ao colineares, ent˜ao existem infinitos planos que os contˆem. 1.4. Sejam A, B e C trˆes pontos n˜ao colineares, e seja o plano determinado por eles. Prove que os lados do triˆangulo ABC est˜ao contidos em . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 18 28/01/2013 11:09:26
  19. 19. 1.5. Sejam A, B, C e D quatro pontos do espa¸co. Decida se cada afirma¸c˜ao a seguir ´e verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta com uma demonstra¸c˜ao ou um contraexemplo, e fa¸ca um desenho para cada situa¸c˜ao. (a) Se AB e CD possuem um ponto em comum, ent˜ao s˜ao coplanares. (b) Se AB e CD n˜ao possuem pontos em comum ent˜ao n˜ao s˜ao coplanares. (c) Suponha que os pontos A, B e C n˜ao sejam colineares. Seja o plano determinado por estes pontos. Se D ent˜ao os segmentos DA, DB e DC n˜ao interceptam nenhum dos interiores dos lados do triˆangulo ABC. (d) Seja, como no item anterior, o plano determinado pelos pontos n˜ao colineares A, B e C. Se D ent˜ao pelo menos um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta o interior de algum lado de ABC. (e) Ainda nas condi¸c˜oes do item anterior. Se um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta aula 1: O Espaço 19 o interior de algum lado de ABC ent˜ao D . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 19 28/01/2013 11:09:26
  20. 20. 2 Mais propriedades do espaço Fundamentos de Geometria Espacial.indd 20 28/01/2013 11:09:27
  21. 21. AULA2: MAIS PROPRIEDADES DO ESPAC¸O OBJETIVOS Apresentar os outros axiomas da Geometria Euclidiana no espa¸co. Analisar, com cuidado, as seguintes propriedades: separa¸c˜ao do espa¸co em semiespa¸cos, congruˆencias no espa¸co, e paralelismo de retas no espa¸co. Aula 2 – Mais propriedades do espaço 21 2.1 Introdu¸c˜ao Na aula anterior apresentamos o nosso novo elemento primitivo, o espa¸co, e os axiomas que regem as inter-rela¸c˜oes entre pontos, retas, planos e o espa¸co, chamados axiomas de incidˆencia. Estes s˜ao, essencialmente, os ´unicos axiomas que precisam ser modificados em rela¸c˜ao a um sistema axiom´atico para a geometria plana. Os outros, como j´a o dissemos, permanecem v´alidos. Nesta aula estudaremos os axiomas dos outros grupos e veremos algumas consequˆencias. 2.2 Separa¸c˜ao do espa¸co: semiespa¸cos Vamos come¸car estabelecendo um axioma “curioso”, que sintetiza o que afirmamos na in-trodu ¸c˜ao acima: Axioma E.1. Todos os axiomas dos grupos II, III, IV e V, apresentados em [7], s˜ao v´alidos na geometria espacial, salvo algumas adapta¸c˜oes. Queremos dizer com este axioma que todas as afirma¸c˜oes sobre propriedades da geometria plana s˜ao v´alidas no espa¸co, com as devidas adapta¸c˜oes. Vamos ent˜ao “passar os olhos” nos axiomas apresentados em [7], chamando a aten¸c˜ao para os pontos mais complicados. Os axiomas II.1 a II.5 de [7] tratam de medida de segmentos, da ordem de pontos numa reta e de semirretas. Estas propriedades s˜ao transcritas automaticamente para o espa¸co, como se pode ver facilmente. Problema 2.1. Reveja os axiomas II.1 a II.5 de [7] e tente visualiz´a-los no espa¸co. O axioma II.6, que trata da separa¸c˜ao de um plano em semiplanos por retas, ser´a analisado com mais detalhes. Vamos reescrever seu enunciado, dentro de nosso novo contexto. Figura 2.1: – Axioma II.6 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 21 28/01/2013 11:09:28
  22. 22. Axioma II.6. Toda reta l em um plano determina exatamente dois subconjuntos l e ˜l de , denominados semiplanos de em rela¸c˜ao a l, satisfazendo as seguintes propriedades: (a) todos os pontos de est˜ao contidos em l ˜l; (b) l ˜l = l; (c) dois pontos A e B de n˜ao pertencentes a l est˜ao num mesmo semiplano de em rela¸c˜ao a l se e somente se AB l = ; (d) dois pontos A e B n˜ao pertencentes a l est˜ao em semiplanos distintos de em rela¸c˜ao a l se e somente se AB l . Problema 2.2. Compare este enunciado do axioma II.6 com o enunciado do mesmo em [7] e aponte as diferen¸cas. Aproveite a oportunidade e reescreva os enunciados dos outros axiomas apresentados em [7], colocando-os no novo contexto. Na figura 2.1 representamos dois planos e no espa¸co. Eles s˜ao cortados pelas retas l e s, respectivamente, que dividem cada um em dois semiplanos. No caso do plano , por exemplo, os pontos A e B est˜ao do mesmo lado1 em rela¸c˜ao a l, e os pontos B e C est˜ao em lados opostos. Problema 2.3. Na figura 2.1 identifique todos os pontos representados, dizendo de que lado est˜ao em cada plano e , em rela¸c˜ao `as retas l e s, respectivamente. Situa¸c˜ao an´aloga `a descrita no axioma II.6 vale no espa¸co, isto ´e, um plano determina no espa¸co dois conjuntos com propriedades exatamente equivalentes `as propriedades descritas neste axioma. No entanto, esta propriedade n˜ao precisa ser estabelecida como um axioma, mas ´e consequˆencia do axioma II.6, como enunciamos no teorema seguinte. 22 Fundamentos de geometria espacial Figura 2.2: – Separa¸c˜ao do Espa¸co Teorema 2.1 (Separa¸c˜ao do espa¸co). Todo plano do espa¸co determina exatamente dois subconjuntos n˜ao vazios E e E do espa¸co, denominados semiespa¸cos em rela¸c˜ao a , satisfazendo as seguintes propriedades: (a) todos os pontos do espa¸co est˜ao contidos em E E ; 1Lembramos que os lados de um plano em rela¸c˜ao a uma reta l s˜ao os conjuntos l e ˜ l, na nota¸c˜ao do axioma II.6, onde o s´ımbolo “” – vale a pena recordar – significa diferen¸ca de conjuntos. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 22 28/01/2013 11:09:28
  23. 23. (b) E E = ; (c) dois pontos A e B do espa¸co n˜ao pertencentes a est˜ao num mesmo semiespa¸co em Aula 2 – Mais propriedades do espaço 23 rela¸c˜ao a se e somente se AB = ; (d) dois pontos A e B n˜ao pertencentes a est˜ao em semiespa¸cos distintos (ou opostos) em rela¸c˜ao a se e somente se AB . N˜ao demonstraremos este teorema agora – sua demonstra¸c˜ao, cuja leitura ´e opcional, ser´a apresentada na ´ultima se¸c˜ao desta aula – mas ´e preciso compreender bem o seu significado. Para explic´a-lo melhor vamos estabelecer uma terminologia, an´aloga `a que vocˆes j´a viram num curso de geometria plana em rela¸c˜ao a semiplanos: Defini¸c˜ao 2.2. Se ´e um plano do espa¸co, o conjunto dos pontos de um semiespa¸co determinado por que n˜ao est˜ao contidos em ´e um lado do espa¸co em rela¸c˜ao a . Os lados do espa¸co correspondentes aos semiespa¸cos opostos s˜ao chamados de lados opostos em rela¸c˜ao a . Na figura 2.2 representamos a situa¸c˜ao descrita no teorema 2.1. Os pontos A e C est˜ao de um mesmo lado do plano , enquanto que os pontos A e B, e A e D est˜ao em lados opostos. Usando estes dados podemos concluir que CB . De fato, se CB = , ent˜ao, pelo item (c) do teorema, os pontos C e B deveriam estar do mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao a . Ora, ent˜ao C est´a no mesmo semiespa¸co que A e no mesmo semiespa¸co que B, que s˜ao semiespa¸cos distintos. Logo C pertence a ambos E e E , contrariando o item (b) do teorema, j´a que estamos supondo (implicitamente) que C . Problema 2.4. Prove, adaptando a argumenta¸c˜ao apresentada no par´agrafo precedente que, seguindo os dados representados na figura 2.2, BD = . 2.3 ˆAngulos e congruˆencia no espa¸co Definimos em [7] um ˆangulo simplesmente como sendo um par de semirretas com origem comum. Esta defini¸c˜ao n˜ao apresenta nenhum problema quando passamos a vˆe-la do ponto de vista do espa¸co. No entanto devemos nos lembrar que ˆangulos s˜ao essencialmente objetos planos. Por exemplo, temos a seguinte propriedade: Figura 2.3: – Proposi¸c˜ao 2.3 Proposi¸c˜ao 2.3. Todo ˆangulo no espa¸co determina um ´unico plano. Problema 2.5. Demonstre a proposi¸c˜ao 2.3 (a figura 2.3 d´a uma dica de como resolver este problema). Precisamos tomar cuidado, no entanto, com o conceito de regi˜ao angular. Para deixar isto claro, transcrevemos a defini¸c˜ao de regi˜ao angular apresentada em [7] com as devidas modifica¸c˜oes. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 23 28/01/2013 11:09:28
