Ofdm

0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1

Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)

Blu-ray HD DVD HD VMD DVD
Tasa de
transferencia
datos
36,0 / 54,0
Mbps
36,55 Mbps
40,0 Mbps (no
indica
si es datos o
audio/vídeo)
11,1 / 10,1
Mbps
Formatos
soportados
MPEG-2,
MPEG-4 AVC,
VC-1
MPEG-2, VC-1
(basado
en WMV), H.26
4/MPEG-4 AVC
MPEG-1,
MPEG-2,
MPEG-4 AVC,
VC-1
MPEG-1,
MPEG-2
Resolución
máxima de
vídeo
soportada
1080p 1080p 1080p 480p/576p

Desvanecimento seletivo na frequência

Dispersão no tempo
Variação na fase
 Taxa de transmissão →  ISI

Tempo real
Taxas em Mbps
Hardware compacto
Baixo custo
Como descomplexar
a alta complexidade OFDM

Conceptos preliminares
1010.. 1010.. 1010.. 1010....................................
𝐹1 𝐹2 𝐹𝑛−1 𝐹𝑛
T
Ts Ts Ts Ts
Se a taxa de transmissão inicial R, nova R/N
Desvanecimento plano e não seletivo
Se o intervalo de símbolo ↓ → Sensibilidade ao espalhamento ↓
→ ISI ↓

Conceptos preliminares  Transmissão paralela de
símbolos
 As portadoras Transmitem
informação modulados
digitalmente (BPSk, QPSK..)
 Taxa de transmissão menor.

Seja o tempo de símbolo Ts, caso uma só portadora.
))(()( 2 tfj
sc
c
etmts 

Fc, Frequência de portadora, de transmissão RF.
A envoltória complexa pode ser representada:




n
sn nTtgdtm )()(
dn ∈ 𝐴𝑖 + 𝑗𝐵𝑖
𝑀
𝑖 = 1, 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜
g(t) pulso formato de sinal na transmissão

s
s
T
B
2
1

A largura de faixa ocupada pelo sistema de uma só portadora:
A largura de faixa ocupada por cada M subportadora OFDM será:
M
B
B s
sub  ↓Rs → Ts(OFDM)
Assim os parâmetros OFDM T e
𝑇 = 𝑀𝑇𝑠 𝑑𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠
𝐵 𝑜𝑓𝑑𝑚 = 𝑀𝐵𝑠𝑢𝑏 = 𝐵𝑠 largura de faixa

Sinusoides Ortogonais
𝑤 = 2𝜋𝑓 =
2𝜋
𝑇
→ 𝐾𝑤 /𝐾 ∈ 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠

Os sinais de cada uma das subportadores é:
 
 






Tt
Tted
ts
tffj
i
i
ci
,0,0
,0),(
)(
)(2
i=0,1,2,3...M-1
𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖 =
1
𝑇
di Representa o mapeamento dos símbolos na constelação de sinais
Tteedts tfj
t
T
i
j
ii
c
 0),()( 2
)(2


Transmissão

Se g(t) pulso formatador (Retangular unitário de duração T)
Tteetgdts
M
i
tfj
t
T
i
j
iofdm
c
 


0),)(()(
1
0
2
)(2


Envoltória complexa s(t) em relação a frequência fc
Recepção
Ttetgdts
M
i
t
T
i
j
i  


0,)()(
1
0
)(2
No receptor, o sinal r(t) é correlacionado com funções base do tipo:
Ttetb tfj
i
i
 
0,)( )2(  i=0,1,2....M-1

dtedeetndttneder
M
k
t
T
k
j
k
T T ftjftj
M
k
t
T
k
j
k
T
ftj
i
iii

















  






1
0
)2(
0 0
)2()2(
1
0
)2(
0
)2(
)()(

Saída do n-esimo correlator






  




1
0
0
)2(M
k
T t
T
ik
j
k
j
ii dtedenr


ri = Te-jdi + ni
A
implementação
paralela
demandaria M
osciladores e
filtros
analógicos
Inviável !!!

