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2Índice1. Introdução.........................................................................................................
31. Introdução      Neste texto discutiremos alguns tópicos relacionados à difração de raios X,destacando alguns conceitos...
42. Espalhamento Thomson       O campo elétrico oscilante associado ao feixe de raios X que incide sobre umelétron, obriga...
5consiste de duas partes. A primeira parte é aquela associada ao espalhamentoThomson e possui o mesmo comprimento de onda ...
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8A expressão acima representa o fator de espalhamento atômico. Curvas doespalhamento atômico para diversos átomos estão ta...
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14                Figura 7. Esfera de Ewald.       Assim temos a seguinte diferença de fase,                              ...
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Difracao de raios X wfa

  1. 1. 1 DIFRAÇÃO DE RAIOS X Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr. Laboratório de Sistemas Biomoleculares.Departamento de Física-Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas-UNESP, São José do Rio Preto. SP. www.biocristalografia.df.ibilce.unesp.br 2004
  2. 2. 2Índice1. Introdução................................................................................................................ 32. Espalhamento Thomson....................................................................................... 43. Espalhamento Comptom..................................................................................... 44. Espalhamento por elétrons.................................................................................. 55. Fator de espalhamento atômico.......................................................................... 66. Espalhamento de raios X por uma molécula.................................................... 87. Espalhamento de raios X por um cristal........................................................... 98. Espaço recíproco.................................................................................................... 129. Lei de Friedel......................................................................................................... 1610. Densidade eletrônica......................................................................................... 1711. O problema da fase............................................................................................ 1812. Referências Bibliográficas................................................................................ 18
  3. 3. 31. Introdução Neste texto discutiremos alguns tópicos relacionados à difração de raios X,destacando alguns conceitos básicos relevantes para estudos cristalográficos.Descartaremos discussões sobre a simetria do retículo direto, sendo que parainterpretação da difração usaremos o espaço recíproco. Inicialmenteconsideraremos o espalhamento por elétrons (Thomson e Compton) depoisanalisaremos o espalhamento por átomos, até a consideração final da difração porum cristal. A seguir definiremos espaço recíproco e introduziremos o conceito deesfera de Ewald. Finalmente formulamos o problema da fase que será a base para adiscussão dos métodos de resolução de estrutura.
