Dissertacao geilson

VERIFICAÇÃO SIMULTÂNEA DOS ESTADOS LIMITES
ÚLTIMOS E DE SERVIÇO EM ANÁLISES NÃO-LINEARES
DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À
FLEXÃO PURA
Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos
Dissertação apresentada à Escola de
Engenharia de São Carlos da
Universidade de São Paulo, como
parte dos requisitos para obtenção do
título de Mestre em Engenharia de
Estruturas.
Orientador: Prof. Associado Márcio Roberto Silva Corrêa
São Carlos
2005

Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento
da Informação do Serviço de Biblioteca - EESC/USP
Vasconcelos, Geilson Márcio Albuquerque de
V331v Verificação simultânea dos estados limites últimos e de
serviço em análises não-lineares de peças de concreto
armado submetidas à flexão pura / Geilson Márcio
Albuquerque de Vasconcelos. –- São Carlos, 2005.
Dissertação (Mestrado) –- Escola de Engenharia de São
Carlos-Universidade de São Paulo, 2005.
Área: Engenharia de Estruturas.
Orientador: Prof. Assoc. Márcio Roberto Silva Corrêa.
1. Análise não-linear física. 2. Segurança das
estruturas 3. Estruturas de concreto armado. 4. Estados
limites. I. Título.

ii
DDEEDDIICCAATTÓÓRRIIAA
Ao Senhor meu Deus pela força que me proporciona a cada dia e a minha
Mãezinha do Céu pelo amor, carinho e entusiasmo durante toda minha vida.
Aos meus familiares que contribuíram para minha formação pessoal e
profissional. Pelo carinho e amor em mim depositado durante todo esse tempo e que se
motivam e se orgulham das minhas vitórias.
À minha esposa Lena Betânia Teixeira A. de Vasconcelos, pela imensa
compreensão, carinho, confiança e amor nestes dois anos de mestrado em que fiquei
distante de casa. Muito obrigado amor!
À minha filha Laís Regina. Amo-te demais filha. Pelas alegrias e satisfações
passadas nos períodos de retorno à família. Foram momentos que me fortaleceram a
continuar o mestrado, mesmo com a sofrida distância.
Aos meus pais Gilberto Teixeira de Vasconcelos e Margarida Maria de
Albuquerque Vasconcelos; em especial à minha mamãe pelo amor, carinho, garra e
dedicação na criação da nossa família e em minha formação. Muito obrigado Mamãe
por tudo que tens feito por mim.
Aos meus irmãos Gilverlan e Gilciran pelo carinho e afeto.
À minha tia Maria Regina, que me proporcionou tantos ensinamentos.
Obrigado por ter contribuído para minha formação profissional e pessoal. Amo-te muito
titia.

iii
AAGGRRAADDEECCIIMMEENNTTOOSS
Ao professor e orientador Márcio Roberto Silva Corrêa, pelos ensinamentos e
amizade desfrutados durante este período; pelo empenho e satisfação em transmitir seus
conhecimentos.
Aos professores que compõem o Departamento de Engenharia de Estrutura da
EESC/USP: gostaria de firmar meus sinceros agradecimentos ao professor José Samuel
Giongo pelas sugestões e contribuições dadas durante o desenvolvimento deste trabalho
e por sua amizade.
Ao professor Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho da Universidade Federal de
São Carlos – UFSCar pelas contribuições prestadas no exame de qualificação e na
defesa do mestrado.
À professora Ruth de Gouvêa Duarte pelas sugestões e correções no texto do
presente trabalho.
Aos funcionários do Departamento de Engenharia de Estruturas, em especial a
Rosi Jordão, Maria Nadir Minatel e “Toninho” pela presteza em servir.
À CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Ensino Superior,
pela bolsa que propiciou minha formação no mestrado.
Ao conterrâneo e amigo Edson Costa de Assis Júnior pelo convívio nestes dois
anos. Sou bastante grato pelas contribuições dadas ao trabalho e pela amizade e
conversas compartilhadas neste período tão importante para nós dois. Ao amigo
alagoano Jefferson Lins da Silva pela companhia e amizade neste último ano.
Aos demais alagoanos que fizeram ou fazem parte do convívio neste período:
Alexandre “Topó”, André Dória, Eduardo Toledo, Fábio Lopes, Gustavo Codá,
Jerônymo Pereira, Márcio Felix, Rafael Piatti, Saulo Almeida, Valber Pedrosa e Walter
Oliveira.

iv
Aos amigos da turma e do Departamento de Engenharia de Estruturas, não irei
agradecer individualmente, porque poderia deixar de citar alguém. Obrigado a todos
pelo convívio e amizade conquistada.
Ao Projeto Universidades Renovadas (PUR) e aos amigos do Grupo de
Perseverança e Partilha GPP – São Carlos, que durante o convívio deste a graduação
ajudaram em minha formação como profissional do Reino de Deus.
Aos professores e amigos da Universidade Federal de Alagoas – UFAL que
contribuíram para minha formação profissional e pessoal; em especial ao professor João
Carlos Cordeiro Barbirato pelo convívio durante a graduação e incentivo à pesquisa
científica. Aos companheiros do Programa Especial de Capacitação de Discentes de
Engenharia Civil – PEC/Eng. Civil durante o tempo de convívio.

v
“Trabalha como se tudo dependesse de ti e confia como se tudo
dependesse de Deus”.
Santo Inácio de Loyola
(1491-1552)

vi
RREESSUUMMOO
VASCONCELOS, G.M.A. (2005). Verificação simultânea dos estados limites
últimos e de serviços em análises não-lineares de peças de concreto armado
submetidas à flexão pura. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São
Carlos, Universidade de São Paulo.
Neste trabalho foram discutidos os aspectos de dimensionamento e verificação
da segurança de elementos estruturais de concreto armado considerando a não-
linearidade dos materiais. O estudo abordou uma nova proposta para a verificação
simultânea dos estados limites últimos (ELU) e dos estados limites de serviço (ELS)
para elementos de concreto armado submetidos à flexão, voltada especialmente para
aplicações considerando a não-linearidade física utilizando o método dos elementos
finitos. As propostas alternativas apresentadas na consideração de coeficientes
minoradores das resistências dos materiais, trataram da utilização de valores médios
para as relações tensão-deformação e para as resistências dos materiais; valores de
referência que permitiram a composição de coeficientes globais de segurança, que
independem da ruptura ser causada por esgotamento da capacidade resistente do
concreto ou do aço e, finalmente, valores médios para as relações tensão-deformação no
aço e no concreto, com limitação das resistências em seus valores de projeto. Foram
analisadas seções transversais retangulares e do tipo “T” submetidas à flexão pura, com
o uso das propostas alternativas. Foram, também, estudadas vigas isostáticas e
hiperestáticas incluindo a verificação das reservas da capacidade resistente da estrutura,
sendo que foi considerada a redistribuição dos esforços internos no caso hiperestático.
As análises realizadas serviram de base para assumir-se que a terceira proposta
anteriormente citada, é a mais adequada e a que atendeu, simultaneamente, às
verificações dos ELU e ELS; o que a torna viável para aplicações práticas.
Palavras-chave: Análise não-linear física, segurança das estruturas, estruturas de
concreto armado, estados limites.

vii
AABBSSTTRRAACCTT
VASCONCELOS, G.M.A. (2005). Simultaneous verification of the ultimate limit
states and of serviceability in nonlinear analysis of reinforced concrete beams
subjected to pure bending. M.Sc. Dissertation – Engineering School at São Carlos,
São Paulo University, São Carlos.
The present work deals with dimensioning and verification of the safety
conditions of reinforced concrete structural elements, taking into account the material
non-linearity. It includes a new proposal for the simultaneous verification of the
ultimate limit states (ULS) and the serviceability limit states (SLS) for reinforced
concrete bending elements, enhancing Finite Element applications with physical non-
linearities. The alternative proposals for the material safety factors include the use of
mean values for the stress-strain relationships and the strength of materials; reference
values that allow the composition of global safety coefficients that do not dependent on
the type of failure, brittle in the concrete or ductile in the steel and, finally, means
values for the concrete and steel stress-strain relationships, keeping the stresses always
lower than the design strength values. Rectangular and T-type cross-sectional areas in
pure bending were analyzed, using the alternative proposals. Statically determinate and
hyperstatic beams were also studied to verify the safety conditions, including the
redistribution of the internal forces in the hyperstatic cases. According to the analyses
performed it is apparent that the third proposal is the most adequate and satisfies
simultaneously the ULS and SLS verifications, being viable for practical applications.
Keywords: Physical non-linear analysis, safety of the structures, reinforced concrete
structures, limit states.

viii
LLIISSTTAA DDEE FFIIGGUURRAASS
Figura 2.1 – Elemento finito tridimensional de barra. ....................................................09
Figura 2.2 – Elemento finito de seção transversal retangular estratificada.....................10
Figura 2.3 – Diagrama tensão-deformação para compressão axial do concreto, CEB-FIP
MC90. .............................................................................................................................12
Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação para tração axial do concreto, Figueiras
(1983)..............................................................................................................................14
Figura 2.5 – Diagrama tensão-deformação para o aço – elastoplástico perfeito. ...........15
Figura 2.6 – Diagrama tensão-deformação para o aço – elastoplástico com encruamento.
.........................................................................................................................................15
Figura 3.1 – Formação de fissuras: a) sistemática e b) assistemática, Mollica Júnior
(1986) [adaptada]. ...........................................................................................................28
Figura 3.2 – Diagrama tensão-deformação do aço..........................................................33
Figura 3.3 – Diagrama tensão-deformação do concreto C30, CEB-FIP MC90..............33
Figura 3.4 – Razão ente os momentos resistentes com diferentes resistência dos
materiais – König et al. (1997) e Ahner & Tue (1997) [adaptada].................................38
Figura 3.5 – Razão ente os momentos resistentes da seção retangular submetida à flexão
simples. ...........................................................................................................................39
Figura 3.6 – Seção transversal submetida à flexão: a) retangular e b) do tipo “T”.
Medidas em cm. ..............................................................................................................42
Figura 3.7 – Seção retangular submetida à flexão: a) sem armadura de compressão e b)
armadura de compressão ( )2 6,30mmφ . .........................................................................42
Figura 3.8 – Seção retangular submetida à flexão: a) taxa de armadura de compressão
0,25%ρ = e b) taxa de armadura de compressão 0,50%ρ = ......................................43
Figura 3.9 – Seção do tipo “T” submetida à flexão: a) sem armadura de compressão e b)
armadura de compressão ( )2 6,30mmφ . .........................................................................43

