1) O documento descreve um sistema de transição e propriedades temporais sobre sistemas de transição. 2) Sistemas de transição são representados por quintuplas (Q, E, T, q0, L) onde Q é o conjunto de estados, E é o conjunto de eventos, T ⊆ Q × E × Q é a relação de transição, q0 é o estado inicial e L mapeia estados para proposições. 3) Propriedades temporais como Next, Eventually, Always e Until podem ser definidas sobre sistemas de transição usando semâ

1. þ
¿
ý
ÓÒ ÚÐ Ú ÖÔÓÓк
ºÙ
Ä Ú ÖÔÓÓÐ ÍÒ Ú Ö× ØÝ
¹ ¾¼¼

2. þ
¸ ¸ ¸
¸º º º
´ µ
ü

3. ²
(Q, E , T , q0 , L)
A
Q
B C G
E
T ⊆ Q ×E ×Q D F
q0
E
L : Q → Prop

4. ¸
¸ ø
¸

5. ´
µ

6. º
´ µ
Prop
¬ ¸ ∧ ¸ ∨ ¸ →¸ ≡
´ WFF µ
p ¸ q ¸ r ¸º º º
ϕ ψ ¸
¬ϕ



ϕ∧ψ




ϕ∨ψ

ϕ→ψ





ϕ≡ψ

7. º
I : Prop → {T, F}
P Q ¬P P ∧ Q P ∨ Q P → Q P ≡ Q
T T F T T T T
T F F F T F F
F T T F T T F
F F T F F T T

8. º

10. þ
þ
º ¸
º
¸ º
º
¸
¬ ¸ ∧ ¸ ∨ ¸ →¸ ≡ º
¸

11. ´ÄÌĵ
ÄÒ Ö ÌÑ ÄÓ
º
º
þ N
¸
º
p ¸q p ¸¬q p ¸¬q ¬p ¸q p ¸q

12. X ³ ´Ò ص
F ³ ³ ´Ò Ø ÙØÙÖ µ
G ³ ³ ´ ÐÓ ÐÐÝ Ò Ø ÙØÙÖ µ
U ³ÍÒØ Ð³º
W ³Ï ÙÒØ Ð³
´ ¸
µ

13. ÄÌÄ
Prop
ØÖÙ ¸ Ð× ¸ ¬¸ ∨¸ ∧¸ → ≡º
þ ¸X¸ F¸ G¸ U Wº
´WFF µ
ØÖÙ Ð×
ϕ ψ ¸

¬ϕ¸ ϕ ∧ ψ ¸ ϕ ∨ ψ ¸ ϕ → ψ ¸ ϕ ≡ ψ 
 
Xϕ





Fϕ

Gϕ 



ϕUψ





ϕWψ

14. ÄÌÄ
¸
Nº
ÄÌĸ σ¸
σ = s0 , s1 , s2 , s3 , . . .
si
¸ i¹
º
i ∈ Nº
(σ, i ) |= A
A σ
i ∈ Nº

15. ¸ ¸
(σ, i ) |= p ⇐⇒ p ∈ si p ∈ Prop]
¸ ¸
º
(σ, i ) |= ØÖÙ
(σ, i ) |= Ð×
(σ, i ) |= A ∧ B ⇐⇒ (σ, i ) |= A (σ, i ) |= B
(σ, i ) |= A ∨ B ⇐⇒ (σ, i ) |= A (σ, i ) |= B
(σ, i ) |= A → B ⇐⇒ (σ, i ) |= ¬A (σ, i ) |= B
(σ, i ) |= A ≡ B ⇐⇒ (σ, i ) |= A → B (σ, i ) |= B → A
(σ, i ) |= ¬A ⇐⇒ (σ, i ) |= A

16. þ Æ ÜØ
(σ, i ) |= XA ⇐⇒ (σ, i + 1) |= A
XA A
º
(is friday ∨ is saturday ) → X¬work
(at level crossing approach ∧ gate up) → Xon level crossing
ready ∧ Xsteady ∧ XXgo

17. þ ÐÛ Ý×
(σ, i ) |= GA ⇐⇒ j ∈ N, j i (σ, j) |= A
GA A A A
A
ÐÛ Ý×
jane holds king spades → Gjane holds king spades
Gtemp high
G¬(process a write file ∧ process b write file)