  24. 24. Defini¸c˜ao 2.4. A regi˜ao angular determinada por um ˆangulo (n˜ao trivial) A = BAC ´e o subconjunto 24 Fundamentos de geometria espacial RA = l r, onde ´e o plano determinado por A, B e C, l = AB, r = AC, l ´e o semiplano de relativo a l que cont´em o ponto C, e r ´e o semiplano de relativo a r que cont´em o ponto B. Os pontos pertencentes a RA que n˜ao pertencem aos lados de A s˜ao denominados pon-tos interiores a A, e os pontos que n˜ao pertencem a RA e nem aos lados de A s ˜ao denominados pontos exteriores a A. Se D ´e um ponto interior a A dizemos que AD divide ou separa o ˆangulo A. Problema 2.6. Compare a defini¸c˜ao acima com a defini¸c˜ao de regi˜ao angular apresentada em [7], apontando as diferen¸cas, e fa¸ca um desenho. Observa¸c˜ao 2.1. As defini¸c˜oes de ˆangulo adjacente, ˆangulo raso e ˆangulo suplementar tamb´em s˜ao todas relativas ao plano determinado pelo ˆangulo em quest˜ao, ou seja, s˜ao objetos planos. Se prestarmos aten¸c˜ao na defini¸c˜ao 2.4 e na observa¸c˜ao acima vemos que os axiomas III.1 e III.2 do grupo III – axiomas sobre medidas de ˆangulos no plano – vistos em [7], s˜ao v´alidos no espa¸co sem necessidade de adaptar seus enunciados. No entanto, o axioma III.3 precisa de ser reescrito, como se segue. Axioma III.3. Para toda semirreta AB, todo n´umero real a tal que 0 a 180, e cada plano contendo AB existem exatamente duas semirretas AD l e AD ˜l tais que m(BAD) = m(BAD) = a, onde l = AB e l, ˜l s˜ao semiplanos de em rela¸c˜ao a l. Figura 2.4: – Axioma III.3 Na figura 2.4 representamos a situa¸c˜ao descrita no axioma III.3. No plano temos os pontos D e D em lados opostos da reta l = AB como no axioma III.3, isto ´e, tais que m(BAD) = m(BAD) = a, para um dado n´umero a com 0 a 180. Analogamente fica garantida a existˆencia de dois pontos P e P num outro plano passando por l, com m(BAP) = m(BAP) = a. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 24 28/01/2013 11:09:28
  25. 25. Figura 2.5: – Caso LAL de congruˆencia de triˆangulos Fechamos esta se¸c˜ao com algumas observa¸c˜oes sobre congruˆencias. No sistema axiom´atico de geometria plana apresentado em [7] baseamos a ideia de congruˆencia na ideia de medida. Estes conceitos, e os axiomas relativos, permanecem inalterados no nosso sistema para a geometria espacial. Em particular, o axioma IV em [7], que postula o caso “lado-ˆangulo-lado” (LAL) de congruˆencia de triˆangulos ´e v´alido tamb´em ao se comparar triˆangulos em planos distintos. Por exemplo, na figura 2.5 representamos os triˆangulos ABC e PQR nos planos e , respectivamente, tais que Aula 2 – Mais propriedades do espaço 25 AB PQ ABC PQR BC QR (LAL) Nestas condi¸c˜oes, pelo caso LAL de congruˆencia de triˆangulos tem-se que ABC PQR. Vamos agora resolver um problema de congruˆencia no espa¸co no exemplo a seguir. Exemplo 2.1. Na figura 2.6 sabe-se que A, B, C e D s˜ao pontos n˜ao coplanares, e que B, C e D est˜ao no plano . Se AB BC, AB BD e BC BD, demonstre que AC AD. A B C D Figura 2.6: – Exemplo 2.1 e problema 2.7 Soluc¸˜ao: Os triˆangulos ABD e ABC s˜ao congruentes pelo caso LAL, pois AB AB Lado comum aos triˆangulos; ABD ABC ˆ Angulos retos, por hip´otese; BD BC Lados congruentes, por hip´otese. (LAL) Logo os lados AD e AC s˜ao congruentes. Resolva vocˆe o problema seguinte. Problema 2.7. Novamente usando a figura 2.6 como referˆencia, suponha que DAB CAB, AB BD e AB BC. Nestas condi¸c˜oes, prove que AD AC. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 25 28/01/2013 11:09:28
  26. 26. 2.4 O axioma das paralelas no espa¸co Vimos em [7] que duas retas paralelas no plano s˜ao retas que n˜ao tˆem pontos em comum. No espa¸co, por´em, temos outra situa¸c˜ao em que retas n˜ao tˆem pontos em comum, as retas reversas: 26 Fundamentos de geometria espacial Figura 2.7: – Retas reversas Defini¸c˜ao 2.5. Duas retas no espa¸co s˜ao reversas se n˜ao est˜ao contidas em um mesmo plano. Na figura 2.7 representamos duas retas reversas. Para indicar em ilustra¸c˜oes que as retas s˜ao reversas, sem a necessidade de tra¸car um plano, faremos como na figura 2.7b, onde queremos expressar a ideia de que a reta r passa “por tr´as” da reta l em rela¸c˜ao `a nossa vis˜ao. Problema 2.8. Como vocˆe demonstraria a existˆencia de retas reversas? Isto ´e, tome uma reta r e um ponto P r e prove que por P passam retas reversas a r. Problema 2.9. Sejam r e s duas retas reversas. Tome A r e B s e sejam o plano determinado por r e B, e o plano determinado por s e A. Desenhe a situa¸c˜ao descrita e diga quem ´e . A defini¸c˜ao de retas paralelas fica assim: Figura 2.8: – Retas paralelas Defini¸c˜ao 2.6. Duas retas r e l no espa¸co s˜ao paralelas se s˜ao coplanares e n˜ao possuem pontos em comum. Denotaremos esta rela¸c˜ao, como ´e tradicional, por r l. O axioma das paralelas continua valendo. Axioma V. Dada uma reta no espa¸co, por cada ponto que n˜ao lhe pertencente passa, no m´aximo, uma reta paralela a ela. Como todos devem se lembrar, na geometria plana demonstramos a existˆencia de retas paralelas. Este fato (e sua demonstra¸c˜ao) s˜ao v´alidos no espa¸co. ´E preciso apenas ter um pequeno cuidado a mais. Teorema 2.7. Sejam dados uma reta r e um ponto P fora de r. Ent˜ao existe uma ´unica reta s passando por P e paralela a r. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 26 28/01/2013 11:09:28
  27. 27. Demonstrac¸˜ao. Reduzimos o problema no espa¸co a um problema no plano: seja o plano determinado por r e P, e tome s a reta paralela a r passando por P, cuja existˆencia ´e garantida pelo que foi visto em geometria plana. A unicidade segue do axioma V. Problema 2.10. Reveja a demonstra¸c˜ao da existˆencia de retas paralelas em um texto de fundamentos geometria plana, como [7], por exemplo. Duas retas paralelas determinam um ´unico plano. Vamos registrar este fato como uma proposi¸c˜ao. Proposi¸c˜ao 2.8. Por duas retas paralelas r e l passa um ´unico plano. Demonstrac¸˜ao. Observe que, por defini¸c˜ao, as retas paralelas r e l est˜ao contidas em um plano . Suponha que exista um outro plano contendo r e l. Se P ´e um ponto de l, ent˜ao ´e determinado por r e P. Mas tamb´em ´e determinado por r e P donde, pelo problema 1.3, = . V´arias propriedades que as retas paralelas obedecem no plano se transferem para o espa¸co. Uma das mais importantes ´e a transitividade que registramos no teorema a seguir, cuja demonstra¸c˜ao ser´a apresentada na se¸c˜ao 2.5. Aula 2 – Mais propriedades do espaço 27 t r s Figura 2.9: – Teorema 2.9 Teorema 2.9. Se r, s e t s˜ao retas tais que r s e s t ent˜ao r t. Apresentamos a seguir um exemplo de aplica¸c˜ao deste teorema. Exemplo 2.2. Em geometria plana prova-se o seguinte resultado: dado um quadril´atero qualquer ABCD num plano, os pontos m´edios de seus lados s˜ao v´ertices de um paralelo-gramo. O mesmo resultado vale se os v´ertices do quadril´atero n˜ao s˜ao coplanares (veja a figura 2.10) De fato, tome 4 pontos A, B, C e D n˜ao coplanares, e seja o plano determinado por A, B e D. Sejam M, N, P e Q os pontos m´edios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Ent˜ao temos, no triˆangulo ABD, que MP BD e MP = BD 2 . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 27 28/01/2013 11:09:29
  28. 28. 28 Fundamentos de geometria espacial A B D C O N P M Figura 2.10: – Exemplo 2.2 Analogamente, no triˆangulo BCD temos ON BD e ON = BD 2 . Assim temos que (i) MP BD e ON BD MP ON, pelo teorema anterior. Em particular, MP e ON s˜ao coplanares, ou seja, os quatro pontos m´edios pertencem a um mesmo plano. (ii) MP ON. Provamos ent˜ao que MNOP ´e um quadril´atero contido num plano com dois lados paralelos e congruentes, donde ´e um paralelogramo. Problema 2.11. Reveja as demonstra¸c˜oes dos fatos sobre paralelogramos utilizados no exemplo acima em [7] ou outra fonte qualquer. 2.5 Opcional: demonstra¸c˜ao dos teoremas 2.1 e 2.9 Apresentamos nesta se¸c˜ao as demonstra¸c˜oes dos teoremas 2.1 e 2.9, cuja leitura ´e opcional. Come¸camos pelo teorema 2.1. Demonstrac¸˜ao. (Teorema 2.1) Sejam um plano e P um ponto (existe o ponto P pelo axioma I.8). Vamos “construir” os conjuntos E e E e provar que satisfazem as propriedades enunciadas, seguindo os passos abaixo. (1) Definamos E e E da seguinte forma: E = pontos X do espa¸co tais que XP = {P} E = pontos X do espa¸co tais que XP Observe que E , pois P E. Para verificar que E tome Q (pelo axioma I.5) e na reta PQ tome R tal que P −Q − R2. Assim R E (veja figura 2.11). 2Lembramos que em [7] usamos a nota¸c˜ao P − Q − R para indicar que o ponto Q est´a entre P e R, isto ´e, que o ponto Q pertence ao interior do segmento PR. Em particular, a existˆencia de R ´e garantida pelo axioma II.3 de [7]. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 28 28/01/2013 11:09:29
