Turing e o problema da decisão

Turing e o problema da decisão
Baseado no artigo de Turing e na leitura do livro "O homem que sabia
demais - Davi Lewit"
Prof. Sérgio Souza Costa1
1Coordenação da Engenharia da Computação
Universidade Federal do Maranhão
GELF, 2017.1
Prof. Sérgio Souza Costa ( Coordenação da Engenharia da Computação Universidade Federal do Maranhão )Turing e o problema da decisão GELF, 2017.1 1 / 59

Conteúdo
A vida e obra de Turing
Entendendo o Entscheidungsproblem
Artigo: On computable numbers ...
Computable number
Computing machines
O problema da parada
Usando o argumento de diagonalização
Usando a maquina universal
Application ao Entscheidungsproblem

Importante
Os slides a seguir apresentam citações diretas ao artigo de Turing: On
computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem[2] e
recortes do livro de David Leavitt O Homem que sabia demais[1].

Alan Mathison Turing (1912-1954), conhecido como Alan Turing,
nasceu na cidade de Paddington, na Inglaterra, no dia 23 de junho de
1912.
Em 1931 Turing graduou-se em Matemática com honras, pela
Universidade de Cambridge.
Em 1936 publicou o artigo que demonstrava a impossibilidade do
problema da decisão.
Entre 1940 e 1941 trabalhou como funcionário do Governmente Code
and Cypher School, e desenvolveu uma máquina capaz de decifrar o
“Enigma”.
Depois da guerra, trabalhou no Laboratório Nacional de Física do
Reino Unido onde pesquisou e trabalhou no projeto para o programa
de armazenamento de dados, o ACE.
Em 1950 publicou "Computing Machinery and Intelligence"onde onde
ele coloca a questão se as maquinas podem pensar e introduz o que
ﬁcou conhecido depois como Teste de Turing.

Em 1952, Alan Turing enfrentou um processo criminal, pois na época,
na Inglaterra, o homossexualismo era considerado crime. Foi
destituído de seu posto no Bletchley Park, o centro inglês de
descodiﬁcação, condenado e castrado quimicamente (com injeções de
hormônios femininos).
Com seu prestígio relegado, Alan Turing morreu aos 41 anos por
intoxicação de cianeto. A princípio acreditou-se que teria sido suicídio,
mas estudiosos concluíram que o envenenamento se deveu a remédios
que ele compulsivamente tomava.
Uma campanha de perdão ao matemático começou na internet,
exigindo um pedido póstumo por parte do governo britânico. Em
2009, o então primeiro-ministro inglês Gordon Brown, se desculpou em
nome do governo, e no dia 24 de dezembro de 2013, Turing foi
perdoado postumamente da condenação por prática homossexual, pela
rainha Elizabeth II.

Sarcástico silogismo escrito por Turing em uma carta de 1952 a seu amigo
Norman Routledge, mostrando uma preocupação que seu comportamento
poderia levar a uma supressão de suas ideias;
Turing believes machines think
Turing lies with men
Therefore machines do not think

Raimundus Lullus (1232-1316) imaginou um método geral de solução de
problemas que ele chamou de ars magna . Leibniz ampliou o estudo de
Lullus, tanto para buscar o estabelecimento de uma linguagem simbólica (a
characteristica universalis ), com a qual podia efetivar a solução do
problema.

A ambição de Hilbert foi a de estabelecer e definir os fundamentos dos
sistemas da matemática formal, "fundando"assim a metamatemática.
Por exemplo, 2 + 3 = 5 é uma expressão matemática. Mas a afirmação “2
+ 3 = 5 é uma fórmula aritmética” pertence à metamatemática, “porque
caracteriza uma certa fileira de sinais matemáticos como sendo uma
fórmula” (Ernest Nagel e James R. Newman).

Embora o artigo de 1931 de Gödel tenha estabelecido que o sistema
axiomático corporiﬁcado na PM fosse indecidível e inconsistente, o
Entscheidungsproblem, que Newman caracterizou como uma questão de
encontrar um “processo mecânico” para testar a validade de uma
aﬁrmação, permaneceu não solucionado.