  4. 4. 42. Espalhamento Thomson O campo elétrico oscilante associado ao feixe de raios X que incide sobre umelétron, obriga este elétron a oscilar em torno da sua posição de equilíbrio.Sabemos que toda partícula carregada acelerada emite radiação. Assim o elétron,submetido a um campo elétrico oscilante, emite uma onda eletromagnética, quepossui o mesmo comprimento de onda da radiação incidente (espalhamentoelástico). A intensidade do feixe de raios X espalhado por um elétron de carga -e emassa m a uma distância r do elétron é dada por, e4 1 + cos2 2 θ I = Io ( ), r 2 m2 c4 2onde Io é a intensidade do feixe incidente e 2θ o ângulo de espalhamento daradiação, sendo a onda eletromagnética plana e polarizada (Cullity, 1956; Blundelland Johnson, 1976).3. Espalhamento Comptom Há uma forma completamente diferente pela qual um elétron pode espalharraios X, conhecida como efeito Compton. Esse efeito ocorre quando raios Xincidem sobre elétrons livres ou fracamente ligados e pode ser entendido a partirda teoria quântica. Assim a partir da conservação do momento e da energia dacolisão do fóton com o elétron, obtemos a expressão abaixo, ∆λ = 0.0243(1- cos2θ ) (Å)onde 2θ é o ângulo de espalhamento e ∆λ é a diferença entre o comprimento deonda da radiação espalhada e incidente. Assim temos que a radiação espalhadapossui um comprimento de onda maior que o da radiação incidente (espalhamentoinelástico), devido à transferência de energia do fóton para o elétron. Experimentalmente encontra-se que a radiação espalhada pelos materiais
  5. 5. 5consiste de duas partes. A primeira parte é aquela associada ao espalhamentoThomson e possui o mesmo comprimento de onda da radiação incidente; asegunda parte tem um comprimento de onda maior que a radiação incidente, como aumento do comprimento de onda sendo dependente do ângulo deespalhamento (Cullity, 1956).4. Espalhamento por elétrons Para analisar o espalhamento de raios X por elétrons vamos considerar ageometria de um experimento típico de espalhamento, como aquele mostrado nafigura 1. Nele temos um feixe raios X colimados incidindo sobre um elétron,localizado na origem do sistema de coordenadas. Um vetor unitário, so, descreve a direção da radiação incidente. A direçãode espalhamento é indicada por outro vetor unitário, s, e o ângulo deespalhamento é 2θ. Na figura 2, temos o vetor de espalhamento S, que é dado pelaexpressão, s - so S = (1) λA partir da figura 2, vemos que o módulo S, é função do ângulo de espalhamento,como segue, 2 senθ |S| = (2) λ
  6. 6. 6 Figura 1. Espalhamento de raios X por um elétron. O valor do módulo de S pode variar de 0 a 2/λ. Desta forma, o vetor S estádescrito num espaço onde cada eixo de seu sistema de coordenadas tem dimensãodo recíproco da distância (Drenth, 1994). Este espaço de coordenadas é chamadoespaço recíproco.5. Fator de espalhamento atômico Considerando que um elétron isolado espalha raios X com intensidade I,seria de se esperar, que num átomo de Z elétrons teríamos uma intensidade ZI.Porém, devido às distâncias entre os elétrons num átomo serem da ordem docomprimento de onda do raio X, as ondas que eles espalham interferem umas comoutras, de forma que só teremos uma intensidade ZI na direção de incidência doraio X. Para o espalhamento em outras direções temos interferência parcialmentedestrutiva, assim, a amplitude total cai com o aumento do ângulo deespalhamento.
  7. 7. 7 Figura 2. Composição do vetor de espalhamento S. O fator de espalhamento atômico é definido como a relação entre aamplitude espalhada por um átomo(Ea) e a amplitude espalhada por umelétron(Ee) isolado, sob condições idênticas, Ea f = . (3) Ee O valor máximo de f é Z (número atômico do átomo) e ocorre quando oselétrons espalham em fase, na direção de incidência (2θ = 0). O fator de espalhamento atômico também depende do comprimento deonda da radiação incidente. Para um valor fixo de θ, f será menor paracomprimentos de onda mais curtos, visto que, a diferença de caminho será maiorcom relação ao comprimento de onda, levando a uma maior interferência. Considerando um átomo esférico com o seu centro coincidente com aorigem do sistema de coordenadas, temos que, a onda total espalhada por umpequeno volume dv numa posição r relativa à onda espalhada na origem terá umaamplitude proporcional a ρ(r)dv e uma fase 2πr.S, ou seja, a amplitude da ondaespalhada será igual a ρ(r)exp(2πir.S)dv. Conseqüentemente a onda total espalhada por um átomo é calculada pelasoma das ondas espalhadas pelos elementos de volume dv f( S ) = ∫ ρ (r) exp (2πi r.S) dv. (4) vol.do atomo
