1. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Interac¸˜oes gravitacionais e um problema em aberto
na mecˆanica estat´ıstica.
Felipe Leite Antunes
23 de Outubro de 2014
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
2. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Figura 1: Ludwig Eduard Boltzmann
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3. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Boltzmann (gases)
Equac¸˜ao de Boltzmann → processo irrevers´ıvel a partir de
uma dinˆamica revers´ıvel;
Teorema H (1872) → H ∼ −S;
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4. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Boltzmann (gases)
Equac¸˜ao de Boltzmann → processo irrevers´ıvel a partir de
uma dinˆamica revers´ıvel;
Teorema H (1872) → H ∼ −S;
min[H(t)] quando a distribuic¸˜ao de velocidades ´e
Maxwell-Boltzmann.
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5. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Boltzmann (gases)
Equac¸˜ao de Boltzmann → processo irrevers´ıvel a partir de
uma dinˆamica revers´ıvel;
Teorema H (1872) → H ∼ −S;
min[H(t)] quando a distribuic¸˜ao de velocidades ´e
Maxwell-Boltzmann.
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6. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Natureza Estoc´astica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel
a partir de uma dinˆamica com simetria temporal;
Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas);
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7. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Natureza Estoc´astica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel
a partir de uma dinˆamica com simetria temporal;
Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas);
Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica;
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8. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Natureza Estoc´astica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel
a partir de uma dinˆamica com simetria temporal;
Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas);
Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica;
Zarmelo → teorema de recorrˆencia de poincar´e; tempo
necess´ario para retornar ao estado inicial.
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9. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Natureza Estoc´astica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel
a partir de uma dinˆamica com simetria temporal;
Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas);
Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica;
Zarmelo → teorema de recorrˆencia de poincar´e; tempo
necess´ario para retornar ao estado inicial.
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10. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Ergodicidade
Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a
ergodicidade;
A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica
estat´ıstica;
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11. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Ergodicidade
Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a
ergodicidade;
A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica
estat´ıstica;
Sistemas integr´aveis n˜ao s˜ao erg´odicos e os n˜ao-integr´aveis
podem ser erg´odicos.
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12. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Ergodicidade
Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a
ergodicidade;
A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica
estat´ıstica;
Sistemas integr´aveis n˜ao s˜ao erg´odicos e os n˜ao-integr´aveis
podem ser erg´odicos.
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13. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
H´enon-Heiles
V =
1
2
x2
+ y2
+ 2x2
y −
2
3
y3
Figura 2: y(t) vs. ˙y(t) quando x(t) = 0. Retirada de
http://mathworld.wolfram.com/Henon-HeilesEquation.html.
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14. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Curto alcance vs. Longo alcance
Interac¸˜oes de curto alcance: energia interna escala com N;
Interac¸˜oes de longo alacance: energia interna escala com N2.
Formalmente V ∼ r−α, onde α < d.
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15. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Exemplos
Interac¸˜oes gravitacionais;
V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D;
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16. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Exemplos
Interac¸˜oes gravitacionais;
V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D;
F´ısica de Plasmas;
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17. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Exemplos
Interac¸˜oes gravitacionais;
V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D;
F´ısica de Plasmas;
Laser de el´etrons-livres (FEL).
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18. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Exemplos
Interac¸˜oes gravitacionais;
V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D;
F´ısica de Plasmas;
Laser de el´etrons-livres (FEL).
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19. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Equil´ıbrio Termodinˆamico
Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V );
Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;
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20. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Equil´ıbrio Termodinˆamico
Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V );
Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;
No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas
pela energia de interac¸˜ao;
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21. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Equil´ıbrio Termodinˆamico
Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V );
Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;
No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas
pela energia de interac¸˜ao;
Como obter um limite termodinˆamico n˜ao trivial?
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22. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Equil´ıbrio Termodinˆamico
Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V );
Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;
No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas
pela energia de interac¸˜ao;
Como obter um limite termodinˆamico n˜ao trivial?
