1) O documento discute a aplicação de modelos de programação estocástica de dois estágios com recurso para resolver o problema de planejamento de turnês musicais. 2) É apresentado um modelo matemático determinístico inicial e uma extensão desse modelo para torná-lo mais realista, considerando fatores como variação nos parâmetros e custos de hospedagem. 3) O objetivo é modelar as incertezas envolvidas no planejamento de turnês usando programação estocástica de dois estágios com o intuito

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EM GESTÃO E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO SOROCABA
Aplicação de Modelos de Programação Estocástica de Dois
Estágios com Recurso: Um Estudo de um Problema de
Planejamento de Turnê Musical.
Nome: Camille Ayume de Melo Kamimura RA: 560448
Diego Gonzales de Souza 560456
Marília Feresin Gomes 560758
Wesley Tacconi Delgado Júnior 560375
Disciplina: Tópicos em Pesquisa Operacional.
Docente: Douglas Alem Junior.
Sorocaba
2015

2. 1. INTRODUÇÃO
A evolução da tecnologia nas últimas duas décadas possibilitou grandes avanços no
compartilhamento de arquivos online. Seja ele via pen-drive, P2P (peer-to-peer) ou conexão de rede
convencional, esse compartilhamento tem transformado – desde o início do século XXI - a forma
como arquivos de música são “adquiridos” pelas pessoas ao redor do mundo. O acesso facilitado e,
muitas vezes, ilegal às faixas de música, impacta diretamente a venda de CDs, DVDs e outras formas
de gravações de som comercializadas por gravadoras musicais (LIEBOWITZ, 2008).
Como a maioria dos produtos musicais era comercializada apenas em forma de CDs e DVDs
até o final do século XX, cantores do mundo todo viram sua receita - obtida principalmente com a
venda de músicas - ser drasticamente reduzida. Além de terem que se adaptar às tecnologias
emergentes, as bandas precisaram desenvolver métodos alternativos para complementar suas receitas.
Dessa necessidade dos músicos surgiu uma das principais tendências do mercado da música
atual: o investimento na realização de turnês para complementar a renda das bandas e impulsionar a
venda de materiais oficiais como CDs, DVDs e camisetas. Essa nova prática fez com que os músicos
se tornassem menos dependentes da venda de mídia física, embora o desgaste com as viagens e
shows seja consideravelmente maior do que era antes das turnês.
Então, para a realização de uma turnê de sucesso, deve-se considerar alguns fatores nesse
complexo processo de planejamento, tais como orçamento ou planejamento financeiro, localidades
nas quais a banda realizará os shows, quanto tempo ela passará em cada localidade e preferências e
desejos que a banda possa vir apresentar.
Em geral, as bandas ou seus agentes têm que lidar com todos esses fatores, o que aumenta
muito o risco de realização de uma turnê. Por isso, na maioria das vezes, as bandas contratam
empresas especializadas no planejamento de turnês que, por sua vez, ficam responsáveis por todo o
processo de organização das finanças, datas, locais e duração da turnê da banda, além de verificar a
disponibilidade das casas de shows e preparar outros detalhes mais da turnê. As turnês são realizadas
por bandas para atender seus fãs no mundo todo, então, atendimento de grandes públicos geralmente
é um fator levado em consideração na escolha da rota que a banda percorrerá durante a turnê. Muitas
bandas consideram as turnês uma atividade lucrativa, outras veem muita dificuldade para se planejar
financeiramente devido aos riscos que estão associados a essa atividade.
Dadas essas decisões e muitas outras que podem existir no processo de planejamento de uma
turnê, viu-se na área de Pesquisa Operacional uma ferramenta para atingir melhor desempenho nas
tomadas de decisões envolvidas no problema. Existem muitas abordagens possíveis para tratar o
problema de programação de turnês. Uma dessas formas é a construção de heurística considerando os
principais parâmetros envolvidos nesse problema de programação e planejamento (NGHIEM,
YUNES; 2014). A construção de uma heurística é interessante, pois exige baixo esforço
computacional e facilita o entendimento do problema por parte de pessoas leigas.
Entretanto, há um custo por não se considerar o problema completo, ou seja, quando o
número de restrições, variáveis e parâmetros é relativamente pequeno, existe risco de não conseguir
modelar o problema realisticamente. Isso pode ocorrer, pois muitos fatores incertos não são
considerados nessas heurísticas simplificadas.
O outro extremo desse trade-off (esforço computacional vs. falta de realidade) pode ser a
modelagem por programação estocástica de dois estágios com recurso. Nessa linha, optou-se (num
primeiro momento) por modelar o problema de planejamento de turnês de forma simplificada, como
um problema determinístico amplo, mas que já que considera a maioria dos fatores relevantes para a
realização de uma turnê - os quais foram citados anteriormente.
Posteriormente, o modelo determinístico elaborado deu origem a uma extensão, ainda
determinística, e a um modelo de programação estocástica de dois estágios com recurso, este último
que considera algumas das incertezas envolvidas no planejamento de uma turnê.

3. Modelar o problema estocasticamente apresenta esforço computacional relativamente alto,
mas pode possibilitar maior aderência na obtenção soluções, ou seja, a modelagem do problema pode
torna-se mais próxima da realidade e as soluções, mais precisas.
2. ABORDAGENS PROPOSTAS PARA O PROBLEMA
2.1.Modelo Matemático Determinístico Inicial
O modelo inicial foi baseado em um Trabalho feito na Disciplina de Pesquisa Operacional
II. Nesse modelo as premissas foram consideradas de modo a serem compatíveis com os assuntos
abordados na disciplina. Dessa forma, muitas simplificações foram consideradas, por exemplo, a
consideração de que o tempo de estadia nos nós escolhidos para a realização de show é igual a um
dia. Caso não haja a realização do show no nó i o tempo de estadia é considerado igual a zero dias.
Para a primeira modelagem determinística do problema de planejamento de turnê,
considerou-se G = (N, E) o grafo não orientado completo onde 𝑁 = 𝐶 ∪ {0}, 𝐶 = { 1, 2, . . . , 𝑛} é o
conjunto de n nós que representam os locais candidatos à realização dos shows, sendo o nó 0 o ponto
de partida e de retorno. O conjunto 𝐸 = {(𝑖, 𝑗) ∶ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖, 𝑗 ≠ 0} corresponde ao conjunto de
arcos associado às conexões entre os nós. Considere também os conjuntos K para os tipos de
ingressos (idoso, estudante e inteira) e M para os materiais oficiais da banda a serem vendidos
(camisetas, blusas, carteira e chaveiro), indexados por k e m, respectivamente. Os seguintes
parâmetros e variáveis são utilizados:
Parâmetros
𝐶𝑎𝑝𝑖 – Capacidade de recebimento de fãs do nó i
𝑓𝑖 – Custo referente à apresentação de um show no local i
𝑝𝑖 𝑘 – Proporção de pessoas que comprarão o ingresso do tipo k
𝑝𝑚 𝑚 – Proporção de pessoas que comprarão o produto do tipo m
𝑏 𝑘 – Preço do ingresso do tipo k
𝑞 𝑚 – Preço do produto do tipo m
ℎ𝑖𝑗 – Tempo, em dias, de viagem de i para j
𝑙𝑖 – Duração, em dias, da estadia no local i
𝑇 – Tempo máximo para a realização da turnê
𝑑𝑖𝑗 – Distância entre os nós i e j
𝑒1 – Custo de transporte aéreo por dia
𝑒2 – Custo de transporte por km
𝑂 – Orçamento disponível para a turnê
Variáveis de Decisão
𝑥𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑒 𝑎 𝑟𝑜𝑡𝑎 (𝑖, 𝑗)é 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
𝑦𝑖 = {
1, 𝑠𝑒 𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑖 é 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑜 𝑠ℎ𝑜𝑤
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
𝑢𝑖 – Variável auxiliar
𝑴𝒂𝒙 ∑ ∑ 𝒃 𝒌 𝒑𝒊 𝒌 𝑪𝒂𝒑𝒊 𝒚𝒊
𝒌∈𝑲𝒊∈𝑪
+ ∑ ∑ 𝒒 𝒎 𝒑𝒎 𝒎
𝒎∈𝑴
𝑪𝒂𝒑𝒊 𝒚𝒊
𝒊∈𝑪
− ∑ ∑(𝒆 𝟏 𝐡𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋 + 𝒆 𝟐 𝒅𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋)
𝒋∈𝑵𝒊∈𝑵
− ∑ 𝒇𝒊 𝒚𝒊
𝒊∈𝑪
(1)

