Este documento apresenta os tópicos de um curso de mestrado sobre estruturas de betão, incluindo materiais de betão e aço, escoras e tirantes, e flexão simples de acordo com o Eurocódigo 2.

1. Estruturas de Betão I
0/168
2011/2012
Mestrado em Engenharia Civil
2011 / 2012
Eduardo S. Júlio
Estruturas de Betão I
Materiais, Escoras e Tirantes, Flexão Simples

2. Estruturas de Betão I
1/168
2011/2012
O
Eurocódigo
2
M1
–
3.
Materiais
Escoras
e
Tirantes
M2
–
2.
Flexão
Simples
Sumário

3. Estruturas de Betão I
2/168
2011/2012
O
Eurocódigo
2
M1
–
3.
Materiais
Escoras
e
Tirantes
M2
–
2.
Flexão
Simples
Sumário

4. Estruturas de Betão I
3/168
2011/2012
O Eurocódigo 2

5. Estruturas de Betão I
4/168
2011/2012
O Eurocódigo 2

6. Estruturas de Betão I
5/168
2011/2012
O Eurocódigo 2

7. Estruturas de Betão I
6/168
2011/2012
O
Eurocódigo
2
M1
–
3.
Materiais
Escoras
e
Tirantes
M2
–
2.
Flexão
Simples
Sumário

8. Estruturas de Betão I
7/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais

9. Estruturas de Betão I
8/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

10. Estruturas de Betão I
9/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

11. Estruturas de Betão I
10/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

12. Estruturas de Betão I
11/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

13. Estruturas de Betão I
12/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

14. Estruturas de Betão I
13/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

15. Estruturas de Betão I
14/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

16. Estruturas de Betão I
15/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

17. Estruturas de Betão I
16/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

18. Estruturas de Betão I
17/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

19. Estruturas de Betão I
18/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

20. Estruturas de Betão I
19/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

21. Estruturas de Betão I
20/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

22. Estruturas de Betão I
21/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

23. Estruturas de Betão I
22/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

24. Estruturas de Betão I
23/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

25. Estruturas de Betão I
24/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

26. Estruturas de Betão I
25/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

27. Estruturas de Betão I
26/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

28. Estruturas de Betão I
27/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

29. Estruturas de Betão I
28/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

30. Estruturas de Betão I
29/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

31. Estruturas de Betão I
30/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

32. Estruturas de Betão I
31/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

33. Estruturas de Betão I
32/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO

34. Estruturas de Betão I
33/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: BETÃO
Axial C ircum fe re ntial
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
Strain (µε)
Normalized
Axial
S
tress
(f
c
/f´
c
)
AC4 (1 ply)
AC5 (2 plies)
AC6 (3 plies)
REF

35. Estruturas de Betão I
34/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO

36. Estruturas de Betão I
35/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO

37. Estruturas de Betão I
36/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO

38. Estruturas de Betão I
37/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO

39. Estruturas de Betão I
38/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO

40. Estruturas de Betão I
39/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO

41. Estruturas de Betão I
40/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO

42. Estruturas de Betão I
41/168
2011/2012
M1 – 3. Materiais: AÇO

43. Estruturas de Betão I
42/168
2011/2012
O
Eurocódigo
2
M1
–
3.
Materiais
Escoras
e
Tirantes
M2
–
2.
Flexão
Simples
Sumário

44. Estruturas de Betão I
43/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

45. Estruturas de Betão I
44/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

46. Estruturas de Betão I
45/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

47. Estruturas de Betão I
46/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

48. Estruturas de Betão I
47/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

49. Estruturas de Betão I
48/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

50. Estruturas de Betão I
49/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

51. Estruturas de Betão I
50/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

52. Estruturas de Betão I
51/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

53. Estruturas de Betão I
52/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

54. Estruturas de Betão I
53/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

55. Estruturas de Betão I
54/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

56. Estruturas de Betão I
55/168
2011/2012
3
2 2 10
c
ε −
= ×
Para as classes C12/15 ~ C50/60:
Escoras e Tirantes

57. Estruturas de Betão I
56/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

58. Estruturas de Betão I
57/168
2011/2012
3
348 ; 1,74 10
yd yd
f MPa ε −
= = ×
Para S400:
3
2 2 10
c
ε −
= ×
Escoras e Tirantes

59. Estruturas de Betão I
58/168
2011/2012
3
2 2 10
c
ε −
= ×
3
435 ; 2,17 10
yd yd
f MPa ε −
= = ×
Para S500:
Escoras e Tirantes

60. Estruturas de Betão I
59/168
2011/2012
3
2 2 10
c
ε −
= ×
c cd
f
σ =
c
F
,
s i
F
( )
3
400
2 10 500
s yd s
s s s s
F f A S
F E A S
ε −
= ⋅ ⇐
⎧
⎪
⎨
= ⋅ = × ⋅ ⇐
⎪
⎩
,
s i
F
c cd c
F f A
= ⋅
Rd c s
N F F
= +
Ed
N
Escoras e Tirantes

61. Estruturas de Betão I
60/168
2011/2012
De notar que, na prática, nenhum elemento está sujeito apenas a esforço
axial (há sempre que considerar excentricidades).
No caso do esforço axial ser de compressão, há ainda a considerar a
possibilidade do elemento encurvar.
Escoras e Tirantes

62. Estruturas de Betão I
61/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

63. Estruturas de Betão I
62/168
2011/2012
2
2
cr
EI
P
L
π
=
Pcr
Escoras e Tirantes

64. Estruturas de Betão I
63/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

65. Estruturas de Betão I
64/168
2011/2012
2
2
2
π
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
cr
EI
P
L
Pcr
Escoras e Tirantes

66. Estruturas de Betão I
65/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

67. Estruturas de Betão I
66/168
2011/2012
( )
2
2
0,7
cr
EI
P
L
π
=
Pcr
Escoras e Tirantes

68. Estruturas de Betão I
67/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

69. Estruturas de Betão I
68/168
2011/2012
( )
2
2
0,5
cr
EI
P
L
π
=
Pcr
Escoras e Tirantes

70. Estruturas de Betão I
69/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

71. Estruturas de Betão I
70/168
2011/2012
2
2
cr
EI
P
L
π
=
Pcr
Escoras e Tirantes

72. Estruturas de Betão I
71/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

73. Estruturas de Betão I
72/168
2011/2012
( )
2
2
2
cr
EI
P
L
π
=
Pcr
Escoras e Tirantes

74. Estruturas de Betão I
73/168
2011/2012
Exercício
Calcule as armaduras necessárias a um pilar de secção transversal
quadrada com 30cm de lado, sujeito a um esforço de compressão
simples, NEd=1749kN.
Nota: Considere que o pilar está contraventado nos dois planos (não há
risco de encurvadura).
Nota: Adopte aço S400 e betão C20/25.
Escoras e Tirantes

75. Estruturas de Betão I
74/168
2011/2012
3
2 2 10
c
ε −
= ×
c cd
f
σ =
c
F
,
s i
F
3
348 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
,
s i
F
3 2
13,33 10 0,30 1200
c cd c
F f A kN
= ⋅ = × × =
NRd
= Fc
+ Fs
≥ NEd
1749
Ed
N kN
=
NRd
=1200+348×103
⋅ As
≥1749kN
As
≥15,78×10−4
m2
Escoras e Tirantes

76. Estruturas de Betão I
75/168
2011/2012
10mm – Anexo Nacional
Escoras e Tirantes

77. Estruturas de Betão I
76/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

78. Estruturas de Betão I
77/168
2011/2012
4 2
,min 3
0,10 1749
5,03 10
348 10
s
A m
−
×
= = ×
×
2 4 2
0,002 0,002 0,3 1,8 10
c
A m
−
⋅ = × = ×
Escoras e Tirantes

