O Problema das Pontes de Königsberg, resolvido por Euler em 1736, foi o primeiro a envolver os conceitos do que viria a ser a Teoria dos Grafos. No segundo capítulo deste trabalho podemos verificar como Euler, através de seus teoremas, demonstrou a solução para o enigma das pontes. A partir de então muitos problemas foram resolvidos utilizando a Teoria dos Grafos. Como, por exemplo, o Problema das Quatro Cores suscitado por Francis Guthrie em 1852. Os jogos tiveram grande importância na solução de vários problemas matemáticos nos últimos tempos. O que nos mostra que os jogos podem ter desempenhado um papel evolutivo relevante. Por ser agradável a atividade intelectual, talvez o jogo facilite a aprendizagem das regras e do pensamento lógico.

1. ATIVIDADE PRÁTICAESTRUTURA DE DADOS II COLORAÇÃO DE MAPAS E O PROBLEMA DAS QUATRO CORES BRUNO RIBEIRO CAMPIGOTTO FERNANDO R. CAMILO DE MEDEIROS JULIANA LILIAN DE SOUZA ROBERTO NOVAES DE CARVALHO Julho de 2010

3. Coloração de Mapas e o Problema das Quatro Cores

4. Matemáticos e as provas do Teorema das Quatro Cores

6. O número de vértices ímpares de qualquer grafo é um número par... TEOREMAS Leonhard Euler em 1736 (1707-1783)

7. Se um grafo não possui nenhum vértice ímpar, então ele pode ser percorrido unicursalmente. Leonhard Euler em 1736 (1707-1783)

8. Um grafo que possui exatamente dois vértices ímpares pode ser percorrido unicursalmente, começando num dos vértices ímpares e terminando no outro. . Leonhard Euler em 1736 (1707-1783)

9. Todo grafo com mais de dois vértices ímpares é multicursal. Leonhard Euler em 1736 (1707-1783)

10. O Grafo é multicursal ! Leonhard Euler em 1736 (1707-1783)

11. Coloração de Mapas e o Teorema das Quatro Cores Francis Guthrie em 1852 Mapa dos Condados da Inglaterra

12. O problema foi levado ao conhecimento do grande público quando Arthur Cayley apresentou-o no London Mathematical Society em 1878. Desde então muitos matemáticos tentaram provar sua veracidade:

14. Foi modificada em 1890 por Percy John Heawood através de uma prova do Teorema das Cinco Cores. Alfred Bray Kempe

16. desenvolvidas em grande parte por Birkhoff e Heesch;

17. Controvérsias pelo uso do computador e tempo despendido.Wolfgang Appel

18. A nova prova do Teoremadas4Cores: 1990 Daniel Sanderssanders@cs.columbia.edu Robin Thomasthomas@math.gatech.edu

19. A nova prova do Teoremadas4Cores: 1990 Paul Seymourpds@math.princeton.edu Neil Robertson robertso@math.ohio-state.edu

20. A nova prova do Teoremadas4Cores: 1990 A demonstração deles ainda fez uso de computadores, mas a parte computacional pôde ser realizada num laptop em apenas algumas horas. A prova ainda gerou muita crítica pelo uso de um computador na sua demonstração!

21. Os autores se defenderam assim: “ Um argumento, é o de que a nossa «prova» não é uma prova no sentido tradicional porque ela contém passos que nunca poderão ser verificados por seres humanos. Em particular, não podemos provar a justeza do compilador em que compilamos os nossos programas, nem a infalibilidade do hardware em que os executamos. Isto é, estas questões têm de ser tomadas com base na fé, pois é concebível a possibilidade de erros. No entanto, a partir de um ponto de vista prático, a chance de um erro informático aparecer constantemente, exatamente da mesma maneira em todas as execuções de nossos programas, em todos os compiladores e sob todos os sistemas operacionais que os nossos programas são executados é infinitamente pequena em comparação com a chance de um erro humano durante a mesma quantidade de verificações. Para além desta possibilidade hipotética de um computador sempre dar uma resposta errada, o resto da nossa prova pode ser verificado da mesma forma como as tradicionais provas de matemática.”

22. PUZZLE DAS 4 CORES O Puzzle de Quatro Cores nada mais é do que um jogo, utilizando uma variação do problema da coloração de mapas utilizando quatro cores.

25. RODAR – Fullscreen.bat: Passa parâmetros de linha de comando, sem necessidade de abrir um prompte digitar tudo;

28. Segure os dois botões do mouse e mova o mouse para cima e para baixo para regular o zoom.

31. Adaptado de um pseudocódigo de Busca em Profundidade JOGAR

32. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ROBERTSON, Neil; SANDERS, Dan; SEYMOUR, Paul; THOMAS, Robin. A New Proof of the Four Color Theorem, Electronic Research announcements of the American MathematicSociety. Vol.2, Number 1, 1996. NONATO, Luis Gustavo. Coloração em Grafos. Disponível em: < http://www.lcad.icmc.usp.br/~nonato/ED/Coloracao/coloracao.html >. Acesso em: 01 jun. 2010. NICOLETTI, Maria do Carmo; HRUSCHKA, Estevam Rafael . Fundamentos da teoria dos grafos para computação. São Carlos : EdUFSCar, 2009. THOMAZ, R. (1995, November 12). The Four Color Theorem. Acessado em 24 de junho 2010, em <http://people.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html#Main> DIESTEL, Reinhard. Graph Theory: Eletronic Edition. 3. ed. New York: Springer, 2005. BONDY, J.A ; MURTY, U.S.R . Graph Theory with applications.6. ed. New York: Sole, 1982. FEOFILOFF, Paulo ; KOHAYAKAWA, Y; WAKABAYASHI, Y . Uma Introdução Sucinta à Teoria dos Grafos. . ed. São Paulo, 1982. KLYV, Dominic; STEMKOSKI, Lee.The works of Leonhard Euler online.Disponível em: < http://www.math.dartmouth.edu/~euler/ >. Acesso em: 25 jun. 2010.