Interação Feixe-Plasma na Aproximação Quase-Linear

Introdu¸cão Teoria Cinética de Plasmas Intera¸cão Feixe-Plasma Na Aproxima¸cão Quase-Linear Considera¸cões Finais e Perspectivas para o Novo Modelo
A Intera¸cão Feixe-Plasma Como Aplica¸cão da Teoria Cinética de
Plasmas na Aproxima¸cão Quase-Linear
Trabalho de Conclusão de Curso - Bacharelado em F´ısica
Sabrina Tigik Ferrão
Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell
Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Instituto de F´ısica
e-mail: sabrina.tigik@ufrgs.br
27 de novembro de 2013
A Intera¸cão Feixe-Plasma Como Aplica¸cão da Teoria Cinética de Plasmas na Aproxima¸cão Quase-Linear

Sumário
1 Introdu¸cão
2 Teoria Cinética de Plasmas
Aproxima¸cão Linear
Aproxima¸cão Quase-Linear
3 Intera¸cão Feixe-Plasma Na Aproxima¸cão Quase-Linear
Abordagem Bi-Dimensional em Coordenadas Cartesianas
Resultados em Coordenadas Cartesianas
Abordagem Bi-Dimensional em Coordenadas Polares
Resultados em Coordenadas Polares
4 Considera¸cões Finais e Perspectivas para o Novo Modelo

Objetivos Dessa Apresenta¸cão
Base Teórica
Breve revisão teórica da teoria cinética de plasmas, apresentando:
o método de lineariza¸cão do sistema de equa¸cões Vlasov-Maxwell;
a obten¸cão da rela¸cão de dispersão para um plasma Maxwelliano, considerando
ondas de Langmuir;
a dedu¸cão das equa¸cões da teoria quase-linear;
as diferen¸cas entre este formalismo e a aproxima¸cão linear.

Objetivos Dessa Apresenta¸cão
Intera¸cão Feixe-Plasma
Na parte relacionada ao fenômeno de intera¸cão feixe-plasma teremos a seguinte
sequência:
breve explica¸cão sobre o processo de instabilidade que ocorre em um plasma com
distribui¸cão de velocidades do tipo bump-in-tail, evidenciando a influência dos efeitos
não-lineares sobre a evolu¸cão temporal da fun¸cão de distribui¸cão do plasma;
demonstra¸cão de alguns resultados obtidos com a aplica¸cão do formalismo
quase-linear, em duas dimensões, com a utiliza¸cão de coordenadas cartesianas;
apresenta¸cão de uma nova abordagem para o modelo bi-dimensional, em
coordenadas polares;
comparara¸cão entre os resultados obtidos nessa abordagem, e os resultados do
modelo coordenadas cartesianas;
considera¸cões finais e perspectivas para o novo modelo.

Teoria cinética de Plasmas
A teoria cinética de plasmas emprega os conceitos e equa¸cões da Mecânica
Estat´ıstica.
Se considerarmos um plasma quente e de baixa densidade, podemos descartar os
efeitos de colisões entre as part´ıculas.
Sendo assim, partimos da equa¸cão de Boltzmann não-colisional:
∂fα(r, v, t)
∂t
+ v · ∇fα(r, v, t) +
F
mα
·∇vfα(r, v, t) = 0.

Equa¸cão de Vlasov
Como plasmas são compostos por part´ıculas dotadas de carga elétrica, a for¸ca de
atua¸cão mais importante nesse sistema é a for¸ca de Lorentz:
F = qα(E(r, t) + v × B(r, t)).
Substituindo a for¸ca F, da equa¸cão de Boltzmann, pela for¸ca de Lorentz, obtemos
a equa¸cão de Vlasov:
∂fα
∂t
+ v · ∇fα +
1
mα
[qα(E + v × B)]·∇vfα = 0.

Equa¸cões de Maxwell
Na equa¸cão de Vlasov, E e B são, respectivamente, os campos elétrico e
magnético e atuam no sistema de acordo com as equa¸cões de Maxwell:
∇ · E =
ρ
ǫ0
∇ · B = 0
∇ × E = −
∂B
∂t
∇ × B = µ0 J + ǫ0
∂E
∂t
.