4. ∑ ∑(𝒆 𝟏 𝐡𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋 + 𝒆 𝟐 𝒅𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋)
𝒋∈𝑵𝒊∈𝑵
+ ∑ 𝒇𝒊 𝒚𝒊
𝒊∈𝑪
≤ 𝑶 (2)
∑ ∑ 𝐡𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋
𝒋∈𝑵𝒊∈𝑵
+ ∑ 𝒍𝒊 𝒚𝒊
𝒊∈𝑵
≤ 𝑻 (3)
∑ 𝒙 𝟎𝒋
𝒋∈𝑵
= 𝟏 (4)
∑ 𝒙𝒊𝟎
𝒊∈𝑵
= 𝟏 (5)
∑ 𝒙𝒊𝐡
𝒊∈𝑵
− ∑ 𝒙 𝐡𝒋
𝒋∈𝑵
= 𝟎, 𝐡 ∈ 𝑪 (6)
𝒖𝒊 − 𝒖𝒋 + 𝒏 𝒙𝒊𝒋 ≤ 𝒏 − 𝟏, ∀ (𝒊, 𝒋) ∈ 𝑵 (7)
𝒙𝒊𝒋 ≤ 𝒚𝒊, ∀ 𝒊 ∈ 𝑪 (8)
𝒙 ∈ 𝔹|𝑰||𝑱|
, 𝒚 ∈ 𝔹|𝑰|
, 𝒖 ∈ ℤ+
|𝑰| (9)
A função objetivo (1) busca maximizar o lucro, expresso pela soma dos ingressos vendidos
menos os custos de transporte e os custos referentes à realização dos shows. O conjunto de restrições
expressos em (2) garantem que os custos não excedam o limite orçamentário disponível, ao passo
que as restrições (3) limitam a turnê a um dado tempo máximo para a sua realização. As restrições
(4) e (5) asseguram que a rota comece e termine em um mesmo ponto. As restrições (6) representam
restrições de fluxo na qual só se deixará um nó se a priori tiver entrado neste nó. As restrições (7)
buscam eliminar a existência de sub-rotas. As restrições (8) constituem-se em relações entre
variáveis, onde só poderão ser contabilizadas as pessoas que vão ao show, respeitando a capacidade
do local, bem como suas rotas, se o nó para tal for aberto. Por fim, as restrições (9) indicam os
domínios das variáveis.
2.2.Extensão do Modelo Matemático Determinístico
Uma das formas utilizadas para aproximar mais o modelo da realidade foi o ajuste da
maneira como eram consideradas as variações de alguns parâmetros em função de fatores que podem
influenciar seu comportamento.
Dessa forma, uma primeira adaptação foi considerar os parâmetros de proporção do público
que comparece ao show e proporção dos que compram os produtos oficiais da banda como
parâmetros dependentes não só do tipo de ingresso e produto, respectivamente, como também
variando em função do local do show. Dessa forma, o preço estipulado para o Rio de Janeiro é
diferente do preço para Fortaleza, por exemplo. O critério para atribuir essa variação local aos
parâmetros citados foi o mesmo utilizado para elaborar o preço dos ingressos em cada nó i, ou seja, a
variação de local para local foi estabelecida com base no poder aquisitivo da população do nó i
(INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA, 2015).
Nessa extensão do problema determinístico considerou-se também, que a banda não se
locomove de avião e sim de ônibus particular. Entretanto, o caminhão de carga pessoal da banda foi
mantido. Como o custo de rodagem e a velocidade média do ônibus e do caminhão são bastante
semelhantes, considerou-se (para efeito de praticidade) que o caminhão e o ônibus saem no mesmo
momento de cada nó i e chegam juntos ao nó j subsequente.
Além disso, adicionou-se um parâmetro que representa o custo relacionado à hospedagem
em cada local i potencial para a realização de show. Então, para cada nó em que a banda faz o
descanso (show feito), há um custo de hospedagem associado que é contabilizado pelo limite de
orçamento e pela função objetivo do problema definido.

