Elementos de Máquinas I: Análise de Tensões, Solicitações Estáticas e Dinâmicas

UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA
CAMPUS DE JOAÇABA
VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA
ELEMENTOS DE
MÁQUINAS I
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc.
Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008

Elementos de Máquinas I ii
Prof. Douglas Roberto Zaions
UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA
CAMPUS DE JOAÇABA
VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA
Disciplina de:
ELEMENTOS
DE
MÁQUINAS I
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc.
Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008

Este material foi elaborado para a disciplina de Elementos de Máquinas I do curso de
Engenharia de Produção Mecânica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa Catarina
Campus de Joaçaba
O trabalho apresenta citações dos autores pesquisados e referências bibliográficas, constituindo-
se em uma ótima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre os elementos de máquinas.
No mesmo são tratados assuntos como: analise de tensões, solicitações estáticas, solicitações
dinâmicas, eixos e árvores, parafusos de fixação e movimento, ligações entre cubo e eixo,
lubrificação industrial, mancais de deslizamento e mancais de rolamento.
Tem a finalidade de proporcionar aos acadêmicos o conteúdo básico da disciplina, com o intuito
de melhorar o aproveitamento dos mesmos.
Qualquer sugestão com referência ao presente trabalho, serão aguardadas, pois assim pode-se
melhorá-lo com futuras modificações.
Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions, MSc.

Elementos de Máquinas I iv
DOUGLAS ROBERTO ZAIONS
Engenheiro Mecânico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 1994 iniciou
o curso de especialização em Engenharia Mecânica na Universidade Federal de Santa Catarina obtendo o
grau de Especialista em Engenharia Mecânica. Em 2003 concluiu o curso de Mestrado em Engenharia de
Produção na Universidade Federal do Rio Grande do Sul na área de concentração de Gerência,
desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidação da Metodologia da Manutenção Centrada em
Confiabilidade em uma Planta de Celulose e Papel. Atualmente é doutorando do curso de Engenharia
Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina na área de concentração de Projeto de Sistemas
Mecânicos.
Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produção Mecânica de março/2000 até março/2006 e do
Curso de Tecnologia em Processos Industriais – Modalidade Eletromecânica de março/2000 até
Junho/2002 da UNOESC – Joaçaba.
Conselheiro Estadual e membro da Câmara Especializada de Engenharia Industrial do Conselho
Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, CREA – SC no período
de janeiro de 2001 até dezembro de 2003. Também foi Diretor do CREA – SC no período de janeiro de
2002 até dezembro de 2002.
Doze anos de docência em cursos técnicos, tecnológicos, engenharia e especialização na área
mecânica.
Professor de várias disciplinas da área de projetos nos cursos Técnico em Mecânica e Eletromecânica
do SENAI – CET Joaçaba.
É Professor do curso de Engenharia de Produção Mecânica da UNOESC – Joaçaba onde atua nas
disciplinas de Resistência dos Materiais, Elementos de Máquinas, Mecanismos, Processos de Usinagem e
Comando Numérico, Pesquisa Operacional, Projeto de Máquinas e Manutenção Mecânica. É também
pesquisador nas áreas de Projeto e Manutenção Industrial.
Professor dos cursos de Especialização em Engenharia de Manutenção Industrial e Gestão da
Produção da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando respectivamente a disciplina de
Manutenção de Elementos de Máquinas e Gestão da Manutenção. No curso de Especialização em
Projetos de Sistemas Mecânicos atua nas disciplinas de Metodologia de Projeto de Sistemas Mecânicos e
Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade.
É perito técnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas áreas automotiva e industrial na busca de causa
raiz de falhas.
Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina – Campus de Joaçaba
e-mail: douglas.zaions@unoesc.edu.br
Fone/Fax: (49) 3551 - 2035

ÍNDICE
1 ANÁLISE DE TENSÕES............................................................................................................................................11
1.1 PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO ...........................................................................................11
1.2 INTRODUÇÃO.........................................................................................................................................................11
1.3 DEFINIÇÕES...........................................................................................................................................................12
1.3.1 Tensão.........................................................................................................................................................12
1.3.2 Diagrama Tensão-Deformação ..................................................................................................................13
1.3.3 Ductilidade..................................................................................................................................................17
1.3.4 Maleabilidade .............................................................................................................................................18
1.3.5 Dureza.........................................................................................................................................................18
1.3.6 Resiliência...................................................................................................................................................18
1.3.7 Tenacidade..................................................................................................................................................18
1.4 TENSÕES ...............................................................................................................................................................19
1.4.1 Tensão Normal de Tração ou Compressão.................................................................................................19
1.4.2 Tensão de Corte devido ao Cisalhamento Simples .....................................................................................19
1.4.3 Tensão Normal na Flexão...........................................................................................................................21
1.4.4 Tensão de Cisalhamento na Torção............................................................................................................21
1.4.5 Tensão de Cisalhamento na Flexão............................................................................................................22
1.5 ANÁLISE DE TENSÕES ...........................................................................................................................................23
1.5.1 Tensões Principais......................................................................................................................................25
1.5.2 Círculo de Mohr..........................................................................................................................................28
1.6 EXERCÍCIOS...........................................................................................................................................................30
2 SOLICITAÇÕES ESTÁTICAS..................................................................................................................................33
2.2 INTRODUÇÃO.........................................................................................................................................................33
2.3 TEORIAS PARA FALHAS ESTÁTICAS........................................................................................................................34
2.3.1 Teoria da Tensão Normal Máxima .............................................................................................................35
2.3.2 Teoria da Tensão Máxima de Cisalhamento...............................................................................................37
2.3.3 Teoria de Huber-von Mises - Hencky ou da Máxima Energia de Distorção..............................................41
2.3.4 Comparação entre as três teorias aplicadas a materiais Dúcteis ..............................................................43
2.3.5 Teoria de Coulomb Mohr............................................................................................................................43
2.3.6 Teoria de Mohr Modificada........................................................................................................................44
2.4 CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ...............................................................................................................................46
2.4.1 Efeito da Concentração de Tensões em materiais dúcteis..........................................................................48
2.4.2 Efeito da Concentração de Tensões em materiais frágeis ..........................................................................48
2.5 EXERCÍCIOS...........................................................................................................................................................55
3 SOLICITAÇÕES DINÂMICAS.................................................................................................................................57

Elementos de Máquinas I vi
3.2 INTRODUÇÃO.........................................................................................................................................................58
3.3 TIPOS DE CARGA DINÂMICAS.................................................................................................................................58
3.3.1 Carga Repetida...........................................................................................................................................58
3.3.2 Carga Alternante ........................................................................................................................................59
3.3.3 Carga Flutuante..........................................................................................................................................60
3.4 MECANISMO DA FALHA POR FADIGA.....................................................................................................................61
3.5 MEDIÇÃO DAS FALHAS POR FADIGA......................................................................................................................62
3.5.1 Ensaio de flexão alternante - Tensões totalmente reversas ........................................................................62
3.5.2 Tensão limite de Resistência a Fadiga........................................................................................................65
3.5.3 Ensaio com força axial alternante..............................................................................................................65
3.5.4 Ensaio de flexão em viga engastada ...........................................................................................................67
3.5.5 Ensaio de Fadiga Torcional .......................................................................................................................67
3.5.6 Fatores de correção da Resistência a Fadiga ............................................................................................68
3.5.7 Valores teóricos de Se´ e Sf´........................................................................................................................69
3.5.8 Fator de correção do tipo de carga............................................................................................................69
3.5.9 Fator de correção do tamanho da peça......................................................................................................69
3.5.10 Fator de correção do Acabamento Superficial da Peça .............................................................................71
3.5.11 Fator de correção da temperatura..............................................................................................................72
3.5.12 Fator de correção da Confiabilidade .........................................................................................................72
3.6 INFLUÊNCIA DA COMBINAÇÃO DE TENSÕES MÉDIAS E ALTERNANTES....................................................................73
3.7 ENTALHES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES...........................................................................................................76
3.7.1 Fator de Concentração de Tensões aplicado a tensões médias e Alternantes............................................79
3.8 CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA TENSÃO X VIDA .....................................................................................................79
3.9 CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA MODIFICADO DE GOODMAN...................................................................................81
3.10 TEORIAS DE FALHA DINÂMICA .............................................................................................................................82
3.10.1 Cargas totalmente Alternantes com tensões Unidirecionais.......................................................................84
3.10.2 Cargas Flutuantes com Tensão Unidirecional ...........................................................................................85
3.10.3 Projetando para tensões multiaxiais na fadiga...........................................................................................89
3.10.4 Cargas totalmente alternantes com tensões multiaxiais.............................................................................89
3.10.5 Cargas Flutuantes com Tensões multiaxiais...............................................................................................90
3.11 EXERCÍCIOS...........................................................................................................................................................93
4 EIXOS E ÁRVORES...................................................................................................................................................95
4.1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................................................................95
4.2 DEFINIÇÕES...........................................................................................................................................................95
4.3 MATERIAIS PARA CONSTRUÇÃO DE EIXOS.............................................................................................................96
4.4 TENSÕES EM EIXOS E ÁRVORES ............................................................................................................................96
4.5 FALHA DE EIXOS COM TENSÕES COMBINADAS .....................................................................................................98
4.6 PROJETO DE EIXOS.................................................................................................................................................99
4.6.1 Regras Gerais para o projeto de eixos .......................................................................................................99
4.6.2 Projeto de Árvores combinando Flexão alternante e Torção Constante..................................................100
4.7 PROJETO DE EIXOS COMBINADO FLEXÃO FLUTUANTE E TORÇÃO FLUTUANTE ...................................................103

