Apresentação de conceitos e informações sobre espelhos planos, com aplicações para cálculo.

1. ESPELHOS PLANOS
Seu reflexo no espelho do banheiro, a lua vista por meio de um telescópio, um inseto visto por
um microscópio — todas essas visões são exemplos de imagens. Em cada um desses casos, o
objeto visto parece estar em um local diferente da posição em que realmente se encontra. Seu
reflexo forma uma imagem do outro lado do espelho, a lua parece estar muito mais próxima
quando você a observa pelo telescópio e um inseto visto em um microscópio parece mais
próximo (de modo que seus olhos podem focalizá-lo facilmente). Em cada caso, um raio de luz
proveniente de um ponto de um objeto sofre um desvio produzido por reflexão ou refração (ou
uma combinação dos dois efeitos) e parece divergir de um ponto chamado ponto imagem ou
convergir para ele
Para entender as imagens e como elas são formadas, precisamos apenas do modelo da descrição
da luz por meio de raios, das leis de reflexão e refração e de um pouco de geometria e
trigonometria.
Antes de discutir o que significa uma imagem, inicialmente precisaremos do conceito de objeto
empregado na ótica. Chamamos de objeto qualquer coisa da qual emanem raios de luz. Quando
a luz é emitida pelo próprio objeto, dizemos que ele possui luz própria — por exemplo, o
filamento de uma lâmpada comum. Alternativamente, depois de emitida por uma fonte (como
o sol ou uma lâmpada), a luz se reflete no objeto; por exemplo, quando você lê esta nota de
aula, a luz é refletida pelas páginas das notas.
A Figura 1 mostra raios de luz irradiados em todas as direções por um objeto situado no ponto
P. Note que os raios que partem do objeto chegam aos olhos direito e esquerdo do observador
formando ângulos diferentes; a diferença entre os dois ângulos é processada no cérebro do
observador para obter uma estimativa da distância entre o observador e o objeto.
Figura 1: Raios de luz irradiados em todas as direções pelo ponto P
O objeto na Figura 1 denomina-se objeto pontual e é representado por um ponto que não possui
nenhuma dimensão. Os objetos reais, que possuem comprimento, largura e altura, são

2. chamados de objetos extensos. Inicialmente vamos considerar um objeto ideal concentrado em
um ponto, visto que um objeto extenso pode ser um conjunto muito grande de objetos pontuais.
Suponha que alguns raios provenientes do objeto atinjam uma superfície plana refletora (Figura
2). Essa superfície poderia pertencer a um material com índice de refração diferente, que reflete
parte da luz incidente, ou uma superfície metálica polida que reflete quase 100% da luz
incidente. Os espelhos usados em banheiros possuem uma fina placa de vidro na parte frontal
da superfície refletora para protegê-la; desprezaremos o efeito dessa placa.
Figura 2: Raios de luz vindos do objeto no ponto P são refletidos em um espelho plano.
De acordo com a lei da reflexão, para todo raio que atinge a superfície, o ângulo de incidência é
igual ao ângulo de reflexão. Como a superfície é plana, a normal é sempre perpendicular à
superfície em todos os seus pontos e a reflexão é especular. Após os raios serem refletidos, suas
direções são iguais, como se tivessem vindo do ponto P'. Chamamos o ponto P de ponto objeto
e o ponto P' correspondente denomina-se ponto imagem; dizemos então que a superfície
refletora forma uma imagem do ponto P. Um observador que esteja vendo apenas os raios
refletidos pela superfície e que não sabe que está vendo uma reflexão pensa que os raios estão
emanando do ponto onde se forma a imagem P'. O ponto imagem é, portanto, um modo
conveniente de descrever as direções dos diversos raios refletidos, assim como o ponto objeto
P descreve as direções dos raios que atingem a superfície antes da reflexão.
FORMAÇÃO DA IMAGEM EM UM ESPELHO PLANO
Para localizar a imagem virtual P' que um espelho plano forma de um objeto P, usaremos a
construção mostrada na Figura 3. A figura mostra dois raios divergindo a partir de um ponto
objeto P situado a uma distância s à esquerda de um espelho plano. Chamaremos s de distância
do objeto. O raio PV é perpendicular à superfície do espelho e retorna na mesma direção do raio
original.
Figura 3: Construção para determinar o local da imagem formada por um espelho plano.