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23. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Extensividade
Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que
dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu
n´umero de constitu´ıntes;
Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da
extensividade;
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24. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Extensividade
Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que
dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu
n´umero de constitu´ıntes;
Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da
extensividade;
H´a um truque para recuperarmos a extensividade (h´a um
prec¸o).
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25. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Extensividade
Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que
dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu
n´umero de constitu´ıntes;
Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da
extensividade;
H´a um truque para recuperarmos a extensividade (h´a um
prec¸o).
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26. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Prescic¸˜ao de Kac
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27. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Aditividade
Propriedade de que energia do sistema ´e igual a soma das
energias de seus subsistemas;
A aditividade n˜ao pode ser recuperada.
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28. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Aditividade
Propriedade de que energia do sistema ´e igual a soma das
energias de seus subsistemas;
A aditividade n˜ao pode ser recuperada.
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29. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Evoluc¸˜ao
A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas;
A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de
Vlasov;
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30. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Evoluc¸˜ao
A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas;
A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de
Vlasov;
A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante;
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31. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Evoluc¸˜ao
A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas;
A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de
Vlasov;
A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante;
Tempo de validade da descric¸˜ao de Vlasov cresce com o
tamanho do sistema.
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32. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Evoluc¸˜ao
A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas;
A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de
Vlasov;
A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante;
Tempo de validade da descric¸˜ao de Vlasov cresce com o
tamanho do sistema.
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33. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema de Braun-Hepp
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34. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Escalas de tempo
Primeiro est´agio: soluc¸˜ao
est´avel da equac¸˜ao de
Vlasov;
Segundo est´agio: colis˜oes
residuais.
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
35. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Escalas de tempo:
Sistemas n˜ao homogˆeneos: N;
Sitemas homogˆeneos: N2.
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
36. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Escalas de tempo:
Sistemas n˜ao homogˆeneos: N;
Sitemas homogˆeneos: N2.
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
37. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Konishi e Kaneko (1992)
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
38. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Antoni e Ruffo (1995)
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
39. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Rotores XY interagindo
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40. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hamiltoniano
H =
N
i=1
p2
i
2
+
γ
2N
N
i,j=1
[1 − cos(θi − θj)];
H =
N
i=1
p2
i
2
−
1 − M2
2
;
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
41. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hamiltoniano
H =
N
i=1
p2
i
2
+
γ
2N
N
i,j=1
[1 − cos(θi − θj)];
H =
N
i=1
p2
i
2
−
1 − M2
2
;
¨θi = −M senθi .
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
42. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hamiltoniano
H =
N
i=1
p2
i
2
+
γ
2N
N
i,j=1
[1 − cos(θi − θj)];
H =
N
i=1
p2
i
2
−
1 − M2
2
;
¨θi = −M senθi .
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
43. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Propriedades
Relaxac¸˜ao violenta;
Transis˜oes de fase;
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
44. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Propriedades
Relaxac¸˜ao violenta;
Transis˜oes de fase;
Estados quasi-estacion´arios;
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
45. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Propriedades
Relaxac¸˜ao violenta;
Transis˜oes de fase;
Estados quasi-estacion´arios;
Longo tempo relaxac¸˜ao.
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
46. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Propriedades
Relaxac¸˜ao violenta;
Transis˜oes de fase;
Estados quasi-estacion´arios;
Longo tempo relaxac¸˜ao.
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
47. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Analogia
O HMF ´e o oscilador harmˆonico dos sistemas com interac¸˜oes de
longo alcance.
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
48. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Metodologia
Simulac¸˜oes de Dinˆamica
Molecular;
Integrador simpl´etico de 4a
ordem (PEFRL).
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
49. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Dependˆencia da magnetizac¸˜ao inicial
Figura 3: Magnetizac¸˜ao como func¸˜ao do tempo obtida usando dinˆamica molecular
com N = 106 e mesma energia u = 0.62. Para M0 = 0.2 ´e paramagn´etico e para
M0 = 0.8, ferromagn´etico.