  29. 29. Aula 2 – Mais propriedades do espaço 29 Figura 2.11 (2) O item (a) do teorema ´e consequˆencia direta da defini¸c˜ao dos conjuntos E e E : dado um ponto X qualquer do espa¸co, podem acontecer duas coisas: (a) ou XP = , donde X E; (b) ou XP , donde X E (observe que este ´ultimo caso engloba a possibilidade X .). Logo todos os pontos do espa¸co est˜ao em E E . (3) Para provar (b) tomemos X . Ent˜ao X E por defini¸c˜ao, e X E pois, neste segundo caso, XP = {X} . Assim E E . Para verificar a continˆencia rec´ıproca tomemos agora X E E . Como X E e P E ent˜ao X P. Em particular XP = {D}, D um ponto de . Por outro lado, como X E ent˜ao (i) ou XP = , ou (ii) X = P, ou (iii) X . Ora, j´a vimos que os itens (i) e (ii) acima n˜ao podem acontecer, donde s´o pode ser X , ou seja, E E , como quer´ıamos provar. (4) Para a demonstra¸c˜ao dos itens (c) e (d) vamos chamar a aten¸c˜ao para o seguinte fato: se P, A e B s˜ao trˆes pontos do espa¸co, sempre existe um plano que os cont´em (veja o exerc´ıcio 1.3), e este plano pode ou n˜ao interceptar o plano . Posto isto, vamos analisar (c). Primeiro suponhamos que A e B, pontos fora de , perten¸cam a um mesmo semiespa¸co, por exemplo, A, B E. Neste caso, por defini¸c˜ao, AP e BP n˜ao interceptam . Seja um plano contendo A, B e P. Se e n˜ao se encontram, ent˜ao ´e claro que AB = (veja figura 2.12d). No caso em que e se encontram, tomemos = l. Aplicando o axioma II.6 ao plano e `a reta l vemos ABl = , donde AB = (veja figura 2.12a). Se A, B E a demonstra¸c˜ao ´e an´aloga, e deixamos os detalhes por conta do leitor (veja figura 2.12c). Para verificar a rec´ıproca suponhamos que AB n˜ao intercepte e provemos que A e B est˜ao num mesmo semiespa¸co. O argumento segue a mesma ideia do par´agrafo precedente: tome um plano contendo A, B e P. Se n˜ao encontra , ent˜ao AP e BP tamb´em n˜ao cortam , donde A e B pertencem a E, por defini¸c˜ao. Se e se interceptam segundo uma reta l, ent˜ao AB n˜ao encontra l donde, pelo axioma II.6 aplicado a e l, conclu´ımos que A e B se encontram num mesmo semiplano de em rela¸c˜ao a l, ou seja, A e B se encontram num mesmo semiespa¸co em rela¸c˜ao a . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 29 28/01/2013 11:09:29
  30. 30. 30 Fundamentos de geometria espacial P A l B (a) P A l B (b) P (d) P l A B (c) A B Figura 2.12 A an´alise de (d) ´e inteiramente an´aloga `a realizada para (c) bastando trocar a express˜ao “n˜ao interceptam” por “interceptam”, e vice-versa, nos locais adequados. Deixamos este exerc´ıcio ao leitor. Agora passamos `a demonstra¸c˜ao do teorema 2.9. t Q l P r s Figura 2.13: – Demonstra¸c˜ao do teorema 2.9 Demonstrac¸˜ao. (Teorema 2.9) O caso em que as retas r, s e t s˜ao coplanares j´a foi provado em [7]. Vamos estudar ent˜ao o caso em que as trˆes retas n˜ao s˜ao coplanares. Acompanhe os passos abaixo na figura 2.13. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 30 28/01/2013 11:09:29
  31. 31. (1) Suponha, como no enunciado, que r s e s t. Sejam o plano determinado por s e t, e o plano determinado por s e r. Como as retas n˜ao s˜ao coplanares, por hip´otese, os planos e s˜ao distintos. Al´em disso Aula 2 – Mais propriedades do espaço 31 = s. (2) Tome um ponto P r qualquer e seja o plano determinado por t e P. Como e s˜ao distintos e possuem o ponto P em comum, ent˜ao sua interse¸c˜ao ´e uma reta l. (3) As retas l e s est˜ao contidas no plano . Vamos provar que l s. Para isto suponhamos, por absurdo, que l e s se encontram num ponto Q. Ora, nesta situa¸c˜ao Q e Q , donde e se interceptam segundo uma reta. Mas a reta s passa por Q e est´a contida em ambos os planos, logo = s. Por´em t tamb´em est´a contida em ambos os planos. Assim temos s = t, o que ´e absurdo, pois estamos supondo que as retas s˜ao distintas. Ent˜ao o ponto Q n˜ao pode existir, ou seja, l s. (4) Do item anterior conclu´ımos que as retas l = e r s˜ao paralelas a s e passam por P. Logo, pelo axioma V, l = r. Em particular provamos que r . (5) Provamos que as retas r e t est˜ao ambas contidas em (veja figura 2.9). Se r e t tivessem um ponto X em comum, ent˜ao este ponto pertenceria a e a (por quˆe?), donde X pertenceria a s = , ou seja, r e s teriam um ponto em comum. Mas isto ´e imposs´ıvel, pois r s por hip´otese. Logo r t, com quer´ıamos provar. Problema 2.12. Complete os detalhes das demonstra¸c˜oes acima. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 31 28/01/2013 11:09:29
  32. 32. 2.6 Exerc´ıcios 32 Fundamentos de geometria espacial Figura 2.14: – Exerc´ıcio 2.1 2.1. Definimos uma regi˜ao poliedral do espa¸co como sendo uma interse¸c˜ao de semiespa¸cos. Por exemplo, dois planos concorrentes determinam quatro regi˜oes poliedrais, como ilustrado na figura 2.14. Determine em quantas regi˜oes poliedrais os planos , e representados na figura 2.15 dividem o espa¸co. Figura 2.15: – Exerc´ıcio 2.1 2.2. Examine a figura 1.12 da aula anterior e liste todos os ˆangulos que nela aparecem. Figura 2.16: – Exerc´ıcios 2.3 2.3. a Na figura 2.16 suponha que os triˆangulos ABC e DBC s˜ao is´osceles, ambos com base BC. Prove que os triˆangulos DAB e DAC s˜ao congruentes entre si. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 32 28/01/2013 11:09:29
  33. 33. Aula 2 – Mais propriedades do espaço 33 2.4. Ainda na figura 2.16a suponha que ADB BDC CDA e que todos os segmentos com uma extremidade no ponto D sejam congruentes entre si. Prove que ABC ´e equil´atero. 2.5. Na figura 2.16b os triˆangulos ABC e PBC s˜ao is´osceles, ambos com base BC. Se AD ´e bissetriz de BAC, prove que PD ´e bissetriz de BPC. 2.6. Neste exerc´ıcio usaremos novamente a figura 2.16b como referˆencia. Suponha que PBC ABC e que D ´e um ponto qualquer entre B e C. Nestas condi¸c˜oes prove que DAP DPA. 2.7. Sejam r e s retas concorrentes e o plano por elas determinado. Seja s s uma reta concorrente com r e paralela a s. Prove que s . Conclua que todas as retas paralelas a s e concorrentes com r est˜ao contidas em . 2.8. Sejam r e s retas reversas. (a) Prove que existe uma reta s concorrente com r e paralela a s. (b) Prove que todas as retas paralelas a s e concorrentes com r est˜ao contidas num mesmo plano que, em particular, cont´em r. (Sugest˜ao: observe que se s ´e uma reta concorrente com r e paralela a s ent˜ao todas as retas concorrentes com r e paralelas a s s˜ao paralelas a s (justifique esta afirma¸c˜ao) e aplique o exerc´ıcio anterior.) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 33 28/01/2013 11:09:30
  34. 34. 3 Paralelismo no espaço Fundamentos de Geometria Espacial.indd 34 28/01/2013 11:09:31
  35. 35. AUla 3: Paralelismo no esapço 35 AULA3: PARALELISMO NO ESPAC¸O OBJETIVOS Estudar o paralelismo entre retas e planos, e entre planos. Estudar as posi¸c˜oes relativas entre retas e planos no espa¸co. 3.1 Introdu¸c˜ao Na aula anterior fomos apresentados, na se¸c˜ao 2.4, `as retas paralelas no espa¸co, e vimos o axioma V, sobre a unicidade das paralelas, e algumas de suas consequˆencias. Nesta aula aprofundaremos o estudo de paralelismo entre retas e planos no espa¸co, e apresentaremos nossos primeiros objetos “espaciais”. 3.2 Paralelismo entre retas e planos Na aula anterior estudamos propriedades de paralelismo entre retas no espa¸co. Agora pas-samos ao pr´oximo est´agio: paralelismo entre retas e planos. A defini¸c˜ao ´e natural: Defini¸c˜ao 3.1. Uma reta r e um plano no espa¸co s˜ao paralelos, rela¸c˜ao que ser´a denotada por r , se n˜ao possuem pontos em comum. ´E bom lembrarmos aqui uma terminologia que j´a ´e conhecida de vocˆes no contexto da geometria plana: dizemos que duas retas s˜ao concorrentes ou secantes se se cortam em um ponto. Esta mesma terminologia se transporta naturalmente para o espa¸co. Por exemplo, dizemos que uma reta e um plano s˜ao secantes se possuem um ponto em comum, e assim por diante. Um primeiro fato sobre retas e planos no espa¸co ´e o seguinte: Figura 3.1 Proposi¸c˜ao 3.2. Sejam r e uma reta e um plano secantes. Ent˜ao toda reta paralela a r ´e secante a . Problema 3.1. Demonstre a proposi¸c˜ao 3.2. (Sugest˜ao: Em geometria plana provamos que se r s e r ´e concorrente com uma reta t ent˜ao s tamb´em ´e concorrente com esta mesma reta. Para demonstrar a proposi¸c˜ao tome uma reta s paralela a r e reduza o problema ao caso plano, utilizando o plano determinado por r e s (veja a figura 3.1).) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 35 28/01/2013 11:09:31
  36. 36. Precisamos de crit´erios para decidir se uma reta e um plano s˜ao paralelos entre si. Um deles, o mais fundamental, ´e dado pelo teorema a seguir. 36 Fundamentos de geometria espacial Figura 3.2: – Teorema 3.3 Teorema 3.3. Um plano e uma reta r n˜ao contida nele s˜ao paralelos entre si se, e somente se, existir uma reta s tal que s r. Demonstrac¸˜ao. Para a primeira parte suponha que r . Ent˜ao, por defini¸c˜ao, r = . Tome P um ponto qualquer e seja o plano determinado por r e P. Seja s a reta segundo a qual e se interceptam (veja figura 3.2). Ent˜ao ´e claro que r s (explique o por quˆe!). Reciprocamente, suponha que exista s tal que r s. Seja o plano determinado por r e s. Nesta situa¸c˜ao todos os pontos comuns entre e s˜ao os pontos de s. Em particular, se houvesse um ponto em comum entre r e , este ponto deveria pertencer a s, uma contradi¸c˜ao, j´a que supomos r s. Logo r . Problema 3.2. Explicite na demonstra¸c˜ao acima os axiomas e resultados anteriores que (implicitamente) foram utilizados. Corol´ario 3.4. Dados um plano e um ponto P fora de , existe uma reta r passando por P e paralela a . Demonstrac¸˜ao. A demonstra¸c˜ao deste corol´ario ´e bem simples. Tome uma reta qualquer s e seja o plano determinado por P e s. Em tome r a reta paralela a s passando por P. Ent˜ao s . Figura 3.3 Vejamos um exemplo de aplica¸c˜ao do teorema 3.3. Exemplo 3.1. Vamos mostrar que se uma reta r ´e paralela a dois planos secantes, ent˜ao ´e paralela `a interse¸c˜ao destes dois planos. Sejam e planos secantes e paralelos a r. Seja l = . Ora, como r , existe uma reta s tal que r s. Analogamente, como r , existe uma reta t com r t. Como consequˆencia temos que t s. Seja o plano determinado por t e s. Vamos provar que l (veja figura 3.3). De fato, suponha que l encontre em um ponto P. Ent˜ao os planos , e se encontram em P. Mas = s e = t, donde P st, o que ´e um absurdo. Logo l , donde l t e l s e, portanto, l r. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 36 28/01/2013 11:09:32