ix
Figura 3.10 – Seção do tipo “T” submetida à flexão: a) taxa de armadura de compressão
0,25%ρ = e b) taxa de armadura de compressão 0,50%ρ = ......................................44
Figura 4.1 – Segurança da seção transversal – flexão simples. ......................................49
Figura 4.2 – Placa biapoiada – Wittek e Meiswinkel (2000)..........................................50
Figura 4.3 – Discretização da placa biapoiada e estratificação da seção transversal......51
Figura 4.4 – Fator de carga vs. deslocamento – análises com valores médios e de
referência.........................................................................................................................51
Figura 4.5 – Fator de carga vs. deslocamento: a) análise com valores médios e b) análise
com valores de referência................................................................................................52
referência realizadas no presente trabalho. .....................................................................53
Figura 4.7 – Viga contínua com dois vãos – Wittek e Meiswinkel (2000).....................53
Figura 4.8 – Disposições das armaduras na viga contínua..............................................54
Figura 4.9 – Discretização da viga contínua e estratificação da seção transversal.........55
referência.........................................................................................................................56
Figura 4.11 – Fator de carga vs. deslocamento: a) análise com valores médios e b)
análise com valores de referência. ..................................................................................56
referência realizadas no presente trabalho. .....................................................................57
Figura 4.13 – Viga biapoiada..........................................................................................60
Figura 4.14 – Discretização da viga biapoiada e estratificação da seção transversal. ....61
Figura 4.15 – Fator de carga vs. deslocamento no meio do vão da viga biapoiada........62
Figura 4.16 – Viga apoiada-engastada............................................................................64
Figura 4.17 – Disposições das armaduras na viga apoiada-engastada............................65
Figura 4.18 – Discretização da viga apoiada-engastada e estratificação da seção
transversal. ......................................................................................................................66

x
Figura 4.19 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga apoiada-engastada sem
redistribuição...................................................................................................................66
Figura 4.20 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga apoiada-engastada com
redistribuição...................................................................................................................70
Figura 4.21 – Viga biengastada.......................................................................................73
Figura 4.22 – Disposição das armaduras ao longo da viga biengastada.........................74
Figura 4.23 – Discretização da viga biengastada e estratificação da seção transversal..74
Figura 4.24 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga biengastada sem
redistribuição...................................................................................................................75
Figura 4.25 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga biengastada: a) com
redistribuição de 0,88δ = e b) com redistribuição de 0,75δ = ....................................79
Figura 4.26 – Capacidade de rotação de rótulas plásticas, NBR 6118:2003 [adaptada].80

xi
LLIISSTTAA DDEE TTAABBEELLAASS
Tabela 3.1 – Coeficientes ponderadores de ações variáveis, NBR 6118:2003...............23
Tabela 3.2 – Coeficientes 1 3f f fγ γ γ= ⋅ , NBR 8681:2003. ...........................................24
Tabela 3.3 – Valores do coeficientes de cγ e sγ , NBR 6118:2003................................26
Tabela 3.4 – Limites de fissuração, NBR 6118:2003. ....................................................27
Tabela 3.5 – Limites para deslocamentos, NBR 6118:2003...........................................29
Tabela 4.1 – Segurança das seções transversais críticas da viga contínua......................54
Tabela 4.2 –Resistência dos materiais. ...........................................................................61
Tabela 4.3 – Flechas da viga biapoiada. .........................................................................63
Tabela 4.4 – Momentos fletores máximos na viga apoiada-engastada sem redistribuição
para análise não-linear.....................................................................................................67
Tabela 4.5 –Flechas da viga apoiada-engastada. ............................................................68
Tabela 4.6 – Momentos fletores máximos na viga apoiada-engastada com redistribuição
para análise não-linear.....................................................................................................71
Tabela 4.7 – Flechas da viga apoiada-engastada com redistribuição ( )0,93δ = ...........71
Tabela 4.8 – Resultados das análises com ou sem redistribuição dos esforços solicitantes
da viga apoiada-engastada...............................................................................................72
Tabela 4.9 – Momentos fletores máximos na viga biengastada sem redistribuição para
análise não-linear. ...........................................................................................................76
Tabela 4.10 – Flechas da viga biengastada.....................................................................76
Tabela 4.11 – Momentos fletores e armaduras da viga biengastada com redistribuição.
.........................................................................................................................................78
Tabela 4.12 – Limite da capacidade de rotação da rótula plástica para os apoios..........81
Tabela 4.13 – Rotações das rótulas plásticas para as análises não-lineares....................81
Tabela 4.14 – Aberturas de fissuras na viga biengastada................................................82

viii
SSUUMMÁÁRRIIOO
RESUMO ...........................................................................................VI
ABSTRACT.....................................................................................VII
LISTA DE FIGURAS ................................................................... VIII
LISTA DE TABELAS ......................................................................XI
1 INTRODUÇÃO............................................................................01
1.1 Considerações iniciais............................................................................. 01
1.2 Objetivo.................................................................................................... 02
1.3 Justificativa.............................................................................................. 03
1.4 Metodologia ............................................................................................. 04
2 NÃO-LINEARIDADE FÍSICA ..................................................06
2.2 Breve histórico......................................................................................... 06
2.3 Método numérico utilizado .................................................................... 08
2.4 Campo de aplicação ................................................................................ 11
2.5 Modelos constitutivos dos materiais...................................................... 11
2.5.1 Aplicado ao concreto........................................................................... 12
2.5.2 Aplicado ao aço................................................................................... 14
3 ABORDAGENS NORMATIVAS E NOVA CONSIDERAÇÃO DE
SEGURANÇA ...................................................................................16
3.2 Métodos de dimensionamento................................................................ 16
3.2.1 Método determinístico ........................................................................ 17
3.2.2 Método semi-probabilístico ................................................................ 19
3.2.3 Método probabilístico ......................................................................... 21
3.3 Prescrições normativas........................................................................... 22
3.3.1 Coeficientes de ponderação das ações ................................................ 22
3.3.2 Ponderadores das resistências dos materiais....................................... 26

ix
3.3.3 Verificação do estado limite de fissuração.......................................... 26
3.3.4 Verificação do estado limite de deformação excessiva....................... 29
3.4 Proposta de dimensionamento ............................................................... 32
3.5 Proposta para uma nova consideração de segurança.......................... 34
4 EXEMPLOS E APLICAÇÕES ..................................................46
4.1 Considerações gerais............................................................................... 46
4.2 Comparação entre resultados – aferição do programa ....................... 47
4.2.1 Seção transversal................................................................................. 48
4.2.2 Placa biapoiada – Wittek e Meiswinkel (2000) .................................. 49
4.2.3 Viga contínua com dois vãos - Wittek e Meiswinkel (2000).............. 53
4.3 Exemplos aplicados à NBR 6118:2003 .................................................. 58
4.3.1 Viga biapoiada .................................................................................... 60
4.3.2 Viga apoiada-engastada ...................................................................... 64
4.3.3 Viga biengastada................................................................................. 73
5 CONCLUSÃO E SUGESTÃO ...................................................83
5.1 Sobre o trabalho...................................................................................... 83
5.2 Sugestão para trabalhos futuros............................................................ 84
REFERÊNCIAS ................................................................................85
APÊNDICE A ...................................................................................93
APÊNCIDE B .................................................................................114

11 IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO
11..11 CCoonnssiiddeerraaççõõeess iinniicciiaaiiss
Nos últimos anos, o meio científico tem desenvolvido importantes avanços na
análise não-linear de estruturas de concreto, particularmente aquelas ligadas diretamente
ao concreto armado, material largamente empregado na construção civil. Porém, tal
avanço ainda não foi incorporado ao meio técnico, em especial no que se refere à
análise estrutural – em virtude das dificuldades inerentes ao processo – e, também, ao
descompasso ainda existente entre os procedimentos de análise estrutural e os de
dimensionamento, principalmente no que tange aos coeficientes de ponderação de ações
e de resistências.
Sabe-se que o modelo elástico-linear normalmente é utilizado para representar
o comportamento dos materiais, em virtude da relativa simplicidade em sua formulação
e, conseqüentemente, em seu equacionamento, quando comparado a modelos de cálculo
mais refinados, como é o caso da análise estrutural considerando a não-linearidade dos
materiais.
As formulações do comportamento não-linear conduzem a problemas
matemáticos mais complexos, com soluções praticamente impossíveis sem o auxílio de
computadores com configuração que proporcione boa capacidade de trabalho. Por este
motivo, o emprego da não-lineariadade, como ferramenta usual de projeto, foi adiado
por algum tempo, como também o foram os métodos numéricos, dentre eles, Método
Capítulo

Capítulo 1 – Introdução 2
das Diferenças Finitas (MDF), Método dos Elementos Finitos (MEF) e Método dos
Elementos de Contorno (MEC).
O estudo da não-linearidade física tem evoluído bastante, tanto no aspecto das
formulações teóricas quanto na melhoria da qualidade das implementações
computacionais. Melhorias nos modelos não-lineares, como otimizações nas rotinas de
cálculo, agilizam o processamento de estruturas usuais de concreto, cujas rotinas de
cálculo podem se tornar viáveis para uso nos escritórios de projeto de estruturas, sob a
forma de programas computacionais.
11..22 OObbjjeettiivvoo
O objetivo deste trabalho é fazer análises de elementos de concreto armado
submetidas a solicitações normais de flexão pura empregando o comportamento não-
linear físico. Nestas análises foram considerados os valores médios para as relações
tensão-deformação no aço e no concreto, limitando suas resistências nos valores de
cálculo, para que se possa satisfazer tanto aos estados limites últimos quanto aos estados
limites de serviço.
O presente trabalho irá avaliar também a formulação de uma nova proposta
para verificação dos estados limites que, independente do critério de ruptura do
elemento se dar por esgotamento da resistência do aço ou do concreto, tenha um mesmo
coeficiente global de segurança.
O presente estudo compreendeu as atividades listadas a seguir.
Verificação do comportamento de vigas de concreto armado submetidas à
flexão pura, dimensionadas para resistir a esforços solicitantes, empregando a análise
elástico-linear e não-linear física.
Avaliação de propostas alternativas de dimensionamento para o regime não-
linear físico considerando valores médios, valores de cálculo ou valores de referência
das resistências dos materiais, aço e concreto.
Elaboração de rotinas no software MathCad para dimensionamento de peças de
concreto armado, verificação da capacidade resistente de seção transversal, formação de
abertura máxima de fissuras e deformações excessivas, para proporcionar maior rapidez
em tais verificações.