4.8 VELOCIDADE CRÍTICA DE EIXOS E ÁRVORE ........................................................................................................104
4.8.1 Vibração lateral forçada...........................................................................................................................105
4.8.2 Vibrações auto-excitadas..........................................................................................................................106
4.9 EXERCÍCIOS.........................................................................................................................................................108
5 PARAFUSOS DE FIXAÇÃO....................................................................................................................................114
5.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................................................114
5.2 VANTAGEM E DESVANTAGEM DAS UNIÕES PARAFUSADAS.................................................................................115
5.3 TERMINOLOGIA DE ROSCAS................................................................................................................................117
5.3.1 Rosca Whiworth........................................................................................................................................118
5.3.2 Rosca Sellers.............................................................................................................................................118
5.3.3 Rosca Métrica...........................................................................................................................................118
5.3.4 Padronização............................................................................................................................................119
5.4 ERROS QUE PODEM OCORRER NOS AJUSTES ROSCADOS ......................................................................................121
5.4.1 Erro de Passo............................................................................................................................................121
5.4.2 Erro no ângulo de Flancos α....................................................................................................................121
5.4.3 Erro do diâmetro de Flancos(efetivo).......................................................................................................122
5.5 TIPOS DE PARAFUSOS..........................................................................................................................................123
5.5.1 Parafuso passante normal ........................................................................................................................123
5.5.2 Parafuso com Cabeça...............................................................................................................................123
5.5.3 Parafuso Prisioneiro.................................................................................................................................124
5.5.4 Parafuso com porca nas duas extremidades.............................................................................................125
5.5.5 Parafuso com cabeça de embutir..............................................................................................................125
5.5.6 Parafusos com fenda na cabeça................................................................................................................126
5.5.7 Parafusos de Alta Resiliência ...................................................................................................................126
5.5.8 Parafusos Chumbadores...........................................................................................................................126
5.5.9 Parafusos para Metais Leves....................................................................................................................127
5.5.10 Parafusos de Anel .....................................................................................................................................127
5.5.11 Parafusos para madeira............................................................................................................................128
5.5.12 Parafusos auto-atarraxantes.....................................................................................................................128
5.5.13 Parafusos diferenciais ..............................................................................................................................128
5.6 PROCESSOS DE FABRICAÇÃO DE ROSCAS .............................................................................................................129
5.7 MATERIAIS DAS ROSCAS DOS PARAFUSOS ...........................................................................................................129
5.8 RESISTÊNCIA DOS PARAFUSOS DE FIXAÇÃO........................................................................................................130
5.9 ÁREA RESISTENTE A TRAÇÃO .............................................................................................................................133
5.10 PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A TRAÇÃO..........................................................................................134
5.11 PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A CARGAS ESTÁTICAS.........................................................................137
5.12 PRÉ-CARGA EM PARAFUSOS SUBMETIDOS A CARGAS DINÂMICAS........................................................................141
5.13 DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA DO MATERIAL ..................................................................................143
5.14 TORQUE DE APERTO ............................................................................................................................................144
5.15 SEGURANÇA CONTRA AFROUXAMENTO...............................................................................................................145
5.15.1 Segurança de força ...................................................................................................................................145

Elementos de Máquinas I viii
5.15.2 Segurança de Forma.................................................................................................................................147
5.15.3 Recomendação prática para parafusos prisioneiros ou sem cabeça........................................................149
5.15.4 Ligações por múltiplos parafusos.............................................................................................................149
5.16 AUMENTO DA RESISTÊNCIA À FADIGA EM LIGAÇÕES PARAFUSADAS ...................................................................150
5.16.1 Alívio do primeiro filete carregado...........................................................................................................150
5.16.2 Arredondamento da união da cabeça com haste ......................................................................................151
5.16.3 Angulo de saída da rosca..........................................................................................................................151
5.16.4 Redução das pontas de tensão na raiz da rosca .......................................................................................151
5.16.5 laminação da rosca; .................................................................................................................................152
5.16.6 Comprimento livre da rosca .....................................................................................................................152
5.16.7 Passo.........................................................................................................................................................152
5.16.8 Acabamento superficial ............................................................................................................................152
5.16.9 Fator de mola............................................................................................................................................152
5.16.10 Pré-carga..................................................................................................................................................152
5.16.11 Número de parafusos................................................................................................................................152
6 PARAFUSOS DE MOVIMENTO............................................................................................................................153
6.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................................................153
6.2 ANÁLISE DE FORÇA, TORQUE E POTÊNCIA PARA ACIONAMENTO DOS PARAFUSOS DE MOVIMENTO ....................154
6.2.1 Rosca Quadrada .......................................................................................................................................154
6.2.2 Rosca trapezoidal ou ACME.....................................................................................................................157
6.3 CONDIÇÃO DE AUTO-TRAVAMENTO DA ROSCA....................................................................................................158
6.4 EFICIÊNCIA DO PARAFUSO...................................................................................................................................158
7 LIGAÇÃO ENTRE CUBO E EIXO.........................................................................................................................159
7.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................................................159
7.2 CHAVETAS ..........................................................................................................................................................159
7.2.1 Tipos de Chavetas.....................................................................................................................................159
7.2.2 Tensões nas Chavetas ...............................................................................................................................161
7.3 EIXOS RANHURADOS...........................................................................................................................................165
7.3.1 Compressão no cubo.................................................................................................................................165
7.4 LIGAÇÃO POR AJUSTE PRENSADO CILÍNDRICO .....................................................................................................166
7.4.1 Determinação da Pressão Máxima...........................................................................................................167
7.4.2 Prensagem ou Martelamento....................................................................................................................174
7.4.3 Ajuste Prensado por Aquecimento/Esfriamento .......................................................................................175
7.5 AJUSTE PRENSADO CÔNICO.................................................................................................................................176
7.5.1 Determinação das Interferências..............................................................................................................176
7.5.2 Força Axial de Montagem - Pa..................................................................................................................177
7.5.3 Conicidade Recomendada.........................................................................................................................179
7.5.4 Deslocamento Axial ..................................................................................................................................179
7.6 EXERCÍCIOS.........................................................................................................................................................182
8 LUBRIFICAÇÃO INDUSTRIAL ............................................................................................................................184

8.1 LUBRIFICAÇÃO....................................................................................................................................................184
8.1.1 Tipos de Lubrificação ...............................................................................................................................184
8.2 SUBSTÂNCIAS LUBRIFICANTES............................................................................................................................187
8.2.1 Lubrificantes líquidos ...............................................................................................................................188
8.2.2 Lubrificantes Pastosos..............................................................................................................................188
8.2.3 Lubrificantes Sólidos ................................................................................................................................189
8.3 LUBRIFICANTES LÍQUIDOS ..................................................................................................................................189
8.3.1 Óleos Minerais..........................................................................................................................................189
8.3.2 Óleos Graxos ............................................................................................................................................191
8.3.3 Óleos Sintéticos.........................................................................................................................................192
8.3.4 Pastas Lubrificantes..................................................................................................................................193
8.3.5 Ceras Lubrificantes...................................................................................................................................194
8.4 PROPRIEDADES DOS LUBRIFICANTES...................................................................................................................195
8.4.1 Propriedades Físicas ................................................................................................................................195
8.4.2 Propriedades Químicas ............................................................................................................................198
8.4.3 Propriedades Práticas ..............................................................................................................................199
8.4.4 Propriedades específicas das Graxas Lubrificantes.................................................................................201
8.5 LUBRIFICANTES DO SETOR ALIMENTÍCIO............................................................................................................204
8.5.1 Leis de Regulamentação ...........................................................................................................................204
8.5.2 Considerações sobre a lubrificação no setor alimentício.........................................................................206
8.5.3 Lubrificantes de alto rendimento do setor alimentício .............................................................................210
8.5.4 Qualidade através de GMP e HACCP......................................................................................................212
8.6 ORGANIZAÇÃO DA LUBRIFICAÇÃO......................................................................................................................214
8.6.1 Fase da Implantação.................................................................................................................................214
8.6.2 Controle ....................................................................................................................................................219
8.6.3 Manuseio e Armazenagem de Lubrificantes .............................................................................................221
8.6.4 Reciclagem dos Óleos Usados ..................................................................................................................224
9 MANCAIS DE DESLIZAMENTO ..........................................................................................................................226
9.1 TIPOS DE MANCAIS ..............................................................................................................................................227
9.1.1 Mancais Radiais........................................................................................................................................227
9.1.2 Mancais Axiais ou de Escora....................................................................................................................228
9.2 COEFICIENTE DE ATRITO.....................................................................................................................................230
9.3 MECÂNISMO DE FORMAÇÃO DA PELÍCULA .........................................................................................................232
9.4 TEORIA HIDRODINÂMICA.....................................................................................................................................235
9.5 MÓDULO DO MANCAL .........................................................................................................................................237
9.6 CONSIDERAÇÕES SOBRE A TEMPERATURA...........................................................................................................239
9.7 EQUILÍBRIO TÉRMICO ..........................................................................................................................................241
9.8 MATERIAIS..........................................................................................................................................................242
9.9 PROJETO DE MANCAL..........................................................................................................................................244
9.10 TABELAS E ÁBACOS PARA UTILIZAÇÃO EM MANCAIS DE DESLIZAMENTO.........................................................248
9.11 EXERCÍCIOS.........................................................................................................................................................254

Elementos de Máquinas I x
10 MANCAIS DE ROLAMENTO............................................................................................................................255
10.1 TIPOS DE MANCAIS DE ROLAMENTO ...................................................................................................................256
10.2 ATRITO NOS MANCAIS DE ROLAMENTO ..............................................................................................................259
10.3 SELEÇÃO DE ROLAMENTOS SEGUNDO A ISO.......................................................................................................260
10.3.1 Carga Dinâmica Equivalente....................................................................................................................264
10.4 SELEÇÃO DO TAMANHO DO ROLAMENTO UTILIZANDO-SE A CAPACIDADE DE CARGA ESTÁTICA ..........................265
10.4.1 Carga estática equivalente........................................................................................................................266
10.4.2 Capacidade de carga estática requerida ..................................................................................................267
10.5 PLANOS DE DIMENSÕES ......................................................................................................................................268
10.6 FOLGA INTERNA..................................................................................................................................................269
10.7 LUBRIFICAÇÃO....................................................................................................................................................270
10.8 VEDAÇÃO............................................................................................................................................................271
10.8.1 Vedadores integrados ...............................................................................................................................271
10.8.2 Vedadores externos...................................................................................................................................272
10.9 APLICAÇÃO DE ROLAMENTOS .............................................................................................................................274
10.9.1 Arranjo de rolamentos ..............................................................................................................................274
10.9.2 Fixação radial dos rolamentos .................................................................................................................275
10.9.3 Fixação axial dos rolamentos...................................................................................................................275
10.9.4 Métodos de Fixação..................................................................................................................................275
10.9.5 Seleção do lubrificante .............................................................................................................................277
10.9.6 Lubrificação com Graxa...........................................................................................................................278
10.9.7 Métodos de lubrificação com graxa..........................................................................................................283
10.9.8 Características dos óleos..........................................................................................................................286
10.10 ÓLEOS E GRAXAS PARA LUBRIFICAÇÃO DE ROLAMENTOS.............................................................................294
10.11 EXERCÍCIOS....................................................................................................................................................297
11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................................298

UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 11
1 ANÁLISE DE TENSÕES
1.1 PRINCIPAIS VARIÁVEIS UTILIZADAS NESTE CAPÍTULO
Símbolo Descrição da variável Unidade Descrição da variável em inglês
A Área m2
Area
E Módulo de elasticidade longitudinal Pa Young’s modulus
G Módulo de elasticidade transversal Pa Shear modulus
HB Dureza Brinell - Brinell hardness
HRB Dureza Rockwell B - Rockell B hardness
HRC Dureza Rockwell C - Rockell C hardness
HV Dureza Vickers - Vickers hardness
Sel Limite de resistência elástica Pa Strenght at elastic limit
Sus Limite de resistência ao cisalhamento Pa Ultimate shear strenght
Sut Limite de resistência a tração Pa Ultimate tensile strenght
Sy Resistência ao escoamento a tração Pa Tensile yield strenght
Sys Resistência ao escoamento ao cisalhamento Pa Shear yield strenght
ε Deformação percentual Strain
σ Tensão normal Pa Tensile stress
τ Tensão de corte, cisalhamento ou tangencial Pa Shear stress
θ Deflexão angular Pa Angular deflection
ν Coeficiente de Poisson Poisson’s ratio
Τ Momento Torçor N.m Torque
Μ Momento Fletor N.m Moment
P Carga N Force
1.2 INTRODUÇÃO
Segundo Baud em máquinas e estruturas, a manifestação das forças apresenta-se sob aspectos muito
diferentes. Podem ser exteriores ou estar, pelo contrário, no interior dos elementos e por outro lado, são
suscetíveis de se exercer sob muitos modos: podem ser estáticas, quer dizer, fixas e sem movimento, ou
dinâmicas (ou seja animadas) e produzir assim efeitos bem diferentes.
A aparição das forças ou das solicitações se deve a diversas fontes dentre as quais: (i) A gravitação
gera a força peso em máquinas e equipamentos; e (ii) O vento, os efeitos térmicos (Dilatação) e químicos
podem também gerar forças cujos efeitos desenvolvem as solicitações nos equipamentos.
Quaisquer que sejam as fontes que produzam solicitações, estas determinam esforços nos materiais.
Estes esforços, verificados pelos cálculos da estática, servem para prever as características dos materiais
que devem ser empregados ou para dar a estes as dimensões adequadas.
Quando um elemento é mal dimensionado, e no mesmo é aplicada uma carga, este poderá sofrer uma
deformação permanente e em muitos casos chegar a ruptura.

Elementos de Máquinas I 12
Na construção de máquina, deve-se sempre evitar as deformações plásticas nas peças, o que
ocasionará variação na geometria das mesmas e normalmente modificação na relação funcional. As falhas
mais correntes em engenharia são quebras e desintegrações. Ex.: corrosão, desgaste, trincas, etc., mas
estes exemplos são praticamente inevitáveis em um maior ou menor espaço de tempo, pois todos os
materiais são passíveis de deterioração.
Assim, há a necessidade de determinar o nível de tensões atuantes em peças e componentes mecânicos
para dimensiona-los.
Este capítulo trata especificamente sobre tensões, onde serão descritos os tipos de tensões.
1.3 DEFINIÇÕES
1.3.1 Tensão
Tensão é a quociente entre uma força e uma área. Pode ser entendida pela fórmula e ilustração na
Figura 1.1, onde F é a força agindo em uma peça e A é a área de sua seção.
Tensao
Forca
Area
=
As unidades da tensão podem ser:
N
m
kgf
cm
kgf
mm2 2 2
; ;
No Sistema Internacional de Unidades utiliza-se o 2
m
N
F
F
F
Área da Seção
Transversal
Peça Tracionada
Figura 1.1 - Tensão Normal devida ao esforço de tração

Em função do tipo de solicitação (Tração, Compressão, Flexão, Cisalhamento, Torção) aplicada em
um elemento mecânico, poderão surgir dois tipos de tensões(Figura 1.2): (i) Tensão normal
(Representada por σ “sigma”); e (ii) Tensão tangencial, de corte ou cisalhante (Representada por τ
“Tau”).
Superfície
Figura 1.2 - Tipos de Tensões: σ -Tensão Normal; τ - Tensão Tangencial
1.3.2 Diagrama Tensão-Deformação
Quando um corpo de prova é submetido a um ensaio de tração a máquina de ensaio fornece um
gráfico (Figura 1.3) que mostra as relações entre a força aplicada e as deformações ocorridas durante o
ensaio.
Para determinar as propriedades do material o que interessa é a relação entre tensão e deformação.
Figura 1.3 - Diagrama Tensão x Deformação

No gráfico tensão x deformação, os valores de deformação estão representados pela letra grega ε no
eixo das abscissas (x) e os valores de tensão ou força indicados no eixo das ordenadas (y).
A curva de Tensão x Deformação de um dado material é obtida, submetendo corpos de prova (Figura
1.4) padronizados deste material a um ensaio de tração em uma máquina de ensaio (Figura 1.5), que
possui um sistema de processamento o qual por meio de sensores/transdutores mede a força aplicada no
corpo de prova e a respectiva deformação, processa essas informações e emite um gráfico Tensão x
Deformação.
Figura 1.4 - Corpo de prova
Figura 1.5 - Máquina de Ensaio de Tração
A curva resultante apresenta certos pontos características que são comuns a diversos tipos de materiais
usados na área engenharia mecânica(Figura 1.6).

A
ε
A’
B
Limite de
Elasticidade
Limite de
Proporcionalidade
Limite de
Resistência
Escoamento
Limite de
Ruptura
Fase Elástica Fase Plástica
Sut
Sy
Tensão
Deformação
C
Figura 1.6 - Diagrama Tensão x Deformação
Os pontos comuns ilustrados na Figura 1.6 são:
Limite de Proporcionalidade:
A lei de Hooke só vale até um determinado valor de Tensão, denominado Limite de
Proporcionalidade, que é o ponto representado na figura 6 pela letra A, a partir do qual a deformação
deixa de ser proporcional à carga aplicada.
Exemplo: Se aplicarmos uma tensão de 10 MPa e a peça se alongar 0,1%, quando aplicamos uma
tensão de 100 MPa, a peça se deformará 1%.
Limite de Elasticidade:
O limite elástico representado no diagrama acima pela letra A’. Este ponto representa a tensão
máxima que pode ser aplicado a uma barra sem que apareçam deformações residuais, ou permanentes,
após a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e
proporcionalidade são praticamente iguais e esses termos são então empregados como sinônimos. Nos
casos em que são diferentes, em geral o limite de elasticidade é maior do que o de proporcionalidade.

Fase Elástica:
O trecho da curva tensão-deformação, compreendido entre a origem e o limite de elasticidade recebe o
nome de fase elástica ou região elástica.
Fase Plástica:
Chama-se de fase plástica ou região plástica o trecho do diagrama compreendido entre o limite de
elasticidade e o ponto correspondente à ruptura do material.
Resistência ao Escoamento:
Terminada a fase elástica, tem início a fase plástica, na qual ocorre uma deformação permanente no
material, mesmo que se retire a força de tração.
Em um ponto pouco acima do limite de elasticidade, aumentam as deformações sem que se altere,
praticamente o valor da tensão. Quando se atinge o limite de escoamento, diz-se que o material passa a
escoar. Durante o escoamento, a carga ou a tensão oscila entre valores muito próximos uns dos outros.
Este ponto do gráfico é simbolizado por Sy e chamado Resistência ao Escoamento por tração, quando
o respectivo ensaio é o de tração.
Sy
Strength (Resistência)
Yield ( Escoamento)
Limite de Resistência:
Após o escoamento ocorre um encruamento que é um endurecimento causado pela quebra dos grãos
que compõem o material quando deformado a frio. O material resiste cada vez mais a tração externa,
exigindo uma tensão cada vez maior para se deformar.
Nessa fase, a tensão recomeça a subir, até atingir um valor máximo num ponto chamado de limite de
resistência caracterizado no gráfico pelo ponto B.
Este ponto do gráfico é simbolizado por Sut e chamado Limite de Resistência a Tração, quando o
respectivo ensaio é o de tração.
Sut
Strength (Resistência)
Ultimate Tensile ( Limite de Tração)

Limite de ruptura
Continuando a tração, chega-se à ruptura do material, que ocorreu num ponto chamado de Limite de
ruptura caracterizado no gráfico pelo ponto C.
Note que a tensão no limite e ruptura é menor que no limite de resistência, devido à diminuição da
área que ocorre no corpo de prova depois que se atinge a carga máxima.
Estricção:
É a redução percentual da área da seção transversal do corpo de prova na região onde vai se localizar a
ruptura.
A estricção determina a ductilidade do material. Quanto maior for a percentagem de estricção, mais
dúctil será o material.
Módulo de Elasticidade:
Na fase elástica, se dividirmos a tensão pela deformação, em qualquer ponto obteremos sempre um
valor constante.
Este valor constante é chamado módulo de elasticidade. Quando relacionado com tensões normais, é
chamado de módulo de elasticidade longitudinal e simbolizado pela letra E. Quando relacionado com
tensões tangenciais, é chamado módulo de elasticidade transversal e simbolizado pela letra G.
O módulo de elasticidade é a medida da rigidez do material. Quanto maior for o módulo, menor será a
deformação elástica resultante da aplicação de uma força ou tensão e mais rígido será o material.
1.3.3 Ductilidade
Ductilidade é a propriedade que apresentam certos materiais de absorverem sobrecargas por um tempo
maior que o normal, a custa de uma maior deformação plástica, antes de haver ruptura.
A ductilidade é medida pela percentagem de elongação (deformação) que o material apresenta no
momento da ruptura.
Materiais são ditos frágeis para elongação até 5%.
Materiais são ditos dúcteis para elongação maior que 5%.