Sistema de Equa¸cões Vlasov-Maxwell
Em uma abordagem estat´ıstica, ρ, a densidade de carga do plasma, e J, a
densidade da corrente que circula no plasma, dependem da fun¸cão de distribui¸cão
de velocidades do plasma e tem a seguinte forma:
ρ =
α
qαnα(r, t) =
α
qα
v
fα(r, v, t)d3
v
e
J(r, t) =
α
qα
v
vfα(r, v, t)d3
v.
Essas expressões, juntamente com a equa¸cão de Vlasov, formam um conjunto completo e
auto-consistente de equa¸cões. O chamado sistema de equa¸cões Vlasov-Maxwell.

Abordagem Linear do Sistema de Equa¸cões Vlasov-Maxwell Considerando
Ondas de Langmuir
O sistema de equa¸cões Vlasov-Maxwell pode ser usado para o estudo de
fenômenos ondulatórios em plasmas.
Podemos obter a rela¸cão de dispersão para os diversos tipos de oscila¸cões
presentes em um plasma através do processo de lineariza¸cão da equa¸cão de
Vlasov.
Dentre os vários tipos de ondas poss´ıveis, vamos abordar as mais simples: as
ondas de Langmuir.
Ondas de Langmuir são ondas eletrostáticas de alta frequência, sendo assim,
B = 0 e os ´ıons podem ser considerados como um “background” estático
neutralizador.

Perturba¸cão de Pequena Amplitude
Vamos considerar que nossa fun¸cão de distribui¸cão é composta de um termo de
ordem zero, de equil´ıbrio, e outro termo de ordem um, relativo a uma perturba¸cão
de pequena amplitude.
Para a fun¸cão de distribui¸cão temos:
f = f0 + f1.
E, para o campo elétrico, ficamos com:
E = E0 + E1.
Contudo, vamos considerar que o campo de ordem zero é nulo. Portanto: E1 ≡ E.

Equa¸cão de Vlasov Linearizada
Como nossas oscila¸cões são eletrostáticas, podemos expressar o campo elétrico
através da equa¸cão de Poisson:
∇2
Φ = −
ρ
ǫ0
.
Na equa¸cão de Vlasov, expressamos o campo elétrico em termos do gradiente do
potencial:
∂f0
∂t
+
∂f1
∂t
+ v · ∇(f0 + f1) +
e
me
∇Φ·∇v(f0 + f1) = 0.
Ao descartar os termos de segunda ordem e as derivadas nulas, temos a equa¸cão de
Vlasov linearizada:
∂f1
∂t
+ v · ∇f1 +
e
me
∇Φ·∇vf0 = 0.

Rela¸cão de Dispersão
Podemos expressar as quantidades de primeira ordem em termos de suas transformadas
de Fourier. Assim, reescrevemos:
a equa¸cão de Vlasov
−iωfk + v · ikfk +
e
me
Φkik · ∇vf0 = 0;
e a equa¸cão de Poisson,
k2
Φk = −
e
ǫ0 v
fk d3
v.

Isolando fk e substituindo na equa¸cão de Poisson, obtemos a rela¸cão de dispersão:
n0e2
k2meǫ0 v
1
v·k − ω
k·∇v
ˆf0 d3
v = 1,
Nessa expressão já foi considerada a versão normalizada de f0.
Entre as constantes que multiplicam a integral, temos o quadrado da frequência
de plasma para elétrons
ω2
pe =
n0e2
meǫ0
.
Definindo o eixo z como paralelo à dire¸cão de propaga¸cão do vetor de onda e
integrando por partes em vz temos a seguinte expressão para a rela¸cão de
dispersão
ω2
pe
k2
v
ˆf0
(vz − ω/kz )2
dvz = 1.

Solu¸cão da Rela¸cão de Dispersão
Podemos perceber que há uma singularidade no denominador do integrando da
rela¸cão de dispersão.
Supondo que a parte imaginária de ω é finita, positiva e tende a zero, podemos
integrar sobre o chamado caminho de Landau, o que leva à seguinte expressão
para rela¸cão de dispersão:
ω2
pe
k2

P
+∞
−∞
ˆf0
(vz − ω/kz )2
dvz + iπ
∂ˆf0
∂vz
vz =ω/k

 = 1.

Na aproxima¸cão de vϕ >> vz , temos a seguinte solu¸cão para a rela¸cão de
dispersão:
ω2
pe
k2
k2
ω2
1 + 3
k2 v2
th
ω2
= 1.
Vamos considerar uma fun¸cão de distribui¸cão Maxwelliana, uni-dimensional, cuja
enegia cinética média é
1
2
me v2
th =
1
2
kBTe.
Substituindo v2
th na solu¸cão acima, obtemos a rela¸cão de dispersão para ondas
de Langmuir
ω2
pe
k2
k2
ω2
1 + 3
k2
ω2
kBTe
me
= 1.

