exelente libro..

2. L E O N B R U N S C H V Ï C G
L A S E T A P A S D E L A
F I L O S O F I A M A T E M A T I C A
T r a d u c c i ó n d e
:C O R A R A T T O D E S A D O S K I
L A U T A R O
B U E N O S A I R E S

3. T i t u l o d e l o r i g i n a l f r a n c é s :
L É S E T A P E S D E L A P H I L O S O P H I E M A T H E M A T I Q U E .
T e r c e r a e d i c i ó n f r a n c e s a , 1 9 2 9 .
P r i m e r a e d i c i ó n c a s t e l l a n a - L a u t a r o , B s . A i r e s , 1 9 4 5 .
C o p y r i g h t b y E D I T O R I A L L A U T A R O 1 9 4 5
Q u e d a h e c h o e l d e p ó s i t o q u e m a r c a l a l e y 1 1 . 7 2 3
I M P R E S O E N L A A R G E N T I N A — P R I N T E D I N A R G E N T I N E
L I B R O D E E D I C I O N A R G E N T I N A

4. N O T A D E L T R A D U C T O R
L a p r e s e n t e o b r a “ L a s E t a p a s D E L A F i l o s o f í a M a t e m á ­
t i c a ” d e L e ó n B r u n s c h v í c g , t i e n e t o d o s l o s v a l o r e s q u e j u s t i f i c a n
s u i n c l u s i ó n e n u n a c o l e c c i ó n d e T r a t a d o s F u n d a m e n t a l e s . C o m o
m o n u m e n t o q u e e s d e e r u d i c i ó n m a t e m á t i c a y f i l o s ó f i c a p o s e e e l
c a r á c t e r i m p o r t a n t í s i m o d e e s t a r e s c r i t o c o n e l f i n e x p r e s o d e d a r
u n p a n o r a m a c o m p l e t o d e l a e v o l u c i ó n d e l p e n s a m i e n t o m a t e m á ­
t i c o p a r a q u e , e n e s a h i s t o r i a o b j e t i v a , p u e d a n e n c o n t r a r l o s e s t u d i o s o s
l o s e l e m e n t o s p r e c i s o s p a r a l a c r í t i c a f i l o s ó f i c a .
L a c l a r i d a d d e l p r o p ó s i t o y e l r i g o r d e l m é t o d o d e e x p o s i c i ó n
c o n s t i t u y e n l o s m á s e s t i m a b l e s r e c u r s o s d i d á c t i c o s d e l a o b r a .
L e ó n B r u n s c h v í c g n a c i ó , e n P a r í s e n n o v i e m b r e d e 1 8 6 9 . E s t u ­
d i ó e n e l L i c e o F o n t a n e s y o b t u v o e l p r e m i o d e h o n o r d e f i l o s o f í a
e n e l c o n c u r s o g e n e r a l d e l i c e o s d e F r a n c i a ; e n l a E s c u e l a N o r m a l
S u p e r i o r , d o n d e d i ó r e i t e r a d a s p r u e b a s d e s u t a l e n t o e x c e p c i o n a l
o b t u v o s i m u l t á n e a m e n t e l a l i c e n c i a t u r a e n c i e n c i a s y e n l e t r a s . C o ­
l a b o r ó d e s d e s u f u n d a c i ó n e n l a R e v u e d e M é t h a p h y s i q u e e t d e M o ­
r a l e , C o m e n z ó s u c a r r e r a d o c e n t e e n e l L i c e o d e L o r i e n t , d e d o n d e
p a s ó a T o u r s y l u e g o a R o u e n ; d e e s a é p o c a ( 1 8 9 7 ) d a t a s u t e s i s
s o b r e “ L a m o d a l i d a d d e l j u i c i o ” .
E n P a r í s e n s e ñ ó f i l o s o f í a e n s u a n t i g u o l i c e o , l u e g o e n e l l i c e o
H e n r y I V y e n l a E s c u e l a N o r m a l d e S è v r e s . E n 1 9 0 9 f u é n o m ­
b r a d o p r o f e s o r d e f i l o s o f í a g e n e r a l e n l a S o r b o n a y m á s t a r d e s e l e
e n c a r g ó l a c á t e d r a d e H i s t o r i a d e l a F i l o s o f í a . E n 1 9 1 9 f u é e l e g i d o
m i e m b r o d e l a S e c c i ó n d e F i l o s o f í a d e l a A c a d e m i a d e C i e n c i a s M o -

5. 8 N o t a d e l t r a d u c t o r
r a l e s y P o l í t i c a s . R e c i b i ó n u m e r o s a s d i s t i n c i o n e s d e U n i v e r s i d a d e s y
A c a d e m i a s d e t o d o e l m u n d o , q u e c u l m i n a r o n c o n s u d e s i g n a c i ó n
c o m o p r e s i d e n t e d e l C o n g r e s o I n t e r n a c i o n a l d e F i l o s o f í a r e a l i z a d o
e n P a r í s , e n 1 9 3 7 , e n o c a s i ó n d e c u m p l i r s e e l t r i c e n t e n a r i o d e l a
a p a r i c i ó n d e l “ D i s c u r s o d e l M é t o d o ” d e D e s c a r t e s .
S u l a b o r e n l a e n s e ñ a n z a , a s í c o m o s u v a l i o s a o b r a e s c r i t a
c o n s t i t u i d a p o r m u l t i t u d d e a r t í c u l o s y l i b r o s — c u y a n ó m i n a c o n ­
s i g n a m o s a l f i n a l d e e s t a n o t a — c o n v i r t i e r o n a L e ó n B r u n s c h v i c g
e n l a f i g u r a m á s c a r a c t e r i z a d a d e l a f i l o s o f í a c i e n t í f i c a c o n t e m p o r á ­
n e a e n F r a n c i a . P o r e s o m i s m o n o e s e x t r a ñ o q u e l a i n v a s i ó n d e
s u p a t r i a p o r l o s n a z i s e n 1 9 4 0 , h a y a s i g n i f i c a d o p a r a é l l a e x p u l ­
s i ó n d e l a c á t e d r a y l a p e r s e c u s i ó n . O b l i g a d o a d e j a r l a S o r b o n a e n
j u l i o d e 1 9 4 0 s e r e f u g i ó e n A i x - e n - P r o v e n c e , d o n d e m u r i ó a l o s
7 5 a ñ o s .
E n s u r e f u g i o d e p e r s e g u i d o e s c r i b i ó D e s c a r t e s y P a s c a l , l e c t o ­
r e s d e M o n t a i g n e y u n t r a t a d o d e f i l o s o f í a “ p a r a s u n i e t a ” q u e a ú n
e s t á i n é d i t o .
A s í h a s t a e l ú l t i m o a l i e n t o d e s u v i d a L e ó n B r u n s c h v i c g p u s o
s u e n e r g í a e x c e p c i o n a l y s u c l a r a i n t e l i g e n c i a a l s e r v i c i o d e s u o b r a
d e e n s e ñ a n z a y e s c l a r e c i m i e n t o f i l o s ó f i c o s . T a n t o e n s u s ú l t i m o s
l i b r o s c o m o e n é s t e d e “ L a s E t a p a s D E L A F I L O S O F Í A M A T E M Á ­
T I C A ” , q u e l a E d i t o r i a l L a u t a r o p r e s e n t a a l o s l e c t o r e s d e h a b l a c a s ­
t e l l a n a , s e e v i d e n c i a e l m i s m o p r o p ó s i t o d e e n a l t e c i m i e n t o d e l a
r a z ó n c o m o a r m a s u p r e m a d e l h o m b r e e n s u l u c h a p o r l a c o n q u i s t a
d e l a n a t u r a l e z a y p o r l a e s t r u c t u r a c i ó n d e s u p r o p i o p r o g r e s o .
*
E l p r ó l o g o d e B r u n s c h v i c g a l a e d i c i ó n q u e t r a d u c i m o s e s s u ­
f i c i e n t e m e n t e e x p l í c i t o s o b r e l o s o r í g e n e s y a l c a n c e s d e s u t r a b a j o
c o m o p a r a e x i m i r n o s d e g l o s a r l o .
S ó l o d e b e m o s a d v e r t i r e s p e c i a l m e n t e q u e e n e l t e x t o o r i g i n a l
f r a n c é s , L e ó n B r u n s c h v i c g c i t a , t r a n s c r i b i é n d o l o s , t e x t o s d e P l a t ó n ,
A r i s t ó t e l e s , E u c l i d e s , e t c . , e n g r i e g o ; d e F e r m a t , D e s c a r t e s , W a l l i s ,
C a v a l i e r i , L e i b n i z , S p i n o z a , K a n t , e n l a t í n ; t e x t o s , q u e e n l a p r e ­
s e n t e e d i c i ó n a p a r e c e n e n c a s t e l l a n o . L a t r a d u c c i ó n h e c h a p o r M a r í a
R o s a L i d a d e l I n s t i t u t o d e F i l o l o g í a d e l a U n i v e r s i d a d d e B u e n o s

6. N o t a d e l t r a d u c t o r 9
A í r e s , f a c i l i t a r á l a c o m p r e n s i ó n d e l a o b r a a l o s n u m e r o s o s ' l e c t o r e s
q u e , p o s e y e n d o l o s c o n o c i m i e n t o s n e c e s a r i o s p a r a a p r o v e c h a r s u l e c ­
t u r a , n o t i e n e n e l d o m i n i o d e l a s l e n g u a s c l á s i c a s , c o s a c o r r i e n t e
p a r t i c u l a r m e n t e e n l o s p a í s e s l a t i n o a m e r i c a n o s q u e n o h a n i n c l u i d o
e n s u s e s t u d i o s o f i c i a l e s l a e n s e ñ a n z a d e l l a t í n y e l g r i e g o .
C r e e m o s a s i m i s m o n o h a b e r d e s v i r t u a d o l o s p r o p ó s i t o s d e L e ó n
B r u n s c h v í c g a l h a b e r t r a d u c i d o a l g u n a s c i t a s e n i n g l é s y a l e m á n ,
p u e s p a r a q u i e n b u s c a l a t r a d u c c i ó n c a s t e l l a n a d e u n a o b r a f r a n c e s a
e s t o n o h a r á s i n o d i s m i n u i r l a s d i f i c u l t a d e s d e l a l e c t u r a . *
Cora Ratto de Sadosky.
* C r e e m o s q u e é s t a e s l a p r i m e r t r a d u c c i ó n d e u n a o b r a d e L e ó n B r u n s c h v í c g
a l c a s t e l l a n o . E n n u e s t r o p a í s e l d o c t o r L e ó n D u j o v n e p r e p a r a u n t r a b a j o s o b r e e l
e m i n e n t e f i l ó s o f o f r a n c é s , s o b r e c u y a o b r a h a p u b l i c a d o e n " L a N a c i ó n ” d e l 5 d e
m a r z o d e 1 9 4 4 u n a r t í c u l o , e n o c a s i ó n d e s u m u e r t e .

7. O B R A S D E L E Ó N B R U N S C H V I C G
A L C A N — B i b l i o t h è q u e d e P h i l o s o p h i e C o n t e m p o r a i n e .
L a M o d a l i t é d u j u g e m e n t ( 1 8 9 7 ) .
S p i n o z a e t s e s c o n t e m p o r a i n s ( 1 9 2 3 ) .
I n t r o d u c t i o n à l a V i e d e l ’E s p r i t ( 1 9 0 0 ) .
L e s é t a p e s d e l a P h i l o s o p h i e M a t h é m a t i q u e ( 1 9 1 2 ) ;
3 ? e d . 1 9 2 9 ) .
L ’ E x p é r i e n c e h u m a i n e e t l a C a u s a l i t é P h y s i q u e ( 1 9 2 2 ) .
L e P r o g r è s d e l a C o n s c i e n c e d a n s l a P h i l o s o p h i e O c c i ­
d e n t a l e ( 1 9 2 7 ) .
D e l a C o n n a i s s a n c e d e s o i .
L ’ I d é a l i s m e c o n t e m p o r a i n .
H á c h e t e .
L e G é n i e d e P a s c a l .
P a s c a l . P e n s é e s e t O p u s c u l e s .
P a s c a l . O e u v r e s c o m p l è t e s ( c o n l a c o l a b o r a c i ó n d e P i e r r e
B o u t r o u x y d e F e l i x G a z i e r ) 1 4 v o l . i n - 8 9 .
F L A M M A R I O N . •— B i b l i o t h è q u e d e C u l t u r e G é n é r a l e .
N a t u r e e t L i b e r t é .
P l q n , N o u r r i t E T C I E . — P r o b l è m e s d ’a u j o u r d ’ h u i .
U n M i n i s t è r e d e l ’E d u c a t i o n N a t i o n a l e .
R I E D E R — M a î t r e s d e s L i t t é r a t u r e s .
P a s c a l .
D e s c a r t e s .
H E R M A N — L e s a c t u a l i t é s S c i e n t i f i q u e s .
L a P h y s i q u e d u X X è m e s i è c l e , y o t r o s f a s c í c u l o s .
B r e N T A N O ’ s ( N e w Y o r k ) .
D e s c a r t e s e t P a s c a l , L e c t e u r s d e M o n t a i g n e ( 1 9 4 4 ) .

8. P R Ó L O G O
L a s d i f i c u l t a d e s q u e e n c u e n t r a h o y l a f i l o s o f í a , e s t á n l i g a d a s , e n
b u e n a p a r t e , a l p r o b l e m a d e l a v e r d a d . E s a s d i f i c u l t a d e s s e e x p l i c a n
s i n d u d a p o r e l h e c h o d e q u e l a s i d e a s p r o f e s a d a s , d u r a n t e m u c h o
t i e m p o , s o b r e l o s m é t o d o s y s o b r e l o s r e s u l t a d o s d e l a c i e n c i a c a y e r o n
e n d e s u s o a m e d i d a q u e s e f u é h a c i e n d o m á s e s t r e c h o e l c o n t a c t o
e n t r e l o s s a b i o s y l o s f i l ó s o f o s . L a r u p t u r a d e l e q u i l i b r i o t r a d i c i o n a l
l l e g ó a s e r t a n g r a v e q u e t o m ó e l c a r á c t e r d e u n a c r i s i s d e s d e e l m o ­
m e n t o e n q u e s e m a n i f e s t ó e n l a s m a t e m á t i c a s d e l a s q u e l a h u m a ­
n i d a d h a b í a s a c a d o e l t i p o d e l a c e r t e z a i n q u e b r a n t a b l e .
C u a n d o J u l e s T a n n e r y p u b l i c ó l a m a g i s t r a l I n t r o d u c c i ó n a l a
t e o r í a d e l i a s f u n c i o n e s d e u m v a r i a b l e ( 1 8 8 6 ) , p a r e c í a q u e , p a r a
c o m p r e n d e r l a s m a t e m á t i c a s m o d e r n a s , b a s t a b a r e c u r r i r a l a n o c i ó n
c l a r a y p r e c i s a d e l n ú m e r o e n t e r o . E n l o s p r i m e r o s a ñ o s d e l s i g l o X X ,
a l h a c e r s u a p a r i c i ó n e n e s c e n a l a l ó g i c a s i m b ó l i c a , s e a n u n c i a u n a
r e v o l u c i ó n . E l c o n c e p t o a r i s t o t é l i c o d e c l a s e ( o d e f u n c i ó n p r o p o -
s i c i o n a l ) s e c o n v i e r t e e n l a p i e d r a a n g u l a r d e u n e d i f i c i o c u y a s v a s t a s
p r o p o r c i o n e s c o n t r a s t a n c o n l a s l i m i t a c i o n e s d e l a r i t m e t i s m o , y q u e
a l m i s m o t i e m p o , p a r e c í a d e b e r s u s o l i d e z a l o s e l e m e n t o s d e l a p r o ­
p o s i c i ó n t o m a d o s e n g e n e r a l . P e r o , b a j o l a p r e s i ó n d e l a c o n t r a d i c ­
c i ó n q u e e x i s t í a e n e l p r o p ó s i t o d e r e a l i z a r e l u n i v e r s o d e l a p r o p o ­
s i c i ó n , c l a s e d e l a t o t a l i d a d d e l a s c l a s e s , e l e d i f i c i o s e d e r r u m b ó . L a
l o g í s t i c a , q u e s u b s i s t i ó s i n n i n g u n a d u d a s ó l o c o n e l c a r á c t e r d e t é c ­
n i c a f o r m a l , s e c o n f e s ó i m p o t e n t e p a r a j u s t i f i c a r l a m a t e m á t i c a c o m o
d u e ñ a d e l a v e r d a d . D e s d e e n t o n c e s , p o r u n a r e a c c i ó n i n e v i t a b l e , l a
f i l o s o f í a m a t e m á t i c a s e c o n f i ó y s e a b a n d o n ó a l a i n t u i c i ó n , s i n l o ­
g r a r , s i n e m b a r g o , a b r i r s e u n c a m i n o c i e r t o a t r a v é s d e l a r i q u e z a y
l a d i v e r s i d a d d e l a s f o r m a s d e l a i n t u i c i ó n , d e s d e e s a f o r m a r e a l i s t a
q u e e x i g i r í a e n l a b a s e d e t o d a t e o r í a t a n t o c o m o e n c a d a m o m e n t o
d e l a d e m o s t r a c i ó n , u n a i m a g e n o u n d a t o , h a s t a e s a f o r m a m í s t i c a
q u e e x i m i r í a n o s ó l o d e l a r e p r e s e n t a c i ó n s e n s i b l e s i n o h a s t a d e l a
p r u e b a r a c i o n a l .
T a n e x t r a ñ a s v i c i s i t u d e s h a n d e s c o n c e r t a d o a m á s d e u n e s p í ­
r i t u c u l t i v a d o ; h a n e s t e r i l i z a d o , a l p u n t o d e t r a n s f o r m a r í a s e n l e e -