  8. 8. 8A expressão acima representa o fator de espalhamento atômico. Curvas doespalhamento atômico para diversos átomos estão tabeladas no Volume III dasInternartional Tables for X-Ray Crystallography.6. Espalhamento de raios X por uma molécula Analisaremos agora o espalhamento de raios X de um conjunto de átomoscolocados em posições definidas pelos vetores posição ri. Figura 3. Posições atômicas em uma cela unitária. Consideremos o átomo 1 na figura 3 que está a uma distância r1 da origem(O). Este deslocamento do centro do átomo significa que a distância r na equação(4) é substituída por r + r1. Assim temos que o espalhamento do átomo 1 será dadopela seguinte expressão, f1 = ∫ ρ (r)exp(2 π i(r1 + r).S)dv = vol.do atomo = f 1′ exp(2 π r1 .S),onde, f1′ = ∫ ρ (r)exp(2 π i r.S)dv. vol.do atomo
  9. 9. 9 Expressões similares podem ser obtidas para os outros átomos. A onda total espalhada por todos os átomos é dada pela soma vetorial dascontribuições de cada átomo (figura 4), N G(S) = ∑ f j exp(2π i rj. S). (5) j=17. Espalhamento de raios X por um cristal A fim de obtermos a expressão para o espalhamento por um cristal,primeiro consideramos o espalhamento de um cristal unidimensional, que écomposto de um arranjo linear de celas unitárias com um espaçamento a entre elas.A amplitude total espalhada pelo cristal será a soma das ondas espalhadas porcada cela unitária. A amplitude da onda espalhada pela primeira cela unitáriarelativa a origem é simplesmente G(S). A amplitude espalhada pela segunda celaunitária relativa à mesma origem é G(S)exp(2πia.S), visto que, todas as distânciasestão deslocadas pelo vetor a. A amplitude da onda espalhada pela n-ésima celaunitária é G(S)exp 2πi(n-1)a.S. Conseqüentemente a amplitude total espalhada é, T F(S) = ∑G(S)exp2 π n=1 i(n -1)a.S ,onde T é o número total de celas unitárias.
  10. 10. 10 Figura 4. Diagrama de Argand mostrando a soma vetorial. A maneira que cada uma das contribuições individuais se somam pode servista na figura 5. A onda de cada cela unitária está fora de fase com sua vizinha poruma quantidade de 2πa.S. Assim, conforme o número de celas unitárias aumenta,a amplitude total espalhada, F(S), fica da mesma ordem de G(S), que para raios X émuito pequena para ser observada (figura 5). O espalhamento só será observado quando a diferença de fase entre asondas espalhadas, por celas unitárias sucessivas, for um múltiplo inteiro de 2π(figura 6), ou seja, a.S = h, onde h é um número inteiro. Sob estas circunstâncias as ondas se somam para formar uma ondaespalhada mais intensa, que é proporcional em magnitude a T.G(S). Em resumo,para uma rede unidimensional, só observamos espalhamento quando a.S=h.Quando o problema é estendido para três dimensões, com uma cela unitáriadefinida pelos vetores a, b e c, a condição para ocorrer a difração é que ascondições a.S = h, b.S = k e c.S = l sejam simultaneamente satisfeitas. Estascondições correspondem às conhecidas equações de Laue (Blundell & Johnson,1976).
  11. 11. 11 Figura 5. Diagrama de Argand ilustrando o espalhamento total de uma molécula num cristal. Figura 6. Diagrama de Argand, ilustrando a situação, onde a diferença de fase é um múltiplo inteiro de 2π.Assim podemos reescrever a amplitude total da seguinte forma, N F(S) = ∑ f j exp2π i (rj.S), (6) j=1