3. O raio PB forma um ângulo u com o PV. Ele atinge o espelho plano com um ângulo de incidência
Ɵ e se reflete formando o mesmo ângulo com a normal. Prolongando os dois raios refletidos
para trás do espelho, eles se cruzam em um ponto P', situado a uma distância s' atrás do espelho.
Chamaremos s' de distância da imagem. A linha entre P e P' é perpendicular ao espelho. Os dois
triângulos PVB e P'VB são congruentes, de modo que P e P' possuem distâncias iguais até o
espelho e, portanto, s e s' possuem módulos iguais. A distância entre o espelho e a imagem P'
formada atrás dele é exatamente igual à distância na frente dele entre o objeto P e a superfície
do espelho.
Podemos repetir a construção da Figura 3 para qualquer raio divergindo do ponto P. A direção
de qualquer raio refletido é a mesma que se ele tivesse vindo do ponto P', confirmando que P'
é a imagem de P. Qualquer que seja a posição do observador, ele sempre verá a imagem
localizada no ponto P'.
REGRAS DE SINAIS
Antes de prosseguir, vamos introduzir algumas regras de sinais. Elas podem parecer
desnecessariamente complicadas para o caso simples da imagem formada por um espelho
plano, mas desejamos formular essas regras de modo que possam ser aplicadas para quaisquer
situações que sejam encontradas mais adiante. Essas situações incluem a formação de imagens
por uma superfície refletora ou refratora plana ou esférica ou por um par de superfícies
refratoras formando uma lente. As regras são:
1. Regra do sinal para a distância do objeto: quando o objeto está no mesmo lado da luz que
incide sobre a superfície refletora ou refratora, a distância do objeto s é positiva; caso contrário,
é negativa.
2. Regra do sinal para a distância da imagem: quando a imagem está no mesmo lado da luz que
emerge da superfície refletora ou refratora, a distância da imagem s' é positiva; caso contrário,
é negativa.

4. 3. Regra do sinal para o raio de curvatura de uma superfície esférica: quando o centro de
curvatura C está no mesmo lado da luz que emerge da superfície refletora ou refratora, o raio
de curvatura é positivo; caso contrário, é negativo.
De acordo com a Figura 3 as distâncias s e s’ são relacionadas:
s = s' (espelho plano)
A IMAGEM DE UM OBJETO EXTENSO: ESPELHO PLANO
Vamos agora considerar um objeto extenso com um tamanho definido. Para simplificar,
geralmente tomamos um objeto que possui apenas uma dimensão, como uma seta estreita
orientada paralelamente à superfície refletora, como a seta PQ na Figura 4. A distância entre o
ponto inicial e a extremidade da seta orientada desse modo é sua altura; na Figura 4, a altura é
y. A imagem formada por esse objeto extenso é uma imagem extensa; cada ponto do objeto
corresponde a um ponto na imagem.
Figura 4: Construção para determinar a altura da imagem.
Mostramos dois raios provenientes do ponto Q; parece que todos os raios provenientes de Q
divergem do ponto imagem Q' depois da reflexão. A imagem da seta é o segmento P'Q', com
altura y'. Os outros pontos do objeto PQ possuem imagens entre os pontos P' e Q'. Os triângulos
PQV e P'Q'V são congruentes, de modo que PQ possui as mesmas dimensão e orientação da
imagem P'Q', logo y = y'. A razão entre a altura da imagem e a altura do objeto, y'/y, em qualquer
situação de formação de imagem, denomina-se ampliação transversal m; ou seja,
(1)
Logo, para um espelho plano, y = y', de modo que a ampliação transversal m é igual a 1. Quando
você olha para um espelho plano, sua imagem no espelho possui o mesmo tamanho do seu

5. corpo real. Na Figura 4, a seta que representa a imagem aponta na mesma direção e no mesmo
sentido da seta que representa o objeto; dizemos que a imagem está em pé ou então que se
trata de uma imagem direita. Nesse caso, y e y' possuem o mesmo sinal e a ampliação transversal
m é positiva. A imagem formada por um espelho plano é sempre direita, de modo que y e y'
tenham o mesmo módulo e o mesmo sinal; a ampliação transversal de um espelho plano é
sempre m = 1. Mais adiante encontraremos situações nas quais obtemos uma imagem invertida,
ou seja, a seta da imagem aponta no sentido oposto à seta que identifica o objeto. Para uma
imagem invertida, y e y' sempre possuem sinais contrários e a ampliação transversal m é
negativa. O objeto mostrado na Figura 4 possui apenas uma dimensão. A Figura 5 mostra um
objeto em três dimensões formando uma imagem virtual tridimensional em um espelho plano.
O sentido aparente da imagem está relacionado com o sentido do objeto do mesmo modo que
a mão esquerda está relacionada com a mão direita
Figura 5: A imagem formada por um espelho plano é virtual, direita, invertida e possui o
mesmo tamanho do objeto.
A imagem invertida formada por um espelho plano de um objeto em três dimensões possui o
mesmo tamanho do objeto em todas as dimensões. Quando as dimensões transversais do
objeto e da imagem estão na mesma direção, a imagem é direita. Portanto, um espelho plano
sempre forma uma imagem direita, porém invertida. A Figura 6 fornece um exemplo disso.
Figura 6: A imagem formada por um espelho plano é invertida: a imagem de uma mão direita é
uma mão esquerda.