  37. 37. Problema 3.3. Mostre que se , e s˜ao trˆes planos que se encontram em um ponto, ent˜ao n˜ao pode existir uma reta paralela aos trˆes simultaneamente. (Sugest˜ao: tome r paralela a e , por exemplo. Pelo exemplo anterior r ´e paralela a l = . Verifique que e l s ˜ao secantes e aplique a proposi¸c˜ao 3.2). AUla 3: Paralelismo no esapço 37 3.3 Paralelismo entre planos A pr´oxima etapa ´e estudar o paralelismo entre planos. A defini¸c˜ao natural de planos paralelos ´e Defini¸c˜ao 3.5. Dois planos e s˜ao paralelos se n˜ao possuem pontos em comum. Esta rela¸c˜ao ser´a denotada por . Apresentamos um crit´erio para testar paralelismo de planos an´alogo ao teorema 3.3. Teorema 3.6. Dois planos e s˜ao paralelos entre si se e somente se existir em um par de retas concorrentes paralelas a . (Ou, reciprocamente, se e somente se existir em um par de retas concorrentes paralelas a ). Demonstrac¸˜ao. A primeira parte ´e simples: se ent˜ao nenhuma reta de intercepta . Em particular, quaisquer retas concorrentes de s˜ao paralelas a . Figura 3.4 A rec´ıproca ´e mais interessante. Sejam r e s duas retas de concorrentes em um ponto P, e suponha que r e s sejam paralelas a . Vamos provar que . Para isto suponhamos, por absurdo, o contr´ario, isto ´e, que e se interceptam, e seja l a reta de interse¸c˜ao dos dois planos. Ora, como l , e r , s , ent˜ao r e s s˜ao retas passando por um ponto P e paralelas a l. Mas isto contraria o axioma V, donde chegamos a um absurdo. Logo (veja figura 3.4). Este teorema nos d´a uma forma de construir planos paralelos. Teorema 3.7. Por um ponto P fora de um plano passa um e somente um plano paralelo a . Demonstrac¸˜ao. Para provar a existˆencia de fa¸camos a seguinte constru¸c˜ao: (1) Tome em duas retas concorrentes r e s. (2) Tome as retas r e s passando por P e paralelas a r e s, respectivamente. (3) Seja o plano determinado por r e s. Ent˜ao ´e paralelo a , pelo teorema anterior. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 37 28/01/2013 11:09:32
  38. 38. Para provar a unicidade suponhamos, por absurdo, que existam dois planos distintos e passando por P e paralelos a (veja a figura 3.5). Tome t uma reta qualquer e seja o plano determinado por t e P. Ent˜ao corta segundo uma reta r e segundo uma reta s. 38 Fundamentos de geometria espacial Figura 3.5 Assim r e s s˜ao retas distintas e paralelas a . Em particular, r, s e t s˜ao retas de paralelas entre si. Mas r e s passam pelo mesmo ponto P, o que contradiz o axioma V. Logo n˜ao h´a dois planos distintos passando por P e paralelos a . Problema 3.4. Justifique os passos (1) a (3) da demonstra¸c˜ao do teorema anterior. 3.4 Algumas propriedades de paralelismo no espa¸co Listaremos nesta se¸c˜ao algumas propriedades de paralelismo entre retas e planos no espa¸co an´alogas `as propriedades j´a conhecidas de retas paralelas no plano. Figura 3.6: – Teorema 3.8 Teorema 3.8. Se uma reta corta um plano, corta tamb´em qualquer plano paralelo a este. Demonstrac¸˜ao. Seja r uma reta secante a um plano . Seja A o ponto em que r corta . Seja um plano paralelo a . Seja um plano qualquer passando por r. Em particular cont´em o ponto A e corta segundo uma reta t. Pelo teorema 3.7 sabemos que n˜ao pode ser paralelo a (por quˆe?), donde e se cortam segundo uma reta l. Assim l t e r ´e secante a t, donde r ´e secante a l, por resultado j´a conhecido de geometria plana. Ent˜ao provamos que r passa por um ponto B . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 38 28/01/2013 11:09:32
  39. 39. Problema 3.5. Complete a figura 3.6 com os elementos constru´ıdos na demonstra¸c˜ao do teorema 3.8. O resultado do teorema 3.8 continua valendo se trocamos a palavra “plano” por “reta” e vice-versa. AUla 3: Paralelismo no esapço 39 Figura 3.7: – Teorema 3.9 Teorema 3.9. Se um plano corta uma reta, corta tamb´em qualquer reta paralela a ela. Problema 3.6. Demonstre o teorema 3.9. (Sugest˜ao: Suponha que o plano corta a reta r em um ponto A; tome s uma reta paralela a r e seja o plano determinado por r e s. Reduza o problema ao caso an´alogo entre retas paralelas num plano.) Finalmente temos resultado an´alogo a estes para planos. Teorema 3.10. Se um plano ´e secante a um plano , ent˜ao ´e secante a todo plano paralelo a . Figura 3.8: – Teorema 3.10 Demonstrac¸˜ao. Sejam e planos secantes. Seja um plano paralelo a . Se fosse paralelo a ter´ıamos uma contradi¸c˜ao com a parte da unicidade do teorema 3.7. Logo n˜ao pode ser paralelo a , e portanto e s˜ao secantes (veja figura 3.8). Problema 3.7. Prove que as retas r e s representadas na figura 3.8 s˜ao paralelas entre si, onde os planos , e s˜ao como descritos na demonstra¸c˜ao do teorema acima. Uma consequˆencia deste teorema ´e a transitividade de paralelismo para planos. Corol´ario 3.11. Dados trˆes planos , e distintos tais que e , ent˜ao . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 39 28/01/2013 11:09:32
  40. 40. Demonstrac¸˜ao. De fato, se n˜ao fosse paralelo a , ou seja, se fosse secante a ent˜ao, pelo teorema anterior, seria secante a ,uma contradi¸c˜ao. 3.5 Problemas resolvidos Apresentamos nesta se¸c˜ao alguns problemas resolvidos utilizando os resultados desta aula, para vocˆes se acostumarem com as t´ecnicas de trabalho em geometria espacial. 40 Fundamentos de geometria espacial Figura 3.9: Problemas 3.8 e 3.9 Problema 3.8. Sejam r e s duas retas reversas. Construa um plano contendo r e paralelo a s. Mostre que este ´e o ´unico plano poss´ıvel. Soluc¸˜ao. Por um ponto qualquer X r tome a reta s paralela a s. Ent˜ao a solu¸c˜ao ´e o plano determinado por r e s (veja figura 3.9), j´a que: (i) r , por constru¸c˜ao; (ii) s , pois s s, e s , por constru¸c˜ao. Para verificar que ´e o ´unico plano com as propriedades desejadas, tome um outro plano passando por r. Se s e fossem paralelos, existiria uma reta s (pelo teorema 3.3) passando por X paralela a s, o que contradiz o axioma V. Problema 3.9. Dadas duas retas reversas r e s construa um par de planos paralelos e tais que r e s . Mostre que esta ´e a ´unica solu¸c˜ao poss´ıvel. Soluc¸˜ao. Primeiro sigamos os seguintes passos: (1) Usando o problema 3.8 construa o plano contendo r e paralelo a s. (2) Tome um ponto P qualquer de s. Por P passa um ´unico plano paralelo a . (3) Provemos que s : seja o plano determinado por r e P. Ent˜ao corta segundo uma reta l que passa por P. Como ent˜ao l r. Assim pelo axioma V temos que l = s. Com os passos acima constru´ımos dois planos e com as propriedades desejadas. A unicidade decorre do problema anterior. O problema seguinte ´e mais complicado. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 40 28/01/2013 11:09:32
  41. 41. AUla 3: Paralelismo no esapço 41 Figura 3.10 Problema 3.10. Sejam dadas trˆes retas r, s e t reversas duas a duas. Construa, se poss´ıvel, uma reta paralela a t e secante a r e s simultaneamente. Prove que a solu¸c˜ao, se existe, ´e ´unica. Soluc¸˜ao. Este problema nem sempre tem solu¸c˜ao, pois depende da posi¸c˜ao relativa das retas. Vejamos o que pode acontecer. Sejam e planos paralelos contendo r e s, respectivamente (pelo problema 3.9). Temos duas possibilidades: (i) t ´e paralela a e, consequentemente, tamb´em ´e paralela a . (ii) t corta e, consequentemente, tamb´em corta . Se acontece (i) o problema n˜ao tem solu¸c˜ao. De fato, se l ´e uma reta concorrente com r, por exemplo, e paralela a t, ent˜ao l ´e paralela a , j´a que t ´e paralela a . Logo l n˜ao pode ser concorrente com s (veja figura 3.10). Figura 3.11 Se acontece (ii) o problema tem solu¸c˜ao. Para constru´ı-la sigamos os passos (acompanhe na figura 3.11): (1) Tome o plano paralelo a t contendo r (problema 3.8). O plano ´e secante a e (por quˆe?). Temos que r = . Observe ainda que se b = ent˜ao r b (por quˆe?). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 41 28/01/2013 11:09:32
  42. 42. (2) A reta s corta em um ponto A pois, caso contr´ario seria paralela a b e, portanto, paralela a r, uma contradi¸c˜ao. Em particular A b. (3) Seja t a reta que passa por A e ´e paralela a t. Como t ent˜ao t est´a contida em (por quˆe?). Como t ´e secante a b, por constru¸c˜ao, e b r, ent˜ao t ´e secante a r. Assim t ´e uma solu¸c˜ao do problema. Para mostrar que t ´e solu¸c˜ao ´unica, tome t uma outra solu¸c˜ao. Ent˜ao t t e t ´e concorrente com r. Logo t (por quˆe?). Mas t tamb´em deve ser concorrente com s; no entanto s encontra no ponto A, donde A t. Assim t = t. 42 Fundamentos de geometria espacial Fundamentos de Geometria Espacial.indd 42 28/01/2013 11:09:33