Se incluirmos a contribui¸cão do polo e desprezarmos a corre¸cão térmica, ficamos
com a seguinte rela¸cão de dispersão:
ω = ωpe

1 + i
π
2
ω2
pe
k2
∂ˆf0
∂vz
v=vϕ

 .
A inclusão desse termo nos proporciona informa¸cões importantes sobre os poss´ıveis efeitos
de ordem linear relacionados à pequena perturba¸cão em torno de f0.
Como estamos considerando um plasma com distribui¸cão de velocidades Maxwelliana, a
derivada ∂ˆf /∂vz , será sempre negativa e , nesse caso, o efeito da perturba¸cão é um
amortecimento não-colisional.
Entretanto, quando existe um feixe de elétrons adicionado a um plasma Maxwelliano, a
fun¸cão distribui¸cão pode apresentar um pico na região de velocidades grande o suficiente
para que exista uma região de derivada positiva, que pode dar origem a instabilidades.

Teoria Quase-Linear
Na aproxima¸cão linear, supusemos que tanto a fun¸cão distribui¸cão quanto os
campos são compostos por uma contribui¸cão de ordem zero e uma contribui¸cão
de ordem um.
Consideramos que as contribui¸cões de ordem zero não variavam ao longo do
tempo, e a partir das equa¸cões para as quantidades de ordem um obtivemos a
rela¸cão de dispersão.
Se quisermos acompanhar a evolu¸cão temporal das perturba¸cões, precisamos levar
em conta efeitos não lineares.
A forma mais imediata de incluir efeitos não lineares é através da chamada
aproxima¸cão quase-linear.

Sistema de Equa¸cões Vlasov-Maxwell na Aproxima¸cão Quase-Linear
Vamos partir da equa¸cão de Vlasov para o caso eletrostático:
∂fα
∂t
+ v · ∇fα +
qα
mα
E ·∇vfα = 0.
E pode ser obtido através da equa¸cão para a divergência do campo elétrico:
∇ · E =
α
qα
ǫ0 v
fα(r, v, t)d3
v.
Como no caso anterior, supomos uma pequena perturba¸cão na fun¸cão de distribui¸cão e no
campo elétrico:
fα = fα0 + fα1,
E = E0 + E1.

Quando obtivemos a aproxima¸cão linear da equa¸cão de Vlasov, supusemos que
fα0, a fun¸cão de equil´ıbrio, não tinha dependência temporal.
Na aproxima¸cão quase-linear, vamos admitir que a fα0 possa variar com o tempo,
embora de forma bem mais lenta do que a varia¸cão das perturba¸cões.
Novamente vamos considerar E0 = 0, então E = E1.
Para obter as equa¸cões para a evolu¸cão temporal das quantidades de ordem zero e
de ordem um, vamos introduzir médias espaciais das quantidades de interesse:
fα(r, v, t) = fα0(v, t) + fα1(r, v, t)
e
E(r, t) = E1(r, t) .

As expressões para as médias de fα e de E são, respectivamente:
fα(r, v, t) =
1
V
fα(r, v, t)d3
r
e
E(r, t) = −
1
V
∂Φ(r, t)
∂r
d3
r = 0.
Se impusermos a condi¸cão de que fα1 vá a zero nas extremidades, sua média será
nula e a média da fun¸cão de distribui¸cão será a própria fun¸cão de equil´ıbrio:
fα(r, v, t) = fα0(v, t).
Impondo a mesma condi¸cão para o potencial elétrico, temos que E(r, t) = 0.

A média espacial da equa¸cão de Vlasov fica da seguinte forma:
∂fα0
∂t
+ v·
∂
∂r
(fα0 + fα1) +
qα
mα
E·
∂fα0
∂v
+ E·
∂fα1
∂v
= 0.
Ao eliminarmos os termos nulos da equa¸cão acima e isolarmos ∂fα0/∂t, obtemos
uma equa¸cão para a evolu¸cão temporal de fα0:
∂fα0
∂t
= −
qα
mα
E·
∂fα1
∂v
.
Substituindo o termo ∂f0/∂t da equa¸cão de Vlasov pela equa¸cão acima, obtemos:
∂fα1
∂t
+ v·
∂fα1
∂r
+
qα
mα
E·
∂fα0
∂v
+
qα
mα
E·
∂fα1
∂v
− E·
∂fα1
∂v
termos de segunda ordem
= 0.