79. Estruturas de Betão I
78/168
2011/2012
4 2
,min 3
0,10 1749
5,03 10
348 10
s
A m
−
×
= = ×
×
2 4 2
0,002 0,002 0,3 1,8 10
c
A m
−
⋅ = × = ×
As
≥15,78×10−4
m2
Escoras e Tirantes

80. Estruturas de Betão I
79/168
2011/2012
4 2
,min 3
0,10 1749
5,03 10
348 10
s
A m
−
×
= = ×
×
2 4 2
0,002 0,002 0,3 1,8 10
c
A m
−
⋅ = × = ×
n.º
de
varões
e
áreas
(cm2)
φ [mm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6
0,28
0,57
0,85
1,13
1,41
1,70
1,98
2,26
2,54
2,83
3,11
3,39
8
0,50
1,01
1,51
2,01
2,51
3,02
3,52
4,02
4,52
5,03
5,53
6,03
10
0,79
1,57
2,36
3,14
3,93
4,71
5,50
6,28
7,07
7,85
8,64
9,42
12
1,13
2,26
3,39
4,52
5,65
6,79
7,92
9,05
10,18
11,31
12,44
13,57
16
2,01
4,02
6,03
8,04
10,05
12,06
14,07
16,08
18,10
20,11
22,12
24,13
20
3,14
6,28
9,42
12,57
15,71
18,85
21,99
25,13
28,27
31,42
34,56
37,70
25
4,91
9,82
14,73
19,63
24,54
29,45
34,36
39,27
44,18
49,09
54,00
58,90
32
8,04
16,08
24,13
32,17
40,21
48,25
56,30
64,34
72,38
80,42
88,47
96,51
40
12,57
25,13
37,70
50,27
62,83
75,40
87,96
100,53
113,10
125,66
138,23
150,80
Escoras e Tirantes
As
≥15,78×10−4
m2

81. Estruturas de Betão I
80/168
2011/2012
4 2
,min 3
0,10 1749
5,03 10
348 10
s
A m
−
×
= = ×
×
2
8 16 ( 16,08 )
s
A cm
φ → =
2 4 2
0,002 0,002 0,3 1,8 10
c
A m
−
⋅ = × = ×
n.º
de
varões
e
áreas
(cm2)
φ [mm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6
0,28
0,57
0,85
1,13
1,41
1,70
1,98
2,26
2,54
2,83
3,11
3,39
8
0,50
1,01
1,51
2,01
2,51
3,02
3,52
4,02
4,52
5,03
5,53
6,03
10
0,79
1,57
2,36
3,14
3,93
4,71
5,50
6,28
7,07
7,85
8,64
9,42
12
1,13
2,26
3,39
4,52
5,65
6,79
7,92
9,05
10,18
11,31
12,44
13,57
16
2,01
4,02
6,03
8,04
10,05
12,06
14,07
16,08
18,10
20,11
22,12
24,13
20
3,14
6,28
9,42
12,57
15,71
18,85
21,99
25,13
28,27
31,42
34,56
37,70
25
4,91
9,82
14,73
19,63
24,54
29,45
34,36
39,27
44,18
49,09
54,00
58,90
32
8,04
16,08
24,13
32,17
40,21
48,25
56,30
64,34
72,38
80,42
88,47
96,51
40
12,57
25,13
37,70
50,27
62,83
75,40
87,96
100,53
113,10
125,66
138,23
150,80
Escoras e Tirantes
As
≥15,78×10−4
m2

82. Estruturas de Betão I
81/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

83. Estruturas de Betão I
82/168
2011/2012
15x – Anexo Nacional
Escoras e Tirantes

84. Estruturas de Betão I
83/168
2011/2012
15x – Anexo Nacional
300mm – Anexo Nacional
Escoras e Tirantes

85. Estruturas de Betão I
84/168
2011/2012
15x – Anexo Nacional
300mm – Anexo Nacional
( )
, max 15 16;300;300 240
cl t
s mín mm
= × =
Cintas φ 6 @ 0,20m
Escoras e Tirantes

86. Estruturas de Betão I
85/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

87. Estruturas de Betão I
86/168
2011/2012
Escoras e Tirantes

88. Estruturas de Betão I
87/168
2011/2012
Armadura longitudinal: 8φ16
Cintas: φ 6 @ 0,20m
Escoras e Tirantes

89. Estruturas de Betão I
88/168
2011/2012
Armadura longitudinal: 8φ16
Cintas: φ 6 @ 0,20m
Escoras e Tirantes

90. Estruturas de Betão I
89/168
2011/2012
,
s i
F
s yd s
F f A
= ⋅
,
s i
F
0
c
F =
Rd s Ed
N F N
= =
Ed
N
Escoras e Tirantes

91. Estruturas de Betão I
90/168
2011/2012
Exercício
Calcule as armaduras necessárias a um pilar de secção transversal
quadrada com 30cm de lado, sujeito a um esforço de tracção simples,
NEd=1112kN.
Nota: Adopte aço S400 e betão C20/25.
Escoras e Tirantes

92. Estruturas de Betão I
91/168
2011/2012
,
s i
F
s yd s
F f A
= ⋅
,
s i
F
0
c
F =
NRd
= Fs
≥ NEd
1112
Ed
N kN
=
NRd
= 348×103
⋅ As
≥1112kN
As
≥ 31,95×10−4
m2
Escoras e Tirantes

93. Estruturas de Betão I
92/168
2011/2012
As
≥ 31,95×10−4
m2
Escoras e Tirantes

94. Estruturas de Betão I
93/168
2011/2012
2 4 2
,max 0,04 0,3 36 10
s
A m
−
= × = ×
Escoras e Tirantes
As
≥ 31,95×10−4
m2

95. Estruturas de Betão I
94/168
2011/2012
2 4 2
,max 0,04 0,3 36 10
s
A m
−
= × = ×
n.º
de
varões
e
áreas
(cm2)
φ [mm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6
0,28
0,57
0,85
1,13
1,41
1,70
1,98
2,26
2,54
2,83
3,11
3,39
8
0,50
1,01
1,51
2,01
2,51
3,02
3,52
4,02
4,52
5,03
5,53
6,03
10
0,79
1,57
2,36
3,14
3,93
4,71
5,50
6,28
7,07
7,85
8,64
9,42
12
1,13
2,26
3,39
4,52
5,65
6,79
7,92
9,05
10,18
11,31
12,44
13,57
16
2,01
4,02
6,03
8,04
10,05
12,06
14,07
16,08
18,10
20,11
22,12
24,13
20
3,14
6,28
9,42
12,57
15,71
18,85
21,99
25,13
28,27
31,42
34,56
37,70
25
4,91
9,82
14,73
19,63
24,54
29,45
34,36
39,27
44,18
49,09
54,00
58,90
32
8,04
16,08
24,13
32,17
40,21
48,25
56,30
64,34
72,38
80,42
88,47
96,51
40
12,57
25,13
37,70
50,27
62,83
75,40
87,96
100,53
113,10
125,66
138,23
150,80
Escoras e Tirantes
As
≥ 31,95×10−4
m2