Análise das propostas apresentadas, aplicadas aos estados limites últimos e de
serviço de elementos de concreto armado que proporcionem peças seguras de acordo
com as recomendações da NBR 6118:2003.
11..33 JJuussttiiffiiccaattiivvaa
A consideração de soluções estruturais cada vez mais audaciosas e ao mesmo
tempo mais econômicas, envolvendo técnicas mais complexas, conduzem à necessidade
de utilizar modelos que descrevam o mais real possível comportamento da estrutura
durante as várias fases da construção dando, assim, fornecendo ao projetista, de forma
rápida e viável, um valor adequado da segurança revelado pela estrutura em estudo,
(HENRIQUES, 1991).
Na análise e no dimensionamento de estruturas de concreto armado são
conhecidas algumas limitações exibidas pelos métodos clássicos, baseados no modelo
de comportamento elástico-linear dos materiais. Desta forma, a freqüente consideração
de simplificações pode conduzir a acréscimos no custo da edificação, sobretudo quando
se lida com casos poucos correntes.
Normalmente, as normas regulamentadoras de estruturas de concreto
recomendam o emprego de análises não-lineares físicas por serem mais consistentes,
mesmo que de forma simplificada, pois, em alguns casos, a análise não-linear torna-se
inviável em virtude de fatores como necessidade de computadores com maior
capacidade de processamento, tempo computacional elevado, entre outros.
No dimensionamento dos elementos de concreto armado são determinados os
esforços solicitantes considerando a teoria da elasticidade independentemente do
comportamento do material. Posteriormente, dimensiona-se o elemento para as seções
mais solicitadas, majorando-se os esforços e minorando-se as resistências dos materiais
por meio dos coeficientes ponderadores estabelecidos por normas regulamentadoras.
Segundo Henriques (1998), esta metodologia pode ser considerada aceitável
para análises lineares; entretanto, deixa de ser válida quando a capacidade resistente das
estruturas é verificada com técnicas não-lineares incrementais e iterativas. Neste caso,
as relações constitutivas consideradas nas análises e na verificação da segurança não
podem ser consideradas independentes.
De acordo com a NBR 6118:2003 e o CEB-FIP MC90, os métodos de análise
não-lineares podem ser empregados tanto para os estados limites últimos (ELU) quanto

para os estados limites de serviço (ELS), desde que satisfaçam às condições de
equilíbrio e de compatibilidade.
O CEB-FIP MC90 propõe que verificada a segurança considerando a não-
linearidade, seja empregado o valor médio da resistência dos materiais na estrutura.
Dessa forma, a segurança da estrutura ou da seção crítica dependeria do critério de
ruptura a que estivesse submetida, seja ela frágil (esgotamento da capacidade resistente
do concreto) ou dúctil (esgotamento da capacidade resistente do aço), podendo resultar
em margens de segurança diferentes, como relatado nos trabalhos de Lourenço et al.
(1992), Camara et al. (1994) e Eibl et al. (1995).
Entretanto, König et al. (1997) propõem alterações na consideração dos valores
médios das resistências dos materiais ao empregar a análise não-linear, proporcionando
a mesma margem de segurança da estrutura, independentemente do critério de ruptura
do elemento. Vários trabalhos foram realizados nesta linha e proporcionaram resultados
satisfatórios; Tue (1996), König et al. (1997) e Ahner e Tue (1997).
As mudanças e adaptações propostas por König et al. (1997) foram também
estudas por Oliveira (2001), empregando os parâmetros da NBR 6118:2003 apenas na
avaliação da segurança de seções transversais de concreto armado. No presente trabalho
serão avaliados, além de seções transversais de concreto armado, elementos de viga
isostáticas e hiperestáticas submetidas à flexão pura.
11..44 MMeettooddoollooggiiaa
Estudar as alternativas de verificação da segurança das estruturas de concreto
armado considerando coeficientes de segurança para a seção transversal crítica e para a
estrutura, propostas pelo CEB-FIP MC90 ao empregar a não-linearidade física quando
se utilizam os valores das resistências médias e de referência para o concreto e para o
aço. Fazer as necessárias adaptações destas propostas à NBR 6118:2003, em virtude da
diferença entre o coeficiente de minoração da resistência característica à compressão do
concreto utilizado pela NBR 6118:2003 e pelo CEB-FIP MC90, analisando e
verificando os fatores favoráveis e desfavoráveis.
Considerar vigas de concreto armado para fundamentar a idéia da proposta em
que considera o valor médio das resistências dos materiais, limitando-as aos seus
valores de projeto. Aplicar os conceitos às vigas isostáticas e hiperestáticas, variando

parâmetros tais como geometria, carregamento, taxas de armaduras e resistência dos
materiais.
O dimensionamento dos elementos de concreto é feito para o ELU utilizando
programa desenvolvido pelo autor no software MathCad disponível no Departamento de
Estrutura da EESC/USP. Além deste, foram desenvolvidos programas para verificação
das seções resistentes e dos ELS – estado de formação de fissuração e de deformação
excessiva.
Analisar as vigas submetidas à flexão pura, para verificação das propostas do
coeficiente global de segurança e da consideração dos valores médios da resistência dos
materiais, limitando-as no valor de cálculo, e comparar seus resultados com análises
desenvolvidas por autores que trabalharam nesta mesma linha de pesquisa. As análises
não-lineares físicas são realizadas utilizando o programa ANPAV, desenvolvido por
Oliveira (2001), sendo feitas algumas adaptações no código original.
Comparar os resultados obtidos, sob o ponto de vista dos critérios de segurança
estabelecidos pela NBR 6118:2003.

22 NNÃÃOO--LLIINNEEAARRIIDDAADDEE FFÍÍSSIICCAA
Nos últimos anos, os centros de pesquisa acadêmica vêem desenvolvendo
importantes avanços nos estudos do comportamento não-linear das estruturas de
concreto armado. Apesar desses avanços serem pouco empregados no meio técnico, em
virtude da complexidade de sua fundamentação teórica e da necessidade de uso de
recursos computacionais em suas aplicações, os códigos normativos buscam tratar,
mesmo que de forma simplificada, os aspectos da não-linearidade.
Esses procedimentos são muito utilizados em projetos de pesquisa, na busca de
formas simplificadas que possam ser empregadas na prática, reproduzindo o
comportamento não-linear físico e geométrico das estruturas de concreto armado.
Neste capítulo mostra-se o avanço das pesquisas quanto à não-linearidade
física, bem como, alguns conceitos e aproximações empregadas no presente trabalho.
22..22 BBrreevvee hhiissttóórriiccoo
Vários pesquisadores trabalharam com o intuito de obter e aprimorar os
modelos representativos do comportamento não-linear físico em diferentes áreas do
conhecimento.
Capítulo

Capítulo 2 – Não-linearidade física 7
Na década de 60 ocorreu substancial desenvolvimento de computadores de
grande porte e grandes avanços nas linguagens e programas computacionais. Em virtude
desse crescimento, os métodos numéricos passaram a ser aplicados na Engenharia e em
demais áreas do conhecimento.
Ngo e Scordelis (1967) e Nilson (1968) utilizaram o Método dos Elementos
Finitos (MEF) em estudos das estruturas de concreto armado. A partir dessa época
intensificou-se o uso de análises não-lineares aplicadas a esse material. Zienckiewicz
(1969), fez várias generalizações das relações constitutivas, aplicando o método dos
elementos finitos a problemas elastoplásticos. Cervenka (1970)1
apud Proença (1988),
fez uma proposta para aplicação da teoria da plasticidade tendo em vista a não-
linearidade do concreto à compressão, utilizando critérios semelhantes aos usualmente
empregados às estruturas metálicas.
Vários trabalhos foram desenvolvidos no âmbito das formulações numéricas
para o procedimento computacional. Entretanto, alguns pesquisadores conduziram
trabalhos para o campo das relações constitutivas do concreto. Dentre eles podem ser
destacados os trabalhos de Chen e Chen (1975), Bazant e Bhat (1976) e Cedolin e
Deipoli (1977). Segundo Owen e Hinton (1980), outros pesquisadores proporcionaram
grandes contribuições não apenas aos modelos constitutivos, como também ao
desenvolvimento de técnicas numéricas mais acuradas, buscando a melhoria da
eficiência do MEF.
Owen e Hinton (1980) desenvolveram modelos constitutivos com aplicação
computacional, baseados no MEF para análise de estruturas de concreto. Proença (1988)
desenvolveu estudos acerca dos principais modelos matemáticos normalmente
empregados na análise do concreto armado para compreensão do comportamento global
não-linear das estruturas.
El Matwally et al. (1990) fizeram estudos de pilares de concreto armado
considerando a não-linearidade física e geométrica, com o emprego da técnica do MEF
e compararam suas análises com ensaios laboratoriais de Abel-Sayed (1975), Goyal e
Jackson (1971) e Drysdale e Huggins (1971) e as análises numéricas de Cranston
(1982), obtendo resultados bastante semelhantes. Sathurappan et al. (1992)
desenvolveram um modelo com componente de integral discreta utilizando o MEF
1
CERVENKA, V. (1970) Inelastic finite element analysis of reinforced concrete panels under in plane
loads. Ph. D. thesis, University of Colorado.

aplicado às placas e cascas de concreto armado e protendido, empregando a não-
linearidade dos materiais. Os autores aferiram seu programa com ensaios experimentais
de lajes de concreto armado submetida a carregamento monotônico crescente
uniformemente distribuídos onde avaliaram as deformações e deslocamentos
provocados pela aplicação das cargas, alcançando resultados próximos aos dos ensaios
realizados.
No Departamento de Engenharia de Estrutura da EESC/USP, vários trabalhos
foram desenvolvidos nesta linha de pesquisa; Ballarotti (1981) analisou o
comportamento elastoplástico em pórticos planos retangulares submetidos a
carregamento monotônico crescente. Proença (1988) desenvolveu estudos acerca dos
modelos representativos da não-linearidade física do concreto. Corrêa (1991)
desenvolveu um sistema computacional para análise de pavimentos de edifício
considerando lajes e vigas integradas ao mesmo modelo, com tratamento não-linear
físico. Oliveira (1997), apresentou uma proposta à análise de pavimentos de edifícios de
concreto armado empregando a não-linearidade dos materiais, com base na relação
momento-curvatura. Sanches Júnior (1998) estudou o comportamento de pavimentos de
concreto armado de edifícios utilizando modelos não-lineares para os materiais. Oliveira
(2001) em estudo mais detalhado aprimorou a modelagem desenvolvida em 1997, com
proposta de metodologia para a aplicação a projetos. Propôs, também, uma nova forma
de dimensionamento e verificação da segurança de estruturas de concreto armado,
considerando o coeficiente global de segurança, motivado por trabalhos desenvolvidos
por pesquisadores alemães, com destaque para G. König, N. V. Tue, C. Ahner e J. Eibl.
22..33 MMééttooddoo nnuumméérriiccoo uuttiilliizzaaddoo
O método numérico utilizado para fazer as análises considerando o
comportamento não-linear dos materiais foi o Método dos Elementos Finitos (MEF),
empregado no programa utilizado nas análises.
O sistema ANSER (ANálise de Sistemas Estruturais Reticulados),
desenvolvido por Ramalho (1990) e Corrêa (1991) e implementado por Oliveira (2001),
inclui, em sua biblioteca um elemento de barra tridimensional, com nós em suas
extremidades e seis graus de liberdade por nó, conforme Figura 2.1. Essa nova versão
do sistema computacional, desenvolvida por Oliveira para a análise não-linear de

pavimentos de concreto armado, será designada por ANPAV, sendo que os elementos
utilizados no presente estudo são a seguir descritos.
j
iL
i
x
y
z
Figura 2.1 – Elemento finito tridimensional de barra.
sendo:
xu translação segundo o eixo local x;
yu translação segundo o eixo local y;
zu translação segundo o eixo local z;
xθ Rotação em torno do eixo local x;
yθ Rotação em torno do eixo local y;
zθ Rotação em torno do eixo local z;
iL comprimento do elemento finito.
A seção transversal do elemento pode ser considerada estratificada. Para os
elementos não-estratificados, a seção transversal apresenta geometria constante ao longo
do elemento, composta por um único material. Considerar a seção transversal
estratificada implica na extensão do domínio de integração também sobre essa seção.
Assim, a integração sobre a seção transversal é obtida pelo somatório discreto da
contribuição de cada uma das camadas que a compõe.
Novotny et al. (1994) realizaram uma investigação sobre métodos de
integração mais empregados na previsão dos deslocamentos de elementos estruturais,
considerando um comportamento elastoplástico. Os autores concluíram que a integração
por camadas pode ser considerada suficiente no emprego da análise não-linear. Os
autores fizeram estudos variando o número de camadas e/ou pontos de integração de

Gauss. Concluíram que empregando um número de camadas superior a oito (8), o erro
de integração torna-se praticamente desprezível.
Nos exemplos analisados, foram utilizadas dez (10) camadas nas seções
transversais estratificadas. A Figura 2.2 mostra um elemento de seção retangular com
estratificação da seção transversal.
bw
2
bw
2
h
h
c
z
y
x
iL
Figura 2.2 – Elemento finito de seção transversal retangular estratificada.
De acordo com Oliveira (2001), a seção transversal estratificada, além de
permitir a aplicação dos modelos constitutivos dos materiais aço e concreto, abre espaço
à implementação consistente da relação de interação entre as camadas compostas por
diferentes materiais.
A não-linearidade do modelo constitutivo decorre do fato de, genericamente, a
cada instante o material poder sofrer um carregamento plástico ou um descarregamento
elástico, dificultando o cálculo da deformação plástica total. Assim, a não-linearidade é
resolvida numericamente por um procedimento incremental-iterativo. Vários são os
procedimentos incremental-iterativo utilizados, dentre eles pode-se citar: Newton-
Raphson Pleno, Newton-Raphson Modificado (KTO, KT1, KT2) e Método da Matriz
Secante. O procedimento incremental-iterativo utilizado neste trabalho foi o método
Newton-Raphson Pleno, que considera a atualização da matriz de rigidez do sistema a
cada iteração de todo incremento de carga.

