Exercicios Matemática

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Exercicios Matemática

  1. 1. CURSO ON-LINE – PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 1 www.pontodosconcursos.com.br Caríssimos amigos concurseiros. Seguem breves comentários à prova de RLQ do ATA- MF. Não encontramos nenhuma questão passível de recurso. Mas, se vocês tiverem visualizado alguma coisa e quiserem debater conosco, fiquem à vontade para mandar e- mails, ou então usar o fórum do nosso curso aqui no Ponto. Vamos à prova! Vamos usar como base a prova de gabarito 1. Questão 11 Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta? a) 24 b) 16 c) 30 d) 15 e) 20 Comentários Primeiro vamos focar na situação inicial, com os 50 trabalhadores que têm produtividade “normal”. Eles trabalham durante 24 dias, numa jornada de 8 horas por dia. Logo, o total de horas trabalhadas é: 192248 =× Eles trabalham 192 horas. Como são 50 operários, ficamos com: 960019250 =× homens × hora Logo, para a conclusão da obra, são necessários 9.600 homens hora de trabalho. Agora vamos para a segunda situação. Na segunda situação, temos 40 homens, trabalhando durante x dias, numa jornada de 10 horas por dia. A quantidade de homens hora fica: 4010××x E sabemos que esta quantia é igual a 9.600. 600.94010 =××x 24=x Ou seja, esses 40 homens gastariam 24 dias para fazer a mesma obra. A diminuição na quantidade de operários seria compensada por um aumento na jornada, de modo que o tempo da obra não se alteraria. Aí vai o candidato feliz da vida e marca a letra A.
  2. 2. CURSO ON-LINE – PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 2 www.pontodosconcursos.com.br Certo??? Errado!!! Tem um pequeno detalhe. Na segunda situação, os homens têm produtividade reduzida. Eles, no mesmo tempo, produzem 20% menos que os operários “normais”. Logo, eles vão gastar mais que 24 dias para concluírem a obra. A única opção possível é a letra C. Já dá para marcar direto a resposta correta sem contas adicionais. De todo modo, vamos ver como fica o cálculo. Em 24 dias, os operários com produtividade menor eles não fazem a obra inteira. Eles fazem 20% menos. Em 24 dias eles fazem apenas 80% da obra. Precisamos fazer uma regra de três: 24 dias ---- 80% da obra y dias ---- 100% da obra Multiplicando cruzado: 30 80 10024 = × =y Devido à produtividade reduzida, eles gastam mais tempo. Eles gastam 30 dias para executarem a obra. Resposta: C. Questão 12 Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas Comentários Antes de fazer qualquer conta, já dava para eliminar algumas alternativas. A torneira que tem maior vazão é a primeira, pois ela enche o tanque em menos tempo. Ela enche o tanque em apenas 24 horas. Se ela for ajudada por outra torneira, o tempo de enchimento será menor que 24 horas. Já eliminamos as alternativas B e D. A segunda torneira tem uma vazão menor. Ela enche o tanque em longas 48 horas.
  3. 3. CURSO ON-LINE – PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 3 www.pontodosconcursos.com.br Se a primeira torneira fosse ajudada por outra de mesma vazão, o tempo de enchimento cairia pela metade (iria para 12 horas). Só que a segunda torneira não é “tão boa” assim. Ela não ajuda tanto. Ela tem uma vazão menor. Logo, o tempo de enchimento não chega a cair para 12 horas. Já eliminamos a letra “A”. Vamos às contas. Vamos supor que o tanque tenha 48 litros. Precisava supor isso? Não. Você poderia chutar qualquer outro valor (1.000; 2.000, 500.000), ou mesmo resolver de forma literal, indicando como “v” de volume. Se a primeira torneira demora 24 horas para encher o tanque de 48 litros, então ela tem uma vazão de 2 litros por hora. Basta fazer uma regra de três. 24 horas --- 48 litros 1 hora ---- x litros Multiplicando cruzado: 24824 =→=× xx A torneira enche 2 litros do tanque em 1 hora. Se a segunda torneira demora 48 para encher o tanque de 48 litros, então ela tem uma vazão de 1 litro por hora. Se as duas torneiras forem ligadas juntas, elas vão encher 3 litros em uma hora. Quanto tempo elas demoram para encher o tanque? Basta fazer outra regra de três: 3 litros --- 1 hora 48 litros --- y Multiplicando cruzado: 16483 =→=× yy Elas demoram 16 horas para encher o tanque. Resposta: E. Questão 13 Entre os membros de uma família existe o seguinte arranjo: Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. Dessa maneira, se Mário foi ao shopping, pode-se afirmar que: a) Marta ficou em casa. b) Martinho foi ao shopping. c) Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em casa. d) Márcio e Martinho foram ao shopping. e) Márcio não foi ao shopping e Martinho foi ao shopping.
