O documento apresenta o método de Newton-Raphson aplicado à solução do problema do fluxo de carga em sistemas de potência. Inicialmente, são mostradas as equações básicas do fluxo de potência e sua transformação para a forma desejada. Em seguida, são obtidos os elementos da matriz jacobiana utilizada no método de Newton-Raphson. Por fim, são apresentados exemplos numéricos e exercícios para aplicação do método.

2. Organização da Aula
202/06/2016
1) Fluxo de potência – Método de Newton-Raphson
aplicado a solução do problema do fluxo de carga
• Exercícios

3. Método de Newton-Raphson aplicado
ao problema do fluxo de carga
302/06/2016
A equação básica do fluxo de potência para a barra i de um sistema é dada por:
Rearranjando a equação:
Aplicando o conjugado em ambos os lados da equação:



N
k i
ii
kik
V
jQP
VY
1
*


N
k
kikiii VYVjQP
1
*


N
k
kikiii VYVjQP
1
**

4. Método de Newton-Raphson aplicado
ao problema do fluxo de carga
402/06/2016
Usando a notação polar:
Mas:
*)(
1
|||| ik
j
k
N
k
iii YeVVjQP ki  


)()cos()(
kiki
j
jsene ki


ikikik jBGY 

5. Método de Newton-Raphson aplicado
ao problema do fluxo de carga
5
• Substituindo a identidade de Euler e Yik e separando as partes real e imagi-
nária:
Onde:
)cos(||||
1
ik
N
k
ikikikkii senBGVVP 

)cos(||||
1
ik
N
k
ikikikkii BsenGVVQ 

kiik  

6. Método de Newton-Raphson aplicado
ao problema do fluxo de carga
• Que equações desejamos solucionar?
• As equações do balanço de energia do sistema, ou
seja, as equações dos (mismatches) resíduos de
potência ativa e reativa.
6
0)cos(||||
1
 
N
k
ikikikikki
C
i
G
ii senBGVVPPP 
0)cos(||||
1
 
ik
N
k
ikikikki
C
i
G
ii BsenGVVQQQ 

7. Matriz Jacobiana
7
• Para resolver o sistema de equações não-lineares, temos:









 

NPQV
NPVNPQ
x
}{
}{
][ 




























V
QQ
V
PP
LM
NH
J
NPVxNPVNPVNPQxNPV
NPVxNPVNPQNPVNPQxNPVNPQ


)()()()(
)()()()(
][

8. Obtendo os elementos da matriz
Jacobiana
• Cada elemento nas sub-matrizes H, N, M e L é dado
por:
• Analogamente para N, M e L
8
)_( principaldiagonal
P
H
i
i
ii



)__( principaldiagonalfora
P
H
k
i
ik




9. Obtendo os elementos da matriz
Jacobiana
• Prove que os elementos da matriz H são dados por:
9

10. Obtendo os elementos da matriz
Jacobiana
• De maneira análoga, os demais elementos da matriz
Jacobiana são dados por:
10
















iii
N
k
ikikikikk
i
i
ii
ikikikiki
k
i
ik
GVsenBGV
V
P
N
senBGV
V
P
N
N
1
)cos(
]cos[


















iiiiiii
N
k
ikikikikki
i
i
ii
ikikikikki
k
i
ik
GVPGVsenBGVV
Q
M
senBGVV
Q
M
M
22
1
)cos(
]cos[





11. Obtendo os elementos da matriz
Jacobiana
11
















iii
N
k
ikikikikk
i
i
ii
ikikikiki
k
i
ik
BVBsenGV
V
Q
L
BsenGV
V
Q
L
L
1
)cos(
]cos[



12. Aplicando o Método de Newton-
Raphson as equações dos resíduos
12
• Lembrando que:
• Temos então para os vetores de resíduos ∆P e ∆Q:

































n
nn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
J




1
2
1
2
1
1
1
][
















nx
x
x
R

2
1
][
















),...,(
),...,(
),...,(
][
1
12
11
nn
n
n
xxf
xxf
xxf
B

][][][][]][[ 1
BJRBRJ 
















 
Q
P
J
V
1
][
 )(
)(1
)()1(
][
k
k
kk
Q
P
J
VV 


















 



13. Exemplo numérico
13

14. Exemplo numérico
14
0)cos(||||
1
 
ik
N
k
ikikikki
C
i
G
ii BsenGVVQQQ 
0)cos(||||
1
 
N
k
ikikikikki
C
i
G
ii senBGVVPPP 

15. Exemplo numérico
15

16. Exemplo numérico
16

17. Exemplo numérico
17

18. Exemplo numérico
18

19. Exercícios
• 1) No sistema de 2 barras da figura abaixo, a barra 1 é
slack com V1=1<0º pu. Uma carga de 150MW e
50MVAr está conectada na barra 2. A admitância da
linha 12 é y12=10<-73.74º pu em uma base de
100MVA.
a) Usando o método de Newton-Raphson, obtenha o
módulo e o ângulo da tensão na barra 2. Use uma
estimativa inicial V2=1<0º. Calcule 2 iterações.
19

20. Exercícios
• 2) No sistema de 2 barras mostrado na figura abaixo,
V1=1<0º pu. Uma carga de 100MW e 50MVAr está
conectada na barra 2. A impedância da linha
z12=0.12+j0.16 pu em uma base de 100MVA. Usando
o método de Newton-Raphson, obtenha o módulo e o
ângulo da tensão da barra 2. Use uma estimativa
inicial V2=1<0º. Calcule 2 iterações.
20

21. Bibliografia
21
• Power Systems Analysis and Design. Glover. 5ª edição
ou sexta edição.
• Power System Analysis. 3ª ed. Hadi Saadat. 2012
• Power System Analysis (Grainger e Stevenson)-
Biblioteca.
• Modern Power System Analysis. 2ª ed. Turan Gonen.
• Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência.
Zanetta Júnior. (Biblioteca).
• Fluxo de carga em redes de energia elétrica A.
Monticelli.
• Meliopoulos, A. P. S. Power System Modeling Analysis
and Control. 2006.