Lembrando o equivalente passa-baixa de um símbolo OFDM é:
O sinal s(t) amostrado M vezes nos instantes t=lTs é: (T=MTs)
𝑙 = 0,1,2, … 𝑀 − 1
Ttetgdts
M
i
t
T
i
j
i  


0,)()(
1
0
)(2
Ttedls
M
i
l
M
i
j
i  


0,)(
1
0
)(2

DFT (Discrete Fourier Transform) e IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform)
A aplicação de DFT a um vector x de “M” componentes:
10,)(x
1
)(X
)(21
0



 Mken
M
k M
i
kjM
i

10,)(X)(x
)(21
0
 


Miekn M
i
kjM
i

FDT
IFDT
Na transmissão

Na recepção




1
0
)(2^ 1
))((
M
l
N
kl
j
lsk es
M
lTsDFTd

  























1
0
1
0
1
0
)(
21
0
^ 11 )(
2
M
l
M
n
l
M
l
kn
N
j
n
M
n
j
nk ed
M
ed
M
d
lkn
M

k
M
n kn
M
j
Mkn
M
j
nk d
e
e
d
M
d 












 

 

1
0 )(
2
)(
2
^
1
11



Para reduzir os efeitos IBI (Inter Block Interference) e introduzido um intervalo de
guarda de duração Tg em cada simbolo OFDM.
𝑇𝑜𝑓𝑑𝑚 = 𝑇 + 𝑇𝑔
CP-OFDM (Cyclic Prefix- Orthogonal Frequency division Multiplexing)
Inicio de cada simbolo
Extensão ciclica do simbolo
O receptor não considera os dados agregados
Final de cada símbolo
Preenchimento de Zeros
Os dados agregados são utilizados na DFT
ZP-OFDM (Zero Padding-Orthogonal Frecuency division Multiplexing )

 Sistema robusto em termos de seletividade da frequência (T=MTs)
 Capacidade para eliminar a IBI, diminuir a ISI, mediante o intervalo de guarda.
 Por utilizar transmissão paralela:
Planura na resposta de amplitude (Análises em frequência )
Linearidade na resposta em fase.
Equalização de menor complexidade.
 Robustez ao ruído aditivo (Ts)
Vantagens

Desvantagens
 Incompatibilidade do uso do esquema convencional de transmissão em
canais seletivos em frequência.
 Interleaving no domínio do tempo, (Ts) → retardo na transmissão de
dados.
 Picos de potência.
 Desvios de frequência
 Problemas de sincronização de frequência.

Tx paralela de dados em
subportadoras ortogonais de
banda estreita
n-ésimo símbolo OFDM
formado por blocos de sub-símbolos
𝒅 𝑛 = 𝑑1 𝑛 𝑑2 𝑛 ⋯ 𝑑 𝑀 𝑛 𝑇
número de
subportadoras
de sistema
𝑑𝑖 𝑛 → sub-símbolos
mapeados na constelação na
modulação APSK
𝐸𝑠 = 1
i.i.d.
Signal
Mapper
(QPSK)
IDFT
Parallel-
to-Serial
Converter
Guard
Interval
Insertion
Serial-to-
Parallel
Converter
2d
Md
Serial
Data
Input
1s
2s
Ms
x bits
D/A
&
Lowpass
Filter
1x 1d
2x
Mx
H
MW
  1
M
i i
d    1
M
i i
s 
Transmissão

Transmissão
• A duração dos símbolos OFDM (T):
𝑇 = 𝑀𝑇𝑠
𝑇𝑠 = duração dos sub-símbolos em cada
subportadora.
• Em CP e ZP-OFDM, com a inserção do intervalo de
guarda, a duração de um símbolo OFDM (𝑇𝑜𝑓𝑑𝑚) é:
𝑇𝑜𝑓𝑑𝑚 = 𝑇 + 𝑇𝑔