Os termos de segunda ordem são muito menores do que as flutua¸cões de primeira
ordem, portanto podem ser desprezados.
O que nos sobra é uma equa¸cão de Vlasov formalmente igual à da aproxima¸cão
linear:
∂fα1
∂t
+ v·
∂fα1
∂r
+
qα
mα
E·
∂fα0
∂v
≈ 0.
A diferen¸ca é que agora f0 varia temporalmente, de acordo com um sistema de
equa¸cões acopladas.

Equa¸cão de Difusão Quase-Linear
Nossa inten¸cão é obter resultados para instabilidades geradas por efeitos não
lineares, então trataremos somente o caso em que existe região com ∂f0/∂v > 0.
Escrevendo f1 e E em termos de suas respectivas transformadas de Fourier e
usando o mesmo procedimento feito para a aproxima¸cão linear, obtemos a mesma
rela¸cão de dispersão:
ω2
pe
k2
v
1
k · v − ω
k ·
∂f0
∂v
d3
v = 1.
A diferen¸ca é que na teoria quase-linear f0 varia de acordo com:
∂f0
∂t
= −i
1
V
e
me
∂
∂v
·
d3k
8π3
k ˆΦ−k f1ke−i[ω(−k)+ω(k)]t
.

Coeficiente de Difusão Quase-Linear
Na aproxima¸cão quase-linear, as intera¸cões não-lineares não são levadas em conta
nas equa¸cões para as perturba¸cões, mas são mantidas na equa¸cão para a evolu¸cão
temporal da fun¸cão de distribui¸cão de velocidades de ordem zero
Esses efeitos são observados em f (v, t) como mudan¸cas na sua forma e essas
mudan¸cas se devem a efeitos de difusão no espa¸co de velocidades.
A intensidade e a forma dessa difusão é dada pelo coeficiente de difusão
quase-linear.

As propriedades de simetria do potencial elétrico e da frequência são,
respectivamente: Φk(t) = Φ−k(t) e ω(k, t) = −ω∗(−k, t).
Com o uso das propriedades acima, podemos reescrever a expressão para a
varia¸cão temporal de f0 na forma de uma equa¸cão de difusão no espa¸co de
velocidades:
∂f0
∂t
=
ij
∂
∂vi
Dij
∂f0
∂vj
.
Dij , o coeficiente de difusão quase-linear, tem a seguinte expressão:
Dij =
e2
me
1
V
1
8π3
d3
k
Ek · Ek
ik2(k · v − ω)
ki kj .

Amplitude Espectral
A amplitude espectral leva ao coeficiente de difusão a informa¸cão a respeito das
ondas geradas pelos efeitos não-lineares.
A expressão para a amplitude do espectro é obtida tomando a média do quadrado
do campo elétrico e, no sistema cgs, tem a seguinte forma:
Ek(t) ≡
1
8πV
|Ek(t)|2
8π3
.
As amplitudes dessas ondas são proporcionais a eωi t
, então:
Ek(t) = Eke2ωi (k)t
.
Representando na forma diferencial, temos:
∂Ek(t)
∂t
= 2ωi (k)Ek(t).

Substituindo o produto escalar do campo elétrico, no coeficiente de difusão, por
Ek e tomando o limωi →0, ficamos com a seguinte expressão para o coeficiente de
difusão quase-linear:
Dij =
e2
me
d3
k
ki kj
k2
Ek πδ(k · v − ω)
Lembrando que que a parte imaginária da frequência das ondas, ωi , que aparece
na equa¸cão para a evolu¸cão do espectro das ondas, é obtida através da solu¸cão da
rela¸cão de dispersão, que depende da distribui¸cão f0.

Intera¸cão Feixe-Plasma
A incidência de um feixe de elétrons energéticos em um plasma térmico pode dar
in´ıcio a processos turbulentos.
Esses processos envolvem a gera¸cão e amplifica¸cão de ondas de Langmuir e
ocorrem através de efeitos não lineares relacionados à intera¸cão onda-part´ıcula.
A intera¸cão das part´ıculas do feixe incidente com as ondas presentes no plasma
ocorre via ressonância, levando a altera¸cões na fun¸cão de distribui¸cão de
velocidades dos elétrons e no espectro das ondas, um processo conhecido como
“instabilidade bump-in-tail”.