  43. 43. 3.6 Exerc´ıcios 3.1. Sejam , e trˆes planos distintos. Mostre que as posi¸c˜oes relativas dos trˆes planos s˜ao as seguintes: (a) Os trˆes planos s˜ao paralelos. (b) Dois deles s˜ao paralelos entre si, e o terceiro ´e secante a ambos, cortando-os segundo AUla 3: Paralelismo no esapço 43 retas paralelas entre si. (c) Os trˆes planos de cortam segundo uma reta. (d) Os trˆes planos se cortam dois a dois segundo trˆes retas paralelas entre si. (e) Os trˆes planos se encontram em um ´unico ponto. Para cada situa¸c˜ao da lista acima encontre um exemplo no “mundo real”. 3.2. Sejam r e s duas retas reversas, e P um ponto que n˜ao pertence a nenhuma das duas. Mostre que existe um ´unico plano passando por P paralelo a r e s. 3.3. Na figura 3.12 os quadril´ateros ABCD, ADEK e BCEK s˜ao paralelogramos. Demonstre que (a) EK AD BC e (b) KAB EDC. Figura 3.12: – Exerc´ıcio 3.3 Figura 3.13: – Exerc´ıcio 3.4 3.4. Na figura 3.13 AP, BP e CP s˜ao perpendiculares entre si; AC = BC; e D, E e F s ˜ao pontos m´edios dos respectivos segmentos. Mostre que DEF PAB. (Sugest˜ao: mostre que os triˆangulos APB e EDF s˜ao semelhantes.) 3.5. Sejam e dois plano paralelos entre si. Sejam r e r duas retas paralelas entre si e secantes a . Se A, A s˜ao os pontos em que r e r encontram , respectivamente, e B, B s˜ao os pontos em que r e r encontram , respectivamente, prove que AB AB. (Sugest˜ao: verifique que AABB ´e um paralelogramo.) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 43 28/01/2013 11:09:33
  44. 44. 4 Perpendicularismo entre retas e planos no espaço Fundamentos de Geometria Espacial.indd 44 28/01/2013 11:09:34
  45. 45. AULA4: PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS E PLANOS NO ESPAC¸O OBJETIVOS Introduzir o conceito de ˆangulo entre retas no espa¸co. Introduzir o conceito de perpendicu-larismo AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 45 entre retas e planos no espa¸co. 4.1 Introdu¸c˜ao Na se¸c˜ao 2.3 estudamos um pouco sobre ˆangulos “planos” no espa¸co, isto ´e, sobre ˆangulos determinados por pares de semirretas, que j´a bem conhecemos. No espa¸co temos como ampliar o conceito de ˆangulo, pois podemos comparar “inclina¸c˜oes” n˜ao entre retas e se-mirretas, como tamb´em entre retas e planos e entre planos. Nesta aula estudaremos sobre ˆangulos entre retas e planos no espa¸co. 4.2 ˆAngulos entre retas no espa¸co Nesta se¸c˜ao vamos, num certo sentido, ampliar o conceito de ˆangulos entre retas no espa¸co. No plano duas retas ou s˜ao paralelas ou se cortam. No primeiro caso podemos dizer que o ˆangulo entre elas ´e nulo, ou zero; no segundo caso as retas determinam no plano quatro ˆangulos, e dizemos que o ˆangulo entre elas ´e o menor deles1. O ˆangulo entre duas retas r e l ´e indicado por (r, l), e sua medida por m((r, l)). Figura 4.1 Na figura 4.1a as retas r e l s˜ao paralelas, e ent˜ao m((r, l)) = 0. Na figura 4.1b as retas r e l s˜ao concorrentes, demarcando no plano quatro ˆangulos, dois a dois congruentes, como indicado. Se m(a) m(b) (como sugere, visualmente, a figura) ent˜ao, (r, l) = a, ou m((r, l)) = m(a). 1Lembramos aqui que, na verdade, comparamos ˆangulos atrav´es de suas medidas, ou seja, dizemos que ABC ´e menor do que DEF, rela¸c˜ao que podemos denotar por ABC DEF, se m(ABC) m(DEF). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 45 28/01/2013 11:09:34
  46. 46. 46 Fundamentos de geometria espacial Figura 4.2 No espa¸co temos ainda o caso de retas reversas, que n˜ao s˜ao nem concorrentes nem paralelas. Como poder´ıamos medir o ˆangulo entre elas? Bem, poder´ıamos fazer o seguinte: “colocar” uma delas sobre a outra utilizando retas paralelas. Explicando melhor, se r e s s˜ao reversas, tomamos, por exemplo, s uma reta concorrente com r e paralela a s, e definimos a medida do ˆangulo entre r e s como sendo a medida do ˆangulo entre r e s. A ideia parece boa? Bem, pode ser que sim, mas temos que verificar que independe da escolha das retas paralelas auxiliares. Dito de outra forma, se, por exemplo, r for uma reta paralela a r e concorrente com s, ser´a que m((r, s)) = m((r, s))? De fato, isto acontece, como enunciamos em nosso pr´oximo teorema (veja a figura 4.2). Teorema 4.1. Sejam r, s e r, s dois pares de retas concorrentes tais que r r e s s. Ent˜ao m((r, s)) = m((r, s)). Figura 4.3 Na figura 4.3 representamos a situa¸c˜ao do teorema 4.1. Temos, na figura, que a = (r, s) e b = (r, s) onde r r e s s. O teorema nos diz ent˜ao que a b. Procure entender bem o significado deste teorema, que ´e bem intuitivo. A sua demonstra¸c˜ao, de leitura opcional, ser´a apresentada na se¸c˜ao 4.5. Problema 4.1. Demonstre o teorema 4.1 no caso em que r, s, r e s s˜ao coplana-res.( Sugest˜ao: consulte um livro de geometria plana como, por exemplo, [7].) Corol´ario 4.2. Sejam r e s retas reversas. Se r r e s s s˜ao retas tais que r ´e concorrente a s e s ´e concorrente a r, ent˜ao m((r, s)) = m((r, s)). Problema 4.2. Demonstre, usando o teorema 4.1, o corol´ario acima (veja a figura 4.2). Agora podemos definir a medida de ˆangulos entre retas reversas. Defini¸c˜ao 4.3. Sejam r e s duas retas reversas no espa¸co. Definimos a medida do ˆangulo entre r e s, denotada por m((r, s)), como sendo m((r, s)), onde s ´e uma reta paralela a s e concorrente a r. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 46 28/01/2013 11:09:35
  47. 47. Problema 4.3. Sejam r e s retas reversas, e sejam r r, s s tais que r seja concorrente a s e s concorrente a r. Prove que m((r, s)) = m((r, s)) = m((r, s)) = m((r, s)). 4.3 Perpendicularismo de retas e planos Como visto em um curso de geometria plana, dizemos que duas retas r e s s˜ao perpendicula-res se s˜ao concorrentes e os ˆangulos que formam entre si s˜ao retos, e esta rela¸c˜ao ´e denotada por r s. Esta defini¸c˜ao continua valendo no espa¸co, ´e claro. Veremos agora como fica o conceito de perpendicularidade entre retas e planos. Figura 4.4 A ideia de uma reta perpendicular a um plano ´e bem intuitiva. Basta vocˆe equilibrar um l´apis em sua base sobre a mesa que ter´a a “sensa¸c˜ao” do que ´e perpendicularismo de reta (representada pelo l´apis) e plano (representado pela mesa). Se vocˆe medir o ˆangulo entre o l´apis e o plano em qualquer dire¸c˜ao do plano ver´a que ´e aproximadamente um ˆangulo reto (veja a figura 4.4). Formalizaremos este conceito na defini¸c˜ao abaixo. Defini¸c˜ao 4.4. Uma reta r e um plano s˜ao perpendiculares entre si, rela¸c˜ao denotada por r , se forem concorrentes em um ponto P e se toda reta de que passa por P for perpendicular a r (veja figura 4.5). O ponto P ´e chamado de p´e da reta r, perpendicular ao plano. Figura 4.5 Problema 4.4. Mostre que se r ent˜ao para toda reta s tem-se que m((r, s)) = 90. Observa¸c˜ao 4.1. Existe uma nomenclatura tradicional para retas no espa¸co que fazem entre si um ˆangulo reto. Se s˜ao concorrentes, com j´a dissemos, as chamamos de perpendiculares. Se s˜ao reversas, dizemos que s˜ao ortogonais. Algumas vezes utiliza-se o termo ortogonal para indicar quaisquer pares de retas no espa¸co que fazem entre si um ˆangulo reto. Vamos agora listar algumas propriedades fundamentais de perpendicularismo entre retas e planos no espa¸co an´alogas `as propriedades entre retas perpendiculares num plano. AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 47 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 47 28/01/2013 11:09:35
  48. 48. 48 Fundamentos de geometria espacial Figura 4.6 Teorema 4.5. Sejam r e uma reta e um plano perpendiculares entre si. Ent˜ao: (a) Toda reta paralela a r tamb´em ´e perpendicular a (veja figura 4.6). (b) Todo plano paralelo a tamb´em ´e perpendicular a r (veja figura 4.7). Figura 4.7 Demonstrac¸˜ao. Vamos demonstrar o item (a), e deixaremos a demonstra¸c˜ao de (b), que ´e inteiramente an´aloga, como exerc´ıcio. Sejam, como no enunciado, r uma reta e um plano tais que r . Seja s uma reta paralela a r. O que temos que fazer ´e conferir se s satisfaz a defini¸c˜ao 4.4. Pelo teorema 3.9 vemos que como s r ent˜ao s . Chamemos de A e Q os pontos em que r e s encontram , respectivamente. Seja u uma reta qualquer passando por Q, e tomemos u a reta paralela a u passando por A. Observe ent˜ao que r, u e s, u est˜ao na situa¸c˜ao do teorema 4.1, donde m((r, u)) = m((s, u)). Ent˜ao como r u, por defini¸c˜ao, conclu´ımos que s u. Assim provamos que toda reta de concorrente com s ´e perpendicular a esta reta, ou seja, s . Problema 4.5. Demonstre a parte (b) do teorema anterior. (Sugest˜ao: v´a trocando a palavra “reta” por “plano” na argumenta¸c˜ao da demonstra¸c˜ao do teorema, mas cuidando para que fa¸ca sentido!) Temos ainda o resultado abaixo, an´alogo ao teorema 4.5: Fundamentos de Geometria Espacial.indd 48 28/01/2013 11:09:35