Hilbert apresentou sua própria versão do Entscheidungsproblem . Nela, um
capítulo intitulado “The Decision Problem” começa:
“Das considerações da seção precedente emerge a importância fundamental
de determinar se uma dada fórmula de um cálculo de predicados é ou não
universalmente válida”.
Vejamos a conjectura de Goldbach: haverá um algoritmo capaz de
determinar se ele deriva de um dado conjunto particular de axiomas escritos
na lógica de primeira ordem?

Em uma rememoração escrita depois da morte de Turing, Newman
sintetizou a situação até o ponto em que Turing decidiu enfrentar o desafio
final de Hilbert:
O programa de decisão de Hilbert dos anos de 1920 e 1930 tinha como
objetivo a descoberta de um processo geral, aplicável a qualquer teorema
matemático expresso em completa forma simbólica, para decidir sobre a
verdade ou a falsidade do teorema. Um primeiro golpe foi desferido quanto
ao prospecto de encontrar uma nova pedra filosofal pelo teorema da
incompletude de Gödel (1931), que tornou claro que a verdade ou a
falsidade de A não poderia ser igualada à provabilidade de A ou não-A em
qualquer base lógica finita, escolhida de uma vez por todas; mas ainda
permanecia em princípio a possibilidade de encontrar um processo mecânico
para decidir se A, ou não-A, ou nenhum, era formalmente provável em um
dado sistema. Muitos estavam convencidos de que tal processo não era
possível, mas Turing se dispôs a provar sua impossibilidade rigorosamente.

Para isso, Turing precisou criar a computação antes de apresentar o seu
resultado. Podemos então considererar que este foi o primeiro artigo de
computação.

Deﬁnição
Um sistema formal S é decidivel se para uma formula A qualquer de S
podemos determinar se A é um teorema de S ou se A não é um teorema
de S.
O sistema é decidível ? ou seja, existe um método efetivo para decidirmos
se uma formula A qualquer é ou não um teorema ? (Fonte: Um Preludio a
Logica.)
Mas o que seria um "método efetivo"?
Church e Turing tiveram que deﬁnir esse conceito, antes de trabalhar no
problema da decisão. Aqui veremos os resultados de Alan Turing.

No início do artigo, Turing cita os resultados de Alonzo Church:
In a recent paper Alonzo Church has introduced an idea of "effective
calculability", which is equivalent to my "computability", but is very
differently defined. Church also reaches similar conclusions about the
Entscheidungsproblem. The proof of equivalence between
"computability"and "effective calculability"is outlined in an appendix to the
present paper.
PS: a discussão sobre esta prova, ficará para outro seminário :)

A estrutura do artigo
O artigo foi dividido em três partes:
1 a primeira deﬁne a ideia do “computable number” e da “máquina de
computação”;
2 a segunda apresenta o conceito de uma “máquina universal”;
3 a terceira emprega esses conceitos para provar que o
Entscheidungsproblem é insolúvel

Computable number
No artigo, Turing define números computáveis como os números reais cujas
expressões decimais são calculáveis por meios finitos.
"The "computable"numbers may be described briefly as the real numbers
whose expressions as a decimal are calculable by finite means. Although
the subject of this paper is ostensibly the computable numbers. it is almost
equally easy to define and investigate computable functions of an integral
variable or a real or computable variable, computable predicates, and so
forth. The fundamental problems involved are, however, the same in each
case, and I have chosen the computable numbers for explicit treatment as
involving the least cumbrous technique."
Ou ainda, um número é computável se seu decimal pode ser registrado por
uma máquina.

Computing machines
Então, ele precisou definir o que poderia entender por meios finitos.
"We have said that the computable numbers are those whose decimals are
calculable by finite means. This requires rather more explicit definition"

Computing machines
Então, ele utiliza uma analogia, com os computadores ou computadoras da
época, que eram aqueles que realizam os calculos.
We may compare a man in the process of computing a real number to
a − machine which is only capable of a ﬁnite number of conditions
q1,q2...qR; which will be called "m − configurations".
E logo a seguir, ele descreve a sua máquina.

Computing machines
Correndo por ela há uma ﬁta dividida em células, e cada uma delas pode
ser marcada com um símbolo. A qualquer momento apenas uma célula
pode “estar na máquina”. Essa célula é a “célula registrada”, enquanto o
símbolo que ele traz é o “símbolo registrado”. O símbolo registrado “é o
único que a máquina, por assim dizer, ‘percebe diretamente’.