Esta propriedade é muito importante nos casos em que trabalhamos o material a frio (Trefilação,
Forjamento, etc..).
T
Deformação
T
Deformação
(a) Frágil (b) Dúctil
FraturaFratura
Figura 1.7 - Exemplo de materiais de mesma dureza e resistência
1.3.4 Maleabilidade
Quando a ductilidade é referida em função da carga de compressão, passa a ser chamada de
maleabilidade.
1.3.5 Dureza
Quando o material é resistente ao desgaste, a erosão, a deformação plástica é dito duro. Os testes de
dureza mais usados são: BRINELL, ROCKWELL, VICKERS e SHORE.
1.3.6 Resiliência
A resiliência de um material é sua capacidade de absorver energia no campo elástico das
deformações, ou seja, é a energia armazenada por um corpo solicitado até o seu limite elástico.
1.3.7 Tenacidade
Tenacidade é a habilidade de um material de absorver energia no campo plástico. A maioria das
autoridade no assunto estão de acordo com esta definição, mas há muito desacordo a respeito de como se
pode medir a tenacidade. Alguns dizem que a resistência ao impacto do material é a melhor medida,
outros preferem usar o diagrama tensão - deformação de várias maneiras. O diagrama, contudo é uma
avaliação das propriedades estáticas, enquanto tenacidade é uma propriedade desejável em peças sujeitas
a choques e impactos, o que implicaria em ser ela medida dinamicamente.

1.4 TENSÕES
Nesta seção, analisaremos as tensões desenvolvidas em um elemento mecânico sujeito a cargas
externas e as tensões principais originadas em outros planos devido as tensões aplicadas.
1.4.1 Tensão Normal de Tração ou Compressão
A tensão Normal é originada pela aplicação de uma carga normal P de tração ou compressão. A
direção dos vetores da tensão normal são perpendiculares a superfície da peça sujeita ao esforço de tração
ou compressão. A distribuição da tensão ao longo seção da peça é uniformemente distribuída.(Figura 1.8)
A tensão normal desenvolvida para o caso de tensão axial simples pode ser calculada por:
Equação 1.1
A
P
x =σ
Onde:
P – Força aplicada (Tração ou Compressão);
A – Área da seção transversal;
Este tipo de solicitação pode ser encontrado em diversos elementos mecânicos tais como: parafusos,
rebites, elementos estruturais, treliças, eixos, cabos de aço, etc...
z
y
x
σ
Figura 1.8 - Distribuição da Tensão normal
1.4.2 Tensão de Corte devido ao Cisalhamento Simples
Este tipo de tensão ocorre principalmente em pinos, parafusos ou rebites. Também é conhecida
simplesmente por tensão de cisalhamento.
A tensão de corte devido ao cisalhamento simples ocorre em situações onde não há flexão presente. A
Figura 1.9 ilustra duas situações: (a) Cisalhamento Simples e (b) Cisalhamento com Flexão.

P
x
P
P
P
(a) (b)
A
Figura 1.9 - Comparação entre o cisalhamento simples e com flexão
A tensão de cisalhamento é do tipo tangencial, pois os vetores que representam à tensão são tangentes
a superfície da peça. As tensões tangenciais originadas com os esforços de Cisalhamento são
uniformemente distribuídas pela área e são representadas conforme Erro! Fonte de referência não
encontrada. .
z
y
x
τ
Figura 1.10 - Distribuição das Tensões Tangenciais devido ao Cisalhamento Puro
A tensão cisalhante desenvolvida pode ser calculada por:
Equação 1.2
Corte
xy
A
P
=τ
Onde:
P – Força aplicada;
ACorte – Área de corte;

1.4.3 Tensão Normal na Flexão
A tensão desenvolvida na Flexão é também do tipo Normal, porém, sua distribuição não é uniforme
ou seja: A tensão máxima ocorre na periferia da peça, enquanto sobre a linha neutra, a tensão é
nula.(Figura 1.11)
z
y
x
σ
Figura 1.11 - Distribuição de Tensões devido a Flexão
A tensão normal devido ao momento fletor é calculada a partir da equação:
Equação 1.3
I
cM ⋅
=σ
onde:
M – Momento Fletor;
c – Distância da Fibra Neutra a fibra que se deseja calcular a tensão;
I – Momento de inércia;
1.4.4 Tensão de Cisalhamento na Torção
A tensão desenvolvida na torção é do tipo tangencial ou cisalhante e apresenta uma distribuição não
uniforme (Figura 1.12). Esta tensão também, assim como a de cisalhamento é tangente á seção da peça.

z
y τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
Figura 1.12 - Distribuição da Tensão de Cisalhamento na Torção
A tensão Cisalhante devido ao momento torçor é calculada a partir da equação:
Equação 1.4
J
rT ⋅
=τ
onde:
T – Momento torçor;
r – Raio de giração;
J – Momento de inércia polar;
1.4.5 Tensão de Cisalhamento na Flexão
Quando a força cortante e uma viga não for zero, desenvolve-se uma tensão cisalhante cuja
intensidade máxima depende da forma geométrica de sua seção transversal. A tensão cisalhante máxima
devido a flexão ocorre em pontos onde a tensão normal devido a flexão é nula.
A Figura 1.13 ilustra a distribuição de tensões cisalhantes na flexão para uma seção transversal
circular. Observe que a máxima tensão cisalhante ocorre no eixo x (linha neutra).

z
y
x
τ
Figura 1.13 - Distribuição de tensões cisalhantes na flexão para seção circular.
Para uma seção retangular, a tensão cisalhante máxima na flexão é calculada a partir da Erro! Fonte
de referência não encontrada..
Equação 1.5
A
V
⋅
⋅
=
2
3
maxτ
Para uma seção circular, a tensão cisalhante máxima na flexão é calculada a partir da Erro! Fonte de
referência não encontrada..
Equação 1.6
A
V
⋅
⋅
=
3
4
maxτ
Para uma seção circular oca, a tensão cisalhante máxima na flexão é calculada a partir da Erro! Fonte
de referência não encontrada..
Equação 1.7
A
V⋅
=
2
maxτ
Onde:
V – Esforço de Corte;
A – Área da seção transversal;
1.5 ANÁLISE DE TENSÕES
Conforme já definido, tensão é força por área. Qualquer elemento infinitesimal de um material pode
estar submetido a diversos tipos de tensões ao mesmo tempo. Este elemento infinitesimal, geralmente é
modelado como paralelepípedo, conforme ilustrado na Figura 1.14.

x
y
σy
σ
σy
τ xy
τ τ
τ
τ
x
x
x
x
y
z
z
z
z
z
τyz
Figura 1.14 - Paralepípedo elementar, suas superfícies e componentes de tensão
Para o estado plano de tensões, considera-se o retângulo ilustrado na Figura 1.15.
x
y
σy
σy
σ
σ
τ xy
τ xy
τ
τ
x
x
x
x
y
y
Figura 1.15 - Componentes de tensão no estado biaxial
Considera-se que as tensões agem nas faces destes cubos, de duas maneiras:
1. Tensões Normais: Agem perpendicularmente as faces. Tendem a puxar o elemento ( tensão
normal de tração) ou a empurrá-lo (tensão normal de compressão).
2. Tensões Cisalhantes: Agem paralelamente as faces do cubo aos pares e em faces opostas. As
tensões cisalhantes são positivas, se atuam no sentido positivo de um eixo de referência estas
tensões tendem a distorcer o cubo na forma romboédrica.
O primeiro índice representa a coordenada normal à face do paralepípedo. O segundo índice indica o
eixo paralelo a tensão representada.
Muitos elementos de máquinas estão sujeitos ao estado tridimensional de tensão, porém outros casos
podem ser tratados como estado de tensões bidimensional ou estado plano de tensões.

1.5.1 Tensões Principais
Para qualquer combinação de tensões aplicadas no paralelepípedo elementar (Figura 1.16), haverá
sempre uma distribuição de tensões ao redor deste ponto. As tensões normais e cisalhantes irão variar.
Haverá planos onde a tensão cisalhante será nula. As tensões normais agindo nestes planos são chamadas
tensões principais (Figura 1.17) e os planos são chamados de planos principais. O eixo normal ao plano
principal é chamado de eixo principal. Há outro conjunto de eixos ortogonais no qual a tensão cisalhante
será máxima. A tensão principal de cisalhamento ocorre em um plano a 45o
do plano principal.
σy
σy
σ
σ
τ xy
τ xy
τ
τ
x
x
x
x
y
y
Figura 1.16 - Combinação de tensões normais e tangenciais em um cubo elementar
σ
σ
σ
σ
1
1
2
2
φ
Figura 1.17 - Tensões Principais e Planos Principais
τ
τ
τ
τ
21
21
12
12
θ
Figura 1.18 - Tensões Principais de Cisalhamento

Do ponto de vista da engenharia, procuraremos sempre projetar os elementos de máquinas de modo a
não falharem. Para isto, sempre necessitaremos calcular a maior tensão, seja ela normal ou tangencial, nos
pontos mais críticos da peça que faz parte da máquina.
A expressão que relaciona as tensões aplicadas com as tensões principais para o estado tridimensional
é:
Equação 1.8 0CCC 01
2
2
3
=−⋅−⋅− σσσ
onde:
Equação 1.9 zyx σσσ ++=2C
Equação 1.10 xzzyyxzxyzxy σσσσσστττ ⋅−⋅−⋅−++= 222
1C
Equação 1.11
222
0 2C xyzzxyyzxzxyzxyzyx τστστστττσσσ ⋅−⋅−⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅=
As três tensões normais principais σ1, σ2 e σ3, são as três raízes deste polinômio (Figura 1.8) de
terceiro grau. As raízes deste polinômio são sempre reais de modo que σ1>σ2>σ3.
As tensões principais de cisalhamento podem ser encontradas a partir das tensões principais normais
usando:
Equação 1.12
2
31
13
σσ
τ
−
=
Equação 1.13
2
12
21
σσ
τ
−
=
Equação 1.14
2
23
32
σσ
τ
−
=
As direções dos vetores das tensões principais podem ser encontrados substituindo cada uma das
raízes na matriz abaixo (Equação 1.15) e resolvendo nx, ny e nz. A direção das três tensões principal são
mutuamente ortogonais.