Signal
Mapper
(QPSK)
IDFT
Parallel-
to-Serial
Converter
Guard
Interval
Insertion
Serial-to-
Parallel
Converter
2d
Md
Serial
Data
Input
1s
2s
Ms
x bits
D/A
&
Lowpass
Filter
1x 1d
2x
Mx
H
MW
  1
M
i i
d    1
M
i i
s 
Q
.
I
.
.
. 00
01
11
10
.
I
.
.
. 00
01
11
10
Q
.
.
.
. 00
01
11
10
I
.
.
.
. 00
01
11
10
𝑑1 = 1
𝑑2 = 𝑖
𝑑3 = −1
𝑑4 = −𝑖
…..
𝑥 = 0,0,0,1,1,0,1,1, …
𝑥1 = 0,0
𝑥2 = 0,1
𝑥3 = 1,0
𝑥4 = 1,1
Transmissão

Observação 1
𝑋𝑖 =
𝑘=0
𝑀−1
𝑥 𝑘 𝑒−𝑗2𝜋
𝑖𝑘
𝑁 𝑖 = 0, ⋯ , 𝑀 − 1DFT
𝑾 𝑴 =
1 1 ⋯ 1
1 𝑊0,1 ⋯ 𝑊1,(𝑀−1)
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
1 𝑊(𝑀−1),1 ⋯ 𝑊(𝑀−1),(𝑀−1)
matriz de 𝑀 × 𝑀
𝑊𝑖,𝑘 =
1
𝑁
𝑒 −𝑗2𝜋
𝑖𝑘
𝑁 𝑖, 𝑘 = 0, ⋯ , 𝑀 − 1
𝑾 𝑴 ∙ 𝑾 𝑴
𝐻
= 𝑾 𝑴
𝐻
∙ 𝑾 𝑴= 𝑰 𝑴
matriz é
ortogonal
∗ 𝑇
= 𝐻
⇒ 𝐻 = ℎ𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑎𝑛𝑜 matriz para operação
IDFT (𝑀 × 𝑀)
𝑾 𝑴
𝐻
= 𝑾 𝑴
−1

1
1
1
i
i
d
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ê ú-ê úë û
M
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
[ ]-0.09, -0.003-0.096i, , 0.01+ 0.247i, -0.035-0.0472is = L
Signal
Mapper
(QPSK)
IDFT
Parallel-
to-Serial
Converter
Guard
Interval
Insertion
Serial-to-
Parallel
Converter
2d
Md
Serial
Data
Input
1s
2s
Ms
x bits
D/A
&
Lowpass
Filter
1x 1d
2x
Mx
H
MW
  1
M
i i
d    1
M
i i
s 
𝒔 = 𝑾 𝑴
𝐻
𝒅
Transmissão

Transmissão
Tx apenas um símbolo OFDM, onde se supôs n=0.
𝑝 𝑡 = pulso formatador para o sinal de transmissão OFDM

Recepção
𝑝(𝑡) = pulso formatador
ℎ 𝑑(𝑡) = filtro de deteção
ℎ 𝑐 𝑡 = resposta impulsional do canal
de propagação
𝑛0 = filtragem do ruído gaussiano
branco 𝑛(𝑡)
𝑧 𝑡 =
𝑖
𝑠𝑖ℎ(𝑡 − 𝑖𝑇𝑠) 𝑛0 = 𝑛(𝑡) ∗ ℎ 𝑑(𝑡)
ℎ 𝑡 = 𝑝(𝑡) ∗ ℎ 𝑑(𝑡) ∗ ℎ 𝑐(𝑡)

Recepção
No instante de amostragem 𝑡 = 𝑙𝑇𝑠
𝑟 𝑙𝑇𝑠 = 𝑧 𝑙𝑇𝑠 + 𝑛0(𝑙𝑇𝑠)
ℎ 𝑑(𝑡) casado
ao pulso
formatador
𝑝(𝑡)
ℎ 𝑑(𝑡) ∗ 𝑝(𝑡)
atende ao
primeiro
critéiro de
Nyquist
As mostras
𝑛0(𝑡) tomadas
a intervalos de
sub-símbolos 𝑇𝑠
são
descorrelatadas
As mostras
𝑛0(𝑡) são e.i.’s
𝑙 referencia a mostra obtida para o símbolo OFDM durante o intervalo 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑀

Recepção
Modelo equivalente para recepção OFDM
Usando-se: ℎ(𝑙) ≡ ℎ(𝑙𝑇𝑠)
𝑧 𝑙 ≡ 𝑧 𝑙𝑇𝑠 =
𝑖
𝑠𝑖ℎ 𝑙 − 𝑖 𝑇𝑠 =
𝑖
𝑠𝑖ℎ𝑙−𝑖 = 𝑠𝑙 ∗ ℎ𝑙
𝑧 𝑡 =
𝑖
𝑠𝑖ℎ(𝑡 − 𝑖𝑇𝑠)

Recepção
Para um instante 𝑛 (um único símbolo OFDM) o sinal que chega ao receptor, é:
𝒛 𝑛 = 𝑯𝒔 𝑛 = 𝑯𝑾 𝑴
𝐻
𝒅 𝑛
𝑯 = matriz de convolução discreta para o canal 𝒉(𝑙)
𝑯 é matriz Toeplitz 𝑀 × 𝑀 (Matriz de diagonais contantes) cuja primeira coluna é:
[ℎ0 ⋯ ℎ 𝐿−1 01 0 𝑀−𝐿] 𝑇
O sinal de observação 𝒓 𝑛
𝒓 𝑛 = 𝒛 𝑛 + 𝒏(𝑛)
𝒏 𝑛 é vetor ruído gaussiano, média nula e matriz covariância 𝑲 𝒏 = 𝜎2 𝑰

DATA CP
CP
CP
CP
CP
1
1
1
i
i
d
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ê ú-ê úë û
M
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
[ ]-0.09, -0.003-0.096i, , 0.01+ 0.247i, -0.035-0.0472is = L
0 10 20 30 40 50 60 70 80
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Signal
Mapper
(QPSK)
IDFT
Parallel-
to-Serial
Converter
Guard
Interval
Insertion
Serial-to-
Parallel
Converter
2d
Md
Serial
Data
Input
1s
2s
Ms
x bits
D/A
&
Lowpass
Filter
1x 1d
2x
Mx
H
MW
  1
M
i i
d    1
M
i i
s 
Transmissão de Sinais CP-OFDM

Transmissão de Sinais CP-OFDM
Modelo discreto de
transmissão CP-OFDM
𝒔 𝒄𝒑 𝑛 = 𝑴 𝒄𝒑 𝒅(𝑛)
𝑴 𝒄𝒑 =
𝑾 𝒄𝒑
𝐻
𝑾 𝑴
𝐻
𝑾 𝒄𝒑
𝐻
matriz formada pelas últimas 𝐺 linhas da matriz IDFT 𝑾 𝑴
𝐻
O intervalo de guarda é formado por um conjunto de 𝐺 amostras da extensão cíclica
do s(𝑛), assim o número de amostras é igual 𝑃 = 𝑀 + 𝐺

Recepção de Sinais CP-OFDM
Considerando 𝒉 𝑳 = [ℎ0 ℎ1 ⋯ ℎ 𝐿−1] 𝑇
a
resposta impulsional do canal de
comprimento 𝐿 e 𝒏 𝒄𝒑 𝑛 um vetor de ruído
na recepção.
𝑀 > 𝐺 ≥ 𝐿 − 1

Recepcão de Sinais CP-OFDM
• A n-ésima observação de dimensão Px1, pode ser:
𝒓 𝒄𝒑 𝑛 = 𝑯𝑴 𝒄𝒑 𝒅 𝑛 + 𝑯𝒊𝒃𝒊 𝑴 𝒄𝒑 𝒅 𝑛 − 1 + 𝒏 𝒄𝒑(𝑛)
• 𝑯 = matriz Toeplitz 𝑃 × 𝑃 cuja primeira coluna é dada
por: [ℎ0 ⋯ ℎ 𝐿−1 01 0 𝑃−𝐿] 𝑇
• 𝑯𝒊𝒃𝒊 = matriz Troeplitz triangular superior 𝑃 × 𝑃 ,
representa a incidencia de IBI (interferencia inter blocos) e
sua primeira linha é dada por
𝑯𝒊𝒃𝒊 = [01 ⋯ 0 𝑃−𝐿+1 ℎ 𝐿−1 ⋯ ℎ1]