5. Também foi inserida variável de folga para possibilitar, agora, que hajam possíveis atrasos
na turnê, permitindo que a solução extrapole o prazo inicialmente estipulado para a realização da
turnê. Esse atraso é permitido mediante penalidade no orçamento e na função objetiva, além de ser
contabilizado na restrição de limite de tempo do problema. Ainda assim, considerou-se na
formulação do modelo a possibilidade de, em caso de baixa compra de ingressos para um show, o
organizador da turnê poder investir uma fração do custo fixo do respectivo nó i no qual a demanda
foi baixa. Para cada investimento feito, o organizador obtém um retorno proporcional à falta de
demanda do nó em questão.
Para a formulação matemática da extensão do problema determinístico de planejamento de
turnê musical, considerou-se G = (N, E) o grafo não orientado completo onde N=0,1,2,...,n é o
conjunto de (n-2) nós que representam os locais candidatos à realização dos shows , sendo 0 o ponto
de partida da rota e n o ponto de retorno. Para o problema em questão, considerou-se o nó inicial
como sendo também o ponto final da turnê, porém, poder-se-ia considerar que, por exemplo, a turnê
começa em um país e termina em outro. O conjunto E={(i,j) ∶i,j∈N,i≠j,i,j≠0} corresponde ao
conjunto de arcos associado às conexões entre os nós. Os conjuntos K e M permanecem os mesmos.
Considere também os seguintes parâmetros e variáveis adicionais:
Parâmetros
𝑝𝑖𝑖𝑘 – Proporção de pessoas que comprarão o ingresso do tipo k
𝑝𝑚𝑖𝑚 – Proporção de pessoas que comprarão o produto do tipo m
𝑏𝑖𝑖𝑘 – Preço do ingresso do tipo k
ℎ𝑖𝑗 – Tempo, em dias, de viagem de i para j
ℎ𝑜𝑡𝑒𝑙𝑖 – preço do hotel no local i
𝑇 𝑚𝑎𝑥 – Tempo desejado pela banda para a realização da turnê
𝑃𝑑 – Proporção mínima para que a banda necessite investir
𝜎 – Penalidade por extrapolar o tempo desejado pela banda
Variáveis de Decisão
𝑤𝑖 = {
1, 𝑠𝑒 𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑖 é 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑜 𝑠ℎ𝑜𝑤
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
𝑅𝑒𝑡𝑖 – Retorno para o local i
𝑇𝐶𝑖 – Tempo de chegada para o nó i
𝐴 – Tempo extrapolado em relação ao desejado pela banda
O modelo então pode ser descrito como:
𝑴𝒂𝒙 ∑ ∑ 𝒃𝒊𝒌 𝒑𝒊𝒊𝒌 𝑪𝒂𝒑𝒊 𝒚𝒊
𝑲
𝒌=𝟏
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
+ ∑ ∑ 𝒒 𝒎 𝒑𝒎𝒊𝒎 𝑪𝒂𝒑𝒊 𝒚𝒊
𝑴
𝒎=𝟏
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
+ ∑ 𝑹𝒆𝒕𝒊
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
– 𝝈𝑨
(10)
∑ ∑ 𝟐𝒆𝒅𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋
𝒏
𝒊=𝟎
𝒏
𝒊=𝟎
− ∑(𝒇𝒊𝒊 𝒚𝒊 + 𝒄𝒂𝒄𝒉𝒆𝒊 𝒚𝒊)
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
− ∑ 𝒉𝒐𝒕𝒆𝒍𝒊 𝒘𝒊
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
≤ 𝑶
(11)

6. ∑ ∑ 𝒉𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋
𝒏
𝒊=𝟎
𝒏
𝒊=𝟎
+ ∑ 𝒉𝒐𝒕𝒆𝒍𝒊 𝒘𝒊
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
+ ∑ 𝒚𝒊
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
= 𝑻 𝒎𝒂𝒙 + 𝑨
(12)
∑ 𝒙𝒊𝟎
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝟎
(13)
∑ 𝒙 𝟎𝒋
𝒏
𝒋=𝟏
= 𝟏
(14)
∑ 𝒙 𝒏𝒋
𝒏−𝟏
𝒋=𝟎
= 𝟎
(15)
∑ 𝒙𝒊𝒏
𝒏−𝟏
𝒊=𝟎
= 𝟏
(16)
∑ 𝒙𝒊𝒗
𝒏−𝟏
𝒊=𝟎
𝒊≠𝒗
= ∑ 𝒙 𝒗𝒋
𝒏
𝒋=𝟏
𝒋≠𝒗
∀𝒗, 𝒗 = 𝟏, … , (𝒏 − 𝟏)
(17)
∑ 𝒙𝒊𝒋
𝒏
𝒋=𝟏
𝒋≠𝒊
≤ 𝟏 ∀𝒊, 𝒊 = 𝟏, … , (𝒏 − 𝟏)
(18)
(𝟏 − (∑ 𝒑𝒊𝒊𝒌
𝑲
𝒌=𝟏
)) . 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝒋 ≥ 𝑹𝒆𝒕𝒊 ∀𝒊, 𝒋, ∑ 𝒑𝒊𝒊𝒌
𝑲
𝒌=𝟏
≤ 𝑷𝒅
(19)
𝑻𝑪𝒊 + 𝒘𝒊 + 𝒉𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋 ≤ 𝑻𝑪𝒋 + (𝟏 − 𝒙𝒊𝒋)𝑮 ∀𝒊, 𝒋, 𝒊 = 𝟏, … , (𝒏 − 𝟏), 𝒋 = 𝟎, … , 𝒏, 𝒊 ≠ 𝒋 (20)
𝑹𝒆𝒕𝒊 ≤ 𝒚𝒊 𝑮′
∀𝒊 (21)
∑ 𝒙𝒊𝒋
𝐧
𝐣=𝟎
𝐣≠𝐢
≤ 𝒚𝒊, ∀ 𝒊, 𝒊 = 𝟏, … , (𝒏 − 𝟏)
(22)
𝒘𝒊 ≤ 𝒚𝒊 ∀𝒊 (23)
𝒖𝒊 − 𝒖𝒋 + 𝒏 𝒙𝒊𝒋 ≤ 𝒏 − 𝟏, ∀ (𝒊, 𝒋) ∈ 𝑵 (24)
𝒙 ∈ 𝔹|𝑰||𝑱|
, 𝒚 ∈ 𝔹|𝑰|
, 𝒘 ∈ 𝔹|𝑰|
, 𝒖 ∈ ℤ+
|𝑰|
, 𝑻𝑪 ∈ ℝ|𝑰|
, 𝑹𝒆𝒕 ∈ ℝ|𝑰|
, 𝑨 ∈ ℝ (25)
A função objetivo (10) passa a maximizar as receitas, estas expressas pela venda de ingressos
e produtos e pelo retorno dos possíveis investimentos realizados. A restrição (11) limita os custos de
transporte, de aluguel, de hospedagem, do pagamento do cachê da banda e outros custos fixos a um
orçamento. Ainda nesta restrição, o custo de transporte foi multiplicado por dois, pois para a turnê há
o transporte tanto do caminhão com os equipamentos, quanto do ônibus com a banda. A restrição
(12) verifica se houve extrapolação em relação ao tempo desejado pela banda para a realização da