Equação 1.15
0=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
z
y
x
zzyzx
yzyyx
xzxyx
n
n
n
σσττ
τσστ
ττσσ
onde:
σ - Intensidade das tensões principais;
nx, ny, nz - Coseno da direção do vetor unitário n o qual é normal ao plano principal.
Equação 1.16 1ˆˆ =⋅nn
Equação 1.17 knjninn zyx
ˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅=
Da Resistência dos Materiais, temos do mesmo modo as equações básicas para determinar as tensões
principais e seus planos:
Equação 1.18 σ
σ σ σ σ
φ τ φ=
+
+
−
⋅ − ⋅
x y x y
xy
2 2
2 2cos sen
Equação 1.19 τ
σ σ
φ τ φ=
−
⋅ + ⋅x y
xy
2
2 2sen cos
sendo: τxy=-τyx
A variação de 2φ será:
00 ≤2φ≤ 3600
O ângulo φ variará então de:
00 ≤φ≤1800
Para localizarmos as tensões máxima e mínima, devemos determinar o valor do ângulo 2φ, que é dado
pelas seguintes expressões:
Equação 1.20 tg
x y
xy
2
2
φ
σ σ
τ
=
−

Simplificando as equações acima chega-se a:
Equação 1.21 σ σ
σ σ σ σ
τ1 2
2
2
2 2
, =
+
±
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +x y x y
xy
Equação 1.22 τ τ
σ σ
τmax min
x y
xy, = ±
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
2
2
2
Equação 1.23 τ τ
σ σ
max min, = ±
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 2
2
1.5.2 Círculo de Mohr
Tomando-se um eixo de coordenadas cartesianas, toma-se a tensão normal sobre o eixo das abcissas e
as tensões de corte ou cisalhamento sobre o eixo das ordenadas. A determinação dos pontos é feita através
de suas coordenadas que tem para valores,σx, σy, τxy e φ.
São dados os seguintes valores: Ponto D (σx, τxy) e Ponto E (σy, τyx)
Sendo σx e σy tensões normais e ortogonais entre si e τxy=-τyx
τ
τ
τ
τ
τ
φ
min
max
2
B F
G
D
φ
yx
xy
0
E
σ2
σy
σ1
σx
σ
Figura 1.19 - Círculo de Mohr
A Tabela 1.1 indica a propriedades mecânicas de alguns aços comuns utilizados em projetos
mecânicos.

Tabela 1.1 - Propriedades Mecânicas dos Aços Comuns
Classificação
SAE/ANSI
Estado Limite de
Resistência à
Tração
Sut
MPa
Resistência ao
Escoamento
Sy
MPa
Alongamento
em 50,0 mm
(%)
Estricção
(%)
Dureza
Brinell
HB
1015 Laminado 420,6 313,7 39,0 61,0 126
Normalizado 424,0 324,1 37,0 69,6 121
Recozido 386,1 284,4 37,0 69,7 111
1020 Laminado 448,2 330,9 36,0 59,0 143
Normalizado 441,3 346,5 35,8 67,9 131
Recozido 394,7 294,8 36,5 66,0 111
1030 Laminado 551,6 344,7 32.,0 57,0 179
Normalizado 520,6 344,7 32,0 60,8 149
Recozido 463,7 341,3 31,2 57,9 126
1040 Laminado 620,5 413,7 25,0 50,0 201
Normalizado 589,5 374,0 28,0 54,9 170
Recozido 518,8 353,4 30,2 57,2 149
1050 Laminado 723,9 413,7 20,0 40,0 229
Normalizado 748,1 427,5 20,0 39,4 217
Recozido 636,0 365,4 23,7 39,9 187
1095 Laminado 965,3 572,3 9,0 18,0 293
Normalizado 1013,5 499,9 9,5 13,5 293
Recozido 656,7 379,2 13,0 20,6 190
1118 Laminado 521,2 316,5 32,0 70,0 149
Normalizado 477,8 319,2 33,5 65,9 143
Recozido 450,2 284,8 34,5 66,8 131
3140 Normalizado 891,5 599,8 19,7 57,3 262
Recozido 689,8 422,6 24,5 50,8 197
4130 Normalizado 668,8 436,1 25,5 59,5 197
Recozido 560,5 360,6 28,2 55,6 156
4140 Normalizado 1020,4 655,0 17,7 46,8 302
Recozido 655,0 417,1 25,7 56,9 197
4340 Normalizado 1279,0 861,8 12,2 36,3 363
Recozido 744,6 472,3 22,0 49,9 217
6150 Normalizado 939,8 615,7 21,8 61,0 269
Recozido 667,4 412,3 23,0 48,4 197
8650 Normalizado 1023,9 688,1 14,0 48,4 302
Recozido 715,7 386,1 22,5 46,4 212
8740 Normalizado 929,4 606,7 16,0 47,9 269
Recozido 695,0 415,8 22,2 46,4 201
9255 Normalizado 932,9 579,2 19,7 43,4 269
Recozido 774,3 112,3 70,5 41,1 229

1.6 EXERCÍCIOS
1 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m e
F = 2000 N calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B).
EPMUNOESC - Joaçaba
a
d
A
B
F
P = 2500 N calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B).
P
a
d
A
B
T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste (pontos A e B).
a
d
A
B
T

4 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, P
= 2500 N e T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste
(pontos A e B).
P
a
d
A
B
T
5 – Para o elemento de máquina mostrado na figura abaixo, considerando que a = 0,25 m, d = 0,020 m, F
= 2000 N e T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste
(pontos A e B).
a
d
A
B
T
F
= 2500 N, F = 2000 N e T = 250 N.m calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no
engaste (pontos A e B).
a
d
P
A
B
T
F

= 2500 N e F = 2000 N calcular as tensões principais e esboçar as tensões desenvolvidas no engaste
(pontos A e B).
a
d
P
A
B
F

2 SOLICITAÇÕES ESTÁTICAS
σ~ Tensão efetiva de Mohr modificada Pa Modified-Mohr efective stress
Kt Fator de concentração de tensões aplicado a
tensão normal
- Geometric stress concentration
factor – normal stress
Kts Fator de concentração de tensões aplicado a
tensão cisalhante
- Geometric stress concentration
factor – shear stress
Suc Limite de resistência a compressão Pa Ultimate compressive strenght
Ν Coeficiente de Segurança - Safety factor
σ Tensão normal Pa Normal stress
σ’ Tensão efetiva de von-Misses Pa Von Mises effective stress
σ1 2, 3 Tensões principais Pa Principal stresses
σmax Tensão normal máxima aplicada Pa Maximum applied normal stress
σmin Tensão normal mínima aplicada Pa Minimum applied normal stress
σx Tensão normal na direção x Pa
σy Tensão normal na direção y Pa
τ Tensão tangencial ou cisalhante Pa Shear stress
τmax Tensão de corte máxima aplicada Pa
τxy Tensão cisalhante aplicada no plano x e na
direção y
Pa Shear stresses that act on the x
face and whose direction of action
are paralel to the y axes
τyx Tensão cisalhante aplicada no plano y e na
direção x
Pa Shear stresses that act on the y
face and whose direction of action
are paralel to the x axes
2.2 INTRODUÇÃO
Porque as peças falham?
Essa é uma pergunta que tem instigado o estudo de cientistas e engenheiros a séculos. Atualmente se
possui muito mais conhecimento para responder a esta pergunta do que algumas décadas atrás. Isso se
deve ao grande número de ensaios em materiais que se desenvolveu até o momento e também devido ao
melhoramento nas técnicas de medição.

Se você respondesse a pergunta acima provavelmente diria que a peça falhou porque a tensão aplicada
ultrapassou o limite de resistência da peça e certamente você não estaria errado porém, devido a qual tipo
de tensão? Compressão? Tração? Cisalhamento? A resposta para esta pergunta é o tradicional “depende”.
A falha depende do material em questão e de sua resistência a compressão, a tração, ao cisalhamento.
Depende também das características do carregamento (estático ou dinâmico) e certamente da presença ou
ausência de trincas ou fissuras no material.
Neste capítulo estaremos preocupados em estudar as solicitações estáticas, especificamente as teorias
usadas no dimensionamento de peças mecânicas sujeitas a carregamentos estáticos. Também daremos
atenção a concentração de tensões.
A solicitação estática é aquela caracterizada pelo valor constante da tensão ao longo do tempo, ou
então com variação tão lenta ao longo do tempo que o efeito de massa ou inércia é desprezível. No caso
de haver variação, a mesma chega a um máximo e então permanece constante conforme ilustrado na
Figura 2.1.
Tempo
Tensão
Nível de Tensão constante no
tempo
Figura 2.1 - Solicitação Estática
Este tipo de solicitação geralmente ocorre em estruturas de sustentação de máquinas e equipamentos.
2.3 TEORIAS PARA FALHAS ESTÁTICAS
Durante os últimos 300 anos, inúmeros cientistas, engenheiros e pesquisadores tentaram explicar os
fenômenos das falhas estáticas. Após muito trabalho, foram determinadas algumas teorias que são até o
momento muito utilizadas no dimensionamento de elementos mecânicos. As teorias são divididas para
materiais dúcteis e frágeis, uma vez que os mecanismos que originam a falha são diferentes.
Apresentaremos aqui, as teorias para materiais dúcteis e para materiais frágeis.