Computing machines
Uma visão artistica da máquina de Turing.
Fonte: http://numeroimaginario.com.br/2015/12/27/teoria-da-recursao-
maquinas-de-turing-e-computabilidade-de-funcoes/

Computing machines: Definições
Definição
Configuração da máquina, é determinado por sua configuração-m (ou
estado) e pelo símbolo registrado, e define o comportamento da máquina a
cada momento.
Possíveis comportamentos:
Escrever um símbolo numa célula em branco,
Apagar um símbolo já escrito lá,
Mover a fita um espaço para a esquerda
Mover a fita um espaço para a direita.

Computing machines: Tabela de comportamento
Deﬁnição
Tabela de comportamento, a sequência das conﬁgurações-m de acordo com
as quais a máquina pode executar seu algoritmo particular.
A tabela é então o algoritmo, a "receita". Abaixo é apresentado um
exemplo de uma parte de uma tabela:

Computing machines
Em qualquer estágio do movimento da máquina Turing define:
Definição
Configuração completa naquele estágio como o número na célula registrada,
a sequência completa de todos os símbolos na fita e a configuração-m.
Definição
Movimentos da máquina como as mudanças da máquina e da fita entre
configurações completas sucessivas.
Embora essa máquina seja agora comumente chamada de “máquina de
Turing”, o próprio Turing a chamava de “máquina automática”, ou
“máquina-a”.

Computing machines - Um exemplo de processo efetivo
Uma máquina de Turing não equivale a um computador, mas similar uma
calculadora, ou seja, não é programável.
"Um dos principais pontos de Turing é que para qualquer processo
algorítmico, não importa quão complexo, existe uma máquina de Turing
para a qual uma lista específica de comportamento vai afetar aquele
algoritmo. Cada uma destas máquinas de Turing seria definida por sua lista
de comportamento, cuja complexidade depende da complexidade do
algoritmo em questão. Para alguns algoritmos, a lista de comportamento
pode exigir dúzias de configurações-m e símbolos."

Computing machines
Em “Computable Numbers”, Turing dá dois exemplos de máquinas-a.
A primeira máquina-a que Turing dá como exemplo é uma máquina
muito simples projetada para gerar a sequência inﬁnita 010101...
Uma máquina de Turing ligeiramente mais complicada imprime a
sequência 001011011101111011111. Lida em notação unária, a
sequência gerada pela segunda máquina de Turing é simplesmente a
sequência dos números naturais, com cada número separado dos
anteriores e posteriores por um 0.

Computing machines - Exemplo
A máquina projetada para gerar a sequência inﬁnita 0 1 0 1 0 1 ...

Computing machines - Descrição padrão das máquinas-a
Turing agora propõe atribuir números às configurações-m , chamando-as
q1 , q2 , q3 , q4. Além disso, números são atribuídos aos símbolos, que
serão chamados de S1 , S2 , S3 , S4. Em particular, S0 vai significar um
espaço em branco, S1 vai significar um 0, e S2 vai significar um 1. A lista
agora pode ser reescrita da seguinte maneira:
Configuração-m Simbolo Ação Nova Configuração-m
q1 s0 P s1, R q2
q2 s0 P s0, R q3
q3 s0 P s2, R q4
q4 s0 P s0, R q1
Uma simulação dessa máquina de Turing: http://morphett.info/
turing/turing.html?6c03f88352fb8cd4bca75eb7fde0308a/

Computing machines
Os Ps agora podem ser removidos, e a sequência inteira reescrita em uma
única linha será:
q1S0S1Rq2;q2S0S0Rq3;q3S0S2Rq4;q4S0S0Rq1;
Turing em seguida atribui a cada símbolo uma letra de acordo com o
seguinte esquema:
qi vai ser substituído pela letra D seguida de i repetições da letra A,
Sj será substituído pela letra D seguida de j repetições da letra C.
Direita e esquerda continuam sendo escritas como R e L,
“não mover” é escrito com um N.
A sequência agora ﬁca:
DADDCRDAA; DAADDRDAAA; DAAADCCRDAAAA; DAAAADDRDA;