9. 1 2 P r o l o g o
d o n e s d e e s c e p t i c i s m o , l a s e n s e ñ a n z a s s u s t a n c i a l e s y p r o f u n d a s c u y a
i n i c i a t i v a c o r r e s p o n d í a a s a b i o s s i n i g u a l . Y s í l a m a t e m á t i c a n o h a
s a b i d o c o n s e r v a r e l s e n t i m i e n t o d e l a v e r d a d q u e l e p e r t e n e c e , s o b r e
t o d o s i n o p u e d e p r o d u c i r h a c i a e l e x t e r i o r l o s c a r a c t e r e s e s e n c i a l e s
d e l a v e r d a d , e s m u y d e t e m e r q u e l o s f i l ó s o f o s d e p r o f e s i ó n n o t e n g a n
m á s n a d a q u e d e c i r ; o , l o q u e s e r í a l o m i s m o , p o d r á n d e c i r t o d o c o n
i g u a l p r o b a b i l i d a d d e m o v e r s e e n l o e s p e c i o s o q u e e n l o p r o b a b l e ,
p e r o s i n e s p e r a n z a d e e n c o n t r a r l a r a z ó n c a p a z d e f i j a r y d e i m p o n e r
u n a s o l u c i ó n d e t e r m i n a d a .
E n e s t e e s t a d o d e c o s a s h a q u e d a d o , a n u e s t r o e n t e n d e r , u n
s o l o r e c u r s o ; e n l u g a r d e e m p e ñ a r s e e n s e g u i r e l t o r b e l l i n o f o r ­
m a d o p o r t a n t a s c o r r i e n t e s c o n t r a r i a s , c o n s i d e r a r e s e t o r b e l l i n o e n s í
m i s m o , b u s c a r l a s c o n d i c i o n e s d e s u f o r m a c i ó n y d e s u d e s a r r o l l o .
L a b a s e d e l a c r í t i c a f i l o s ó f i c a e s t a r í a e n t o n c e s e n l a h i s t o r i a d e l
p e n s a m i e n t o m a t e m á t i c o .
N u e s t r o s t r a b a j o s a n t e r i o r e s s o b r e S p i n o z a y s o b r e P a s c a l , n o s
h a b í a n c o n d u c i d o y a a p r e o c u p a r n o s d e e s t e a s p e c t o d e l a h i s t o r i a :
n o s h a b í a p a r e c i d o q u e l a s p o s i c i o n e s q u e u n o y o t r o p e n s a d o r h a b í a n
t o m a d o r e s p e c t o d e l a g e o m e t r í a c a r t e s i a n a , r e g í a n , e n p a r t e , s u s
c o n c e p c i o n e s r e s p e c t i v a s d e l a r a z ó n h u m a n a y d e l a p r o p i a e x e g e s i s .
E r a n e c e s a r i o a h o r a e x t e n d e r e l c a m p o d e e s o s e s t u d i o s : s i s e p r e ­
t e n d e s a c a r d e l a h i s t o r i a l e c c i o n e s ú t i l e s , e s i m p o r t a n t e q u e n o s e c o ­
m i e n c e p o r e l e g i r l a s l e c c i o n e s q u e s e q u e r r í a n r e c i b i r . P a r a t e n e r a l g u ­
n a p r o b a b i l i d a d d e v e r c l a r o e n e l p r o b l e m a d e l a v e r d a d , t a l a l m e n o s
c o m o s e p r e s e n t a e n e l t e r r e n o p r i v i l e g i a d o d e l a m a t e m á t i c a , e r a d e s e a ­
b l e q u e u n o p u d i e s e d a r s e a s í m i s m o f e d e n o h a b e r d e s d e ñ a d o a
p r o p ó s i t o n i n g ú n g é n e r o d e h e c h o s . A s í l a e n c u e s t a s o b r e l a f i l o s o f í a
m a t e m á t i c a d e b í a p r o l o n g a r s e a t r a v é s d e l c u r s o í n t e g r o d e l a c i v i l i ­
z a c i ó n , s i n q u e s e s u p u s i e s e e n e l p u n t o d e p a r t i d a u n a d e f i n i c i ó n
d e u n a d e t e r m i n a d a f i l o s o f í a , s i n q u e s e p r e j u z g a s e l a f o r m a n o r m a l
q u e e s t a b a d e s t i n a d a a r e c i b i r . C o n c u r r e n t e m e n t e c o n l o s p e n s a d o r e s
q u e s e h a n e l e v a d o a u n a c o n c e p c i ó n s i s t e m á t i c a d e l a m a t e m á t i c a , d e
s u p a p e l e n e l c o n j u n t o d e l s a b e r h u m a n o , c o n v e n í a i n t e r r o g a r a l o s
s a b i o s a q u i e n e s s o n d e b i d o s l o s m é t o d o s d e d e s c u b r i m i e n t o o d e
e x p o s i c i ó n y h a s t a c o n s i d e r a r l o s p r o c e d i m i e n t o s r u d i m e n t a r i o s q u e
l o s p u e b l o s n o c i v i l i z a d o s e m p l e a n p a r a l a s o p e r a c i o n e s m á s s i m p l e s
d e l c á l c u l o .
C u a l q u i e r a q u e d e b a s e r s u c o n c l u s i ó n , u n t a l e s t u d i o t i e n e u n
i n t e r é s i n t r í n s e c o . V a l e l a p e n a s e g u i r , e n a q u e l l o s q u e h a n a s o c i a d o
e l g e n i o d e l f i l ó s o f o a l g e n i o d e l s a b i o , e l e s f u e r z o , t a n t a s v e c e s i n ­
t e r r u m p i d o , t a n t a s v e c e s r e a n u d a d o , p a r a l l e g a r a l a p l e n a c o n c i e n c i a
d e l a v e r d a d m a t e m á t i c a , v a l e l a p e n a h a c e r v e r s o b r e q u é c o n q u i s t a s
d e l s a b e r p o s i t i v o s e f u n d a m e n t a n l a s d o c t r i n a s q u e s e h a n d i s p u t a d o
e l i m p e r i o d e l o s e s p í r i t u s y c o m o c a d a u n a d e e l l a s h a l l e g a d o d e s d e

10. P r ò l o g o 1 3
s u c a t e g o r í a y a s u h o r a a c o n t r i b u i r a p o n e r m á s o r d e n y m á s l u z
e n n u e s t r o c o n o c i m i e n t o d e l a h u m a n i d a d . A p r e s u r é m o n o s a a g r e g a r
q u e d e s p u é s d e l a s p u b l i c a c i o n e s d e M o r i t z C a n t o r y d e Z e u t h e n , l a
h i s t o r i a d e l a s m a t e m á t i c a s e s u n a m a t e r i a q u e s e o f r e c e y a e l a b o r a d a
a l a r e f l e x i ó n d e l f i l ó s o f o ; y , p a r a r e c o r d a r d e c u á n t o s p u n t o s d e
a p o y o d i s p o n í a u n a e m p r e s a c o m o l a n u e s t r a , b a s t a r á m e n c i o n a r a
a l g u n o s d e a q u é l l o s q u e , e n l o s ú l t i m o s a ñ o s , h a n r e c o n s t r u i d o l a
c o n c o r d a n c i a d e l a c i e n c i a " p o s i t i v a y d e l a e s p e c u l a c i ó n f i l o s ó f i c a :
P a u l d u B o i s - R e y m o n d , G e o r g C a n t o r , F é l i x K l e i n , H i l b e r t , H e n r i
P o i n c a r é , P a u l y J u l e s T a n n e r y , M i l h a u d , L é c h a l a s , M a n s i o n , C o u -
t u r a t , B o r e i , M a x i m i l i e n W i n t e r , P i e r r e B o u t r o u x . A d e m á s , e n e l
c u r s o d e n u e s t r o t r a b a j o , h e m o s p o d i d o r e c o g e r e l b e n e f i c i o d e e s t u ­
d i o s o r i g i n a l e s q u e v e n í a n a e s c l a r e c e r c i e r t a s p a r t e s d i f í c i l e s d e n u e s ­
t r a i n v e s t i g a c i ó n . A s í L é v y - B r u h l , q u e n o s h a h e c h o c o n o c e r e l
l i b r o d e C o n a n t r e l a t i v o a l a s f o r m a s p r i m i t i v a s d e n u m e r a c i ó n ,
p r o p o r c i o n a b a , e n e l c a p í t u l o V d e s u o b r a : l a s F u n c i o n e s m e n t a l e s
e n l a s s o c i e d a d e s i n f e r i o r e s , d o c u m e n t o s d e i n t e r é s e x c e p c i o n a l s o ­
b r e l o s r u d i m e n t o s d e l c á l c u l o . E n e l E s t u d i o h i s t ó r i c o y c r í t i c o
d e R o b i n : L a t e o r í a p l a t ó n i c a d e l a s i d e a s y d e l o s n ú m e r o s s e g ú n
A r i s t ó t e l e s , e n c o n t r a m o s u n a n á l i s i s e x h a u s t i v o d e l o s t e s t i m o n i o s d e
o r i g e n a r i s t o t é l i c o p o r i n t e r m e d i o d e l o s c u a l e s s e p u e d e t e n e r a c c e s o
a l a s e n s e ñ a n z a s d e l a A n t i g u a A c a d e m i a . P o r ú l t i m o , n o p o d r í a m o s
d e c i r c u a n t a s m e j o r a s i m p o r t a n t e s d e n u e s t r a e x p o s i c i ó n s o n d e b i d a s
a l o s c o n s e j o s , t a n p r e c i o s o s c o m o p o d r í a n d e s e a r s e , d e d o s s a b i o s
c u y o s n o m b r e s h e m o s c i t a d o y a : M a x i m i l i e n W i n t e r y P i e r r e B o u ­
t r o u x ( 1 ) .
Q u e r e m o s i n d i c a r a h o r a c ó m o n u e s t r a e n c u e s t a h i s t ó r i c a n o s
h a g u i a d o h a c i a l a s c o n c l u s i o n e s q u e h e m o s s o s t e n i d o e n l a s ú l t i m a s
p á g i n a s d e n u e s t r o t r a b a j o .
C a d a v e z q u e u n a d e l a s g r a n d e s d i s c i p l i n a s d e l a m a t e m á t i c a ,
l a a r i t m é t i c a , l a g e o m e t r í a , e l a n á l i s i s i n f i n i t e s i m a l , h a t o m a d o d e f i ­
n i t i v a m e n t e c o n c i e n c i a d e s í , h e m o s v i s t o c o n s t i t u i r s e u n s i s t e m a q u e
a p o y a b a s o b r e e s a d i s c i p l i n a u n a c o n c e p c i ó n u n i v e r s a l d e l a s c o s a s :
e l p i t a g o r i s m o , e l s p i n o z i s m o , e l l e i b n i z í a n i s m o . P o r c a u s a s , q u e e l
a l e j a m i e n t o e n e l t i e m p o n o s p e r m i t e h o y d i s c e r n i r , n i n g u n o l o g r ó
f i j a r e l e q u i l i b r i o m ó v i l d e l p e n s a m i e n t o . C o n m a y o r r a z ó n , l a s t e n ­
t a t i v a s d e l a r i t m e t í s m o o d e l a l o g í s t i c a p a r a l i g a r a l a m a t e m á t i c a
a u n a f o r m a q u e e x p r e s a r í a u n a n e c e s i d a d p e r m a n e n t e , u n a v e r d a d
e t e r n a , e s t a b a n d e s t i n a d a s a f r a c a s a r . L a h i s t o r i a p o n e e n e v i d e n c i a
e l g i r o d e p e n s a m i e n t o q u e h a v u e l t o a l o s f i l ó s o f o s h a c i a l a o n t o l o -
( 1 ) T e n e m o s e s p e c i a l i n t e r é s e n a s o c i a r , e n l a e x p r e s i ó n d e n u e s t r a g r a t i t u d ,
a J e a n W a h l , a g r e g a d o d e f i l o s o f í a , y a P a u l W a h l , i n g e n i e r o d e p u e n t e s y c a m i n o s ,
q u e h a n q u e r i d o s e c u n d a r n o s , c o n s u e s c l a r e c i d a d e d i c a c i ó n , e n l a c o r r e c c i ó n d e l a s
p r u e b a s .
I