  4. 4. CURSO ON-LINE – PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 4 www.pontodosconcursos.com.br Comentários Vamos separar as informações. 1) Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. 2) Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. 3) Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. 4) Mário foi ao shopping. Como dissemos durante nosso curso, nesse tipo de questão da Esaf fica subentendido que todas as proposições fornecidas são verdadeiras. Em um condicional verdadeiro, do tipo qp → , dizemos que: · p é condição suficiente para q · q~ é condição suficiente para p~ Sabendo disso, vamos analisar as frases. Da quarta informação, temos que Mário foi ao shopping. Conclusão: Mário foi ao shopping Agora vamos para a terceira informação. Sabemos que Mário não ficou em casa (pois ele foi ao shopping). Isso é suficiente para Martinho não ir ao shoppping. Conclusão: Martinho não foi ao shopping Analisemos a segunda informação. Sabemos que Martinho não foi ao shopping. Isso é suficiente para Marta não ficar em casa. Conclusão: Marta não ficou em casa Por fim, a primeira informação. Marta não ficar em casa é suficiente para Márcio não ir ao shopping. Conclusão: Márcio não foi ao shopping. Resposta: C. Questão 14 X e Y são números reais tais que: se 4≤X , então 7<Y . Sendo assim: a) Se Y ≤ 7, então X > 4. b) Se Y > 7, então X ≥ 4. c) Se X ≥ 4, então Y < 7.
  5. 5. CURSO ON-LINE – PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 5 www.pontodosconcursos.com.br d) Se Y < 7, então X ≥ 4. e) Se X < 4, então Y ≥ 7. Comentários Questão de aplicação direta de uma das equivalências lógicas mais cobradas em concursos. qp → equivale a ( ) ( )pq ~~ → Logo, partindo do condicional dado na questão, chegamos a: Se Y não for maior que 7, então X não é menor ou igual a 4. O que é o mesmo que dizer que: Se Y for menor ou igual a 7, então X é maior que 4. Resposta: A. Questão 15 Na antiguidade, consta que um Rei consultou três oráculos para tentar saber o resultado de uma batalha que ele pretendia travar contra um reino vizinho. Ele sabia apenas que dois oráculos nunca erravam e um sempre errava. Consultados os oráculos, dois falaram que ele perderia a batalha e um falou que ele a ganharia. Com base nas respostas dos oráculos, pode-se concluir que o Rei: a) teria uma probabilidade de 44,4% de ganhar a batalha. b) certamente ganharia a batalha. c) teria uma probabilidade de 33,3% de ganhar a batalha. d) certamente perderia a batalha. e) teria uma probabilidade de 66,6% de ganhar a batalha. Comentários Como dois oráculos acertam e um erra, então, necessariamente, os oráculos que deram respostas iguais são aqueles que sempre acertam. Portanto, a resposta correta para a consulta do rei é: seu reino perderá a batalha. Essa é a previsão dos oráculos que sempre acertam. Se eles sempre acertam, então o rei certamente perderá a batalha. Resposta: D. Questão 16 Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes?