  49. 49. Teorema 4.6. As seguintes propriedades s˜ao v´alidas: (a) duas retas distintas perpendiculares a um mesmo plano s˜ao paralelas entre si, e (b) dois planos distintos perpendiculares a uma mesma reta s˜ao paralelos entre si. Figura 4.8 Demonstrac¸˜ao. A demonstra¸c˜ao deste teorema ´e um pouquinho mais complicada que a do anterior. Como no teorema anterior, apresentaremos em detalhes a demonstra¸c˜ao do item (a), deixando (b) como exerc´ıcio. Vamos l´a. Sejam um plano e r uma reta perpendicular a . Chamemos de A o ponto em que r encontra . Seja s outra reta perpendicular a , encontrando este plano em um ponto P. Queremos mostrar que r s. Bem, sabemos que existe uma reta s passando por P e paralela a r. Provaremos que, na verdade, s = s. Para isto suponhamos, por absurdo, que s s. Neste caso s e s s˜ao retas concorrentes em P e determinam um plano . Os planos e contˆem o ponto P em comum, logo se cortam segundo uma reta l (veja a figura 4.8). Temos ent˜ao que AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 49 (i) s l pois, por hip´otese, s ; (ii) s l, pois s r por constru¸c˜ao donde, pelo teorema 4.5, s ; (iii) s e s passam por P e pertencem ao mesmo plano . Nestas condi¸c˜oes temos que s e s s˜ao retas de passando por um ponto P e perpendiculares a uma mesma reta l, o que contradiz o fato que por um ponto num plano passa uma ´unica reta perpendicular a uma dada reta. Assim s e s n˜ao podem ser distintas. Logo s = s e s r. Problema 4.6. Demonstre a parte (b) do teorema acima. (Sugest˜ao: veja a sugest˜ao do problema anterior.) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 49 28/01/2013 11:09:35
  50. 50. 4.4 Existˆencia de retas perpendiculares Apresentamos nas se¸c˜oes anteriores v´arias propriedades envolvendo retas perpendiculares a planos, mas falta ainda uma coisa: existem retas perpendiculares a planos? Para podermos provar a sua existˆencia precisaremos de uma maneira mais eficiente de aplicar a defini¸c˜ao 4.4, pois a frase “toda reta de ...” da defini¸c˜ao nos p˜oe um problema pr´atico: como testar se uma reta ´e perpendicular a um plano? O teorema a seguir nos diz como. Teorema 4.7. Uma reta r ´e perpendicular a um plano se e somente r for perpendicular a duas retas distintas de . 50 Fundamentos de geometria espacial Figura 4.9 A situa¸c˜ao descrita no enunciado do teorema 4.7 ´e ilustrada na figura 4.9. O teorema diz que basta verificar a perpendicularidade de r em rela¸c˜ao a duas retas do plano (no caso da figura, r t e r u). Isto ´e bem intuitivo. Fa¸ca o seguinte experimento: trace uma reta em uma folha de papel e apoie um l´apis com sua base sobre esta reta, formando um ˆangulo reto com ela; mantendo este ˆangulo vocˆe pode mover o l´apis para um lado e para outro, como uma dobradi¸ca. Depois trace outra reta na folha, transversal `a primeira e coloque a base do l´apis sobre a interse¸c˜ao das duas retas; observe que o l´apis forma um ˆangulo reto com cada uma delas, e que qualquer movimento que vocˆe fizer com ele alterar´a um desses ˆangulos. Entendido o que quer dizer o resultado do teorema 4.7, vamos aplic´a-lo, como veremos a seguir, e deixaremos sua demonstra¸c˜ao como leitura opcional na se¸c˜ao 4.5. Nossa primeira aplica¸c˜ao do teorema 4.7 ´e a seguinte: construir retas perpendiculares a planos. Na verdade temos dois problemas diferentes: (a) podemos construir um plano perpendicular a uma reta dada passando por um ponto dado e, analogamente, (b) podemos construir uma reta perpendicular a um plano dado passando por um ponto dado. Veja os dois teoremas a seguir. Teorema 4.8. Dados um ponto P e uma reta r existe um ´unico plano perpendicular a r passando por P. Demonstrac¸˜ao. Temos dois casos a considerar: P r e P r. A constru¸c˜ao do plano passando por P e perpendicular a r ´e essencialmente a mesma nos dois casos, a menos de um pequeno detalhe. Resolveremos o primeiro caso, deixando o outro como exerc´ıcio. Suponhamos ent˜ao que P r. Vamos construir o plano seguindo os seguintes passos, que vocˆe pode acompanhar na figura 4.10: (1) Seja o plano que passa por P e r. Tome em a reta t passando por P e perpendicular a r. Seja A o ponto em que t e r se encontram. (2) Tome um outro plano distinto de passando por r e, em , construa a reta s perpen-dicular a r por A. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 50 28/01/2013 11:09:36
  51. 51. Figura 4.10 (3) Ent˜ao o plano determinado por t e s ´e o plano que procuramos. De fato: (i) r t e r s, por constru¸c˜ao, donde r , pelo teorema 4.7; (ii) P , j´a que P t. Figura 4.11 Para provar a unicidade, suponha que seja outro plano passando por P e perpendicular a r. Ent˜ao , o plano determinado por P e r, corta segundo uma reta t. Em particular, como r , ent˜ao t r. Assim temos duas retas, t e t, ambas passando por P e perpendiculares a r, o que ´e uma contradi¸c˜ao, j´a que a perpendicular a uma reta por um ponto dado ´e ´unica. Logo o plano ´e o ´unico plano que passa por P e ´e perpendicular a r (veja a figura 4.11). AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 51 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 51 28/01/2013 11:09:36
  52. 52. Problema 4.7. Demonstre o teorema anterior no caso em que P r. (Sugest˜ao: tome dois planos e quaisquer, distintos, passando por r, e retas t , s passando por P e perpendiculares a r. Da´ı em diante siga os passos do teorema.) Teorema 4.9. Dados um um ponto P e um plano , existe uma ´unica reta r passando por P e perpendicular a . Demonstrac¸˜ao. Como no teorema anterior, h´a dois casos a considerar: P e P . Faremos, como no teorema anterior, o primeiro caso, deixando o outro a cargo do leitor. 52 Fundamentos de geometria espacial Figura 4.12 Suponhamos ent˜ao que P . Sigamos os seguintes passos, que podem ser acompanhados na figura 4.12: (1) Tome uma reta t qualquer, e seja o plano que passa por P e ´e perpendicular a t (pelo teorema 4.8). (2) Seja l a reta em que os planos e se encontram. Observe que l t (por quˆe?). Seja ainda Q o ponto em que l e t se cortam. (3) Trace por P a reta r perpendicular a l, e seja R o ponto de encontro entre r e l. A reta r constru´ıda acima ´e a solu¸c˜ao do nosso problema. Para aplicarmos a caracteriza¸c˜ao dada no teorema 4.7 precisamos encontrar em duas retas concorrentes e perpendiculares a r. Uma n´os j´a temos: a reta l, pois r l por constru¸c˜ao. Para obter outra precisamos analisar duas possibilidades que podem acontecer: (i) Os pontos Q e R s˜ao coincidentes. Neste caso, como t e r , ent˜ao r t, donde r . (ii) Os pontos Q e R s˜ao distintos. Neste caso tome t a reta paralela a t passando por R. Ent˜ao, pelo teorema 4.5, temos que t . Em particular, r t, e novamente conclu´ımos que r . Finalmente, para mostrar que r ´e a ´unica reta perpendicular a passando por P podemos seguir argumento an´alogo ao apresentado no teorema 4.8. Suponha que exista outra reta r passando por P e perpendicular a , e seja o plano determinado por r e r. Os planos e se cortam segundo uma reta l. Ent˜ao acabamos de apresentar duas retas perpendiculares a uma mesma reta passando por um mesmo ponto, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo r n˜ao pode existir. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 52 28/01/2013 11:09:36
  53. 53. Problema 4.8. Demonstre o teorema anterior no caso em que P . (Sugest˜ao: tome duas retas l e l contidas em passando por P; tome e os planos perpendiculares a l e l, respectivamente, tamb´em passando por P. Verifique que a reta r comum a e ´e a reta procurada.) 4.5 Opcional: demonstra¸c˜ao dos teoremas 4.1 e 4.7 A seguir apresentamos as demonstra¸c˜oes dos teoremas 4.1 e 4.7. Come¸camos com o primeiro. Demonstrac¸˜ao. (Teorema 4.1) Esta ser´a nossa primeira demonstra¸c˜ao em que usaremos, no espa¸co, a congruˆencia de triˆangulos. Acompanhe na figura 4.13 os passos da argumenta¸c˜ao na listados abaixo. Figura 4.13 (1) Sejam A e P os pontos em que r encontra s e que r encontra s, respectivamente. Tome B r e R r pontos de um mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao ao plano determinado por s e s, de forma que AB PR. (2) Analogamente, tome C s e Q s pontos de um mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao ao plano determinado por r e r, de forma que AC PQ. (3) Temos agora dois triˆangulos BAC e RPQ no espa¸co, em planos diferentes. Queremos mostrar que BAC RPQ. Para isto vamos mostrar que BC RQ e aplicar o crit´erio LLL de congruˆencia de triˆangulos. AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 53 (4) Como AB PR, ent˜ao temos que BR AP (pois est˜ao no plano determinado por r e r e s˜ao determinadas por pontos equidistantes). Logo ABRP ´e um paralelogramo, e portanto AP BR. (5) Analogamente mostra-se que ACQP tamb´em ´e um paralelogramo, e que AP CQ (escreva os detalhes). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 53 28/01/2013 11:09:36