6. Quando dois espelhos planos são associados, estamos alinhando as direções normais com as
suas superfícies em algum ângulo, como quando abrimos, em nossa direção, as portas de um
armário espelhado, ou mesmo quando entramos em um elevador que tenha espelhos em suas
paredes internas.
De acordo com o ângulo formado entre as direções perpendiculares à superfície de cada
espelho, é possível determinar o número de imagens que serão formadas. A fórmula que nos
permite calcular o número de imagens formadas por dois espelhos alinhados com um ângulo α
é mostrada a seguir
Exercícios resolvidos:
1) Determine o comprimento mínimo h de um espelho necessário para que uma pessoa
com altura H possa ver sua imagem inteira.
Tem-se na Figura 17 o esquemático da situação citada no enunciado.
Figura 17: Esquemático do exercício.
Se percebermos o raio de luz que sai do pé e o raio de luz que sai do topo da cabeça da pessoa
configuram o campo de visão, apresentado através da hachura dentro do triângulo. O tamanho
mínimo do espelho é dado pela distância NM = h.

7. Sabe-se que a imagem é formada com todos os seus pontos s = s’. No desenho são apresentados
os prolongamentos dos raios refletidos através de linhas pontilhadas. Os prolongamentos em
conjunto com os raios refletidos formam um triângulo A’OB’. Os raios refletidos formam um
triângulo ONM. Através da semelhança de triângulos conclui-se que
𝐻
2𝑑
=
ℎ
𝑑
Isolando h, tem-se
ℎ =
𝐻
2
2) Uma pessoa está parada numa calçada plana e horizontal diante de um espelho plano
vertical E pendurado na fachada de uma loja. A figura representa a visão de cima da
região.
Olhando para o espelho, a pessoa pode ver a imagem de um motociclista e de sua motocicleta
que passam pela rua com velocidade constante V = 0,8 m/s, em uma trajetória retilínea paralela
à calçada, conforme indica a linha tracejada. Considerando que o ponto O na figura represente
a posição dos olhos da pessoa parada na calçada, determine o intervalo de tempo, em segundos
em que a pessoa poderá ver a motocicleta e o motociclista refletidos no espelho.
A situação descrita é apresentada na figura a seguir, com a imagem da motocicleta sendo
formada durante toda a passagem pela visão do observador.

8. Temos apresentada então uma semelhança de triângulos:
A variável D passa então a ser a distância percorrida pela motocicleta e visualizável pelo
observador. Então, o tempo pode ser obtido através da equação da velocidade média:
Exercícios propostos:
1) Dois espelhos planos verticais formam um ângulo de 120º, conforme a figura. Um
observador está no ponto A. Quantas imagens de si mesmo ele verá?

9. 2) Um rapaz com chapéu observa sua imagem em um espelho plano e vertical. O
espelho tem o tamanho mínimo necessário, y = 1,0 m, para que o rapaz, a uma
distância d = 0,5 m, veja a sua imagem do topo do chapéu à ponta dos pés. A
distância de seus olhos ao piso horizontal é h = 1,60 m. A figura da página de
resposta ilustra essa situação e, em linha tracejada, mostra o percurso do raio de
luz relativo à formação da imagem do ponto mais alto do chapéu.
a) Desenhe, o percurso do raio de luz relativo à formação da imagem da ponta dos pés
do rapaz.
b) Determine a altura H do topo do chapéu ao chão.
c) Determine a distância Y da base do espelho ao chão.
NOTE E ADOTE: O topo do chapéu, os olhos e a ponta dos pés do rapaz estão em
uma mesma linha vertical.
3) Adote: velocidade da luz = 3.108 m/s Um feixe de luz entra no interior de uma caixa
retangular de altura L, espelhada internamente, através de uma abertura A. O feixe,
após sofrer 5 reflexões, sai da caixa por um orifício B depois de decorrido 10-8 segundos.
Os ângulos formados pela direção do feixe e o segmento AB estão indicados na figura
adiante.
a) Calcule o comprimento do segmento AB.
b) O que acontece com o número de reflexões e o tempo entre a entrada e a saída
do feixe, se diminuirmos a altura da caixa L pela metade?

10. 4) Um raio luminoso emitido por um laser de um ponto F incide em um ponto I de um
espelho plano. O ponto F está a uma distância b do espelho e a uma distância a da
normal N. Uma mosca voa num plano paralelo ao espelho, a uma distância b/2 dele,
como ilustra a figura.
Em um certo instante, a mosca é atingida pelo raio laser refletido em I. Calcule, nesse
instante, a distância da mosca à normal N.