96. Estruturas de Betão I
95/168
2011/2012
2 4 2
,max 0,04 0,3 36 10
s
A m
−
= × = ×
2
4 20 4 25 ( 32,21 )
s
A cm
φ φ
+ → =
n.º
de
varões
e
áreas
(cm2)
φ [mm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6
0,28
0,57
0,85
1,13
1,41
1,70
1,98
2,26
2,54
2,83
3,11
3,39
8
0,50
1,01
1,51
2,01
2,51
3,02
3,52
4,02
4,52
5,03
5,53
6,03
10
0,79
1,57
2,36
3,14
3,93
4,71
5,50
6,28
7,07
7,85
8,64
9,42
12
1,13
2,26
3,39
4,52
5,65
6,79
7,92
9,05
10,18
11,31
12,44
13,57
16
2,01
4,02
6,03
8,04
10,05
12,06
14,07
16,08
18,10
20,11
22,12
24,13
20
3,14
6,28
9,42
12,57
15,71
18,85
21,99
25,13
28,27
31,42
34,56
37,70
25
4,91
9,82
14,73
19,63
24,54
29,45
34,36
39,27
44,18
49,09
54,00
58,90
32
8,04
16,08
24,13
32,17
40,21
48,25
56,30
64,34
72,38
80,42
88,47
96,51
40
12,57
25,13
37,70
50,27
62,83
75,40
87,96
100,53
113,10
125,66
138,23
150,80
Escoras e Tirantes
As
≥ 31,95×10−4
m2

97. Estruturas de Betão I
96/168
2011/2012
2 4 2
,max 0,04 0,3 36 10
s
A m
−
= × = ×
2
4 20 4 25 ( 32,21 )
s
A cm
φ φ
+ → =
( )
, max 15 20;300;300 300
cl t
s mín mm
= × =
Cintas φ 6 @ 0,30m
n.º
de
varões
e
áreas
(cm2)
φ [mm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6
0,28
0,57
0,85
1,13
1,41
1,70
1,98
2,26
2,54
2,83
3,11
3,39
8
0,50
1,01
1,51
2,01
2,51
3,02
3,52
4,02
4,52
5,03
5,53
6,03
10
0,79
1,57
2,36
3,14
3,93
4,71
5,50
6,28
7,07
7,85
8,64
9,42
12
1,13
2,26
3,39
4,52
5,65
6,79
7,92
9,05
10,18
11,31
12,44
13,57
16
2,01
4,02
6,03
8,04
10,05
12,06
14,07
16,08
18,10
20,11
22,12
24,13
20
3,14
6,28
9,42
12,57
15,71
18,85
21,99
25,13
28,27
31,42
34,56
37,70
25
4,91
9,82
14,73
19,63
24,54
29,45
34,36
39,27
44,18
49,09
54,00
58,90
32
8,04
16,08
24,13
32,17
40,21
48,25
56,30
64,34
72,38
80,42
88,47
96,51
40
12,57
25,13
37,70
50,27
62,83
75,40
87,96
100,53
113,10
125,66
138,23
150,80
Escoras e Tirantes
As
≥ 31,95×10−4
m2

98. Estruturas de Betão I
97/168
2011/2012
O
Eurocódigo
2
M1
–
3.
Materiais
Escoras
e
Tirantes
M2
–
2.
Flexão
Simples
Sumário

99. Estruturas de Betão I
98/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples

100. Estruturas de Betão I
99/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples

101. Estruturas de Betão I
100/168
2011/2012
betão
M2 – 2. Flexão Simples

102. Estruturas de Betão I
101/168
2011/2012
aço
M2 – 2. Flexão Simples

103. Estruturas de Betão I
102/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

104. Estruturas de Betão I
103/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

105. Estruturas de Betão I
104/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

106. Estruturas de Betão I
105/168
2011/2012
εcu3=3.5‰
Fc
Fs
εs
x 0.8x
d
fcd
As
h
b
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

107. Estruturas de Betão I
106/168
2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

108. Estruturas de Betão I
107/168
2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8
c cd
F x f b
= ⋅ ⋅
Cálculo das resultantes
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

109. Estruturas de Betão I
108/168
2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8
c cd
F x f b
= ⋅ ⋅
s yd s
F f A
= ⋅
Cálculo das resultantes
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

110. Estruturas de Betão I
109/168
2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8
c cd
F x f b
= ⋅ ⋅
s yd s
F f A
= ⋅
Cálculo das resultantes
incógnita
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

111. Estruturas de Betão I
110/168
2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8
c cd
F x f b
= ⋅ ⋅
s yd s
F f A
= ⋅
Cálculo das resultantes
incógnita
incógnita
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

112. Estruturas de Betão I
111/168
2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8
c cd
F x f b
= ⋅ ⋅
s yd s
F f A
= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0
Rd i c s Ed
i
N F F F N
= = − = =
∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

113. Estruturas de Betão I
112/168
2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8
c cd
F x f b
= ⋅ ⋅
s yd s
F f A
= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0
Rd i c s Ed
i
N F F F N
= = − = =
∑
Rd i Ed
i
M M M
= ≥
∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

114. Estruturas de Betão I
113/168
2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8
c cd
F x f b
= ⋅ ⋅
s yd s
F f A
= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0
Rd i c s Ed
i
N F F F N
= = − = =
∑
Rd i Ed
i
x
M M M
= ≥ ⇒
∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

115. Estruturas de Betão I
114/168
2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8
c cd
F x f b
= ⋅ ⋅
s yd s
F f A
= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0
Rd i c s d
i
s
E
N F F F A
N
= = − = ⇒
=
∑
Rd i Ed
i
x
M M M
= ≥ ⇒
∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

116. Estruturas de Betão I
115/168
2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8
c cd
F x f b
= ⋅ ⋅
s yd s
F f A
= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0
Rd i c s d
i
s
E
N F F F A
N
= = − = ⇒
=
∑
Rd i Ed
i
x
M M M
= ≥ ⇒
∑
Seguidamente deve-se calcular a extensão
na armadura, para garantir a ductilidade…
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

117. Estruturas de Betão I
116/168
2011/2012
Fc
0.8x
fcd
Fs
0.8
c cd
F x f b
= ⋅ ⋅
s yd s
F f A
= ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0
Rd i c s d
i
s
E
N F F F A
N
= = − = ⇒
=
∑
Rd i Ed
i
x
M M M
= ≥ ⇒
∑
… sendo necessário em alguns casos
prever uma armadura de compressão.
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

118. Estruturas de Betão I
117/168
2011/2012
Rotura dúctil:
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

119. Estruturas de Betão I
118/168
2011/2012
Rotura frágil:
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

120. Estruturas de Betão I
119/168
2011/2012
Limite a assegurar:
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

121. Estruturas de Betão I
120/168
2011/2012
Exercício: Calcular a armadura necessária para uma secção
rectangular de 0.25x0.50m sujeita a um momento flector de cálculo
de 250kNm. O betão é da classe C30 e o aço S500.
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

122. Estruturas de Betão I
121/168
2011/2012
0.8 4000
c cd
F x f b x
= ⋅ ⋅ =
Cálculo das resultantes
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

123. Estruturas de Betão I
122/168
2011/2012
0.8 4000
c cd
F x f b x
= ⋅ ⋅ =
435000
s yd s s
F f A A
= ⋅ = ⋅
Cálculo das resultantes
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

124. Estruturas de Betão I
123/168
2011/2012
0.8 4000
c cd
F x f b x
= ⋅ ⋅ =
435000
s yd s s
F f A A
= ⋅ = ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
( )
4000 0.45 0.4 250 0.16
Rd i Ed
i
M M M x x x m
= ≥ ⇒ × − = ⇒ =
∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

125. Estruturas de Betão I
124/168
2011/2012
0.8 4000
c cd
F x f b x
= ⋅ ⋅ =
435000
s yd s s
F f A A
= ⋅ = ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
2
0 14,7
Rd i c s Ed s
i
N F F F N A cm
= = − = = ⇒ =
∑
( )
4000 0.45 0.4 250 0.16
Rd i Ed
i
M M M x x x m
= ≥ ⇒ × − = ⇒ =
∑
M2 – 2. Flexão Simples: EQUILÍBRIO ESTÁTICO