7. turnê. A restrição (13) garante que não há nenhuma viagem de regresso ao ponto de partida, ao passo
que a restrição (14) garante que o ponto de partida seja o nó 0. Analogamente as restrições (15) e
(16) asseguram que o último nó a ser visitado seja o nó n. O conjunto de restrições expressos em (17)
certifica que haja conectividade do caminho para cada nó selecionado. As restrições (18) impõem
que cada nó só pode ser selecionado uma vez para a turnê. As restrições (19) estabelecem uma
condição na qual, se a proporção de pagantes for menor que uma determinada demanda mínima
esperada, então haverá um investimento, tal que este seja uma parcela do custo fixo. O conjunto de
restrições (20) determina que, se ocorre uma viagem de i para j, o tempo de chegada para j deve
respeitar a ordem cronológica do tempo, considerando o tempo de viagem, da realização do show e
de um possível descanso. As restrições (21), (22) e (23) estabelecem uma relação entre variáveis, aos
quais só pode haver investimento e descanso caso o local seja selecionado, e uma rota só pode ser
selecionada se as facilidades referentes a ela também estiverem selecionadas. As restrições (24)
impedem a formação de sub-rotas e por sim, as restrições (25) mostram os domínios das variáveis.
2.3.Modelo Matemático de Programação Estocástica de Dois Estágios
com Recurso
Em geral, os dados coletados são estimativas ou aproximações dos dados reais, já que por
muitas vezes os mesmos são de difícil acesso. Essa utilização de parâmetros incertos pode causar
grandes diferenças nos resultados finais, que em termos de valores monetários podem, por muitas
vezes, serem os fatores decisivos para a tomada de decisão de ampliar a turnê ou não. Sabendo que
os parâmetros sofrem influência de diversos fatores externos e que muitas vezes a variação
aproximada dos mesmos é conhecida, foram definidos cenários e suas respectivas probabilidades de
ocorrência para a modelagem estocástica do problema.
Os parâmetros incertos considerados mais importantes e escolhidos para análise no presente
problema são:
 Tempo de viagem de i para j, hij
 Proporção de pessoas que compram o ingresso do tipo k no local i, piik
Para a modelagem estocástica, adicionou-se o índice s ao problema, que representa os
cenários. Cada cenário possui uma probabilidade associada representada pelo parâmetro πs que, para
fins de praticidade, foram consideradas equiprováveis neste problema. Segundo Alem e Morabito
(2015), no modelo estocástico de dois estágios com recurso, os parâmetros incertos passam a ser
considerados como variáveis aleatórias; e deve-se definir as variáveis de primeiro estágio como
aquelas que são decididas antes da ocorrência dos cenários. As variáveis de segundo estágio são
aquelas que serão usadas como recurso para otimizar a decisão tomada no primeiro estágio. Deste
modo, particionou-se as variáveis de decisão de modo que a rota selecionada, bem como os períodos
de descanso, (variáveis x, y e w) seja classificada como variáveis de primeiro estágio, ao passo que as
decisões de investimento, os tempos de chegada e o tempo extrapolado (variáveis Ret, Tc e A) foram
definidos como sendo de segundo estágio. O novo modelo matemático é apresentado a seguir:
𝑴𝒂𝒙 ∑ (∑ ∑ 𝒃𝒊𝒌 𝒑𝒊𝒊𝒌𝒔 𝑪𝒂𝒑𝒊 𝒚𝒊
𝑲
𝒌=𝟏
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
+ ∑ ∑ 𝒒 𝒎 𝒑𝒎𝒊𝒎𝒔 𝑪𝒂𝒑𝒊 𝒚𝒊
𝑴
𝒎=𝟏
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
+ ∑ 𝑹𝒆𝒕𝒊𝒔
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
𝑺
𝒔=𝟏
− 𝝈𝑨 𝒔) 𝝅 𝒔
(26)

8. ∑ ∑ 𝟐𝒆𝒅𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋
𝒏
𝒊=𝟎
𝒏
𝒊=𝟎
− ∑(𝒇𝒊𝒊 𝒚𝒊 + 𝒄𝒂𝒄𝒉𝒆𝒊 𝒚𝒊)
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
− ∑ 𝒉𝒐𝒕𝒆𝒍𝒊 𝒘𝒊
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
≤ 𝑶
(27)
∑ ∑ ∑ 𝒉𝒊𝒋𝒔 𝒙𝒊𝒋
𝑺
𝒔=𝟏
𝒏
𝒊=𝟎
𝒏
𝒊=𝟎
+ ∑ 𝒉𝒐𝒕𝒆𝒍𝒊 𝒘𝒊
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
+ ∑ 𝒉𝒐𝒕𝒆𝒍𝒊 𝒚𝒊
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏
= 𝑻 𝒎𝒂𝒙 + 𝑨 𝒔 ∀𝒔
(28)
∑ 𝒙𝒊𝟎
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝟎
(29)
∑ 𝒙 𝟎𝒋
𝒏
𝒋=𝟏
= 𝟏
(30)
∑ 𝒙 𝒏𝒋
𝒏−𝟏
𝒋=𝟎
= 𝟎
(31)
∑ 𝒙𝒊𝒏
𝒏−𝟏
𝒊=𝟎
= 𝟏
(32)
∑ 𝒙𝒊𝒗
𝒏−𝟏
𝒊=𝟎
𝒊≠𝒗
= ∑ 𝒙 𝒗𝒋
𝒏
𝒋=𝟏
𝒋≠𝒗
∀𝒗, 𝒗 = 𝟏, … , (𝒏 − 𝟏)
(33)
∑ 𝒙𝒊𝒋
𝒏
𝒋=𝟏
𝒋≠𝒊
≤ 𝟏 ∀𝒊, 𝒊 = 𝟏, … , (𝒏 − 𝟏)
(34)
(𝟏 − (∑ 𝒑𝒊𝒊𝒌𝒔
𝑲
𝒌=𝟏
)) . 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝒋 ≥ 𝑹𝒆𝒕𝒊𝒔 ∀𝒊, 𝒋, 𝒔, ∑ 𝒑𝒊𝒊𝒌
𝑲
𝒌=𝟏
≤ 𝑷𝒅
(35)
𝑻𝑪𝒊𝒔 + 𝒘𝒊 + 𝒉𝒊𝒋𝒔 𝒙𝒊𝒋 ≤ 𝑻𝑪𝒋𝒔 + (𝟏 − 𝒙𝒊𝒋)𝑮 ∀𝒔, 𝒊, 𝒋, 𝒊 = 𝟏, … , (𝒏 − 𝟏), 𝒋 = 𝟎, … , 𝒏, 𝒊 ≠ 𝒋 (36)
𝑹𝒆𝒕𝒊𝒔 ≤ 𝒚𝒊 𝑮′
∀𝒊, 𝒔 (37)
∑ 𝒙𝒊𝒋
𝐧
𝐣=𝟎
𝐣≠𝐢
≤ 𝒚𝒊, ∀ 𝒊, 𝒊 = 𝟏, … , (𝒏 − 𝟏)
(38)
𝒘𝒊 ≤ 𝒚𝒊 ∀𝒊 (39)