11. 1 4 P r ò l o g o
g i à d e P i t á g o r a s o d e A r i s t ó t e l e s ; p e r o e x p l i c a t a m b i é n , h a c i é n d o n o s
a s i s t i r a l a e v o l u c i ó n d e l a s d o c t r i n a s q u e h a n t e n i d o p o r p u n t o d e
p a r t i d a l a i n t e r p r e t a c i ó n a r i t m e t i s t a o l o g í s t i c a d e l a s m a t e m á t i c a s ,
p o r q u é e l l a s e r a n i n c a p a c e s d e r e s p o n d e r a l a i n t e n c i ó n d o g m á t i c a
d e s u s f u n d a d o r e s .
P o r o t r a p a r t e , e l d e s a r r o l l o d e l a c i e n c i a e n e l s i g l o X I X n o
p e r m i t e q u e , p a r a j u s t i f i c a r m á s f á c i l m e n t e l o s p r i n c i p i o s , s e s u b o r ­
d i n e l a m a t e m á t i c a a l o s e s t u d i o s m e c á n i c o s y f í s i c o s d e l o s q u e s e
c o n v e r t i r í a e n u n s i m p l e i n s t r u m e n t o . L a p o s i c i ó n d e u n K a n t o d e
u n A u g u s t o C o m t e r e f l e j a , s i n d u d a , l o s c a r a c t e r e s d e l p e r í o d o q u e ,
i n i c i a d o c o n l o s s u c e s o r e s d e N e w t o n , s e e x t i e n d e h a s t a L a g r a n g e y
L a p l a c e ; e s a p o s i c i ó n n o s e c o m p r e n d e r í a m á s f r e n t e a l a t r a n s ­
f o r m a c i ó n o p e r a d a e n l a i d e a d e l a c i e n c i a e x p e r i m e n t a l , f r e n t e a l a
r e n o v a c i ó n d e l a n á l i s i s : d e s p u é s d e C a u c h y , d e s p u é s d e A b e l , l a m a ­
t e m á t i c a m o d e r n a h a p r o b a d o p o s e e r u n a a u t o n o m í a q u e l e h a p r o ­
p o r c i o n a d o e l m e d i o d e a b r i r s e c a m i n o s i n e s p e r a d o s , e n e l d o m i n i o
d e l a s i n v e s t i g a c i o n e s n a t u r a l e s .
P o r c o n s i g u i e n t e , l a e n c u e s t a q u e h a b í a m o s e m p r e n d i d o p o d r í a
p a r e c e r t e r m i n a r e n s í m i s m a , s i n d e j a r s u b s i s t i r u n a r e s p u e s t a a l p r o ­
b l e m a d e l a v e r d a d , s i n a p o r t a r e l r e m e d i o a l a c o n f u s i ó n d e l a e s p e ­
c u l a c i ó n c o n t e m p o r á n e a . P e r o l a s u c e s i ó n d e l o s s i s t e m a s m e t a f í s i c o s
q u e h a n h e c h o d e p e n d e r l a c i e n c i a í n t e g r a d e f o r m a s d e t e r m i n a d a s
d e l a i n t e l i g e n c i a n o e s m á s q u e l a m i t a d d e l a h i s t o r i a . L a o t r a m i ­
t a d , e s e l c r e c i m i e n t o c o n t i n u o d e u n p e n s a m i e n t o c u y a r i q u e z a h a
c o n s e g u i d o h a c e r s i e m p r e f n á s s e g u r o d e s í m i s m o . L a h i s t o r i a n o s
h a r e h u s a d o l a f ó r m u l a e x p l í c i t a d e l a s o l u c i ó n p o s i t i v a , p e r o n o h a
d e j a d o d e l l e v a r l a e n s u s e n o ; y h a s t a p e r c i b i m o s q u e e s t a b a p r e s e n t e
e n l o s c r e a d o r e s d e l a s d o c t r i n a s c l á s i c a s , c o n l a c l a r i d a d c o n q u e l a
d e s p r e n d e m o s d e l a a p a r i e n c i a d e d o g m a u n i v e r s a l e i n m u t a b l e d e
q u e s e h a b í a n c o m p l a c i d o e n r e v e s t i r l a , l e g a n d o a s u s s u c e s o r e s l a s u ­
p e r s t i c i ó n d e l a s “ f o r m a s a p r i o r i ” y d e “ l o s h e c h o s g e n e r a l e s ” q u e ,
e n e l s i g l o X I X , p a r a l i z ó l a c r í t i c a f i l o s ó f i c a .
H o y l o s a b e m o s : e r a u n a i l u s i ó n p r e t e n d e r e n c o n t r a r , p o r u n a
e s p e c i e d e a d i v i n a c i ó n , l a s f u e n t e s e n q u e l a c i e n c i a d e b í a a l i m e n t a r s e ,
y d e d o n d e l a s a g u a s i r í a n a c a e r e n u n c a n a l a r t i f i c i a l m e n t e c a v a d o
p a r a r e c i b i r l a s . E l c u r s o d e l a m a t e m á t i c a p o s e e e s p o n t a n e i d a d , o f r e c e
l o s m i l a c c i d e n t e s d e u n r í o n a t u r a l . P a r a t e n e r a l g u n a p r o b a b i l i d a d
d e r e c o n s t r u i r a q u e l l a s d e s u s p a r t e s q u e o c u l t a l a n i e b l a d e l a i n ­
c o n s c i e n c i a o d e l a p r e h i s t o r i a , e s n e c e s a r i o h a b e r l o s e g u i d o a l l í d o n d e
e s p o s i b l e v e r l o c o r r e r a n t e n u e s t r o s o j o s , e s n e c e s a r i o h a b e r p e r c i b i d o
s u r i t m o h a b i t u a l . E l a n á l i s i s c r í t i c o p u e d e s e r v i r d e i n t r o d u c c i ó n
a l a h i s t o r i a ; p e r o , p r o c e d e d e l a h i s t o r i a . P r o l o n g a , p a r a h a c e r l a
r e m o n t a r t a n l e j o s c o m o e s p o s i b l e e n e l p a s a d o , l a a c t i t u d q u e c a ­
r a c t e r i z a a l a i n v e s t i g a c i ó n ; y s e e s f u e r z a e n r e f u n d i r l a s n o c i o n e s

12. P r ò l o g o 1 5
e l e m e n t a l e s , d e m a n e » d e h a c e r l a s c a p a c e s d e c u b r i r , e n t o d a s u e x t e n ­
s i ó n , e l s a b e r a c t u a l m e n t e a d q u i r i d o . N a d a s e a s e m e j a m e n o s a _ l a
e x p e r i e n c i a c i e n t í f i c a , q u e l a c o n s t a t a c i ó n 3 e u n d a t o ~ m m e 3 i a t a m e n t e
p r o p o r c i o n a d o p o r l o s o b j e t o s e x t e r i o r e s : n a d a s e a s e m e j á d m e n o s a
î a s o p e r a c i o n e s e f e c t i v a s j i e L s a b i q . _ f l a e . _ g l _ _ d . e s a r r g l l o d e u n d i s c u r s o
p u r a m e n t e l ó g i c o . D e h e c h o , d e s d e l o s p a s o s m á s s i m p l e s d e l a a r i t -
m é t i c a ó T l i T a T g e o m e t r í a , s e e s t a b l e c e u n a c o n e x i ó n g n l r e j a _ e x p e r i e n - I
c í a ~ j l a r a z ó n ; y d e a l l í s e a b r e e l c a m i n o e n q u e l a i n t e l i g e n c i a ^ s e !
e m a n c i p a d e l h o r i z o n t e ^ l i m i t a d o d e l a s r e p r e s e n t a c i o n e s s e n s i b l e s , _ e n l
q u e a d q u i e r e l a c a p a c i d a d d e p e n e t r a r h a s t a u n a p r o f u n d i d a d i n e s p e ­
r a d a e n l a s r e l a c i o n e s c o n s t i t u t i v a s d e l o r e a l .
E s e s t e c a m i n o e l q u e d e b e m o s r e c o r r e r , p e r o s ó l o e n l a m e d i d a
e n q u e e l l o p u e d a s e r ú t i l p a r a v e r e l a b o r a r s e u n a c o n c e p c i ó n d e l a
v e r d a d q u e r o m p e r á c o n l a s f o r m a s u n i l a t e r a l e s d e l d o g m a t i s m o o d e l
p o s i t i v i s m o s i n s a c r i f i c a r n a d a , s i n e m b a r g o , d e l a e x a c t i t u d y d e
l a p r e c i s i ó n d e l s a b e r . T e n e m o s q u e i n d i c a r t a m b i é n c ó m o e s a e x ­
c e p c i ó n m o d i f i c a e l p a p e l q u e , e n g e n e r a l , s e a t r i b u y e a l a s "matemá­
t i c a s e n e l c o n j u n t o d e l a s c i e n c i a s h u m a n a s . A l a m a t e m á t i c a c o n -
s i d e r a d a e n s u a u t é n t i c a f i s o n o m í a , c o r r e s p o n d e r e v e l a r l a l i b e r t a d
d e l a s i n v e n c i o n e s c u y o s d a t o s i n t u i t i v o s h a n s i d o s o l a m e n t e T i ~ o ç I ?
s i ó n l l a d i v e r s i d a d , l a i n f i n i d a d d e l o s r e c u r s o s q u e e l e s p í r i t u a c u ­
m u l a p a r a l a o r g a m z a c i ó n & I ~ ñ m v é r s q r ~i-i o r e s o e T m T T b e r a r a ^ ^ a 'T 'a
f i s i c a d e l a s u j e c i ó n c o n q u e h a b í a p a r e c i d o a m e n a z a r l a u n a i n t e r ­
p r e t a c i ó n d e m a s i a d o e s t r e c h a d e l a s r e l a c i o n e s n u m é r i c a s o e s p a c i a l e s ;
e l l a o f r e c e r á u n a n u e v a b a s e a l a p s i c o l o g í a d e l a i n t e l i g e n c i a q u e ,
d e s p u é s d e l a L ó g i c a d e P o r t - R o y a l s e m o d e l a c o n o b s t i n a c i ó n s o b r e
e l a p a r a t o e x t e r i o r d e l d i s c u r s o ; e l l a p e r m i t i r á p o r ú l t i m o q u e l a f i l o ­
s o f í a c i e n t í f i c a h a g a s u r g i r l a s o l i d a r i d a d n e c e s a r i a , l a c o o p e r a c i ó n
c o n s t a n t e d e l a s d i v e r s a s r a m a s d e l s a b e r , e n l u g a r d e a g o t a r s e e n
u n v a n o e s f u e r z o p o r d e l i m i t a r l a s f r o n t e r a s q u e t o d o d e s c u b r i m i e n t o
i m p o r t a n t e d e l a c i e n c i a e s t á l l a m a d o a d e s p l a z a r o a s u p r i m i r .
B r e v e m e n t e y e n t a n t o q u e h a y a m o s s a b i d o l l e n a r e l p r o g r a m a
q u e n o s h e m o s p r o p u e s t o , l a m e d i t a c i ó n d e l a d i s c i p l i n a q u e h a
p u e s t o e n l a i n v e s t i g a c i ó n d e l a v e r d a d e l m á x i m o d e e s c r ú p u l o y
d e s u t i l e z a , n o c o r r e r á m á s e l p e l i g r o d e a c r e c e n t a r l a i n c e r t i d u m b r e
y l a i n e s t a b i l i d a d d e l p e n s a m i e n t o f i l o s ó f i c o ; r e f i r m a r á , e s c l a r e c i é n ­
d o l a , n u e s t r a c o n f i a n z a e n l a s a b i d u r í a h u m a n a . S e g ú n l a e x p r e s i ó n
q u e C o u r n o t t o m ó c o m o e p í g r a f e d e l T r a t a d o e l e m e n t a l d e l a t e o r í a
d e l a s f u n d o n e s y d e l c á l c u l o i n f i n i t e s i m a l , S O P H I A E G E R M A N A
M A T H E S I S . [ « L a c i e n c i a m a t e m á t i c a , p r o p i a h e r m a n a d e l a
S a b i d u r í a » ] .

13. P R I M E R A P A R T E
P E R Í O D O S d e c o n s t i t u c i ó n .

14. L I B R O P R I M E R O
A R I T M É T I C A

15. 1 . — J y s u n , . p r e i n i c i o , s i n d u d a . c r e e r q u e l a s n o c i o n e s m á s
s i m p l e s y m á s a n t i g u a m e n t e c o n q u i s t a d a s p o r l a H u m a n i d a d s e a a
t a m b i é n a q u e l i a s _ . 3 e j a § _ c u a l e s _ e s m á s f á c i l r e c o n s t i t u i r l a g é n e s i s
y d e t e r m i n a r l a n a t u r a l e z a . E n e f e c t o , c a s i n o h a y n o c i ó n q u e
e n n u e s t r o s d í a s , h a y a p r o v o c a d o m á s d i s c u s i o n e s , y s e h a y a p r e s ­
t a d o a m á s d i v e r s a s i n t e r p r e t a c i o n e s q u e l a n o c i ó n d e n ú m e r o ,
p r i n c i p i o d e l a c i e n c i a e l e m e n t a l p o r e x c e l e n c i a , d e l a a r i t m é t i c a .
E l m é t o d o h i s t ó r i c o , d e l q u e q u e r r í a m o s h a c e r u n u s o
c o n s t a n t e , ¿ p u e d e s e r a p l i c a d o d i r e c t a m e n t e a l e s c l a r e c i m i e n t o d e
l a n o c i ó n d e n ú m e r o ?
L a h i s t o r i a d e l a f i l o s o f í a m a t e m á t i c a s e i n i c i a c o n e l p i t a ­
g o r i s m o , q u e e s u n a d e l a s d o c t r i n a s m á s b r i l l a n t e s , p e r o t a m b i é n
u n a d e l a s m e n o s c o n o c i d a s , d e l a a n t i g ü e d a d . S i d e j a m o s d e l a d o
l a s c o n j e t u r a s s o b r e l a p a r t e q u e c o r r e s p o n d e a l o s r e p r e s e n t a n t e s
s u c e s i v o s d e l a E s c u e l a e n l a c o n s t i t u c i ó n d e l a d o c t r i n a , o l a s c o ­
n e x i o n e s a m e n u d o e x t r a ñ a s y m i s t e r i o s a s m e d i a n t e l a s c u a l e s
l o s d a t o s p u r a m e n t e c i e n t í f i c o s s e v i n c u l a b a n a l a t r a d i c i ó n d e l a s
p r e s c r i p c i o n e s m o r a l e s o d e l a s c r e e n c i a s r e l i g i o s a s , s u b s i s t e u n
p r o b l e m a p a r a e l c u a l s e r í a e s e n c i a l c o n t a r c o n e l a p o y o d e u n a
d o c u m e n t a c i ó n p o s i t i v a . T e n d r í a m o s q u e d e t e r m i n a r e l p r o g r e s o d e
o r d e n t é c n i c o a l c u a l c o r r e s p o n d e l a f i l o s o f í a d e l p i t a g o r i s m o ; p a r a
é s t o d e b e r í a m o s p o d e r s e g u i r l a c u l t u r a h e l é n i c a e n l a c o n t i n u i d a d
d e s u c r e c i m i e n t o , s a b e r l o q u e h a t o m a d o d e l a s c i v i l i z a c i o n e s
d e A s í a o d e E g i p t o . M á s a ú n , p a r t i e n d o d e l p r i m e r s i s t e m a q u e
c o n f i e r e u n v a l o r a b s o l u t o a l o s o b j e t o s d e l a c i e n c i a m a t e m á t i c a ,
t e n d r í a m o s n e c e s i d a d d e r e m o n t a r n o s h a s t a l o s p r i m e r o s d e s t e l l o s
q u e p o n e n d e m a n i f i e s t o e n l a h u m a n i d a d e l d e s p e r t a r d e l p e n s a ­
m i e n t o c i e n t í f i c o . A h o r a b i e n , s o b r e e s t o l a h i s t o r i a p e r m a n e c e c a s i
s i l e n c i o s a . N o e n c o n t r a m o s i n d i c a c i o n e s s u f i c i e n t e m e n t e p r e c i s a s s i n o
e n a l g u n o s d o c u m e n t o s e g i p c i o s d e u n a r e m o t a a n t i g ü e d a d , e n t r e l o s
c u a l e s e l p a p i r o R h i n d e s e l m á s i m p o r t a n t e .

