ATIVIDADE PRÁTICAESTRUTURA DE DADOS II<br />COLORAÇÃO DE MAPAS E O PROBLEMA DAS QUATRO CORES<br />BRUNO RIBEIRO CAMPIGOTTO...
INTRODUÇÃO<br /><ul><li>História da Teoria dos Grafos
Coloração de  Mapas e o Problema das Quatro Cores
Matemáticos e as provas do Teorema das Quatro Cores
Desenvolvimento de um Puzzle</li></li></ul><li>O Problema das Pontes Königsberg<br />Século XVII <br />
O número de vértices ímpares de qualquer grafo é um número par...<br />TEOREMAS<br />Leonhard Euler em 1736<br />(1707-178...
Se um grafo não possui nenhum vértice ímpar, então ele pode ser percorrido unicursalmente.<br />Leonhard Euler em 1736<br ...
Um grafo que possui exatamente dois vértices ímpares pode ser percorrido unicursalmente, começando num dos vértices ímpare...
Todo grafo com mais de dois vértices ímpares é multicursal.<br />Leonhard Euler em 1736<br />(1707-1783)<br />
O Grafo é multicursal !<br />Leonhard Euler em 1736<br />(1707-1783)<br />
Coloração de Mapas e o Teorema das Quatro Cores<br />Francis Guthrie em 1852<br />Mapa dos Condados da Inglaterra<br />
O problema foi levado ao conhecimento do grande público quando Arthur Cayley apresentou-o no London Mathematical Society e...
1º a publicar uma prova:   1879<br /><ul><li>Sua prova estava incorreta.
Foi modificada em 1890 por Percy John Heawood através de uma prova do Teorema das Cinco Cores. </li></ul>Alfred Bray Kempe...
1º prova aceita: Em 1977<br />Kenneth Haken<br /><ul><li>Baseadas em idéias de Kempe;
desenvolvidas em grande parte por Birkhoff e Heesch;
Controvérsias pelo uso do computador e tempo despendido.</li></ul>Wolfgang Appel<br />
A nova prova do Teoremadas4Cores:   1990<br />Daniel Sanderssanders@cs.columbia.edu<br />Robin Thomasthomas@math.gatech.ed...
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A nova prova do Teoremadas4Cores:   1990<br />A demonstração deles ainda fez uso de computadores, mas a parte computaciona...
Os autores se defenderam assim:<br />	“ Um argumento, é o de que a nossa «prova» não é uma prova no sentido tradicional po...
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DESENVOLVIMENTO DO JOGO<br /><ul><li>main.py: Filtra os parâmetros de linha de comando, executa as ações, e instância a cl...
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Teoria Dos Grafos (ColoraçãO De Mapas E O Teorema Das Quatro Cores)

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O Problema das Pontes de Königsberg, resolvido por Euler em 1736, foi o primeiro a envolver os conceitos do que viria a ser a Teoria dos Grafos. No segundo capítulo deste trabalho podemos verificar como Euler, através de seus teoremas, demonstrou a solução para o enigma das pontes.
A partir de então muitos problemas foram resolvidos utilizando a Teoria dos Grafos. Como, por exemplo, o Problema das Quatro Cores suscitado por Francis Guthrie em 1852.
Os jogos tiveram grande importância na solução de vários problemas matemáticos nos últimos tempos. O que nos mostra que os jogos podem ter desempenhado um papel evolutivo relevante. Por ser agradável a atividade intelectual, talvez o jogo facilite a aprendizagem das regras e do pensamento lógico.

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Teoria Dos Grafos (ColoraçãO De Mapas E O Teorema Das Quatro Cores)