2.3.1 Teoria da Tensão Normal Máxima
Esta teoria, estabelece que a falha ocorre sempre que a maior tensão principal se iguala ao limite de
escoamento ou à resistência a ruptura do material.
Se estabelecermos que σ1 é a maior das tensões principais, esta teoria estabelece que a falha por
escoamento ocorrerá sempre que σ1 = σe e a falha por ruptura ocorrerá sempre que σ1 = σr.
Esta teoria estabelece que somente a maior tensão principal conduz à falha e deve-se desprezar as
demais.
Devido a este fato, esta teoria é importante somente para fins de comparação. Suas previsões não
concordam com a experiência e ela pode conduzir a resultados inseguros.
Elaborando-se um gráfico com as tensões σe t e σe c e marcando-se as tensões σ1 e σ2, num sistema de
eixos ortogonais, esta teoria estabelece que a falha ocorrerá sempre que um ponto cujas coordenadas
sejam σ1 e σ2 cai sobre ou fora do gráfico. Os pontos situados no primeiro e terceiro quadrantes estão na
região segura, enquanto que os pontos nos demais quadrantes estão numa região insegura.
Neste critério, nota-se que só se obtém um verdadeiro ponto de teste onde o diagrama corta o eixo
+ σ1− σ1
− σ2
+ σ2
+ Sy
+ Sy− Sy
− Sy
Sut
Sut
Suc
Suc
Critério de escoamento
Critério de ruptura
Figura 2.2 - Gráfico da Teoria da Tensão Normal Máxima
Conforme o critério de falha escolhido (escoamento ou ruptura), a teoria da tensão norma máxima
estabelece que a falha ocorrerá quando:

Equação 2.1 σ1 = Sy ou σ1 = -Sy e σ1 = Sut ou σ1 = Suc
Se o critério de falha for o escoamento, o fator de segurança N pode ser determinado por:
N
Sy
=1σ ou
N
Sy−
=1σ
Se o critério de falha for a ruptura, o fator de segurança N pode ser determinado por:
Equação 2.2
N
Sut
=1σ ou
N
Suc
=1σ
Exemplo 1 - Um certo componente mecânico é fabricado com um aço SAE 1015 onde sua resistência
a tração Sut= 400 MPa e seu limite de escoamento a tração é σy=300 MPa. Suponha que a peça esteja
submetida a um nível de tensão σ1=300 MPa e σ2=200 MPa. Calcular o coeficiente de segurança usando
o critério da ruptura, utilizando a teoria da máxima tensão normal.
Solução:
Inicialmente deve-se montar o gráfico com as tensões Sut e Suc Lembre-se que para os aços, Sut = -Suc
. Neste gráfico, as tensões principais σ1 são plotadas no eixo x e as tensões principais σ2 são plotadas no
eixo y.
σ2
σ1
Sut = 400 MPa
Suc = -400 MPa
Sut=400MPa
Suc=-400MPa
σ1=300
σ2 = 200
N
P
Determine o ponto P com as coordenadas σ1 e σ2. Trace uma reta a partir da origem, passando pelo
ponto P até interceptar a curva envelope do diagrama da tensão normal. Assim, usando a Equação 2.2
temos que:
1σ
utS
N = ou seja,
300
400
=N 3333,1=N

2.3.2 Teoria da Tensão Máxima de Cisalhamento
Esta teoria se aplica somente a materiais dúcteis. Ela estabelece que o escoamento começa sempre que
a tensão cisalhante máxima em uma peça for igual a tensão cisalhante máxima do corpo de prova quando
este inicia o escoamento. Assim, o escoamento inicia quando
2
max
yS
=τ .
Para um estado duplo de tensões, sabe-se que a máxima tensão de corte é:
Equação 2.3
2
31
max
σσ
τ
−
=
IMPORTANTE: Nesta teoria σ1>σ2>σ3
Aqui é importante lembrar que no estado duplo de tensões, a menor tensão σ3 = 0;
Equação 2.4
2
2
max
2
xy
yx
τ
σσ
τ +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
Deve-se notar que esta teoria prevê que o limite de escoamento ao cisalhamento seja a metade do
limite de escoamento à tração, isto é
2
y
ys
S
S =
Assim, se igualarmos as equações acima e aplicarmos um coeficiente de segurança N, obteremos a
seguinte expressão:
Equação 2.5
2
2
22
xy
yxy
N
S
τ
σσ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
⋅
ou
2
2
2
2 xy
yx
yS
N
τ
σσ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
⋅
=
A Figura 2.3 ilustra o gráfico da teoria da tensão cisalhante máxima para tensões biaxiais. Nota-se que
o gráfico é o mesmo da teoria da tensão normal máxima, quando as duas tensões principais tem o mesmo
sinal.

σ1
σ3
+ Sy
+ Sy− Sy
− Sy
Figura 2.3 - Gráfico da Teoria da Tensão Cisalhante Máxima.
Exemplo 2 - Um certo componente mecânico é fabricado com um aço SAE 1015 onde sua resistência
a tração Sut = 400 MPa e seu limite de escoamento a tração é Sy=300 MPa. Calcular o coeficiente de
segurança, utilizando a teoria da máxima tensão de cisalhamento para as dois casos seguintes:
Quando : σ1=200 MPa e σ2=150 MPa e σ3=0 MPa
Quando : σ1=100 MPa e σ3=-100 MPa. E σ2=0 MPa
Solução:
Inicialmente deve-se construir a curva envolvente do diagrama da tensão máxima de cisalhamento
com Sy =300 MPa e -Sy = -300 MPa.
a) Determine o ponto P1 com as coordenadas σ1 e σ3. Trace uma reta a partir da origem, passando
pelo ponto P1 até interceptar a curva envolvente do diagrama da tensão máxima de cisalhamento.
σ3
σ1
Sy =300 MPa
-Sy= -300 MPa
Sy=300MPa
-Sy=-300MPa
N1
P1 = A
σ1 x

O coeficiente de segurança N1 é a razão entre a componente “x” do ponto A com a componente σ1 do
ponto P1 ou seja:
1
1
σ
x
N =
Neste caso, nota-se que a componente x = Sy = 300 MPa. Como a componente σ1=200 MPa tem-se
que:
MPa
MPa
N
200
300
1 =
Assim, tem-se que:
5,11 =N
b) Determine o ponto P2 com as coordenadas σ1 e σ3 (Neste exemplo a menor tensão continua sendo σ3).
Trace uma reta a partir da origem, passando pelo ponto P2 até interceptar a curva envolvente do diagrama
da tensão máxima de cisalhamento.
σ3
σ1
Sy =300 MPa
-Sy = -300 MPa
Sy=300MPa
-Sy=-300MPa
N2
B
P2
N2
x
y
σ1
σ2
O coeficiente de segurança N2 é a razão entre a componente “x” do ponto B com a componente σ1 do
ponto P2 ou a razão entre a componente “y” do ponto B com a componente σ3 do ponto P2 ou seja:

1
2
σ
x
N = ou
3
2
σ
y
N =
Neste caso, a coordenada “x” não pode ser determinada diretamente pela observação do gráfico. Aqui
o ponto “x” só pode ser determinado pela interseção de duas retas: uma que passa pela origem e pelo
ponto P2 outra que passa pelas coordenadas (300,0) e (0,-300).
A equação de uma reta que passa pela origem é calculada a partir de:
bxay +⋅=
Onde “a” é o coeficiente angular da reta e vale:
1
3
σ
σ
=a
100
100−
=a
Assim, temos que a equação da reta que passa pela origem é:
xy ⋅
−
=
100
100
ou xy ⋅−= 1 (1)
A equação da curva envolvente no ponto “B” é calculada a partir da equação da reta que passa por
dois pontos:
( )1
12
12
1 xx
xx
yy
yy −
−
−
=−
(x2 , y2 )
(0, -300)
(x1 , y1)
(300, 0 )
Ponto 1
Ponto 2
Substituindo as coordenadas (x1 , y1) e (x2 , y2) na equação acima tem-se:

( )300
3000
0300
0 −
−
−−
=− xy
( )300
300
300
−
−
−
= xy ou ( )3001 −⋅= xy
300−= xy (2)
Substituindo a equação 1 na equação 2 e resolvendo-as simultaneamente tem-se:
3001 −=⋅− xx ou 3002 −=⋅− x
2
300
−
−
=x ou 150=x
Assim, tem-se que:
1
2
σ
x
N = ∴
100
150
2 =N ∴ 5,12 =N
Assim, conclui-se que o coeficiente de segurança é N2 = 1,5 considerando a teoria da máxima tensão
cisalhante
2.3.3 Teoria de Huber-von Mises - Hencky ou da Máxima Energia de Distorção
Esta teoria também é conhecida por teoria da energia de distorção. Esta teoria é um pouco mais difícil
de ser aplicada do que a teoria da tensão máxima de cisalhamento, e é melhor no emprego para materiais
dúcteis. É empregada para definir o início do escoamento, tal como a teoria da tensão máxima de
cisalhamento.
Huber-von Mises-Hencky postularam que o escoamento não era um simples fenômeno de tração ou
compressão, mas, ao contrário, era relacionado de algum modo à distorção angular do elemento
tensionado.
Esta teoria surgiu a partir da Teoria da máxima energia de deformação que previa que o escoamento
começaria sempre que a energia total de deformação armazenada no elemento tensionado se tornasse
igual à energia total de deformação de um elemento de um corpo de prova submetido a um teste de
tração, na ocasião do escoamento.
A teoria da máxima energia de distorção não é mais usada, porém e a precursora da teoria de von
Mises-Hencky. Assim pensou-se em subtrair da energia total de deformação a energia usada para
provocar uma variação de volume, resultando na energia da distorção.