22..44 CCaammppoo ddee aapplliiccaaççããoo
Teoricamente, não há restrições no campo de aplicação da análise não-linear
física às estruturas, com exceção de algumas estruturas esbeltas, nas quais a capacidade
resistente é reduzida pelos efeitos de segunda ordem. Neste caso, a não-linearidade
geométrica é determinante na redistribuição dos momentos e forças internas antes de ser
atingido o ELU, conforme Bulletin d`Information 227 do CEB (1995).
Uma das limitações da não-linearidade é não possibilitar o uso do princípio da
superposição de efeitos, o que pode limitar o emprego deste procedimento para grandes
estruturas submetidas a múltiplas condições de carregamento.
A análise não-linear é um procedimento que descreve melhor o comportamento
da resposta estrutural. Deste modo, deve ser considerado, sempre que possível, como
método de referência para aferir resultados obtidos com outras aproximações, como o
cálculo linear com ou sem redistribuição e o modelo plástico.
Uma das vantagens importantes do emprego da não-linearidade física é o uso
na redistribuição dos esforços solicitantes, o que torna possível explorar as eventuais
reservas de resistência da estrutura, este fato ocorre, exclusivamente, em estruturas
hiperestáticas.
Os centros de pesquisas têm empregado cada vez mais a não-linearidade em
seus trabalhos para melhor representar o comportamento dos materiais, bem como dos
sistemas estruturais.
22..55 MMooddeellooss ccoonnssttiittuuttiivvooss ddooss mmaatteerriiaaiiss
Os modelos constitutivos para os materiais empregados neste trabalho foram
considerados de forma a representar os parâmetros mais importantes envolvidos nos
problemas em questão.
Será apresentado apenas o estado uniaxial para ambos os materiais empregados
no concreto armado. Para a aplicação das relações constitutivas na análise de elementos
finitos uniaxiais, como é o caso das vigas (elemento utilizado nas análises), exige-se a
utilização uniaxial para a representação do comportamento mecânico dos materiais.

22..55..11 AApplliiccaaddoo aaoo ccoonnccrreettoo
O concreto apresenta propriedades mecânicas dependentes da intensidade de
solicitação. Comporta-se como material frágil quando submetido a tensões de tração.
Por outro lado, apresenta comportamento que pode ser admitido como plástico sob
compressão.
A literatura técnica apresenta várias possibilidades para esses comportamentos;
porém neste trabalho foram abordadas as propostas apresentadas pelo Código Modelo
do CEB-FIP MC90 para o concreto à compressão e o modelo de Figueiras (1983) para a
tração.
O CEB-FIP MC90 apresenta diagrama tensão-deformação tanto para a
compressão quanto para a tração sob solicitações uniaxiais do concreto, porém no
presente estudo será mostrado apenas o comportamento à compressão, pois o modelo
para o comportamento à tração do concreto considerado no trabalho é o proposto por
Figueiras (1983). Percebe-se no diagrama, relacionado à compressão do concreto,
Figura 2.3, o comportamento não-linear; observa-se que o segundo trecho estende-se
além do ponto correspondente à deformação última do concreto ( )cuε , representando o
comportamento do concreto pós-esmagamento. Estas curvas são propostas para
carregamento de curta duração.
Εc
c1Ε
Trecho 2
Trecho 1
2
cmf
fcm
εc1 cuε εc
cσ
Figura 2.3 – Diagrama tensão-deformação para compressão axial do concreto, CEB-FIP MC90.
As equações que regem a relação entre tensão de compressão e deformação do
concreto são expressas a seguir.

2
1 1 1
1 1
para
1 2
c c c
c c c
c cm c cu
c c
c c
E
E
f
E
E
ε ε
ε ε
σ ε ε
ε
ε
 
⋅ − 
 = − ⋅ <
 
+ − ⋅ 
 
(2.1)
1
2
2
1 1
1 1
1
1 2 4
parac c
c cm c cu
cu cuc ccu
c c
c
f
ε ε
σ ξ ξ ε ε
ε εε εε
ε εε
−
             = − ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ >                   
(2.2)
Com a razão entre as deformações e o parâmetro adimensional dados na eq.
(2.3) e eq.(2.4), respectivamente.
2
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
2 2 4 2 2
cu c c
c c c
E E
E E
ε
ε
    
 = ⋅ + + ⋅ ⋅ + −   
     
(2.3)
2
1 1 1 1
2
1 1
4 2 2
2 1
cu c cu c
c c c c
cu c
c c
E E
E E
E
E
ε ε
ε ε
ξ
ε
ε
    
 − + −        =
  
⋅ − +  
  
(2.4)
sendo:
cσ tensão normal de compressão do concreto;
cmf resistência à compressão do concreto;
cE módulo tangente do concreto;
1cE módulo secante da origem ao pico de compressão do concreto;
cε deformação específica de compressão do concreto;
1cε deformação específica corresponde à cmf ;
cuε deformação última do concreto;
ξ parâmetro adimensional.
Na região tracionada do concreto, Figura 2.4, observa-se que o comportamento
sob tração é representado por dois segmentos de reta. O modelo considerado por

Figueiras (1983) contempla o enrijecimento à tração2
do concreto. Desse modo, tem-se
a contribuição do concreto íntegro entre duas fissuras, com isso tornando-se mais
realístico na representação do comportamento do concreto submetido a esforços de
tração.
σc
tε
tf
εm cε
Εc
α.ft
Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação para tração axial do concreto, Figueiras (1983).
sendo:
tf resistência à tração no concreto;
mε deformação específica limite do concreto à tração ( )0,0020mε = ;
α coeficiente que impõe o grau de enrijecimento ( )0,5 0,7α≤ ≤ .
22..55..22 AApplliiccaaddoo aaoo aaççoo
O aço utilizado na construção civil tem comportamento dúctil, por apresentar
um patamar de escoamento, sendo bastante semelhante quer na tração quer na
compressão. Um modelo elastoplástico pode ser considerado para representação de seu
comportamento mecânico. Sob a ação de esforços combinados, esse comportamento é
bem representado pelo critério de escoamento de Von Mises.
O comportamento mecânico das barras de aço, empregado nos modelos dos
elementos estruturais, foi representado por um modelo constitutivo uniaxial
elastoplástico perfeito, ilustrado na Figura 2.5.
2
Enrijecimento à tração, designa a contribuição do concreto íntegro, entre duas fissuras sucessivas, que
exerce sobre a rigidez de um elemento de concreto armado fletido ou tracionado no estádio II.

fy
σs
sε
Εs
εys smaxε
Figura 2.5 – Diagrama tensão-deformação para o aço – elastoplástico perfeito.
Alternativamente o modelo para o aço poderia ser considerado com o fez Pinto
(2002) que admitiu diagrama bilinear, porém com possibilidade de encruamento
positivo, conforme Figura 2.6.
εsmaxysε
sΕ
εs
sσ
yf Ε's
Figura 2.6 – Diagrama tensão-deformação para o aço – elastoplástico com encruamento.
sendo:
sσ tensão normal de tração do aço;
yf resistência de escoamento do aço ( )210000sE MPa= ;
sE módulo de elasticidade do aço;
'
sE módulo de elasticidade do aço após escoamento;
sε deformação específica de tração do aço;
ysε deformação específica do aço correspondente à resistência de
escoamento;
maxsε deformação específica máxima permitida para o aço ( )0
0010yuε = .

33 AABBOORRDDAAGGEENNSS NNOORRMMAATTIIVVAASS EE NNOOVVAA
CCOONNSSIIDDEERRAAÇÇÃÃOO DDEE SSEEGGUURRAANNÇÇAA
Neste capítulo são abordados os métodos de dimensionamento e verificação da
segurança utilizados nos projetos de cálculo das estruturas, bem como o método
empregado na norma brasileira NBR 6118:2003 em vigor e uma possível proposta de
dimensionamento e verificação da segurança das estruturas de concreto armado,
considerando coeficiente global de segurança e valores médios da resistência dos
materiais limitando-os aos valores de projeto.
33..22 MMééttooddooss ddee ddiimmeennssiioonnaammeennttoo
Nas obras de engenharia, a principal preocupação é manter a integridade
estrutural das construções. Porém, dois aspectos fundamentais devem ser considerados,
o de segurança e da economia. Segurança que proporcione à estrutura capacidade de
suportar as variadas ações que possam solicitá-las durante a vida útil, assim como as
condições de funcionalidade a que foi destinada.
Para que a segurança e a economia das estruturas fossem asseguradas, vários
métodos passaram a ser utilizados nos projetos estruturais, cujos estudos têm avançado
constantemente, na busca de melhores resultados.
Capítulo

Capítulo 3 – Abordagens normativas e nova consideração de segurança 17
Segundo Zagottis (1974), o primeiro método empregado poderia ser
denominado método intuitivo, no qual a segurança das construções era obtida pelas
concepções baseadas na intuição dos projetistas e construtores, que podia ser pura ou,
mais comumente, condicionada por sucessos e insucessos de construções anteriores.
De acordo com o desenvolvimento da mecânica estrutural, foram criadas
teorias quantitativas que progressivamente reproduziam melhor os diversos
comportamentos estruturais. Essas melhorias ocorreram nas definições reológicas dos
materiais, na determinação dos esforços solicitantes, deformações e deslocamentos
provocados por determinado carregamento ou na definição de critérios de resistência
dos materiais.
Os métodos considerados nos projetos estruturais podem ser o método
empírico (comentado acima), o método determinístico, o semi-probabilístico e o
probabilístico. Estes métodos serão brevemente comentados a seguir.
33..22..11 MMééttooddoo ddeetteerrmmiinnííssttiiccoo
De acordo com Zagottis (1974), o método determinístico significa que, para
um mesmo corpo, com as mesmas vinculações, a aplicação de uma solicitação, de
acordo com determinada lei de variação ao longo do tempo, se pudesse ser repetida
diversas vezes, produziria em todas elas os mesmos esforços internos, as mesmas
deformações e os mesmos deslocamentos.
Um método determinístico bastante conhecido é o método das tensões
admissíveis, cujo dimensionamento estrutural, para garantir a segurança exige que, em
estado de serviço, a máxima tensão atuante não ultrapasse determinado valor,
considerado como admissível, (FUSCO, 1985).
Assim, para o caso de solicitações normais, como em flexão de vigas, a
condição descrita acima, pode ser representada da seguinte forma:
max admσ σ≤ (3.1)
Sabe-se que os primeiros valores atribuídos às tensões admissíveis dos
materiais foram normalizados em função de experiências práticas dos projetos
realizados na época. O método das tensões admissíveis foi um pequeno avanço do
método intuitivo, até então empregado.