18. þ ËÓÑ Ø Ñ
(σ, i ) |= FA ⇐⇒ k∈N k i
(σ, k) |= A
FA A
×ÓÑ Ø Ñ ¸ A
¸ ¹
request to print doc → Fprint doc
process a receives msg1 → Fprocess a sends msg2

19. þ ÍÒØ Ð
(σ, i ) |= AUB ⇐⇒ k ∈ N, k i
(σ, k) |= B j ∈ N, i jk (σ, j) |= A
AUB A A B
A
ü ×ÓÑ Ø Ñ B
¹ ¸ º
rainy Umonday send bitU(receive bit ∨ abort)

20. þ ÍÒÐ ××
(σ, i ) |= AWB ⇐⇒ (σ, i ) |= AUB (σ, i ) |= GA
AWB A A B
A
AWB A A A
A
ÙÒÐ ×× U ¸ B
º
program executing Wprogram terminating

21. ¸ ¸
ϕ σ
σ |= ϕ ⇐⇒ (σ, 0) |= ϕ.
ϕ ¸
º
ϕ
|= ϕ ⇐⇒ ∀σ(σ |= ϕ).

22. ÄÌÄ
ÄÌÄ
¸
¸ ø
G(wants → Fenters)
G(send → Freceive)
GFready
´ÅÓ Ð
Ò µ
¸ º

23. ´ØÖ Ò× Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñµ
(Q, E , T , q0 , L)
L1
Q
S1 S2 E
L1
L1 L2 T ⊆ Q×E × Q
L1
S4 S3 q0
L : Q → Prop
L2

24. ´ØÖ Ò× Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñµ
(Q, T , q0 , L)
S1 S2
Q
T ⊆Q ×Q
q0
S4 S3 L : Q → Prop
q
qi º º
q0 = q (qi , qi +1 ) ∈ T

25. ´ØÖ Ò× Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñµ
(Q, T , q0 , L)
S1 S2
Q
T ⊆Q ×Q
q0
S4 S3 L : Q → Prop
q
qi º º
q0 = q (qi , qi +1 ) ∈ T
π = S1,

26. ´ØÖ Ò× Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñµ
(Q, T , q0 , L)
S1 S2
Q
T ⊆Q ×Q
q0
S4 S3 L : Q → Prop
q
qi º º
q0 = q (qi , qi +1 ) ∈ T
π = S1, S2,

27. ´ØÖ Ò× Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñµ
(Q, T , q0 , L)
S1 S2
Q
T ⊆Q ×Q
q0
S4 S3 L : Q → Prop
q
qi º º
q0 = q (qi , qi +1 ) ∈ T
π = S1, S2, S1,

28. ´ØÖ Ò× Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñµ
(Q, T , q0 , L)
S1 S2
Q
T ⊆Q ×Q
q0
S4 S3 L : Q → Prop
q
qi º º
q0 = q (qi , qi +1 ) ∈ T
π = S1, S2, S1, S2,

29. ´ØÖ Ò× Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñµ
(Q, T , q0 , L)
S1 S2
Q
T ⊆Q ×Q
q0
S4 S3 L : Q → Prop
q
qi º º
q0 = q (qi , qi +1 ) ∈ T
π = S1, S2, S1, S2, S3,

30. ´ØÖ Ò× Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñµ
(Q, T , q0 , L)
S1 S2
Q
T ⊆Q ×Q
q0
S4 S3 L : Q → Prop
q
qi º º
q0 = q (qi , qi +1 ) ∈ T
π = S1, S2, S1, S2, S3, S4 . . .

31. π = {qi }i ∈N
σπ = L(q(0)), L(q(1)), L(q(2)), . . .
º
S = (Q, T , q0 , L) ϕ¸
π S q0
σπ |= ϕ

32. ººº
G = (V , E ) º
S = (Q, T , q0 , L)
Q = V ∪ {q0 , qf }
T = E ∪ {(q0 , v ) | v ∈ V } ∪ {(v , qf | v ∈ V )} ∪ {(qf , qf )}
L(vi ) = {pi } L(q0 ) = L(qf ) = {}
S |= (Fp1 ∧ · · · ∧ Fpn ∧ G(p1 → G¬p1 ) ∧ · · · ∧ G(pn → G¬pn ))
¸ G
¸
º
¸ Æȹ
¸ ÈËÈ ¹