  54. 54. (6) Agora temos que AP BR e 54 Fundamentos de geometria espacial AP CQ; logo BR CQ. Al´em disso BR AP CQ. Com isto mostramos que BCQR tamb´em ´e um paralelogramo! Assim BC RQ, como quer´ıamos verificar. (7) Dos fatos acima conclu´ımos que BAC RPQ pelo crit´erio LLL. Em particular, BAC RPQ. Logo m((r, s)) m((r, s)). Agora apresentamos a demonstra¸c˜ao do teorema 4.7. Demonstrac¸˜ao. (Teorema 4.7) Se a reta r for perpendicular ao plano ent˜ao, por de-fini ¸c˜ao, ´e perpendicular a todas as retas de que a cortam, em particular a duas retas distintas quaisquer dentre estas. A rec´ıproca ´e um pouco mais trabalhosa. Tomemos r uma reta perpendicular a duas retas s e s de . Seja P o ponto em que r encontra . Se t ´e outra reta qualquer passando por P, queremos provar que r t. Para isto seguiremos os passos a seguir (acompanhe na figura 4.14). Figura 4.14 (1) Primeiro observe que s e s dividem em quatro regi˜oes angulares, e que t passa por duas delas, correspondentes a dois ˆangulos opostos pelo v´ertice. Escolha uma destas regi˜oes e tome nas semirretas de s e s que a delimitam dois pontos B s e C s tais que PB PC. Nestas condi¸c˜oes o segmento BC encontra t em um ponto K. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 54 28/01/2013 11:09:37
  55. 55. (2) Tome A e A pontos de r em lados opostos do espa¸co tais que PA PA. Assim temos AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 55 que APB APB APC APC, sendo todas as congruˆencias pelo crit´erio LAL (complete os detalhes). (3) Do item anterior deduzimos que AB AB AC AC. Logo ABC ABC donde, em particular, tiramos que ABC ABC. (4) Dos dados dos itens anteriores conclu´ımos que ABK ABK, pelo crit´erio LAL. Em particular, AK AK. (5) Agora examinemos o triˆangulo AKA. Este triˆangulo ´e is´osceles com base AA, e P ´e ponto m´edio de AA. Logo KP ´e altura de AKA (por quˆe?). Em particular KP AA. Como t = KP e r = AA, temos o resultado desejado. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 55 28/01/2013 11:09:37
  56. 56. 4.6 Exerc´ıcios KQ. Tem-se ainda que AB , onde B KQ, R e C . Responda se verdadeiro ou falso e justifique: 56 Fundamentos de geometria espacial Figura 4.15: – Exerc´ıcio 4.1 4.1. Na figura 4.15 os pontos A, B, C e D n˜ao s˜ao coplanares. (a) Quantos planos s˜ao determinados por estes pontos? (b) Suponha que AD DC, BC BA e que DBA ´e reto. Nestas condi¸c˜oes pelo menos um dos segmentos indicados na figura ´e perpendicular a um dos planos determinados pelos pontos. Diga quais, e prove sua afirmativa. 4.2. Seja r ; seja P o ponto comum a r e . Prove que se t ´e uma reta passando por P e perpendicular a r, ent˜ao t . (Sugest˜ao: tome no plano determinado por t e r a reta t perpendicular a r em P e verifique que t = t. Figura 4.16: – Exerc´ıcio 4.3 4.3. Na figura 4.16 os planos e se interceptam segundo a reta (a) AB BR ? (b) AB KQ ? (c) AB BC ? 4.4. Na figura 4.17, na qual nem todos os pontos indicados s˜ao coplanares, tem-se que AW BW, AX BX, AY BY e AZ BZ. Prove que os pontos W, X, Y e Z s ˜ao coplanares. (Sugest˜ao: Se M ´e o ponto m´edio de AB mostre que AB ´e perpendicular `as retas WM, XM, YM e ZM. Conclua, usando o exerc´ıcio 4.2.) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 56 28/01/2013 11:09:37
  57. 57. Figura 4.17: – Exerc´ıcio 4.4 Figura 4.18: – Exerc´ıcios 4.6 e 4.7 4.5. Sejam A, B e C v´ertices de um triˆangulo equil´atero contido em um plano . Seja T o circuncentro de ABC. Seja r a reta perpendicular a passando por T. Mostre que se X r ent˜ao AX = BX = CX. Fa¸ca um desenho que represente a situa¸c˜ao. 4.6. Na figura 4.18 o triˆangulo RSQ est´a contido no plano , e PR . Se PQR SQ RQ e SQ PQ, prove que PQ QS. AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 57 PSR, prove que PQS PSQ. 4.7. Ainda usando a figura 4.18 como referˆencia, se PR , PR RS, Figura 4.19: – Exerc´ıcio 4.8 4.8. Na figura 4.19 os planos e s˜ao paralelos, AB , CD , AC e BD . Demonstre que AD e BC se bissectam (isto ´e, se encontram em um ponto que ´e ponto m´edio de ambos segmentos). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 57 28/01/2013 11:09:37
  58. 58. 5 Ângulos entre planos Fundamentos de Geometria Espacial.indd 58 28/01/2013 11:09:39
  59. 59. AUla 5: As Ângulos entre planos 59 AULA5: ˆANGULOS ENTRE PLANOS OBJETIVOS Introduzir o conceito de ˆangulos entre planos: os diedros. Estudar o perpendicularismo entre planos. 5.1 Introdu¸c˜ao Na aula anterior estudamos um pouco sobre ˆangulos entre retas no espa¸co, e tamb´em es-tudamos perpendicularismo entre retas e planos. A pr´oxima etapa ´e estudar ˆangulos entre retas e planos e ˆangulos entre planos. Veremos que existe um conceito de “ˆangulo” no espa¸co inteiramente an´alogo ao de ˆangulo no plano, um “ˆangulo” cujos lados s˜ao semiplanos. 5.2 ˆAngulos entre planos: diedros Em [7] definimos um ˆangulo como um par de semirretas com origem comum. Podemos, de maneira natural, estender este conceito para planos no espa¸co, isto ´e, podemos “tridimensi-onalizar” o ˆangulo determinado por semirretas. Chamamos a vers˜ao de ˆangulo para planos de diedro, conforme a defini¸c˜ao mais abaixo. De agora em diante, para facilitar a exposi¸c˜ao, indicaremos semiplanos com um sinal de chap´eu; por exemplo, ˆ indica um semiplano do plano . ˆ ˆ l Figura 5.1 Defini¸c˜ao 5.1. Um diedro1 ´e a uni˜ao de dois semiplanos com a mesma reta de origem. Dizemos que os semiplanos que determinam o diedro s˜ao suas faces, e a reta comum aos semiplanos a sua aresta. O diedro determinado pelos semiplanos ˆ e ˆ ser´a denotado por (ˆ, ˆ ), onde ˆ e ˆ s ˜ao suas faces. Um bom modelo de diedro ´e um livro ou caderno aberto parcialmente. As p´aginas opos-tas s˜ao suas faces, e a sua aresta ´e o encontro das mesmas na lombada. Na figura 5.1 representamos um diedro formado pelos semiplanos ˆ e ˆ com aresta l. 1A palavra diedro significa “dois lados”, ou “duas faces”, do grego di- = dois, e -edro = cadeira, face. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 59 28/01/2013 11:09:39
  60. 60. Podemos tamb´em definir regi˜ao diedral de maneira natural (veja o exerc´ıcio 2.1). Defini¸c˜ao 5.2. A regi˜ao diedral determinada pelo diedro (ˆ, ˆ ) ´e a interse¸c˜ao do subespa¸co determinado pelo plano no qual se encontra o semiplano ˆ com o subespa¸co determinado pelo plano no qual se encontra o semiplano ˆ. Problema 5.1. Identifique na figura 5.1 a regi˜ao diedral correspondente. 60 Fundamentos de geometria espacial Figura 5.2 Uma pergunta que surge de imediato ´e: como medir um diedro, ou melhor, como medir a “abertura” de um diedro? Pense novamente num livro aberto como um diedro apoiado pela parte de baixo numa mesa. Quando vocˆe olha de cima para baixo vˆe um ˆangulo na mesa determinado pelas p´aginas abertas do livro (veja a figura 5.2). Esta ´e a ideia que podemos usar para medir um diedro. Para descrever este modelo matematicamente tome um diedro (ˆ, ˆ ) de aresta l e siga os passos abaixo (veja a figura 5.3): (1) primeiro cortamos as duas faces do diedro com um plano perpendicular `a reta l; (2) o plano corta ˆ e ˆ em duas semirretas a e b , respectivamente; (3) as semirretas a e b determinam o ˆangulo (a , b ) em . Poder´ıamos definir a medida de (ˆ, ˆ ) como sendo a medida de (a , b ) constru´ıdo acima, mas precisamos garantir que esta medida n˜ao depende da escolha de . Na verdade, j´a temos este resultado, disfar¸cado em outro resultado: o teorema 4.1 – veja o teorema a seguir. ˆ ˆ b a Figura 5.3 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 60 28/01/2013 11:09:39
  61. 61. Teorema 5.3. Seja (ˆ, ˆ ) um diedro de faces ˆ e ˆ , com aresta l. Sejam e dois planos perpendiculares a l. Tomemos ainda AUla 5: As Ângulos entre planos 61 ˆ = a , ˆ = b , ˆ = a , ˆ = b . Ent˜ao m((a , b )) = m((a , b )) Demonstrac¸˜ao. Observe que (por quˆe?), donde a a e b b (por quˆe?). Logo, pelo teorema 4.1 conclu´ımos que m((a , b )) = m((a , b )), como quer´ıamos. Problema 5.2. (a) Fa¸ca um desenho ilustrando a situa¸c˜ao descrita no enunciado do teo-rema acima. (b) Justifique os por quˆes na demonstra¸c˜ao do teorema acima. Defini¸c˜ao 5.4. Usando as nota¸c˜oes da figura 5.3, com base na constru¸c˜ao descrita na p´agina anterior, definimos a medida do diedro (ˆ, ˆ ) como sendo m((ˆ, ˆ )) = m((a , b )), onde (a) ´e um plano qualquer perpendicular `a reta l, aresta do diedro (ˆ, ˆ ); (b) a = ˆ e b = ˆ . Agora podemos definir, de maneira natural, diedros retos... Defini¸c˜ao 5.5. Dizemos que um diedro ´e reto se sua medida for 90. ... e congruˆencia de diedros. Defini¸c˜ao 5.6. Dizemos que dois diedros (ˆ, ˆ ) e (ˆ, ˆ ) s˜ao congruentes, rela¸c˜ao denotada por (ˆ, ˆ ) (ˆ, ˆ ), se m((ˆ, ˆ )) = m((ˆ, ˆ )). Problema 5.3. Mostre que dois planos determinam quatro diedros dois a dois congruentes (isto ´e o o an´alogo aos ˆangulos O.P.V. (opostos pelo v´ertice) da geometria plana). Em particular, se um dos diedros for reto, todos o s˜ao tamb´em. Finalmente definimos ˆangulos entre planos. Defini¸c˜ao 5.7. Definimos a medida do ˆangulo entre dois planos e , denotada por m((, )), como sendo (a) m((, )) = 0, se ; (b) a medida do menor dos diedros por eles determinado, se e s˜ao secantes. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 61 28/01/2013 11:09:39