Computing machines: Número descritivo
Atribuindo um numeral a cada letra – 1 para A, 2 para C, 3 para D, 4
para L, 5 para R, 6 para N e 7 para ; – ele é capaz de representar essa
descrição padrão como uma sequência de numerais.
Os números inteiros representados por esses numerais ele chama de
número descritivo da máquina (em inglês, DN, description number ).
O número descritivo da máquina anterior seria:
31332531173113353111731113322531111731111335317

Computing machines
Turing agora introduziu e explicou a ideia de uma máquina-a e apresentou
um sistema para codiﬁcar sua lista de instruções. Ele também estabeleceu
que para cada procedimento algorítmico, uma máquina-a deve, por
deﬁnição, existir. De maneira mais importante:
“To each computable sequence there corresponds at least one description
number, while to no description number does there correspond more than
one computable sequence. The computable sequences and numbers are
therefore”.

Computing machines
A singularidade dos números descritivos até nos permitiria listá-los, por
assim dizer, alfabeticamente, começando com 0 e continuando até o
inﬁnito. Então podemos assim perguntar:
Cada máquina, contudo, gera uma sequência computável válida?
A resposta é não, em programação dizemos que um algoritmo pode entrar
em "loop inﬁnito".
Turing chama máquinas desse tipo de circulares. Por outro lado, uma
máquina não-circular é aquela capaz de gerar uma sequência computável.

Computing machines
Um exemplo de um código em Python, que devido a um erro na quinta
linha nunca irá parar.
1n = 10
2f a t = 1
3while n > 0:
4f a t = f a t ∗ n
5n = n + 1
6p r i n t ( f a t )

Computing machines - O problema da parada
"Mas seria possível alguém projetar uma máquina de Turing que analisasse
qualquer outra máquina de Turing e decidisse se aquela era circular ou
não-circular? Essa questão – conhecida como o problema da parada – está
na essência do artigo de Turing e leva diretamente à sua análise do
Entscheidungsproblem."
Porém antes é preciso deﬁnir o conceito de máquina Universal.

Computing machines - A máquina universal
Turing avança a ideia de uma “máquina universal”: uma máquina de Turing
que é capaz de imitar o comportamento de qualquer outra máquina de
Turing, não importa qual algoritmo esteja projetada para realizar.
It is possible to invent a single machine which can be used to compute any
computable sequence. If this machine M is supplied with a tape on the
beginning of which is written the S.D of some computing machine M then
U will compute the same sequence as M.
Nesse ponto, Turing desenvolve a idéia que será depois usado por Von
Neumman na construção do primeiro computador programável, que tratava
os programas como dados.

Computing machines - A máquina universal
A fim de operar como uma máquina de Turing, tudo o que a máquina
universal requer é seu número descritivo. Algumas dessas máquinas seriam,
pela definição de Turing, circulares, porque nunca produziriam números
computáveis ou sequências computáveis. Mas outras seriam não-circulares.
Turing define então:
número satisfatório como o número descritivo de uma máquina
não-circular.
número insatisfatório como o número descritivo de uma máquina
circular.

Aplicação ao Entscheidungsproblem
Agora Turing pode começar seu ataque ao Entscheidungsproblem. A
pergunta que ele faz é:
Existe um algoritmo (e então uma máquina de Turing) que pode agir sobre
o número descritivo de outra máquina de Turing, a ﬁm de decidir se aquele
número é satisfatório?

Aplicação ao Entscheidungsproblem
Em teoria, uma máquina dessas (vamos chamá-la de D) seria capaz de
analisar o número descritivo de uma outra máquina de Turing, M, e então
chegar a uma conclusão a respeito de sua viabilidade.
Se acontecesse de M ser uma máquina circular, D terminaria suas
computações imprimindo um 1
Se acontecesse de M ser uma máquina não-circular, então D
terminaria imprimindo um 0.
Mas será que uma máquina assim poderia existir? Turing coloca essa
indagação tomando o clássico enfoque da reductio ad absurdum. Isto é, ele
começa com uma suposição: digamos que D, de fato, existe. E usa o
metodo de diagonalização

