O documento discute os conceitos de medição, incerteza e propagação de erros em medidas. Ele explica que uma medida é representada por um intervalo e não por um valor único, devido às incertezas inerentes ao processo de medição. O documento também fornece fórmulas para calcular a incerteza resultante de operações matemáticas envolvendo medidas, levando em conta os valores máximo e mínimo dentro do intervalo de cada medida.

1. 1
Medidas e Incertezas
CKS 2
• O que é medição?
– É o processo empírico e objetivo de designação de números a propriedades
de objetos ou eventos do mundo real de forma a descreve-los.
– Outra forma de explicar este processo é comparando a quantidade ou
variável desconhecida com um padrão definido para este tipo de
quantidade, implicando então num certo tipo de escala,

2. 2
CKS 3
• Tipos de medidas
– Medida Nominal
• Quando duas quantidades do mesmo tipo são comparadas para saber se são
iguais (Ex. duas cores , acidez de dois líquidos)
– Medida Ordinal
• Quando é necessário ter informação a tamanhos relativos (Ex. Classificação
por peso e altura de uma turma))
– Medida em Intervalos
• Quando deseja-se uma informação mais especifica, envolve-se então uma
certa escala, sem incluir pontos de referência ou zero. (Ex. no caso anterior
usar a escala de metros e quilogramas)
– Medidas Normalizadas
• Define-se um ponto de referência e realiza-se a razão, dividindo cada medida
pelo valor de referência, determinando as magnitudes relativas. (Ex. O maior
valor obtido será 1, quando foi escolhido como referência o valor máximo
medido).
– Medidas Cardinais
• O ponto de referência é comparado com um padrão definido. Assim todo
parâmetro físico pode ser medido contra uma referência padrão, como o
Sistema Internacional de medidas SI.
CKS 4

3. 3
CKS 5
• O Processo de Medida
– Operador
• Conhecimento do processo de medida
• Domínio do instrumento de medida
• Escolha adequada do instrumento
– Instrumento de Medida
• Exemplo 1
Objeto a ser medido
Valor medido: 20 ≤ m ≤ 25
A medida é um intervalo e não um número
O intervalo [20:25] é conhecido como: Intervalo de Confiança
O Intervalo de Confiança é no mínimo igual à precisão do equipamento. Neste caso = 5
CKS 6
( )
( )
Intervalo de Confiança
Incerteza
2
2
25 20
2,5
2
Max Minm m
δ
δ
δ
= =
−
=
−
= =
• INCERTEZA DA MEDIDA
• Representação da Medida
( )
( )
20 25
2
25 20 45
2,5 2,5 22,5 2,5
2 2
22,5 2,5
Min Max
Max Min
m m
m m m
mas
m m
m m
m
então
m
δ
δ
= =
= ±
+
= ±
+
= ± = ± = ±
= ±

4. 4
CKS 7
Objeto a ser medido
Valor medido:
21 ≤ m ≤ 22
( )
( )
2
22 21 1
0,5
2 2
Max Minm m
δ
δ
−
=
−
= = =
• Exemplo 2
CKS 8
( )
( )
21 22
2
22 21 43
0,5 0,5 21,5 0,5
2 2
21,5 0,5
Min Max
Max Min
m m
m m m
mas
m m
m m
m
então
m
δ
δ
= =
= ±
+
= ±
+
= ± = ± = ±
= ±
• Representação da Medida

5. 5
CKS 9
– Resumindo
• Medida
– É um Intervalo e não um valor
• Intervalo de Confiança
– Depende do processo de medida (instrumento / operador)
– Intervalo entre o valor Máximo e Mínimo da Medida
» Intervalo de Confiança = [mMax – mMin]
– Seu valor mínimo é igual a precisão da escala do equipamento de medida.
Freqüentemente é maior.
• Incerteza
– Depende o processo de medida
– Seu valor é estimado a partir do intervalo de confiança
– É a metade do intervalo de confiança
• Incerteza Explícita
– 123,05 + 0,01
• Incerteza Implícita (a incerteza esta na primeira casa decimal)
– 123,1
CKS 10
– Conclusão
• Precisão de uma escala → é sua menor divisão
– Ex.: Uma régua com divisão em milímetros
– Sua precisão é 1 mm = Intervalo de Confiança
• Como a incerteza corresponde à (Intervalo de Confiança)/2
– Então a Incerteza de um equipamento é
– Incerteza do Equip. = (Precisão do Equip.) / 2