  62. 62. 5.3 Planos perpendiculares Uma vez que sabemos medir ˆangulos entre planos podemos, definir o conceito de planos perpendiculares. Defini¸c˜ao 5.8. Dizemos que dois planos secantes e s˜ao perpendiculares, rela¸c˜ao deno-tada por , se 62 Fundamentos de geometria espacial m((, )) = 90. Apresentamos a seguir uma outra forma, muito ´util, de caracterizar planos perpendiculares. Figura 5.4 Teorema 5.9. Dois planos e s˜ao perpendiculares entre si se e somente se existir uma reta a (respectivamente, uma reta b ) tal que a (respectivamente, b ). Demonstrac¸˜ao. Sejam e dois planos secantes, e seja l a reta em que se encontram. Fa¸camos a primeira parte: suponhamos que exista a tal que a . Queremos provar que ; para isto vamos seguir os passos abaixo (acompanhe na figura 5.4): (a) seja P o ponto em que a encontra l; tome a reta r que passa por P e ´e perpendicular a l; (b) ent˜ao a l (por qual hip´otese?), e r l por constru¸c˜ao; logo o plano determinado por a e r ´e perpendicular a l; (c) temos ainda que a r, pois a ; logo a medida de quaisquer dos diedros determinados por e ´e 90 (por quˆe?), donde . Suponhamos agora que . Podemos construir uma reta a perpendicular a da seguinte forma (veja novamente a figura 5.4): (a) tome um plano qualquer perpendicular a l; (b) tome a = . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 62 28/01/2013 11:09:40
  63. 63. AUla 5: As Ângulos entre planos 63 Observe que a ´e, de fato, a reta desejada, pois: (i) a l, j´a que a e l; (ii) se r ´e a reta comum a e ent˜ao a r, pois estamos supondo que e a medida de quaisquer dos diedros determinados por e ´e 90, exatamente a medida de quaisquer dos ˆangulos determinados por a e r (reveja a defini¸c˜ao de medida de diedros); (iii) assim a ´e perpendicular a duas retas de , e portanto a . Problema 5.4. Responda aos por quˆes da demonstra¸c˜ao acima. Uma consequˆencia (indireta) da demonstra¸c˜ao do teorema acima ´e a propriedade seguinte, apresentada na forma de exemplo. Exemplo 5.1. Se e l = , ent˜ao toda reta r perpendicular a l ´e perpendicular a . De fato, seja P o ponto de encontro de l e r, e tome t a reta que passa por P e ´e perpendicular a l. Ent˜ao o plano determinado por r e t ´e perpendicular a l. Assim, m((r, t)) = 90, pela defini¸c˜ao de perpendicularidade de planos. Logo r . Problema 5.5. Complete os detalhes do exemplo acima e fa¸ca um desenho que o ilustre. 5.4 Constru¸c˜ao de planos perpendiculares A caracteriza¸c˜ao do teorema 5.9 permite a constru¸c˜ao de planos perpendiculares, em analogia `a constru¸c˜ao de retas perpendiculares. Explico: vimos que por um dado ponto e uma dada reta (ou dado plano) pode-se tra¸car uma ´unica reta perpendicular `a reta dada (ou ao plano dado). Veremos agora as constru¸c˜oes an´alogas a estas no contexto “ponto × plano” e “reta × plano”. Primeiro observe que por um ponto P passam infinitos planos perpendiculares a um plano dado: basta tra¸car por P a reta r perpendicular a , e todos os planos que contˆem r s˜ao perpendiculares a . Analogamente, se r ´e uma reta perpendicular a , por r passam infinitos planos perpendiculares a , pelo mesmo argumento. Na figura 5.5 representamos estas situa¸c˜oes. Figura 5.5 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 63 28/01/2013 11:09:40
  64. 64. Vejamos agora o caso mais interessante. Teorema 5.10. Sejam dados um plano e uma reta r n˜ao perpendicular a . Ent˜ao existe um ´unico plano perpendicular a passando por r. Demonstrac¸˜ao. A constru¸c˜ao ´e bem simples: tome um ponto P r qualquer, e por P trace a reta t perpendicular a . O plano determinado por r e t ´e o plano procurado (veja a figura 5.6), pois: (i) r por constru¸c˜ao; (ii) , pois t ´e uma reta perpendicular a por constru¸c˜ao. 64 Fundamentos de geometria espacial Figura 5.6 A unicidade tamb´em ´e simples: suponha que exista um outro plano passando por r e perpendicular a , e seja l = . Certamente l pois, caso contr´ario, = . Tome t uma reta passando por P e perpendicular a l. Pelo exemplo 5.1 temos que t , uma contradi¸c˜ao, j´a que por P n˜ao podem passar duas perpendiculares a . Logo ´e ´unico. Problema 5.6. Na figura 5.6 representamos o teorema acima no caso em que a reta r e o plano s˜ao concorrentes. Fa¸ca desenhos que representem a situa¸c˜ao nos casos em que: (a) r ; (b) r . 5.5 Alguns problemas resolvidos Vejamos agora alguns probleminhas interessantes. Problema 5.7. Sejam e dois planos perpendiculares entre si. Seja r uma reta perpen-dicular a . Prove que ou r ou r . Soluc¸˜ao. Como , ent˜ao existe uma reta t perpendicular a (teorema 5.9). Temos duas possibilidades: (i) r e t possuem um ponto P em comum: neste caso r = t pois, caso contr´ario, ter´ıamos duas retas passando por P e perpendiculares a . Ent˜ao r . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 64 28/01/2013 11:09:40
  65. 65. (ii) r e t n˜ao possuem pontos em comum: neste caso, pelo teorema 4.6 temos que r t, AUla 5: As Ângulos entre planos 65 donde r . Problema 5.8. Fa¸ca desenhos que ilustrem o problema anterior. Problema 5.9. Prove que se , e s˜ao planos tais que e ent˜ao . Figura 5.7 Soluc¸˜ao. Como , ent˜ao existe uma reta r tal que r . Seja r uma reta paralela a r. Ent˜ao r pelo teorema 4.5. Logo, pelo crit´erio estabelecido no teorema 5.9, temos que (veja a figura 5.7). Figura 5.8 Problema 5.10. Prove que se r e s s˜ao duas retas reversas, ent˜ao existe uma ´unica reta t perpendicular a ambas. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 65 28/01/2013 11:09:40
  66. 66. Soluc¸˜ao. A propriedade fundamental para lidar com retas reversas ´e a descrita no pro-blema 3.9: existem dois planos e , ´unicos, tais que e r , s . Usando este fato vamos construir uma reta perpendicular a r e s, seguindo os passos abaixo (acompanhe na figura 5.8): (a) Tome o plano que passa por r e ´e perpendicular a . Ent˜ao, pelo problema anterior, . (b) Observe em seguida que s ´e secante a . De fato, se s ou se s ent˜ao ter´ıamos s r, o que n˜ao ´e poss´ıvel. (c) Pelo ponto P em que s encontra trace a reta t perpendicular a . A reta t ´e a reta procurada. De fato, temos que t pelo problema 5.7 (complete os detalhes!); logo t e r s˜ao secantes pois est˜ao contidas no mesmo plano e n˜ao s˜ao paralelas. Finalmente, como t ent˜ao, em particular, t r. Resta mostrar a unicidade. Suponha que exista outra reta t perpendicular a r e s. Observe que t (veja o problema a seguir), donde t t, pelo teorema 4.6. Seja o plano determinado por t e t. Como r ´e concorrente a t e t, ent˜ao r ; analogamente s . Ora, isto ´e uma contradi¸c˜ao, pois r e s s˜ao reversas e portanto n˜ao podem pertencer a um mesmo plano. Logo n˜ao pode haver outra reta perpendicular a r e s al´em de t. Problema 5.11. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam o plano passando por r e paralelo a s. Se t ´e uma reta perpendicular simultaneamente a r e s mostre que t . (Sugest˜ao: se r t = {P}, tome s a reta paralela a s passando por P e mostre que t s.) 66 Fundamentos de geometria espacial Fundamentos de Geometria Espacial.indd 66 28/01/2013 11:09:41
  67. 67. 5.6 Exerc´ıcios 5.1. Sejam A e B dois pontos e um plano. Prove que sempre existe um plano passando por A e B e perpendicular a . Em que situa¸c˜ao este plano ´e ´unico? 5.2. Mostre que se um plano cont´em uma reta perpendicular a outro plano , ent˜ao cont´em uma reta perpendicular a . 5.3. Sejam e dois planos que se cortam em uma reta l. Prove que ´e um plano perpendicular a e simultaneamente se e s´o se l. 5.4. Podemos definir diedros alternos internos de maneira an´aloga `a defini¸c˜ao de ˆangulos alternos internos. Escreva uma defini¸c˜ao para este conceito e marque na figura 5.9, onde os planos e s˜ao paralelos, os pares de diedros alternos internos formados. Demonstre que dois diedros alternos internos s˜ao congruentes entre si. Figura 5.9: – Exerc´ıcio 5.4 Figura 5.10: – Exerc´ıcio 5.5 5.5. Na figura 5.10 os planos e s˜ao perpendiculares entre si, e os triˆangulos ACD e CBD s˜ao is´osceles, com base CD e congruentes. Al´em disso M ´e ponto m´edio de AB e N ´e ponto m´edio de CD. Mostre que AUla 5: As Ângulos entre planos 67 (a) MN AB e (b) MN CD. (Sugest˜ao: mostre que AN NB e CM MD.) 5.6. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam e planos paralelos contendo r e s, respec-tivamente. Sejam o plano passando por r e perpendicular a , e o plano passando por s e perpendicular a . Mostre que t = ´e a reta perpendicular a r e s que foi apresentada no problema 5.10. 5.7. Sejam e dois planos concorrentes, e r , s duas retas. Mostre que m((, )) = m((r, s)). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 67 28/01/2013 11:09:41

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