Ao longo do tempo, procurou-se introduzir um critério mais racional na
definição das tensões admissíveis. Para tanto, considerou-se o coeficiente de segurança
interno impondo-se que a maior tensão proveniente da utilização da estrutura não
ultrapassasse o valor correspondente às tensões de ruptura ou escoamento dos materiais,
dividida por iγ , (ZAGOTTIS, 1974). Desse modo a eq.(3.1) passa a ser:
max adm
i
f
σ σ
γ
≤ = (3.2)
sendo:
f resistência obtida em ensaio padronizado;
iγ coeficiente de segurança.
Os coeficientes de segurança internos também eram determinados
empiricamente e os valores atribuídos conforme o sucesso das estruturas em uso. Os
coeficientes poderiam ser alterados, permitindo um progresso gradativo e seguro nos
critérios de projeto, de forma a atender aspectos econômicos e de segurança.
Segundo Zagottis (1974), o método das tensões admissíveis procura estabelecer
uma medida da segurança das estruturas e uma sistemática para introdução da segurança
nos projetos estruturais; porém, esta medida pode ser bastante deficiente. De acordo
com o autor, o coeficiente de segurança deve justificar, além de outros fatores, a
variabilidade das resistências dos materiais, que são maiores com o crescimento das
dispersões correspondentes.
Com relação à sistemática na introdução da segurança nos projetos estruturais,
podem ser feitas algumas críticas do emprego deste método. Primeiramente, o aspecto
de haver apenas uma preocupação com o estabelecimento da “distância” conveniente
entre a situação de uso e aquela correspondente à ruína (desagregação do material) ou
colapso (perda da capacidade portante) da estrutura. Assim, o método das tensões
admissíveis não considera a verificação de outras condições que possam invalidar a
utilização da estrutura como, por exemplo, a sua deformação excessiva.
Entretanto, o método das tensões admissíveis foi o primeiro a ser incorporado à
normalização brasileira, no ano de 1940 com a primeira versão da NB-1, dando origem
à ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas). Em 1960 foi editada a NB-1,
considerando o método dos coeficientes de segurança internos e externos, sendo os
internos referentes à resistência dos materiais e o externo às solicitações na estrutura.

Apenas em 1978 a NB-1, denominada NBR 6118:1978, passou a utilizar o método dos
estados limites, que será comentado posteriormente.
Castro et al. (1997), salientam que a transposição de uma norma inicialmente
baseada em tensões admissíveis para estados limites é feita de maneira a não afetar de
forma significativa os resultados globais. Assim, apesar da mudança brusca na parte
conceitual embutida nos métodos, os resultados não devem divergir significativamente
quando o projetista dimensiona a estrutura utilizando uma ou outra versão.
33..22..22 MMééttooddoo sseemmii--pprroobbaabbiillííssttiiccoo
O método semi-probabilístico é fundamentado em análise estatística com
coeficientes ponderadores aplicados tanto às ações quanto às resistências dos materiais,
porém admitindo o comportamento estrutural como determinístico. Por esse fato é
chamado semi-probabilístico. O método mais utilizado nas estruturas de concreto é o
dos estados limites, que é um método semi-probabilístico.
Este método, semelhante aos demais, considera que a segurança da estrutura
deve ser verificada em relação às situações que possam trazer riscos à integridade da
própria estrutura ou para uso normal da construção.
As normas brasileiras em vigor, que tratam dos critérios de segurança a serem
verificados no projeto estrutural são: a NBR 6118:2003 – Projeto de estruturas de
concreto e a NBR 8681:2003 – Ações e segurança nas estruturas, que atribuem os
requisitos exigíveis na verificação da segurança das estruturas de concreto usuais da
construção civil. A Norma de Ações e Segurança faz distinção entre os estados limites
últimos e os estados limites de serviço.
Estados Limites Últimos (ELU) são aqueles correspondentes ao esgotamento
da capacidade portante da estrutura, estando relacionados ao colapso ou outra forma de
ruína parcial ou total da estrutura, que paralise o uso da mesma.
Estados Limites de Utilização ou de Serviço (ELS) são aqueles
correspondentes às exigências funcionais, aparências, conforto dos usuários e
durabilidade da estrutura. Os ELS decorrem de ações cujas combinações podem ter
diferentes tempos de permanência na estrutura, como: combinações quase permanentes,
combinações freqüentes e combinações raras. As expressões que regem tais
combinações serão mostradas posteriormente.

Apesar de avanços nas pesquisas, ainda não se dispõe de uma metodologia
totalmente fundamentada, que possa ser usada nas normas de projetos considerando o
comportamento não-linear que verifique simultaneamente o ELU e o ELS. Portanto,
duas metodologias procuram preencher essa lacuna. A primeira, liderada pelo
pesquisador Macchi (1995) defende a permanência do método semi-probabilístico,
porém sem descartar a necessidade de algumas adaptações. A segunda, conduzida por
Eibl (1995) e König (1997) defende o conceito de um único coeficiente de segurança
global relativo à resistência dos materiais, que será comentada no item 3.5 deste
trabalho.
No Bulettin d´Information nº 229 do CEB (1995), Macchi (1995) defende a
permanência do método semi-probabilístico, pelo largo conhecimento adquirido até
então; não descartando a possibilidade de algumas alterações que poderiam ser feitas
para atender às novas necessidades e contemplar os novos conhecimentos. O autor
acrescenta que os novos métodos de dimensionamento necessitariam ser calibrados por
análise de confiabilidade e, ainda, ser aplicados em casos de estruturas reais,
considerando as variáveis que influenciam a segurança. O pesquisador tece críticas ao
método dos coeficientes globais de segurança, proposto por König et al. (1997), com
relação à real capacidade de modelagem de ruína, principalmente de estruturas
complexas.
Conforme Macchi (1995), a probabilidade de falha (ruína) de uma estrutura é
mais bem avaliada pelos estudos das funções de distribuição aleatórias das variáveis
envolvidas, tais como carregamento, geometria, resistências dos materiais, de acordo
com a análise de confiabilidade. Porém, esta análise ainda inviabiliza sua utilização
corrente, favorecendo a adoção usual de uma metodologia determinística.
Segundo o Bulettin d´Information nº 229 do CEB (1995), os membros do
comitê afirmam que o modelo não-linear é o mais apropriado a ser considerado nas
análises, de modo que este deveria ser utilizado na calibração dos novos procedimentos
de dimensionamento e verificação da segurança dos elementos estruturais. Este trabalho
considera a análise não-linear física para a nova proposta de dimensionamento e
verificação de estruturas de concreto armado.

33..22..33 MMééttooddoo pprroobbaabbiillííssttiiccoo
A análise probabilística lida com as incertezas do problema em questão, tanto
para as ações, as resistências e para o comportamento estrutural. Segundo Fusco (1976),
as incertezas relacionadas aos problemas de engenharia decorrem da variabilidade
inerente aos fenômenos naturais, da falta de dados suficientes ou da falta de
entendimento completo de todas as causas e de todos os efeitos relacionados aos
sistemas materiais.
Os métodos probabilísticos de avaliação da segurança de estruturas consistem
na determinação da probabilidade de falha da estrutura, em condições reais de
funcionamento, utilizando técnicas baseadas na teoria da confiabilidade estrutural.
De acordo com Henriques (1998), a utilização de métodos probabilísticos na
prática corrente de projetos de engenharia civil, tem sido mais empregada no ramo da
engenharia marítima e hidráulica; especificamente utilizada na avaliação de chuvas de
bacias hidrográficas, ou na avaliação dos picos máximos de redes de água no
saneamento. Segundo o referido autor, na engenharia de estruturas a aplicação deste
método encontra-se restrito a situações bastante particulares, como plataformas off
shore, ações do vento e do tráfego em pontes de grandes vãos e em outros poucos casos.
No dimensionamento de qualquer elemento estrutural é necessário que a
resistência (R) seja maior que os esforços solicitantes (S), atuantes durante toda a vida
útil da estrutura. No entanto, durante as análises surgem incertezas ligadas à resistência
ou ao carregamento. Assim, sempre irá existir uma probabilidade de ruína associada a
um elemento ou à estrutura como um todo. Deste modo, a confiabilidade de uma
estrutura ou elemento pode ser avaliada quanto à probabilidade de falha ( )( )P R S< ou
quanto à probabilidade de sobrevivência ( )( )P R S> , (ANG e TANG, 1984).
O problema básico da confiabilidade estrutural considera a resistência R e a
solicitação S, cada uma descrita pelas respectivas funções de densidade de
probabilidade Rf e Sf , respectivamente. Portanto, a probabilidade de ruptura fp pode
ser definida conforme as equações abaixo.
( ) ( )0 1f
R
p P R S P R S P
S
 
= ≤ = − ≤ = ≤ 
 
(3.3)

( ). ,f R S
D
p f r s drds= ∫∫ (3.4)
Vários pesquisadores têm se dedicado aos estudos do método probabilístico por
ser um procedimento que trata das variáveis aleatórias envolvidas nos problemas, assim,
representando melhor o sistema estrutural como um todo. Porém, as aplicações ao meio
técnico ocorrerão em futuro não muito próximo.
Algumas pesquisas foram desenvolvidas no Departamento de Engenharia de
Estruturas – EESC/USP empregando o procedimento do método probabilístico, para
verificar a confiabilidade estrutural, assim como, a otimização de estruturas de concreto
armado; pode-se citar os trabalhos de Bernardo (1999) em que avaliou a segurança e
confiabilidade em pavimentos de edifícios, introduzindo conceitos probabilísticos e
estatísticos aplicados a um modelo de comportamento não-linear para o concreto
armado, Chaves (2004), desenvolveu um programa computacional para a determinação
da seção transversal de pilares de concreto armado com o custo mínimo e a
determinação do índice de confiabilidade desta estrutura para um estado limite e Neves
(2004), desenvolveu novas técnicas aproximadas de análise de confiabilidade para
grelhas de concreto armado levando-se em consideração os vários modos importantes
de probabilidades de falha.
33..33 PPrreessccrriiççõõeess nnoorrmmaattiivvaass
A seguir são apresentadas as prescrições adotadas pela normalização brasileira,
empregadas no presente trabalho.
33..33..11 CCooeeffiicciieenntteess ddee ppoonnddeerraaççããoo ddaass aaççõõeess
Os coeficientes de ponderação aqui relacionados estão de acordo com as
recomendações das normas NBR 6118:2003 e NBR 8681:2003. O valor de cálculo das
ações é obtido a partir dos respectivos valores característicos, multiplicando-os pelo
coeficiente de ponderação fγ , que se desdobra em três outros coeficientes, como
mostra a eq.(3.5).
1 2 3f f f fγ γ γ γ= ⋅ ⋅ (3.5)