6. 6
CKS 11
– Incerteza de um Conjunto de Medidas
• Vamos supor um voltímetro com precisão de 1 microvolt
• De saída é possível definir a incerteza do equipamento
– Incerteza = Precisão / 2 = 1µV / 2 = 0,5 µV = 0,0000005 V
• Os valores medidos foram
• Valor médio do conjunto de dados: 0,126446 V
• Desvio padrão do conj. de medidas: 0,0005177921 V
• Valor Máximo medido: Max = 0,127003 V
• Valor Mínimo medido: Min = 0,125827 V
• Representação da Incerteza do Conjunto de Medidas
0,1265985
0,1258274
0,1270033
0,1259822
0,1268211
Valor (V)Medida
CKS 12
– Representação
• Opção 1 → A mais correta
– Incerteza = Desvio Padrão + Incerteza do Equipamento
– δ = 0,0005177921 + 0,0000005 = 0,0005182921 V
• Opção 2 → A mais simples (a que nós empregamos)
– Incerteza = (Max – Min)/2 + Incerteza do Equipamento
– δ = 0,000588 + 0,0000005 = 0,0005885 V

7. 7
CKS 13
– Algarismos Significativos
• São todos os algarismos obtidos no processo de medida.
• Os zeros incluidos para localizar o ponto decimal não contam (zeros à esquerda)
• Ex.:
– 1945,1 (5 algarismos significativos)
– 0,00034 (2 algarismos significativos)
– 1000 (4 algarismos significativos)
– 2 x 105 (5 algarismos significativos)
– 4,189 x 10-7 (4 algarismos significativos)
• A Incerteza só deve conter UM (1) algarismo significativo
– LOGO:
» A incerteza deve ser arredondada após sua determinação
CKS 14
– Mudanças de Unidade
• Ao mudar a unidade de uma medida é importante não alterar o número
de algarismos significativos
• Ex.:
– 46 cm → 0,46 m (Está correto)
– 46 cm → 460 mm (está errado pois aumentou a incerteza)
• A notação de potencia de dez evita este problema
– 46 cm → 46 x 101 mm
– Por convenção apenas a mantissa tem algarismos significativos

8. 8
CKS 15
– Critérios de Arredondamento
• O critério de arredondamento a ser utilizado será igual ao empregado por
calculadoras científicas e programas afins.
• Se o número à direita do ponto de arredondamento é:
– 0, 1, 2, 3, 4 → Simplesmente elimina-se a parte a direita
– Ex.: dado o número 0,563729452
» Arredondando para 8 casas depois da vírgula
» = 0,56372945
» Arredondando para 4 casas depois da vírgula
» = 0,5637
» Arredondando para 2 casas depois da vírgula
» = 0,56
– 5, 6, 7, 8, 9 → Incrementa o algarismo à esquerda e elimina a parte à direita.
– Ex.: dado o número 0,563729452
» Arredondando para 7 casas depois da vírgula
» = 0,5637295
» Arredondando para 5 casas depois da vírgula
» = 0,56373
» Arredondando para 1 casa depois da vírgula
» = 0,6
CKS 16
– Usando o Arredondamento para Representar Medidas
• Como a Incerteza de uma medida só deve ter um algarismo significativo então a medida anterior
fica:
• Medida Anterior
• Opção 2 → A mais simples (a que nós empregamos)
– Tensão = 0,126446 + 0,0005885 V
• Ajustando a Incerteza para 1 algarismo significativo
– Tensão = 0,126446 + 0,0006 V
• Para ajustar o valor médio da medida basta ver quantas casas decimais depois da vírgula existem na
incerteza (4 neste caso)
– Logo o valor da medida deve ser ajustado para 4 casas decimais com o arredondamento necessário
– Então:
– Tensão = 0,1264 + 0,0006 V (Resultado Final)
– OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE
– Os arredondamentos somente devem ser efetuados no final de todas as contas.
– Razão: cada arredondamento intruduz erro (pequeno) mas que ao longo de diversas
contas pode resultar em um número sem significado físico.

