ONDAS

1. Aula 3
Ondas
Eletromagnéticas
- Luz visível (nos permitem ver)
- Infravermelhos (aquecem a Terra)
-Ondas de radiofrequencia (transmissão
de rádio)
- Microondas (cozinhar)
-Transporte de momento linear
- Polarização e Polarizadores
- Reflexão e Refração
- Dispersão
- Polarização por Reflexão

2. Ondas de Radio
Ondas Longas microondas Infravermelho Ultravioleta Raios-X Raios Gama

3. Ondas Eletromagnéticas
• São ondas transversais
• Os campos elétricos e magnéticos de uma onda
eletromagnética plana são perpendiculares entre si
e à direção de propagação.
• Não necessitam de meio para propagar.
• Obedecem o princípio da superposição pois as
Equações Diferenciais para E e B são
lineares

4. Características de uma onda
eletromagnética

5. 1
00
v 
1
c

μ ε
(r)(
r)

→
→
→
v(r) 
1
c  v
No vácuo
Em meios materiais
Em geral
raios
t
t 
t
t  2t
t 
3t
frentes de
onda
Velocidade de propagação

6. A equação de onda

7. A equação da onda eletromagnética
•Em geral, qualquer função periódica pode ser solução de uma
equação de onda pois poderá ser expressa por uma Série de
Fourier

8. Ondas eletromagnéticas
(3ª Eq. de Maxwell)
Bz transverso à
direção de propagação
da onda:

9. • Sejam: Ey (x,t)  Em sen(kx  t) e Bz (x,t)  Bm sen(kx  t)
Ey
Bz

c
Em


 c 
Bm k 0
0
c 
1
Ou seja, a todo instante a razão entre o
campo elétrico e o campo de uma onda
eletromagnética é igual á velocidade da
luz.

10. Ey (x,t)  E0 sin k(x  ct)  E0 sin(kx  t);  
ck
Ondas eletromagnéticas planas
Direção de
deslocamento
da onda

11. A frente de onda é o lugar geométrico dos pontos onde
k  r→
t const.
Frente de onda plana

12. Período:
Freqüência:
Comprimento
de onda:
Velocidade
de uma onda:
T
f 
1
T

k
v 


 f
Freqüência
angular:  
2 f
Número
de onda: 
k 
2
Ondas eletromagnéticas –
principais parâmetros

13. L
~
Geração de Ondas eletromagnéticas
transformador
oscilador

14. Geração de Ondas eletromagnéticas
O oscilador está acoplado a uma linha de transmissão por um transformador.
Este acoplamento gera uma corrente no oscilador que varia
senoidalmente e provova uma oscilação das cargas do
oscilador com frequencia =(LC)1/2.
A antena equivale a um dipolo elétrico cujo momento
dipolar
elétrico varia com o tempo.
 ~ 1m,
Ondas de rádio

15. Transporte de Energia por ondas
eletromagnéticas
As densidades de energia elétrica e magnética são:
2
0
1
E 2
uB ( r ,t )  2
 0
E
2c

2
E
como B 

c
→
0
2 B2
e uB ( r ,t ) 
2
uE ( r ,t ) 
2
0
E
→ 1
→
Logo, a densidade total de energia armazenada no campo
de radiação é:
2
u (
→ → →
r ,t )  uE ( r ,t )  uB ( r ,t )  0
E

16. Como
2 2
0
2
E sin (k  r 
t)
E (r ,t)

→
→
A média temporal da densidade de energia é dada por :
0
0
1
2
0
E 2
T
1
T
u  0 E 2

0 E 2

sin2
( k  r   t )dt

–
 0 ––– ––––
 
→
→

1
2
A intensidade da radiação
será então:
2
0
0
1
2
c
E
I    uc

U U
ℓ
A t A ℓ
t
2
u (
→ → →
r ,t )  uE ( r ,t )  uB ( r ,t )  0
E

17. x
z
y
k
E0
0
B
ds
ℓ 
ct

U
Pode-se desenvolver a mesma expressão como:
c
→
→
→
→
2
E 2
E  B  0
sin ( k  r   t
)kˆ
2
c00
E0
1
2c 2
E 2
| E  B |  0

→
→
Calculando-se a média temporal:

18. A taxa de fluxo de energia é definida
então pelo Vetor de Poynting.
→ 1 → →
S 

E  B
0
A intensidade de uma onda eletromagnética é igual à
densidade média de energia multiplicada pela
velocidade da luz.
I  Smedio  c.umedia