  1. 1. ATIVIDADE PRÁTICAESTRUTURA DE DADOS II<br />COLORAÇÃO DE MAPAS E O PROBLEMA DAS QUATRO CORES<br />BRUNO RIBEIRO CAMPIGOTTO<br />FERNANDO R. CAMILO DE MEDEIROS<br />JULIANA LILIAN DE SOUZA<br />ROBERTO NOVAES DE CARVALHO<br />Julho de 2010<br />
  2. 2. INTRODUÇÃO<br /><ul><li>História da Teoria dos Grafos
  3. 3. Coloração de Mapas e o Problema das Quatro Cores
  4. 4. Matemáticos e as provas do Teorema das Quatro Cores
  5. 5. Desenvolvimento de um Puzzle</li></li></ul><li>O Problema das Pontes Königsberg<br />Século XVII <br />
  6. 6. O número de vértices ímpares de qualquer grafo é um número par...<br />TEOREMAS<br />Leonhard Euler em 1736<br />(1707-1783)<br />
  7. 7. Se um grafo não possui nenhum vértice ímpar, então ele pode ser percorrido unicursalmente.<br />Leonhard Euler em 1736<br />(1707-1783)<br />
  8. 8. Um grafo que possui exatamente dois vértices ímpares pode ser percorrido unicursalmente, começando num dos vértices ímpares e terminando no outro.<br />.<br />Leonhard Euler em 1736<br />(1707-1783)<br />
  9. 9. Todo grafo com mais de dois vértices ímpares é multicursal.<br />Leonhard Euler em 1736<br />(1707-1783)<br />
  10. 10. O Grafo é multicursal !<br />Leonhard Euler em 1736<br />(1707-1783)<br />
  11. 11. Coloração de Mapas e o Teorema das Quatro Cores<br />Francis Guthrie em 1852<br />Mapa dos Condados da Inglaterra<br />
  12. 12. O problema foi levado ao conhecimento do grande público quando Arthur Cayley apresentou-o no London Mathematical Society em 1878. <br />Desde então muitos matemáticos tentaram provar sua veracidade:<br />
  13. 13. 1º a publicar uma prova: 1879<br /><ul><li>Sua prova estava incorreta.
  14. 14. Foi modificada em 1890 por Percy John Heawood através de uma prova do Teorema das Cinco Cores. </li></ul>Alfred Bray Kempe<br />
  15. 15. 1º prova aceita: Em 1977<br />Kenneth Haken<br /><ul><li>Baseadas em idéias de Kempe;
  16. 16. desenvolvidas em grande parte por Birkhoff e Heesch;
  17. 17. Controvérsias pelo uso do computador e tempo despendido.</li></ul>Wolfgang Appel<br />
  18. 18. A nova prova do Teoremadas4Cores: 1990<br />Daniel Sanderssanders@cs.columbia.edu<br />Robin Thomasthomas@math.gatech.edu<br />
  19. 19. A nova prova do Teoremadas4Cores: 1990<br />Paul Seymourpds@math.princeton.edu<br />Neil Robertson robertso@math.ohio-state.edu<br />
  20. 20. A nova prova do Teoremadas4Cores: 1990<br />A demonstração deles ainda fez uso de computadores, mas a parte computacional pôde ser realizada num laptop em apenas algumas horas. <br />A prova ainda gerou muita crítica pelo uso de um computador na sua demonstração!<br />
  21. 21. Os autores se defenderam assim:<br /> “ Um argumento, é o de que a nossa «prova» não é uma prova no sentido tradicional porque ela contém passos que nunca poderão ser verificados por seres humanos. Em particular, não podemos provar a justeza do compilador em que compilamos os nossos programas, nem a infalibilidade do hardware em que os executamos. Isto é, estas questões têm de ser tomadas com base na fé, pois é concebível a possibilidade de erros. No entanto, a partir de um ponto de vista prático, a chance de um erro informático aparecer constantemente, exatamente da mesma maneira em todas as execuções de nossos programas, em todos os compiladores e sob todos os sistemas operacionais que os nossos programas são executados é infinitamente pequena em comparação com a chance de um erro humano durante a mesma quantidade de verificações. Para além desta possibilidade hipotética de um computador sempre dar uma resposta errada, o resto da nossa prova pode ser verificado da mesma forma como as tradicionais provas de matemática.”<br />
  22. 22. PUZZLE DAS 4 CORES<br /> O Puzzle de Quatro Cores nada mais é do que um jogo, utilizando uma variação do problema da coloração de mapas utilizando quatro cores. <br />
  23. 23. DESENVOLVIMENTO DO JOGO<br /><ul><li>main.py: Filtra os parâmetros de linha de comando, executa as ações, e instância a classe App;
  24. 24. app.py: Contém a classe da aplicação, e instancia classe Item;</li></ul> item.py: Contem classe Item, que herda a classe "Faces"  da API Vpython;<br /><ul><li>layout1.txt: Layout da imagem. Ele contém informações sobre os triângulos, posições X, Y e Z deles, e suas ligações. Assim, é possível usar o mesmo programa para desenhos diferentes sem mexer no código, criando um novo arquivo de layout;
  25. 25. RODAR – Fullscreen.bat: Passa parâmetros de linha de comando, sem necessidade de abrir um prompte digitar tudo;
  26. 26. RODAR – Janela.bat: Passa parâmetros de linha de comando, sem necessidade de abrir um prompte digitar tudo.</li></li></ul><li>DESENVOLVIMENTO DO JOGO<br />
  27. 27. COMO JOGAR<br /><ul><li>Segure o botão direito do mouse e mova o mouse para girar o ângulo da imagem.
  28. 28. Segure os dois botões do mouse e mova o mouse para cima e para baixo para regular o zoom.
  29. 29. Funções do teclado: Pressione (V) para validar a cor escolhida e (R ou S) para solucionar automaticamente o puzzle.</li></li></ul><li>APLICAÇÃO DA TEORIA DAS QUATRO CORES<br />Tulip 3.3.1<br />Grafo do Puzzle<br />
  30. 30. APLICAÇÃO DA TEORIA DAS QUATRO CORES<br /><ul><li>Para a resolução automática do Puzzle utilizamos um algoritmo de busca em profundidade.
  31. 31. Adaptado de um pseudocódigo de Busca em Profundidade </li></ul>JOGAR<br />
  32. 32. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS<br />ROBERTSON, Neil; SANDERS, Dan; SEYMOUR, Paul; THOMAS, Robin. A New Proof of the Four Color Theorem, Electronic Research announcements of the American MathematicSociety. Vol.2, Number 1, 1996.<br /> <br />NONATO, Luis Gustavo. Coloração em Grafos. Disponível em:<br />< http://www.lcad.icmc.usp.br/~nonato/ED/Coloracao/coloracao.html >. Acesso em: 01 jun. 2010.<br /> <br />NICOLETTI, Maria do Carmo; HRUSCHKA, Estevam Rafael . Fundamentos da teoria dos grafos para computação. São Carlos : EdUFSCar, 2009.<br /> <br />THOMAZ, R. (1995, November 12). The Four Color Theorem. Acessado em 24 de junho 2010,<br />em <http://people.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html#Main> <br /> <br />DIESTEL, Reinhard. Graph Theory: Eletronic Edition. 3. ed. New York: Springer, 2005.<br /> <br />BONDY, J.A ; MURTY, U.S.R . Graph Theory with applications.6. ed. New York: Sole, 1982.<br /> <br />FEOFILOFF, Paulo ; KOHAYAKAWA, Y; WAKABAYASHI, Y . Uma Introdução Sucinta à Teoria dos Grafos. . ed. São Paulo, 1982.<br /> <br />KLYV, Dominic; STEMKOSKI, Lee.The works of Leonhard Euler online.Disponível em:<br />< http://www.math.dartmouth.edu/~euler/ >. Acesso em: 25 jun. 2010.<br />

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