16. 2 2 L a s e t a p a s d e l a f i l o s o f í a m a t e m á t i c a
N u e s t r o ú n i c o r e c u r s o e s e l d e e l u d i r l a d i f i c u l t a d , s u b s t i t u ­
y e n d o l a s i n v e s t i g a c i o n e s s o b r e l a e r a p r i m i t i v a d e n u e s t r a s c i v i l i ­
z a c i o n e s , p o r l a s o b s e r v a c i o n e s q u e , e n n u e s t r o s d í a s , s e h a c e n d i ­
r e c t a m e n t e s o b r e l a s s o c i e d a d e s i n f e r i o r e s . L a e t n o g r a f í a , e j e r c i e n d o
u n a e s p e c i e d e f u n c i ó n v i c a r i a n t e , p e r m i t e l l e n a r e n g r a n p a r t e l a s
l a g u n a s d e l a p r e h i s t o r i a , y , p o r u n a h i p ó t e s i s , q u e e s c o n s e g u r i d a d
i n v e r i f i c a b l e , p e r o q u e p o r l o m e n o s t i e n e d e p o r s í v e r o s i m i l i t u d ,
r e s t a b l e c e r e n s u s g r a n d e s l i n e a m i e n t o s e l c u r s o n a t u r a l d e l a e v o l u ­
c i ó n h u m a n a .
D e e s t a m a n e r a e l e s t u d i o d e l a c o n s t i t u c i ó n d e l a a r i t m é t i c a
c o m p o r t a r á e l e x a m e n d e t r e s c u e s t i o n e s d i s t i n t a s :
1 ° ¿ D e q u é m a n e r a e f e c t ú a n l o s h o m b r e s l a s p r i m e r a s o p e ­
r a c i o n e s d e c á l c u l o ?
2 ° ¿ Q u é r e s u l t a d o s h a b í a n s i d o o b t e n i d o s e n l a p r á c t i c a e n e l
m o m e n t o d e l a r e d a c c i ó n d e l p a p i r o R h i n d i
3 ° ¿ E n q u é f o r m a l a c i e n c i a d e l o s n ú m e r o s , e n l a E s c u e l a
p i t a g ó r i c a , h a c o n d u c i d o a u n a r e p r e s e n t a c i ó n i n t e g r a l y a u n a
e x p l i c a c i ó n d e l u n i v e r s o ?
2 . — E s t o s t r e s ó r d e n e s d e i n v e s t i g a c i o n e s , e n e l e s t a d o a c t u a l
d e n u e s t r a i n f o r m a c i ó n , n o s e c o n t i n ú a n u n o a l o t r o , n o s o l a m e n t e
p o r q u e n o p e r t e n e c e n a u n a m i s m a h i s t o r i a , s i n o t a m b i é n p o r q u e
l ó g i c a m e n t e s e d e s a r r o l l a n e n p l a n o s d i f e r e n t e s . C u a n d o e s t u d i a m o s
e l p i t a g o r i s m o , t e n e m o s p o r t a r e a d e t e r m i n a r l a c o n c e p c i ó n q u e l o s
p i t a g ó r i c o s t e n í a n d e l a c i e n c i a , e l a l c a n c e q u e a t r i b u í a n a l a n o c i ó n
d e n ú m e r o y a l a s r e l a c i o n e s n u m é r i c a s ; n u e s t r a e x p o s i c i ó n d e b e
c o i n c i d i r c o n l a r e f l e x i ó n c o n s c i e n t e d e l o s p e n s a d o r e s d e l o s s i g l o s
V I o V a n t e s d e J e s u c r i s t o . P o r e l c o n t r a r i o , c u a n d o e s t u d i a m o s
l o s p r o c e d i m i e n t o s d e c á l c u l o o d e n u m e r a c i ó n q u e u t i l i z a n c i e r t a s
p o b l a c i o n e s d e O c e a n i a o d e l B r a s i l c e n t r a l , n o s e n f r e n t a m o s a f e ­
n ó m e n o s q u e s e a s i e n t a n e n e l e s p í r i t u h u m a n o , p e r o q u e n o s o n
p a r a e s o s m i s m o s e s p í r i t u s o b j e t o d e u n a r e f l e x i ó n c o n s c i e n t e . L o s
“ n o c i v i l i z a d o s ” s e d e d i c a n a o p e r a c i o n e s d e t r u e q u e y c á l c u l o , s i n
t e n e r n i n g u n a i d e a d e l a s r e g l a s d e l a i g u a l d a d , d e l a s l e y e s d e l a
a d i c i ó n o d e l a m u l t i p l i c a c i ó n q u e c o n f i e r e n a s u s p r á c t i c a s u n c a ­
r á c t e r d e v e r d a d : e l s o c i ó l o g o e s t á c o l o c a d o f r e n t e a l p e n s a m i e n t o
p r i m i t i v o c u y a e v o l u c i ó n t r a t a d e c a p t a r , c o m o e l f í s i c o o e l f i s i ó ­
l o g o a n t e l a n a t u r a l e z a e x t e r i o r c u y a s l e y e s t r a t a d e d e t e r m i n a r .
L o s e s t u d i o s q u e c o n s t i t u y e n e s t e p r i m e r l i b r o s e r á n h e c h o s
p u e s d e s d e d o s p u n t o s d e v i s t a d i f e r e n t e s . E x a m i n a r e m o s l a s p r i ­
m e r a s m a n i f e s t a c i o n e s d e l a r t e d e c o n t a r d e s d e e l p u n t o d e v i s t a
c r í t i c o e n q u e l a c i e n c i a s e c o l o c a h o y , c o n l a f i n a l i d a d d e r e s t a b l e c e r
e l d e t e r m i n i s m o m e n t a l c u y o p r o d u c t o s o n e s a s m a n i f e s t a c i o n e s ,

17. A r i t m è t i c a 2 3
m i e n t r a s q u e e l a n á l i s i s d e l a s e s p e c u l a c i o n e s p i t a g ó r i c a s n o s t r a n s ­
p o r t a n e c e s a r i a m e n t e a l c u a d r o d e l d o g m a t i s m o a n t i g u o .
S e m e j a n t e d u a l i d a d p a r e c e i n e v i t a b l e ; e s t á l i g a d a a l p r o g r e s o
m i s m o d e l a c i e n c i a , q u e m u e s t r a l a d e s p r o p o r c i ó n e n t r é ~ e l c r e c n -
m l e n t o e s p o n t a n e o c T e H R T s " F e n ó m e n o s s o c i a l e s y l a r e p r e s e n t a c i ó n q u e
T a s s o c i e d a d e s s e h a c e n d e e l l o s . E l e s t u d i o ~ c ö m p a r a d o d e l a s r e l i -
g i o n e s d a , p o r e j e m p l o , d e l o r i g e n e f e c t i v o d e l a s c r e e n c i a s c r i s t i a n a s
u n a i d e a q u e n a d a t i e n e d e c o m ú n c o n l o s s i s t e m a s t e o l ó g i c o s q u e
l o s d o c t o r e s d e l a s I g l e s i a s c r i s t i a n a s h a n c o n s t r u i d o e n d i s t i n t a s
é p o c a s . C o m o l o d i c e m u y b i e n L é v y - B r u h l : “ L o s a u s t r a l i a n o s c o ­
n o c e n a d m i r a b l e m e n t e l o s r i t o s , c e r e m o n i a s y p r á c t i c a s d e s u r e l i ­
g i ó n t a n c o m p l i c a d a , p e r o s e r í a r i d í c u l o a t r i b u i r l e s c i e n c i a . P e r o
e s t a c i e n c i a q u e l e s e s i m p o s i b l e a ú n c o n c e b i r , l a e s t a b l e c e n l o s
s o c i ó l o g o s ” ( 1 ) .
P o r o t r a p a r t e h a y r a z o n e s p a r a c r e e r q u e e s t a d u a l i d a d s e r á
i n s t r u c t i v a . P a r a c o m p r e n d e r e l p a s a j e d e l a l e n g u a l a t i n a a l a
l e n g u a f r a n c e s a , s e h a a c o s t u m b r a d o a d i s t i n g u i r d o s m o d o s d e
f o r m a c i ó n : l a m o d a l i d a d p o p u l a r , q u e o b e d e c e a l e y e s t a n n a t u ­
r a l e s , t a n e s p o n t á n e a s , t a n n e c e s a r i a s , c o m o l a s l e y e s d e l u n i v e r s o
f í s i c o y q u e r e g í a e l l e n g u a j e d e l a s m u l t i t u d e s d e l a E d a d M e d i a ,
t a n t o c o m o l a s f ó r m u l a s d e G a l i l e o r i g e n l a c a í d a d e l o s c u e r p o s ,
y l a m o d a l i d a d c u l t a , e m a n a d a d e l a r e f l e x i ó n u l t e r i o r , d e l a v o ­
l u n t a d s i s t e m á t i c a d e l o s g r a m á t i c o s q u e h a n d i c t a d o u n a e s p e c i e
d e c ó d i g o p a r a l a n a t u r a l i z a c i ó n d e l v o c a b u l a r i o l a t i n o . Q u i z á s l a s
a m b i g ü e d a d e s p r o d u c i d a s p o r l o s p r o b l e m a s , y p o r l a i d e a m i s m a ,
d e l a f i l o s o f í a m a t e m á t i c a , c o m e n z a r á n a d i s i p a r s e s i a l e s t u d i a r
l a f o r m a c i ó n d e l o s p r i n c i p i o s m a t e m á t i c o s p r a c t i c a m o s u n a d i s t i n ­
c i ó n a n á l o g a . E n o t r o s t é r m i n o s , n o d e b e m o s l i m i t a r n o s a r e g i s ­
t r a r l a s n o c i o n e s d e o r d e n f i l o s ó f i c o q u e s e h a n i n j e r t a d o e n t a l
o c u a l m o m e n t o s o b r e l a s p r o p o s i c i o n e s p o s i t i v a s d e l a c i e n c i a
y q u e h a n d e f i n i d o e l c u a d r o q u e l a t r a d i c i ó n d o g m á t i c a i m p o n e
a l a j u s t i f i c a c i ó n m e t a f í s i c a d e l a c i e n c i a . P o r e n c i m a d e e s a s n o ­
c i o n e s , t r a t a r e m o s d e d i s t i n g u i r e n t r e l a a c t i v i d a d e s p o n t á n e a y l a
t r a d i c i ó n d o g m á t i c a , p u e s é s t a a m e n a z a b a a l t e r a r e l a c e n t o y d e s ­
c o n o c e r l a f e c u n d i d a d d e a q u é l l a q u e , a d e s p e c h o d e l a s i n t e r d i c ­
c i o n e s a p r i o r i y d e l a s l i m i t a c i o n e s d e f i n i t i v a s , h a p r o s e g u i d o a
t r a v é s d e l a h i s t o r i a e l c u r s o d e s u s c o n q u i s t a s . Y n o s s e r á t a n t o m e ­
n o s d i f í c i l s e g u i r e s a s d o s c o r r i e n t e s d e l p e n s a m i e n t o e n l a m u l t i t u d d e
s u s t r a n s f o r m a c i o n e s y d e r i v a c i o n e s , c u a n t o q u e l a c o n s t i t u c i ó n d e l a
a r i t m é t i c a n o s h a b r á d a d o a n t e s l a o c a s i ó n d e c a p t a r l o s e n e l p u n t o
m á s p r ó x i m o a s u o r i g e n , q u e e s t a m b i é n e l p u n t o d e s u a l e j a m i e n t o
e x t r e m o .
i 1 ) L a M o r a l e e t l a S c i e n c e d e s M o e u r s , 1 9 0 3 , p á g . 1 9 6 ( P a r i s , F . A l c a n ) .

18. C a p í t u l o P r i m e r o
L A E T N O G R A F Í A Y L A S P R I M E R A S O P E R A C I O N E S
N U M É R I C A S
3 . - — L a s o b s e r v a c i o n e s e t n o g r á f i c a s o f r e c e n a m p l i o m a t e r i a l
a l a c u r i o s i d a d d e l f i l ó s o f o q u e i n v e s t i g a c ó m o s e i n t r o d u j o e n l a
h u m a n i d a d e l u s o d e l c á l c u l o y d e l o s t é r m i n o s n u m é r i c o s . D e s p u é s
d e l a o b r a c l á s i c a d e T y l o r : P r i m i t i v e c u l t u r e ( x ) , c u y a p r i m e r a
e d i c i ó n s e r e m o n t a a 1 8 7 1 , L é v i - L é o n a r d C o n a n t h a p u b l i c a d o u n a
m o n o g r a f í a e x t r e m a d a m e n t e r i c a : T h e n u m b e r c o n c e p t , i t s o r i g i n
a n d d e v e l o p m e n t , N e w Y o r k , 1 8 9 6 . M á s r e c i e n t e m e n t e e l t e m a
h a s i d o r e n o v a d o p o r L é v y - B r u h l e n e l c a p í t u l o V d e s u o b r a L e s
f o n c t i o n s m e n t a l e s d a n s l e s S o c i é t é s i n f é r i e u r e s ( 1 9 1 0 ) , c a p í t u l o
d e n o m i n a d o L a m e n t a l i d a d p r e l ó g i c a e n s u s v e l a c i o n e s c o n l a n u ­
m e r a c i ó n .
U t i l i z a r e m o s l a c o s e c h a d e h e c h o s q u e s e h a r e c o g i d o e n e s a s
t r e s o b r a s ; p e r o p a r t i c u l a r m e n t e s o m o s d e u d o r e s d e L é v y - B r u h l
q u i e n h a d a d o l a i n d i c a c i ó n i n i c i a l d e l a c u a l d e b e p r o c e d e r t o d o
e s t u d i o e t n o g r á f i c o i n s i s t i e n d o s o b r e l a o p o s i c i ó n e n t r e n u e s t r o s
h á b i t o s l ó g i c o s y l a m e n t a l i d a d p r i m i t i v a . E n l a s n a c i o n e s c i v i l i z a ­
d a s , l a n u m e r a c i ó n p r e c e d e a l c á l c u l o ; e n e l l a s s e e n s e ñ a a l o s n i ñ o s
l o s n o m b r e s d e l o s n ú m e r o s a n t e s d e q u e e s t é n c a p a c i t a d o s p a r a
d i s t i n g u i r l o s v a l o r e s n u m é r i c o s . S i d u r a n t e e s t a f a s e t r a n s i t o r i a s e
l e s p r e g u n t a c u a n t o s b o m b o n e s o f r u t a s t i e n e n d e l a n t e , d i c e n a l
a z a r t o d o s l o s n o m b r e s d e l o s n ú m e r o s q u e c o n o c e n . H a y q u e
s e ñ a l a r q u e u n a o b s e r v a c i ó n a n á l o g a h a s i d o h e c h a p o r l o s m i s i o n e ­
r o s q u e h a n e n s e ñ a d o a r i t m é t i c a a l o s i n d í g e n a s s i g u i e n d o l a s c o s ­
t u m b r e s e u r o p e a s , c o m e n z a n d o p o r l a g e n e r a l i d a d d e l a i d e a a b s ­
t r a c t a . A s í , s e g ú n e l t e s t i m o n i o d e l P . D o b r í z h o f f e r , " l o s g u a r a n í e s
d e l P a r a g u a y q u e e n s u l e n g u a n o v a n m á s a l l á d e l 4 t o d o s s a b e n
e n u n c i a r l o s n ú m e r o s e n e s p a ñ o l ; p e r o c o n t a n d o s e e q u i v o c a n c o n
( ! ) T r a d u c i d a a l f r a n c é s p o r M m e . B r u n e t , L a c i v i l i s a t i o n p r i m i t i v e , 2 v o l . ,
1 8 7 6 .