9. 𝒖𝒊 − 𝒖𝒋 + 𝒏 𝒙𝒊𝒋 ≤ 𝒏 − 𝟏, ∀ (𝒊, 𝒋) ∈ 𝑵 (40)
𝒙 ∈ 𝔹|𝑰||𝑱|
, 𝒚 ∈ 𝔹|𝑰|
, 𝒘 ∈ 𝔹|𝑰|
, 𝒖 ∈ ℤ+
|𝑰|
, 𝑻𝑪 ∈ ℝ|𝑰||𝑺|
, 𝑹𝒆𝒕 ∈ ℝ|𝑰||𝑺|
, 𝑨 ∈ ℝ|𝑺| (41)
3. ESTUDOS COMPUTACIONAIS
3.1.Dados do Problema
A problematização deste trabalho foi baseada numa extensão da turnê que a banda Pearl Jam
realizou em novembro do ano de 2015 no Brasil. Na realidade, a banda saiu de Santiago, no Chile, e
percorreu cinco cidades brasileiras: Porto Alegre (Arena do Grêmio), São Paulo (Estádio do
Morumbi), Brasília (Estádio Mané Garrincha), Belo Horizonte (Arena Minas) e Rio de Janeiro
(Maracanã). Para maior aderência do problema à realidade, neste trabalho considerou-se que a banda
ainda poderá percorrer mais três cidades: Recife (Colosso do Arruda), Curitiba (Arena da Baixada) e
Fortaleza (Arena Castelão). A localização de cada nó candidato, bem como a do nó de origem, pode
ser visualizada na figura 1.
Para o cálculo das distâncias entre esses nós, foi usado os valores das coordenadas
geográficas com a aplicação da trigonometria esférica, ou seja, considerou-se a curvatura da Terra no
cálculo das distâncias. Também, para efeito de praticidade, considerou-se que a distância entre cada
casa de show (nós) é representada pela distância entre as cidades que contém cada nó.
Figura 1 – Localização da cidade de partida da banda, bem como dos possíveis
candidatos para a realização da turnê.
Fonte: Google Maps.
Os parâmetros de capacidade, custo e tempo de estadia, referentes a estes nós estão dispostos
na tabela 1. As capacidades de recebimento de fãs dos possíveis locais de realização dos shows
foram encontradas no site da empresa Tickets For Fun.
O custo total relativo à apresentação de um show no local i envolve os aluguéis (do local, dos
equipamentos musicais, do material de som e iluminação), os direitos autorais, a contratação de

10. equipe em cada local, os impostos e outros diversos custos. Os valores utilizados no problema foram
estimados com base em valores encontrados para os custos citados acima.
O tempo máximo para a turnê (dez dias) foi estimado com base na turnê que a banda Pearl
Jam fez em 2015 no Brasil. Em cada nó i há certa quantidade de pessoas que comprou ingressos para
o show do Pearl Jam, dado por uma determinada proporção. Para efeito de praticidade, considerou-se
que, em cada nó i, a quantidade de ingressos vendidos será igual à capacidade desse respectivo nó
versus a respectiva proporção de compradores.
Tabela 1 – Cidades denotadas pelos nós e alguns de seus parâmetros relacionados.
Representação Cidade
Capacidade
(número de
fãs)
Custo Total
(R$)
P Porto Alegre, RS 43491 500000
S São Paulo, SP 68900 1000000
B Brasília, DF 54398 550000
H Belo Horizonte, MG 51647 500000
RJ Rio de Janeiro, RJ 64425 750000
R Recife, PE 60044 800000
C Curitiba, PR 42372 100
F Fortaleza, CE 63903 750000
Já para o cálculo da receita gerada através da venda de produtos da banda oficialmente
licenciados, foi preciso estimar a parcela do público que compraria cada um dos m tipos de produto e
os preços de cada produto. Essa parcela foi estimada como sendo dependente da proporção de
pagantes, isto é, a proporção do público que compra determinado produto é uma fração da proporção
dos que compraram ingressos. Estes dados estão contidos na tabela 2 abaixo.
Tabela 2 – Proporção de pessoas que comprarão (esquerda) e preço unitário do produto (direita). Os valores
apresentados na coluna esquerda correspondem à fração da proporção do público que compareceu no show.
Composição das Compras Preço Unitário do Produto
Camisetas Blusa Carteira Chaveiro Camisetas Blusa Carteira Chaveiro
0,00001 0,00002 0,00003 0,0004 40 60 35 20
Cabe ressaltar que os preços de cada produto são os mesmos em todas as cidades (nós), ao
passo que os preços dos ingressos variam conforme o lugar. Os preços dos ingressos em cada nó
foram encontrados no site responsável pelas vendas destes. As categorias de ingressos são diversas,
como Pista, Pista Premium ou Superior Direito/Esquerdo. Dessa forma, calculou-se o preço médio
envolvendo todas essas categorias, o que resultou em uma tabela (tabela 3) que contém os preços
médios para os tipos e para cada cidade:
Tabela 3 – Preço médio do ingresso para cada tipo de comprador no nó i.
Preço Médio por Tipo de Ingresso (R$)
Cidade Idoso Estudante Inteira
P 266,67 213,33 133,33

11. S 391,43 313,14 195,71
B 370,00 296,00 185,00
H 375,00, 300,00 187,50
RJ 406,00 324,80, 203,00
R 370,00 296,00 185,00
C 375,00 300,00 187,50
F 406,00 324,80 203,00
Para estimar o tempo de viagem do nó i para o j utilizou-se uma velocidade média de viagem
de 80 km/h, considerando que a banda viaja de ônibus. Considerou-se, também, apenas caminhos
sem paradas, dado que a banda viaja de ônibus particular. Os tempos de translado, dados em horas,
estão contidos na tabela 4. Na modelagem, houve um dimensionamento desses dados, de modo a
considerar o tempo em dias e assim, manter uma única unidade de tempo no problema. É
considerado que o tempo de translado de i para j é igual ao tempo de j para i.
Tabela 4 – Tempo de viagem de avião em horas do nó i para o nó j.
Tempo de viagem de i para
Santiago P S B H RJ R C F
Santiago 0 0,98 1,35 1,57 1,59 1,52 2,41 1,17 2,44
P 0,98 0 0,44 0,85 0,70 0,58 1,55 0,28 1,67
S 1,34 0,43 0 0,47 0,26 0,19 1,12 0,17 1,24
B 1,57 0,85 0,46 0 0,33 0,48 0,86 0,57 0,87
H 1,59 0,70 0,27 0,33 0 0,18 0,85 0,44 0,98
RJ 1,52 0,58 0,19 0,48 0,18 0 0,98 0,35 1,14
R 2,41 1,55 1,12 0,86 0,85 0,98 0 1,29 0,32
C 1,17 0,28 0,17 0,57 0,44 0,35 1,29 0 1,39
F 2,44 1,67 1,24 0,87 0,98 1,14 0,32 1,39 0
Para calcular o Custo de Transporte Total e do problema, considerou-se que a banda é
transportada de ônibus e os equipamentos são transportados num caminhão. Com base nos dados da
turnê da banda Pearl Jam, considerou-se que a banda deseja transportar, no máximo, vinte e oito
toneladas de equipamentos e bagagem pessoal. Então, esse custo de transporte foi estimado em R$
5,46 por Km rodado com base em um container de quarenta pés – valor fornecido por duas empresas
de logística multimodal. Considera-se, também, que ambos o ônibus particular da banda e o
caminhão que transporta os equipamentos pessoais da turnê viajam juntos e com a mesma velocidade
média, ou seja, partem juntos de cada nó i e chegam juntos em cada nó j. O orçamento disponível
para a turnê foi inicialmente estipulado em R$ 5.000.000,00, mas foi variado ao longo deste trabalho
a fim de possibilitar uma análise mais detalhada das soluções obtidas para problema.
4. ANÁLISE DOS RESULTADOS
Para os modelos apresentados, a implementação dos mesmos foi realizada utilizando a
linguagem de modelagem algébrica GAMS (General Algebraic Modeling System) versão 24.2.1 e