• Após a remoção da extensão cíclica no receptor e, desde que 𝐺 ≥ 𝐿 −
1, a n-ésima observação 𝑀 × 1 é:
𝒓 𝑛 = 0 𝑀×𝐺 𝐼 𝑀×𝑀 𝒓 𝒄𝒑 𝑛 = 𝑪𝒊𝒓𝒄 𝒉 𝑾 𝑴
𝐻
𝒅 𝑛 + 𝒏(𝑛)
• 𝒏(𝑛) é um vetor ruído (Mx1) com média nula e matriz covariância:
𝑲 𝒏 = 0 𝑀×𝐺 𝐼 𝑀×𝑀 𝑲 𝒏𝒄𝒑 0 𝑀×𝐺 𝐼 𝑀×𝑀
𝑇
= 𝜎2
𝑰
Assim a adição e remoção do prefixo cíclico, por meio de matrizes pré
definidas, não altera as estatísticas do vetor de ruído

• O termo 𝑪𝒊𝒓𝒄 𝒉 representa a matriz circulante, cuja primeira coluna é
ℎ = [ℎ0 ⋯ ℎ 𝐿−1 01 0 𝑀−𝐿] 𝑇
Intervalo de guarda com CP permite tratar a operação de convolução
linear entre a resposta al impulso do canal e o sinal de tx CP-OFDM
como uma convolução circular

• Após a demodulação com a matriz DFT representada por 𝑾 𝑴, o
sinal recebido no domínio da freqüência é dado por:
𝒙 𝒄𝒑 𝑛 = 𝑾 𝑴 𝑪𝒊𝒓𝒄 𝒉 𝑾 𝑴
𝐻
𝒅 𝑛 + 𝑾 𝑴 𝒏(𝑛)
𝒙 𝒄𝒑 𝑛 = 𝑫 𝒒 𝒅 𝑛 + 𝒏′(𝑛)
• 𝑪𝒊𝒓𝒄 𝒉 foi diagonalizada pela pré/pós multiplicação das
matrizes IDFT e DFT.
• A matriz 𝑫 𝒒 são formadas pelas componentes da resposta em
freqüência do canal 𝑞 = 𝑀𝑾 𝑴 𝒉
• As estatísticas vetor gaussiano branco não se alteram com uma
aplicação de uma transformação ortogonal 𝑾 𝑴

• Para canais seletivos em freqüência invariantes no tempo
a matriz circulante 𝑪𝒊𝒓𝒄 𝒉 pode ser gerada após da
operação DFT (h são constantes durante o bloco M).
• Na observação do 𝒓 𝑛 , a multiplicação pela matriz DFT
resulta uma matriz diagonal 𝑫 𝒒
• Assim para canais fixos o processo de equalização pós-
DFT é simplificado pois cada sub-símbolo necessita de um
equalizador de apenas 1 tap visando eliminar as
distorções multiplicativas provocadas pelo canal na
seqüência 𝒙 𝒄𝒑 𝑛

• Os equalizadores ZP (Zero Forzing) e MMSE
(Minimum Mean Squared Error) supõem o
conhecimento ideal do canal e são
representadas por:
𝑮 𝒛𝒇
𝒄𝒑
= 𝑫(𝒒)−1
𝑮 𝒎𝒎𝒔𝒆
𝒄𝒑
= 𝑫(𝒒) 𝑯 𝑫 𝒒 𝑫(𝒒) 𝑯 + 𝜎2 𝑰 −𝟏

Transmissão de Sinais ZP-OFDM
Sinal de transmissão ZP-OFDM
𝒔 𝒛𝒑 𝑛 = 𝑴 𝒛𝒑 𝒅(𝑛)
𝑴 𝒄𝒑 =
𝑾 𝑴
𝐻
0

Transmissão de Sinais ZP-OFDM
• No instante n, o sinal de transmissão ZP-
OFDM 𝒔 𝒛𝒑(𝑛) é obtido ao se adicionar um
intervalo de guarda, composto por uma
seqüência de G zeros, ao sinal de transmissão
original 𝑠 𝑛 = 𝑾 𝑴
𝐻
𝒅(𝑛) de dimensão Mx1.
• Assim o número de amostras transmitidas por
símbolo OFDM é igual a 𝑃 = 𝑀 + 𝐺.