Efeitos não lineares relacionados à intera¸cão onda-part´ıcula e a intera¸cões
onda-onda podem levar à gera¸cão da chamada “turbulência de Langmuir”, e
também à emissão de ondas eletromagnéticas, através de processos conhecidos
como decaimento e espalhamento de ondas.
Quando a instabilidade é pequena e o crescimento das ondas turbulentas é lento,
emprega-se, como uma primeira aproxima¸cão, a teoria quase-linear para descrever
como as ondas, geradas e amplificadas pela intera¸cão onda-part´ıcula, afetam a
distribui¸cão de velocidades de equil´ıbrio do plasma.
A transferência de energia entre part´ıculas e ondas continua até que o sistema
atinja um estado estacionário.

Intera¸cão Feixe-Plasma na Aproxima¸cão Quase-Linear em Duas Dimensões
Aspectos Comuns Entre as Duas Abordagens a Serem Apresentadas
Em ambas as abordagens não há incidência de campos externos.
Consideramos apenas ondas de Langmuir.
A fun¸cão inicial de distribui¸cão para os elétrons foi definida como sendo
Maxwelliana, adicionada de uma Maxwelliana deslocada representando o feixe,
com velocidade média vf .
A distribui¸cão “de fundo” tem uma pequena velocidade média negativa, v0, de
modo que a velocidade média total é nula.

A expressão, em termos de velocidades normalizadas à velocidade térmica dos
elétrons, ve = 2Te/me, é a seguinte:
Φe = 1 −
nf
ne
1
π
exp − (u − u0)2
+
nf
ne
1
π
exp − u2
⊥ + (u − uf )2
.
A forma adimensional da rela¸cão de dispersão, para ondas de Langmuir, é a
seguinte:
zL
q = 1 +
3
2
q2
1/2
,
onde zL
q ≡ ω/ωpe e q ≡ kve/ωpe.
O tempo τ representa o tempo normalizado, onde τ = tωpe.

Equa¸cões em Coordenadas Cartesianas
O vetor velocidade u e o vetor de onda q são os seguintes:
u = ux ex + uz ez,
q = qx ex + qz ez.
A equa¸cão de difusão quase-linear para esse modelo é:
∂Φe
∂τ
=
∂
∂ux
(Ae
x Φe) +
∂
∂uz
(Ae
z Φe)
+
∂
∂ux
De
xx
∂Φa
∂ux
+ De
xz
∂Φa
∂uz
+
∂
∂uz
De
zx
∂Φe
∂ux
+ De
zz
∂Φe
∂uz
.

As quantidades Ae
x e Ae
z são, respectivamente, as componentes perpendicular e
paralela de um coeficiente associado a processos espontâneos.
Esse coeficiente não aparecia na formula¸cão quase-linear convencional, conforme
apresentamos anteriormente, tendo sido adicionado ao formalismo em trabalho
relativamente recente.
A expressão desses coeficientes é a seguinte:
Ae
i = g
∞
−∞
dqx
∞
−∞
dqz
qi
q2
x + q2
z σ=±1
σzL
q δ(σzL
q − qx ux − qz uz ) .
Os termos contendo os Dij correspondem a uma versão bi-dimensional do
coeficiente de difusão quase-linear, obtido na se¸cão anterior e tem a forma:
De
ij =
∞
−∞
dqx
∞
−∞
dqz
qi qj
q2
x + q2
z σ=±1
EσL
q δ(σzL
q − qx ux − qz uz) .

Podemos observar, na expressão para o coeficiente de difusão, a amplitude do
espectro de ondas EσL
q , cuja evolu¸cão temporal é dada por:
∂EσL
q
∂τ
=
π
q2
ne
n∗
∞
−∞
duz
∞
−∞
dux δ(σzL
q − qx ux − qz uz)
×
1
2
ne
n∗
g Φe + σzL
q EσL
q qx
∂Φe
∂ux
+
π
q2
ne
n∗
∞
−∞
duz
∞
−∞
dux δ(σzL
q − qx ux − qz uz )
×
1
2
ne
n∗
g Φe + σzL
q EσL
q qz
∂Φe
∂uz
.