12. resolvidos através do solver CPLEX, em um computador com processador Intel Core i5 2.50 GHz. e
memória RAM instalada de 4Gb.
4.1. Resultados e análise do modelo determinístico
Para o modelo determinístico inicial, foram utilizados os dados apresentados definidos na
seção 3.1. Os resultados foram obtidos após 0.156 segundos de processamento. A receita encontrada
foi de R$39.947.039,28, sendo os custos de R$ 4.802.348,59, totalizando um lucro de R$
35.144.690,69, com a escolha da seguinte rota: 0-7-5-8-9. Dessa forma, foram realizados três shows,
o primeiro em Curitiba, o segundo no Rio de Janeiro, onde houve além do show, um dia de descanso;
e o último foi realizado em Fortaleza. Quanto ao tempo de realização da turnê desejado pela banda,
houve atraso no planejamento, sendo o tempo total da turnê de 10,099 dias, ou seja, seriam
necessários aproximadamente 11 dias para a execução da turnê, o que resulta em um atraso de um dia
no planejamento desejado. A ordem cronológica da rota pode ser mais bem visualizada na figura 2.
Figura 2- Solução encontrada para o modelo determinístico extendido.
Não houve nenhuma receita relativa à realização de investimento, uma vez que as proporções
para os pontos escolhidos se mostraram acima do valor estabelecido na condição. Por fim, quanto ao
destrinchamento da solução apresentada na função objetivo, tem-se que a venda de ingresso
representou quase que a totalidade da receita (99,99%), ao passo que os custos fixos representaram
cerca que 97,86% dos gastos totais.
Em uma análise pós-otimização, observou-se que, caso a banda tenha orçamento para abrir
mais uma casa de show, ela escolheria o nó 2 (São Paulo), visto que este apresenta maior custo
marginal (aumentando a receita em aproximadamente R$11,65 milhões). Com o aumento gradativo
do orçamento, as decisões seriam a de abrir o nó 4 (Belo Horizonte), com o acréscimo de R$ 9,27 mi,
seguida da abertura do nó 3(Brasília), com aumento de R$ 9,16 milhões na receita, depois o nó 6
(Recife), com o custo marginal de R$ 8,23 milhões e, por último, o nó 1 (Porto Alegre), que
acrescentaria R$ 4.68 mi na receita.
No modelo implementado com os dados próximos de uma situação real de uma banda, pôde-
se perceber que alguns dos parâmetros são de difícil mensuração, pois dependem de fatores incertos
como, por exemplo, o orçamento dos investidores e a quantidade de público que comparecerá aos
shows. Assim, o resultado do modelo com os dados reais não pode ser de imediato validado. Nesse
sentido, realizaram-se alguns testes sistêmicos envolvendo a variação destes parâmetros incertos, de
forma a averiguar a sensibilidade destes no modelo. Os parâmetros que se mostraram ser mais
interessantes para a análise foram o de capacidade da facilidade i (que está ligado à demanda do
público) e o orçamento da banda.
A priori foram feitos variações nas capacidades de forma que ela foi diminuída em 50 e 75%

13. e depois aumentada em 50 e 75%. Os resultados podem ser vistos na figura 3 e na tabela 5 abaixo. O
que era esperado dos resultados é que com a diminuição da capacidade, diminuísse a receita e assim
o lucro, de tal modo que haveria trade-offs acerca de até que ponto vale apena atender um público.
No entanto, o resultado foi que a rota não permaneceu a mesma, sofrendo mudança no pior caso, ou
seja, apenas nesse ponto houve mudanças dos custos, e nos outros, o custo se manteve igual ao do
problema original.
Tabela 5- Construção da rota com base na variação de capacidade.
Capacidade Receita Custo Rota
(-75%) 9987129,40 4851266,50 0-8-5-7-9
(-50%) 19973766,03 4802348,59 0-7-5-8-9
Original 39947039,28 4802348,59 0-7-5-8-9
(+50%) 59920312,54 4802348,59 0-7-5-8-9
(+75%) 69906949,17 4802348,59 0-7-5-8-9
Figura 3 - Impacto da variação da capacidade na receita e no custo.
Para os testes envolvendo a variação do orçamento, rodou-se o problema mais seis vezes. Os
resultados encontrados estão contidos na figura 4. Para o gráfico apresentado, os valores de
orçamento para cada teste estão presentes na tabela, bem como das rotas seleciona. O que se pôde
perceber é que, quando houve redução no orçamento, os gastos tiveram que ser diminuídos e,
consequentemente, as rotas foram encurtadas. No entanto, uma vez que a ordem de grandeza da
receita é maior que a ordem de grandeza dos custos, foi obtido aumento expressivo para o lucro. De
forma análoga, quando houve aumento no orçamento, novas facilidades foram abertas, o que está em
concordância com o esperado.
0,00
10000000,00
20000000,00
30000000,00
40000000,00
50000000,00
60000000,00
70000000,00
80000000,00
(-75%) (-50%) Original (+50%) (+75%)
Receita
Custo

14. Tabela 6- Construção da rota com base na variação do orçamento.
Número Orçamento Rota
1 2500000,00 0-8-9
2 3000000,00 0-4-8-9
3 4000000,00 0-1-4-8-9
4 Original 0-7-5-8-9
5 7500000,00 0-7-5-4-3-8-9
6 10000000 0-7-2-5-4-3-8-9
7 13000000,00 0-1-7-2-5-4-3-6-8-9
Figura 4- Impacto da variação do orçamento na receita e no custo.
4.2.Resultados e análise do modelo estocástico
A primeira etapa para a consideração de dados estocásticos num problema de
otimização é a geração de cenários. Para tanto, o método escolhido foi a reamostragem por
bootstrapping, dado o reduzido conjunto de dados originais. As etapas utilizadas no processo
de reamostragem foram:
A) Realização de n sorteios aleatórios com reposição, sendo n o número de elementos
da amostra;
B) b replicações da etapa anterior, com b sendo o número de amostras/cenários
desejados;
C) Cálculo dos intervalos de confiança para validar os dados obtidos pelo método
0
2000000
4000000
6000000
8000000
10000000
12000000
14000000
1 2 3 4 5 6 7
Orçamento
Custo