Recepcão de Sinais ZP-OFDM
Sinal de recepção ZP-OFDM
𝐫𝐳𝐩 𝑛 = 𝑯𝑴 𝒛𝒑 𝒅 𝑛 + 𝑯 𝑰𝑩𝑰 𝑴 𝒛𝒑 𝒅 𝑛 − 1 + 𝒏 𝒛𝒑(𝑛)

• Dado a condição de 𝐺 ≥ 𝐿 − 1, a matriz de
zeros de dimensão 𝐺 × 𝑀 contida na parte
inferior de 𝑴 𝒛𝒑, elimina a interferência entre
símbolos ZP-OFDM no vetor de observação
𝒓 𝒛𝒑(𝑛). Então:
𝐫𝐳𝐩 𝑛 = 𝑯𝑴 𝒛𝒑 𝒅 𝑛 + 𝒏 𝒛𝒑(𝑛)

• Para a extração do vetor 𝒅, aplica-se a matriz 𝑾 𝑷:
𝒙 𝐳𝐩 𝑛 = 𝑾 𝑷 𝑯𝑴 𝒛𝒑 𝒅 𝑛 + 𝑾 𝑷 𝒏 𝒛𝒑(𝑛)
Note que 𝑯 não é circulante e que dada a naturaza da
matriz 𝑴 𝒛𝒑 neste caso, o produto 𝑯𝑴 𝒛𝒑 é insensível as L
últimas colunas de 𝑯. Assim 𝑯 pode ser substituída por
uma matriz circulante 𝑯 𝒄 cujas M primeiras colunas são
idênticas as correspondentes de 𝑯
𝒙 𝐳𝐩 𝑛 = 𝑾 𝑷 𝑯 𝒄 𝑴 𝒛𝒑 𝒅 𝑛 + 𝑾 𝑷 𝒏 𝒛𝒑(𝑛)

𝒙 𝐳𝐩 𝑛 = 𝑾 𝑷 𝑯 𝒄 𝑾 𝑷
𝐻
𝑾 𝑷 𝑴 𝒛𝒑 𝒅 𝑛 + 𝑾 𝑷 𝒏 𝒛𝒑(𝑛)
𝒙 𝐳𝐩 𝑛 = 𝑫 𝒒 𝑽𝒅 𝑛 + 𝒏(𝑛)
Onde:
𝒒 = 𝑃𝑾 𝑷 𝒉
Cuja componentes são a resposta em freqüência do canal para uma das P
subportadoras
𝑫 𝒒 é matriz diagonal de dimensão 𝑃 × 𝑃 cuja diagonal é formada por os
elementos 𝒒
𝑽 é matriz estruturada PxM, obtida do produto matricial 𝑾 𝑷 𝑴 𝒛𝒑

Considerando que:
• Subsímbolos CP-OFDM possuem energía unitária,
pertenecientes a uma constelação APSK balanceada
• O vetor de ruído 𝒏(𝑛) possui matriz covariância
𝑲 𝒏 = 𝜎2
𝑰 as matrizes do equalizadores são:
𝑮 𝒛𝒇
𝒛𝒑
= (𝑫 𝒒 𝑉)†
𝑮 𝒎𝒎𝒔𝒆
𝒄𝒑
= 𝑽 𝑯 𝑫(𝒒) 𝑯 𝑫 𝒒 𝑽𝑽 𝑯 𝑫(𝒒) 𝑯 + 𝜎2 𝑰 −𝟏
Onde a operação ⋅ †
indica a matriz pseudoinversa.

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