O coeficiente 1fγ leva em consideração a variabilidade das ações, 3fγ
considera os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja por problemas
construtivos, seja por deficiência do método de cálculo empregado. Por fim, o
coeficiente 2fγ leva em conta a ocorrência simultânea das ações, sendo substituído por
fatores de combinação ou de redução ( )iψ , como mostra a Tabela 3.1, de acordo com a
combinação de ações empregada ou o estado limite analisado, segundo a
NBR 6118:2003.
Tabela 3.1 – Coeficientes ponderadores de ações variáveis, NBR 6118:2003.
2fγ
Cargas acidentais de edifícios
0ψ 1ψ 2ψ
Locais em que não há predominância de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos períodos
de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas.
0,5 0,4 0,3
Locais em que não há predominância de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos períodos
de tempo, ou de elevada concentração de pessoas.
0,7 0,6 0,4
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens. 0,8 0,7 0,6
O fator ponderador fγ , considerando-se a análise linear, pode ser aplicado
tanto na majoração das ações quanto nos seus efeitos, pois o resultado não será alterado.
De acordo com a NBR 8681:2003, se os cálculos dos esforços solicitantes atuantes
forem feitos em regime elástico linear, o coeficiente fγ pode ser multiplicado tanto no
carregamento característico quanto diretamente ao esforço característico, pois
independe da ordem de aplicação do coeficiente, conforme as expressões abaixo.
( )d f kS S Fγ= ⋅ (3.6)
( )d f k f kS S S Fγ γ= ⋅ = ⋅ (3.7)
sendo:
kF ação característica;
,d kS esforço solicitante de cálculo ou característico.

Entretanto, se o cálculo dos esforços solicitantes for feito por um processo não-
linear, o coeficiente fγ deverá ser aplicado à ação característica, conforme eq.(3.8),
devido à inexistência de proporcionalidade entre causas e efeitos.
( )d f kS S Fγ= ⋅ (3.8)
A NBR 8681:2003 estabelece os coeficientes de ponderação das ações no ELU,
para cargas permanentes e para a carga variável principal, como mostra a Tabela 3.2,
que considerou-se o valor de 2 1,0fγ = , resultando 1 3f f fγ γ γ= ⋅ . Porém, para a
combinação das demais cargas variáveis, toma-se 2f iγ ψ= , cujos respectivos valores
foram mostrados na Tabela 3.1.
Tabela 3.2 – Coeficientes 1 3f f fγ γ γ= ⋅ , NBR 8681:2003.
Ações
Permanentes ( g fγ γ= ) Variáveis ( q fγ γ= )
Combinações de
ações
Desfavorável Favorável Geral Temporária
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2
Especiais ou de
construção
1,3 1,0 1,2 1,0
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0
Neste trabalho serão analisadas as condições de projeto para elementos
estruturais de concreto armado submetidos às condições usuais, empregando-se apenas
as combinações normais na verificação do ELU, expressa pela eq.(3.9). Não foram
consideradas as ações indiretas permanentes, como retração e variáveis térmicas.
1 0
2
n
d g gk q q k j qik
j
F F F Fγ γ ψ
=
 
= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
 
∑ (3.9)
sendo:
gkF valor característico das ações permanentes diretas;
1q kF valor característico da ação variável principal;

qjkF valor característico das demais ações variáveis;
0 jψ fator de combinação das cargas variáveis.
Na consideração dos estados limites de serviço, os coeficientes de ponderação
das ações são tomados com valor 1 3 1,0f fγ γ⋅ = , portanto 2f fγ γ= , em que o valor de
2fγ é variável de acordo com a análise que se deseja fazer, conforme Tabela 3.1.
2 1,0fψ = para combinações raras;
2 1fψ ψ= para combinações freqüentes;
2 2fψ ψ= para combinações quase permanentes.
De acordo com a NBR 6118:2003, o estado limite de serviço (ELS) deve ser
verificado com uma das combinações mostradas abaixo. Nos exemplos apresentados no
capítulo 4 deste trabalho, foram utilizadas as combinações quase-permanentes e
combinações freqüentes.
Combinações Quase Permanentes (CQP)
Nestas combinações as ações podem atuar durante grande parte do período de
vida da estrutura e sua consideração é necessária na verificação do estado limite de
deformações excessivas, segundo a eq.(3.10).
, , 2 ,d ser gi k j qj kF F Fψ= +∑ ∑ (3.10)
Combinações Freqüentes (CF)
Nestas combinações, as ações se repetem várias vezes durante o período de
vida da estrutura e sua consideração é necessária para verificar o estado limite de
formação de fissuras, de abertura de fissuras e vibrações, conforme a eq.(3.11).
, , 1 1, 2 ,d ser gi k q k j qj kF F F Fψ ψ= + +∑ ∑ (3.11)
Combinações Raras (CR)
Nestas combinações as ações algumas vezes ocorrem durante o período de vida
da estrutura e sua consideração é necessária na verificação do estado limite de formação
de fissuras, de acordo com a eq.(3.12).

, , 1, 1 ,d ser gi k q k j qj kF F F Fψ= + +∑ ∑ (3.12)
33..33..22 PPoonnddeerraaddoorreess ddaass rreessiissttêênncciiaass ddooss mmaatteerriiaaiiss
Os coeficientes ponderadores aplicados aos materiais que fazem parte da
estrutura têm suas resistências características minoradas pelo parâmetro mγ , segundo o
método semi-probabilístico. De acordo com a NBR 6118:2003, os valores dos
coeficientes das resistências nos estados limites últimos são indicados na Tabela 3.3
Tabela 3.3 – Valores do coeficientes de cγ e sγ , NBR 6118:2003.
Combinações
Concreto
cγ
Aço
sγ
Normais 1,4 1,15
Especiais ou de construção 1,2 1,15
Excepcionais 1,2 1,0
Para os coeficientes de ponderação das resistências nos estados limites de
serviço, a NBR 6118:2003 indica a não necessidade de minoração, portanto, 1,0mγ =
para os materiais que compõem a estrutura. Assim, emprega-se a própria resistência
característica dos materiais.
33..33..33 VVeerriiffiiccaaççããoo ddoo eessttaaddoo lliimmiittee ddee ffiissssuurraaççããoo
Em estruturas de concreto armado, a fissuração ocorre quando as tensões de
tração excedem a resistência dos elementos. Nestes elementos, as fissuras são
inevitáveis, em virtude da baixa resistência do concreto à tração, devendo-se limitar as
suas aberturas. Sabe-se que a fissuração permite a entrada de agentes agressivos capazes
de desencadear a maioria de seus mecanismos de degradação, comprometendo a
utilização dos elementos tanto na redução da durabilidade quanto no prejuízo que pode
trazer ao seu funcionamento e à sua estética.
A verificação de aberturas de fissuras é feita para o estado limite de serviço sob
ação das combinações freqüentes. No ELS as estruturas trabalham parcialmente nos

Estádios I e II. A separação entre esses dois estádios em peças fletidas é definida pelo
momento de fissuração.
A NBR 6118:2003 estabelece valores de abertura máxima característica das
fissuras em função da classe de agressividade ambiental, conforme apresentado na
Tabela 3.4, apenas para elementos estruturais de concreto armado.
Tabela 3.4 – Limites de fissuração, NBR 6118:2003.
Classe de Agressividade
Ambiental (CAA)
Exigência à fissuração
Combinação de ação em
serviço
CAA I 0,4kw mm≤
CAA II a CAA III 0,3kw mm≤
CAA IV 0,2kw mm≤
Combinação freqüente
A NBR 6118:2003 apresenta duas expressões que determinam a abertura
característica das fissuras em elementos de concreto, eq.(3.13) e eq.(3.14), para
formação sistemática e assistemática das fissuras, respectivamente.
4
45
12,5
s
k
i s r
w
E
σφ
η ρ
 
= ⋅ ⋅ + 
⋅  
(3.13)
3
12,5
s s
k
i s ctm
w
E f
σ σφ
η
⋅
= ⋅ ⋅
⋅
(3.14)
sendo:
φ diâmetro da barra ou do conjunto de barras tracionadas;
iη
coeficiente de conformação superficial da armadura considerada, para
barra com alta aderência 1 2,25η = ;
sE módulo de elasticidade do aço;
sσ tensão de tração no centro de gravidade da armadura, calculada no
estádio II;
rρ
taxa geométrica de armadura, sendo s
r
cr
A
A
ρ = - taxa de área das
barras relativa à área do concreto envolvente;
ctmf resistência média à tração do concreto.

O limite para aberturas de fissuras ( )kw determinadas com as expressões
acima deve ser o menor valor entre eles.
Segundo Mollica Júnior (1986), a formação sistemática de fissuras ocorre
quando a resultante de tração na barra de aço for maior ou igual à resultante de tração
no concreto; elas são caracterizadas pela uniformidade de espaçamento e de abertura. A
formação assistemática de fissuras ocorre quando a taxa geométrica de armadura é
menor que a razão entre a resistência à tração do concreto e a tensão na armadura na
seção fissurada. Assim, a fissuração assistemática ocorre nas peças com baixas taxas de
armadura, apresentando falta de uniformidade no espaçamento e na abertura das
fissuras. As referidas formações são ilustradas na Figura 3.1.
Rst stR
(a)
RststR
(b)
Figura 3.1 – Formação de fissuras: a) sistemática e b) assistemática, Mollica Júnior (1986) [adaptada].
Leggerini e Campos Filho (2004) desenvolveram um programa com interface
gráfica para automatizar os procedimentos de verificação do estado limite de serviço de
abertura das fissuras em seções retangulares e do tipo “T” para peças de concreto
armado submetidas à flexão simples, de acordo com as recomendações da
NBR 6118:2003.
No presente estudo foi desenvolvido um programa no software MathCad para a
verificação de abertura de fissuras em elementos de concreto armado, baseado nestas
expressões.

33..33..44 VVeerriiffiiccaaççããoo ddoo eessttaaddoo lliimmiittee ddee ddeeffoorrmmaaççããoo eexxcceessssiivvaa
De acordo com NBR 6118:2003, o estado limite de deformações excessivas é o
estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para uso normal da
edificação.
De acordo com Carvalho e Figueiredo Filho (2004), na verificação dos estados
limites de deformações excessivas devem ser analisadas, além das combinações de
ações a que os elementos estão submetidos, as propriedades geométricas das seções, os
efeitos da fissuração e da fluência do concreto e as flechas-limite, sendo estas últimas
diretamente ligadas ao tipo ou à destinação do elemento estrutural.
A verificação dos valores limites estabelecidos pela NBR 6118:2003 para a
deformação da estrutura, mais apropriadamente rotações e deslocamentos em elementos
lineares, analisados isoladamente e submetidos a combinações de ações, deve ser
realizada por modelos que considerem a rigidez efetiva das seções da peça estrutural.
Com isso, leva-se em consideração a presença das armaduras, a existência de fissuras no
concreto e as deformações diferidas no tempo.
Os deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificações em
serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura, definidos pela
NBR 6118:2003. Os limites da Tabela 3.5 são alguns limites para deslocamentos
estabelecidos pela NBR 6118:2003. Neste caso apresentam-se apenas os relacionados à
aceitabilidade sensorial, por este ser o tipo de efeito tratado neste trabalho.
Tabela 3.5 – Limites para deslocamentos, NBR 6118:2003.
Razão da
limitação
Exemplo
Deslocamento
a considerar
Deslocamento
limite
Visual
Deslocamentos visíveis em
elementos estruturais
Total 250
l
Outro Vibrações sentidas no piso
Devido a cargas
acidentais 350
l
Observações: * Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão l suportados em
ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a
ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço.
* Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contra-flechas.