126. Estruturas de Betão I
125/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

127. Estruturas de Betão I
126/168
2011/2012
Assumindo o diagrama parábola rectângulo…
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

128. Estruturas de Betão I
127/168
2011/2012
… tem-se:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
n
c
c
cd
c f
2
1
1
ε
ε
σ 2
0 c c
ε ε
⇐ ≤ ≤
cd
c f
=
σ 2 2
c c cu
ε ε ε
⇐ ≤ ≤
Classes 12/15 a 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
fck(MPa) 12~50 55 60 70 80 90
fcd(MPa) 8,0~33,3 36,7 40,0 46,7 53,3 60,0
εc2(‰) 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
εcu2(‰) 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6
n 2 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

129. Estruturas de Betão I
128/168
2011/2012
A partir da expressão do diagrama parábola-rectângulo do EC 2
podem deduzir-se as correspondentes expressões da resultante
das tensões, Fc, soma das resultantes dos troços rectangular (Fc1)
e parabólico (Fc2), e respectiva posição da sua linha de acção.
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

130. Estruturas de Betão I
129/168
2011/2012
Para secções rectangulares, de largura b, sujeitas a flexão plana,
assumindo a posição do eixo neutro a uma distância x da fibra
mais comprimida, tem-se:
x
b
f
F
cu
c
cu
cd
c ⋅
⋅
−
⋅
=
2
2
2
1
ε
ε
ε
x
b
n
n
f
F
cu
c
cd
c ⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
2
2
2
1 ε
ε
x
b
n
f
F
F
F
cu
c
cd
c
c
c ⋅
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+
−
⋅
=
+
=
2
2
2
1
1
1
1
ε
ε
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

131. Estruturas de Betão I
130/168
2011/2012
As extensões ao nível das linhas de acção das resultantes Fc1 e
Fc2 são, respectivamente:
2
2
2
1
cu
c
G
ε
ε
ε
+
=
2
2
4
2
3
c
G
n
n
ε
ε
+
+
=
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

132. Estruturas de Betão I
131/168
2011/2012
Sendo c a distância da linha de acção da resultante à fibra mais
comprimida, vem:
2
1
2
2
2
2
1
1
c
c
cu
G
c
cu
G
c
F
F
x
F
x
F
c
x
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
−
ε
ε
ε
ε
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

133. Estruturas de Betão I
132/168
2011/2012
Consegue facilmente obter-se:
( )( )
x
n
n
n
c
cu
c
cu
c
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
−
=
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
ε
ε
ε
ε
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

134. Estruturas de Betão I
133/168
2011/2012
Vindo:
x
b
k
f
F cd
c ⋅
⋅
⋅
= 1
x
k
c ⋅
= 2
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
k1 0,810 0,742 0,695 0,637 0,599 0,583
k2 0,416 0,392 0,377 0,362 0,355 0,353
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

135. Estruturas de Betão I
134/168
2011/2012
É habitual utilizar valores adimensionais da área da armadura
longitudinal de flexão, As, e do momento resistente, MRd, de uma
secção transversal de betão armado…
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

136. Estruturas de Betão I
135/168
2011/2012
… os quais se designam por, respectivamente, percentagem
mecânica de armadura, ω, e momento resistente reduzido, µ,
podendo ser determinados através das seguintes expressões:
cd
yd
s
bdf
f
A
=
ω
cd
Rd
f
bd
M
2
=
µ
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

137. Estruturas de Betão I
136/168
2011/2012
Em flexão simples plana, para secções simplesmente armadas, a
resultante de tracção na armadura iguala a resultante de
compressão no betão pelo que se tem:
1
cd
cd
f k b x
bdf
ω
⋅ ⋅ ⋅
=
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

138. Estruturas de Betão I
137/168
2011/2012
Sendo ainda α a relação entre a posição do eixo neutro, x, e a
altura útil da secção, d, tem-se:
1
k
ω α
= ⋅
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

139. Estruturas de Betão I
138/168
2011/2012
O momento resistente pode ser definido, neste caso, como o
binário constituído pelas resultantes de tracção na armadura e de
compressão no betão…
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

140. Estruturas de Betão I
139/168
2011/2012
… Substituindo o numerador de (13) pelo produto da resultante de
compressão no betão, dada por (10), pelo braço do binário, dado
pela diferença entre a altura útil da secção, d, e a distância da linha
de acção da resultante de compressão no betão à fibra mais
comprimida, c, dada por (11), tem-se:
( )
α
α
µ ⋅
−
⋅
⋅
= 2
1 1 k
k
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

141. Estruturas de Betão I
140/168
2011/2012
Uma das situações limite, consideradas em [1], é a fronteira entre
rotura frágil e rotura dúctil, ou seja, consiste em admitir um
diagrama de extensões na secção em que a fibra mais comprimida
de betão apresenta a extensão última e a armadura de tracção
assume a extensão de cedência, sendo:
yd
cu
cu
lim
ε
ε
ε
α
+
=
2
2
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

142. Estruturas de Betão I
141/168
2011/2012
Introduzindo (16) em (14) e (15) obtêm-se as correspondentes
expressões de cálculo dos valores limite da percentagem
mecânica de armadura e de momento resistente reduzido,
respectivamente:
yd
cu
cu
lim k
ε
ε
ε
ω
+
⋅
=
2
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
yd
cu
cu
yd
cu
cu
lim k
k
ε
ε
ε
ε
ε
ε
µ
2
2
2
2
2
1 1
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

143. Estruturas de Betão I
142/168
2011/2012
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
S400
αlim 0,668 0,641 0,625 0,608 0,599 0,599
ωlim 0,541 0,475 0,434 0,388 0,359 0,350
µlim 0,391 0,356 0,332 0,302 0,283 0,276
S500
αlim 0,617 0,588 0,572 0,554 0,545 0,545
ωlim 0,499 0,436 0,397 0,353 0,326 0,318
µlim 0,371 0,336 0,312 0,282 0,263 0,257
S600
αlim 0,573 0,543 0,526 0,509 0,499 0,499
ωlim 0,464 0,403 0,366 0,324 0,299 0,291
µlim 0,353 0,317 0,293 0,264 0,246 0,240
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

144. Estruturas de Betão I
143/168
2011/2012
Outra situação limite, igualmente considerada em [1], representa a
fronteira a partir da qual é mais racional armar duplamente a
secção. Para uma secção simplesmente armada, tem-se:
( )
c
d
f
A
M yd
s
Rd −
⋅
⋅
=
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

145. Estruturas de Betão I
144/168
2011/2012
Derivando esta expressão em ordem a As, pode determinar-se o
incremento de momento resistente com o aumento de armadura de
tracção:
( )
Rd
s yd
s s
dM d
A f d c
dA dA
⎡ ⎤
= ⋅ ⋅ −
⎣ ⎦
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

146. Estruturas de Betão I
145/168
2011/2012
Podendo obter-se:
[ ]
x
k
d
f
b
k
f
f
A
k
d
f
dA
dM
yd
cd
yd
s
yd
s
Rd
⋅
⋅
−
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
= 2
1
2 2
2
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

147. Estruturas de Betão I
146/168
2011/2012
Se o aumento de armadura for distribuído igualmente pelas faces
traccionada e comprimida da secção, tem-se que:
( )
a
d
f
A
M yd
s
Rd −
⋅
⋅
=
2
Δ
Δ
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

