RODRIGO COLLOMBARA - MODELING AND SIMULATING A VARIABLE MASS ROCKET ON A CURVE TRAJECTORY

Escola Politécnica
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2371 – Modelagem de Sistemas Mecânicos
Foguete de massa variável em trajetória curva
Evandro Nunes Gottsfritz 6481714
Gabriel Salvioni Kimura 6481700
Pietro Enrico Haydamus 6481544
Rodrigo Marques Collombara 5694074
29/11/2010 1Prof. Décio e Prof. Fleury

Escola Politécnica
1. Introdução
2. Esforços sobre o foguete
3. Câmara de combustão e bocal
4. Modelo Matemático
5. Representação em espaço de estados
6. Simulação numérica
7. Conclusão

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Operação FogTrein I : Foguete de Treinamento Intermediário (FTI)

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Esquema de um foguete

Escola Politécnica
Esquema da câmara de combustão de um foguete

Escola Politécnica
1. Introdução
7. Conclusão

Escola Politécnica
Condição de estabilidade
• O CG deve estar mais
afastado da base do
foguete do que o CP

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1. Introdução
7. Conclusão

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Exemplo de um bocal

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Foguete Saturn V, que levou as naves Apollo até a Lua

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Câmara de Combustão
Admitimos que a
câmara da figura ao
lado é um bocal de
Laval.

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Bocal de Laval

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Hipóteses do Bocal de Laval
• Todos os processos são isoentrópicos;
• O sistema é adiabático;
• Não há atrito.

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Equação da velocidade de escape




















k
k
ext
mol
e
P
P
k
k
M
RZT
v
1
int
int
1
1
2
Vazão em massa dos gases para o meio externo
1
1
int
int
.
1
2 














k
k
mol
ge
kZRT
kM
PCAm
Eq. (3.1)
Eq. (3.2)

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Temos a equação da força de propulsão
sexteeprop APPvmF )( 0
.
 Eq. (3.3)
Substituindo as equações (3.1), (3.2) em (3.3), obtemos a seguinte expressão
para a força de propulsão
sext
k
k
ext
k
k
gprop APP
P
P
kk
k
PCAF )(1
1
2
1
²2
0
1
int
1
1
int 



























Eq. (3.4)

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1. Introdução
7. Conclusão

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Principais Hipóteses Simplificadoras
• O foguete será modelado como um corpo rígido;
• A massa do combustível e da mistura dos gases será modelada
como um corpo rígido;
• As condições externas ao foguete não exercem influência sobre o
movimento do foguete;
• A câmara será modelada como um bocal de Laval, incluindo
todas as hipóteses simplificadoras deste;
• Quando em regime permanente, a pressão na câmara será
constante e a taxa de ejeção de gases também será;

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Principais Hipóteses Simplificadoras
• As condições atmosféricas são bem definidas, tal que se conhece
o escoamento de ar em torno do modelo e suas propriedades
(massa específica, pressão e velocidade ao longe);
• Não há variação da gravidade ao longo do deslocamento vertical;
• Os movimentos de vibrações de arfagem, guinada e de rolamento
são desprezíveis;
• O modelo obedecerá a condição de estabilidade em relação ao CP
e ao CG.

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29/11/2010 Prof. Décio e Prof. Fleury 19
Movimento de Guinada

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Movimento de Rolamento

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Movimento de Arfagem

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Parâmetros de entrada
 Bocal : C, Ag e As;
 Combustível: k, Z, Mmol e R;
 Condições ao meio externo: g, ρ, Var, P0;
 Foguete: Ca, Cs, Ara, Ars, mf, M0, me0;
Variáveis externas: Pint(t), Pext(t) e Tint(t);
 Condições iniciais:
0
..
0
..
0
..
)0(,)0(,)0(   yyxx
000 )0(,)0(,)0(   yyxx

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Modelo físico
Graus de liberdade
 Deslocamento horizontal x(t)
 Deslocamento vertical y(t)
 Inclinação do foguete θ(t)
Trecho A: período de queima do combustível e ascensão por inércia
Trecho B: período de queda, após a queima

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Parâmetros de saída
 Deslocamento horizontal a partir do ponto inicial de lançamento: x(t)
 Altura atingida pelo foguete: y(t)
 Angulação do eixo de simetria do foguete: θ(t)

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 Trecho A:
Região de ascensão
Há queima de combustível presente no
interior do sistema
Há geração de força propulsora
 Trecho B:
Trecho do movimento regido por inércia
Atinge sua altura máxima (apogeu)
Passa a ter inclinação negativa e
retorna ao solo

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Diagrama de corpo livre

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 O movimento é fortemente regido pela força propulsora, sendo assim, o
termo referente à variação da massa nas equações diferenciais se torna
irrelevante, podendo ser desprezado.
 Aplicando o Teorema da Movimentação do Baricentro:
Eq. (4.1)

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 Decompondo as forças externas que atuam no foguete:
Eq. (4.2)
Eq. (4.3)
Eq. (4.4)

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 Substituindo as expressões de arrasto e sustentação:
Eq. (4.5)
Eq. (4.6)

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 Velocidade utilizada para calcular os esforços aerodinâmicos:
Eq. (4.7)

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 Equações diferenciais:
Eq. (4.8)
Eq. (4.9)
Eq. (4.10)

Escola Politécnica
 Equações complementares:
Eq. (4.11)
Eq. (4.12)

Escola Politécnica
 A velocidade angular do foguete é calculada através da derivada direta
da equação da inclinação:
Eq. (4.13)

Escola Politécnica
Linearização (expansão em série de Taylor):
Eq. (4.14)
Eq. (4.15)
Para mais graus de liberdade (desprezando T.O.S):

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 Equações diferenciais linearizadas:
Eq. (4.16)
Eq. (4.17)
Eq. (4.18)

Escola Politécnica
 Coeficientes constantes
e definição das entradas:
Eq.
(4.20)
Eq.
(4.19)

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 Coeficientes constantes
e definição das entradas:
Entradas: E1(t) E2(t) E3(t)
Eq.
(4.21)

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1. Introdução
7. Conclusão

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 Isolando a segunda derivada nas equações:
Eq. (5.1)
Eq. (5.2)
Eq. (5.3)

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 Definição do vetor de estados, vetor de entrada e matrizes:
Vetor de estados Vetor de entrada
Sistema formado

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1. Introdução
7. Conclusão

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 Parâmetros de simulação:

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 Trajetória modelo não-linear:
Valores médios obtidos:

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 Modelo linear:

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 Funções de transferência:
Obs: denominador comum

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 Pólos:

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 Diagramas de Bode:

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1. Introdução
7. Conclusão

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 Estabilidade do sistema:
 Domínio do tempo – instável -> propulsão elevada
 Pólo real positivo – instável

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 Melhorar modelo:
 Considerar outros movimentos e vibrações;
 Impor velocidade do ar não nula;
 Condições variáveis na tubeira;
 Gravidade variável;
 Centros de pressão e gravidade mudam conforme diminuição da massa.

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