Aqui abordaremos somente as equações finais, ficando ao aluno encarregado de pesquisar suas
deduções.
Para fins de análise e projeto, é importante definir uma tensão de von Mises (tensão efetiva) dada pela
equação abaixo:
Equação 2.6 σ σ σ σ σ,
= − ⋅ +1
2
1 2 2
2
À teoria de von Mises prevê que a falha por escoamento ocorre sempre que:
Equação 2.7 yS=,
σ
Assim, se igualarmos as equações acima e aplicarmos um coeficiente de segurança N, obteremos a
seguinte expressão:
Equação 2.8
2
221
2
1 σσσσ +⋅−=
N
Sy
ou 2
221
2
1 σσσσ +⋅−
=
yS
N
Na Figura 2.4 podemos observar o gráfico das tensões de von-Mises.
σ1
σ2
+ Sy
+ Sy− Sy
− Sy
Figura 2.4 - Grafico da Teoria da energia de distorção
Conforme estudos desenvolvidos, relatado por Shigley (1984), a teoria da energia de distorção prevê o
escoamento com maior precisão em todos os quadrantes. Considerando então esta teoria como a mais
correta, nota-se pela figura abaixo que a teoria da tensão cisalhante máxima sempre conduzirá a
resultados do lado da segurança (gráfico esta contido dentro do gráfico da teoria da energia de distorção).
Por outro lado, nota-se que a teoria da tensão normal máxima conduz a resultados seguros somente se o

sinal das duas tensões principais for igual. Para a torção pura utiliza-se a teoria da energia de distorção ou
a teoria da tensão cisalhante máxima.
2.3.4 Comparação entre as três teorias aplicadas a materiais Dúcteis
σ1
σ2
+ Sy
+ Sy− Sy
− Sy
Teoria de von-Mises
Teoria da tensão cisalhante máxima
Teoria da tensão normal máxima
Figura 2.5 - Comparação das três teorias de falhas estáticas para materiais dúcteis e tensões biaxiais
2.3.5 Teoria de Coulomb Mohr
A teoria de Coulomb Mohr deve ser usada como critério de falhas quando o material é frágil, as
cargas aplicadas são estáticas e principalmente quando as tensões de resistência a tração forem iguais as
de compressão, isto é: ucut SS =−
Conforme Shigley (1984), a teoria de
Coulomb-Mohr às vezes é denominada de teoria
do atrito interno e baseia-se nos resultados de
dois testes, o de tração e o de compressão.
Esta teoria é mais conservadora
principalmente no quarto quadrante.
A Figura 2.6 ilustra a teoria de Coulomb-
Mohr com seus pontos característicos
σ1
σ2
Sut
SutSuc
Suc
Figura 2.6 – Gráfico da Teoria de Coulomb-
Mohr

2.3.6 Teoria de Mohr Modificada
As observações deixadas pela teoria de Mohr modificada para materiais frágeis são uma adaptação da
teoria da máxima tensão normal. Conforme Juvinall (1983), esta teoria representa resultados mais
confiáveis do que a teoria da máxima tensão normal.
Esta teoria é usada preferencialmente quando o material frágil não apresenta as tensões de resistência
a tração e compressão iguais ou seja é preferível quando ucut SS ≠
Algumas características dos materiais frágeis segundo Shigley (1984) são: (i) O diagrama tensão x
deformação é uma linha contínua até o ponto de falha; a falha ocorre por fratura; estes materiais não
possuem limite de escoamento; (ii) A resistência a compressão é geralmente, muitas vezes maior que a
resistência à tração; (iii) O limite de ruptura à torção é aproximadamente o mesmo que o limite de
resistência a tração;
A Figura 2.7 ilustra um caso de tensões biaxial no qual estão indicados dois eixos ortogonais, σ1 e σ2.
σ1
σ2
Sut
(Sut, -Sut)
Suc
Suc
(-Sut, Sut)
1
1
2
−=
σ
σ
Figura 2.7 - Gráfico representativo da teoria de Mohr modificada para materiais frágei
A teoria de Mohr modificada é melhor explicada através de uma abordagem gráfica.

S
S
S
σ
σ
σ
ut
ut
uc
+
-
-
-
A A’
B
B’
C
C’
o
Figura 2.8 - Gráfico representativo da teoria de Mohr modificada para materiais frágeis no 1o
e 4o
quadrantes
Considerando três casos de estado plano de tensões, chamados A, B, C, conforme indicado na Figura
2.8 e utilizando-se um coeficiente de segurança N as tensões e resistências relacionam-se conforme os
casos abaixo(Norton, 1997):
a) Para o ponto A, onde o prolongamento da reta OB intercepta a curva envelope no ponto A'
teremos:
Equação 2.9
1σ
utS
N =
b) Para o ponto B, onde o prolongamento da reta OB intercepta a curva envelope no ponto B'
teremos:
Equação 2.10
1σ
utS
N =
c) Para o ponto C, onde o prolongamento da reta OC intercepta a curva envelope no ponto C'
teremos:

Equação 2.11
( )211 σσσ +⋅+⋅
⋅
=
utuc
utuc
SS
SS
N
Segundo Norton, 1997 Dowling desenvolveu um conjunto de expressões para determinar as tensões
efetivas envolvendo as três tensões principais:
Equação 2.12 ( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⋅
⋅+
+−⋅= 31311
2
2
1
σσσσ
uc
utuc
S
SS
C
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⋅
⋅+
+−⋅= 23232
2
2
1
σσσσ
uc
utuc
S
SS
C
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⋅
⋅+
+−⋅= 12123
2
2
1
σσσσ
uc
utuc
S
SS
C
O maior dos seis valores (C1, C2, C3, σ1, σ2, σ3) é a tensão efetiva sugerida por Dowling.
Equação 2.15 ),,,(~
3,2,1321 σσσσ CCCMAX=
Assim, o coeficiente de segurança pode ser determinado por:
Equação 2.16
σ~
utS
N =
Se todos os valores forem negativos, então a tensão efetiva será zero. Note porém que devido a este
fato, não poderemos utilizar a equação acima para calcular o coeficiente de segurança pois
∞→N .
A teoria de Mohr modificada explica melhor a falha no quarto quadrante.
A escolha da teoria para determinação de falhas estáticas dependerá do projetista. A análise do tipo de
carregamento e do material são fatores importantes na seleção.
2.4 CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
No desenvolvimento das equações básicas da resistência por tração, compressão, flexão e torção,
presume-se que nenhuma irregularidade ocorra nas peças em consideração. No entanto é muitíssimo
difícil projetar uma máquina que não tenha nenhuma variação da seção. Eixos rotativos, geralmente tem
rasgos de chaveta, que possibilitam a fixação de engrenagens e polias. Qualquer variação na seção das

peças das máquinas, altera a distribuição de tensão nos arredores da descontinuidade. Estas
descontinuidades são chamadas de criadores de tensão, e a região na qual ela ocorre é chamada de área de
concentração de tensão. Um fator teórico ou geométrico de concentração de tensão, é usado para definir o
aumento da tensão na descontinuidade. Este fator é definido pela seguinte expressão:
Equação 2.17 nomtK σσ ⋅=max
e
Equação 2.18 nomtsK ττ ⋅=max
onde:
Kt - Fator de concentração de tensão ou fator de forma aplicado a tensões normais;
Kts- Fator de concentração de tensão ou fator de forma aplicado a tensões tangenciais;
σnom - Tensão nominal normal;
τnom – Tensão nominal de corte;
σmax - Tensão máxima normal;
τmax – Tensão máxima de corte;
σ
σ
σ
nom
max
nom
Distribuição de
tensões para
seção entalhada
Distribuição de
tensões para
seção linear
h
D
d
Figura 2.9 - Concentração de tensões em uma barra entalhada submetida a um momento fletor
O valor de Kt é obtido através de ensaios, sendo seu valor é sempre maior que a unidade, e no mínimo
igual a esta. É um fator puramente geométrico, isto é, sua variação depende exclusivamente da forma do
entalhe e do tipo de solicitação. Seu valor aumenta com a profundidade do entalhe e com a curvatura do
mesmo.
Os valores de Kt são obtidos através de tabelas conhecendo-se a geometria da peça (raio do entalhe) e
forma de aplicação da carga em relação a peça.

Os materiais dúcteis e frágeis possuem efeitos (respostas) diferenciados quando submetidos a
concentração de tensões e cargas estáticas.
2.4.1 Efeito da Concentração de Tensões em materiais dúcteis
Segundo Stemmer (1974) no caso de solicitação estática e materiais dúcteis, a aplicação de esforços
crescentes leva ao escoamento do material localizado nas com acréscimo de tensão. Aumentando mais a
carga, vão entrando em escoamento às fibras adjacentes a concentração de tensões, até que a tensão fica
distribuída de modo bastante uniforme sobre a seção solicitada. Com o escoamento das fibras externas,
ocorrerá um encruamento desta região e conseqüente aumento da resistência do material.
Por isso, não há necessidade de levar em consideração no cálculo o fator Kt.
Porém, segundo Norton (1997), a redução da seção transversal, devido a propagação de uma fissura
pode produzir tensões que ultrapassem as tensões admissíveis.
2.4.2 Efeito da Concentração de Tensões em materiais frágeis
Para Stemmer (1974), no caso de materiais frágeis como não há escoamento na região entalhada, não
há acréscimo de resistência na peça e esta rompe-se quando a tensão ultrapassar a tensão de ruptura. Para
este caso é imprescindível aplicar o fator de concentração de tensões e calcular a tensão máxima.
A única exceção é com o ferro fundido. Ferros fundidos são de baixa resistência a tração, mas no caso
do uso deste material, o valor de Kt não é levado em conta. Isto porque no seio do mesmo, vem
incrustação de escória, laminas de grafita, etc.., as quais agiriam como se fossem pequenos entalhes
originando pontas de tensão microscópicas. Como na determinação de Kt todos estes valores já foram
levadas em conta, toda vez que neste material fizermos um entalhe, as modificações ocasionadas por estes
será desprezível.
Para qualquer outro material frágil, deve-se levar em consideração o fator de acréscimo de tensões.
As Figura 2.10 a Figura 2.25 ilustram fatores de concentração de tensões para diversas condições
especificadas em cada figura. Para implementação computacional, as figuras apresentam as expressões
matemáticas que geram os respectivos gráficos.