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
50. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Dependˆencia da energia inicial
Figura 4: Espac¸o de fases obtido via dinˆamica molecular com N = 105 part´ıculas
durante t = 5000τD.Em (a) u = 0.7 e (c) u = 0.45. A magnetizac¸˜ao inicial ´e a
mesma em ambos casos, M0 = 0.8.
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51. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema Virial
Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as
oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio.
Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende
do tempo;
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52. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema Virial
Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as
oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio.
Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende
do tempo;
No caso de interac¸˜oes de LA:
p2
= − dqdpf (q, p) −
∂V (q)
∂q
· q ;
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53. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema Virial
Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as
oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio.
Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende
do tempo;
No caso de interac¸˜oes de LA:
p2
= − dqdpf (q, p) −
∂V (q)
∂q
· q ;
Para um distribuic¸˜ao inicial do tipo WB:
2ε − 1 + M cos(θm) = 0 (CVG).
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54. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema Virial
Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as
oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio.
Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende
do tempo;
No caso de interac¸˜oes de LA:
p2
= − dqdpf (q, p) −
∂V (q)
∂q
· q ;
Para um distribuic¸˜ao inicial do tipo WB:
2ε − 1 + M cos(θm) = 0 (CVG).
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55. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Validade da Condic¸˜ao Virial Generalizada
Figura 5: Evoluc¸˜ao da magnetizac¸˜ao ao longo do tempo para ε = 0.3(a),
ε = 0.4(b), ε = 0.5(c) e ε = 0.6(d).
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56. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Modelo de part´ıcula teste
Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico;
Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel;
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57. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Modelo de part´ıcula teste
Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico;
Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel;
¨θ = −M senθ.
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58. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Modelo de part´ıcula teste
Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico;
Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel;
¨θ = −M senθ.
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59. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Modelo de part´ıcula teste
Figura 6: Mapa estrobosc´opico da dinˆamica da part´ıcula teste para ε = 0.3(a) e
ε = 0.6(b).
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60. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Kurtosis da distribuic¸˜ao de velocidades
Definido como κ =
p4
p2
;
Para distribuic¸˜oes Gaussianas (caso da distribuic¸˜ao MB),
→ κ = 3.
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61. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Kurtosis da distribuic¸˜ao de velocidades
Definido como κ =
p4
p2
;
Para distribuic¸˜oes Gaussianas (caso da distribuic¸˜ao MB),
→ κ = 3.
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
62. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Distribuic¸˜ao de Velocidades
Figura 7: Distribuic¸˜oes de velocidade no equil´ıbrio para um sistema onde ε = 0.6 e
M0 = 0.43 no tempo t = 1.35 × 107τD, quando κ 3, obtidas atrav´es da dinˆamica
molecular com N=60000 (pontos). A linha s´olida ´e a distribuic¸˜ao prevista pela
estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs.
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63. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Colapso
2.5
2.8
3.0
0 200 400 600 800 1000
κ(t)
t/10
4
τD
N=10000
N=20000
N=40000
N=80000
0 200 400 600 800 1000
t/N
1.00
τD
N=10000
N=20000
N=40000
N=80000
Figura 8: Relaxac¸˜ao para o equil´ıbrio, caracterizada pelo Kurtosis, com o tempo
reescalado por 3 × 104τD em (a) e por τ× = τDN1.0 em (b). Neste caso a energia ´e
ε = 0.6 e a magnetizac¸˜ao inicial vale 0.43.
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65. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hamiltoniano
H =
N
i=1
1
2
p2
θi
+ p2
φi
+
1
2N
N
i,j=1
[1 − cos(θi − θj)] +
1
2N
N
i,j=1
[1 − cos(φi − φj)]
+
N
i=1
cos(θi − φi )
.