19. 2 6 L a s e t a p a s d e l a f i l o s o f í a m a t e m á t i c a
t a n t a f a c i l i d a d y t a n f r e c u e n t e m e n t e q u e n u n c a s e e s d e m a s i a d o d e s ­
c o n f i a d o a s u r e s p e c t o e n m a t e r i a s e m e j a n t e ” ( 2 ) . I g u a l m e n t e l o s
a b i p o n e s ‘ ‘n o p u e d e n s o p o r t a r e l t e n e r q u e c o n t a r , e s t o l o s f a s t i d i a ;
p o r c o n s i g u i e n t e , p a r a d e s e m b a r a z a r s e d e l a s p r e g u n t a s q u e s e l e s
h a c e n m u e s t r a n c u a l q u i e r n ú m e r o d e d e d o s ” ( 3 ) .
H e a q u í l o c a r a c t e r í s t i c o : e s t o s m i s m o s a b i p o n e s n o s e e q u i ­
v o c a r á n c u a n d o s u p e n s a m i e n t o , e n l u g a r d e s e r c o a r t a d o y c o m ­
p r i m i d o p o r u n l e n g u a j e q u e l e e s e x t r a ñ o , s e v e a l í b r e p a r a s e g u i r
s u c u r s o o r i g i n a l , c u a n d o p u e d a a p o y a r s e s o b r e l a v i s i ó n d i r e c t a
d e l a s c o s a s , s o b r e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l l u g a r q u e e l l a s o c u p a n d e
l a m a s a e s p a c i a l q u e c o n s t i t u y e n e n s u c o n j u n t o . C u a n d o m a r c h a n
e n t r o p e l , r o d e a d o s d e p e r r o s p o r t o d o s l o s c o s t a d o s , ‘ ‘a m e n u d o
h e a d m i r a d o , d i c e e l P . D o b r i z h o f f e r , c ó m o s i n s a b e r c o n t a r , p o d í a n
n o t a r i n m e d i a t a m e n t e a u n l l a m a d o , q u e f a l t a b a u n p e r r o e n t r e u n a
j a u r í a t a n c o n s i d e r a b l e ” ( 4 ) . S e g u r a m e n t e , s í s e c o n v i n i e r a r e s e r v a r
e l n o m b r e d e c á l c u l o a l a s c o m b i n a c i o n e s q u e i m p l i c a n u n s i s t e m a
r e g u l a r d e n u m e r a c i ó n , s e r í a n e c e s a r i o , d e c i r c o n e l P . D o b r i z h o f f e r
q u e l o s a b i p o n e s n o c u e n t a n . P e r o e l l o n o s e r í a s i n o u n a m a n e r a
d e h a b l a r ; e n e f e c t o , p u e s t o q u e l o s a b i p o n e s s o n c a p a c e s d e h a c e r
o p e r a c i o n e s c u y o s r e s u l t a d o s e q u i v a l e n a l o s d e n u e s t r o c á l c u l o , s a ­
b e n c o n t a r “ a s u m a n e r a ” ; h a y u n c á l c u l o q u e e s i n d e p e n d i e n t e
d e l o s _ s i s t e m a s r e g u l a r e s d e n u m e r a c i ó n , q u e l o s p r p c e d e y T o F T T ä r e
p o s i b l e s .
P a r a c a p t a r e l d e s p e r t a r d e l p e n s a m i e n t o m a t e m á t i c o , d e s t a ­
c a r e m o s e n l a s o b r a s q u e h e m o s c i t a d o , l o s p r o c e d i m i e n t o s m á s
e l e m e n t a l e s d e e s e c á l c u l o . L o s p r e s e n t a r e m o s p a r a c l a r i d a d d e l a n á ­
l i s i s e n e l o r d e n d e c o m p l e j i d a d c r e c i e n t e , p e r o s i n p r e t e n d e r , n i
m u c h o m e n o s , q u e u n a e x p e r i e n c i a t o m a d a d e p u e b l o s d e r e g i o n e s
a l e j a d a s y d e n i v e l e s i n t e l e c t u a l e s m u y d i f e r e n t e s , d e b a d i s p o n e r s e
e n u n o r d e n u n i l i n e a l .
S E R I A C I Ö N Y C O R R E S P O N D E N C I A
4 . — E l m á s s i m p l e , e l m á s “ p r i m i t i v o ” , d e l o s p r o c e d i m i e n ­
t o s q u e p u e d e n p r o p o r c i o n a r e l e q u i v a l e n t e d e l c á l c u l o , n o s p a r e c e
s e r e l q u e T y l o r h a s e ñ a l a d o c o m o e m p l e a d o e n A u s t r a l i a , M a l a s i a
( 2 ) H i s t o r i a d e A b i p o n i b u s , e q u e s t r i b e l l i c o s a q u e P a r a q u a r i a e n a t i o n e , V i e n a ,
1 7 8 4 , P . I I , p á g . 1 7 4 , c i t a d o p o r L é v y - B r u h l , o b . c i t . , p á g . 2 0 7 .
( 3 ) I b i d . , p á g . 1 7 3 .
( 4 ) I b i d . , p á g . 123.

20. S e r i a c i ó n y c o r r e s p o n d e n c i a 2 7
y M a d a g a s c a r ( 5 ) : s e d a a l o s n i ñ o s n o m b r e s q u e s o n f i j a d o s s e g ú n
e l o r d e n d e n a c i m i e n t o d e m a n e r a q u e c a d a u n o d e e s o s n o m b r e s
s e c o n v i e r t e e n u n n ú m e r o . H e a q u í u n c u a d r o s a c a d o d e l a r e l a ­
c i ó n d e E y r e , e l e x p l o r a d o r d e A u s t r a l i a : “ E n e l d i s t r i t o d e A d e ­
l a i d a y e n t r e l a s t r i b u s d e l n o r t e , M o o r h o u s e h a e n c o n t r a d o q u e
l o s n i ñ o s q u e v i e n e n a l m u n d o r e c i b e n , e n e l o r d e n d e s u n a c i ­
m i e n t o , n o m b r e s n u m é r i c o s , e n l o s c u a l e s s e d i s t i n g u e l a d i f e r e n ­
c i a d e l n o m b r e p a r a l o s v a r o n e s y p a r a l a s n i ñ a s p o r u n a v a r i a c i ó n
e n l a t e r m i n a c i ó n .
E l 1 e r . h i j o s e r á l l a m a d o o K e r t a m e r u ( v a r ó n ) o K e r t a n y a ( m u j e r )
E l 2 d o . „ „
E l 3 r o . „ „
E l 4 t o . „ „
E l 5 t o . „ „
E l 6 t o .
E l 7 m o . , , , ,
E l 8 v o .
E l 9 n o .
o J f a r r i t y a
o K u d n u t y a
o M o n a i t y a
o M i l a y t i a
o M a r r u t y a
o W a n g u t y a
o N g a d a i t y a
o P o u a r n a ( 6 )
o J f a r r i a n o
o K u d n a r t o ,,
o M o n a r t o
o M i l a r t o
o M a r r u a r t o
o W a n g w a r t o , ,
o N g a r l a r t o
L o s a u s t r a l i a n o s n o t i e n e n n ú m e r o c a r d i n a l m á s a l l á d e t r e s
( 7 ) ; e l p a d r e a u s t r a l i a n o d e n u e v e h i j o s s a b r á d e c i r s i s u f a m i l i a
e s t á c o m p l e t a s i n q u e t e n g a s i n e m b a r g o l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l n ú ­
m e r o n u e v e , s i n t e n e r l a i d e a a b s t r a c t a d e l n ú m e r o c a r d i n a l n i a ú n
d e l o r d i n a l ; n o c u e n t a h a s t a n u e v e ; p e r o l l e v a h a s t a e s e t é r m i n o
q u e l l a m a m o s e l n o v e n o , l a d i s t i n c i ó n c u a l i t a t i v a d e l o s t é r m i n o s
q u e a n u e s t r o s o j o s c o m p o n d r í a n u n a s e r i e o r d e n a d a . E n u n a
p a l a b r a r e e m p l a z a l a n u m e r a c i ó n p o r m e d i o d e l a e n u m e r a c i ó n .
5 . — E n e s t e p r i m e r e s t a d i o , e l . p e n s a m i e n t o n u m é r i c o . p a r e c e
e s t a r c o n t e n i d o e n l a s c o s a s , m á s q u e e s t a r p r e s e n t e ^ e n e l e s p í r i t u
d e l h o m b r e ^ S o n l a s c i r c u n s t a n c i a s b i o l ó g i c a s l i s q u e h a c e n q u e
c a d a n i ñ o a p a r e z c a d o t a d o d e u n a e s p e c i e d e s i g n o t e m p o r a l , y
q u e e l c o n j u n t o d e n i ñ o s f o r m e u n a s e r i e o r d e n a d a . E s e n t o n c e s u n
p r o g r e s o i m p o r t a n t e e l d e g e n e r a l i z a r l a i d e a d e o r d e n q u e e s t á
s o b r e e n t e n d i d a e n l a d i s t i n c i ó n c u a l i t a t i v a d e l o s t é r m i n o s d e l a
s e r i e ; d e t a l m a n e r a q u e e n v e z d e a p l i c a r s e a u n g r u p o d e i n d i v i ­
d u o s , s i e m p r e l o s m i s m o s , e s t a d i s t i n c i ó n s e c o n v i e r t a e n u n p u n t o
d e r e f e r e n c i a p a r a l a o r d e n a c i ó n d e o b j e t o s c u a l e s q u i e r a .
( B ) T r a d . B r u n e t , t . I , p á g . 2 9 2 .
( 6 ) J o u r n a l s o f e x p e d i t i o n s o f d i s c o v e r y i n t o C e n t r a l A u s t r a l i a a n d O v e r l a n d
f r o m A d e l a ' i d t o K i n g G e o r g e ’s S o u n d ( 1 8 4 0 - 4 1 ) , p o r E d w a r d J o h n E y r e , t . I I ,
L o n d r e s , 1 8 4 5 , p á g . 3 2 4 .
( 7 ) I b i d . , p á g . 3 9 2 .

21. 2 8 L a s e t a p a s d e l a f i l o s o f í a m a t e m á t i c a
E n e s t e n u e v o e s t a d i o n o h a y a ú n n o m b r e s d e n ú m e r o , p e r o
h a y e q u i v a l e n t e s c o n c r e t o s d e l a n u m e r a c i ó n . L a s o b s e r v a c i o n e s c o n ­
c o r d a n t e s q u e L é v y - B r u h l h a r e u n i d o , h a c e n v e r c o n c l a r i d a d l a s
p r á c t i c a s a ú n c o m p l e j a s d e e s t e p e n s a m i e n t o e n e s t a d o n a c i e n t e .
C i t a r e m o s s o l o u n a d e l a s q u e s e p r a c t i c a n e n l a s i s l a s M u r r a y , e n
e l e s t r e c h o d e T o r r e s . " A q u í , l o s ú n i c o s n ú m e r o s d e l o s i n d í g e n a s
s o n n e t a t = 1 y n e i s = 2 . M á s a l l á p r o c e d e n p o r r e d u p l i c a c i ó n ,
p o r e j e m p l o n e i s n e t a t = 2 , 1 = 3 ; n e i s n e i s = 2 , 2 — 4 , e t c . , o
r e f i r i é n d o s e a a l g u n a p a r t e d e l c u e r p o . P o r e s t e ú l t i m o m é t o d o p u e ­
d e n c o n t a r h a s t a 3 1 . C o m i e n z a n p o r e l m e ñ i q u e d e l a m a n o i z ­
q u i e r d a , l u e g o p a s a n p o r l o s d e d o s , l a m u ñ e c a , e l c o d o , l a a x i l a , e l
h o m b r o , e l h u e c o e n c i m a d e l a c l a v í c u l a , e l t ó r a x y d e s p u é s , e n e l
o r d e n i n v e r s o a l o l a r g o d e l b r a z o d e r e c h o , p a r a t e r m i n a r e n e l
m e ñ i q u e d e l a m a n o d e r e c h a ” ( 8 ) . A s í , “ e n u n a c u e s t i ó n d e n e g o ­
c i o s , d i c e u n o b s e r v a d o r p a r t i c u l a r m e n t e p e n e t r a n t e d e l a s t r i b u s
o c c i d e n t a l e s d e l e s t r e c h o d e T o r r e s , u n h o m b r e r e c o r d a r á h a s t a q u e
p u n t o d e s u p e r s o n a h a s i d o c o n v e n i d o u n n ú m e r o d e o b j e t o s , y
r e c o m e n z a n d o p o r s u m e ñ i q u e i z q u i e r d o , e n c o n t r a r á e l n ú m e r o
b u s c a d o ” ( 9 ) .
U n a o p e r a c i ó n t a l e s e v i d e n t e m e n t e u n p r o c e d i m i e n t o d e c o ­
r r e s p o n d e n c i a ; l o q u e ú n i c a m e n t e i n t e r e s a a l i n t r o d u c i r e s t a e x p r e ­
s i ó n q u e s e h a h e c h o t a n f a m i l i a r a l o s e s t u d i o s c o n t e m p o r á n e o s ,
e s c o n s e r v a r l e s u s i g n i f i c a c i ó n o r i g i n a l , q u e e s e n t e r a m e n t e c u a l i ­
t a t i v a : e l a l c a n c e d e l a c o r r e s p o n d e n c i a s e a g o t a e n l a r e l a c i ó n
d e u n s i g n o a l a c o s a s i g n i f i c a d a , d e u n a s e r i e d e s i g n o s a u n a
s e r i e d e c o s a s s i g n i f i c a d a s . L a e x t e n s i ó n y l a p r e c i s i ó n q u e c o m p o r t a
e s t e e m p l e o d e s i g n o s y d e c o r r e s p o n d e n c i a s e s t á n p u e s t a s e n e v i ­
d e n c i a e n u n a o b s e r v a c i ó n d e B r o o k e , h e c h a s o b r e l o s d a y a k s d e
B o r n e o , q u e n o s h a h e c h o c o n o c e r L é v y - B r u h l y q u e e s d e m a s i a d o
n o t a b l e p a r a q u e n o l a r e p r o d u z c a m o s í n t e g r a : " S e t r a t a b a d e
h a c e r s a b e r a c i e r t o n ú m e r o d e a l d e a s , q u e s e h a b í a n r e b e l a d o , y
l u e g o f u e r o n s o m e t i d a s , e l i m p o r t e d e l a s m u l t a s q u e t e n d r í a n q u e
p a g a r . ¿ C ó m o t o m a r á e l m e n s a j e r o i n d í g e n a e l m e n s a j e ? T r a j o
a l g u n a s h o j a s s e c a s , q u e c o r t ó e n p e d a z o s ; p e r o y o s e l a s c a m b i é p o r
p a p e l , l o q u e e s m á s c ó m o d o . D i s p u s o l o s p e d a z o s u n o a u n o s o b r e
u n a m e s a , s i r v i é n d o s e a l m i s m o t i e m p o d e s u s d e d o s p a r a c o n t a r ,
h a s t a d i e z ; p u s o e n t o n c e s s u p i e s o b r e l a m e s a , y c o n t ó c a d a d e d o
a l m i s m o t i e m p o q u e u n p e d a z o d e p a p e l , c o r r e s p o n d i e n t e a l n o m ­
b r e d e u n a a l d e a , c o n e l n o m b r e d e s u j e f e , e l n ú m e r o d e s u s g u e r r e -
( 8 ) H u n t , E t h n o g r a p h i c a l n o t e s o n t h e M u r r a y I s l a n d s ( T o r r e s S t r a i t s ) , J o u r ­
n a l o f t h e A n t h r o p o l o g i c a l I n s t i t u t e o f G r e a t B r i t a i n ( a b r e v i a d o J . A . I . ) , V o l u m e n
X X V I I I , a ñ o 1 8 9 9 , p á g . 1 3 ; e n L é v y - B r u h l , p á g . 2 0 9 .
( 9 ) H a d d o n , T h e E t h n o g r a p h y o f t h e W e s t e r n T r i b e s o f t h e T o r r e s S t r a i t s ,
I b i d . , t . X I X , a ñ o 1 8 9 9 , p á g . 3 0 4 ; e n L é v y - B r u h l , p á g . 2 1 0 .