148. Estruturas de Betão I
147/168
2011/2012
sendo a a distância da fibra mais comprimida da secção ao centro
de gravidade da armadura de compressão. A partir de (25) pode
definir-se:
( )
a
d
f
dA
dM
yd
s
Rd
−
⋅
⋅
=
2
1
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

149. Estruturas de Betão I
148/168
2011/2012
Para que seja mais racional armar duplamente a secção, terá de
se verificar a seguinte inequação, obtida de (24) e (26):
[ ] ( )
a
d
f
x
k
d
f yd
yd −
⋅
⋅
<
⋅
⋅
−
⋅
2
1
2 2
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

150. Estruturas de Betão I
149/168
2011/2012
De onde vem que:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
=
d
a
k
lim 1
4
1
2
α
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
=
d
a
k
k
lim 1
4 2
1
ω
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
=
d
a
d
a
k
k
lim 1
4
1
1
1
4 2
1
µ
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

151. Estruturas de Betão I
150/168
2011/2012
a/d Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
0,05
αlim 0,631 0,670 0,696 0,725 0,740 0,744
ωlim 0,511 0,497 0,484 0,462 0,443 0,434
µlim 0,377 0,366 0,357 0,341 0,327 0,320
0,10
αlim 0,661 0,702 0,729 0,760 0,775 0,779
ωlim 0,535 0,521 0,507 0,484 0,465 0,455
µlim 0,388 0,377 0,367 0,351 0,337 0,330
0,15
αlim 0,691 0,734 0,762 0,794 0,810 0,815
ωlim 0,560 0,544 0,530 0,506 0,486 0,475
µlim 0,399 0,388 0,377 0,361 0,346 0,339
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

152. Estruturas de Betão I
151/168
2011/2012
Comparando os valores do Quadro 3 com os do Quadro 4, verifica-
se que:
(a) para betões de classe superior a C50/60, a condicionante é
sempre o limite entre rotura frágil e dúctil (Quadro 3);
(b) para betões de classe inferior ou igual a C50/60 e aços S500
ou S600, a condicionante é a mesma (Quadro 3);
(c) para betões de classe inferior a C50/60 e aço S400, a
condicionante ainda é a mesma (Quadro 3), para a/d=0,15,
passando a ser a eficácia do posicionamento das armaduras
(Quadro 4), para a/d=0,10 e a/d=0,05.
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

153. Estruturas de Betão I
152/168
2011/2012
É útil, em várias situações práticas, poder determinar-se de forma
expedita, ainda que aproximada, a área de armadura de tracção e
de compressão, sem ter que recorrer a cálculo automático ou a
tabelas/ábacos. Por este motivo, são apresentadas em [1]
“fórmulas simplificadas”.
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

154. Estruturas de Betão I
153/168
2011/2012
Sendo , a secção será simplesmente armada. Tem-se:
lim
µ
µ ≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
= ω
ω
µ
1
2
1
k
k
Podendo obter-se a expressão de cálculo da percentagem
mecânica de armadura:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
−
−
⋅
=
2
1
1
2
2
1
4
1
1
2
µ
ω
k
k
k
k
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

155. Estruturas de Betão I
154/168
2011/2012
Se , a secção será duplamente armada. Admitindo que o
acréscimo de momento reduzido, , é conseguido através da
colocação de uma armadura de compressão e de um acréscimo de
igual valor de armadura de tracção, mantendo-se a posição do eixo
neutro inalterada relativamente à situação limite considerada, vem:
lim
µ
µ >
lim
µ
µ −
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
ʹ′
=
−
⋅
⋅
⋅
⋅
ʹ′
=
−
d
a
a
d
f
f
d
b
A
yd
cd
s
1
2
lim ω
µ
µ
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

156. Estruturas de Betão I
155/168
2011/2012
e:
d
a
−
−
=
ʹ′
1
lim
µ
µ
ω
ω
ω
ω ʹ′
+
= lim
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

157. Estruturas de Betão I
156/168
2011/2012
o projectista pode entender considerar, em lugar do valor dado por
(16), o limite:
yd
cu
cu
lim
m ε
ε
ε
α
⋅
+
=
2
2
vindo:
yd
cu
cu
lim
m
k
ε
ε
ε
ω
⋅
+
⋅
=
2
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
=
yd
cu
cu
yd
cu
cu
lim
m
k
m
k
ε
ε
ε
ε
ε
ε
µ
2
2
2
2
2
1 1
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

158. Estruturas de Betão I
157/168
2011/2012
Exercício: Calcular a armadura necessária para uma secção
rectangular de 0.25x0.50m sujeita a um momento flector de cálculo
de 250kNm. O betão é da classe C30 e o aço S500.
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

159. Estruturas de Betão I
158/168
2011/2012
1 2
1 2
2 1
1 1 4 0.290
2
k k
k k
ω µ
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎢ ⎥
= ⋅ − − ⋅ ⋅ =
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦
1 0.810
k = 2 0.416
k =
2
0.247
Rd
cd
M
bd f
µ = =
2
15
cd
s
yd
bdf
A cm
f
ω
= =
M2 – 2. Flexão Simples: FÓRMULAS

160. Estruturas de Betão I
159/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS

161. Estruturas de Betão I
160/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS

162. Estruturas de Betão I
161/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS

163. Estruturas de Betão I
162/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS

164. Estruturas de Betão I
163/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS

165. Estruturas de Betão I
164/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS

166. Estruturas de Betão I
165/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS

167. Estruturas de Betão I
166/168
2011/2012
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS

168. Estruturas de Betão I
167/168
2011/2012
Exercício: Calcular a armadura necessária para uma secção
rectangular de 0.25x0.50m sujeita a um momento flector de cálculo
de 250kNm. O betão é da classe C30 e o aço S500.
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS

169. Estruturas de Betão I
168/168
2011/2012
2
0.247
Rd
cd
M
bd f
µ = = 0.290
ω
→ = 2
15
cd
s
yd
bdf
A cm
f
ω
→ = =
M2 – 2. Flexão Simples: TABELAS

170. Estruturas de Betão I
0/84
2011/2012
Mestrado em Engenharia Civil
2011 / 2012
Eduardo S. Júlio
Estruturas de Betão I
Cálculo de Secções em Flexão Simples

171. Estruturas de Betão I
1/84
2011/2012
Sumário
1. Dimensionamento
por
equilíbrio
da
secção
2. Dimensionamento
com
fórmulas
3.Dimensionamento
com
tabelas
4.Exercício

172. Estruturas de Betão I
2/84
2011/2012
Sumário
1.Dimensionamento
por
equilíbrio
da
secção
2. Dimensionamento
com
fórmulas
3.Dimensionamento
com
tabelas
4.Exercício

173. Estruturas de Betão I
3/84
2011/2012
1.Dimensionamento
por
equilíbrio
da
secção
1.1
Adoptando
o
diagrama
rectangular
1.2
Adoptando
o
diagrama
parábola-­‐rectângulo
2. Dimensionamento
com
fórmulas
3.Dimensionamento
com
tabelas
4.Exercício
Sumário

174. Estruturas de Betão I
4/84
2011/2012
Exercício: Calcular a armadura necessária para uma secção
rectangular de 0.30x0.60m sujeita a um momento flector de cálculo
de 800kNm. O betão é da classe C30/37 e o aço da classe S500.
Dimensionamento por equilíbrio da secção

175. Estruturas de Betão I
5/84
2011/2012
εcu3=3.5 ‰
Fc
Fs
εs
x 0.8x
d=0.53m
fcd
As
h=0.60m
b=0.30m
Dimensionamento por equilíbrio da secção