15. bootstrapping;
D) Cálculo da média de cada amostra;
E) Análise das amostras obtidas com base nas respectivas médias;
F) Escolha do “Worst Case”, “Average Case” e “Best Case”.
Para a consideração da estocasticidade do parâmetro pik, (proporção de pessoas que
compra o ingresso do tipo k para o show no nó i), considerou-se n igual a oito, pois esse
número representa o total de nós disponíveis para realização de shows e considerou-se,
também, b igual a 51 novas amostras. A partir das novas 51 amostras geradas, realizou-se os
testes de intervalo de confiança para validar os novos dados e, então, calculou-se a média de
todas as 51 novas amostras, ordenando-as da pior à melhor, a fim de escolher o pior, médio e
melhor caso para a proporção. Ressalta-se que a probabilidade considerada para a realização
de cada um dos cenários é equiprovável, já que a distribuição dos dados se aproximou
consideravelmente de uma distribuição uniforme.
Já para a estocasticidade do parâmetro hij (tempo de viagem do nó i para o nó j),
considerou-se uma abordagem menos sofisticada, sendo que os valores desse parâmetro para
cada cenário “Worst Case”, “Average Case” e “Best Case” são, respectivamente, iguais a
140 % dos da amostra original, 120% dos da amostra original e iguais aos da amostra
original.
A partir desses dois métodos, utilizou-se da combinação dos possíveis cenários de
cada parâmetro para determinar a probabilidade conjunta de ocorrência de ambos. Para
melhor explicar, a figura 4 mostra quais são as possíveis combinações de cenários.
Figura 4 - Árvore da combinação de cenários.
Após a construção de cenários e a determinação de suas respectivas probabilidades
de ocorrência, pode-se resolver o problema estocástico visando obter resultados que
s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9

16. considerem as incertezas envolvidas.
Para o modelo estocástico de dois estágios com recurso os resultados foram obtidos
após 0.125 segundos de processamento. O valor obtido para a função objetivo foi de
R$36.239.144,668 e a seguinte rota foi escolhida para a realização da turnê: 0-4-2-5-9.
Sendo assim, foram realizados três shows, o primeiro em Belo Horizonte, o segundo em São
Paulo, onde houve além do show, um dia de descanso após o segundo show consecutivo; e o
último foi realizado no Rio de Janeiro.
Não houve atrasos no planejamento bem como investimentos em nenhum dos
cenários gerados. Os custos totais, receitas e tempo (em dias) utilizado para a turnê obtidos
para cada um dos cenários gerados podem ser visualizados na tabela 7.
Tabela 7 - Principais resultados por cenários.
Receita
Total
Custo
Total
Lucro
Duração
Turnê
Cenário 1 (s1) 39031931,31 4976561,90 34055369,41 8,559
Cenário 2 (s2) 39031931,31 4976561,90 34055369,41 9,270
Cenário 3 (s3) 39031931,31 4976561,90 34055369,41 9,982
Cenário 4 (s4) 36790101,09 4976561,90 31813539,19 8,559
Cenário 5 (s5) 36790101,09 4976561,90 31813539,19 9,270
Cenário 6 (s6) 36790101,09 4976561,90 31813539,19 9,982
Cenário 7 (s7) 33700691,48 4976561,90 28724129,58 8,559
Cenário 8 (s8) 33700691,48 4976561,90 28724129,58 9,270
Cenário 9 (s9) 33700691,48 4976561,90 28724129,58 9,982
Como esperado, o Cenário 1 (s1) foi o que apresentou maior receita e menor tempo
necessário para a realização da turnê, visto que apresenta a maior venda de ingressos (é o melhor
caso), o que impacta a função objetivo, e apresenta as melhores condições de tempo, o que faz com
que a viagem seja mais rápida por diminuir o tempo de duração da turnê.
Outra análise interessante é obtida através da incorporação da estocasticidade
individualmente em cada um dos parâmetros, gerando, então, dois problemas. O primeiro problema
foi gerado fixando-se o valor do parâmetro hij (tempo de viagem de i para j) e considerando incerteza
na proporção da venda de ingressos (piks). No segundo, foi feito o oposto, fixando-se a proporção de
ingressos vendidos e considerando estocástico o tempo de viagem. A tabela 8 contém os resultados
das funções objetivo do problema estocástico original e dessas duas extensões propostas.
Tabela 8 – Resultado da variação dos parâmetros estocásticos.
Função
Objetivo
Original 36239144,67
Tempo de viagem estocástico (hijs) 39946019,44
Proporção de venda estocástica (piks) 40724033,65

17. Como era esperado, o valor encontrado para a função objetivo nos dois novos problemas
gerados foi maior do que o encontrado anteriormente para o problema original, visto que este é
penalizado por possuir maior grau de incerteza. Também é possível constatar que o custo por
considerar a incerteza no parâmetro hijs é relativamente maior do que o custo de considerar piks
estocástico, visto que, ao considerarmos o primeiro de forma determinística, a função objetivo foi
mais impactada.
Para se calcular o EVPI foram resolvidos os nove problemas wait-and-see. As soluções
encontradas (WSs), bem como o valor esperado das soluções wait-and-see (WS) estão ilustradas na
tabela 9. Pode-se notar que a solução para cada cenário foi maior do que a encontrada para o
problema RP, o que já era esperado. Além disso, ainda dentre as soluções, notou-se uma diminuição
da receita conforme os cenários, apresentando um desempenho semelhante às soluções RP, o que
também era esperado, uma vez que os cenários variam de uma situação otimista para uma pessimista,
respectivamente. Quanto à duração dos dias, os valores se apresentaram um comportamento
padronizado conforme a lógica da árvore de cenários.
Tabela 9 –Resultados dos problemas wait-and-see e valor esperado da solução wait-and-see (WS).
Cenário Rota Duração(dias) Wss 𝝅 𝒔 Wss 𝝅 𝒔 ∑ 𝑾𝒔 𝒔. 𝝅 𝒔
𝟗
𝒔=𝟏
= 𝐖𝐒
S1 (3,8,2) 10,02 40724033,65 0,1111 4524893
37075454,82
S2 (3,8,2) 11,03 40723028,93 0,1111 4524781
S3 (3,8,2) 12,03 40722024,21 0,1111 4524669
S4 (8,5,7) 10,10 36924843,82 0,1111 4102760
S5 (8,5,7) 11,12 36923823,98 0,1111 4102647
S6 (8,5,7) 12,14 36922804,14 0,1111 4102534
S7 (8,4,2) 10,03 33580518,34 0,1111 3731169
S8 (8,4,2) 11,03 33579512,66 0,1111 3731057
S9 (8,4,2) 12,04 33578506,97 0,1111 3730945
A partir dos valores de WS e RP, pode-se calcular o Valor Esperado de Informação Perfeita
(EVPI), seguindo a relação 𝐸𝑉𝑃𝐼 = 𝑊𝑆 − 𝑅𝑃 e o seu respectivo valor relativo dado por 𝐸𝑉𝑃𝐼% =
(
𝐸𝑉𝑃𝐼
𝑅𝑃
) 𝑥100%. Assim, obteve-se:
𝐸𝑉𝑃𝐼 = 37075454,82 − 36507575,63 = 567879,20
𝐸𝑉𝑃𝐼% =
567879,20
36507575,63
=0,015555 𝑜𝑢 1,15%
Dessa forma, esses resultados indicam que, apesar do valor do EVPI representar uma
porcentagem baixa em relação ao RP, a quantia que seria possível poupar caso a informação perfeita
fosse disponilibizada é bem considerável, sendo esta pouco mais de R$568 mil. Portanto, neste caso,
o valor do EVPI também indica que a aleatoriedade desempenha um papel importante no problema.
O problema EV foi determinado de acordo com um cenário pesimista. Isto porque como o
problema lida com tempos, em uma turnê não é aceitável do ponto de vista prático atrasar um show
em dias, uma vez que a locação das casas de show são feitas com contratos antecipados. No entanto,
a variação em horas é plausível. Fixando as variáveis de primeiro estágio obtidas com a resolução do