Aplicação ao Entscheidungsproblem - Argumento de
diagonalização de Cantor
Cantor provou por um argumento que o tamanho do inﬁnito dos naturais
era mesmo dos racionais:

diagonalização de Cantor
Usando o mesmo
argumento, provou
que os numeros reais
não eram
enumeráveis, ou seja,
o seu inﬁnito era
maior que o inﬁnito
dos reais. Se para
cada um destes
numéros, adicionar 1,
irá gerar um novo
número que não
estará na lista.

diagonalização
Turing usou o seguinte método:
Coloca-se D para receber uma sequencia de maquinas de Turing,
identiﬁcando aquelas que são não-circulares.
Para cada máquina não-circular, gera-se a sequencia computável.
Em seguida prepara-se uma lista destas sequências computáveis
geradas pelas máquinas não-circulares, da primeira até a última.

diagonalização
Por exemplo, podemos considerar a seguinte lista completamente arbitrária
de sequências computáveis.

diagonalização
Nós agora geramos uma nova sequência traçando uma faixa diagonal no
diagrama – ou seja, tomando o primeiro número da primeira sequência, o
segundo número da segunda sequência etc.
1 3 0 4 8 96 17 343 . . .
Agora adicionamos 1 a cada um dos números dessa sequência. A nova
sequência é
2 4 1 5 9 97 18 344 . . .
Agora adicionamos 1 a cada um dos números dessa sequência. A nova
sequência é:

diagonalização
Como o método diagonal é apenas o tipo de processo algorítmico para o
qual se poderia projetar uma máquina de Turing, essa é obviamente uma
sequência computável. Contudo, a lista da qual ela foi derivada inclui todas
as sequências que podem ser computadas por máquinas não-circulares de
acordo com a máquina D – isto é, todas as sequências computáveis –, e
essa lista não pode incluir nossa nova sequência, pois nossa sequência
difere da primeira sequência na lista em sua primeira célula, da segunda em
sua segunda etc. Uma contradição surgiu. Portanto, não pode existir uma
máquina D.

diagonalização
Como Turing escreve, essa prova, “embora perfeitamente sensata, tem a
desvantagem de poder deixar o leitor com o sentimento de que ‘deve haver
alguma coisa errada.
"This proof, although perfectly sound, has the disadvantage that it may
leave the reader with a feeling that "there must be something wrong". The
proof which I shall give has not this disadvantage, and gives a certain
insight into the signiﬁcance of the idea "circle-free

Aplicação ao Entscheidungsproblem - Usando a máquina
universal
Turing apresenta o seguinte argumento:
Imaginemos que podemos de alguma forma ligar a máquina que
decide, D, à máquina universal, U, criando dessa forma uma nova
máquina híbrida, DU.
Nessa máquina nós alimentamos o número descritivo da máquina
arbitrária de Turing, M.

universal
Funcionamento da DU:
Se M é circular, o processo para, já que não haveria sentido em
alimentar o número descritivo de uma máquina circular em U, o que
replicaria sua circularidade
Se, contudo, M se revela não-circular, U pode ser utilizada para
simular sua ação algorítmica
Observem que pelo fato de DU incluir esse mecanismo de “veriﬁcação”, por
meio do qual ela pode ter certeza de que U é alimentada apenas com os
números descritivos de máquina não-circulares, a própria DU é não-circular;
isto é, em nenhuma circunstância ela vai desviar para a circularidade.

universal
Agora pode-se colocar a seguinte pergunta:
Agora, o que ocorre se alimentamos o número descritivo de DU na própria
DU ?
Pelo argumento anterior, DU é não-circular. Portanto ela passa o
número descritivo para U, que simula a ação de DU.
Então, ela vai passar o número descritivo de DU em D, que então o
passa para U, que então simula a ação de DU ... e assim por diante.
Em outras palavras, DU, quando alimentada com seu próprio número
descritivo, funciona para sempre. DU é circular.

universal
Como é impossível que DU seja as duas coisas, Turing escreve:
"Thus both verdicts are impossible and we conclude that there can be no
machine."

universal
A próxima manobra de Turing em sua caminhada rumo a uma solução para
o Entscheidungsproblem. Ele mostra que se podemos responder a uma
simples indagação:
Existe uma máquina E que, quando alimentada com o número descritivo de
uma máquina M arbitrária de Turing, vai estabelecer se M sempre imprime
um dado símbolo?
Então podemos responder a uma indagação mais complexa:
Existe uma máquina que pode estabelecer se uma dada fórmula lógica é ou
não provável?