22. S e r i a c i ó n y c o n e s f o n d e n d o , 2 9
r o s y e l m o n t o d e l a m u l t a . C u a n d o h u b o a g o t a d o l o s d e d o s d e l o s
p i e s , v o l v i ó a l o s d e l a s m a n o s . A l t e r m i n a r m i l i s t a h a b í a c u a r e n t a
y c i n c o p e d a z o s d e p a p e l o r d e n a d o s s o b r e l a m e s a . M e p i d i ó e n t o n ­
c e s q u e l e r e p i t i e s e d e n u e v o m i m e n s a j e , l o q u e h i c e , m i e n t r a s q u e é l
r e c o r r í a s u s p e d a z o s d e p a p e l , y s u s d e d o s d e p i e s y m a n o s , c o m o
a n t e s . « H e a q u í n u e s t r a s c a r t a s , d i j o ; u s t e d e s , b l a n c o s , n o l e e n c o m o
n o s o t r o s » . E n t r a d a l a t a r d e , r e p i t i ó t o d o c o r r e c t a m e n t e , p o n i e n d o
e l d e d o s o b r e c a d a p e d a z o d e p a p e l s u c e s i v a m e n t e , y d i j o : « B i e n , s i
l o r e c u e r d o m a ñ a n a t e m p r a n o , t o d o i r á b i e n ; d e j e m o s e s t o s p a p e l e s
s o b r e l a m e s a » , d e s p u é s d e l o c u a l l o s m e z c l ó , e h i z o u n m o n t ó n .
T a n p r o n t o c o m o n o s d e s p e r t a m o s a l d í a s i g u i e n t e , é l y y o n o s
a c e r c a m o s a l a m e s a ; u b i c ó l o s p e d a z o s d e p a p e l e n e l o r d e n e n q u e
e s t a b a n l a v í s p e r a , y r e p i t i ó t o d o s l o s d e t a l l e s c o n p e r f e c t a e x a c t i t u d .
D u r a n t e m á s d e u n m e s , y e n d o d e a l d e a e n a l d e a , l e j o s p o r e l i n t e ­
r i o r , n u n c a o l v i d ó l a s d i f e r e n t e s s u m a s , e t c ” ( 1 0 ) .
E l e m p l e o d e e s o s p e d a z o s d e h o j a s s e c a s o d e p a p e l e x t e r i o r i z a
l a o p e r a c i ó n d e c o r r e s p o n d e n c i a q u e p e r m i t e a l i n d í g e n a s u p l i r e l
c á l c u l o n u m é r i c o d e l o s p u e b l o s c i v i l i z a d o s . L o s n ú m e r o s q u e l e s o n
p r o p u e s t o s e n u n a f o r m a c a r d i n a l s o n t r a d u c i d o s e n u n a s e r i e c u y o s
t é r m i n o s s u c e s i v o s e s t á n r e l a c i o n a d o s a l s i s t e m a o r d i n a l f o r m a d o
p o r l o s d e d o s d e l a s m a n o s o l o s p i e s .
L a f i j e z a d e l o s s i g n o s l o c a l e s q u e c o m p o n e n e s t e s i s t e m a p e r ­
m i t e r e c o n o c e r l o s c o n f a c i l i d a d y e x a c t i t u d e n m e d i o d e c u e n t a s b a s ­
t a n t e c o m p l i c a d a s ; y s i n e m b a r g o l a e x p r e s i ó n d e l c o n c e p t o n u m é ­
r i c o a ú n n o e s t á c o n s t i t u i d a . P o r e j e m p l o , e n M u r a l u g , e l n ú m e r o
5 s e d e s i g n a c o n l a p a l a b r a n a b i g e t , q u e d e r i v a d e g e t , m a n o ; p e r o ,
“ n o s e p o d r í a d e c i r q u e n a b i g e t s e a e l n o m b r e d e l n ú m e r o 5 ; s o l a ­
m e n t e q u i e r e d e c i r q u e h a y t a n t o s o b j e t o s e n c u e s t i ó n , c o m o d e d o s
e n l a m a n o ” ( 1 1 ) .
L A N O C I Ó N D E D O S
6 . — ¿ Q u é h a r á f a l t a e n t o n c e s p a r a q u e a p a r e z c a e l v e r d a d e ­
r o c o n c e p t o d e n ú m e r o ? N o s e r á n e c e s a r i o s e g u r a m e n t e q u e e l l e n ­
g u a j e s e e n r i q u e z c a c o n u n v o c a b u l a r i o n u e v o , f o r m a d o p o r s i g n o s
p u r a m e n t e a b s t r a c t o s ; p o r q u e n o h a y e x p r e s i ó n a b s t r a c t a q u e n o
h a y a c o m e n z a d o p o r s e r u n a d e n o m i n a c i ó n c o n c r e t a . E n r e a l i d a d ,
n i s i q u i e r a h a y n e c e s i d a d d e u n a n u e v a o p e r a c i ó n p s i c o l ó g i c a ; e l
( 1 0 ) f e n y e a r s i n S a r a w a k , I , p á g . 1 3 9 y s i g . ; e n L é v y - B r u h l , p â g . 2 1 4 y s i g .
( H ) H a d d o n , o b . c i t . , p á g . 3 0 5 ; e n L é v y - B r u h l , p á g . 2 1 7 .

23. 3 0 L a s e t a p a s d e l a f i l o s o f í a m a t e m á t i c a
p e n s a m i e n t o a r i t m é t i c o n o p u e d e s e r n i m á s c o m p l e j o , n i m á s s e ­
g u r o d e s í m i s m o , q u e e n e l c ó m p u t o q u e a c a b a m o s d e d e s c r i b i r .
U n i c a m e n t e e l h á b i t o c u m p l i r á s u o b r a o r d i n a r i a d e a c u m u l a c i ó n
y e c o n o m í a ; a f u e r z a d e r e c o r r e r , p a r a c a d a p r o b l e m a q u e s e p r e ­
s e n t a , l o s d i f e r e n t e s d e d o s d e l a s m a n o s y p i e s o l a s d i f e r e n t e s p a r t e s
d e l c u e r p o q u e s o n l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e d e r e f e r e n c i a , n o e s m á s
n e c e s a r i o r e h a c e r e s e t r a b a j o p r e l i m i n a r . L a m e m o r i a f i j a e l r e s u l ­
t a d o , r e t i e n e e l r a n g o d e c a d a u n o d e l o s t é r m i n o s c o m o e x p r e s i ó n
d e l r e s u l t a d o d e u n c á l c u l o a n t e r i o r , c o m o d a t o o b t e n i d o p a r a e l
c á l c u l o f u t u r o . E s p o s i b l e e n t o n c e s , n o m b r a n d o e s e t é r m i n o , e v o c a r
e n u n a s o l a i m a g e n , e n u n a c o l e c c i ó n s i m u l t á n e a , l o q u e h u b i e r a
s i d o n e c e s a r i o d a r s e a n t e s m e d í a n t e u n a s e r i e d e m o v i m i e n t o s s u c e ­
s i v o s ; e n l a e n u n c i a c i ó n d e l a p a l a b r a q u e s i g n i f i c a r á m a n o , s e e n ­
c o n t r a r á i m p l i c a d o e l r e c u e r d o d e t o d o s l o s d e d o s q u e h a n s i d o
t o c a d o s o l e v a n t a d o s c o n a n t e r i o r i d a d . E n e s t a f o r m a s e e n r i q u e c e
l a p a l a b r a c o n u n s e n t i d o n u m é r i c o c a r d i n a l q u e t e r m i n a , e n e l
l e n g u a j e d e l o s p u e b l o s c i v i l i z a d o s , p o r b o r r a r l a r e p r e s e n t a c i ó n
o r i g i n a r i a . D i c h o d e o t r o m o d o , l a n o c i ó n a b s t r a c t a d e l n ú m e r o
s e f o r m a c u a n d o l a i m a g e n s o n o r a , c u a l q u i e r a s e a l a i n t u i c i ó n c o n ­
c r e t a a q u e e l l a s e r e f i e r a , e s c a p a z d e d e s e m p e ñ a r p o r s í m i s m a e l
p a p e l q u e d e s e m p e ñ a n l o s p e d a z o s d e p a p e l e n e l c á l c u l o d e l i n d í -
g e n a d e T î o r n e o .
S o l o q u e , m i e n t r a s q u e e s o s p e d a z o s d e p a p e l a d q u i r í a n s u c a p a ­
c i d a d n u m e r a t i v a p o r u n a a s o c i a c i ó n m u y p a s a j e r a m e d í a n t e l a
c u a l e l i n d í g e n a l o s h a b í a r e l a c i o n a d o a o p e r a c i o n e s p a r t i c u l a r e s ,
l a a s o c i a c i ó n q u e d a l a s i g n i f i c a c i ó n d e e s a s i m á g e n e s s o n o r a s e s
u n a a s o c i a c i ó n h e c h a c o n s t a n t e p o r e l u s o , p o r l a t r a s m i s i ó n h e r e ­
d i t a r i a ; d i s p e n s a a l i n d i v i d u o d e r e h a c e r l a s o p e r a c i o n e s g e n e ­
r a t r i c e s d e l c á l c u l o y , a s í , s e r e a l i z a e l p a s o d e l p e n s a m i e n t o e s p o n ­
t á n e o q u e h a p e r m i t i d o c o n s t i t u i r u n s i s t e m a d e n u m e r a c i ó n , a l
p e n s a m i e n t o d e f o r m a l ó g i c a q u e s e a p o y a s o b r e l a s r e g l a s d e l a
n u m e r a c i ó n .
7 . — I n s i s t i e n d o s o b r e l a s o p e r a c i o n e s q u e t i e n e n p o r c e n t r o
l a n o c i ó n d e d o s , t e n d r e m o s o c a s i ó n d e o b s e r v a r l o s r a s g o s m á s
s i g n i f i c a t i v o s d e e s e p a s a j e . E l d o s p r o p o r c i o n a n a t u r a l m e n t e a l a
n u m e r a c i ó n l a b a s e m á s s i m p l e .
L a p r i m e r a r e p r e s e n t a c i ó n n u m é r i c a e s e l p a r . A l g u n o s i n d í ­
g e n a s d e A u s t r a l i a s a b e n s o l a m e n t e r e p a r t i r u n c o n j u n t o d e o b j e ­
t o s e n m o n t o n e s r e g u l a r e s d e d o s u n i d a d e s , s i n l l e g a r a p l a n t e a r a
p r o p ó s i t o d e e s o s m o n t o n e s e l p r o b l e m a d e l n ú m e r o . O c u r r e e n ­
t o n c e s q u e s i t i e n e n s i e t e o b j e t o s c o l o c a d o s d e l a n t e s u y o s o b r e u n a
m e s a , p o r e j e m p l o a l f i l e r e s , v e r á n f á c i l m e n t e q u e n o t i e n e n e l t o t a l
c u a n d o s e l e s s a c a u n o ; p e r o s i s e l e s s a c a d o s , n o s e d a r á n c u e n t a

24. L a n o c i ó n d e “ d o s 3 1
m á s d e l a s u s t r a c c i ó n p u e s t o q u e d e h e c h o n o s o n c a p a c e s d e d i s ­
t i n g u i r s i n o l o s n ú m e r o s p a r e s y l o s n ú m e r o s i m p a r e s ( 1 2 *) . E s t e
p r o c e d i m i e n t o r u d i m e n t a r i o e x p l i c a b a s t a n t e b i e n c o m o l o s p a r e s
l l e g a n a d e s e m p e ñ a r e l p a p e l d e u n i d a d e s n u m é r i c a s . A s í , “ e n l a
i s l a d e l d u q u e d e Y o r k , s e c u e n t a p o r p a r e s , y s e d a a l o s p a r e s n o m ­
b r e s d i s t i n t o s s e g ú n e l n ú m e r o d e e l l o s q u e h a y a . L a m o d a l i d a d
p o l i n e s i a e r a e m p l e a r l o s n ú m e r o s s o b r e e n t e n d i e n d o q u e s e t r a t a b a
d e t a n t o s p a r e s , y n o d e t a n t o s o b j e t o s . H o k o r u a ( 2 0 ) q u e r í a d e c i r
c u a r e n t a , e s d e c i r , v e i n t e p a r e s ” ( l s ) .
L a d u p l i c a c i ó n s e c o n v i e r t e e n u n a o p e r a c i ó n p r i m i t i v a q u e
e s c a p a z d e c o n t r i b u i r , c o m o l a a d i c i ó n , a l a f o r m a c i ó n d e l a s c a n ­
t i d a d e s n u m é r i c a s . E n e f e c t o , u n a c u r i o s a o b s e r v a c i ó n d e l D r .
S t e p h a n ( 1 4 ) , q u e h a d e s t a c a d o i g u a l m e n t e L é v y - B r u h l , m u e s t r a
q u e l o s i n d í g e n a s d e N u e v a P o m e r a n i a s e s i r v e n d e l a m i s m a c o m ­
b i n a c i ó n l i n g ü i s t i c a S a n a u l l ú a , e s d e c i r , 1 0 y 2 , p a r a e x p r e s a r , s e ­
g ú n e l a g r u p a m í e n t o h a b i t u a l d e l o s o b j e t o s a l o s c u a l e s l o a p l i c a n ,
o 1 0 + 2 , o 1 0 X 2 . « M a n i f i e s t a m e n t e , d i c e e l D r . S t e p h a n , e ’ l o s
n o e x p e r i m e n t a n l a n e c e s i d a d d e d i s t i n g u i r e n s u l e n g u a j e , p u e s t o
q u e n o c u e n t a n n u n c a a b s t r a c t a m e n t e y n o s e s i r v e n m á s q u e d e
n ú m e r o s a c o m p a ñ a d o s d e s u s t a n t i v o s , p o r e j e m p l o : 1 2 n u e c e s d e
c o c o , 2 0 t u b é r c u l o s d e t a r o , u n m o n t ó n d e 1 0 s i r v i e n d o e n e s t e
ú l t i m o c a s o d e u n i d a d . E n t o n c e s s e v e p e r f e c t a m e n t e s i s e t r a t a d e
1 0 n u e c e s d e c o c o m á s 2 , o b i e n d e d o s m o n t o n e s d e 1 0 » ( 1 5 ) .
( 1 2 ) C u r r , T h e A u s t r a l i a n r a c e s , t . I , M e l b o u r n e , 1 8 8 6 , p á g . 3 2 ; e n C o n a n t ,
p á g . 1 0 4 .
( 1 S ) C o d r i n g t o n , M e l a n e s i a n l a n g u a g e s , O x f o r d , 1 8 8 5 , p á g . 2 4 1 ; e n L é v y - B r u h l ,
p á g . 2 2 0 .
( 1 4 ) B e i t r ä g e z u r P s y c h o l o g i e d e r B e w o h n e r v o n N e v j - P o t n m e r n , G l o b u s , B r a u n ­
s c h w e i g , 1 9 0 5 , t . L X X X V I I I , p á g . 2 0 6 ; e n L é v y - B r u h l , p á g . 2 2 1 .
( 1 5 ) E s i n t e r e s a n t e v o l v e r a e n c o n t r a r l a m i s m a d u a l i d a d d e c o m b i n a c i ó n e n
u n e s t a d i o m u c h o m á s a v a n z a d o d e l a c u l t u r a m a t e m á t i c a . P a r a l a f o r m a c i ó n d e l a s
p o t e n c i a s s u c e s i v a s d e l a c a n t i d a d d e s c o n o c i d a , l a t e r m i n o l o g í a d e D i o f a n t o , q u e s e
e x p l i c a m u y n a t u r a l m e n t e p o r l a a n a l o g í a d e l a s d i m e n s i o n e s e s p a c i a l e s , c o n s i s t e e n
l a a d i c i ó n d e l o s e x p o n e n t e s : l a p o t e n c i a q u i n t a s e d e s i g n a p o r " c u b o d e l a p o ­
t e n c i a ” , l a p o t e n c i a s e x t a p o r " c u b o d e l c u b o ” ( A r i t m é t i c a , l i b r o I , e d . P . T a n n e r y ,
t . I , L e i p z i g , 1 8 9 3 , p á g . 8 4 ) . P o r e l c o n t r a r i o l o s h i n d ú e s c o n v i e n e n e n m u l t i p l i c a r
l o s e x p o n e n t e s : v a r g a s i g n i f i c a n d o l a s e g u n d a p o t e n c i a y g ’ h a n a l a t e r c e r a , v a r g a - g ’ h a n a
e s l a p o t e n c i a s e x t a , ¿ h a n a - g f h a n a , l a p o t e n c i a n o v e n a . ( C o l e b r o o k e , A l g e b r a w i t h
a r i t h m e t i c a n d m e n s u r a t i o n f r o m t h e S a n s c r i t o f B r a h m e g u p t a a n d B h a s c a r a t r a n s l a t e d ,
L o n d r e s , 1 8 1 7 , L i l a v a t i , § 2 5 , p á g . 1 0 , n 9 3 ) . L o s m a t e m á t i c o s á r a b e s h a n t o m a d o
d e a m b a s f u e n t e s { l b i d . , D i s e r t a c i ó n p r e l i m i n a r , p á g . X I I I ) . D e a q u í p r o v i e n e n l o s
e q u í v o c o s q u e l o s h i s t o r i a d o r e s s e ñ a l a n e n l a s o b r a s l a t i n a s d e l a E d a d M e d i a ; l a
m i s m a e x p r e s i ó n q u a d r a t o c u b u s s i g n i f i c a n d o o l a q u i n t a o l a s e x t a p o t e n c i a s e g ú n
q u e e l a u t o r s e r e f i e r a a t e x t o s d e o r i g e n g r i e g o , o d e o r i g e n h i n d ú . ( T r o p f k e , G e s ­
c h i c h t e d e r E l e m e n t a r - M a t h e m a t i k i n s y s t e m a t i s c h e r D a r s t e l l u n g , L e i p z i g , t . I , 1 9 0 2 , ,
p á g . 1 8 6 ) .