  12. 12. 12onde: rj = axj + byj + czj e xj,yj,zj são as coordenadas fracionárias do j-ésimo átomo.Sendo que a constante de proporcionalidade, T, foi omitida. As coordenadasfracionárias(x,y,z), são definidas como, x = X/a, y = Y/b e z = Z/c,onde: X,Y,Z são as coordenadas absolutas do átomo na cela unitária de eixos a,b ec. Considerando as equações de Laue temos que, rj.S= xja.S + yjb.S +zjc.S = hxj + kyj + lzj,portanto, N F(hkl) = ∑ f j exp 2π i(hx j + ky j + lz j) , (7) j=1onde a.S, b.S e c.S foram substituídos por h,k,l no lado esquerdo da equação. A equação (7) é conhecida como equação do fator de estrutura. Elarepresenta uma amostragem da transformada G(S) nos pontos hkl do retículorecíproco. Se as posições de todos os átomos na cela unitária são conhecidas entãoo correspondente padrão de difração pode ser calculado.8. Espaço recíproco Para cada retículo cristalino é possível construir um retículo recíproco,assim chamado porque muitas das suas propriedades são recíprocas àspropriedades do retículo cristalino. Considerando um retículo cristalino quepossua uma cela unitária definida pelos vetores a, b, c definimos uma cela unitáriado retículo recíproco pelos vetores, a*, b*, c* dados por:
  13. 13. 13 1 a*= ( bxc ), (8) V 1 b*= (cxa ) , (9) V 1 c*= (axb), (10) Vonde V é o volume da cela unitária. Neste retículo recíproco podemos construir umvetor H, desenhado a partir da origem até um ponto interno a este retículo, comcoordenadas h,k,l, e perpendicular ao plano do retículo cristalino cujos índices deMiller são h,k,l, como mostra a figura 7. Este vetor pode ser expresso pela seguinteequação, H= ha*+kb*+lc*. (11) Uma outra propriedade do vetor H que podemos destacar é que seumódulo é igual ao recíproco da distância interplanar, 1 H= . (12) d(h, k, l)onde d(h,k,l) é a distância interplanar (h,k,l). Para considerar as condições em que ocorre a difração, devemos determinara diferença de fase entre os raios espalhados em A1 e A2 (figura 8). Sendo δ adiferença de caminho ótico dos raios espalhados por A1 e A2, r é o vetor posiçãodado por r= xa+yb+zc, então δ =r.s-r.s o =r.(s-s o ). (13)
  14. 14. 14 Figura 7. Esfera de Ewald. Assim temos a seguinte diferença de fase, 2πδ r.(s - s o ) φ = = 2π = 2π r.S. (14) λ λ Relacionamos agora a difração com o retículo recíproco expressando o vetorS como um vetor desse retículo, s - so = ha* +kb* +lc*. (15) λ Até este ponto nenhuma restrição foi feita aos índices h,k,l. Eles podemassumir qualquer valor, inteiro ou não, a diferença de fase fica então, φ = 2π (xa +yb +zc).(ha* +kb* +lc*). (16)
  15. 15. 15 A condição para a difração ocorrer(equações de Laue) é que o vetor S esteja s - so S= = ha* +kb* +lc* (17) λsobre um ponto do retículo recíproco, onde h, k e l são inteiros (figuras 7 e 8). As equações de Laue e Bragg podem ser derivadas da equação 17. Asprimeiras são obtidas a partir do produto escalar da equação pelos vetores a, b e c.Por exemplo, a.S=a. (ha*+kb*+lc* ) = h (18)obtemos assim: a.S= h, b.S= k, c.S= l. (19) Conhecidas como equações de Laue (ou condições de Laue). Quando as trêsequações são satisfeitas, um feixe de raios X difratado será produzido. Figura 8. Diferença de caminho ótico. Podemos considerar o feixe de raios X, s, como se fosse refletido por umconjunto de planos perpendiculares a S. Na realidade a equação (17) estabelece queS seja perpendicular aos planos (h,k,l). Sendo θ o ângulo entre s(ou so) e esses