Método e Resultados em Coordenadas Cartesianas
Tanto a equa¸cão de difusão, quanto a equa¸cão para a evolu¸cão temporal do
espectro de ondas, foram aproximadas por diferen¸cas finitas.
Um código numérico utilizando linguagem de programa¸cão FORTRAN foi
desenvolvido.
Para a integra¸cão da equa¸cão de difusão foi usado o método “splitting” e para a
equa¸cão da onda foi empregado o método Runge-Kutta de quarta ordem.

Para o presente trabalho, escolhemos uma situa¸cão com temperatura do feixe
igual à temperatura do plasma de fundo, Tf = Te, com Te = 7.0Ti e parâmetro
de plasma g = 5.0 × 10−3.
Supusemos um feixe tênue, com nf /ne = 1.0 × 10−3 e uf = 5.0.
Adotamos uma grade de 101x51 pontos no espa¸co de velocidades (ux , uz ), e uma
grade com 51x51 pontos no espa¸co de números de onda normalizados (qx , qz ).
Fizemos a evolu¸cão temporal adotando um passo temporal ∆τ = 0.1.

τ = 0
-15
-10
-5
0
5
10
15 -15 -10 -5 0 5 10 15
1e-16
1e-14
1e-12
1e-10
1e-08
1e-06
0.0001
0.01
1
τ = 0
Φe
u⊥
u
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 0
EL
q
q⊥
q
Figura: Estágios iniciais da fun¸cão de distribui¸cão Φe e da amplitude do espectro. Podemos
perceber em Φe o “bump” gerado na fun¸cão de distribui¸cão pela presen¸ca de um feixe com
velocidade uf = 5.

τ = 100
-15
-10
-5
0
5
10
15 -15 -10 -5 0 5 10 15
1e-16
1e-14
1e-12
1e-10
1e-08
1e-06
0.0001
0.01
1
τ = 100
Φe
u⊥
u
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 100
EL
q
q⊥
q
Figura: Neste tempo de integra¸cão, τ = 100, a fun¸cão de distribui¸cão apresenta um leve
achatamento em ambos os picos. Na amplitude de espectro, vemos que já ocorre um pequeno
crescimento de ondas.

τ = 500
-15
-10
-5
0
5
10
15 -15 -10 -5 0 5 10 15
1e-16
1e-14
1e-12
1e-10
1e-08
1e-06
0.0001
0.01
1
τ = 500
Φe
u⊥
u
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 500
EL
q
q⊥
q
Figura: Para um tempo de integra¸cão τ = 500, os efeitos da difusão no espa¸co de velocidades
já são bem evidentes. O aumento nas oscila¸cões pode ser observado no aumento considerável
da amplitude espectral, no gráfico à direita.

τ = 1000
-15
-10
-5
0
5
10
15 -15 -10 -5 0 5 10 15
1e-16
1e-14
1e-12
1e-10
1e-08
1e-06
0.0001
0.01
1
τ = 1000
Φe
u⊥
u
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 1000
EL
q
q⊥
q
Figura: Em τ = 1000, podemos perceber que praticamente não há mais a região de derivada
positiva na distribui¸cão total. Também ocorre uma estagna¸cão da forma¸cão do pico na
amplitude espectral, como pode ser visto em seu respectivo gráfico.

Considera¸cões a Respeito do Modelo em Coordenadas Cartesianas
Todos os estágios da evolu¸cão temporal obtidos numericamente, no modelo em
coordenadas cartesianas, estão de acordo com o esperado para a aplica¸cão da
teoria quase-linear à intera¸cão feixe-plasma.
Foi feita também uma tentativa de inclusão de efeitos colisionais no código
numérico, com o objetivo de estudar a evolu¸cão do sistema a longo prazo.
No entanto, a adi¸cão de termos colisionais ao programa, deu origem ao
desenvolvimento de instabilidades numéricas, o que motivou a busca por uma nova
abordagem que pudesse reduzir a possibilidade de ocorrência dessas instabilidades.
O que motivou a implementa¸cão de um código escrito em termos de coordenadas
que pudessem expressar melhor as caracter´ısticas do termo colisional, ou seja, em
termos de coordenadas polares.

Equa¸cões em Coordenadas Polares
Os vetores velocidade e de onda normalizados, foram escritos da seguinte forma:
u = ux ex + uz ez = u sin θex + u cos θez
q = qx ex + qz ez = q sin ϑex + q cos ϑez.
A equa¸cão de difusão ficou com a seguinte expressão:
∂Φe
∂τ
=
1
u
∂
∂u
(uAe
u Φe) +
1
u
∂
∂θ
(Ae
θ Φe)
+
1
u
∂
∂u
uDe
uu
∂Φe
∂u
+
1
u
∂
∂u
uDe
uθ
1
u
∂Φe
∂θ
+
1
u
∂
∂θ
De
θθ
1
u
∂Φe
∂θ
+
1
u
∂
∂θ
De
θu
∂Φe
∂u
.