176. Estruturas de Betão I
6/84
2011/2012
Limite a assegurar:
Dimensionamento por equilíbrio da secção

177. Estruturas de Betão I
7/84
2011/2012
εcu3=3.5 ‰
Fc
Fs
εy=2.17 ‰
d=0.53m
fcd
As
h=0.60m
b=0.30m
x=0.33m 0.8x=0.26m
3.5 2.17
0.33
0.53
x m
x x
= ⇒ =
−
Dimensionamento por equilíbrio da secção

178. Estruturas de Betão I
8/84
2011/2012
3
0.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584
c cd
F x f b kN
= ⋅ ⋅ = × × × × =
Cálculo das resultantes
Dimensionamento por equilíbrio da secção

179. Estruturas de Betão I
9/84
2011/2012
3
0.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584
c cd
F x f b kN
= ⋅ ⋅ = × × × × =
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
Dimensionamento por equilíbrio da secção

180. Estruturas de Betão I
10/84
2011/2012
3
0.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584
c cd
F x f b kN
= ⋅ ⋅ = × × × × =
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
0 1584
Rd i c s Ed s c
i
N F F F N F F kN
= = − = = ⇒ = =
∑
Dimensionamento por equilíbrio da secção

181. Estruturas de Betão I
11/84
2011/2012
3
0.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584
c cd
F x f b kN
= ⋅ ⋅ = × × × × =
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
( )
1584 0.53 0.4 0.33 630 800
Rd Ed
M kNm kNm M
= × − × = < =
0 1584
Rd i c s Ed s c
i
N F F F N F F kN
= = − = = ⇒ = =
∑
Dimensionamento por equilíbrio da secção

182. Estruturas de Betão I
12/84
2011/2012
3
0.8 0.8 0.33 20 10 0.3 1584
c cd
F x f b kN
= ⋅ ⋅ = × × × × =
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
Equações de equilíbrio estático
( )
1584 0.53 0.4 0.33 630 800
Rd Ed
M kNm kNm M
= × − × = < =
A secção tem de ser duplamente armada !
0 1584
Rd i c s Ed s c
i
N F F F N F F kN
= = − = = ⇒ = =
∑
Dimensionamento por equilíbrio da secção

183. Estruturas de Betão I
13/84
2011/2012
εcu3=3.5 ‰
Fc
Fs
εy=2.17 ‰
d=0.53m
fcd
As
h=0.60m
b=0.30m
x=0.33m 0.8x=0.26m
F’s
A’
s
εs’=2.76 ‰
3
3.5
2.76 10
0.33 0.33 0.07
s
s
ε
ε −
ʹ′
ʹ′
= ⇒ = ×
−
Dimensionamento por equilíbrio da secção

184. Estruturas de Betão I
14/84
2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s 1584
c
F kN
=
Cálculo das resultantes
Dimensionamento por equilíbrio da secção

185. Estruturas de Betão I
15/84
2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s 1584
c
F kN
=
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
Dimensionamento por equilíbrio da secção

186. Estruturas de Betão I
16/84
2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s 1584
c
F kN
=
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3
435 10
s yd s s
F f A A
ʹ′ ʹ′ ʹ′
= ⋅ = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção

187. Estruturas de Betão I
17/84
2011/2012
Fc
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1584
c
F kN
=
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3
435 10
s yd s s
F f A A
ʹ′ ʹ′ ʹ′
= ⋅ = × ⋅
3
1584 0.40 435 10 0.46
Rd s
M Aʹ′
= × + × ⋅ ×
630.4 200100
Rd s
M Aʹ′
⇒ = +
0.53-0.4×0.33=0.40m
Dimensionamento por equilíbrio da secção

188. Estruturas de Betão I
18/84
2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
Dimensionamento por equilíbrio da secção

189. Estruturas de Betão I
19/84
2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
2
8.5
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
Dimensionamento por equilíbrio da secção

190. Estruturas de Betão I
20/84
2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
2
8.5
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
c s s
F F F
ʹ′
+ =
Dimensionamento por equilíbrio da secção

191. Estruturas de Betão I
21/84
2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
2
8.5
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
c s s
F F F
ʹ′
+ =
3 4 3
1584 435 10 8.5 10 435 10 s
A
−
⇒ + × × × = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção

192. Estruturas de Betão I
22/84
2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
2
8.5
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
c s s
F F F
ʹ′
+ =
2
44.9
s
A cm
⇒ =
3 4 3
1584 435 10 8.5 10 435 10 s
A
−
⇒ + × × × = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção

193. Estruturas de Betão I
23/84
2011/2012
Fc
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
630.4 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
2
8.5
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
c s s
F F F
ʹ′
+ =
2
44.9 8.5 53.4
s s
A A cm
ʹ′
+ = + =
2
44.9
s
A cm
⇒ =
3 4 3
1584 435 10 8.5 10 435 10 s
A
−
⇒ + × × × = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção

194. Estruturas de Betão I
24/84
2011/2012
1.Dimensionamento
por
equilíbrio
da
secção
1.1
Adoptando
o
diagrama
rectangular
1.2
Adoptando
o
diagrama
parábola-­‐rectângulo
2. Dimensionamento
com
fórmulas
3.Dimensionamento
com
tabelas
4.Exercício
Sumário

195. Estruturas de Betão I
25/84
2011/2012
εcu3=3.5 ‰
Fc
Fs
εy=2.17 ‰
d=0.53m
fcd
As
h=0.60m
b=0.30m
x=0.33m
F’s
A’
s
εs’=2.76 ‰
Dimensionamento por equilíbrio da secção

196. Estruturas de Betão I
26/84
2011/2012
3
1 20 10 0.81 0.30 0.33 1604
c cd
F f k b x kN
= ⋅ ⋅ ⋅ = × × × × =
2 0.416 0.33 0.14
c k x m
= ⋅ = × =
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
k1 0,810 0,742 0,695 0,637 0,599 0,583
k2 0,416 0,392 0,377 0,362 0,355 0,353
Dimensionamento por equilíbrio da secção

197. Estruturas de Betão I
27/84
2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1604
c
F kN
=
Cálculo das resultantes
0.53-0.14=0.39m
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção

198. Estruturas de Betão I
28/84
2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1604
c
F kN
=
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
0.53-0.14=0.39m
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção

199. Estruturas de Betão I
29/84
2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1604
c
F kN
=
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3
435 10
s yd s s
F f A A
ʹ′ ʹ′ ʹ′
= ⋅ = × ⋅
0.53-0.14=0.39m
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção

200. Estruturas de Betão I
30/84
2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1604
c
F kN
=
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3
435 10
s yd s s
F f A A
ʹ′ ʹ′ ʹ′
= ⋅ = × ⋅
3
1604 0.39 435 10 0.46
Rd s
M Aʹ′
= × + × ⋅ ×
0.53-0.14=0.39m
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção

201. Estruturas de Betão I
31/84
2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 1604
c
F kN
=
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3
435 10
s yd s s
F f A A
ʹ′ ʹ′ ʹ′
= ⋅ = × ⋅
3
1604 0.39 435 10 0.46
Rd s
M Aʹ′
= × + × ⋅ ×
626 200100
Rd s
M Aʹ′
⇒ = +
0.53-0.14=0.39m
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção

202. Estruturas de Betão I
32/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
626 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção

203. Estruturas de Betão I
33/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
626 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
2
8.7
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção

204. Estruturas de Betão I
34/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
626 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
2
8.7
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
c s s
F F F
ʹ′
+ =
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção

205. Estruturas de Betão I
35/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
626 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
2
8.7
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
c s s
F F F
ʹ′
+ =
3 4 3
1604 435 10 8.7 10 435 10 s
A
−
⇒ + × × × = × ⋅
Fc
Dimensionamento por equilíbrio da secção