  16. 16. 16planos. Assim temos que 2senθ s - s o 1 =| |=| H|= (20) λ λ d(hkl)ou λ = 2d(hkl) senθ . (21) As condições para difração expressas pela equação (17) podem serrepresentadas graficamente pela construção de Ewald, mostrada pela figura 7. Ovetor so/λ é desenhado paralelo ao feixe incidente. O ponto O é tomado comoorigem do retículo recíproco. Uma esfera de raio 1/λ é desenhada em torno de C(esfera de Ewald). Assim a condição para ocorrer difração a partir dos planos(h,k,l) é que o ponto P(h,k,l) toque a superfície da esfera de Ewald (figura 7), e adireção do feixe difratado (s/λ) é encontrada juntando-se C a P.9. Lei de Friedel A lei de Friedel relaciona uma reflexão de índices h,k,l com a reflexão -h,-k,-l. A relação é deduzida da seguinte maneira, consideremos o fator de estrutura dareflexão de índices (h,k,l), F(h,k,l), como segue, N F(hkl) = ∑ f j exp 2π i ( hx j + ky j + lz j) , j=1e o fator de estrutura da reflexão de índices (-h, k-, -l), N F(-h,-k,-l) = ∑ f j exp2π i(- hx j - ky j - lz j) , j=1tomando-se o módulos para os fatores de estrutura das reflexões de índices (h,k,l) e(-h, -k, -l), temos que os módulos são iguais; F(h,k,l)=F(-h,-k,-l). E as fases(α)
  17. 17. 17seguem a seguinte relação, α(h,k,l)=-α(-h,-k,-l). Conseqüentemente o padrão dedifração registrado será centrossimétrico (I(h,k,l) = I(-h,-k,-l)), mesmo que aestrutura não possua um centro de simetria. Desvios da lei de Friedel ocorrem nocaso de espalhamento anômalo e em tais casos as pequenas diferenças podem serusadas para fornecer informações sobre a fase.10. Densidade eletrônica O padrão de difração é a transformada de Fourier da densidade eletrônicada estrutura e inversamente a densidade eletrônica da estrutura é a transformadade Fourier do padrão de difração. Para mostrar isto, podemos reescrever a equaçãodo fator de estrutura (equação 7) em termos de uma integral sobre o volume dacela unitária(V). N F(S) = ∑ j=1 f j exp 2π i(r j .S) = ∫ ρ (r)exp 2π i(r.S)dv, V onde S é usado para representar a posição no espaço recíproco e ρ(r) édensidade eletrônica. Multiplicando ambos os lados por (exp-2πi(r.S)) eintegrando sobre o volume recíproco (V*=1/V), temos que, ρ (r ) = ∫ F(S) exp * - 2 π i(r.S) dv* , Vonde dv* é o elemento de volume no espaço recíproco. A integração pode se substituída por uma somatória, visto que, F(S) não écontínuo e é diferente de zero somente nos pontos do retículo recíproco.Conseqüentemente, 1 ∞ ∞ ∞ ρ (xyz) = ∑ ∑ F(hkl)exp - 2 π i(hx + ky + lz). V ∑ (22) h=-∞ k=-∞ l=-∞
  18. 18. 18 Desta forma se os fatores de estrutura, F(h,k,l), são conhecidos para todas asreflexões, h,k,l, então a densidade eletrônica, ρ(x,y,z), pode ser calculada para cadaponto x,y,z, na cela unitária (Drenth, 1994). A densidade eletrônica representa aestrutura do cristal.11. O problema da fase Para calcular a densidade eletrônica é necessário o conhecimento domódulo, F(hkl), e da fase, α(hkl), do fator de estrutura. Isto é enfatizado quandoreescrevemos a equação 22, como segue, 1 ∞ ∞ ∞ ρ (xyz) = ∑ ∑ ∑ F(hkl)exp iα (hkl) exp - 2 π i(hx + ky + lz). V h=- ∞ k=- ∞ l=- ∞ Durante um experimento de difração de raios X, só se registram asintensidades, sendo que toda a informação sobre a fase é perdida. Portanto éimpossível determinar a estrutura diretamente das medidas do padrão dedifração, visto que parte da informação está perdida (Drenth, 1994; McRee, 1994).O problema da determinação da fase é o problema básico em qualquerdeterminação de estrutura. Há quatro principais métodos para resolução doproblema da fase: substituição molecular, substituição isomórfica múltipla,dispersão anômala múltipla e métodos diretos.12. Referências bibliográficasBlundell, T. L. & Johnson, L. N. Protein Crystallography. Academic Press, USA, (1976).Cullity, B. D. Elements of X-ray crystallography. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. USA,(1956).Drenth, J. Principles of Proteins X-Ray Crystallography. Springer-Verlag. New York. USA, (1994).McRee, D.E. Practical Protein Crystallography. Academic Press, Inc. San Diego, USA,(1994).

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