Os coeficientes de emissão espontânea, Ae
u, Ae
θ, na forma polar ficaram com a
seguinte forma:
Ae
u = 2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ cos(θ − ϑ)
σ=±1
σzL
q δ(σzL
q − uq cos(θ − ϑ))
+2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ cos(θ + ϑ)
σ=±1
σzL
q δ(σzL
q − uq cos(θ + ϑ)),
Ae
θ = −2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ sin(θ − ϑ)
σ=±1
σzL
q δ(σzL
−2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ sin(θ + ϑ)
σ=±1
σzL
q δ(σzL
q − uq cos(θ + ϑ)).

As componentes De
uu, De
uθ do coeﬁciente de emiss˜ao induzida, na forma polar,
seguem logo abaixo:
De
uu = 2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ q cos2
(θ − ϑ)
σ=±1
EσL
q δ(σzL
+2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ q cos2
(θ + ϑ)
σ=±1
EσL
q δ(σzL
De
uθ = −2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ q cos(θ − ϑ) sin(θ − ϑ)
σ=±1
EσL
q δ(σzL
−2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ q cos(θ + ϑ) sin(θ + ϑ)
σ=±1
EσL
q δ(σzL

As componentes De
θθ, De
θu do coeficiente de emissão induzida, em coordenadas
polares, ficaram:
De
θθ = 2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ q sin2
(θ − ϑ)
σ=±1
EσL
q δ(σzL
+2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ q sin 2
(θ + ϑ)
σ=±1
EσL
q δ(σzL
De
θu = −2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ q sin(θ − ϑ) cos(θ − ϑ)
σ=±1
EσL
q δ(σzL
−2g
∞
0
dq
π/2
0
dϑ q sin(θ + ϑ) cos(θ + ϑ)
σ=±1
EσL
q δ(σzL

Evolu¸c˜ao temporal da amplitude espectral em coordenadas polares:
∂EσL
q
∂τ
= g
π
q2
∞
0
du
π
0
dθ uΦe δ(σzL
+
π
q
σzL
q
∞
0
du
π
0
dθ uEσL
q δ(σzL
× cos(θ − ϑ)
∂Φe
∂u
−
1
u
sin(θ − ϑ)
∂Φe
∂θ
+
π
q2
∞
0
du
π
0
dθ uΦe δ(σzL
q − uq cos(θ + ϑ))
+
π
q
σzL
q
∞
0
du
π
0
dθ uEσL
q δ(σzL
q − uq cos(θ + ϑ))
× cos(θ + ϑ)
∂Φe
∂u
−
1
u
sin(θ + ϑ)
∂Φe
∂θ
.

Método e Resultados em Coordenadas Polares
O procedimento de discretiza¸cão adotado para as coordenadas cartesianas foi
também feito para as equa¸cões em coordenadas polares.
Um novo código FORTRAN foi desenvolvido para essa abordagem.
Como aplica¸cão, consideramos uma situa¸cão com os mesmos parâmetros f´ısicos
daquela situa¸cão descrita na se¸cão anterior.
Adotamos uma grade de 101x101 pontos no espa¸co de velocidades (u, θ), e uma
grade com 51x51 pontos no espa¸co de números de onda normalizados (q, ϑ).
Fizemos a evolu¸cão temporal adotando um passo temporal ∆τ = 0.1, da mesma
forma que no caso do uso de coordenadas cartesianas.

τ = 0
u
u⊥
1e-16
1e-14
1e-12
1e-10
1e-08
1e-06
0.0001
0.01
1
τ = 0
Φe
-15 -10 -5 0 5 10 15
-15
-10
-5
0
5
10
15 q
q⊥
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 0
EL
q
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Figura: Est´agio inicial.

τ = 100
u
u⊥
1e-16
1e-14
1e-12
1e-10
1e-08
1e-06
0.0001
0.01
1
τ = 100
Φe
-15 -10 -5 0 5 10 15
-15
-10
-5
0
5
10
15 q
q⊥
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 100
EL
q
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Figura: In´ıcio da evolu¸c˜ao temporal.