206. Estruturas de Betão I
36/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
626 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
2
8.7
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
c s s
F F F
ʹ′
+ =
2
45.6
s
A cm
⇒ =
Fc
3 4 3
1604 435 10 8.7 10 435 10 s
A
−
⇒ + × × × = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção

207. Estruturas de Betão I
37/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
626 200100 800
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
2
8.7
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
c s s
F F F
ʹ′
+ =
Fc
2
45.6 8.7 54.3
s s
A A cm
ʹ′
+ = + =
2
45.6
s
A cm
⇒ =
3 4 3
1604 435 10 8.7 10 435 10 s
A
−
⇒ + × × × = × ⋅
Dimensionamento por equilíbrio da secção

208. Estruturas de Betão I
38/84
2011/2012
1. Dimensionamento
por
equilíbrio
da
secção
2.Dimensionamento
com
fórmulas
3.Dimensionamento
com
tabelas
4.Exercício
Sumário

209. Estruturas de Betão I
39/84
2011/2012
1. Dimensionamento
por
equilíbrio
da
secção
2.Dimensionamento
com
fórmulas
2.1
Adoptando
εs=εy
2.2
Adoptando
εs=2εy
3.Dimensionamento
com
tabelas
4.Exercício
Sumário

210. Estruturas de Betão I
40/84
2011/2012
2 2 3
800
0.475
0.30 0.53 20 10
Rd
cd
M
bd f
µ = = =
× × ×
Dimensionamento com fórmulas

211. Estruturas de Betão I
41/84
2011/2012
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
S400
αlim 0,668 0,641 0,625 0,608 0,599 0,599
ωlim 0,541 0,475 0,434 0,388 0,359 0,350
µlim 0,391 0,356 0,332 0,302 0,283 0,276
S500
αlim 0,617 0,588 0,572 0,554 0,545 0,545
ωlim 0,499 0,436 0,397 0,353 0,326 0,318
µlim 0,371 0,336 0,312 0,282 0,263 0,257
S600
αlim 0,573 0,543 0,526 0,509 0,499 0,499
ωlim 0,464 0,403 0,366 0,324 0,299 0,291
µlim 0,353 0,317 0,293 0,264 0,246 0,240
Limite para garantir rotura dúctil
Dimensionamento com fórmulas

212. Estruturas de Betão I
42/84
2011/2012
a/d Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
0,05
αlim 0,631 0,670 0,696 0,725 0,740 0,744
ωlim 0,511 0,497 0,484 0,462 0,443 0,434
µlim 0,377 0,366 0,357 0,341 0,327 0,320
0,10
αlim 0,661 0,702 0,729 0,760 0,775 0,779
ωlim 0,535 0,521 0,507 0,484 0,465 0,455
µlim 0,388 0,377 0,367 0,351 0,337 0,330
0,15
αlim 0,691 0,734 0,762 0,794 0,810 0,815
ωlim 0,560 0,544 0,530 0,506 0,486 0,475
µlim 0,399 0,388 0,377 0,361 0,346 0,339
Limite para garantir economia
lim
0.13 0.395
a
d
µ
= → =
Dimensionamento com fórmulas

213. Estruturas de Betão I
43/84
2011/2012
0.475 0.371
µ = >
Logo, a secção deve ser armada duplamente!
Dimensionamento com fórmulas

214. Estruturas de Betão I
44/84
2011/2012
lim 0.475 0.371
0.120
1 0.13
1
a
d
µ µ
ω
− −
ʹ′ = = =
−
−
Dimensionamento com fórmulas

215. Estruturas de Betão I
45/84
2011/2012
lim 0.475 0.371
0.120
1 0.13
1
a
d
µ µ
ω
− −
ʹ′ = = =
−
−
2
0.120 0.30 0.53 20
8.8
435
cd
s
yd
bdf
A cm
f
ωʹ′ × × ×
ʹ′ = = =
Dimensionamento com fórmulas

216. Estruturas de Betão I
46/84
2011/2012
lim
ω ω ωʹ′
= +
Dimensionamento com fórmulas

217. Estruturas de Betão I
47/84
2011/2012
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
S400
αlim 0,668 0,641 0,625 0,608 0,599 0,599
ωlim 0,541 0,475 0,434 0,388 0,359 0,350
µlim 0,391 0,356 0,332 0,302 0,283 0,276
S500
αlim 0,617 0,588 0,572 0,554 0,545 0,545
ωlim 0,499 0,436 0,397 0,353 0,326 0,318
µlim 0,371 0,336 0,312 0,282 0,263 0,257
S600
αlim 0,573 0,543 0,526 0,509 0,499 0,499
ωlim 0,464 0,403 0,366 0,324 0,299 0,291
µlim 0,353 0,317 0,293 0,264 0,246 0,240
Dimensionamento com fórmulas

218. Estruturas de Betão I
48/84
2011/2012
lim 0.499 0.120 0.619
ω ω ωʹ′
= + = + =
Dimensionamento com fórmulas

219. Estruturas de Betão I
49/84
2011/2012
lim 0.499 0.120 0.619
ω ω ωʹ′
= + = + =
2
0.619 0.30 0.53 20
45.3
435
cd
s
yd
bdf
A cm
f
ω × × ×
= = =
Dimensionamento com fórmulas

220. Estruturas de Betão I
50/84
2011/2012
lim 0.499 0.120 0.619
ω ω ωʹ′
= + = + =
2
0.619 0.30 0.53 20
45.3
435
cd
s
yd
bdf
A cm
f
ω × × ×
= = =
2
45.3 8.8 54.1
s s
A A cm
ʹ′
+ = + =
Dimensionamento com fórmulas

221. Estruturas de Betão I
51/84
2011/2012
1. Dimensionamento
por
equilíbrio
da
secção
2.Dimensionamento
com
fórmulas
2.1
Adoptando
εs=εy
2.2
Adoptando
εs=2εy
3.Dimensionamento
com
tabelas
4.Exercício
Sumário

222. Estruturas de Betão I
52/84
2011/2012
2
lim 1
2
3.5
0.81 0.362
3.5 2 2.17
cu
cu yd
k
m
ε
ω
ε ε
= ⋅ = × =
+ ⋅ + ×
Dimensionamento com fórmulas

223. Estruturas de Betão I
53/84
2011/2012
2
lim 1
2
3.5
0.81 0.362
3.5 2 2.17
cu
cu yd
k
m
ε
ω
ε ε
= ⋅ = × =
+ ⋅ + ×
2 2
lim 1 2
2 2
1
cu cu
cu yd cu yd
k k
m m
ε ε
µ
ε ε ε ε
⎛ ⎞
= ⋅ ⋅ − ⋅
⎜ ⎟
⎜ ⎟
+ ⋅ + ⋅
⎝ ⎠
Dimensionamento com fórmulas

224. Estruturas de Betão I
54/84
2011/2012
2
lim 1
2
3.5
0.81 0.362
3.5 2 2.17
cu
cu yd
k
m
ε
ω
ε ε
= ⋅ = × =
+ ⋅ + ×
lim
3.5
0.362 1 0.416 0.295
3.5 2 2.17
µ
⎛ ⎞
⇒ = × − × =
⎜ ⎟
+ ×
⎝ ⎠
2 2
lim 1 2
2 2
1
cu cu
cu yd cu yd
k k
m m
ε ε
µ
ε ε ε ε
⎛ ⎞
= ⋅ ⋅ − ⋅
⎜ ⎟
⎜ ⎟
+ ⋅ + ⋅
⎝ ⎠
Dimensionamento com fórmulas