universal
Ele começa, uma vez mais, fazendo uma suposição reductio ad absurdum.
Alimentamos E com o número descritivo de M e ela responde nos dizendo
se M imprime ou não imprime um 0 em algum ponto de sua ação.
Por exemplo, se M imprime a seguinte sequencia:
A B A 0 1 A A B 0 0 1 0 A B . . .
Então, E vai nos dizer, sim, M algumas vezes imprime 0s.

universal
Em seguida ele constroi uma variante de M – M1 – que imprime a mesma
sequência que M, mas substitui o primeiro 0 por outro símbolo; por
exemplo %. Então, M1 imprime a sequência:
A B A % 1 A A B 0 0 1 0 A B . . .
Da mesma forma construímos uma máquina, M2 , que substitui os
primeiros dois 0s na sequência que M imprime por %s:
A B A % 1 A A B % 0 1 0 A B . . .
E assim para M3,M4,. . . Mn. . .

universal
Ele entao constrói uma outra máquina – H – que, quando alimentada com
a descrição padrão de M, gera sucessivamente as descrições padrão de
M,M1,M2,. . . Mn
Combinando H com nossa indagação original “existe uma máquina que
imprima um 0?”, E, obtemos uma nova máquina, HE.

universal
Funcionamento de HE:
Quando alimentada com o número descritivo de M, HE primeiro
assume seu modo H e escreve a descrição padrão de M.
Mudando para o modo E, HE então determina, a partir daquela
descrição padrão, se M vai imprimir um 0.
Se a resposta é que M nunca imprime um 0, HE imprime 0.
HE então assume o mesmo procedimento para M1,M2,. . . Mn, em
cada caso imprimindo 0 se a máquina mostra que nunca imprime um 0.

universal
Devemos lembrar que HE vai imprimir 0 apenas:
Nos casos em que M nunca imprime zeros (isto é, 1111111 . . . )
Ou quando M imprime um número ﬁnito de 0s (por exemplo,
00011111111 . . . ), caso em que, em algum ponto na interação de M1,
M2, . . . Mn, nós obteremos uma sequência ao longo das linhas de
%%%1111111.
Se, por outro lado, M imprime um número inﬁnito de 0s, HE não imprimirá
0.

universal
Considerando o argumento anterior, existiria um método para descobrir se
M imprime um numero finito ou infinito de 0s.Um processo similar nos
permitiria determinar se M imprime um número finito ou infinito de 1s.
Turing então escreve:
By a combination of these processes we have a process for determining
whether. M prints an infinity of figures, i.e. we have a process for
determining whether M is circle-free. There can therefore be no machine E.

universal
Agora Turing é capaz, finalmente, de estabelecer a insolubilidade do
Entscheidungsproblem. Ele começa mostrando como descrever aspectos
simples de M utilizando afirmações lógicas e depois codificando essas
afirmações em fórmulas lógicas.

universal
Turing pode agora escrever a fórmula lógica Un (M) e então mostrar que
Un (M) significa:
“Tem a interpretação ‘em alguma completa configuração de M, S1a
aparece
na fita’”.
a
S1 era 0 por definição
Segue-se que “se existe um método geral para determinar se Un (M) é
provável, então existe um método geral para determinar se M sempre
imprime um 0”.

universal
Anteriormente Turing explicou que em seu uso, a expressão “existe um
processo geral para determinar...” é equivalente à expressão “existe uma
máquina que vai determinar...”. Podemos, portanto, concluir que:
Se existe uma máquina para solucionar o Entscheidungsproblem, então
também deve existir uma máquina E. Mas como sabemos que a máquina E
não pode existir, podemos concluir que uma solução para o
Entscheidungsproblem também não pode existir.

References I
D. Leavitt.
The Man Who Knew Too Much: Alan Turing and the Invention of the
Computer (Great Discoveries).
WW Norton & Company, 2006.
A. M. Turing.
On computable numbers, with an application to the
entscheidungsproblem.
Proceedings of the London mathematical society, 2(1):230–265, 1937.

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