1. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Relaxac¸˜ao ao equil´ıbrio termodinˆamico em
sistemas com interac¸˜oes de longo alcance†
Felipe Leite Antunes
10 de Agosto de 2014
†
Trabalho financiado pela Comiss˜ao de Aperfeic¸oamento do Ensino
Superior(CAPES).
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

2. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Figura 1: Ludwig Eduard Boltzmann
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

3. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Boltzmann (gases)
Equac¸˜ao de Boltzmann → processo irrevers´ıvel a partir de
uma dinˆamica revers´ıvel;
Teorema H (1872) → H ∼ −S;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

4. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Boltzmann (gases)
Equac¸˜ao de Boltzmann → processo irrevers´ıvel a partir de
uma dinˆamica revers´ıvel;
Teorema H (1872) → H ∼ −S;
min[H(t)] quando a distribuic¸˜ao de velocidades ´e
Maxwell-Boltzmann.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

5. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Boltzmann (gases)
Equac¸˜ao de Boltzmann → processo irrevers´ıvel a partir de
uma dinˆamica revers´ıvel;
Teorema H (1872) → H ∼ −S;
min[H(t)] quando a distribuic¸˜ao de velocidades ´e
Maxwell-Boltzmann.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

6. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Natureza Estoc´astica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel
a partir de uma dinˆamica com simetria temporal;
Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas);
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

7. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Natureza Estoc´astica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel
a partir de uma dinˆamica com simetria temporal;
Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas);
Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

8. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Natureza Estoc´astica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel
a partir de uma dinˆamica com simetria temporal;
Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas);
Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica;
Zarmelo → teorema de recorrˆencia de poincar´e; tempo
necess´ario para retornar ao estado inicial.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

9. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Natureza Estoc´astica
Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel
a partir de uma dinˆamica com simetria temporal;
Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas);
Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica;
Zarmelo → teorema de recorrˆencia de poincar´e; tempo
necess´ario para retornar ao estado inicial.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

10. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Ergodicidade
Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a
ergodicidade;
A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica
estat´ıstica;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

11. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Ergodicidade
Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a
ergodicidade;
A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica
estat´ıstica;
Sistemas integr´aveis n˜ao s˜ao erg´odicos e os n˜ao-integr´aveis
podem ser erg´odicos.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

12. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Ergodicidade
Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a
ergodicidade;
A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica
estat´ıstica;
Sistemas integr´aveis n˜ao s˜ao erg´odicos e os n˜ao-integr´aveis
podem ser erg´odicos.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

13. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
H´enon-Heiles
V =
1
2
x2
+ y2
+ 2x2
y −
2
3
y3
Figura 2: y(t) vs. ˙y(t) quando x(t) = 0. Retirada de
http://mathworld.wolfram.com/Henon-HeilesEquation.html.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

14. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Curto alcance vs. Longo alcance
Interac¸˜oes de curto alcance: energia interna escala com N;
Interac¸˜oes de longo alacance: energia interna escala com N2.
Formalmente V ∼ r−α, onde α < d.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

15. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Exemplos
Interac¸˜oes gravitacionais;
V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

16. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Exemplos
Interac¸˜oes gravitacionais;
V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D;
F´ısica de Plasmas;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

17. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Exemplos
Interac¸˜oes gravitacionais;
V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D;
F´ısica de Plasmas;
Laser de el´etrons livres (FEL).
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

18. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Exemplos
Interac¸˜oes gravitacionais;
V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D;
F´ısica de Plasmas;
Laser de el´etrons livres (FEL).
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

19. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Equil´ıbrio Termodinˆamico
Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V );
Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

20. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Equil´ıbrio Termodinˆamico
Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V );
Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;
No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas
pela energia de interac¸˜ao;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

21. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Equil´ıbrio Termodinˆamico
Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V );
Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;
No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas
pela energia de interac¸˜ao;
Como obter um limite termodinˆamico n˜ao trivial?
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

22. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Equil´ıbrio Termodinˆamico
Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V );
Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;
No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas
pela energia de interac¸˜ao;
Como obter um limite termodinˆamico n˜ao trivial?
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

23. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Extensividade
Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que
dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu
n´umero de constitu´ıntes;
Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da
extensividade;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

24. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Extensividade
Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que
dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu
n´umero de constitu´ıntes;
Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da
extensividade;
H´a um truque para recuperarmos a extensividade (h´a um
prec¸o).
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

25. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Extensividade
Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que
dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu
n´umero de constitu´ıntes;
Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da
extensividade;
H´a um truque para recuperarmos a extensividade (h´a um
prec¸o).
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

26. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Prescic¸˜ao de Kac
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

27. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Aditividade
Propriedade de que energia do sistema ´e igual a soma das
energias de seus subsistemas;
A aditividade n˜ao pode ser recuperada.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

28. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Aditividade
Propriedade de que energia do sistema ´e igual a soma das
energias de seus subsistemas;
A aditividade n˜ao pode ser recuperada.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

29. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Evoluc¸˜ao
A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas;
A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de
Vlasov;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

30. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Evoluc¸˜ao
A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas;
A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de
Vlasov;
A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

31. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Evoluc¸˜ao
A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas;
A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de
Vlasov;
A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante;
Tempo de validade da descric¸˜ao de Vlasov cresce com o
tamanho do sistema.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

32. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Evoluc¸˜ao
A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas;
A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de
Vlasov;
A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante;
Tempo de validade da descric¸˜ao de Vlasov cresce com o
tamanho do sistema.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

33. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema de Braun-Hepp
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

34. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Escalas de tempo
Primeiro est´agio: soluc¸˜ao
est´avel da equac¸˜ao de
Vlasov;
Segundo est´agio: colis˜oes
residuais.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

35. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Escalas de tempo: estimativas
Sistemas n˜ao homogˆeneos: termos de correlac¸˜ao entre dois
corpos n˜ao-nulos, escala de tempo proporcional a N;
Sitemas homogˆeneos: termos de correlac¸˜ao entre dois corpos
nulos, escala de tempo proporcional a N2.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

36. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)
Intera¸c˜oes
Limite Termodinˆamico
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Escalas de tempo: estimativas
Sistemas n˜ao homogˆeneos: termos de correlac¸˜ao entre dois
corpos n˜ao-nulos, escala de tempo proporcional a N;
Sitemas homogˆeneos: termos de correlac¸˜ao entre dois corpos
nulos, escala de tempo proporcional a N2.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

37. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Konishi e Kaneko (1992)
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

38. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Antoni e Ruffo (1995)
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

39. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Rotores XY interagindo
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

40. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hamiltoniano
H =
N
i=1
p2
i
2
+
γ
2N
N
i,j=1
[1 − cos(θi − θj)];
H =
N
i=1
p2
i
2
−
1 − M2
2
;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

41. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hamiltoniano
H =
N
i=1
p2
i
2
+
γ
2N
N
i,j=1
[1 − cos(θi − θj)];
H =
N
i=1
p2
i
2
−
1 − M2
2
;
¨θi = −M senθi .
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

42. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hamiltoniano
H =
N
i=1
p2
i
2
+
γ
2N
N
i,j=1
[1 − cos(θi − θj)];
H =
N
i=1
p2
i
2
−
1 − M2
2
;
¨θi = −M senθi .
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

43. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Propriedades
Relaxac¸˜ao violenta;
Transis˜oes de fase;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

44. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Propriedades
Relaxac¸˜ao violenta;
Transis˜oes de fase;
Estados quasi-estacion´arios;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

45. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Propriedades
Relaxac¸˜ao violenta;
Transis˜oes de fase;
Estados quasi-estacion´arios;
Longo tempo relaxac¸˜ao.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

46. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Propriedades
Relaxac¸˜ao violenta;
Transis˜oes de fase;
Estados quasi-estacion´arios;
Longo tempo relaxac¸˜ao.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

47. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Analogia
O HMF ´e o oscilador harmˆonico dos sistemas com interac¸˜oes de
longo alcance.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

48. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Metodologia
Simulac¸˜oes de Dinˆamica
Molecular;
Integrador simpl´etico de 4a
ordem (PEFRL).
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

49. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Dependˆencia da magnetizac¸˜ao inicial
Figura 3: Magnetizac¸˜ao como func¸˜ao do tempo obtida usando dinˆamica molecular
com N = 106 e mesma energia u = 0.62. Para M0 = 0.2 ´e paramagn´etico e para
M0 = 0.8, ferromagn´etico.
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50. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Dependˆencia da energia inicial
Figura 4: Espac¸o de fases obtido via dinˆamica molecular com N = 105 part´ıculas
durante t = 5000τD.Em (a) u = 0.7 e (c) u = 0.45. A magnetizac¸˜ao inicial ´e a
mesma em ambos casos, M0 = 0.8.
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51. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema Virial
Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as
oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio.
Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende
do tempo;
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52. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema Virial
Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as
oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio.
Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende
do tempo;
No caso de interac¸˜oes de LA:
p2
= − dqdpf (q, p) −
∂V (q)
∂q
· q ;
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53. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema Virial
Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as
oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio.
Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende
do tempo;
No caso de interac¸˜oes de LA:
p2
= − dqdpf (q, p) −
∂V (q)
∂q
· q ;
Para um distribuic¸˜ao inicial do tipo WB:
2ε − 1 + M cos(θm) = 0 (CVG).
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54. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema Virial
Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as
oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio.
Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende
do tempo;
No caso de interac¸˜oes de LA:
p2
= − dqdpf (q, p) −
∂V (q)
∂q
· q ;
Para um distribuic¸˜ao inicial do tipo WB:
2ε − 1 + M cos(θm) = 0 (CVG).
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

55. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Validade da Condic¸˜ao Virial Generalizada
Figura 5: Evoluc¸˜ao da magnetizac¸˜ao ao longo do tempo para ε = 0.3(a),
ε = 0.4(b), ε = 0.5(c) e ε = 0.6(d).
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56. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Modelo de part´ıcula teste
Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico;
Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

57. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Modelo de part´ıcula teste
Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico;
Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel;
¨θ = −M senθ.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

58. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Modelo de part´ıcula teste
Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico;
Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel;
¨θ = −M senθ.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

59. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Modelo de part´ıcula teste
Figura 6: Mapa estrobosc´opico da dinˆamica da part´ıcula teste para ε = 0.3(a) e
ε = 0.6(b).
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60. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Kurtosis da distribuic¸˜ao de velocidades
Definido como κ =
p4
p2
;
Para distribuic¸˜oes Gaussianas (caso da distribuic¸˜ao MB),
→ κ = 3.
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61. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Kurtosis da distribuic¸˜ao de velocidades
Definido como κ =
p4
p2
;
Para distribuic¸˜oes Gaussianas (caso da distribuic¸˜ao MB),
→ κ = 3.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

62. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Distribuic¸˜ao de Velocidades
Figura 7: Distribuic¸˜oes de velocidade no equil´ıbrio para um sistema onde ε = 0.6 e
M0 = 0.43 no tempo t = 1.35 × 107τD, quando κ 3, obtidas atrav´es da dinˆamica
molecular com N=60000 (pontos). A linha s´olida ´e a distribuic¸˜ao prevista pela
estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs.
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63. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Colapso
Figura 8: Relaxac¸˜ao para o equil´ıbrio, caracterizada pelo Kurtosis, com o tempo
reescalado por 3 × 104τD em (a) e por τ× = τDN1.0 em (b). Neste caso a energia ´e
ε = 0.6 e a magnetizac¸˜ao inicial vale 0.43.
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64. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Ilustrac¸ao
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65. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hamiltoniano
H =
N
i=1
1
2
p2
θi
+ p2
φi
+
1
2N
N
i,j=1
[1 − cos(θi − θj)] +
1
2N
N
i,j=1
[1 − cos(φi − φj)]
+
N
i=1
cos(θi − φi )
.
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66. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
HMF + HMF + curto alcance
H = Hθ + Hφ +
N
i=1
cos(θi − φi );
Hθ =
N
i=1
1
2
p2
θi
+
N
2
1 − M2
θ ;
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67. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
HMF + HMF + curto alcance
H = Hθ + Hφ +
N
i=1
cos(θi − φi );
Hθ =
N
i=1
1
2
p2
θi
+
N
2
1 − M2
θ ;
Hφ =
N
i=1
1
2
p2
φi
+
N
2
1 − M2
φ .
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

68. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
HMF + HMF + curto alcance
H = Hθ + Hφ +
N
i=1
cos(θi − φi );
Hθ =
N
i=1
1
2
p2
θi
+
N
2
1 − M2
θ ;
Hφ =
N
i=1
1
2
p2
φi
+
N
2
1 − M2
φ .
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

69. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Equac¸˜oes de Movimento
¨θi = −Mθ sen(θi ) + sen(θi − φi );
¨φi = −Mφ sen(φi ) − sen(θi − φi ).
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70. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Distrubic¸˜ao Inicial
Figura 9: Exemplo de uma distribuic¸˜ao waterbag centrada em 0 (a) e centrada em
π (b), com N = 5 × 104, εθ = εφ = 0.6 e Mθ = Mφ = 0.5.
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71. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema Virial
A partir do teorema virial, obtemos as seguintes equac¸˜oes
acopladas:
p2
θ = M2
θ − cos(θm)(Mθ − Mφ) − MφMθ e
p2
φ = M2
φ + cos(φm)(Mφ − Mθ) − MφMθ.
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72. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Teorema Virial
A partir do teorema virial, obtemos as seguintes equac¸˜oes
acopladas:
p2
θ = M2
θ − cos(θm)(Mθ − Mφ) − MφMθ e
p2
φ = M2
φ + cos(φm)(Mφ − Mθ) − MφMθ.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

73. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hip´oteses
Partindo de uma condic¸˜ao virial, Mθ e Mφ oscilam de maneira
desprez´ıvel;
Logo, cos(θ − φ) = MθMφ durante toda a evoluc¸˜ao;
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74. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hip´oteses
Partindo de uma condic¸˜ao virial, Mθ e Mφ oscilam de maneira
desprez´ıvel;
Logo, cos(θ − φ) = MθMφ durante toda a evoluc¸˜ao;
A energia individual de cada watterbag ´e igual (εθ = εφ = E)
e conservada individualmente ao longo da evoluc¸˜ao;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

75. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hip´oteses
Partindo de uma condic¸˜ao virial, Mθ e Mφ oscilam de maneira
desprez´ıvel;
Logo, cos(θ − φ) = MθMφ durante toda a evoluc¸˜ao;
A energia individual de cada watterbag ´e igual (εθ = εφ = E)
e conservada individualmente ao longo da evoluc¸˜ao;
Podemos escrever
p2
θ = 2E − 1 + M2
θ e
p2
φ = 2E − 1 + M2
φ.
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76. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hip´oteses
Partindo de uma condic¸˜ao virial, Mθ e Mφ oscilam de maneira
desprez´ıvel;
Logo, cos(θ − φ) = MθMφ durante toda a evoluc¸˜ao;
A energia individual de cada watterbag ´e igual (εθ = εφ = E)
e conservada individualmente ao longo da evoluc¸˜ao;
Podemos escrever
p2
θ = 2E − 1 + M2
θ e
p2
φ = 2E − 1 + M2
φ.
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77. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
CVG
Comparando, obtemos a CVG, dada pela soluc¸˜ao simultˆanea
das seguintes equac¸˜oes:
0 = 2E − 1 + cos(θm)(Mθ − Mφ) + MφMθ e
0 = 2E − 1 − cos(φm)(Mφ − Mθ) + MφMθ.
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78. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
CVG
Comparando, obtemos a CVG, dada pela soluc¸˜ao simultˆanea
das seguintes equac¸˜oes:
0 = 2E − 1 + cos(θm)(Mθ − Mφ) + MφMθ e
0 = 2E − 1 − cos(φm)(Mφ − Mθ) + MφMθ.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

79. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Figura 10: O valor de ´e 0.01 e as magnetizac¸˜oes iniciais s˜ao
Mθ = −Mφ = 0.823128 com E = 0.3 (a), E = 0.4 (b), E = 0.5 (c) e E = 0.6 (d).
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80. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Figura 11: Comparac¸˜ao da previs˜ao te´orica, para E = 0.3 (vermelho) e 0.6 (azul)
com ∈ [0, 0.5], e os valores obtidos atrav´es da dinˆamica molecular (pontos) com
N = 2.5 × 105 no instante tD = 500 para valores de neste mesmo intervalo.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

81. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Modelo de Part´ıcula teste
Utilizaremos os valores estacion´arios de Mθ e Mφ obtidos da
simulac¸˜ao;
Faremos um mapa estrobosc´opico do plano pθ vs. θ quando
pφ = 0.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

82. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Figura 12: Mapa estrobosc´opico da dinˆamica de part´ıcula teste com magnetizac¸˜oes
do qSS obtidas atrav´es da dinˆamica molecular para N = 2.5 × 105 no instante
tD = 500 e E = 0.6.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

83. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Figura 13: Diagrama contendo a evoluc¸˜ao temporal para N = 100000, = 0.1
com energias εθ = εφ = 0.45, εθ = εφ = 0.5 e εθ = εφ = 0.6.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

84. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Hip´oteses
O Caos no qSS levar´a o sistema mais rapidamente ao
equil´ıbrio termodinˆamico.
Quanto maior o valor do acoplamento menor ser´a o valor do
expoente δ.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

85. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Kurtosis
Figura 14: Distribuic¸˜oes de velocidades, (a) pθ e (b) pφ, para um sistema
inicialmente distribuido como uma waterbag de magntizac¸˜oes Mθ = −Mφ = 0.638 e
energias εθ = εφ = 0.6, cuja constante de acoplamento vale = 0.5.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

86. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Colapso: = 10−4
e δ = 0.95
Figura 15: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 0.0001 e M = 0.431.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

87. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Colapso: = 10−2
e δ = 0.55
Figura 16: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 0.01 e M = 0.441.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

88. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Descri¸c˜ao
Simula¸c˜ao
Condi¸c˜ao Virial
Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio
Tabela
δ
0.0000 1.00
0.0010 0.75
0.0100 0.55
0.1000 0.50
0.1500 0.45
0.5000 0.70
1.0000 0.75
1.5000 0.30
2.0000 0.20
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89. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
O que fizemos
Propomos um modelo com interac¸˜oes mistas;
Obtemos uma condic¸˜ao virial generalizada para o modelo;
Para um mesmo valor de , o aumento da energia faz com que
o qSS seja destru´ıdo mais rapidamente;
Identificamos que caos no modelo de part´ıcula teste est´a com
valor do expoente delta δ.
Tempo de relaxac¸˜ao diminui a medida que aumentamos o
acoplamento, apesar de ser dif´ıcil identicar o colapso para
> 0.15;
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

90. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Pr´oximos passos
Caracterizar o caos atrav´es da obtenc¸˜ao dos expoentes de
Lyapunov;
Obter uma estimativa te´orica para o tempo de relaxac¸˜ao;
Implementac¸˜ao em CUDA.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

91. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
THE END
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

92. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Figura 17: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 0.001 e M = 0.432.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

93. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Figura 18: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 0.1 e M = 0.500.
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94. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Figura 19: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 1.0 e M = 0.725.
Felipe Leite Antunes Relaxa¸c˜ao em sistemas com intera¸c˜oes de longo alcance

95. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Figura 20: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 1.5 e M = 0.777.
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96. Introdu¸c˜ao
Modelo HMF
Modelo HMF-Ladder
Conclus˜oes e Perspectivas
Extras
Figura 21: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104
(vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais
s˜ao: E = 0.6, = 2.0 e M = 0.812.
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