225. Estruturas de Betão I
55/84
2011/2012
lim 0.475 0.295
0.207
1 0.13
1
a
d
µ µ
ω
− −
ʹ′ = = =
−
−
Dimensionamento com fórmulas

226. Estruturas de Betão I
56/84
2011/2012
lim 0.475 0.295
0.207
1 0.13
1
a
d
µ µ
ω
− −
ʹ′ = = =
−
−
2
0.207 0.30 0.53 20
15.1
435
cd
s
yd
bdf
A cm
f
ωʹ′ × × ×
ʹ′ = = =
Dimensionamento com fórmulas

227. Estruturas de Betão I
57/84
2011/2012
lim 0.362 0.207 0.569
ω ω ωʹ′
= + = + =
Dimensionamento com fórmulas

228. Estruturas de Betão I
58/84
2011/2012
lim 0.362 0.207 0.569
ω ω ωʹ′
= + = + =
2
0.569 0.30 0.53 20
41.6
435
cd
s
yd
bdf
A cm
f
ω × × ×
= = =
Dimensionamento com fórmulas

229. Estruturas de Betão I
59/84
2011/2012
lim 0.362 0.207 0.569
ω ω ωʹ′
= + = + =
2
0.569 0.30 0.53 20
41.6
435
cd
s
yd
bdf
A cm
f
ω × × ×
= = =
2
41.6 15.1 56.7
s s
A A cm
ʹ′
+ = + =
Dimensionamento com fórmulas

230. Estruturas de Betão I
60/84
2011/2012
1. Dimensionamento
por
equilíbrio
da
secção
2. Dimensionamento
com
fórmulas
3.Dimensionamento
com
tabelas
4.Exercício
Sumário

231. Estruturas de Betão I
61/84
2011/2012
0.475
µ =
Dimensionamento com tabelas

232. Estruturas de Betão I
62/84
2011/2012
0,475
Para A´/A=0,0 não há solução!
Dimensionamento com tabelas

233. Estruturas de Betão I
63/84
2011/2012
0,475
A secção tem de ser duplamente armada !
Dimensionamento com tabelas

234. Estruturas de Betão I
64/84
2011/2012
0,475
Para A´/A=0,2 => ω=0.609 (x1.2=0.731)
Dimensionamento com tabelas

235. Estruturas de Betão I
65/84
2011/2012
0,475
Para A´/A=0,3 => ω=0.575 (x1.3=0.748>0.731!)
Dimensionamento com tabelas

236. Estruturas de Betão I
66/84
2011/2012
Adopta-se A´/A=0,2
Dimensionamento com tabelas

237. Estruturas de Betão I
67/84
2011/2012
2
0.609 0.30 0.53 20
44.5
435
cd
s
yd
bdf
A cm
f
ω × × ×
= = =
Adopta-se A´/A=0,2
Dimensionamento com tabelas

238. Estruturas de Betão I
68/84
2011/2012
2
0.609 0.30 0.53 20
44.5
435
cd
s
yd
bdf
A cm
f
ω × × ×
= = =
2
0.2 44.5 8.9
s
A cm
ʹ′ = × =
Adopta-se A´/A=0,2
Dimensionamento com tabelas

239. Estruturas de Betão I
69/84
2011/2012
2
0.609 0.30 0.53 20
44.5
435
cd
s
yd
bdf
A cm
f
ω × × ×
= = =
2
0.2 44.5 8.9
s
A cm
ʹ′ = × =
Adopta-se A´/A=0,2
2
44.5 8.9 53.4
s s
A A cm
ʹ′
+ = + =
Dimensionamento com tabelas

240. Estruturas de Betão I
70/84
2011/2012
1. Dimensionamento
por
equilíbrio
da
secção
2. Dimensionamento
com
fórmulas
3.Dimensionamento
com
tabelas
4.Exercício
Sumário

241. Estruturas de Betão I
71/84
2011/2012
Exercício: Resolva o exercício anterior para betão da classe
C40/50 e MEd=1000kNm.
Exercício

242. Estruturas de Betão I
72/84
2011/2012
εcu3=3.5 ‰
Fc
Fs
εy=2.17 ‰
d=0.53m
fcd
As
h=0.60m
b=0.30m
x=0.33m
F’s
A’
s
εs’=2.76 ‰
Exercício

243. Estruturas de Betão I
73/84
2011/2012
3
1 26.7 10 0.81 0.30 0.33 2141
c cd
F f k b x kN
= ⋅ ⋅ ⋅ = × × × × =
2 0.416 0.33 0.14
c k x m
= ⋅ = × =
Classes ≤ 50/60 55/67 60/75 70/85 80/95 90/105
k1 0,810 0,742 0,695 0,637 0,599 0,583
k2 0,416 0,392 0,377 0,362 0,355 0,353
Exercício

244. Estruturas de Betão I
74/84
2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s 2141
c
F kN
=
Cálculo das resultantes
0.53-0.14=0.39m
Fc
Exercício

245. Estruturas de Betão I
75/84
2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
0.53-0.14=0.39m
Fc
2141
c
F kN
=
Exercício

246. Estruturas de Betão I
76/84
2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3
435 10
s yd s s
F f A A
ʹ′ ʹ′ ʹ′
= ⋅ = × ⋅
0.53-0.14=0.39m
Fc
2141
c
F kN
=
Exercício

247. Estruturas de Betão I
77/84
2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3
435 10
s yd s s
F f A A
ʹ′ ʹ′ ʹ′
= ⋅ = × ⋅
3
2141 0.39 435 10 0.46
Rd s
M Aʹ′
= × + × ⋅ ×
0.53-0.14=0.39m
Fc
2141
c
F kN
=
Exercício

248. Estruturas de Betão I
78/84
2011/2012
Fs
fcd
0.53-0.07=0.46m
F’s
3
435 10
s yd s s
F f A A
= ⋅ = × ⋅
Cálculo das resultantes
3
435 10
s yd s s
F f A A
ʹ′ ʹ′ ʹ′
= ⋅ = × ⋅
3
2141 0.39 435 10 0.46
Rd s
M Aʹ′
= × + × ⋅ ×
835 200100
Rd s
M Aʹ′
⇒ = +
0.53-0.14=0.39m
Fc
2141
c
F kN
=
Exercício

249. Estruturas de Betão I
79/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
835 200100 1000
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
Fc
Exercício

250. Estruturas de Betão I
80/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
2
8.2
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
Fc
835 200100 1000
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
Exercício

251. Estruturas de Betão I
81/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
c s s
F F F
ʹ′
+ =
Fc
2
8.2
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
835 200100 1000
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
Exercício

252. Estruturas de Betão I
82/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
c s s
F F F
ʹ′
+ =
3 4 3
2141 435 10 8.2 10 435 10 s
A
−
⇒ + × × × = × ⋅
Fc
2
8.2
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
835 200100 1000
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
Exercício

253. Estruturas de Betão I
83/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
c s s
F F F
ʹ′
+ =
2
57.4
s
A cm
⇒ =
Fc
3 4 3
2141 435 10 8.2 10 435 10 s
A
−
⇒ + × × × = × ⋅
2
8.2
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
835 200100 1000
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
Exercício

254. Estruturas de Betão I
84/84
2011/2012
Fs
fcd F’s
Equações de equilíbrio estático
c s s
F F F
ʹ′
+ =
2
57.4
s
A cm
⇒ =
Fc
3 4 3
2141 435 10 8.2 10 435 10 s
A
−
⇒ + × × × = × ⋅
2
8.2
s
A cm
ʹ′
⇒ ≥
835 200100 1000
Rd s Ed
M A kNm M
ʹ′
= + ≥ =
2
57.4 8.2 65.6
s s
A A cm
ʹ′
+ = + =
Exercício