Kt
Kt ≅
Figura 2.10 - Fator de concentração de tensões de eixo escalonado submetido a tração
Kt
Kt ≅
Figura 2.11 - Fator de concentração de tensões de eixo escalonado submetido a flexão
Kts
Kts ≅
Figura 2.12 - Fator de concentração de tensões de eixo escalonado submetido a torção

Kt
Kt ≅
Figura 2.13 - Fator de concentração de tensões de eixo com gola submetido a tração
Kt
Kt ≅
Figura 2.14 - Fator de concentração de tensões de eixo com gola submetido a flexão
Kts
Kts ≅
Figura 2.15 - Fator de concentração de tensões de eixo com gola submetido a torção

Kt
Kt ≅
Figura 2.16 - Fator de concentração de tensões de eixo com furo submetido a Flexão
Kts
KtsA ≅
KtsB ≅
Figura 2.17 - Fator de concentração de tensões de eixo com furo submetido a torção
Kt
Kt ≅
Figura 2.18 - Fator de concentração de tensões de barra escalonada submetido a tração

Kt
Kt ≅
Figura 2.19 - Fator de concentração de tensões de barra escalonada submetido a flexão
Kt
Kt ≅
Figura 2.20 - Fator de concentração de tensões de barra com entalhe submetido a tração
Kt
Kt ≅
Figura 2.21 - Fator de concentração de tensões de barra com entalhe submetido a flexão

Kt
Kt ≅
Figura 2.22 - Fator de concentração de tensões de barra submetido a tração ou compressão
Kt
Kt ≅
Figura 2.23 - Fator de concentração de tensões de barra submetido a Flexão

Kt
Figura 2.24 - Fator de concentração de tensões para chapa com furo submetida a tração
Kt
Figura 2.25 - Fator de concentração de tensões para suporte T submetido a tração

2.5 EXERCÍCIOS
1 - Projetou-se um pequeno pino de 6 mm de diâmetro, de um ferro fundido cujas tensões tensões de
ruptura a tração e a compressão são respectivamente Sut=293 MPa e Suc =965 MPa. Este pino suportará
uma carga compressiva de 3500 N combinada com uma carga torcional de 9,8 Nm. Calcular o fator de
segurança usando a teoria da Tensão Normal Máxima, teoria de Mohr Modificada e teoria de Coulomb-
Mohr.
2 – Determine o fator de segurança “N” para o suporte esquematizado na figura abaixo baseando-se na
teoria da máxima energia de distorção.
Material: Alumínio com Sy =324 MPa
Comprimento da haste: L = 150 mm
Comprimento do braço: a = 200 mm
Diâmetro externo da Haste: 45 mm
Carregamento : F = 4450 N
L
a
d
F
Parede
3 – Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura acima baseando-se na
teoria de Mohr modificada.
Material: Ferro fundido cinzento com Sut =360 MPa e Suc = 1130 MPa
Comprimento da haste: L = 150 mm
Comprimento do braço: a = 200 mm
Diâmetro externo da haste: 38,10 mm
Carregamento : F = 4450 N

4 – Determinar os fatores de segurança, correspondentes às falhas pelas teorias da tensão normal
máxima, da tensão cisalhante máxima, e da teoria de von-Mises (energia da distorção) respectivamente
para um aço 1020 Laminado, para cada um dos seguintes estados de tensão:
a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa.
b) σx =70 MPa e σy = 35 MPa.τxy = 70 MPa. (sentido horário).
5 – Usando os valores típicos das resistências do ferro fundido ASTM 40, determinar os fatores de
segurança correspondentes à fratura, pelas teorias da tensão normal máxima, de Coulomb-Mohr e Mohr
modificada, respectivamente, para cada um dos seguintes estados de tensão:
a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa.
b) σx = -14MPa , σy = -56 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido anti-horário).
6 – Uma força F aplicada em D, perto da extremidade de uma alavanca de 375 mm de comprimento,
mostrada na figura abaixo, resulta em certas tensões na barra engastada OABC. A barra é feita de aço
SAE 1035 Recozido. Que força F causaria o escoamento na barra.
7 – Um tubo de alumínio com Sy =290 MPa e Sut = 441 MPa tem 75 mm de diâmetro externo e
espessura de parede de 1,25 mm e esta sujeito a uma pressão estática interna de 8,5 MPa. Calcular o fator
de segurança, contra o escoamento, aplicando as três teorias para materiais dúcteis.
8 – Um cilindro de paredes grossas deve ter um diâmetro interno de 15 mm, ser feiro de um aço SAE
4140 normalizado e deve resistir a uma pressão interna de 35 MPa baseado num fator de segurança de 4.
Especificar um diâmetro externo satisfatório, baseado a decisão no escoamento, de acordo com a teoria da
máxima tensão cisalhante.

3 SOLICITAÇÕES DINÂMICAS
σ~ Tensão efetiva de Mohr modificada Pa Modified-Mohr efective stress
Ccarga Fator de correção do tipo de carga - Loading factor
CConfiabilidade Fator de correção da confiabilidade - Reliability factor
CSuperficial Fator de correção do acabamento superficial - Surface factor
CTamanho Fator de correção do tamanho da peça - Size factor
CTemperatura Fator de correção da temperatura - Temperature factor
dequivalente Diâmetro equivalente m Equivalent diameter test specimen
Kf Fator de concentração de tensões a fadiga aplicado
a tensão normal
- Fatigue-stress-concentration factor
Kfm Fator de concentração de tensões a fadiga aplicado
a tensão normal média
- Mean-stress fatigue-concentration factor
Kt Fator de concentração de tensões aplicado a tensão
normal
- Geometric stress concentration factor –
normal stress
Kts Fator de concentração de tensões aplicado a tensão
cisalhante
- Geometric stress concentration factor –
shear stress
q Fator de sensibilidade ao entalhe - Material notch sensibility
r Raio de entalhe m
Se Limite de resistência a fadiga da peça (106
ciclos) Pa Corrected endurance limit
Se’ Limite de resistência a fadiga do material (106
ciclos)
Pa Uncorrected endurance limit
Sf Resistência a fadiga da peça Pa Corrected endurance strength
Sf’ Resistência a fadiga do material Pa Uncorrected endurance strength
Suc Limite de resistência a compressão Pa Ultimate compressive strenght
Syc Resistência ao escoamento a compressão Pa Yield strenght in compression
Νφ Coeficiente de Segurança a fadiga - Safety factor in fatique
σ Tensão normal Pa Normal stress
σ’ Tensão efetiva de von-Misses Pa Von Mises effective stress
σ1 2, 3 Tensões principais Pa Principal stresses
σa, σm Tensão normal alternante e média Pa Alternating and mean normal stress
σa’, σm’ Tensão de von Mises alternante e média Pa Alternating and mean von Mises stress
σmax Tensão normal máxima aplicada Pa Maximum applied normal stress
σmin Tensão normal mínima aplicada Pa Minimum applied normal stress
σx Tensão normal na direção x Pa
σy Tensão normal na direção y Pa
τ Tensão tangencial ou cisalhante Pa Shear stress
τmax Tensão de corte máxima aplicada Pa
τxy Tensão cisalhante aplicada no plano x e na direção
y
Pa Shear stresses that act on the x face and
whose direction of action are paralel to
the y axes
τyx Tensão cisalhante aplicada no plano y e na direção
x
Pa Shear stresses that act on the y face and
whose direction of action are paralel to
the x axes

3.2 INTRODUÇÃO
Muitas das falhas que ocorrem nas máquinas são devidas a cargas dinâmicas. Estas falhas ocorrem
com níveis de tensões significativamente inferiores as de falhas estáticas. Assim, usando somente teorias
de falha estática, não se conseguirá um resultado satisfatório, quando estamos diante de cargas dinâmicas.
Quando a falha ocorre devido a cargas dinâmicas, estamos diante do fenômeno chamado falha por
fadiga.
Conforme Norton (1997), o fenômeno da falha por fadiga foi primeiramente noticiado por volta de
1800 quando os eixos das antigas locomotivas começavam a falhar após um certo tempo de
funcionamento. Rankine, publicou em 1843 um artigo explicando as prováveis falhas que ocorriam nestas
máquinas. Na época inúmeros experimentos foram desenvolvidos buscando informações que otimizassem
o projeto de eixos submetidos a esforços dinâmicos. Após 12 longos anos de pesquisa, o engenheiro
alemão August Wholer desenvolveu as primeiras pesquisas científicas sobre o assunto. Wholer realizou
vários testes de fadiga nos aços e em 1870 publicou seus trabalhos, identificando nestes a vida em ciclos
dos materiais versus o nível de tensão aplicada.
3.3 TIPOS DE CARGA DINÂMICAS
3.3.1 Carga Repetida
A carga repetida também é conhecida como carga do tipo II. Sua intensidade varia no tempo entre
uma força Fmin=0 até uma força Fmax. A Figura 3.1 ilustra a carga repetida e a tensão repetida.
t
P
Fm
Fa
F
Fmax
Fmin
t
P
σm
σa
σ
σmax
σmin
Figura 3.1 - Carga e Tensão Repetida

As expressões que permitem determinar as forças e tensões médias e alternantes são:
Equação 3.1
2
minmax FF
Fm
+
= e
2
minmax FF
Fa
−
= e
2
minmax σσ
σ
+
=m e
2
minmax σσ
σ
−
=a
Também temos as seguintes expressões:
ama σσσσ +=⋅= 2max
am σσσ −== 0min
2
minmax σσ
σ
+
=m
3.3.2 Carga Alternante
A carga alternante também é conhecida como carga do tipo III . Sua intensidade varia no tempo entre
uma força Fmin até uma força Fmax tal que Fmin = - Fmax .A Figura 3.2 ilustra a carga alternante e a tensão
alternante.
t
P
Fm = 0
Fa
F
Fmax
Fmin
+
-
t
P
σm = 0
σa
σ
σmax
σmin
+
-
Figura 3.2 - Carga e Tensão Alternada

Elementos de Máquinas I: Análise de Tensões, Solicitações Estáticas e Dinâmicas

Elementos de Máquinas I: Análise de Tensões, Solicitações Estáticas e Dinâmicas

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Elementos de Máquinas I: Análise de Tensões, Solicitações Estáticas e Dinâmicas

Semelhante a Elementos de Máquinas I: Análise de Tensões, Solicitações Estáticas e Dinâmicas (20)

Mais de Sergio Barrios

Mais de Sergio Barrios (20)

Elementos de Máquinas I: Análise de Tensões, Solicitações Estáticas e Dinâmicas