  6. 6. CURSO ON-LINE – PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 6 www.pontodosconcursos.com.br a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50% Comentários Das informações acima, temos que a probabilidade de sair 6 é de 20% e a probabilidade de cada um dos outros números é de 16%. O evento “sair par no primeiro lançamento” é a união dos eventos “sair 2”, “sair 4” e “sair 6”, que não têm elementos em comum. Neste caso, a probabilidade da união é igual à soma das probabilidades. )6()4()2()( PPPparP ++= 52,020,016,016,0)( =++=parP A probabilidade de sair par no segundo lançamento é, também, de 52%. Como os dois lançamentos são independentes, então a probabilidade de sair par em ambos é dada pelo produto das probabilidades: %04,2752,052,0)___( =×=slançamentodoisnosparP Resposta: B. Questão 17 A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é: a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa. b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa. c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa. d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa. e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa. Comentários Na proposição composta, temos duas parcelas. São elas: 1ª parcela: Ana ou Pedro vão ao cinema. 2ª parcela: Maria fica em casa. Elas estão unidas por um “e”. Para negar um “e”, nós negamos as parcelas e trocamos o “e” por um “ou”. Aliás, esta é uma das equivalências lógicas mais cobradas. )(~ qp ∧ equivale a )(~)(~ qp ∨ Vamos dar nomes às proposições.
  7. 7. CURSO ON-LINE – PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 7 www.pontodosconcursos.com.br a: Ana vai ao cinema p: Pedro vai ao cinema m: Maria fica em casa A proposição dada é: mpa ∧∨ )( A sua negação fica: ( ) )(~)(~)(~ mpampa ∨∨=∧∨ Na primeira parcela acima, ainda temos outra proposição composta. Temos uma negação de um “ou”. Para negar um “ou” nós negamos as parcelas e trocamos o conectivo por um “e”. Esta é outra equivalência lógica importante. )(~ qp ∨ é equivalente a qp ~~ ∧ Assim, a nossa proposição fica: ( ) ( ) ( )mpampa ~~~)(~)(~ ∨∧=∨∨ Em palavras: Ana não vai ao cinema e Pedro não vai ao cinema ou Maria não fica em casa. Resposta: B. Questão 18 Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações? a) 40% b) 33% c) 57% d) 50% e) 25% Comentários Somando todas as frações, devemos ter 100% dos estudantes. 3 1 4 1 3 1 5 2 4 1 ++++ Somando as frações com mesmo denominador:
  8. 8. CURSO ON-LINE – PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 8 www.pontodosconcursos.com.br 3 2 5 2 4 2 ++ Simplificando: 3 2 5 2 2 1 ++ Tirando o mínimo múltiplo comum: 30 47 30 201215 = ++ Esta soma deveria ser igual a 1 (=100%). Mas não foi. E não foi justamente por causa dos alunos que fazem duas graduações, que estão sendo contados em duplicidade. Do total acima, deve ser excluído 30 17 , para que a soma dê 100%. Logo, o percentual de alunos que fazem mais de uma graduação é de: %7,56 30 17 ≅ Resposta: C. Questão 19 Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica: a) Multiplicado por -1. b) Multiplicado por -16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por -2/3. Comentários Quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) da matriz por um determinado número k, o determinante também fica multiplicado por k. O exercício fala em duas operações: · multiplicação de uma linha por 2 · divisão de uma linha por -3 (o que equivale e multiplicar por 3 1 − ) Logo, o determinante sofre as mesmas alterações. Ele fica multiplicado por: 3 2 3 1 2 −= − ×
  9. 9. CURSO ON-LINE – PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 9 www.pontodosconcursos.com.br Resposta: E. Questão 20 Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez? a) 35% b) 17% c) 7% d) 42% e) 58% Comentários Vamos calcular a probabilidade de sair 1 apenas no primeiro lançamento. Como os resultados dos lançamentos são independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades. Queremos que: · saia 1 no primeiro lançamento; a probabilidade disso ocorrer é de 1/6 · não saia 1 no segundo lançamento; a probabilidade disso ocorrer é de 5/6 · não saia 1 no terceiro lançamento; a probabilidade disso ocorrer é de 5/6 Multiplicando tudo: 216 25 6 5 6 5 6 1 =×× Analogamente, a probabilidade de sair 1 apenas no segundo lançamento é, também, de 25/216. Idem para sair 1 apenas no terceiro lançamento. Somando tudo: %7,34 216 75 216 25 216 25 216 25 ≅=++ Resposta: A. Só reforçando. Se quiserem conversar sobre alguma questão da prova, estaremos à disposição no fórum. Abraços Vítor e Juci.

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