19. Transporte de momento linear da onda
eletromagnética
Pressão de radiação
O mesmo elemento que transporta
a energia também transporta o momento
linear

U
k
U
ˆ
c
p


→

20. Momento linear transferido para um objeto onde
incide a radiação

U
kˆ
c
a

p
→
k
ˆ
c

U
r
p
2
→
no caso de absorção
total da radiação
no caso de reflexão
total da radiação
p
→
p
→
→
 p

21. Mas,
U  IA
t
F I
A
c
a
a
a
  P

t c
p IA
a
F


A c
r
F 2I
r
 P

r
r
F



t c
p 2IA
Pressão de
radiação na
absorção total
Pressão de
radiação na
reflexão total
p
→
p
→
p

→
A
t
I 
U
força
força
pressão
pressão

22. Polarização da radiação
Polarização linear:
Direção do campo elétrico
E(r→
, t)

23. E(r→
,t)  E sin(k  r→

t)
0
0
0
 E cos(kz   t) yˆ
E(r
→
, t)  E sin(kz   t ) xˆ
Polarização linear Polarização circular
2
(r , t) 
1
E (r , t)  E 2
y
x
→
→

24. Um pulso eletromagnético geral corresponde a
uma superposição de vários pulsos que oscilam em
diferentes direções, com diferentes fases
radiação não-polarizada
Polarização elíptica

1
y
0
x
0
x

E 2
E 2
(r→
,
t)
y
E 2
E 2
(r→
,
t)
x
E
Ey
E(r
→
,t)  E sin(kz  t)xˆ  E cos(kz  t) yˆ
x0 y 0

25. Fios metálicos
Polarizadores
A luz polarizada em uma dada direção é absorvida pelo
material usado na fabricação do polarizador. A intensidade da
luz polarizada perpendicularmente a esta direção fica
inalterada.
Exemplo:

26. Polarizadores
Intensidade da radiação incidente
não-polarizada:
2
0 0
0
2
1
I  c
E
Intensidade da radiação
polarizada ao longo de
yˆ
2
cos2

d 
0
I  I0 cos 
 2
0
0
2
I
I

2


Luz não-polarizada
Luz
polarizada
verticalmente
Luz polarizada
para um ângulo

Filtro polarizadador vertical

27. Intensidade incidente da
radiação polarizada:
E||  E0 cos
E  E0 sin
Intensidade da radiação
polarizada ao longo de
:
2
0 ||
2
0
1
2
1
2
c
E
c
E 
I 
I  I0 cos
 2
Analisador – a luz incidente deve estar
polarizada

28. Reflexão e refração: Princípio de Huygens
Todos os pontos de uma frente de onda se
comportam como fontes pontuais para
ondas
secundárias.
Depois de um intervalo de tempo t, a nova posição
da frente onda é dada por uma superfície
tangente a estas ondas secundárias.

29. v1
v2
Índice de refração
n 
c
v

30. Reflexão especular x Reflexão difusa

31. Lei de Snell
n1  n2
2 
1
1
2
1
2
sen

n
n
sen 
n1  n2
2 
1

32. Reflexão interna total
Se a incidência se dá de um meio mais refringente para
outro menos refringente, ou seja, , há um
ângulo crítico acima do qual só há reflexão.
n1  n2
2
2
1 c 2
n sin  n sin


n


 1

n
  n

c  sin 1

2

n1
n2
n1 > n2

c

1

2
n1 sin1  n2
sin2

33. Reflexão interna total:
fibras ópticas

34. Dispersão Cromática
n 
n()
 n(1 ) 
n(2 )
Em geral, se 1 
2
Luz branca
Para cada cor, 1
igual,
2 muda.
n1 sin1  n2
sin2

35. Dispersão cromática: Formação do arco-íris
~ 42º

36. Reflexão de ondas
transversais
Corda com uma extremidade
fixa:
Pulso refletido invertido ao pulso incidente

37. Polarização por reflexão
A luz refletida por uma
superfície é totalmente
polarizada na direção
perpendicular ao plano de
incidência quando

i  refr 
2
Então







 i
i
2
2
n1 sin  n
sin
1
2
n
n
i
tan 

1
n
n
i  B  tan1
2
B
: ângulo de

B n1
n2

r
re
f







  
 2
refr
r

Raio incidente
(não-
polarizado)
Raio
refletido
(polarizado)
Raio
refratado
(fracamente
polarizado)