18. problema EV no problema RP, obteve-se o problema EEV, com uma solução de R$ 35.421.238,51.
Sendo assim, com estas informações, foi possibilitado o cálculo do Valor da Solução Estocástica
(VSS), bem como o VSS%:
𝑉𝑆𝑆 = 36507575,63 − 35421238,51 = 1086337,12
𝐸𝑉𝑃𝐼% =
1086337,12
36507575,63
=0,029756𝑜𝑢 2,98%
Dessa forma, esses resultados indicam que, apesar do valor do EVPI representar uma
porcentagem baixa em relação ao RP, a quantia que seria possível poupar caso a informação perfeita
fosse disponilibizada é bem considerável, sendo esta pouco mais de R$1,08 milhão. Portanto, neste
caso, o valor do EVPI também indica que a aleatoriedade desempenha um papel importante no
problema.
O VSS mostra quanto se ganha por considerar o modelo estocástico ao invés de
simplesmente supor a ocorrência de algum cenário. Deste modo, o valor de VSS evidencia que, caso
o decisor opte pela decisão baseada nos valores de pior caso, o ele deixaria de ganhar quase R$ 818
mil. Portanto, para este problema, concluiu-se que é compensador por ambas as medidas adotar o
problema estocástico nesse problema.
4.3.Outros testes relevantes
No modelo proposto, o decisor deve dispor de um orçamento inicial suficientemente grande
para arcar com os custos da turnê inteira, visto que não havia flexibilidade para o pagamento dos
custos. Então, propôs-se uma heurística tal que o decisor tivesse maior liberdade e informação para
tomar as decisões de abertura de facilidades (realização de shows).
Essa heurística permite que o decisor comece o planejamento da turnê sem ter um budget
grande o suficiente para pagar os custos de toda a turnê. Neste caso, a receita obtida com a realização
do show anterior virará orçamento para o planejamento do próximo show, ou seja, a receita do show
passa a ser disponibilizada imediatamente após a sua realização para a programação dos próximos
eventos da turnê. Desta forma, rodou-se o modelo visando decidir apenas o próximo nó, e assim se
fez até que o nó final fosse escolhido. Na figura 5 está representada a rota escolhida, bem como os
tempos de chegada no nó correspondente e sua receita a cada nó.

19. Figura 5 - Heurística para simulação de um problema multi-período.
A partir desta análise, pode-se avaliar que com a incorporação de multi-períodos
obtém-se um resultado melhor, ou seja, com menor orçamento pode-se realizar shows em
todas as cidades, gerando maior receita do que a gerada pelo modelo determinístico
proposto.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A dificuldade de estimar os parâmetros envolvidos no modelo levanta uma suspeita acerca da
precisão dos custos de uma turnê. Então, constatou-se que esses custos foram subestimados, pois as
informações envolvidas nesse problema são de difícil acesso e não foi possível levantar todos os
fatores que compõe o custo total. Uma vez conhecido esse erro, mesmo que o valor encontrado para
o VSS desse problema seja baixo, se houver melhor estimativa dos custos e um amplo levantamento
dos steakholders da receita, o lucro pode ser drasticamente reduzido, o que faria com que o VSS
assumisse uma maior importância, percentualmente falando, sobre o lucro total. Então, constatou-se
ser vantajosa a utilização de um modelo estocástico no planejamento de turnês.
Os desafios e particularidades do planejamento e programação de uma turnê musical são
diversos, dentre os quais podem ser citados: a decisão de quais cidades a banda deseja tocar;
necessidades da banda em relação a equipamentos, bem como a logística dos mesmos durante a
turnê; qual o itinerário do show, sendo que o mesmo tem pouca flexibilidade em relação a atrasos
(horas são toleráveis, ao passo que dias não são); quais serão as limitações em relação a orçamento e
tempo de duração da turnê, entre outros.
Em relação aos gastos, estes podem ser destrinchados em várias partes, como por exemplo,
gastos com hospedagem, alimentação, infraestrutura, publicidade, serviços em geral (limpeza,
segurança, entre outros) e etc. Portanto, inúmeras extensões ao problema apresentado neste estudo
podem ser feitas. Uma vez que o problema em questão é pouco abordado na literatura, os resultados
encontrados nesta pesquisa sugerem a continuidade do desenvolvimento de pesquisas no sentido de
melhorar a as considerações para o modelo, bem como gerar novas instâncias para abordar uma rede
mais ampla.
Uma proposta de pesquisa futura consiste em incorporar mais países, de modo que a solução
encontrada siga um trajeto coerente. Uma sugestão ao qual o grupo tentou implementar mas não
conseguiu por falta de conhecimento no assunto, bem como pela escassa literatura que aponte essa

20. consideração em específico, foi a incorporação de clusters tal que a rota seguisse uma ordem lógica,
passando de país em país.
Outra sugestão seria a de incorporar um conjunto de meios de transporte, para que a banda
pudesse escolher o modal de sua escolha. Além disso, em situações reais, é comum a banda se
locomover por um meio mais rápido, ao passo que seus equipamentos seguem viagem por outro meio
de transporte (caminhão, por exemplo). Desse modo, como os tempos de viagem são diferentes para
banda e equipamento, enquanto o caminhão não chega com os equipamentos do show, a banda
poderia realizar outras atividades, que podem agregar valor ou não à receita (passeios, descanso,
parada para autógrafos, dentro outros).
Ainda que o modelo apresentado neste estudo tenha poucas considerações a respeito do
planejamento e programação de turnê musical, ele trouxe bons insights, principalmente no que diz
respeito ao uso combinado de diversos problemas em rede, como caixeiro viajante, roteamento de
veículos, incorporação de janela de tempo e localização de facilidades para o planejamento deste tipo
de problema. Mais além, a incorporação de incertezas ao problema provou ser relevante para o
problema proposto.

21. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
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empresas moveleiras. Production, v. 25, n. 3, p. 657-677, set. 2015.
LIEBOWITZ, S. J. Research Note—Testing File Sharing's Impact on Music Album Sales in Cities.
Management Science, v. 54, n.4, p.852-859, abr. 2008.
NGHIEM, L.; YUNES, T. A Heuristic Method for Scheduling Band Concert Tours. SACNAS
National Conference, Los Angeles - CA, Out. 2014.