τ = 500
u
u⊥
1e-16
1e-14
1e-12
1e-10
1e-08
1e-06
0.0001
0.01
1
τ = 500
Φe
-15 -10 -5 0 5 10 15
-15
-10
-5
0
5
10
15 q
q⊥
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 500
EL
q
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Figura: Nota-se que a evolu¸c˜ao temporal segue da mesma forma que foi obtida no modelo
anterior.

τ = 1000
u
u⊥
1e-16
1e-14
1e-12
1e-10
1e-08
1e-06
0.0001
0.01
1
τ = 1000
Φe
-15 -10 -5 0 5 10 15
-15
-10
-5
0
5
10
15 q
q⊥
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 1000
EL
q
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Figura: Podemos ver que a a evolu¸c˜ao temporal continua de acordo com o obtido em
coordenadas cartesianas.

Nas figuras para o modelos em coordenadas polares, pudemos ver que evolu¸cão do
sistema está de acordo com os resultados obtidos pela simula¸cão em coordenadas
cartesianas.
Isso indica que o programa já está pronto para receber o termo de colisões.
A adapta¸cão do código já está em andamento e acreditamos que em futuro bem
próximo teremos resultados a apresentar, permitindo investigar o efeito de colisões
na evolu¸cão temporal de longo prazo da instabilidade feixe-plasma, na
aproxima¸cão quase-linear.

Versões mais sofisticadas e completas do código deverão ser também
desenvolvidas usando coordenadas polares, incluindo termos não lineares
associados a processos de decaimento de ondas e de espalhamento onda-part´ıcula.
Esses processos influenciam a evolu¸cão de longo prazo do sistema e podem ser
investigados com uma abordagem que vai além da aproxima¸cão quase-linear,
conhecida como teoria de turbulência fraca.
A perspectiva então é a inclusão de efeitos colisionais no contexto da teoria de
turbulência fraca, para análise de situa¸cões f´ısicas de interesse, como é o caso da
situa¸cão envolvendo plasmas e feixes de part´ıculas.
* Fim *

Referências I
P. M. Bellan Fundamentals of Plasma Physics.Cambrige University Press 2006.
J. A. Bittencourt. Fundamentals of Plasma Physics. INPE-FAPESP, São José dos Campos,
1995, 2a. ed.
F. F. Chen. Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion. Plenum, New York,
1984, 2a. ed.
A. I. Akhiezer & R. V. Polovin & K. N. Stepanov.Plasma Electrodynamics Volume 2.
Pergamon Press Ltd, 1975.
D. A. Gurnett & A. Bhattacharjee. Introduction to Plasma Physics. Cambrige University
Press, 2005.

Referˆencias II
V. N. Tsytovich. Non Linear Eﬀects in Plasmas. Plenum Press, New York, 1970.
V. N. Tsytovich. Theory of Turbulent Plasma. Consultants Bureau, New York, 1977.
D. B. Melrose. Instabilities in Sapce and Laboratory Plasmas. Cambrige University Press,
Cambrige, 1986.
YU. L. Klimontovich. The Statistical Theory Of Non-Equilibrium Processes In A Plasma.
Pergamon Press Ltd, 1967.

Referˆencias III
D. M. Karﬁdov, A. M. Rubenchik, K. F. Sergeichev, I. A. Sychev,
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Zhurnal Eksperimental’noi i Teoreticheskoi Fiziki (ISSN 0044-4510) vol. 98, Nov. 1990, p.
1592-1604. In Russian.
Physics Of Plasmas, 12:042306, 2005.
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Generalized weak turbulence theory.
Phys. Plasmas, 7(12):4858–4871, Dec. 2000.

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P. H. Yoon, L. F. Ziebell, R. Gaelzer, R. P. Lin, and L. Wang.
Langmuir turbulence and suprathermal electrons.
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L. F. Ziebell, R. Gaelzer, and P. H. Yoon.
Dynamics of Langmuir wave decay in two-dimensions.
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Electromagnetic weak turbulence theory revisited.
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Phys. Plasmas, 8(9):3982–3995, Sept. 2001.
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Energetic ion distribution resulting from neutral beam injection in tokamaks.
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Referências VII
Lucio M. Tozawa.
Difusão estocástica de ´ıons energéticos em tokamaks sob a a¸cão de ondas do tipo h´ıbrida
inferior.
MSc Diss., UFRGS, Curso de Pós-Gradua¸cão em F´ısica, 31 mar. 1998.

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