25. 3 2 L a s e t a p a s d e l a f i l o s o f í a m a t e m á t i c a
E n o t r a s p a r t e s , f i n a l m e n t e , l a d i f e r e n c i a c i ó n d e l l e n g u a j e
a c o m p a ñ a a l a d i f e r e n c i a c i ó n d e l n ú m e r o : l o s d i n k a , e n l a r e g i ó n
d e l A l t o N i l o , t i e n e n l a s i g u i e n t e t e r m i n o l o g í a :
2 = r o u
5 = w d y e t s
d e d o n d e d i c e n w d e r o u p o r e l n ú m e r o 7 ; p o r 1 0 , w t y e r o w t y a r ,
e s d e c i r s e g ú n F r i e d r i c h M ü l l e r ( i e ) , f o r m a n l a s d o s c o m b i n a c i o ­
n e s 5 + 2 y 5 X 2 .
A s í p u e s p u e d e n e n c o n t r a r s e d o s t i p o s d e c o m b i n a c i ó n r e g u l a r
e n q u e e l n ú m e r o d o s d e s e m p e ñ a e l p a p e l f u n d a m e n t a l . U n o e s p u r a ­
m e n t e a d i t i v o , e s e l q u e H a d d o n h a e n c o n t r a d o e n t r e l o s i n d í g e n a s
d e l e s t r e c h o d e T o r r e s : « e n e f e c t o , n o h a y s i n o d o s n ú m e r o s , u r a p u n
y o k o s a , q u e s o n , r e s p e c t i v a m e n t e u n o y d o s e n e l l e n g u a j e d e o c c i ­
d e n t e . T r e s e s o k o s a u r a p u n , c u a t r o o k o s a o k o s a , c i n c o e s o k o s a
o k o s a , u r a p u n , s e i s e s o k o s a o k o s a o k o s a , d e s p u é s d e l o c u a l s e d i c e
h a b i t u a l m e n t e r a s o u n m o n t o n » ( 161 7 18) . E n e l o t r o , d o s s e h a l l a c o m o
m u l t i p l i c a d o r : e s t e s i s t e m a h a d e j a d o s u s h u e l l a s e n l a n u m e r a c i ó n
d e l o s k a r e n s d e l a I n d i a d o n d e e l R e v . F . M a s o n ( 1 S ) h a e n c o n ­
t r a d o l a t e r m i n o l o g í a s i g u i e n t e ( e s c a l a d e l o s B g h a i ) .
1 = T a
2 = = K i e
3 = T h e u
4 = L w i e
5 = Y a y
6 = T h e u l h o ( 3 X 2 )
7 = T h e u t h o t a ( 3 X 2 ) + 1
8 « = L w i e t h o ( 4 X 2 )
9 = L w i e t h o t a ( 4 X 2 ) + 1
1 0 = T a s h i e
( 1 6 ) G r u n d r i s s d e r S p r a c h w i s s e n s c h a f t , t . I , p . I I , V i e n s 1 8 7 7 , p á g . 5 5 ; e n
C o n a n t , p á g . 1 4 7 . L a i n t e r p r e t a c i ó n d e l s a b i o l i n g ü i s t a e s c o n f i r m a d a , p o r l o d e m á s ,
p o r l a c o n t i n u a c i ó n d e l a e s c a l a : 1 1 = w t y e r k o t o k , e s d r c i r 1 0 + 1 ; 2 0 = w t y e r -
r o u , e s d e c i r 1 0 X 2 .
( 1 7 ) O b . c i t . , p á g . 3 0 3 ; e n L é v y - B r u h l , p á g . 2 1 7 .
( 1 8 ) J o u r n a l o f t h e A s i a t i c S o c i e t y o f B e n g a l , a ñ o 1 8 6 5 , t . I I , v o l . X X X I V ,
C a l c u t a , 1 8 6 6 , p á g . 2 4 5 ; e n C o n a n t , p á g . 1 1 2 .

26. E l c á l c u l o d i g i t a l 3 3
E L C Á L C U L O D I G I T A L
8 . — L a d i v e r s i d a d d e l o s p r o c e d i m i e n t o s n u m é r i c o s a l o s
q u e d a l u g a r e l u s o d e l a n o c i ó n d e d o s s e v u e l v e a e n c o n t r a r , y
e n u n g r a d o m á s e l e v a d o , e n e l e m p l e o d e l s i s t e m a q u i n a r i o .
A n t e t o d o e s u n p r o b l e m a p o r r e s o l v e r e l l l e g a r h a s t a e l c ó m ­
p u t o d e t o d o s l o s d e d o s d e l a m a n o , h a s t a l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l
n ú m e r o c i n c o . E l e j e m p l o d e l o s b a k a i r i s , d e l o s c u a l e s K a r l v o n
S t e i n e n h a d a d o u n a o b s e r v a c i ó n m u y c o m p l e t a ( 1 9 ) m u e s t r a c u a n
a r d u o e s e l p r o b l e m a , y q u é d i s t a n c i a s e p a r a e l e m p l e o d e l o s d e d o s
p a r a e l c á l c u l o y e l c o n o c i m i e n t o d e l n ú m e r o d e l o s d e d o s . E l m o v i ­
m i e n t o d e l o s d e d o s i n t e r v i e n e d e u n a m a n e r a c o n s t a n t e e n e l c á l c u l o
d e l o s b a k a i r i s . P a r a c o n t a r u n p e q u e ñ o m o n t o n d e g r a n o s d e m a í z ,
e l b a k a i r i c o m i e n z a p o r r e p a r t i r e l m o n t ó n e n g r u p o s r e g u l a r e s d e
d o s g r a n o s ; e l p r i m e r g r u p o e s f á c i l d e v a l u a r p a r a é l , p u e s t o q u e
d i s p o n e d e d o s n o m b r e s d e n ú m e r o : t o k a l e y a h a g e . L e v a n t a e l
m e ñ i q u e d e l a m a n o i z q u i e r d a p r o n u n c i a n d o e l p r i m e r n o m b r e , e l
d e d o s i g u i e n t e p r o n u n c i a n d o e l s e g u n d o . L u e g o c o n t i n ú a y u x t a ­
p o n i e n d o l o s n o m b r e s u n o y d o s a l m i s m o t i e m p o q u e l e v a n t a l o s
d e d o s s i g u i e n t e s ; p e r o a p a r t i r d e l s e g u n d o g r u p o e n t r a e n e s c e n a
l a m a n o d e r e c h a , e l b a k a i r i t o c a e l n u e v o g r a n o d e m a í z , y l o r e ­
p r e s e n t a p o r e l n u e v o d e d o q u e l e v a n t a . C o m o d i c e K a r l v o n S t e i ­
n e n , « l a m a n o d e r e c h a t o c a b a , l a m a n o i z q u i e r d a c o n t a b a » ( 2 0 ) .
E l p r o c e d i m i e n t o d e c á l c u l o n o v a m á s a l l á d e l 6 . E n e l m o m e n t o
e n q u e e l b a k a i r i l l e g a a 6 , i n v i e r t e l a s m a n o s , l e v a n t a l o s d e d o s
d e l a m a n o d e r e c h a e n e l o r d e n e n q u e h a l e v a n t a d o l o s d e d o s d e
l a m a n o i z q u i e r d a ; p e r o d e j a d e c o m b i n a r l o s t é r m i n o s e l e m e n t a ­
l e s q u e d e s i g n a n u n o o d o s , y a n o e f e c t ú a v a l u a c i ó n n u e v a , s e l i m i ­
t a a r e p e t i r l a m i s m a p a l a b r a m e r a , e s d e c i r é s t e . E l p e n s a m i e n t o
a r i t m é t i c o n o s e m a n i f i e s t a m á s q u e p o r u n a m í m i c a q u e e s t a b l e c e
u n a c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e l o s o b j e t o s y l o s d e d o s . S i l o s m o n t o n e s
d e g r a n o s q u e s e p r e s e n t a n a l b a k a i r i s o b r e p a s a n l o s d i e z , r e c u r r e
a l o s d e d o s d e l o s ’ p i e s , s i s o b r e p a s a n l o s v e i n t e , s e t o m a l o s c a b e l l o s
y l o s t i r a e n t o d a s d i r e c c i o n e s ( 2 1 ) . P e r o a u n e n l o s l í m i t e s e n q u e
( 1 9 ) U n t e r d e n N a t u r v ö l k e r n Z e n t r a l - B r a s i l i e n s R e i s e s c h i l d e r u n g u n d E r g e b n i s s e
d e r z w e i t e n S c h i n g u - E x p e d i t i o n ( 1 8 8 7 - 1 8 8 8 8 ) , B e r l i n 1 8 9 4 , p á g . 4 0 6 y s i g . C f r . , d e l
m i s m o a u t o r , D i e B a k a ' i r i - S p r a c h e , L e i p z i g , 1 8 9 2 , p á g . 7 0 .
( 2 0 ) P á g . 4 0 8 .
( 2 1 ) E l r e c u r r i r a l o s c a b e l l o s d e l a c a b e z a h a s i d o s e ñ a l a d o p o r H a w t r e y ,
T h e L e n g u a i n d i a n e o f t h e P a r a g u a y a n C h a c o , J . A . I . , X X X I , a ñ o 1 9 0 1 , p á g . 2 9 6 ;

27. 3 4 L a s e t a p a s d e l a f i l o s o f í a m a t e m á t i c a
e s c a p a z d e f o r m a r u n a c o m b i n a c i ó n n u m é r i c a , e s d e c i r , h a s t a e l
n ú m e r o 6 , e l b a k a i r i n o p r a c t i c a e n r e a l i d a d e l c á l c u l o d i g i t a l ; c u e n t a
c o n l o s d e d o s , n o c u e n t a l o s d e d o s . A c a d a p r o b l e m a q u e s e l e
p r o p o n e r e c o m i e n z a l a o p e r a c i ó n , s i n s e r v i r s e d e l n ú m e r o d e s u s
d e d o s c o m o , d e u n a c u e n t a y a h e c h a , d e u n b a r e m o p r á c t i c o , q u e
d i s p e n s a r e a l i z a r u n a n u e v a a d i c i ó n , q u e p e r m i t e , e n f i n , e f e c t u a r
“ e c o n o m í a s d e p e n s a m i e n t o ” ; , a h o r a b i e n , e s e s t o l o q u e c o n s ­
t i t u i r á , h a b l a n d o c o n p r o p i e d a d , e l c á l c u l o d i g i t a l .
9 . — L a f a s e i n t e r m e d i a e n e l e s t a b l e c i m i e n t o d e e s e c á l c u l o
e s t á r e p r e s e n t a d a p o r l a d i s t i n c i ó n c u a l i t a t i v a d e l o s d e d o s s u c e ­
s i v a m e n t e e n u m e r a d o s . V o l v e m o s a e n c o n t r a r a q u í u n c a s o p a r t i ­
c u l a r d e l p r o c e d i m i e n t o g e n e r a l q u e h e m o s d e s c r í p t o e n e l § 5 .
E l e j e m p l o d e l o s B u g i l a i , d e l a N u e v a G u i n e a I n g l e s a , m a r c a l a t r a n ­
s i c i ó n d e l a m a n e r a m á s c u r i o s a . E l R . P . C h a l m e r s h a e n c o n t r a d o
e n t r e e l l o s l o s n o m b r e s d e n ú m e r o s i g u i e n t e s :
1 = T a t a n g e s a ( M e ñ i q u e d e l a m a n o i z q u i e r d a )
2 = M e t a k i n a ( a n u l a r )
3 = G u i g i m e t a k i n a ( d e d o m e d i o )
4 = T o p e a ( í n d i c e )
5 = M a n d a ( p u l g a r ) .
E n t a n t o q u e e n l a c o n t i n u a c i ó n d e l a n u m e r a c i ó n l o s B u g i l a !
s e s i r v e n d e l b r a z o y d e l p e c h o :
6 = G a b e n ( m u ñ e c a )
7 = T r a n k g i m b e ( c o d o )
8 = P o d e i ( h o m b r o )
9 = N g a m a ( s e n o i z q u i e r d o )
1 0 = D a l a ( s e n o d e r e c h o ) ( 2 2 )
1 0 . — P a r a o b t e n e r e l n ú m e r o c i n c o , f a l t a d e s t a c a r d e e s t a
s e r i e h e t e r o g é n e a l o s t é r m i n o s c a p a c e s d e s e r c o m p r e n d i d o s e n u n a
i n t u i c i ó n d e c o n j u n t o y q u e f o r m e n c o l e c c i ó n ; e l c o n t r a s t e e n t r e
l o s c i n c o p r i m e r o s e l e m e n t o s y l o s c i n c o ú l t i m o s d e l v o c a b u l a r i o
d e l o s b u g i l a i m u e s t r a h a s t a q u e p u n t o l a d i s p o s i c i ó n a n a t ó m i c a
d e l o s d e d o s d e l a m a n o e s p r o p i c i a a l a t r a n s f o r m a c i ó n d e l a
s e r i e o r d i n a l e n c o l e c c i ó n c a r d i n a l . L o s d e d o s d e l a m a n o t i e n e n
e n L é v y - B r u h l , p á g . 2 1 9 . " L o s l e n g u a s p u e d e n c o n t a r s i n m u c h a s d i f i c u l t a d e s h a s t a
v e i n t e , s i r v i é n d o s e d e l o s d e d o s d e s u s m a n o s y p i e s . D e s p u é s d e e s t o d i c e n m u c h o ,
y p a r a u n a c a n t i d a d m u y e l e v a d a e m p l e a n l o s p e l o s d e l a c a b e z a ” .
( 22) V o c a b u l a r i e s o f t h e B u g i l a i a n d T a g o t a d i a l e c t s , J . A . I . , X X V I I , 1 8 9 8 ,
p á g . 1 3 9 ; e n L é v y - B r u h l , p á g . 2 1 6 .