Nos elementos de concreto armado, o cálculo da rigidez e, conseqüentemente
dos deslocamentos, torna-se mais complexo, pois além da existência da armadura,
acentuando a heterogeneidade do material, existe a possibilidade de regiões dos
elementos terem parte do concreto fissurado, o que diminui a rigidez das seções nessas
regiões.
Sabe-se que as seções de uma viga de concreto armado trabalham nos estádios
I e II, quando solicitadas pelas ações de serviço e sua rigidez é substancialmente afetada
pelo momento e pelo grau de fissuração atuante no concreto. Desse modo, para não
introduzir a variação da inércia na peça de concreto, é necessário utilizar uma inércia
equivalente que contemple tal situação de maneira aproximada.
O modelo proposto por Branson (1968), na avaliação de flechas em elementos
de concreto armado, admite para todo o elemento uma única inércia que representa os
trechos fissurados e não fissurados.
Para a avaliação aproximada da flecha imediata em vigas de concreto a
NBR 6118:2003 considera a expressão proposta por Branson (1968), para o cálculo da
rigidez equivalente, como mostra a eq.(3.15)
( )
3 3
1r r
cs c II cs ceq
a a
M M
EI E I I E I
M M
      
 = ⋅ + − ⋅ ≤ ⋅    
       
(3.15)
sendo:
cI momento de inércia da seção bruta de concreto;
III
momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II,
calculada com s
e
cs
E
E
α = ;
aM
momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento
máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e no apoio para
balanços, para a combinação de ações considerada nessa avaliação;
rM momento de fissuração do elemento estrutural;
csE módulo de elasticidade secante do concreto.
O momento de fissuração é definido como o momento fletor que a seção
transversal é capaz de resistir sem a colaboração das barras das armaduras, sendo
determinado pela eq.(3.16), considerando as hipóteses das seções homogêneas da
Resistência dos Materiais.

ctm c
r
t
f I
M
y
α
⋅
= ⋅ (3.16)
sendo:
α
Fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na
flexão com a resistência à tração direta, sendo 1,2 para seções do tipo
“T” ou duplo “T” e 1,5 para seções retangulares;
ty distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;
ctmf resistência à tração direta do concreto -
2
3
0,30 em MPactm ckf f= ⋅ .
O deslocamento imediato ou instantâneo (sem considerar a fluência) em vigas
de concreto armado é determinado pelas expressões da Mecânica Clássica, que depende
do tipo de condição estática do sistema e do tipo de ações atuantes, utilizando-se a
rigidez equivalente conforme a eq.(3.15).
Considera-se que as deformações provenientes da fluência sejam oriundas das
ações permanentes. Porém, para calculá-las utiliza-se a combinação quase permanente,
pois parte da carga acidental atua durante grande parcela do período de vida da
estrutura, conforme sugere a NBR 6118:2003.
Na verificação do comportamento dos elementos estruturais considerando a
não-linearidade física para o efeito de fluência ( )ϕ , o programa desenvolvido por
Oliveira (2001) – ANPAV, emprega a metodologia utilizada por Fusco (1981), que
considera a decalagem do diagrama tensão-deformação para o concreto entre os
instantes 0t e t , na qual esta translação do diagrama tem razão ϕ paralelamente ao eixo
de cε .
Segundo a NBR 6118:2003, a flecha adicional diferida no tempo para vigas de
concreto armado pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da
flecha imediata pelo fator fα dado pela eq.(3.17).
1 50 '
f
ξ
α
ρ
∆
=
+ ⋅
(3.17)
sendo:
'ρ taxa geométrica de armadura de compressão
'
' sA
b d
ρ
 
= 
⋅ 
;

ξ∆
variação do coeficiente função do tempo,
onde ( ) ( )0t tξ ξ ξ∆ = −
( )
( ) 0,32
0,68 0,996 para 70 meses
2 para 70 meses
t
t t
t
t
ξ
 ⋅ ⋅ ≤
= 
>
t – tempo em meses;
0t – idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa
duração.
Portanto, o valor da flecha total no tempo infinito, segundo a NBR 6118:2003,
para uma viga de concreto armado é determinado conforme a eq.(3.18)
( )0 1 fa a α∞ = ⋅ + (3.18)
sendo:
a∞ flecha final no tempo infinito;
0a flecha imediata em virtude das cargas permanentes.
No presente estudo foi desenvolvido um programa no software MathCad para
o cálculo de flechas em elementos de concreto armado, baseado nestas expressões.
33..44 PPrrooppoossttaa ddee ddiimmeennssiioonnaammeennttoo
Neste estudo é apresentada uma proposta de dimensionamento considerando os
valores médios para as relações tensão-deformação no aço e no concreto, limitando-se
as suas resistências aos valores de cálculo ( df ). Esta proposta apesar de denominada
proposta de dimensionamento ela vem contemplar a verificação simultânea dos estados
limites últimos e de serviços de peças de concreto armado.
A definição de uma relação constitutiva para o aço é mais simples, em virtude
da invariabilidade do seu módulo de deformação longitudinal, como mostra a Figura
3.2.

smaxε
=
sΕ
ε
σ
ykf
fyd
fym
Figura 3.2 – Diagrama tensão-deformação do aço.
A definição de uma relação constitutiva para o concreto torna-se mais
complexa, dada a variabilidade do seu módulo de deformação longitudinal. Ao limitar a
tensão ao valor da resistência de projeto alteram-se, além da capacidade resistente
teórica, as relações constitutivas do material. A curva tensão-deformação
correspondente aos valores médios é substituída por uma relação elastoplástica perfeita
até que seja atingida a deformação última do concreto a partir do que volta a considerar
a relação média, na fase final do amolecimento, como mostra a Figura 3.3. A curva
tensão-deformação do concreto à compressão considerada corresponde à proposta pelo
CEB-FIP MC90.
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
5 .10
6
1 .10
7
1.5 .10
7
2 .10
7
2.5 .10
7
3 .10
7
3.5 .10
7
4 .10
7
Valor médio
Valor de projeto
Proposta de dimensionamento
Deformação
0
1.36 εcu⋅0 εc
Deformação (ε)
Tensão(Pa)
Figura 3.3 – Diagrama tensão-deformação do concreto C30, CEB-FIP MC90.

33..55 PPrrooppoossttaa ppaarraa uummaa nnoovvaa ccoonnssiiddeerraaççããoo ddee
sseegguurraannççaa
O cálculo de estruturas de concreto armado e protendido, considerando o ELU,
deve satisfazer em cada seção transversal a condição de os esforços solicitantes serem
menores ou iguais à capacidade resistente nesta região, conforme a eq.(3.19).
d dS R≤ (3.19)
Sabe-se que a determinação dos esforços internos e externos de cálculo
atuantes na seção transversal usualmente é feita de forma independente. Porém, esta
separação é inconsistente para estruturas hiperestáticas do ponto de vista mecânico, em
virtude da redistribuição dos esforços solicitantes que depende da rigidez relativa dos
componentes estruturais.
Em estruturas isostáticas, a distribuição dos esforços solicitantes é determinada
apenas pelas condições de equilíbrio. Alcançada a capacidade resistente da seção
transversal, um novo estado de equilíbrio da seção tornar-se-ia impossível. Portanto,
acrescido o carregamento, é inadmissível aumentar a capacidade resistente em qualquer
seção transversal da estrutura. Assim, a margem de segurança da seção transversal
crítica é igual à margem de toda estrutura.
No caso de estruturas hiperestáticas, é possível um acréscimo no carregamento
depois de alcançada a capacidade resistente em uma ou mais seções transversais, pois a
distribuição dos esforços solicitantes é determinada simultaneamente pelas condições de
equilíbrio e de compatibilidade, caso exista capacidade de deformação plástica de pelo
menos uma seção transversal crítica. Portanto, as capacidades resistentes da seção
transversal e da estrutura não são as mesmas.
Segundo Tue (1996), König et al. (1997), a margem de segurança da seção
transversal de concreto armado pode ser descrita pela razão entre a capacidade resistente
teórica determinada com os valores médios e os valores de projeto das resistências dos
materiais.
O tratamento da margem de segurança das estruturas de concreto novamente
está em sendo abordado no âmbito acadêmico, pela larga utilização de procedimentos
não-lineares. De acordo com o Bulettin d´Information nº 229 do CEB (1995), a proposta

dos membros do CEB-Commission 1 é criar um conceito de segurança consistente,
utilizando a não-linearidade física para todos os tipos de modelos de estruturas. Porém,
os membros do grupo deixam claro que a probabilidade de ruína pode ser avaliada pela
abordagem probabilística, em virtude da variabilidade das resistências dos materiais e
das ações. Entretanto, a avaliação probabilística aplicada às estruturas ainda não é viável
para o uso prático.
A nova proposta para dimensionamento de estruturas de concreto que pode ser
implantada consiste no emprego do método dos coeficientes globais. Esta proposta, de
acordo com o Bulettin d´Information nº 239 do CEB (1997), tem como finalidade
estabelecer uma metodologia consistente capaz de ser utilizada para qualquer tipo de
modelo e de estrutura. A eq.(3.20) expressa o método dos coeficientes globais.
( ) sys
q g
gl
R
S Q Gγ γ
γ
⋅ + ⋅ ≤ (3.20)
sendo:
S esforços solicitantes;
qγ fator de segurança parcial para ações variáveis;
Q ações variáveis;
gγ fator de segurança parcial para ações permanentes;
G ações permanentes;
sysR capacidade resiste da estrutura;
glγ fator de segurança global para resistência da estrutura.
A grande dificuldade está na definição do valor do coeficiente global a ser
utilizado. O coeficiente pode variar de acordo com o mecanismo de ruína da estrutura,
pelo concreto ou pelo aço. Definindo-se as resistências médias3
dos materiais de forma
simplificada conforme a eq.(3.21):
1,10cm ckf f= ⋅
1,10ym ykf f= ⋅
(3.21)
3
As resistênciass médias descritas não são as médias obtidas por meio de análise estatística.