9. 9
CKS 17
• Operações Matemáticas com Medidas
– Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o resultado
deve considerar as incertezas de cada medida a fim de determinar a incerteza do
resultado da operação.
– Existe uma formulação genérica que permite determinar a incerteza em qualquer
operação matemática efetuada com uma ou mais medidas.
– Esta formulação leva em consideração os valores máximo e mínimo da medida.
– Ex.: Supondo duas medidas com suas respectivas incertezas conforme:
• A = a + δa
• B = b + δb
CKS 18
• Soma das Medidas
• Exemplo
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
Max Min
A B a a b b a b
Max a a b b
Min a a b b
δ δ
δ δ
δ δ
−
+ = ± + ± = + ±
= + + +
= − + −
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3)
2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,4 19,8
Menor valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,2 19,2
19,8
19,5
Max Min
A B
Max
Min
A B
−
+ = ± + ± = + ±
= + + + = + =
= − + − = + =
−
+ = ±
[ ]19,2
19,5 0,3
2
= ±

10. 10
CKS 19
• Subtração das Medidas
• Exemplo
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
(cuidado com os sinais)
(cuidado com os sinais)
( )
2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
Max Min
A B a a b b a b
Max a a b b
Min a a b b
δ δ
δ δ
δ δ
−
− = ± − ± = − ±
= + − −
= − − +
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3)
2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,2 9,2
Menor valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,4 8,6
9,2 8,6
8,9
2
Max Min
A B
Max
Min
A B
−
− = ± − ± = − ±
= + − − = − =
= − − + = − =
−
− = ± 8,9 0,3= ±
CKS 20
• Multiplicação das Medidas
• Exemplo
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
Max Min
A B a a b b a b
Max a a b b
Min a a b b
δ δ
δ δ
δ δ
−
× = ± × ± = × ±
= + × +
= − × −
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
14,2 0,2 5,3 0,1 (14,2 5,3)
2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,4 5,4 77,76
Menor valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 5,3 0,1 14,0 5,2 72,8
77,
75,26
Max Min
A B
Max
Min
A B
−
× = ± × ± = × ±
= + × + = × =
= − × − = × =
− = ±
[ ]76 72,8
75,26 2,48 75 2
2
−
= ± = ±

11. 11
CKS 21
• Divisão das Medidas
• Exemplo
( )
( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
(cuidado com os sinais)
(cuidado com os sinais)
2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
a a Max MinA a
B b b b
a a
Max
b b
a a
Min
b b
δ
δ
δ
δ
δ
δ
± − 
= = ± 
±  
+
=
−
−
=
+
( )
( )
[ ]
( )
( )
(apenas as 5 primeiras casas decimais)
14,2 0,2 14,2
5,3 0,1 5,3 2
Maior valor que a operação pode assumir
14,2 0,2 14,4
2,76923
5,3 0,1 5,2
Menor valor que a operação pode assumir
14,
Max MinA
B
Max
Min
± − 
= = ± ±  
+
= = =
−
=
( )
( )
[ ]
(apenas as 5 primeiras casas decimais)
2 0,2 14,0
2,59259
5,3 0,1 5,4
2,76923 2,59259
2,67924 2,67924 0,08832=2,68 0,09
2
A
B
−
= =
+
−
= ± = ± ±
CKS 22
• Exponenciação de uma Medida
• Exemplo
( )
[ ]
( )
( )
33 3
3
3
2
Maior valor que a operação pode assumir
Menor valor que a operação pode assumir
Max Min
B b b b
Max b b
Min b b
δ
δ
δ
−
= ± = ±
= +
= −
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
3 33
3 3
3 3
5,3 0,1 5,3
2
Maior valor que a operação pode assumir
5,3 0,1 5,4 157,464
Menor valor que a operação pode assumir
5,3 0,1 5,2 140,608
157,464 140,608
148,877 148,877 8,428=149 8
2
Max Min
B
Max
Min
B
−
= ± = ±
= + = =
= − = =
−
= ± = ± ±

12. 12
CKS 23
• Erros
– Erros Sistemáticos
• São erros constantes e geralmente conhecidos
• Causas
– Instrumento
– Método
– Operador
– Outros fatores (climáticos, mecânicos,...)
• Detecção
– Medir com outro equipamento
– Medir empregando outro método
– Medida por outro operador
– Erro Grosseiro
• Técnica Inadequada
• Imperícia do Operador
• Ex.: Erro na leitura da escala / digitação
• Podem ser completamente eliminados
CKS 24
– Erros Randômicos
• Permanecem após a eliminação dos erros sistemáticos
• Propriedades:
– Erros randômicos positivos e negativos tem a mesma probabilidade de ocorrência.
– São menos prováveis quando o valor absoluto medido aumenta.
– Quando o número de medidas aumenta a média aritmética dos erros randômicos em
uma amostra tende a zero.
– Para um determinado método de medida os erros randômicos não excedem um
determinado valor. Medidas excedendo este valor devem ser refeitas e, se necessário,
estudadas separadamente.
• Erros randômicos também são chamados de Acidentais ou Fortuitos

13. 13
CKS 25
δA → Erro Aleatório
δS → Erro Sistemático
InexatoExato
ImprecisoPreciso
δA
δA
δS δS
FIM