28. E l c á l c u l o d i g i t a l 3 5
e l p r i v i l e g i o d e s e r a l a v e z m ó v i l e s y r e p r e s e n t a b l e s , d e t a l m a ­
n e r a q u e p u e d e n d e s e m p e ñ a r a l t e r n a t i v a m e n t e e l d o b l e p a p e l d e
i n s t r u m e n t o s p a r a c o n t a r y d e o b j e t o s a c o n t a r . A e s t e r e s p e c t o
u n a e s p e c i e d e d i v i s i ó n d e l t r a b a j o s e e s t a b l e c e r í a e n t r e l a s d o s
m a n o s . U t i l i z a n d o u n a o b s e r v a c i ó n d e C u s h i n g ( 2 3 ) s e e x p l i c a r í a
a s í l a p a r t i c u l a r i d a d d e l o s p u e b l o s n o c i v i l i z a d o s q u e s e s i r v e n
d e l c á l c u l o d i g i t a l e f e c t u á n d o l o , c a s i s i n e x c e p c i o n e s , s o b r e l a m a n o
i z q u i e r d a : c o m o l a m a n o d e r e c h a e s l a h a b i t u a d a a o b r a r , e s a l a
m a n o d e r e c h a a l a q u e r e c u r r e e l s a l v a j e p a r a t o c a r s u c e s i v a m e n t e
l o s d e d o s q u e e s t á c o n t a n d o ; y s o n n a t u r a l m e n t e l o s d e d o s d e l a
m a n o i z q u i e r d a l o s o b j e t o s a c o n t a r y a l o s c u a l e s s e a p l i c a e l
n o m b r e q u e d e s i g n a u n a n o t a c i ó n n u m é r i c a o m á s e x a c t a m e n t e q u e
m á s t a r d e s e r á e m p l e a d o a g u i s a d e n o t a c i ó n n u m é r i c a .
¿ C ó m o s e c o n s t i t u y e e s t a s í n t e s i s e n t r e l o s m o v i m i e n t o s y l a s
r e p r e s e n t a c i o n e s ? L a t r a d u c c i ó n d a d a p o r C u s h i n g d e l a s p a l a b r a s
q u e d e s i g n a n e n t r e l o s z u ñ í s d e N u e v a M é j i c o l o s c i n c o p r i m e r o s
n ú m e r o s l o m u e s t r a a m a r a v i l l a :
1 — T o p i n i e = t o m a d o p a r a c o m e n z a r
2 = K w i l l i = l e v a n t a d o c o n e l p r e c e d e n t e
3 = H a ’ i = e l d e d o q u e d i v i d e i g u a l m e n t e
4 = A w i t e = t o d o s l o s d e d o s l e v a n t a d o s , e x c e p t o u n o
5 = o p t e — e l m o c h o . ( 2 4 )
U n o e s l a i n t u i c i ó n s i m p l e d e l t é r m i n o o b j e t o d e l m o v i m i e n t o ;
d o s l a y u x t a p o s i c i ó n d e l o s t é r m i n o s q u e s o n o b j e t o s d e l o s m o v i ­
m i e n t o s s u c e s i v o s . P o r o t r a p a r t e c i n c o e s e l f i n d e l m o v i m i e n t o
q u e h a l e v a n t a d o s u c e s i v a m e n t e t o d o s l o s d e d o s d e l a m a n o h a s t a e l
m o c h o , e s d e c i r , h a s t a e l p u l g a r . L a r e p r e s e n t a c i ó n d e e s e m o v i m i e n t o
t o t a l , e f e c t u a d o c o n t o d o s l o s d e d o s d e l a m a n o , e s t á s u p u e s t o e n l a d e ­
n o m i n a c i ó n d e t r e s y d e c u a t r o , c u a t r o r e s u l t a n d o d e u n a v u e l t a h a c i a
a t r á s , e n q u e e s t á y a e n g e r m e n l a o p e r a c i ó n s u s t r a c t i v a y t r e s t r a ­
d u c i e n d o e l s e n t i m i e n t o d e q u e s e e s t á a m i t a d d e c a m i n o , o s e a
q u e f a l t a l e v a n t a r t a n t o s d e d o s c o m o s e h a n l e v a n t a d o a n t e r i o r ­
m e n t e ( 2 5 ) .
( 2 3 ) y e r e l a r t í c u l o M a n u a l c o n c e p t s ' , a s t u d y o f t h e i n f l u e n c e o f h a n d u s a g e
o n c u l t u r e g r o w t h - . " S i s e a d m i t e l a u n i v e r s a l i d a d d e l e m p l e o d e l a m a n o d e r e c h a
y d e l a t e n d e n c i a a c o n t a r c o n l o s d e d o s , e n t o n c e s l a m a n o d e r e c h a h a s i d o s i e m p r e
e l c o n t a d o r , y l o s d e d o s d e l a m a n o i z q u i e r d a l a s u n i d a d e s c o n t a d a s ’ ’ . A m e r i c a n a n t h r o ­
p o l o g i s t , 1 8 9 2 , p á g . 2 9 2
( 2 4 ) I b i d . , 1 8 9 2 , p á g . 2 8 5 ; e n L é v y - B r u h l , p á g . 2 1 8 .
( 2 5 ) p a r a l o s d i v e r s o s p r o c e d i m i e n t o s d e l c á l c u l o d i g i t a l , v e r C o n a n t , p á g i n a
1 3 - 1 9 - E n e l c u a d r o d a d o p o r A d a m d e l a n u m e r a c i ó n e n t r e l o s m o n t a ñ e s e s , s e v u e l v e
a e n c o n t r a r u n a m í m i c a i n t e r e s a n t e p a r a l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l n ú m e r o s e i s . S e s e p a r a
s o b r e l a m a n o i z q u i e r d a e l p u l g a r y e l í n d i c e d e l o s t r e s d e d o s r e s t a n t e s , s e u n e a l o s

29. 3 6 L a s e t a p a s d e l a f i l o s o f i a m a t e m á t i c a
L O S P R O C E D I M I E N T O S D E N U M E R A C I Ó N
1 1 . — L a m i s m a v a r i e d a d d e p r o c e d i m i e n t o s s e o f r e c e a l a s
o b s e r v a c i o n e s p a r a l a e x t e n s i ó n d e l v o c a b u l a r i o n u m é r i c o , a p a r t i r
d e l n ú m e r o c i n c o . L a o p e r a c i ó n m á s s i m p l e e s l a q u e a p l i c a n l o s
z u ñ i s y q u e d a : p a r a 6 , t o p a l i k ’ y a , e s d e c i r , o t r o a g r e g a d o a l o q u e
y a s e h a c o n t a d o ; — p a r a e l 7 , k w i l l i k ’ y a , e s d e c i r , d o s l l e v a d o s y l e ­
v a n t a d o s c o n e l r e s t o ; — p a r a 8 , h a i l i k ’ y a , e s d e c i r , t r e s l l e v a d o s y
l e v a n t a d o s c o n e l r e s t o .
J o h n M u r d o c h h a d e s c u b i e r t o e n t r e l o s e s q u i m a l e s d e C a p
B a r r o w ( 2 e ) f o r m a s a n á l o g a s :
1 = a t a ’ u z i k ; 6 = a t a u t y i m i n a k b i n i g i n t u d l i m u t , e s d e c i r ,
u n a v e z s o b r e e l m á s p r ó x i m o ( m a n o o p i e )
y c i n c o ; l o q u e p u e d e s i m p l i f i c a r s e s o b r e e n ­
t e n d i e n d o t u d l i m u t ( c i n c o o u n a m a n o ) , y
a ú n s o b r e e n t e n d i e n d o a t a u t y i m i n ( u n a
v e z ) .
m a d r o ’ n i n a k b i ’ n i g i n ( d o s v e c e s s o b r e e l
m á s p r ó x i m o ) .
p i n a s ’ u n i n a k b i ’ n i g i n ( t r e s v e c e s s o b r e e l
m á s p r ó x i m o ) .
L a s d e n o m i n a c i o n e s n u m é r i c a s s e c o r r e s p o n d e n p a r a 1 y 6 ,
p a r a 2 y 7 , p a r a 3 y 8 ; e s t a c o r r e s p o n d e n c i a p o n e s o b r e l a p i s t a
d e l a s a n o m a l í a s d e n u m e r a c i ó n s e ñ a l a d a s p o r C o n a n t e n l a o b r a
q u e h e m o s u t i l i z a d o t a n t a s v e c e s . S a c a d e l o s E s s a y s d e L a t h a m ( 2 7 )
d o s p r i m e r o s d e d o s e l p u l g a r d e l a m a n o d e r e c h a , y s e d i c e t r e s d e c a d a l a d o , l o
q u e d a , p a r a t ’a p ê = 7 > , e l k k e - t ' a p é — 6 . C o m p t e r e n d u d u C o n g r e s i n t e r n a t i o n a l d e s
A m é r i c a n i s t e s d e 1 8 7 7 ( L u x e m b u r g o ) , t . I I , c u a d r o V I a c o n t i n u a c i ó n d e l a p á g . 2 4 4 .
N o m e n o s c u r i o s o e s e l " m a n e j o ” d e l o s d i n é - d i n d j i é d e l C a n a d á , c u y a d e s c r i p c i ó n ,
s e e n c o n t r a r á s a c a d a d e l D i c t i o n n a i r e d e l a l a n g u e D é n é - D i n d j i é , d e P e t i t o t ; e n l a o b r a
d e L é v y - B r u h l , p á g . 2 3 3 .
( 2 8 ) N o t e s o n C o u n t i n g a n d M e a s u r i n g a m o n g t h e E s k i m o o f t h e P o i n t e B a ­
r r o w , A m e r i c a n A n t h r o p o l o g i s t , t . I l l , 1 8 9 0 , p á g . 3 8 y s i g . y T y l o r , t r . B r u n e t , t . I ,
p á g . 2 8 6 .
( 2 7 ) R . G L a t h a m , O p u s c u l a , E s s a y s , c h i e f l y P h i l o l o g i c a l a n d E t h n o g r a p h i c a l ,
L o n d r e s y L e i p z i g , I 8 6 0 , p á g . 2 4 7 ; e n C o n a n t , p á g . 6 7 .
2 = m a ’ d r o ; 7 =
3 = p í ' n a s u m ; 8 =

30. L o s p r o c e d i m i e n t o s d e n u m e r a c i ó n 3 7
l a s e s c a l a s d e s c u b i e r t a s e n l a s i s l a s o c e á n i c a s , d o n d e 1 y 6 , 2 y 7 ,
3 y 8 , 4 y 9 , 5 y 1 0 s o n d e s i g n a d o s p o r l a s m i s m a s p a l a b r a s :
B a l a d U e a
1 = p a r a i = 6 1 = t a b i = 6
2 = p a r o o — 7 2 = l ú a = 7
3 = p a r g e n = 8 3 = t o l u = 8
4 = p a r b a i = 9 4 — f a = 9
5 = p a r n i m = 1 0 5 = l i m a = 1 0
A l o s o j o s d e C o n a n t e s t a s e s c a l a s s o n p a r a d o j a l e s h a s t a
i n v e r o s í m i l , y e s n e c e s a r i a m e n t e a s í c u a n d o s e s u p o n e q u e l a e x ­
p r e s i ó n v e r b a l a g o t a t o d o e l m e c a n i s m o d e l p e n s a m i e n t o a r i t m é t i c o .
P e r o n o r e s u l t a a s í s i s e e s t á c o n v e n c i d o q u e l a e x p r e s i ó n n o c o n s ­
t i t u y e s i n o u n a p a r t e y q u e l o s g e s t o s s o n c a p a c e s d e r o d e a r d e
a l g u n a m a n e r a l a s p a l a b r a s , d e r e s t a b l e c e r d i f e r e n c i a s q u e e l l e n ­
g u a j e n o p a r e c e t e n e r e n c u e n t a ( 2 8 ) .
M á s s o r p r e n d e n t e e s l a e s c a l a q u e P a ú l d u C h a i l l u ( 2 9 ) h a
e n c o n t r a d o e n t r e l o s m b o u s h a , q u e h a b i t a n e n l a c u e n c a d e l G a b ó n :
1 = I v o c o 6 = I v o c o b e b a ( 1 , 2 )
2 = B e b a 7 = I v o c o b e b a l o ( 1 , 3 )
3 = B e b a l o 8 = I v o c o b e n d i ( 1 , 4 )
4 = B e n d i 9 = I v o c o b e t a n o ( 1 , 5 )
5 — B e t a n o 1 0 = D i o u m
N o p o d e m o s v e r i f i c a r p o r n u e s t r a c u e n t a l a e x a c t i t u d d e l a
o b s e r v a c i ó n ; p e r o e s t a m o s e n u n d o m i n i o d o n d e e l m i s m o o b s e r ­
v a d o r p u e d e f á c i l m e n t e i n t e r p r e t a r y c o n t r o l a r e l l e n g u a j e q u e h a
s i d o e m p l e a d o d e l a n t e s u y o . C o n s i d e r a n d o e x a c t a l a e s c a l a , e x ­
p l i c a r í a m o s l a s i n g u l a r i d a d , r e p r e s e n t á n d o n o s l a d i f i c u l t a d q u e s u ­
p o n e r e s u e l t a u n u s o c o r r e c t o d e l s i s t e m a q u i n a r i o . H a s i d o n e c e s a r i o
c o m b i n a r d o s t i p o s d e u n i d a d e s , u n o s u m i n i s t r a d o p o r l a i m a g e n
d e l o s d e d o s , e l o t r o p r o p o r c i o n a d o p o r l a i m a g e n d e l a m a n o .
E l e m p l e o m e t ó d i c o d e e s t a c o m b i n a c i ó n s e a p o y a s o b r e u n a d i s ­
t i n c i ó n f u n d a m e n t a l q u e c i e r t o s p u e b l o s n o e r a n c a p a c e s d e d i s ­
t i n g u i r c o n n i t i d e z : d e a q u í q u e a p a r e z c a , e n s u s e n s a y o s d e s í n t e s i s ,
u n a í n c e r t i d u m b r e , u n a t o r p e z a c o m o l a q u e t e s t i m o n i a e l r e l a t o
d e d u C h a i l l u y q u e c h o c a t a n r u d a m e n t e c o n n u e s t r o s h á b i t o s
l ó g i c o s d e n u m e r a c i ó n . E n v e z d e d e c i r : e l p r i m e r o , e l s e g u n d o , e l
( 2 8 ) C f r . L é v y - B r u h l , o b c i t , p á g . 2 1 4 .
( 2 9 ) T r a n s a c t i o n s o f t h e E t h n o l o g i c a l S o c i e t y o í L o n d o n , v o l . I , N e w s e r i e s ,
1 8 6 1 , p á g . 3 1 5 ; e n C o n a n t , p á g . 6 6 - 6 7 .