De acordo com as resistências dos materiais definidas acima, o coeficiente
global ( )glγ para uma seção transversal situa-se aproximadamente entre 1,65, quando
ocorre o esgotamento da capacidade resistente do concreto e 1,265 quando esgota a
capacidade resistente do aço, ao serem utilizados coeficientes de minoração das
resistência de 1,5cγ = e 1,15sγ = para o concreto e para o aço, respectivamente,
conforme CEB-FIP MC90. Estes valores podem ser calculados de forma analítica
apresentados por König et al. (1997), como mostra a eq.(3.22) e eq.(3.23) para o
concreto e para o aço.
1,10 1,10 1,15 1,265
1,15
yk ym
yd ym yk
yd
f f
f e f f
f
= = ⋅ ⇒ = ⋅ = (3.23)
Os coeficientes de segurança são diferentes se a ruptura ocorrer no concreto ou
no aço, como comentado no parágrafo anterior. Caso a ruptura seja mista, há uma
lacuna no procedimento, não sendo determinado o coeficiente de segurança nesses
casos, o que dificulta a definição de uma metodologia única para a verificação das
estruturas. Sabe-se que, normalmente, as vigas são projetadas para um estado limite
último definido para deformação excessiva das armaduras de flexão, enquanto os
pilares, pelo esmagamento do concreto.
Segundo König et al. (1997), um possível caminho para uma investigação
determinística do coeficiente global de segurança é a modificação na resistência média
do concreto; sendo a solução encontrada pelo referido autor e pelos membros do CEB-
Commission 1 para adaptar o valor da resistência média do concreto, desse modo
substituindo-a por um valor convencional de referência. Pesquisas realizadas por König
et al. (1997)4
apud. Bulettin d´Information nº 239 do CEB (1997) afirmam que a
resistência média do concreto, medida in-situ, é cerca de 85% do respectivo valor da
resistência característica à compressão, podendo ser expresso conforme a eq.(3.24).
4
König G., Soukov D., Jungwirth F. (1997) – Sichere Betonproduktion für Stahlbetontragwerke,
intermediate report 2, March 1997.
1,10 1,10 1,5 1,650
1,5
ck cm
cd cm ck
cd
f f
f e f f
f
= = ⋅ ⇒ = ⋅ = (3.22)

0,85cm
ck
f
f
= (3.24)
No entanto, as considerações feitas para o diagrama parabólico da tensão-
deformação para o concreto e o diagrama bi-linear para o aço foram mantidas
inalteradas.
Considerando válida a eq.(3.24), os valores médios da resistência do concreto e
do aço para determinação do comportamento de estruturas de concreto armado, podem
ser redefinidos conforme a eq.(3.25), sendo neste texto denominados valores de
referência das resistências dos materiais, para não serem confundidos com valores
médios anteriormente definidos.
0,85cR ckf f= ⋅
1,10yR ykf f= ⋅
(3.25)
Portanto, aceita a validade da eq. (3.25), os coeficientes globais de segurança
referidos aos dois tipos de ruptura (frágil ou dúctil) tornam-se bastante próximos,
podendo ser considerados iguais a 1,27. Lembrando que os coeficientes ponderadores
da resistência do concreto ( )cγ e do aço ( )sγ , estão de acordo com CEB-FIP MC90. A
verificação analítica do coeficiente para o concreto e o aço é mostrada abaixo.
1,10 1,10 1,15 1,265
1,15
yk yR
yd yR yk
yd
f f
f e f f
f
= = ⋅ ⇒ = ⋅ = (3.27)
Para comprovar as considerações acima, König et al. (1997) e Anher e Tue
(1997) fizeram algumas análises para verificar a capacidade resistente de uma seção
transversal de concreto armado submetida à flexão pura. A Figura 3.4 mostra os
resultados das análises nos quais foram empregados valores diferentes para as
resistência dos materiais, com valores médios e de referência conforme a eq.(3.21) e a
eq.(3.25), respectivamente.
0,85 0,85 1,5 1,275
1,5
ck cR
cd cR ck
cd
f f
f e f f
f
= = ⋅ ⇒ = ⋅ = (3.26)

A mudança na resistência média adotada para os materiais segundo a eq.(3.25)
influencia na determinação da capacidade resistente da seção transversal, como pode-se
perceber na Figura 3.4. Observa-se pequena variação do coeficiente global de segurança
( )glγ entre os momentos resistentes com o acréscimo da taxa de armadura, quando são
utilizadas as resistências de referência, tornando-se praticamente constante. No entanto,
empregando-se os valores médios da resistência dos materiais esta variação é bastante
significativa. Assim, torna-se bastante favorável para o emprego do coeficiente global
de segurança único em estruturas de concreto.
Figura 3.4 – Razão ente os momentos resistentes com diferentes resistência dos materiais – König et al.
(1997) e Ahner & Tue (1997) [adaptada].
sendo:
plM momento resistente obtido com as resistências médias e de referência,
segundo a eq.(3.21) e eq.(3.25);
,pl dM momento resistente obtido com as resistências de cálculo.
Com o intuito de confirmar os resultados apresentados acima, foram feitas no
presente trabalho algumas análises para uma seção transversal com largura de 15 cm e
altura de 60 cm, submetida à flexão pura considerando resistência característica à
compressão do concreto de 25 MPa e resistência característica à tração do aço de 500
MPa, como mostra a Figura 3.5. Nestas análises foram empregados os valores dos
coeficientes ponderadores segundo o CEB-FIP MC90 ( 1,5 e 1,15c sγ γ= = ).

Figura 3.5 – Razão ente os momentos resistentes da seção retangular submetida à flexão simples.
Os valores da relação entre os momentos resistentes permaneceram
praticamente constantes quando utilizados os valores de referência das resistências dos
materiais, enquanto para os valores médios ocorreu grande variação à medida que se
aumentava a taxa de armadura. A pequena mudança com os valores de referência
ocorreu quando o elemento passou para o domínio 4, domínio este não recomendado
para dimensionamento de peças de concreto armado, em virtude do subaproveitamento
do aço e por ocorrer ruptura frágil dos materiais.
A Figura 3.5 confirma a pequena variabilidade do coeficiente global, tornado-
se bastante favorável para o emprego de um coeficiente de segurança praticamente
constante.
Alguns trabalhos foram desenvolvidos com o intuito de verificar o
comportamento das estruturas de concreto, considerando a análise não-linear e as
relações das resistências médias e de referência dos materiais, mostrados acima.
Ahner (1999), mostrou a expressiva vantagem dos métodos não-lineares, bem
como a diferença do comportamento utilizando-se a resistência de cálculo, média e de
referência, com um ganho na rigidez dos elementos quando utilizadas as resistências
médias e de referência. O autor analisou um pórtico plano para verificar a influência do
efeito de segunda ordem, cujos resultados foram satisfatórios empregando os valores de

referência que proporcionam um coeficiente de segurança de 1,30, independente do
critério de ruptura.
Ahner (2000) fez análise de pilares esbeltos submetidos à compressão
excêntrica, tendo observado que o índice de confiabilidade ( )β utilizando-se a
resistência de referência dos materiais em análise não-linear conduz a valor
relativamente uniforme para diferentes situações de projeto. Na maioria das vezes o
índice de confiabilidade encontrado era maior que 4,70 , com uma probabilidade de
ruptura de aproximadamente 6
10−
, valor este considerado satisfatório em elementos
estruturais de vigas de concreto armado submetidos à flexão.
Wittek e Meiswinkel (2000) analisaram a carga última de projeto em peças
fletidas e constataram que a segurança do sistema pode ser realizada com análise não-
linear física, admitindo-se valores de referência para o ELU.
Henriques et al. (2002) desenvolveram um método bastante semelhante ao
proposto pelo Bulettin d´Information nº 239 do CEB (1997), utilizando resistência
média dos materiais, em que o coeficiente global varia de acordo com a posição da linha
neutra e a resistência do concreto, praticamente constante para uma profundidade da
linha neutra de 0,35
x
d
= . Os dois métodos, König et al. (1997) e Henriques et al.
(2002) proporcionaram resultados semelhantes, com pequena diferença quando se
empregam maiores taxas de armaduras de tração.
Admitidas como válidas as considerações feitas quanto às resistências médias
dos materiais propostas por König et al. (1997), cabe adaptá-las à normalização
brasileira. Sabe-se que o coeficiente de minoração da resistência aplicado ao aço
( )1,15sγ = é o mesmo tanto para CEB-FIB MC90 quanto para a NBR 6118:2003.
Porém, o coeficiente aplicado ao concreto ( )cγ é diferente, com o valor de 1,4cγ =
utilizado pela NBR 6118:2003. Assim, o coeficiente global de segurança pode ser
determinado analiticamente conforme a eq.(3.28).
Como a idéia é manter um mesmo coeficiente de segurança, independente do
tipo de ruptura, seja por esmagamento do concreto ou por alongamento excessivo da
0,85 0,85 1,4 1,19cm
cm ck
cd
f
f f
f
= ⋅ ⇒ = ⋅ = (3.28)

armadura, deve-se determinar um valor para que a resistência do aço proporcione um
coeficiente de segurança igual ao do concreto, conforme mostra a eq.(3.29).
Percebe-se que, para obtenção da resistência média do aço, os coeficientes são
diferentes. O Bulettin d´Information nº 239 do CEB (1997) não justifica a consideração
do valor 1,10 para a resistência média e algumas pesquisas realizadas com objetivo de
definir esse valor não obtiveram sucesso. Tem-se conhecimento que o critério de
produção do aço é mais rigoroso que o do concreto, por isso, o valor de 10% da
resistência característica para o aço parece estar excessivo.
Segundo Oliveira (2001), resultados obtidos no laboratório do Departamento
de Engenharia de Estruturas da EESC/USP, não divulgados formalmente, sugerem
resistências médias bem próximas do valor característico da resistência de escoamento
do aço. Assim, a bem da consistência, parece razoável adotar a razão entre o valor
médio e o valor característico da resistência do aço em 1,035, com acréscimo de 3,5% .
Portanto, a resistência média dos materiais, adaptada à normalização brasileira será dada
pela eq.(3.30), também denominada resistência de referência.
Com o intuito de verificar-se o comportamento do método do coeficiente
global de segurança, foram realizadas algumas análises para a avaliação da capacidade
resistente de seções transversais submetidas à flexão pura, conforme mostra a Figura
3.6. Nestas análises considerou-se o diagrama parábola-retângulo para o concreto e bi-
linear para o aço, verificando o estado limite último da seção.
1,19 1,19 1,035
1,15
ym yk
ym ym yk
yd
f f
f f f
f
= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ (3.29)
0,85
1,035
cR ck
yR yk
f f
f f
= ⋅
= ⋅
(3.30)

M
M
(a) (b)
Figura 3.6 – Seção transversal submetida à flexão: a) retangular e b) do tipo “T”. Medidas em cm.
Os resultados obtidos para a seção retangular à flexão simples em que se variou
a taxa de armadura e a classe de concreto são mostrados na Figura 3.7 e Figura 3.8.
(a) (b)
Figura 3.7 – Seção retangular submetida à flexão: a) sem armadura de compressão e b) armadura de
compressão ( )2 6,30mmφ .

(a) (b)
Figura 3.8 – Seção retangular submetida à flexão: a) taxa de armadura de compressão 0,25%ρ = e b)
taxa de armadura de compressão 0,50%ρ = .
Os resultados obtidos para a seção do tipo “T” são mostrados na Figura 3.9 e
Figura 3.10.
(a) (b)
Figura 3.9 – Seção do tipo “T” submetida à flexão: a) sem armadura de compressão e b) armadura de
compressão ( )2 6,30mmφ .

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