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
66. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
HMF + HMF + curto alcance
H = Hθ + Hφ +
N
i=1
cos(θi − φi );
Hθ =
N
i=1
1
2
p2
θi
+
N
2
1 − M2
θ ;
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67. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
HMF + HMF + curto alcance
H = Hθ + Hφ +
N
i=1
cos(θi − φi );
Hθ =
N
i=1
1
2
p2
θi
+
N
2
1 − M2
θ ;
Hφ =
N
i=1
1
2
p2
φi
+
N
2
1 − M2
φ .
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68. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
HMF + HMF + curto alcance
H = Hθ + Hφ +
N
i=1
cos(θi − φi );
Hθ =
N
i=1
1
2
p2
θi
+
N
2
1 − M2
θ ;
Hφ =
N
i=1
1
2
p2
φi
+
N
2
1 − M2
φ .
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
69. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Modelo de Part´ıcula teste
Utilizaremos os valores estacion´arios de Mθ e Mφ obtidos da
simulac¸˜ao;
Faremos um mapa estrobosc´opico do plano pθ vs. θ quando
pφ = 0.
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71. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Figura 10: Diagrama contendo a evoluc¸˜ao temporal para N = 100000, = 0.1
com energias εθ = εφ = 0.45, εθ = εφ = 0.5 e εθ = εφ = 0.6.
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72. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hip´oteses
O Caos no qSS levar´a o sistema mais rapidamente ao
equil´ıbrio termodinˆamico.
Quanto maior o valor do acoplamento menor ser´a o valor do
expoente δ.
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73. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Kurtosis
Figura 11: Distribuic¸˜oes de velocidades, (a) pθ e (b) pφ, para um sistema
inicialmente distribuido como uma waterbag de magntizac¸˜oes Mθ = −Mφ = 0.638 e
energias εθ = εφ = 0.6, cuja constante de acoplamento vale = 0.5.
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74. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Colapso: = 10−2
e δ = 0.55
Figura 12: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 0.01 e M = 0.441.
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75. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
O que fizemos
Propomos um modelo com interac¸˜oes mistas;
Obtemos uma condic¸˜ao virial generalizada para o modelo;
Para um mesmo valor de , o aumento da energia faz com que
o qSS seja destru´ıdo mais rapidamente;
Identificamos que caos no modelo de part´ıcula teste est´a com
valor do expoente delta δ.
Tempo de relaxac¸˜ao diminui a medida que aumentamos o
acoplamento, apesar de ser dif´ıcil identicar o colapso para
> 0.15;
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76. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Pr´oximos passos
Caracterizar o caos atrav´es da obtenc¸˜ao dos expoentes de
Lyapunov;
Obter uma estimativa te´orica para o tempo de relaxac¸˜ao;
Implementac¸˜ao em CUDA.
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78. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
2.5
2.8
3.0
0 2000 4000 6000 8000 10000
κ(t)
t/103
τD
N=10000
N=20000
N=40000
N=80000
0 2000 4000 6000 8000 10000
t/N0.75
τD
N=10000
N=20000
N=40000
N=80000
Figura 13: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 0.001 e M = 0.432.Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
79. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
2.5
2.8
3.0
0 20000 40000 60000 80000 100000
κ(t)
t/102
τD
N=10000
N=20000
N=40000
N=80000
0 20000 40000 60000 80000 100000
t/N0.50
τD
N=10000
N=20000
N=40000
N=80000
Figura 14: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 0.1 e M = 0.500.Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
80. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
2.5
2.8
3.0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
κ(t)
t/2.5x103
τD
N=10000
N=20000
N=40000
N=80000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
t/N0.85
τD
N=10000
N=20000
N=40000
N=80000
Figura 15: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 1.0 e M = 0.725.Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
81. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Figura 16: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 1.5 e M = 0.777.
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
82. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Figura 17: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 2.0 e M = 0.812.
Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.